Casa abierta al tiempo

(1)

Casa

abierta

al tiempo

UMlYERSI!IAU AUTONf" MFTRDPOLITANA

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA UNIDAD IZTAPALAPA.

DIVISION: CIENCIAS BASICAS E INGENIERIA.

CARRERA: INGENIERIA ELECTRONICA.

MATERIA:

TITULO:

FECHA:

ALUMNO:

MATRICULA:

ASESOR:

PROYECTO TERMINAL DE INGENIERIA ELECTRONICA.

FILTRADO EN TIEMPO REAL CON FILTROS IIR.

14-ENERO-2000.

FRANCISCO JAVIER

GALVAN

BENITEZ.

93320588.

(2)

INTRODUCCION 1. II. 111. IV. V. VI.

APROXIMACION DE FILTROS MEDIANTE BUTTERWORTH

1 .I

.

FILTRO PASA-BA J AS

I

.2.

FILTRO PASA-ALTAS

1.3.

FILTRO PASA-BANDA

1.4.

FILTRO RECHAZA-BANDA

ESTRUCTURA DE FILTROS DIGITALES

2.1.

FILTRO IIR.FORMA DIRECTA

1

TRANSFORMACION BlLlNEAL

3.1.

FILTRO PASA-BAJAS

3.2.

FILTRO PASA-ALTAS

3.3.

FILTRO PASA-BANDA

3.4.

TRANSFORMACION IMPULSO INVARIANTE

4.1.

FILTRO PASA-BAJAS

4.2.

FILTRO PASA-ALTAS

4.3.

FILTRO PASA-BANDA

4.4.

TRANSFORMACION ESCALON INVARIANTE

5.1.

FILTRO PASA-BAJAS

5.2.

FILTRO PASA-ALTAS

5.3.

FILTRO PASA-BANDA

5.4.

ARQUITECTURA

TMS320C5421

6.1.

ARQUITECTURA DEL CPU

6.2.

DIRECCIONAMIENTO DE DATOS

6.3.

DIRECCIONAMIENTO A MEMORIA DE PROGRAMA

6.4.

PERIFERICOS

(3)

VII. PROGRAMAS DE APLICACIóN

7.1. BREVE EXPLICACION DE PROGRAMA

7.2. PROGRAMAS

CONCLUSIONES

APENDICE

BlBLlOGRAFlA

79 81

97

105

(4)

INTRODUCCION

TEXAS INSTRUMENT (TI) es el líder del mercado mundial en DSP (Procesador Digital de Señales), desde 1982, con la introducción del TMS32010. Una vez que el primer TMS320 fue introducido al mercado en 1982, Texas Instrument se dedicó a la tecnología en el procesamiento digital de señales y sus aplicaciones. La capacidad de poder ejecutar hasta dos instrucciones simultaneas (lectura y escritura), lo hace uno de los más potentes, superado solo por generaciones posteriores en su misma familia TMS320xxxxx.

La decisión de tomar este proyecto fue por el acercamiento con el sistema digital de los filtros, además de la apertura a otras arquitecturas digitales como la de TEXAS INSTRUMENT, ya que de hecho la única experiencia, en este sentido, es en la UEA Sistemas Digitales.

Además de que el dominio digital es el que en la actualidad esta acaparando la industria y se aplica en muchos lugares y áreas de la ingeniería electrónica.

El contenido de este reporte consta de una breve información de la arquitectura del TMS320C54X y también los pasos a seguir para construir el archivo ejecutable (.out), el cual es cargado en la memoria de la tarjeta y ejecutado por la misma. Pero no sin antes resumir el marco teórico de las aproximaciones a los filtros Pasa-Bajas, Pasa-altas, Pasa-Banda y Rechaza- Banda; así como las transformaciones Digitales: Bilineal, Impulso lnvariante y Escalón Invariante.

El objetivo de este proyecto es la implementación de filtros digitales mediante la aproximación BUTTERWORTH y las transformaciones al

dominio

2:

Bilineal, Impulso lnvariante y Escalón Invariante. Además su

ejecución en un TMS320C54X para filtrado en tiempo real. Las señales que serán analizadas son las de la banda de audio, siendo 3.2khz la frecuencia trascendental para la aproximación Pasa-Bajas y Pasa-Altas; y también 3.2Khz como referencia para las dos aproximaciones restantes (Pasa Banda y Rechaza Banda).

(5)

Espero que a compañeros de generaciones posteriores les sea de interés, así como de utilidad para proyectos más avanzados.

(6)

1.

APROXIMACIOM DE FILTROS MEDIANTE BUTTERWORTH

La figura l. muestra las características requeridas en los cuatro tipos de filtros:

HLWI

Hew1

PASA-BANDA

_I

RECHAZA-BANDA

. .

u-

f f

Figural.Gráficas de respuesta en frecuencia. a)Filtro pasa-bajas; b]Filtro pasa-a1tas;c)Filtro pasa-banda; d)Filtro rechaza-banda.

La expresión para la ganancia en potencia de n-esimo orden es la siguiente:

donde :

E es el factor que ajusta la ganancia en la banda de PASO. Permite establecer de manera arbitraria la ganancia en potencia asociada a la banda de frecuencias de la banda de paso.

(7)

y2 es el orden del filtro.

W

es la frecuencia de paso con E f

1 .

W es la frecuencia de corte o frecuencia de media potencia con E = l .

P

C

Se tomará K = I , para una ganancia unitaria; también por conveniencia y simplicidad E =l. Lo cual implica que wp = wc

.

Esta condición simplifica el cálculo del orden del filtro, ya que solamente queda por definir cuál será la ganancia en la banda de rechazo, es decir:

O

La ecuación para el orden del filtro es:

rz 2

- ? ~ -

,

pero con la

característica de E = 1 se reduce a: n

2

~

lo&%@)

, \

-Entonces las características serán W -

₌

_{2II(3.2khz), Wr=211(4khz)} _y

una ganancia en potencia en la banda de rechazo igual a 0.1. De esta última es posible conocer el valor de

A,

de la siguiente manera:

p - w c

Auxiliándonos de la figura 2. e igualando el valor en potencia con la expresión para potencia en la banda de rechazo.

(8)

Ko

I+&*

Ko

2

l+ni

KO

Figura 2. Gráfica de potencia. Filtro pasa-bajas.

Y con esto se puede ya calcular el orden del filtro que cumplirá con las características teóricas.

Sustituyendo los valores: A=3, Wr =2n(4kHz), W =W =2n(3.2kHz).

C

P

Queda:

n 2 -

log(3)

=3.8, por lo tanto se escoge el valor n=4.

Con el valor del orden del filtro se puede obtener la respuesta al impulso con los polinomios Butterworth que para un orden 4 es:

(S2 +0.76537S+l

S2

+1.84776S+l

(9)

Ahora, lo que sigue a partir de que se tiene la aproximación del filtro pasa-bajas normalizado, es derivar la función de transferencia pasabajas a la frecuencia de corte requerida, o sea desnormalizarlo; derivar la función de transferencia pasa-altas, también a la frecuencia de corte requerida; derivar la función de transferencia pasa-banda, a sus frecuencias requeridas; por último la función de transferencia rechaza-banda, a sus frecuencias requeridas.

I =I FILTRO PASA-BAJAS

Para desnormalizar en frecuencia se evalua:

S

= ~ en la Ec.(l);

S

wC

quedando,

4

2

2 (S2+

~ ~ 0 . 7 6 5 3 7 s

+

wc

)(S

+

~ ~ 1 . 8 4 7 7 6 s

+

wc

)

y

wC =

3.2kHz

H ( S )

= ~~~~~~~ ~ ~~ ~~ ~ ~ wC ~ ~ ~~ ~~~ ~ ~ ~~ ~

2-

...

Ec.(~)

1.2. FILTRO PASA-ALTAS

Para derivar la función de transferencia pasa-altas, se evalua:

S

= ~- wC - ~

S

en la Ec. (1) quedando,

H ( S )

= ~ ~~~ ~ ~~~~

s4

~~~~~ ~ ~~~~~~

2

2 ( S 2

+

0 . 7 6 5 3 7 ~ ~ s

+

wc

)(S

+

1 .84776wcS

+

wc

)

~~~~~ ~ ~

...

Ec.(3)

I .3. FILTRO PASA-BANDA

Para derivar la función de transferencia pasa-banda, se evalua:

S

= ~

p--

; donde w es la frecuencia donde ocurre el pico, y w es el

s2

+ w

2 sw

b

P

b

ancho de banda.

Con

w = w 2

b c2 - w c~

y w P

= w c 2 c l '

H r PASA-BANDA

(10)

AI evaluarla en la Ec. ( 1 ) queda,

4s4

...

EC.(4).

Donde

K

=0.76537, y

K 2

=I

.84776.

1

1=4= FlLTRO RECHAZA-BANDA

Para derivar la función de transferencia rechaza-banda, se evalua:

S

= -~ ~ -~--; donde w, es la frecuencia de rechazo, y w es el ancho de

2

b

S

+w,

2

banda. w = w - W y w,. = w w

b c2 c~ c2 cl'

-

5

Figura 4FiItro Rechaza-banda.

Respuesta en frecuencia.

AI evaluarla en la Ec. (1) queda,

H ( S ) = ~ ~ ~ ~~~~

4 2 2 4 4 2 2 4

(S +2w, S

+

wr ) (S +2w, S + wy )

4 3 2 2 2 2 4 ' 4 2- 2

-2

2 4

~~~~~ ~~~ ~~~~ ~~~- ~~~~~ ~~~~~ ~~ ~~ ~

3

~~~ ~ S + K w S +(w +wr )S + K w w S + w , S + K w S +(wb +wr )S +K2wbwr S + w r

l b b l b r 2 b

...

EC.(5).

Donde K =0.76537, y

K

4.84776.

1

2

(11)

Así quedan completadas las cuatro aproximaciones con las que se

trabajarán en el presente trabajo. Lo siguiente es estudiar las

transformaciones al dominio

2.

(12)

/l.

ESTRUCTURA DE FILTROS DIGITALES

2=1. FILTRO IIR. FORMA DIRECTA 1.

La respuesta de un sistema discreto, correspondiente al filtro digital, es:

Y ( Z )

=

X ( Z ) H ( Z ) .

Y(Z) queda determinado por el producto de la transformada

Z

de la

excitación al sistema, X(Z), y por la función de transferencia o filtro, H(Z).

La relación entrada-salida se asume como un algoritmo especificado en términos de un conjunto básico de operaciones. La estructura básica del sistema discreto se compone de operaciones básicas como suma, multiplicación por una constante y elementos de retardo, y forma una clase, en este caso tratado en el proyecto, de la forma recursiva. Es decir, que la respuesta está en función de las respuestas anteriores y de las entradas anteriores:

~ ( n ) = [ ~ ( n - l ) , y ( n - 2 > , y ( n - 3 ) , . . . , x ( n ) , x ( n - 1 ) , x ( n - 2 ) ,

...I

La transformada

Z

de un filtro digital puede expresarse como un

a

. z - j

polinomio racional en Z", es decir:

N

H ( Z )

=

Y ( Z )

j=O

~ ~~~~~ J ~ ~

x@)=

N

b k Z "

,

con

b

O

= l .

k=O

Manipulando ambos miembros de la derecha:

N

k=O

j=O

J

k=O

i=O

J

Y ( Z )

bkZ-k = X ( Z )

a

. Z- j

3

C

b

Y ( Z ) T k

=

C

a

. X ( Z ) Z - J

"

Tomando en cuenta las siguientes pares de transformadas:

Y ( Z ) Z V k

++ y ( n -

k )

y

X ( Z ) Z - j

++

x(n-

j )

La respuesta del sistema es:

N

y ( n )

= a .x@- j ) -

C

b y ( n - k )

j=O

J

k=l

k

(13)

los productos resultantes aj

,

se obtiene la respuesta del sistema o filtro digital.

Como se mencionó antes, la salida es la suma de la entrada actual y anteriores más las salidas anteriores, de la forma siguiente:

Figura 5. Film IIR de orden N.

La figura 5 es la forma directa 1 de la Respuesta al Impulso Infinita (IIR). Es la estructura usada en el presente trabajo y el orden será 4, como se calculó en la parte de Aproximación Butterworth; siendo 4 elementos de retardo para las entradas anteriores y 4 elementos de retardo para las salidas anteriores.

(14)

H(Z)

=

Conociendo los valores de los coeficientes se puede ya implementar el

(15)

///.TRANSFORMAClON BILINHL

Considere una señal continua x(t) la cual es muestreada a intervalos de tiempo iguales, de donde se obtiene la señal x(nT). Suponga que se desea aproximar la función x(t) mediante una integración numérica empleando el algoritmo trapezoidal tal como se muestra en la figura 6.

Figura 6. Algoritmo trapezoidal.

El algoritmo trapezoidal podría ser expresado como:

y ( n )

=

y(n

-

1)

+

x(n)

+

Z-lx(n -

1)

1 .

Aplicando la transformada Z en ambos lados se obtiene:

Y ( 2 )

=

Z - l Y ( z )

+

~

X ( 2 )

+

Z " X ( Z ) ] .

'[

2 Y ( Z ) ( l -

2-l) =

T

"(1

+

Z ) X ( Z )

...

de donde se obtiene:

2

Sin embargo una integración en el tiempo corresponde a una división en el dominio de Laplace, por lo cual:

Y despejando S:

(16)

De esta manera se obtiene la función de transferencia del filtro digital H(2). Sustituyendo la última ecuación en la función de transferencia del filtro analógico H(S):

H ( Z )

=

H ( S ) ~

, S= 2 [ 1 - z I : ~~ ~~~ ~~ ~~

1

T l + z

Ahora ya es posible implementar los filtros, aproximados mediante Buttenrvorth, al dominio digital.

3.1 m FILTRO PASA-BAJAS.

Teniendo ya la respuesta al impulso analógico:

4

Con K1=0.76537 y K~1.84776. Evaluamos la respuesta al sistema con

r- , l

S =

2 1"

1-2"

1+z-

L _I

Se observa que H(S) tiene la forma de

H ( S )

*

H 2 ( S ) ,

y solo difieren en la constante K. Por lo que se desarrollará la transformación con

H ( S ) .

1

Multiplicando el numerador y el denominador por

1 +

2-

:

(17)

desarrollando y factorizando términos comunes queda:

Con los valores: K1=0.76537, WC=2n(3.2khz), y T=125pseg:

y también con K2:

0.322200+ 0.6444002-1

+

0.322200.~-~

1 +

0.2363292-1

+

O.052472ZF2

H

( Z ) =

~ ~~

2

~ ~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~

...

Ec. III.PB2

Se tiene que la función de transferencia del filtro H(2) esta compuesta por la multiplicación de dos funciones: Hl(2) y H2(Z). Esto significa que estas dos funciones de transferencia deben estar en cascada para dar la misma respuesta que H(Z). Además de observar que las dos son de segundo orden.

Figura 7. Filtros IIR de segundo orden en cascada.

(18)

Teniendo ya la respuesta al impulso analógico:

H ( S )

=

(S2

+

0 . 7 6 5 3 7 ~ ~ s

+

we

2 )(S

2 +1 .84776w,S

+

we

2 )

Con K1=0.76537 y K24.84776. Se evalua la respuesta al sistema con

s4

~~ ~~~~~~~ ~. ~ ~~~~~ ~ ~~

r

L

Tomando en cuenta que H(S) tiene la forma de

H,

( S ) H , ( S ) ,*

y solo

1 L

difieren en la constante K. Por

lo

que desarrollaremos la transformación con

T

1 /

.

\ L

Factorizando en el numerador y denominador

Y

2 T(

1 +

27')

(19)

Con los valores: K1=0.76537, WC=2n(4khz), y T=26.6667pseg:

y también con Kt:

A

' '

1.73 15

-

1.77542-1

+

0.493

Y realizando la multiplicación HI(Z)*H~(Z) da la siguiente función de

transferencia de cuarto orden:

III.PA

Figura 8. Filtro IIR de cuarto odeen.

(20)

3.3. FILTRO PASA-BANDA

w , 4s4

Con K1=0.76537 y K24.84776. Se evalua la respuesta al sistema con

Observe que H(S) tiene la forma de H

( S )

solo

difieren en la

constante K. Por

lo

que se desarrollará la transformación con

H

( S ) .

1 *H2(S),

Y

1

T

r- -I

- 1 ₌~~~ ~

1 - z . ~

(S 4

+

KlwbS 3 +(2w 2

I + Z - 1 P

L -1

+ K w w 2 S +

I b P

4 :

Factorizando en

numerador:

4

el denominador

[-

---1-)

2

y reduciendo con el

(21)

Desarrollando, reduciendo términos semejantes y sustituyendo los valores: Kq=0.76537, WP=2x(l 1 khz), Wb2x(8.5khz), y T=26.6667pseg:

H

(2)

=: ~~ ~

0.1819-0.3637.Z"

~ ~~~ ~ ~~~~

+0.1819Z-4

~

1

~~

...

Ec.

1

-

0 . 6 2 3 7 ~ ~

+

0.894 1.27"

-

0.40222-3-+ 0.80862-4

IILPABANI

De la misma1 manera para Hn(Z),con K24.84776:

H

(Zj

= ~

0.1459-0.29192-2 + 0 . 1 4 5 9 T 4

III.PABAN2

2 1--0.3335Z'" +0.71752- -0.1971T" +0.7117Z"

. ~

2~""-

~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~

...

Ec.

Se tiene que la función de transferencia del filtro H(Z) esta compuesta por la multiplicación de dos funciones: HI(Z) y H2(Z). Esto significa que estas dos funciones de transferencia deben estar en cascada para dar la misma respuesta que H(2). Además observe que las dos son de cuarto orden.

(22)

Figura 9. Fiftros IIR de cuarto orden en cascada.

(23)

3.4. FILTRO RECHAZA-BANDA

Con K1=0.76537 y K2=1.84776. Se evalua la respuesta al sistema con

r

Observe que H(S) tiene la forma de

H

(S)*

H 2 ( S ) ,

y solo difieren en la

constante K. Por lo que se desarrollará la transformación con

H

(S).

1

Factorizando en el numerador y denominador

1 + 2 -

(24)

1 ' '

2 K w w 2 4 ( 2 x 2 + u 2) 2

4 - 1 4 1 b r - 1 3 - 1 r b (, - $ 2 + z - 1 2 + ~ ~-1-h r - 1 - I 3 16 - 1 4

8 K IO M

w ( I + z ) + ~~~~~~ ( l + Z ) ( I - z ) + 1 ( l + Z ) ( l b 2 ) + ( I - z )

r T 2 T 4 T 3

Desarrollando, reduciendo términos semejantes y sustituyendo los valores: K1=0.76537, Wb=2n(7khz), WF2n(6.5khz), y T=26.6667pseg:

H

(Z)=

0.0645

-

O. 1 4002-1

~~ ~~~~ ~

+

0.2049T"

~~~~ ~~~ ~~~ ~~~~~ ~ -0. ~

1 4 0 0 r 3

+

0 . 0 6 4 5 r 4

1 1-1.64182-1 +1.7852Z-2 -1.1573Z" +0.5535Z-4

...

Ec. III.RBAN1

De la misma manera para H2(Z),con K2=1.84776:

0.4901-1.0637Z-1 +1.5574Z" -1.0637Z-3 +0.4901Z"

H

( Z ) =

2 1-1.58512-1 +1.35682-2 -0.61922-3 +0.1808T"

~ ~ ~~ ~ ~ -~ - ~~ -- ~ ~~ ~ ~

...

Ec. III.RBAN2

(25)

/v.

TMMSFORMACIOM IMPULSO IMVARIAMTE

Este método de transformación aproxima la respuesta al impulso del

sistema discreto en tiempo a la respuesta al impulso del sistema analógico en los puntos de muestreo.

(26)

Se tiene que G(S) representa la función de transferencia analógica y La función de transferencia discreta deseada se puede expresar

H(Z) representa la función de transferencia discreta deseada.

mediante:

H(Z)=Tc[g(t)]=TG(Z); <:transformada Z.

donde G(Z) es la transformada Z de la setial g(t) muestreada.

En seguida se desarrolla las cuatro aproximaciones hechas anteriormente por Butterworth.

4.1 8 FILTRO PASA-BAJAS.

Teniendo ya la respuesta al impulso analógico: 4

2 2

(S2

+

wc 0.76537s

+

wc )(S

+

wc 1.847763

+

wc )

Con los valores: Wc=2x(3.2khz), y T=125pseg:

Cada factor cuadrático en el denominador lo se descompone en sus dos factores lineales de la siguiente manera.

H ( S ) = ~~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~ ~ - ~ - w c ~ ~ ~ .

~ .~~ 2

Para la siguiente expresión cuadrática:

S

+

K

w

S

+we

,

se encuentra

sus rakes,

2

2 l e

~- ~ ~~~~~~ ~ ~ ~~

- wcK1 f ,,/(wcK1) 2 -4wc 2

- ~~

5 , 2 -

~~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~ ~~

,

sustituyendo los valores arriba 2

mencionados con K1=0.76537:

S = -7694.33846 k jl8575.68712, para el primer factor.

Y de la misma manera, para el segundo factor con K2=1.84776, se obtiene los siguientes valores:

172

S = -1 8575.70958 & j7694.28425

Entonces se puede expresar a la función de transferencia como: 374

w 2

H(S) = ( S + 7 6 9 4 ~ ~ 4 6 - J ¡ 8 5 7 ~ 7 1 2 ) ( s + 7 6 ~ j l 8 ~ 5 . 6 7 ~ ~ ( S ~ ~ 5 ~ 7 O ~ S - J ~ 9 4 . 2 8 4 2 5 ) ( S + ¡ 8575170958+j7694I284

* *

A A B B

- ~ ~~~~ ~ ~ + ~ ~ ~~ ~~~~~

- + ~~~ ~~~~~ ~ ~~

~ ~~ +

S + 7694.33846 - j18575.68712 S

+

7694.33846 + j18575.68712 S + 18575.70958 - j7694.28425 S

+

18575.70958 - j7694.28,

~~

Que se desarrolla por expansión por fracciones parciales para obtener h(t) mediante la transformada inversa de Laplace. Entonces al calcular las constantes complejas A y B, así como sus conjugadas, se tiene:

A

=

H(S)(S

+

7694.33846- j18575.68712)l

(27)

-aAt

h(t) = [Ale 2 cos(QA

+

p

t )

+

~Bse -agt 2c0s(QB

+

p

t )

A B

Donde:

a

= 7694.33846 a = 18575.70958

,l? = 18575.68712

3 /

,

= 7694.284298

A

B

h ( t ) = 20106.24794e -7694.33846t cos(2.74889

+

18575.687125)

+

48540.8856e -18575'70958t cos(5.10509

+

7694.284305

Se puede ahora pasar del dominio t (pero muestreado, osea t=nT) al dominio

Z, para esto tenemos el par transformado: e- naTx(nT) f) X ( e a T Z ) .

Donde x(nT) es

cos(2.74889+18575,6871f)

y10

CoS(5.10509+7694.28430f).

Pero se necesita expresar la transformada Z de cos(k+naT).

jnuT -jnuT

+ e

-1

=

:<[

e j n U T ]

+

:

<[

e - jnuT

]

L J

Donde

6

indica transformada

2.

Desarrollando y simplificando.

1

z2

- z ( e + e - juT

1

2 - 2 COS(UT)

z2

- 2 2 ( e + e )

+

1 Z 2 - 22cos(uT)

+

1

j a T ₂

<[cosnaT] = ~~ ~~~ ~ ~~~~~ ~~ ~ - - ~~ ~~ ~ --

juT - juT

Siguiendo un desarrollo de manera similar con cos(k+naT):

Z2 cos k - 2 cos(k

+

U T )

2* - 2 2 cos(uT)

+

1 c[cos(k + naT)] = ~ ~~~~ ~~~ ~

Se observa que h(t) tiene la forma hl(t)+hz(t). Trabajando con h,(t): 1

8.lk

T = - ~

(28)

- 0.9239Z2 - 0.32392

Z 2

+

1.32252

+

1

cos(2.7489

+

18575.6871) +-+

~~~,

evaluando con

[

2@$;3-85

1 Z

= Ze

- 0.9239Z2 - 1.32252 ~

H (2) = 20106.2479T---- - ______ - - _ _ _ _ _ - ~

1

Z 2

+

1.32252

+

1

z=ze

20106.2479 - 0.9239ZL - 1.32252'

H

(2)

= ~ ~~~ ~

1 8. lk ₂2 _+1.32252+1

lz=ze

- 15.3306Z2 - 2.07862

6.6848Z2

+

3.41932 + 1

H (2) = ~~~ ~~~~ ~~ 1

Trabajando con h*(t):

1

T

= ~~

8.lk

co~(5.10509

+

7694.2843t) +-+ ~~~~ ~

Z 2 cos(5.10509) - Zcos(5.10509+ ~ ~ 7694.2843

1

~~ ~~ 8 .lkp~"-

z

L - 2cos( 7694.2843 ")

+

1 8.lk

0.38268Z2 - 0.974082

Z 2 -1.163512

+

1

COS(^. 10509

+

7694.2843t) +-+ ~~ ~p~~ ~~

~~,

evaluando con

n

- 225.1087257Z2 - 57.833938272

(29)

_ _ _ ~ ~~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ -~ ~

Y finalmente se tiene que H(Z)=HI(Z)+H~(Z). Realizando la suma de las dos respuestas 1 y 2 para obtener una respuesta de 4to. Orden, que puede ya implementarse con la misma estructura de filtro realizada con los BILINEALES:

H(Z) = ~ - 0.00001448 -1.182OZw1

+

0.65762-2 ~~~~~ - 0.09132-3 ~~ ~ ~~ ~

1 - 0.8041796152-1

+

0.2404293332-2 - 0.024563892.Z"3

+

0.0015239772-4

...

EC. IV.PB

s4

H ( S ) = ~~~ ~~~~ ~ .~

(S2

+

~~0.76537s

+

W , 2-

)(S

"T

+

~~1.84776s

+

we 2 )

Con los valores: WC=2n(4khz), y T=l25pseg:

Como en el caso pasa-bajas, cada factor cuadrático en el denominador se descompone en sus dos factores lineales de la siguiente manera.

Se tiene la siguiente expresión cuadrática: S 2

+

K

w S

+

we2, encontrando

sus rakes,

1 c

~

2 2

--w K

+

- , / ( W K ) -4W,

c 1 - , c 1 S =~~

mencionados con K1=0.76537:

132

~~~~ ~ ~~~~~ ~~~

,

sustituyendo los valores arriba

2

S = -9617.9231 k j23219.6089, para el primer factor.

Y de la misma manera, para el segundo factor con K2=1.84776, se obtiene los

siguientes valores:

172

S = -23219.63697 k j9617.85532

Entonces se puede expresar a la función de transferencia como:

3,4

.4

H(S\ \ , =

(S + 9617.9231 - j23219.6089)(S + 9617.9231 + j23219.6089)(S + 23219.63697 - j9617.85532)(S + 23219.63697 + j9617.85532)

* *

.4 A B B

-

S + 9617.9231 - j23219.6089 S +9617.9231+ j23219.6089 S + 23219.63697- j9617.85532 S

+

23219.63697+ j9617.85532

+ -~~ ~~~ ~~ ~~ ~

+ ~- ~~~ ~~~~~ -~ +

-- -~ ~~~ ~~~ ~~ ~

Que se desarrolla por expansión por fracciones parciales para obtener h(t) mediante la transformada inversa de Laplace. Entonces al calcular las constantes complejas A y B, así como sus conjugadas, se tiene:

(30)

A =

H(S)(S+9617.9231- j23219.6089)

1S=-9617.9231+j23219.6089

A = ~~ .. ~~~~ ~

A = -4808.895896 - jll609.86885

(S+9617.923~~23219.6089)(S+23219.63697-j9617.85532)(S+23219.63697+j9617.85532)~,=-,6,,,,,~,+,232r9~6089 ~~~~ ~. S 4~ ~~ ~~~~ ~ ~. . ~

A* = -4808.895896

+

jll609.86885

B= ( S + 9 6 1 7 . 9 2 3 1 - J 2 3 2 1 9 ~ 6 0 8 9 ) ( S + 9 6 ~ ~ 9 2 3 1 ~ j 2 ~ i 9 . 6 0 8 9 ) ( S i 2 3 2 1 9 6 3 6 9 7 + j 9 6 1 7 . 8 5 5 3 2 ) ~ , s ~ ~ ~ 3 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ + ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~ S4

B = -28028.664 15 - jll609.973 16

B* = -28028.664 15

+

jll609.973 16

*

" B A

A =;Ale ,A = 12566.40499, 0 = 5.105 1

B = !Ble I jet? 1B = 30338.05351,6 = 3.5343

A

B

e ik + e-ik

2

Aplicando; cos k = ~~~~ ~ ~~ ~

e

2cos k = e ik

+ ,-ik

(31)

-aAt

h(t) = 'Ale 2cos(8

+

p

t ) +IB~e 2cos(QB -aBt

+

p

t )

A A B

Donde:

a

= 9617.9231 a = 23219.63697

p

= 2321 9.6089

p,

= 9617.85532

A

B

h(r) = 25132.81032e -961 7.923 cos(5. I 05 1

+

232 19.6089t)

+

60676.10702e -23219h3697t cos(3.5343

+

9617.855325)

Se puede ahora pasar del dominio t (pero muestreado, osea t=nT) al dominio 2, para esto tenemos el par transformado: e- naTx(nT)

++

X ( e a T Z ) .

Donde x(nT) es COS(5. 7057+23279.6089t) y/o cos(3.5343+9677.85532t).

Pero se necesita expresar la transformada

2

de cos(k+naT).

Donde

5

indica transformada 2.

Desarrollando y simplificando.

Siguiendo un desarrollo de manera similar con

_,.

cos(k+naT): Z L cos k - Z cos(k

+

U T )

Z 2 - 2 2 cos(aT)

+

1

<[cos(k

+

naT)] = ~- - ~ _ _ ~ _ _ ~~

...

Ec (Tz).

Se observa que h(t) tiene la forma hl(t)+hz(t). Trabajando con hl(t):

1 T = ~ - 37.5k

232 19.6089 Z' ~ 0 ~ ( 5 . 1 0 5 1 ) - Z ~ 0 ~ ( 5 . 1 0 5 1 + - pi--=--)

-cos(5.1051+ 23219.6089t)

e

N

Z' - 2 c O s ( ( y ; , L J L 1 7 . V U C

(32)

2

~ 0 ~ ( 5 . 1 0 5 1 + 23219.6089t) f) . -

,

evaluando con

Z

= Ze

r%?

Z 2 - 1.62872

+

1

0.3827Z2 - 0.84782'

H ₁(2) 25 132.8 1032T - "

2

2 - 1.62872

+

1

:z=ze

20106.2479 ~ O 3827ZL - 0.84782'

H (2) = ~ ~ ~~~

1

~~

37-5k Z2 - 1.62872

+

1 2-ze

0.2565Z2 - 0.43962

Z2

+

1.26032

+

0.5987

H (2) = ~~~ 1

Trabajando con h2(t):

1 37.5k

T =

9617.85532

22cos(3.5343)-2cos(3.5343+--"-~- --~-)

~os(3.5343

+

9617.85532t) f) ~ 37.56 ~~ ~~~ ;

2 2 - 2c0s( 9617.85532"- ~~~ 37.5k ) + I

- 0.9239Z2

+

0.79662

Z 2 - 1.93462

+

1

~os(3.5343

+

9617.85532t) U ~~~ ~~~~~ ~~

,

evaluando con

Z = Ze

["";:!Fi

- 0.9239Z2

+

0.79662~

H 2 (2) =60676.10702T-- - ~, (23219.63697)

Z 2 - 1.93462

+

1

z=ze

37.5k

~ ~ ~~ ~~

60676.10702 - 0.92392'

+

0.79662'

2 37.5k 2

I

H (2) = ~ ~ ~. (232:;:::697)

2 -1.93462 +1

Ipze

_ _ ~

1 .4949Z2 - 0.69392

Z 2 -1.04172+0.2899

H (2) = ~~ ~~~~ ~~ ~ ~~~ 2

Y finalmente se tiene que H(Z)=H?(Z)+H2(Z). Realizando la suma de las dos

respuestas 1 y 2 para obtener una respuesta de 4tO. Orden, que puede ya

implementarse con la misma estructura de filtro realizada con los

BILINEALES:

(33)

H(Z) = ~~~ 1.7514 -3.28472-1

+

~~ 2.3O19Zp2 - 0 . 5 4 2 8 r 3

_ _ ~~~ ~~~ ~~ ~

...

EC. IVPA.

1 - 2.30202-1

+

2.201 5Zp2 - 0 . 9 8 9 0 r 3

+

O. 1 7 3 6 r 4

Teniendo la aproximación en el dominio S:

No es el PrOpÓSitO en este reporte, pero se puede hacer el desarrollo y H(S)

tambien se representa como:

para N par.

Donde:

Y

(34)

Se observa de la última ec. de H(S), que para k=l y k=2, se forman dos

Con K=l:

funciones de transferencia HI(S) y H2(S).

2(-0.3827)(0.9239)(2211k)2

q = tg ~. ~~~~ ~~~~

~~~ ~ ~~~~ ~~~~~ ~~~~~~ -11(2211k)2[(-0.382í')2 - (0.9239)2] -4(19IIk)2

= 0.0947

I'

(2211k)L

=L9385

O11 = ( 22!?5 2

)

(-

(-0.3827)

+

1.9385(cos(0.0947))) = 79914.75291

S2 =

(

gFk)(-

0.9239

+

1.9385(sen(0.0947))) = -25593.2405 1 1

22IIk

o12 =

(T.----)(-

(-03827) - 1.9385(cos(0.0947))) = -53464.4277

12

(-

(0.9239) - 1.9385(sen(00947))) = -38262.1435

Con estos cálculos ya se puede escribir nuestra función H,(S).

"

(2211k)L S L

(S + 79914.7529 - j25593.2405)(S

+

79914.7529

+

j25593.2405XS - 53464.4277 - j38262.1435)(S - 53464.4277 + j38262.143.

ff = ~ ~~~ ~~ ~- ~ ~~~ ~ ~- ~ ~ ~~~ ~- ~ ~~ ~~ ~ ~~~ ~~ ~~~~ ~

Con K=2:

(35)

= 0.3827

= O. 1506

(22Ilk)

a21 =

(

22Ilk ---2 )(-(-0.9~39-)+1.5439{cos(0.1506)])= 84677.1519

(-

0.3827 +1.5439{sen(0.1506)}) = -5220.4859

21

a22 =

(gF5)(-

(-0.9239) -1.5439{cos(0.15O6)}) = -20821.7679

Q 2 2 = ( > 22nk

)

(-

(0.3827) - 1.5439{sen(0.1506)}) = -21229.8393

Con estos cálculos ya se puede escribir nuestra función H2(S).

( 2 2 m ) 2 s 2

H = ~ -- ~~~ ~ ~ - ~~ ~ ~~~~~ ~- - ~~ ~ ~~ ~ ~

(S

+

84677.1519 - j5220.4859)(S

+

84677.1519 + j5220.4859HS - 20821.7679 - j21229.8393)(S - 20821.7679

+

j21229.8393)

~~ ~ ~ ~ ~~

Entonces, desarrollando la función completa por expansión por fracciones parciales:

H ( S ) = ~- ~~~ ~ - ~ . ~~~~ ~ ~ ~~ + ~~~ - ~

A A * B B *

S + 79914.7529 - 525593.2405 S + 79914.7529 + j25593.2405 S - 53464.4277 - j38262.143 S - 53464.4277 + j38262.14:

~~ + ~~~~ ~ ~- ~~~~ + ~~

~ -~ ~~~ ~ ~

C C * D

*

D

+ ~~~ ~~ ~~ ~ ~~ - - ~ + ~~ ~ ~~~ ~ - -

S + 84677.1519 - j5220.4859 S + 84677.1519 + j5220.4859 S - 20821.7679 - j21229.8393 S - 20821.7679 + j21229.8393

+ ~~~~

~ ~ ~-~ ~-~ +

- - ~ ~ ~~

Y entonces se puede calcular

las

constantes, como se había hecho

para los demás filtros.

B

= H ( S ) ( S - 53464.4277 - j38262.1435)~~=53464.4277+j38262.1435

(36)

D = H ( S ) ( S -20821.7679 - j21229.8393)~~=20821.7679+~21229.8393

D = 207.6639 + j1276.98 1 1

~A~ = 152680.482 A

B!

= 5471.246

e

_B

= 4.8586 IC~ = 726966.965 Be = 4.7172

DI

= 1293.756 6 = 1.4096

e

= 1.5442

D

Y haciendo un desarrollo igual al realizado en los demás filtros para aplicar

la transformada inversa de Laplace y obtener h(t):

- a t - a t

h(t) = 2 I ~ l e A cos($

+

p

t )

+

2 ; ~ ! e cos(e

+

p

t)

+ 2 ' c ' e cos(e

+ p

t) + 2 l ~ i e cos($

+

p

t)

A A B B

-a t -a t

c c

D D

aA = 79914.7529

p,

₌25593.2405

aB = 53464.4277

pB

₌38262.1435

a, = 84677.1519

PC

₌5220.4859 a, = 20821.7679

p,

₌21229.8393

Observe que h(t) está formada por la suma de cuatro funciones. Entonces se

puede llamar a cada una de éstas como hA(t), hB(t), hc(t) y hD(t).

o hA(t) = 305360.964e- 799'4.7529t cos(1.5442

+

25593.240%)

Ocupando la ecuación Tz.

0.0266Z2

+

0.60992

COS(l.5442

+

25593.2405t) ~~ - 7 ~ ~~ ~~

,

evaluando con

z

=

ze

179yE3

ZL - 1 S5202

+

1

0.0266Z2

+

0.60992

(37)

0.2166

+

0.58962-1

1-0.18422-1 +0.01412-2

H (2) =

A

...

EC. IV.PBAN(A).

h ( t ) = 10942.49 14e- (-53464.4277)t

B

cos(4.8586

+

38262.1435t)

cos(4.8586

+

38262.1435t)

++

~ y evaluando con 0.1457Z2 -0.91942

Z 2 - 1 .O4622

+

1

(";wp-7]

Z = Ze

0.1457Z2 -0.91942'

H

(2)

= 10942.49141" ~~~~

~ ~ - '

(-

53464.4277)

B

~~~~~~~

Z2 -1.04622+ 1

;z=ze

37.5k 10942.4914 0.1457Z2 -0.91942~

2

H (2) = ~ ~~~ -~ - C ~ ~ ~~~

B

37*5k 2 - 1.04622

+

1

Iz=ze

.~

0.0433 - 1.1 1 592-1

1 - 4.34952-1

+

17.301 02-2

H (2) = ~ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ~ . - . . ~ ~ ~ ~ ..______

...

EC. IV.PBAN(B).

0 h ( t ) = 1453933.93 le- 84677"519t ~os(4.7172

+

5220.4859t)

C

0.0048Z2 - 0.14352 [84;;:;?19]

cos(4.7172

+

5220.4859t)

++

-~ ~ ~~ ~~~y evaluando con

z

= Ze

Z2 - 1.98072

+

1

0.0048Z2 -0.14352'

H (2) = 1453933.9311"-

2-~-

~ ~ 84677.15 19

C ₂

-1.98072+1

~z=ze

'

(

37.5k

)

~~~~ ~~~~~

1453933.931 0.0048Z2 - 0.14352:

2

H (Z)= ~~ ~

~~ ~~~ _. ~~~ ~ 84677.15 19

C 37.5k ₂

-1.98072

+

1

,z=ze

H (2) = O. 1861 - 0.58 1 72-1 1 - 0.20712-1

+

0.01092-2

C

...

EC. IV.PBAN(C).

(38)

Ocupando la ecuación Tz.

O. 1 605Z2

+

0.39392 Z 2 - 1.68802

+

1

-2082 1.76793 cos(1.4096+ 21229.8393t) - -~ ~~~~

,

evaluando con

z

= Ze

37.5k

0.16052' -0.39392

H (2) = 2587.5124T"- ~~~ ~~~ 1

(-

2082 1.7679) D 2 2 -1.68802 +I

(Z=ze

~~~~ ~~~~

37.5k

0.01 12

+

0.04742-1

1 - 1.68792-1

+

3 . 0 3 5 8 z 2

H (2) = ~~~~~~ ~~~ ~~ ~~

D

...

EC. N.PBAN(D).

Con H(Z)=HA(Z)+ H&)+ Hc(Z)+ HD(Z)

,

ya se puede implementar el filtro digital.

Solo

que en este caso se hace mediante

los

filtros independientes en paralelo, en ves de hacerlo en cascada; ya que el resultado, para H(Z), es una suma.

4.4. FILTRO RECHAZA-BANDA

Teniendo

la

aproximación en el dominio S:

(s4 + 2 ~ 2

+

4, (S4

+

2 w r 2 s 2

+ wr

)

H ( S ) = ~ ~~~~

" r ~

" C ~~~~~ ~~~~ ~ . ~ _ _ ~ _ ~~~~~ . . ~~~~

4

S 4

+

K w S 3 +(wb 2

+

w r 2 ) S 2 + Klwbwr 2 S

+ w,.

4" S 4 + K w S 3 + (wb 2

+

w r 2 ) S 2

+ K2wbwr

2 S + wr 4

l b 2 b

No es el propósito en este reporte, pero se puede hacer el desarrollo y H(S) tambien se representa como:

N

H ( S ) = ~

N

L

n

( S + o

+jn

)(S+okl

-jn

)(S+o + j Q )(S+o - j n k 2 )

k=l kl kl kl k2 k2 k2

(39)

1

v =

I

p = "tg"

2

Se observa de la última ec. De H(S), que para k=l y k=2, se forman dos

Con K=l:

funciones de transferencia HI(S) y H2(S).

p = 1 "tg -1

2 ' = 0.0946

(40)

-0.3827)2 - (0.9239) 21 - d-0.3827)2 (2213k)2

+

( 0 9 2 3 9 ) 2 b 9 ~ k ) . ~~

'1

+

[2(0.9239)(-0.3827)]2 = 1

.S

2

(i

(-

(-0.3827)

+

1.9385{cos(O.O946))) = 7991 1.3504

(-0.9239+1.9385{sen(O.O946)f)= -25598.6167

(-

(-03827) - 1.9385{~0~(0.0946))) = -53462.3610

(-

(0.9239) -1.9385{sen(0.0946)))= -38253.5427

Con estos cálculos se puede escribir

la

función H,(S).

(S + j1911k)~(S - j19IIk) 1

H = ~ ~ ~~ ~~~~ - ~~ ~~ ~~ ~ ~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~

~~ ~ ~~ ~~~ ~~

(S

+

7991 1.3504 - j25598.6167)(S

+

7991 1.3504

+

j25598.6167)(S - 53462.3610 - j38253.5427)(S - 53462.3610

+

j38253.542

Con K=2:

I , 2

22JJk

~~~ ~~~ ~ [(0.3S27)2 - (-0.9239)2] - 4(1911k)~ (0.3827)2

+

(41)

1

(-

(-0.9239-)

+

1.5381{~0~(0.1506))) = 84474.7209

(-

0.3827

+

1.5381{sen(O. 1506)f) = -5250.2921

a22

[

2(0.38272

+

092392)

-~ - . - ~ -

22rIk

I

(-(-0.9239)-1.5381{~0~(0.1506)))= -20622.5615

~~~ ~~~ -~ (-0.3827 -1.5381(sen(0.1506)))= -21 198.6974

Con estos cálculos se puede escribir la función H2(S).

( s

+,19nk)2(s - j19nk) ~-

~ ~

)

1

H = ~~~ - - ~~~ ~ ~~~ -~ 0.38272 + 0.92392

~- ~~ ~~~~ ~~ ~~ ~~~ - ~- ~- ~~~ ~~ ~~ ~~ -~

(S

+

84677.1519 - j5220.4859)(S + 84677.1519

+

j5220.4859)(S - 20821.7679 - j21229.8393)(S - 20821.7679 + j21229.8393)

~~- ~~

Entonces, desarrollando la función completa por expansión por fracciones parciales:

H ( S ) = ~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~ ~~ ~ + -~ ~~ ~~ ~~ ~ ~ ~~

* *

A A B B

+ ~- ~~~ ~ ~~~ ~~ ~ + -

-S + 79911.3504 - j25598.6167 S + 79911.3504 + j25598.6167 S - 53462.3610 - j38253.5427 S - 53462.3610 + j38253.S -~ ~~~ ~~

Y entonces se pueden calcular las constantes, como se realizó para

los demás filtros.

B

= H ( S ) ( S - 53462.3610- j38253.5427)1s=53462.3610+j38253.5427

B

= -796.9654 - j5412.8898

C = H(S ) ( S

+

84474.7209 - j 5 2 5 0 . 2 9 2 1 ) ~ ~ = - ~ ~ ~ ~ , . , , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ . 2 9 ~ ,

(42)

D = 8944.5362

+

j9280.7106

A = 1444363.697 6 =1.1108 A

'Bl

, , = 21838.6587 8 _B= 4.8450

IC~ 1 = 8149239.122 BC = 4.621 1 'Di l = 12889.3878

eD

= 5.4793

Y haciendo un desarrollo igual al planteado en los demás filtros para aplicar

la transformada inversa de Laplace y obtener h(t):

-a t -a t

h(t) = 2 ~ ~A cos(o e

+

p

t )

+

2 1 ~ ~ e B cos(o

+

p

t )

+21cle cos(@

+ p

t ) + 2 1 ~ e D cos(e

+ p

t)

A A B B

-a t -a t

c

D D

a A = 7991 1.3504

p,

₌_25598.6167

aB

= 53462.3610

p,

₌_38253.5427 a, = 84474.7209

PC

₌_5250.2921

a, = 20622.5615

p,

= 21 198.6974

Se observa que h(t) está formada por la suma de cuatro funciones. Entonces

se puede llamar a cada una de estas como hA(t), hB(t), hc(t) y hD(t).

0.0266Z2

+

0.60992

Z 2 - 1.55202

+

1

[79911.3504] cos(l.1108

+

25598.6167t)

e

~ ~~- ~ -_ _

- ~ ,

~evaluando con T

z

= Ze 37.5k

0.0266Z2

+

0.60992~

H (2) =2888727.394T ~~ ~~ ~~ ~ ~ ~ ~ 7991 1.3504 A

Z2 - 1.55202

+

1

z=ze

H (2) = 2888727.394 ~ ~~ ~~ 0.0266Z2 ~~

+

0.609921

~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~ 799 1 1.3504

A 37.5k _{Z 2}

- 1 S5202

+

1 ~

z=ze

2.0491

+

5.57782-1

(43)

0 hB ( t ) = 43677.3 I 74e- (-53462.4277)t cos(4.8450

+

38253.5427t)

A

O.1322ZL -0.91392

Z 2 - 1 .O4662

+

1 cos(4.8450

+

38253.5427t) f) ~

,

153462.36IOj

í

37.5k

Z = Ze

evaluando con

0.1322Z2 -0.91392,

H (2) = 43677.3174T ~ ~ ~~ - ~~~ ~ - 53462.3610)

B

2 2 -1.04662+1

;z=ze

(~

~ ~3715k

43677.3174 0.1322Z2 -0.91392~

H (2) = ~ ~~~~ ~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~ ~ ~~ ,

(-

53462.3610) B _{3 7 0 5 ~} _Z₂

- 1 .O4662

+

1

lz=ze

~~ ~~ 37.5k

0 hC ( t ) = 16298478.24e- 84474.7209t cos(4.62 1 1

+

5250.292 I t )

- 0.0912Z2 - 0.04872

cos(4.6211+ 5250.2921t)

e

~~ -T ~~~ ~ ~ ~

,

evaluando con

z

= ze

[

84474L72041

37.5k

Z L - 1.98042

+

1

H (2) = - 39'6377 - 2.225 lZ-'

...

EC. N.RBAN(C). 1 - 0.20822-1

+

0.01 1

0 h ( t ) = 25778.7756e- (-20622.5615)t

D

cos(5.4793

+

21 198.6974t)

(44)

0.6939ZL - 0.97172

~ o ~ ( 5 . 4 7 9 3

+

21 198.6974t) f) - 7 ~ ~ 7 evaluando

-

con

Z L - 1.68892

+

1

0.6939ZL - 0.971721

H ( Z ) = 2 5 7 7 8 . 7 7 5 6 T p - ~~

(-

20622.535)

D

Z 2 -1.68892 + I ¡Z=ze ~~- _37.5k

0.4770 - 1 .I 5772-1

1 - 2.9273.Z"

+

3.0O39Zw2

H ( Z ) =

D

...

EC. N.RBAN(D).

Con H(Z)=HA(Z)+ HB(Z)+ Hc(Z)+ HD(Z)

,

ya se puede implementar el filtro

digital. Solo que en este caso se hace mediante los filtros independientes en

paralelo, en ves de hacerlo en cascada; ya que el resultado, para H(Z), es una

(45)

V.TUANSFORMACl0N ESCALON IMVARIANTE

AI igual que el IMPULSO INVARIANTE, la transformación ESCALON INVARIANTE resulta de que la respuesta al escalón del filtro digital debe ser la misma que la respuesta al escalón del sistema analógico en el tiempo de muestreo. Tenemos que gd(n) representa la respuesta al escalón digital, y

g,(t) representa la respuesta al escalón analógico.

Figura 12.

..

Se necesita que h,(n) = g, (111

.

Tomando la transformada Z en ambos lados: H , (2) = G, (2)

H,(Z) puede ser expresada en términos de la función de transferencia t=nT

deseada H(Z). Desarrollando:

De la figura 13,

Y(t> = 4 1 )

*

h(t)

Y ( w ) = X(w)H(w)

Y ( S ) = X ( S ) H ( S ) = G, ( S )

1

S donde X(S) =

(46)

De la figura 14,

= x(n)

*

h(n)

Y ( 2 ) = X(Z)H(Z) = Gd (2)

donde : X ( 2 ) = ~~ ~ 2 - 1

L

Se necesita que Ga(Z)=Gd(Z),

2

Ga (2) = G (2) 3 G, (2) = H ( 2 ) - ~~~ -~ 3 H ( 2 ) = -~ Ga (2) 2 - 1

d 2-1 2

G a ( Z ) = C g (n) - g ( t ) = L - (t)=L-'

[ a l a

G (2) = ~

---<[

L-l H+)]

....

Ec.(TEI)

2 - 1 2

a

Ga(Z) es la respuesta al escalón deseada.

Enseguida se desarrollan las cuatro aproximaciones hechas anteriormente por Butteworth.

5.1 8 FILTRO PASA-BAJAS.

Teniendo ya la respuesta al impulso analógico: 4

H ( S ) = ~~ ~ ~ ~ ~- ~ ~~ -~~ ~~ ~ ~~~~

2-

2

~~ ~ -

2~

( S 2

+

we 0.76537s

+

we )(S

+

we 1.84776s

+

we )

Con los valores: Wc=2z(3.2khz), y T=125pseg:

Cada factor cuadrático en el denominador se descompone en sus dos factores lineales de la siguiente manera.

Se tiene la siguiente expresión cuadrática:

S 2

+ K

w

S+w,

,

encontrando sus rakes,

2 1 ,

"w K +-,,(w

K

) 2 -4wc 2

c I - ! ! c 1

S =

132

mencionados con K1=0.76537:

~~ ~~~ ~ ~- ~ - ~~-~

,

2

S = -7694.33846 rt j18575.68712

,

para el primer factor.

Y de la misma manera, para el segundo factor con K2=1.84776, se obtienen

los siguientes valores: 132

S = -18575.70958 f j7694.28425

(47)

Que se desarrollará por expansión por fracciones parciales para obtener

h(t) mediante la transformada inversa de Laplace. Entonces al calcular las

constantes complejas A y B, así como sus conjugadas, se tiene:

A =

H(S)(S+7694.33846- jl8575.68712)

_{S=-7694.33846+j18575.68712}

"c4

( S + 7 6 9 4 + j l 8 5 7 5 . 6 7 1 2 ) ( S + 1 8 5 7 5 . 7 0 9 5 8 - j 7 6 9 4 . 2 8 4 2 5 ) ( ~ ~ 5 ~ 0 9 5 8 + j 7 4 9 ~ 4 ~ ~ ~

S=-7694.33846+118575.68712

A = 0.35356

+

j0.35355

A

*

= 0.35356 - j0.35355

B= (S+7694.33846+jl8575.68712)(S+7694.33846+j18575.687l~)(S+sj7~958+/7~4~2~25)S~ ~~ ~~ ____ -p - "c4p.p

S=-I8575.70958+j7694.28425

B = -0.85356

+

j0.85356

B

*

= -0.85356 - j0.85356

1

S

f -

(48)

Siguiendo un desarrollo de manera similar con cos(k+naT):

0

Observe que h(t) tiene la forma hl(t)+hz(t)+h3(t). Trabajando con hl(t):

1 8.lk

T = -~

0.7071Z2 - 0.95322

cos(0.7854

+

18575.6871)

++

----~ ~~~~ ~ ~- - ~ ~ -

,

evaluando con

Z

= Ze

26943?B

1 i

8.lk j

ZL

+

1.77562

+

1

0.00058356.Z2 - 0.000304262

6.6848Z2

+

4.59072

+

1

H (2) = -~ -~ ~. - - ~- - ~ 1

- 0.7071Z2

+

0.98652

Z2 -1.16352+1

~o~(2.35619

+

7694.2843t) t) ~ - - ~ - ~~

~ - ,

evaluando con /18575.20958)

8. lk

Z = Ze

(49)

n

- 69.4087Z2

+

9.77382

H (2) = _ ~ ~- 2 98. 1596Z2

+

1 1 S7742

+

1

Y finalmente se tiene que H(Z)=H,(Z)+Hz(Z)+ H3(Z). AI realizar la suma de las respuestas 1 ,2 y 3 para aplicar Ec.(TEI), que puede ya implementarse con la misma estructura de filtro realizada con los BILINEALES:

H

(2)

+ H (2) + H (2) = ~ 656.0978Z5 ~- ~- - -527.8564Z4 -~ - -~ +157.8849Z3 ~. -~ -~ -16.1356Z2

+

0.99742

G (2) = ~-~ 2 -1 -~ 656.0978Z5 - _ ~~~ -527.8564Z4 -~ +157.8849Z3 - ~ - ~-16.1356Z2 ~~~ ~ ~~~~

+

0.99742 ~ (656.1773Z4 -528.0139Z3 +157.9928Z2 -16.1681Z+1)(2-1)

1 2 3 (656.1773Z4 -528.0139Z3 +157.9928Z2 -16.16812+1)(2-1)

a

0.9988 - 0804442-

+

0.2406 12- - 0.024592-

+

0.001 522-

1 - 0.804682-1

+

0.240782- - 0.024642-

+

0.001 522-

G (2) = ~~ ~- ~~ __ . ~~~ -- - . ~~ -- ~ _~

Ec

v

PB

a

.. . .

.

s4

H ( S ) = ~ -~ ~~ ~ ~~ ~~ - - ~- . ~~~ - -~ (S2

+

wc 0.76537s

+

we 2)(S 2

+

wc 1.84776s

+

we 2 )

Con los valores: WC=2x(4khz), y T=125pseg:

Como en el caso pasa-bajas, cada factor cuadrático en el denominador se

descompone en sus dos factores lineales de la siguiente manera.

Tenemos la siguiente expresión cuadrática: S + K 2 w S + w ,

,

1 c

encontrando sus raices,

2

(50)

--w K +.,i(w K ) 2 -4w, 2

c 1 - :; c 1

S =

172

mencionados con K1=0.76537:

~ - ~~~ ~~~ ~~~ ~ ~~

2

,

S = -9617.923 1 & j23219.6089, para el primer factor.

Y de la misma manera, para el segundo factor con K~4.84776, se obtienen

los

siguientes valores:

172

S = -23219.63697 f j9617.85532

Entonces se puede expresar a la función de transferencia como:

374

s 4

H(S) = ~~ ~~~ -~ -~ -~ -~ ~ ~ " ~- ~- ~

(S + 9617.9231 - j23219.6089)(S + 9617.9231 + j23219.6089)(5 + 23219.63697 - j9617.85532HS + 23219.63697 + j9617.85532)S

*

A A B B

- ~~~ ~~ ~~ ~~

- + ~~~ ~ ~~ ~ - ~

~~ + ~ .~ ~ ~~~~ ~~~ ~ ~ + ~. ~~ ~~ ~~ ~~ ~~~

S

+

9617.9231 - j23219.6089 S +9617.9231+ j23219.6089 S

+

23219.63697- j9617.85532 S

+

23219.63697

+

j9617.85532

Que se desarrollará por expansión por fracciones parciales para obtener h(t) mediante la transformada inversa de Laplace. Entonces al calcular las constantes complejas A y B, así como sus conjugadas.

A =

H(S)(S

+9617.9231- j23219.6089)i

S3

A = ~~~~ - "" - - ~ ~~ ~ - ~~ ~. -~ ~- ""

A = -0.500002773

+

j0.207104948

A*

= -0.500002773 - j0.207104948

S=-9617.9231+j23219.6089

I

(S+9617.9231+j23219.6089)(S+23219.63697-j9617.85532)(S+23219.63697+/9617.85532)~,~~9,,,,9,3,+,,232,9,~~~~

S3

B= ~~~ .~~~~ ~~~~~ -~ ._ ~- ~- ~~~~ .~ ~ ~ .~ . ~ - T ~~~ ~8

(S+9617.9231-j23219.6089)(S+9617.9231+~23219.6089)(S+23219.63697+/9617.85532)1,_23219.63697+j96]7.8~5~

B = 0.853555557

+

j0.853559728

B* = 0.853555557 - j0.853559728

S + a

-jp

S + a

+ j p

S + a - j p B S + a + j P B

(51)

,ik + ,-ik

Aplicando; cosk = ~ ~ ~ a 2cos k = e

+

e

ik -ik

3

L

-aAt

h(t) = /A'e 2cos(B

+

PAt)

+

IBje -aBt 2cos(BB

+

p

t)

A B

Donde:

a

= 961 7.923 1 a! = 23219.637

/? =23219.6089

fl

= 9617.8553

A B

A B

h ( t ) = 1.0824e -9617.9231t cos(2.7479

+

23219.60892)

+

2.4142e -23219A3697t cos(0.7854

+

9617.855322)

Se puede ahora pasar del dominio t (pero muestreado, osea t=nT) al dominio

2,

para esto se tiene el par transformado: e- naTx(nT)

e

X(eaTZ).

Donde x(nT) es cos(2.7479+23219.6089f) y10

cos(0.7854+9617.85532f).

Pero se necesita expresar la transformada

2

de cos(k+naT).

jnaT -jnaT

2

e + e

cos(naT) = ~~ ~~~~ ~~~ ~- ~ ~ x

Donde

<

indica transformada Z.

(52)

1 2 -2(e + e Z - 2 COS(UT)

z2

-22(e + e j a r ) + , 2 2 -22cos(uT)+l

2 juT 2

<[cosnaT] = - =

juT -

. ,

Siguiendo un desarrollo de manera similar con cos(k+naT):

m

Z L cos k - 2 cos(k

+

U T )

<[cos(k + naT)] = -~ - ~~ -~ ~ ~ -~ ~-

2

...

EC (Tz).

2 - 2 2 COS(UT)

+

1

Se observa que h(t) tiene la forma h~(t)+hz(t). Trabajando con hl(t):

cos(2.7479

+

23219~ Y

- 0.9235Z2

+

0.97472

Z2 - 1.62872

+

1

~o~(2.7479

+

23219.6089t)

++

~ ~~ ~ ~ ~~ . ~~ ~~~ -

,

evaluando con

1 .O824 - 0.9235Z2

+

0.97472~

37-5k Z2 - 1.62872

+

1 :z=ze

H (2) 1 ~ - ~~ 961 7.923 1

1 ~

- 1 .5424Z2

+

1.25972

1 .6702Z2 - 2.10492

+

1

H (2) ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~

1

T = ~~~

37.5k

(53)

- 0.9239Z2

+

0.79662

Z 2 - 1.93462

+

1

cos(3.5343

+

9617.85532t) e evaluando

Z = Ze

[rYEW1

con

Y finalmente se tiene que H(Z)=Ht(Z)+Hz(Z). AI Realizar la suma de las

respuestas 1 y 2 para aplicar Ec.(TEI), que puede ya implementarse con la

misma estructura de filtro realizada con

los

BILINEALES:

6 -3

2 - 1 7.2 177x1 O- - 8.08552'1 O- Z-'+ 1.23062'1 O- -S 2-2 4.15992'1 O- 2

G (Z)= ~ -~ -~ -~ ~ ~~ ~~~ ~~~~

a ₂ _{1-2.30192-1 +2.2013Z" -0.98902-3 +0.17362-4}

...

EC. V.PA.

(54)

I

Teniendo la aproximación en el dominio S:

o kl =

[

2 )(

- o ' k

+

v(cos(q)))

kl k

+

v{sen(p)))