Examen 1
aEvaluación
2o Bachillerato C - Matemáticas Aplicadas a las CCSS SOLUCIONES
1. Calcula el valor de los siguientes límites:
(a) lim
x!2
x2 4
x2 5x+ 6 =
22 4 22 5 2 + 6 =
0
0 = limx!2
(x+ 2)(x 2)
(x 2)(x 3) = limx!2 x+ 2
x 3 = 4
1 = 4
El numerador se descompone fácilmente viendo quex2 4 = x2 22 es una diferencia de cuadrados, y aplicando después la conocida identidad notable correspondiente. El denominador tiene por raíces:
x2 5x+ 6 = 0,x= 5 p
25 24
2 =
5 1
2 =
3 2 ;
de ahí la descomposición re‡ejada en la resolución anterior.
(b) lim
x!+1
3x3 + 4x 1
x+ 2 = limx!+1
3x3
x = limx!+1(3x
2) = 3 (+
1)2 = +1
2. Calcula las derivadas de las funciones:
(a) f(x) =e3x ln(2x+ 5)
f0(x) = 3e3x ln(2x+ 5) +e3x 2
2x+ 5 = e
3x 3 ln(2x+ 5) + 2
2x+ 5
(b) g(x) = 3
2x x2 1
g0(x) = 2 3
2x ln 3 (x2 1) 32x 2x
(x2 1)2 =
32x [ln 9 (x2 1) 2x]
(x2 1)2
Hemos tenido en cuenta que 2 ln 3 = ln 32 = ln 9:
3. (a) Halla el valor de a para que la función f(x) =
(
(x a)2 si x 2 2
x si x >2
tenga
un mínimo en x= 1:
Como x = 1 está en el primer intervalo de de…nición de la función f; deducimos que el mínimo será precisamente el vértice de la parábola de ecuacióny= (x a)2 =x2 2ax+a2: El vértice es de abscisa x = 2a
2 = a: Luego el mínimo se presenta en x = a: Como el
mínimo def es enx= 1;deducimos que a= 1:El mínimo además valef(1) = (1 1)2 =
0:Como se observa, no es necesario utilizar derivadas para determinar el valor extremo de f para x 2; basta recordar que dicho extremo es el vértice de la parábola que describe la función para estos valores reales.
Para el valor obtenido, la función se escribe como:
f(x) =
( (x 1)2 si x 2
2
x si x >2 :
Es claro quef está de…nida para todox2R;pues la expresión 2
x está bien de…nida para cada x > 2: Es inmediato comprobar que f es continua y derivable en todo su dominio salvo quizás en x= 2: Estudiamos la continuidad y derivabilidad en este punto.
Vemos quef(2) = (2 1)2 = 1:Por otra parte,
lim
x!2
f(x) = lim
x!2
(x 1)2 = 1
lim
x!2+f(x) = limx!2+
2
x =
2 2 = 1
por lo quelimx!2f(x) = 1 =f(2);es decir,f es continua enx= 2:Faltando por conocer qué sucede en x= 2; la función derivada def es:
f0(x) =
( 2(x 1) si x <2
2
x2 si x >2 Observemos que:
lim
x!2 f
0(x) = lim
x!2 2(x 1) = 2
lim
x!2+f
0(x) = lim x!2+
2
x2 =
2 4 =
1 2
por lo que lim
x!2 f
0(x)6= lim x!2+f
0(x): Deducimos de esta manera que f no es derivable en x= 2:
4. Dada la funciónf(x) = 1 3x
3 ax2+bx 1;
(a) Calculaayb sabiendo quef tiene un máximo relativo enx= 1 y un punto de in‡exión en x= 2:
Sif tiene un máximo relativo estricto en x= 1; en particular deberá serf0(1) = 0: Como:
f0(x) = x2 2ax+b
deducimos quef0(1) = 1 2a+b = 0; es decir, 2a+b= 1:
Tambiénf tiene un punto de in‡exión en x = 2; lo que signi…ca en particular que f00(2) = 0:La segunda derivada de f es:
f00(x) = 2x 2a;
por lo quef00(2) = 0 ,4 2a = 0, a= 2 : De esta forma, como 2a+b = 1; tenemos:
2 2 +b= 1, 4 +b= 1, b= 3
La funciónf;y su derivada, se escriben, para los valores deaybconsiderados, como:
f(x) = 1 3x
3 2x2+ 3x 1 f0(x) = x2 4x+ 3
La ecuación de la recta tangente solicitada es y f(3) = f0(3)(x 3): Calculamos los valores requeridos:
f(3) = 1 33
3 2 32+ 3 3 1 = 9 18 + 9 1 = 1
f0(3) = 32 4 3 + 3 = 0
La ecuación de la recta tangente queda entonces como: y ( 1) = 0 (x 3), y = 1
Esta recta es una recta horizontal (paralela al eje de abscisas), lo que nos hace sospechar que f puede tener un extremo relativo en x = 3: Efectivamente, es un punto singular (anula a la primera derivada). Como además, f00(x) = 2x 4 y f00(3) = 2 > 0; deducimos que f es convexa en x = 3; por lo que f presenta un mínimo relativo estricto en este punto. Por eso la recta tangente en él es horizontal.
5. (a) Estudia la monotonía, los extremos y las asíntotas de la función:
f(x) =
8 > > < > > :
x2 1 si x 1 x+ 1 si 1< x 4 2x 1
x 4 si x >4
Obsérvese que Dom(f) = R; pues la expresión 2x 1
x 4 está bien de…nida para valores
de x mayores que 4. Además, claramente f es continua y derivable en su dominio salvo quizás enx= 1 y x= 4 por venir dada mediante funciones racionales (dos enteras y una fraccionaria). Para cadax2R f1;4g; la función derivada de f viene dada por:
f0(x) =
8 > > < > > :
2x si x <1 1 si 1< x <4 7
(x 4)2 si x >4
(téngase presente que 2xx 41 0 = 2(x 4) (2x 1)
(x 4)2 =
7 (x 4)2).
Dey= 2xse obtiene un punto singular: 2x= 0,x= 0;valor que pertenece al intervalo de de…nición. De las funciones y = 1 ý y = 7
(x 4)2 no se obtienen puntos singulares (no se anulan nunca). Con el valor obtenido y con los valores donde existen cambios de de…nición def; procedemos a estudiar la monotonía de f:
( 1;0) (0;1) (1;4) (4;+1)
signo def0 +
monotonía def & % & &
Por continuidad, deducimos que f tiene un mínimo relativo estricto enx= 0:El mínimo vale f(0) = 02 1 = 1: Podríamos pensar que enx= 1 hay un máximo, pero debemos comprobarlo. Observemos que f(1) = 12 1 = 0; y que:
lim
x!1
f(x) = lim
x!1
x2 1 = 0 lim
x!1+f(x) = xlim!1+( x+ 1) = 0
por lo quef es continua en x= 1: De la monotonía, deducimos entonces que f tiene un máximo relativo estricto enx= 1:El máximo vale f(1) = 0:Claramentef no es continua enx = 4; por lo que detallaremos más tarde, sobre la grá…ca y haciendo un estudio más completo, si existe algún extremo en este punto.
Estudiamos seguidamente las asíntotas. Como:
lim
x!4+
2x 1
x 4 = 7
0+ = +1;
deducimos que f tiene una asíntota vertical por la derecha de ecuación x = 4: De igual manera, como
lim
x!+1
2x 1
x 4 = limx!+1
2x
x = limx!+12 = 2;
se obtiene que f tiene una asíntota horizontal por la derecha de ecuación y = 2: La función no tiene más asíntotas de ningún tipo (para valores menores que 4, está dada por funciones polinómicas, que no presentan asíntotas de ningún tipo).
(b) Representa grá…camente la función anterior.
Con el estudio realizado anteriormente, resta obtener algunos datos de interés. La función y =x2 1 es grá…camente una parábola convexa, con vértice enx = 0
2 = 0;
por lo que las coordenadas de este punto serán (0; 1): Los puntos de corte con los ejes vienen dados por la ecuación x2 1 = 0; cuyas soluciones son x = 1; lo que signi…ca que ( 1;0)y (1;0) son esos puntos de corte. Valores particulares de la función son:
x 2 3
y 3 8
La función y = x + 1 sabemos que grá…camente es una recta (en nuestro caso sólo restringida a un segmento). Obtenemos sólo los valores particulares que nos interesan, atendiendo a donde está de…nida:
x 1 4
y 0 3
Finalmente, la hipérbola y = 2x 1
x 4 viene determinada por las asíntotas encontradas.
Tomamos algunos valores particulares para dar mayor detalle a la representación:
x 5 6 8 10
y 9 11
2 = 5;5 15
4 = 3;75 19
Representamos la función con los datos obtenidos:
Con la grá…ca se observa, para concluir el apartado (a), que f tiene un mínimo relativo estricto (en realidad es absoluto) enx= 4;y el mínimo vale f(4) = 3: Esto concluye el ejercicio.
6. El número de accidentes de trá…co en determinada provincia a lo largo del último año se ha comprobado que se comporta según la función
N(t) = 2t3 39t2+ 180t+ 350; 1 t 12;
donde t representa el mes del año.
(a) ¿En qué meses se produjeron los valores máximo y mínimo de accidentes?
(b) ¿Cuáles fueron dichos valores máximo y mínimo?
N es una función polinómica, luego continua y derivable en su dominio, el intervalo
[1;12];con función derivada:
N0(t) = 6t2 78t+ 180:
Estudiamos los puntos singulares, si los tiene, de la funciónN:
N0(t) = 0 ,6t2 78t+ 180 = 0,t2 13t+ 30 = 0,t= 3 10
Omitimos los detalles de la resolución de la ecuación anterior. Pasamos a estudiar la monotonía deN:
(1;3) (3;10) (10;12)
signo deN0 +
monotonía deN % & % Hemos tenido en cuenta que:
Por tanto, N tiene dos máximos relativos estrictos en t= 3 y t= 12 y dos mínimos relativos estrictos ent= 1 y t = 10: Como:
N(1) = 2 13 39 12+ 180 1 + 350 = 493 N(3) = 2 33 39 32+ 180 3 + 350 = 593
N(10) = 2 103 39 102+ 180 10 + 350 = 250 N(12) = 2 123 39 122+ 180 12 + 350 = 350
