FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA pdf

(1)

0

3

/0

8

/2

0

1

6

M

ATEMÁTICA

PARA

INGENIEROS

F

ORMACIÓN

POR

COMPETENCIAS

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Y

(2)

Dirección de Estudios Generales

2

SITUACIÓN MOTIVADORA

Conocer la cantidad de energía liberada por un sismo (Magnitud)

es de suma importancia para un gobierno, pues sin estar en la

región afectada, da una referencia del grado de destrucción

(Intensidad) causada en dicha región.

La escala de Richter

¿Cómo es posible realizar

la

medición

de

la

magnitud de un sismo?

¿Se tratará de un modelo

matemático

o

la

matemática no es útil en

este problema?

(3)

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

3

LOGROS DE APRENDIZAJE



Elabora representaciones gráfica y simbólica de la función

exponencial, logaritmo y trigonométricas mediante diversas

estrategias.

(4)

(5)

La función exponencial de base

b

tiene regla de

correspondencia

𝒇 𝒙 = 𝒃

𝒙

donde

𝑏

es una constante real

positiva

y

diferente de uno

.

En general una función exponencial por transformaciones

tiene la forma:

g

𝒙 = 𝒂 𝒃

𝒎𝒙

+ 𝒄

donde

a, m

y

c

son números reales además

𝑎

y

m

son

diferentes

de cero.

El dominio

de la función exponencial es el conjunto de

todos los reales.

LA VARIABLE VA EN EL EXPONENTE

5

(6)

Toda función

Asíntota Horizontal:

Ecuación

𝒚 = 𝒄

𝑔 𝑥 = 𝑎 𝑏

𝑚𝑥

+ 𝑐

tiene una

asíntota horizontal

.

6

Gráfica de una Función exponencial

1. Determina la ecuación de la asíntota horizontal.

2. Tabula dos puntos de referencia.

(7)

Resolución:

4

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 1.

En cada caso determine la ecuación de la asíntota

0 y

x

𝑓 𝑥 = 𝑒

2𝑥

+ 3

𝑓 𝑥 = 3 3

−𝑥+3

+ 3

𝑓 𝑥 = 4 −2

−𝑥

+

7

2

(8)

La gráfica de la

función exponencial

por transformaciones

tiene una de las

cuatro formas

siguientes

ASINTOTA HORIZONTAL

8

(9)

Resolución:

4

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 2.

Grafique en un mismo plano las funciones

0 y

x

(10)

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 3.

Grafique la función definida por

∶

𝑓 𝑥 = 2𝑒

3 𝑥+1

_{+ 3}

3

Resolución:

Paso 1. La regla de correspondencia parece desconocida, entonces se debe

buscar una forma común en caso sea posible:

𝑓 𝑥 = 2𝑒

3 𝑥+1

_{+ 3}

3

_{= 2}

3

_𝑒

3 𝑥

_𝑒

_{+ 3}

3

𝑓(𝑥) = 2𝑒

3

𝑒

1

3𝑥

_{+ 3}

3

Paso 2. Graficar la función:

(11)

Grafica de

1 1 2 3 4 5

1; 3,896

0; 3,2

𝑦 = 2𝑒

3

𝑥+1

_{+ 3}

3

11

Ejemplos para que analice el estudiante

Tabulación:

0

1 Pto. de paso

𝒚 = 𝟐𝒆

𝟑

𝒆

𝟏 𝟑𝒙

_{+ 𝟑}

𝟑

𝒙

2𝑒

3

+ 3

3

= 3,2

2𝑒

3

𝑒

1/3

+ 3

3

= 3,896

1; 3,896

(12)

(13)

La función logaritmo en base

b

tiene regla de

correspondencia

_{𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈}

𝒃

(𝒙)

donde

𝑏

es un numero real

positivo

y

diferente de uno.

En general representar una función que resulta de transformar

la función logaritmo

𝑓

es:

g

𝒙 = 𝒂 𝒍𝒐𝒈

_𝒃

(𝒎𝒙 + 𝒏) + 𝒄

donde

a, m, n

y

c

son números reales y

a, m

son

diferentes de

cero

.

13

(14)

Toda función

Asíntota Vertical:

Resuelva la ecuación

g

𝒙 = 𝒂 𝒍𝒐𝒈

_𝒃

(𝒎𝒙 + 𝒏) + 𝒄

tiene una

asíntota vertical

.

𝒎𝒙 + 𝒏 = 𝟎

14

Gráfica de la Función Logaritmo

El dominio

de esta función se obtiene resolviendo la

inecuación:

𝑚𝑥 + 𝑛 > 0

(15)

𝑙𝑜𝑔

_𝑏

𝑥 = 𝑦

si y solo si

𝑏

𝑦

= 𝑥

Observación.-

El logaritmo de

x

en base

b

es el exponente al

que hay que elevar la base para obtener el número; es decir:

Por lo tanto la función logaritmo en base

b

y la función

exponencial en base

b

están estrechamente relacionadas.

₁₅

Función Logaritmo

Para graficar la función logaritmo

1. Determina la e la asíntota vertical.

(16)

16

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 4.

En cada caso determine la ecuación de la asíntota

Resolución:

𝑓 𝑥 = −2 ln −𝑥 + 1 +

1

2 𝑔 𝑥 = 4 log

−

3

2 𝑥 + 6

3

(17)

La grafica de la

transformación

una función

logaritmo tiene

una de las

cuatro formas

siguientes

ASINTOTA VERTICAL

17

(18)

18

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 5.

Grafique las funciones en un mismo plano cartesiano

Resolución:

𝑓 𝑥 = log

_1,5

𝑥 ; 𝑔 𝑥 = log

₃

𝑥; ℎ 𝑥 = log

₄

𝑥

0 y

(19)

16

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 6.

Grafique la función

𝑓

con regla de correspondencia:

𝑓 𝑥 = log

5

2𝑥 − 1

3

_{− 3}

𝑓 𝑥 =

3

5 log 2𝑥 − 1 − 3

Tabulación

:

1

2 Pto. de paso

𝒚 =

𝟑

𝟓 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝒙 − 𝟏 − 𝟑

𝒙

− 3 = −1,732

−1,446

_{2; −1,446}

Pto. de paso

1; −1,732

Resolución:

Paso 1. La regla de correspondencia parece desconocida, entonces se debe

buscar una forma común en caso sea posible:

Paso 2. Graficar la función:

(20)

Grafica de

−1,732

2 1

0,5

−1,446

385,73

𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈

𝟓

𝟐𝒙 − 𝟏

𝟑

_{− 𝟑}

20

(21)

MATEMATICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

(22)

Resolución:

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 7.

La cantidad de material radiactivo presente en el instante

𝑡

está dado por la expresión

𝑅 𝑡 = 𝑐𝑒

𝑘𝑡

donde

𝑐

y

𝑘

so constantes reales. Si la cantidad inicial es de

𝑅

₀

kilogramos y que en 5 años esta presente los 3/4 de la cantidad inicial:

Determine la cantidad de material radiactivo presente en un instante

𝑡

cualquiera.

(23)

Resolución:

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 8.

El peso

𝑊

(en kg) de un elefante hembra está relacionado

con su edad

𝑡

(en años) mediante la relación:

𝑊 = 2600 1 − 0,5𝑒

−0,075 𝑡 3

Determine el peso de un elefante hembra recién nacido.

(24)

0

3

/0

8

/2

0

1

6

M

ATEMÁTICA

PARA

INGENIEROS

F

ORMACIÓN

POR

COMPETENCIAS

(25)

MATEMATICA PARA INGENIEROS Dirección de Estudios Generales

FUNCIÓN SENO

Y

(26)

1 Definición

Es una circunferencia de radio

uno (

𝑟 = 1

) y centro en el

origen de coordenadas.

𝑥

sen

(𝒙)

X

Y

c

os (𝒙)

21

Circunferencia Unitaria

(27)

Periodo: T =

𝟐𝝅

22

Función Seno

La regla de correspondencia de la función seno es:

𝒇 𝒙 = 𝐬𝐞𝐧(𝒙)

Gráfica

Dominio =

ℝ

Rango =

[−1; 1]

1 -1

2𝜋

𝜋

(28)

La forma general de una transformación de la función seno se

expresa como:

𝒇 𝒙 = 𝑨𝒔𝒆𝒏(𝝎 𝒙 − 𝝋)

donde

A,

𝜔

y

𝜑

son números reales.

Amplitud:

𝐴

Periodo:

T

=

2𝜋

𝜔

Frecuencia:

f

=

_𝑇

1 Desfase:

𝜑

𝜔

Función Seno

(29)

Variación del parámetro:

A

A=1

𝒚 = 𝐬𝐞𝐧(𝒙)

Función Seno

(30)

Variación del parámetro:

A

A=1,5

𝒚 = 𝟏, 𝟓𝐬𝐞𝐧(𝒙)

Función Seno

(31)

Variación del parámetro:

A

A=2

𝒚 = 𝟐𝐬𝐞𝐧(𝒙)

Función Seno

(32)

Variación del parámetro:

A

A=2,5

𝒚 = 𝟐, 𝟓𝐬𝐞𝐧(𝒙)

Función Seno

(33)

Variación del parámetro:

𝜔

T=𝟐𝝅_𝟏 = 𝟐𝝅

𝒚 = 𝐬𝐞𝐧(𝒙)

Función Seno

(34)

Variación del parámetro:

𝜔

𝑻 = 𝟐𝝅

𝟏, 𝟐 =

𝟓𝝅 𝟑

𝒚 = 𝐬𝐞𝐧(𝟏, 𝟐𝒙)

Función Seno

(35)

Variación del parámetro:

𝜔

𝑻 = 𝟐𝝅 𝟏, 𝟒 =

𝟏𝟎𝝅 𝟕

𝒚 = 𝐬𝐞𝐧(𝟏, 𝟒𝒙)

Función Seno

(36)

Variación del parámetro:

𝜑

𝒚 = 𝐬𝐞𝐧(𝒙)

𝝋 𝝎 = 𝟎

Función Seno

(37)

Resolución:

28

Ejemplos para mostrar en clase

(38)

Resolución:

28

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 10.

Grafique la siguiente función indicando dominio, rango,

amplitud, periodo, desfasamiento y frecuencia.

(39)

Función coseno

La función coseno tiene regla de correspondencia

𝒇 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙)

21

Dominio =

ℝ

(40)

Función Coseno

34

Denominamos “

tramo principal de la función coseno

” a la

representación gráfica de la función coseno restringida al

dominio

[0; 2𝜋]

.

Se dice que las características de este tramo principal son

periódicas porque se repiten en la función

𝒇 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙

.

𝒈 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝑥 ∈ [0; 2𝜋]

.

Características:

Amplitud = 1

El máximo de

𝑓(𝑥)

es 1

(41)

𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝐬𝐞𝐧

𝝅

𝟐 − 𝒙 = −𝐬𝐞𝐧(𝒙 −

𝝅

𝟐 )

𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬

𝝅

𝟐 − 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 −

𝝅

𝟐 Función Coseno

34

𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝐬𝐞𝐧

𝝅

𝟐 − 𝒙 = −𝐬𝐞𝐧(𝒙 −

𝝅

𝟐 )

𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬

𝝅

𝟐 − 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 −

𝝅

𝟐 en forma gráfica:

(42)

La forma general de una transformación de la función coseno

se expresa como:

𝒇 𝒙 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔(𝝎 𝒙 − 𝝋)

donde

A,

𝜔

y

𝜑

son números reales.

Amplitud:

𝐴

Periodo:

T

=

2𝜋

𝜔

Frecuencia:

f

=

_𝑇

1 Desfase:

𝜑

𝜔

Función Coseno

(43)

Resolución:

28

Ejemplos para mostrar en clase

(44)

44

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 12 .

Considere la función definida por

𝑓(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 −

𝜋

2

+ 1

a) Determine el dominio, el rango de

𝑓

.

b) Grafique la función

.

Resolución:

Paso 1. Se observa que se trata de traslaciones y reflexiones de la función seno, a

partir de eso se determina el dominio y rango:

Para el dominio basta con recordar que la función

𝑠𝑒𝑛𝑜

está definida para todo

número real, entonces

−𝑠𝑒𝑛 𝑥 −

𝜋₂

existe para cualquier número real, en

conclusión

𝑓(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 −

𝜋₂

+ 1

está definida en todo el conjunto

ℝ.

Luego

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ.

Para el rango: se sabe

−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 −

𝜋₂

≤ 1 ⇒ −1 ≤ −𝑠𝑒𝑛 𝑥 −

𝜋₂

≤ 1 ⇒ 0 ≤

− 𝑠𝑒𝑛 𝑥 −

𝜋₂

+ 1 ≤ 2

. Luego

𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 0; 2 .

Paso 2. Graficar la función partiendo de la gráfica de la función

𝑠𝑒𝑛(𝑥)

:

Primero se usará una traslación horizontal derecha, segundo una reflexión y tercero

una traslación vertical. La gráfica se muestra a continuación:

(45)

45

Ejemplos para que analice el estudiante

Primero: traslación

Función base

Segundo: Reflexión

(46)

46

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 13.

Considere la función definida por

𝑓 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 +

𝜋

2

+ 3

a) Determine el dominio, el rango de

𝑓.

b) Grafique la función.

Resolución:

Paso 1. Se observa que se trata de traslaciones y reflexiones de la función

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜

,

a partir de eso se determina el dominio y rango:

Para el dominio basta con recordar que la función

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜

está definida para todo

número real, entonces

−𝑐𝑜𝑠 𝑥 +

𝜋₂

existe para cualquier número real, en

conclusión

𝑓(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 +

𝜋₂

+ 3

está definida en todo el conjunto

ℝ.

Luego

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ.

Para el rango: se sabe

−1 ≤ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 +

𝜋₂

≤ 1 ⇒ −1 ≤ −𝑐𝑜𝑠 𝑥 +

𝜋₂

≤ 1 ⇒ 2 ≤

− 𝑐𝑜𝑠 𝑥 +

𝜋₂

+ 3 ≤ 4

. Luego

𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 2; 4 .

Paso 2. Graficar la función partiendo de la gráfica de la función

𝑐𝑜𝑠(𝑥)

:

(47)

47

Ejemplos para que analice el estudiante

Primero: traslación

Función base

Segundo: Reflexión

(48)

FUNCIÓN TANGENTE, FUNCIÓN COTANGENTE,

(49)

Función Tangente

Una función cotangente se denota como:

𝒇 𝒙 = 𝐜𝐨𝐭(𝒙)

(50)

Función Cotangente

Una función tangente se denota como:

𝒇 𝒙 = 𝐭𝐚𝐧(𝒙)

(51)

Función Tangente y Cotangente

En su forma general la función tangente y cotangente se

expresan como

𝒇 𝒙 = 𝑨 𝒕𝒂𝒏 𝝎 𝒙 − 𝝋 𝒚 𝒈 𝒙 = 𝑨 𝒄𝒐𝒕 𝝎 𝒙 − 𝝋

donde

A,

𝜔

y

𝜑

son números reales.

Periodo:

T

=

𝜋

𝜔

Frecuencia:

f

=

_𝑇

1 Desfase:

_𝜔

𝜑

(52)

Función Secante

Una función secante se denota como:

𝒇 𝒙 = 𝐬𝐞𝐜(𝒙)

(53)

Función Cosecante

- La gráfica presenta asíntotas - ran(f)=

ℝ−] − 𝟏; 𝟏[

Una función cosecante se denota como:

(54)

Resolución:

28

Ejemplos para mostrar en clase

Ejemplo 14.

Grafique la función: 𝑓 𝑥 = −3 tan 𝑥 +

𝜋

(55)

55

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 15.

Considere la función definida por

𝑓 𝑥 = −𝑡𝑎𝑛 𝑥 −

𝜋

2

+ 3

a) Determine el dominio, el rango de

𝑓.

b) Grafique la función

.

Resolución:

Paso 1. Se observa que se trata de traslaciones y reflexiones de la función

𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

, a partir de eso se determina el dominio y rango:

Para el dominio basta con recordar que la función

𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

no está definida en los

números que son múltiplos impares de

𝜋₂

, entonces

−𝑡𝑎𝑛 𝑥 −

𝜋₂

+ 3

no existe

cuando

𝑥 −

𝜋₂

=

2𝑛−1 𝜋₂

, 𝑛 ∈ ℤ

, es decir cuando

𝑥 = 𝑛𝜋, 𝑛 ∈ ℤ.

En conclusión

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − {𝑛𝜋: 𝑛 ∈ ℤ}.

Para el rango: se sabe

𝑅𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = ℝ

., al aplicar todas las transformaciones

mencionadas no alterará el rango . En conclusión

𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℝ.

Paso 2. Graficar la función partiendo de la gráfica de la función

𝑡𝑎𝑛(𝑥)

:

(56)

56

Ejemplos para que analice el estudiante

(57)

57

Ejemplos para que analice el estudiante

Segundo: Reflexión

(58)

58

Ejemplos para que analice el estudiante

Ejemplo 16.

Considere la función definida por

𝑓 𝑥 = −𝑐𝑜𝑡 𝑥 +

𝜋

2

− 2

a) Determine el dominio, el rango de

𝑓.

b) Grafique la función

.

Resolución:

Paso 1. Se observa que se trata de traslaciones y reflexiones de la función

co𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

, a partir de eso se determina el dominio y rango:

Para el dominio basta con recordar que la función

co𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

no está definida en

los números que son múltiplos

𝜋

, entonces

−𝑐𝑜𝑡 𝑥 +

𝜋₂

− 2

no existe cuando

𝑥 +

𝜋₂

= 𝑛𝜋 , 𝑛 ∈ ℤ

, es decir cuando

𝑥 =

2𝑛−1 𝜋₂

, 𝑛 ∈ ℤ.

En conclusión

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ −

2𝑛−1 𝜋

2

: 𝑛 ∈ ℤ .

Para el rango: se sabe

𝑅𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑡 𝑥 = ℝ

., al aplicar todas las transformaciones

mencionadas no alterará el rango . En conclusión

𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℝ.

Paso 2. Graficar la función partiendo de la gráfica de la función

𝑐𝑜𝑡(𝑥)

:

(59)

59

Ejemplos para que analice el estudiante

(60)

60

Ejemplos para que analice el estudiante

Segundo: Reflexión

(61)

36 F ORM AC IO N BA SI CA

CINCO COSAS QUE DEBEMOS RECORDAR

1.

Una función con regla de correspondencia igual a

𝑓 𝑥 =

𝑘𝑎

𝑚𝑥

+ 𝑐

tiene asíntota horizontal

𝑦 = 𝑐

.

2.

Una función con regla de correspondencia igual a

𝑓 𝑥 =

𝑎 log

_𝑏

𝑚𝑥 + 𝑛 + 𝑐

tiene como asíntota vertical a la solución

de la ecuación

m𝑥 + 𝑛 = 0

.

3.

Las fórmulas para calcular la amplitud, periodo, frecuencia y

desfase; son las mismas para la función seno y coseno.

4.

La amplitud y desfase, en las funciones trigonométricas,

corresponden a ampliaciones (o contracciones) verticales y

desplazamientos horizontales respectivamente.

(62)

Dirección de Estudios Generales 37 F ORM AC IO N BA SI CA

Tome su tiempo para reflexionar antes de responder las

siguientes preguntas:

Sobre la gráfica de las funciones especiales

1. ¿Se te presentó alguna dificultad para graficar las

funciones especiales en un plano cartesiano?

2. ¿Cual o cuales de las funciones especiales te resulta

más difícil de graficar?

3. ¿Qué acciones tomaste para superar estas dificultades?

4. Finalmente, ¿crees que superaste las dificultades?

(63)

38

ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN

En el panorama del caso

“La escala de Ritchter”, presentado

al inicio de la semana, si en una región se produce un sismo

donde la amplitud máxima alcanzada en un registro es

1,5 × 10

6 veces más grande que la amplitud del sismo de

magnitud cero ¿Qué magnitud alcanzó el sismo en dicha

región?

Considere

𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 = log 𝐴(∆) − log 𝐴

₀

(∆)

𝐴

: amplitud máxima en el registro del sismo

𝐴

₀

: amplitud del sismo de magnitud cero.

∆

: distancia epicentral

(Para más información revise el artículo de:

http://www.igp.gob.pe/hernando.tavera/documentos/publicacion/Notas_Cortas/taman_de_ sismos.pdf)