Los apuntes que ellos no quieren que sepas de

Matemática V

un resumen para los ingenieros

Mecánicos y Navales

WhittiLeaks

Prologo





1 2 1 2

1 2

( ) cos cos 2 2

generalmente

f t t t T m T n

m n                

/ 2 / 2 / 2 / 2

0

( ) ( )

( ) ( )

a T T

a T T

T t t

T

f t dt f t dt

f t dt f t dt

     









Análisis Fourier

Desarrollo Serie Fourier

( )

f t de periodo T ₀ 2

T                 0 0 0 0 0 1

/ 2 / 2

0 0

/ 2 / 2

2 2 0 0 / 2 0 0 / 2

( ) cos sen

2

2 2

( ) cos ; ( )sen

( ) cos ; arctan

1 ( ) / ; ( ). 2 2 / n n n T T n n T T n

n n n n n n

n T

n n

jn t jn t

n n

T

a

f t a n t b n t

a f t n t dt b f t n t dt

T T

b

f t c c n t c a b

a

a jb

a

f t c e c c f t e dt

T                                       











  / 2 ₀

/ 2

1 ( ). 2

T

n n jn t

n n n

T

a jb

c f t e dt c c

T         





Demo:         0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1

( ) cos sen

2 cos 2 sen 2 1 ( ) 2 2 1 1

2 2 2

n n

n

jn t jn t

jn t jn t

jn t jn t jn t jn t

n n n n

n

jn t jn t jn t jn

n n n n

n n

a

f t a n t b n t

e e n t e e n t j a

f t a e a e jb e jb e

a

a e jb e a e jb e

                                  _    _             









0 0

Vale solo para las relaciones vistas anteriormente

t jn t

n

c e 

  



Error           0 0 0 1

/ 2 / 2

2 2

/ 2 / 2

( ) cos sen

2 ( ) ( ) ( )

1 1

( ) ( ) ( )

y definimos el error cuadratico medio

y asi sale Parseval... k

k n n

n

k k k

T T

k k k

T T

a

S t a n t b n t

t f t S t E

E t dt f t S t dt

T T               







Teorema de Parseval









/ 2 2

2 0 2 2

1 / 2

1 1

0 ( )

4 2

T

k k n n

n T

a

E f t dt a b

T       



 





Diferenciación e Integración de Fourier













0 0 0

1

'( ) sen cos

como se tiene de coeficiente puede ser que la derivada de una serie convergente diverga.

n n

n

f t n a n t b n t

n      



     



0 0



1 0

1

'( ) ( ) ( ) cos sen

2 o

n n

n

a t

F t f t F t b n t a n t

n  





   



 

Transformada de Fourier









1 ( ) ( ) ( ). 1 ( ) ( ) ( ) 2 jwt jwt

f t F w f t e dt

F w f t F w e dw

          





Demo de condición suficiente:





2 2

cos sen 1

( ). ( ). ( ) . ( )

( ) ( )

jwt

jwt jwt jwt

e wt wt

f t e dt f t e dt f t e dt f t dt

f t dt f t

                        











Ejercicio de guía:

Expresar G w( )en términos de F w( ) si se conoce que





( ) ( )

F w  f t ; G w( )



g t( )



y g t( )t f t. ( )

( )

( ) ( ). ( ).

( )

. ( ). ( )

d

jwt dw jwt

jwt

dF w

F w f t e dt jt f t e dt dw

dF w

j t f t e dt G w dw                







Manipulación de signo Trans. Fourier

( ) ( ) ( ) / ( ) ( ) cos ( ) ( )sen

( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Se puede probar que

Si es par

Ademas

Si

Entonces si tenemos real y par tenemos qu

F w R w jX w

R w f t wt dt X w f t wt dt

f t X w F w R w F w F w

t f t F w F w

f t                       





( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

e la transformada es par

Si es real y par

F w R w F w F w R w R w R w R w

f t F w F w

         

Función Impulso

0 ( )

0 0

t t

t

 _{ } 

 

Definición:

 

 

( ) ( ) (0)

(0) 0 ,

( ) ( )

0 0 ,

Generalmente: b

a

t t dt

t a b

t t dt

t a b

  

  



 

  



  _{ }







Relación a Heaviside:

0 0

( ) ( )

1 0

t _t

x dx u t

t 



 

_ 

 



Tren de impulsos unitarios





1

1 2 2

cos

n n

n

t nT t

T T T

 

 

 

 

    _{ }

 





Transformada Fourier de δ(t)





 

 

 

 

 

0

( ) ( ) 1

1 1

( ) 1 .

2 2

1

cos sen

2

1

cos sen

2

jwt jwt t

jwt jwt

t t e dt e

t e dw e dw

wt j wt dw

wt dw wt dw

 



 





 _{ }

 

 

 

 

 

 

  

   

  

 













0

1

( ) cos( )

2

Valor Principal

t wt dt







 

 

 

 

 

 

 



Identidad función impulso

1 1

( )

2 2

jwt jyx

δ(t)= e dw  x e dy

 

 

   





Transformadas

Constante A

 

 

( )

2 2 1

( ) 2 ( )

2

Identidad

x

jwt jwt

wjt

A

A Ae dt e dt

w e dt A A w



 

  



 _  _{ }

 

 _ 

  

    







Heaviside (Múltiples formas)

Bueler

 

1 1

( ) ( )

2 2

u t w

jw  



 

Wolfram

 

( ) ( )

2

j

u t w

w 



  

 _  _

 

Hsu (página 107, Edición español)

 

u t( ) ( )w j w 

 

Ecuación de Calor u(x,t)

Flujo de calor a través de un material homogéneo:

 

2 2

2

1 ( , , , ) ( , , , ) 0 /

siendo la conductividad termica, la densidad y el calor esp.

u x y z t K

u x y z t c

c t

K



 



   



( , ) l( , ) ( , ) ; Barra finita de 1 dimension u x t u x t v x t

Extremos de temp. fija, definimos ul.

( , ) (0, )

( , ) (0, )

l

u L t u t

u x t u t x

L 

  ; Es el grafico de

las temperaturas finales en la barra de largo L

 

 

 2

( ) ( )

( , ) cos sen

k

k g t

f x

t kc

k k

k

v x t 



_a kx b kx _e

De aquí trabajamos con _i ( , ) _{0 k}( )

t k

v v x t _ 



f x

( ,0) ( ,0) 0 para 0;

i l i

vu x u x  v x xL

0

2

0 L sen

n n i

n n

k a b v x dx

L L L

   

      _{ }

 



2

( , ) sen

n c t

L

l n

n

n

u x t u b x e

L



 _{ } 

  

  

  _{  }

 

 

Para un extremo aislado tenemos que la gradiente equivale cero en el punto u x t( , )(x a) 0

x

 _{ }

 Donde

a es la posición del extremo aislado, a=0 o a=L.

Para resolver llegamos a la expresión anterior:

( ,0) ( ,0)

i l

v u x u x , si hay un extremo de

temperatura fija, resolvemos para ese punto y luego para el (los) extremos fijos derivamos vi respecto x

 

 

' sen cos

i

l n n

k

v u

u ka kx kb kx

x x

 _{  } _{  }

 



Luego:

 

 

0 0

2 2

cos sen

L L

k i k i

a v kx dx b v kx dx

L L





 



Anexo Fourier

Cuál es el desarrollo Fourier exponencial de

( ) 4cos3 sen 7

f x  x x para 0 x 2?Cuales cn son nulos?

0 0 0

0 2

0

3 3 7 7

0

1 1

0 0 3

2

2

4 cos 3 sen 7 4

2 2

( )

0 3 3 no es nulo

x

j x j x j x j x

j nx j nx j nx

n n n

n n

T T

e e e e

x x

j

f x c e c c e c e

c j nx j x n c

   

  



_{  }











 

 

  

 

  

     

 

  

   

      







Y así igualando se saca que cn 0 para n 3, 3, 7, 7

0

7 7

3 3

2 2

2 2

j x j x

j nx j x j x

n

je je

c e e e

 

   



 



   



Algebra Lineal (El Regreso)

Contenido relevante a la materia, leer a gusto.

Pseudovector: Vector que cambia sentido (de

signo) si se le aplica una reflexión al sistema de coordenadas.

;

Sean A y B vectores  A B C C es pseudovector Escalar

Pseudoescalar

Escalar Se pueden probar facilmente con operaciones tensoriales Pseudovector

Vector Pseudovector

A B A C C C A B A C C C

  



  _



  



  _

  



  _

Cambio de Coordenadas

1 2 3 1 1 1

1 2 3 2 2 2

3 3 3

1 2 3

2 2 2 2

1 2 3

, , , ,

' ' ' '

' ' ' '

' ' '

'

'

Cosenos Direc

Sean los versores fund. y otros versores ortogonales entre si.

I J K I J K

I I J K I I J K

J I J K J I J K

K I J K

K I J K

I

     

     

  

  

  

  

      



    _   

 _{  }

   _

   2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 ' ' 1

det( )

tores

Donde es la matriz cambio de base

J K

A A A

A

  

  

  

   

 

 

_{ }   

 

 

Matrices Cuadrada

( ) 1

'

. det( )

Sea la matriz cambio de base y de dimension sea una transformacion lineal entre dos espacios de dimension Los componentes de serian

y sean los componentes de ij

ij ij

A n n x n

x Ax

n A a

A A a  A

 



  1

1 2

1

1 1

1 1

( )

' ...

1 0 0 0 1 .

0 0 0 1

su inversa

tal que

Definimos la matriz de Kronecker como

La matriz identidad espacio n

h jh j h h h h nh h

j

n n

ij hi hj ih jh

h h

n

hi hj ij

h

x x x x x

a a

a A A

   

  

 



  



    

 

 

 

 

 _{ }

 

 









1 0

si si ij

n

i j i j  _{ } 

 

Matrices Simétricas/Anti-Simétricas

Simétrica: aij aji Anti-simétrica: aij  aji

















1 1

2 2

1 1

2 2

es simetrica y es anti-simetrica Toda matriz es una suma de una matriz simetrica y otra antisimetrica

t t

t t

A A A A

A A A A A

 

    

Propiedades Varias

1

. .

det( . ) det( . )

det( ) det( )

1

det( )

det( )

t

A B B A

A B B A

A A

A

A



  

Transformaciones y Matrices Ortogonales





1

'

' '

espacio una transformacion lineal que

no varia el origen de coordenadas. Sea la matriz identidad. Si t es ortogonal y ademas t

t

x Ax n

E

AA E A A A

x Ax x A x





  

   

Propiedades

1 1

2

1 . det( ) det( )

det( ) :

1 det( ).det( ) det( ) 1

Condicion necesaria y suficiente para ortogonalidad:

n n

hi hj ij ih jh ij

h h

t t

t

a a a a

A A E AA E

A Dem

A A A

 

 

  

  



 _

 







Matriz de Inercia

Hay literalmente mil formas de parametrizar una barra… pero ojito, solo una es la forma más fácil de hacerlo. Se mostrará al lector la forma premium de hacer los ejercicios de la guía.

xx xy xz yx yy yz zx zy zz

I I I

I I I

I I I

   

 

 _  _

_{ } 

 

I

La matriz de inercia esta compuesta por los valores de los momentos respecto de todas las permutaciones de los ejes. Mas sobre

parametrizaciones y momentos en el Resumen Comprensivo (Matemática III)

Tensores Cartesianos

Que trabajemos con tensores cartesianos

implica que todas las transformaciones van a ser ortogonales. Se usa la notación tij para denotar un tensor T de segundo orden (tiene dos índices) cuyas componentes son tij, aij va referir a los componentes de la matriz cambio de base A.

Convención de Einstein

1 1 2 2 1

1 1 1

...

...

n

i i i i n n h h

i n

i j i i j i j n j n n h n i

a b a b a b a b a b a b

a b c a b c a b c a b c a b c





     

    





Reglas:

(i) Si un índice aparece dos veces, indica una sumatoria.

(ii) Si un índice aparece solo una vez puede tomar cualquier valor. Ej. ai bi vale para

1, 2,3

i . Se le dice un índice libre. Verificar también que los índices libres en ambos lados coincidan. ai bk esta mal! (iii) Cada suma solo puede tener dos letras

iguales como máximo: Bien. Mal! i i i i i i i

a b c d

c d a 

Con esta convención la condición de ortogonalidad se puede reescribir así: a ahi hjij a aih jhij

Ley de Transformación

Sea tijkl... un tensor de orden n, transformación va ser ... ... ...

ijkl ip jq kr ls pqrs

t a a a a t

Propiedad transitiva con tensor 2do orden tij



ij ip jq pq ij ip jq pq ij ip jq ph qk hk

t a a t t a a t

t a a a a t

      

  

 

¡Note que NO se repiten los índices más de dos veces!

Operaciones con Tensores Cartesianos

Al momento de trabajar con tensores, es de sumo interés cómo se comporta la transformación, tanto que nos interesa definir las operaciones al momento de aplicar la regla de transformación.









;

Ejemplo Orden 2:

: Ejemplo Orden 2:

ij ij ij ih jk hk ij ih jk hk

ij ij ih jk ij ij

ij ih jk hk

t s t a a t s a a s

t s a a t s

t a a t

 



 

 

   

 

Suma / diferencia :

Producto escalar

: equivale a un nuevo tensor de orden de la suma de cada tensor individual. Ejemplo:

tal que

ijh ij h h hk k

ijh ij h ip jq hk pq k ip jq hk pqk

s t u u a u

s t u a a a t u a a a s 

 

    

2 : Solo para orden

Igualando dos indices y sumando respecto del indice igualado, el resultado es un tensor donde han desaparecido estos dos indices. Ejemplocon tensor , tercer ordT



Contraccion de indices

 

11 22

111 221 1 11

: ...

?

... , , ... en, espacio

donde es un tensor orden 1, espacio

Quien es

Piensen que en este caso

iik k k nnk k k

k

k nn n nnn

n

t t t t u u n

u

u t t t t t

    

     

: ejemplo con un tensor es un nuevo tensor tal que

ij

ji ij ji

ij ji jh ik hk jh ik kh ik jh kh

t

t u t

u t a a t a a u a a u

 

    

Permutacionde indices

: Sea un campo de tensoresij

ij hk

ih jk

k k

t

t t

a a

x x



 



 

Derivacion de tensores

Delta de Kronecker (espacio 3)

Definido anteriormente, el símbolo delta de Kronecker es ij. En esta materia se lo va trabajar en espacio 3, ósea que i y j toman valores de 1 a 3.

1 0 0

0 1 0

0 0 1

ij



 

 

  

 

 

El _ij tiene una propiedad interesantísima llamada sifting o la propiedad del cernido, en español

... ... ... ...

pqr j ilk jk pqr k ilk

b  b

La expresiónb_{pqr... ...j ilk} denota un tensor cualquiera con un índice j libre. Como ven, el delta busca su primer índice y lo reemplaza con el segundo.

Símbolo de Levi-Civita (espacio 3)

Su utilidad yace en la facilidad con la que se pueden escribir productos vectoriales usándolo. El símbolo Levi-Civita



ijk tiene los índices i j k, , que

toman valores de 1 a 3 tal que

1 123

1 123

0 2

si es una permutacion de si es una permutacion de

si o mas indices son iguales ijk

ijk ijk 

  

 _

 

par impar

123 231 312 1 ; 213 321 132 1

         

Un truquito útil es el de la permutación deijk

 

...

ijk jki jik kji etc

      

Por último, la siguiente identidad te saca de apuros

det

ip iq ir ijk pqr jp jq jr kp kq kr

  

    

  

 

 

 _{ }

 

 

El operador Nabla

Vector   i i formado por las derivadas parciales respecto de cada eje de coordenados. Se aplica la regla de cadena a campos tensoriales igual que en Matemática III.













Ejemplo: _i A B_{p q} A_p _iB_q B_q _iA_p Operaciones Vectoriales



























 

 



,

Sean y vectores

y campos vectoriales: Propiedades:

i i

ijk i j k

A B C

A B A B

A B A B A B

d

A B A B A B A B

dt

A B C B C A C A B

A B B A

A B C A B A C

  

   

    

       

   

     

Corrección a la Ley de Transformación

Ocurre que si la transformación que se le aplica a un Pseudovector es impropia (una reflexión de un eje) cambia su signo, una propiedad intrínseca de

Pseudovector. Para corregir esto podemos aprovechar la siguiente propiedad de la matriz cambio de base

1 det( )

1

para rotaciones puras para reflexiones/impropias

A   

 

 la corrección para un pseudotensorsijkl... es

... ... ...det( )

ijkl ip jq kr ls pqrs

Ejemplos

Demostrar 



A B



   B A A B









 





 









ijk ikj

i jki j k jki i j k j jki i k i

B A

k j

A B A B A B A B

A B A B B A A B

 

  

 

  

        

          QED

   

   

 

2 2

3 12 , 6, 0 7 , 18, 0

Densidad : ( , , ) 12 7 18 6 13 0,1 : ( )

Encuentre la matriz de inercia de una barra delgada,

homogenea de masa que tiene sus extremos ubicados en: y en metros.

Parametrizamos con

Kg

M

x y z L

L

t t





      

    

 





2 2

1 _{2 2}

0

1 _{2 2}

0

( ), ( ), 0 12 5 , 12 6, 0 ( ) 5,12, 0 ( ) 5 12

(0,1) ( ) ( ) ( )

745 . 25 120 144 144 144 36

3 (12 5 )

Siempre que la parametrizacion

tenga se va cancelar zz

xy

x t y t t t

t t L

t L I x t y t t dt

M

L t t t t dt M

L

I M t

 

 

  

       



 

   _  _ 

      

 





 

1 0

1 ₂

0

(12 6) 109 277

25 120 144 0

3

0

Como el problema se

simplifica bastante y ademas: y para simplificarlo aun mas, empiezen calculando y asi:

yy

xx zz yy xz yz

yy xx zz xx yy

t dt M

I M t t dt M z t

I I I I I

I I I I I

 

 

 _   _   

    

 





468 327 0

327 277 0

0 0 745



 

 

  _{ }

 

 

I

Bibliografía

Hsu, Hwei P. Análisis de Fourier. Argentina: Addison-Wesley Iberoamericana, 1987.