Topolog´ıa Algebraica: Una introducci´ on

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(1)

introducci´

on

Sergio Plaza

1

Semestre de Primavera 2010

1Depto. de Matem´atica, Facultad de Ciencias, Universidad de Santiago de Chile,

(2)

1

Espacios Topol´

ogicos Usuales

1

1.1

Espacio Euclideano . . . .

1

1.2

El disco unitario . . . .

2

1.3

Esfera Unitaria . . . .

2

1.4

Producto de Discos . . . .

3

1.5

Cilindro . . . .

3

1.6

Disco cerrado como espacio cuociente . . . .

3

1.7

Suma topol´

ogica de espacio . . . .

4

1.8

Espacios Lenticulares . . . .

6

1.9

Espacios Lenticulares Generalizados . . . .

6

1.10 Toros . . . .

7

1.11 Espacio Proyectivo Real . . . .

7

1.12 Espacio Proyectivo Complejo . . . .

10

1.13 Grupos Cl´

asicos . . . .

11

1.14 Acci´

on de Grupos sobre Espacios Topol´ogicos . . . .

14

1.14.1 Ejemplos de acciones de grupos topol´ogicos . . . .

15

1.15 Espacios Homog´eneos . . . .

16

1.16 Ejercicios . . . .

20

2 Homotop´ıa

21

2.1

Homotop´ıa de Aplicaciones . . . .

21

2.2

Espacios Contractibles . . . .

31

(3)

2.3

Retractos . . . .

34

2.4

Homotop´ıa y Extensi´

on de Aplicaciones . . . .

39

3 Grupo Fundamental

42

3.1

Producto de Caminos . . . .

42

3.2

Grupo Fundamental . . . .

45

3.3

Dependencia del grupo fundamental respecto del punto base .

49

3.4

Homomorfimo inducido . . . .

52

3.5

Grupo fundamental de grupos topol´ogicos . . . .

57

4 Teorema de Seifert – van Kampen

60

4.1

alculo del grupo fundamenetal de algunos espacios . . . . .

67

4.2

Grupo fundamental de superficies . . . .

69

5 Grupo fundamental del c´ırculo

73

5.1

Aplicaciones del grupo fundamental de c´ırculo . . . .

78

5.2

Grupo fundamental de algunos grupos cl´asicos

. . . .

80

6 Espacios de recubrimiento

85

7 Grupo fundamental y espacios de recubrimiento

93

7.1

Grupo fundamental de un espacio de ´orbitas . . . .

94

8 Existencia de Levantamientos

97

9

Recubrimiento Universal

106

9.1

Condici´

on necesaria para existencia del recubrimiento universal106

10 Ejercicios parte 1

111

11 Grupos de Homolog´ıa de Complejos Simpliciales

129

11.1 Simplices . . . 129

(4)

11.4 Grupo de cadenas, grupo de ciclos y grupo de bordes . . . . 132

11.4.1 Operador borde . . . 133

11.4.2 Significado geom´etrico de

r

–ciclo y

r

–borde . . . 136

11.5 Grupos de homolog´ıa simplicial . . . 137

11.6 Ejemplos de c´

alculo de homolog´ıa . . . 139

11.7 Conexidad y grupos de homolog´ıa

. . . 151

11.8 Estructuras de los grupos de homolog´ıa . . . 152

11.9 N´

umeros de Betti y el teorema de Euler–Poincar´e . . . 153

12 Homolog´ıa Singular

156

12.1 Homolog´ıa 0–dimensional . . . 159

12.2 Relaci´

on entre

π

1

(

X

) y

H

1

(

X,

Z

) . . . 161

12.3 Homomorfismo inducido en homolog´ıa singular . . . 165

12.4 Homolog´ıa reducida . . . 167

12.5 Axioma de homotop´ıa para homolog´ıa singular . . . 167

12.6 Homolog´ıa relativa . . . 171

12.7 Homomorfismo inducido en homolog´ıa reducida . . . 172

12.8 Teorema de excisi´

on . . . 175

12.9 Aplicaciones . . . 176

12.10F´

ormula de K¨

unneth para homolog´ıa singular . . . 180

12.11Sucesi´

on de Mayer–Vietoris . . . 181

12.12Sucesi´

on de Mayer-Vietoris para homolog´ıa reducida . . . 182

13 Homolog´ıa de algunos espacios

184

13.1 Complejos esf´ericos . . . 184

13.1.1 Espacio adjunci´

on . . . 184

14 Homolog´ıa de suspensi´

on, cilindro y cono

195

14.1 Espacio suspensi´

on . . . 195

14.2 Cilindro de una aplicaci´

on . . . 197

14.3 Cono de una aplicaci´

on

. . . 200

(5)

15 N´

umeros de Betti y caracter´ıstica de Euler–Poincar´

e

205

16 Orientaci´

on en Variedades

208

17 Cohomolog´ıa singular

213

18 Productos cup y cap

218

18.0.1 Producto cap . . . 220

(6)

Espacios Topol´

ogicos Usuales

En este cap´ıtulo describimos algunos espacios topol´ogicos que seran de uso corriente en las notas.

Comenzamos con los m´as simples.

1.1

Espacio Euclideano

El primer y m´as usual espacio que conocemos es el espacion euclideano que es definido como

Rn=

{(x1, x2, . . . , xn) : xi∈R}=R| ×R× · · · ×{z R} n copias

(1.1)

De modo an´alogo se define el espacio complejo Cn, es decir, Cn=C

×C× · · · ×C

| {z }

n copias

(1.2)

En el texto, en muchas ocaciones necesitamos identificar Rn (resp. Cn) con

el subespacio de Rm (resp. de Cm), donde n < m. Esto lo hacemos de la siguiente

forma

Rn=

{(x1, . . . , xn, xn+1, . . . , xm)∈Rm : xn+1=· · ·=xm= 0}

(resp.Cn=

{(z1, . . . , zn, zn+1, . . . , zm)∈Cm : zn+1=· · ·=zm= 0}.)

(7)

Usamos la notaci´on Rn ֒ Rm (resp. Cn ֒ Cm) para la identificaci´on

anterior.

Observaci´onPara n= 0 , el espacio R0 se reduce s´olo al origen, es decir, R0=

{0}.

Para x= (x1, . . . , xn)∈Rn, se define lanorma euclideanadenotada por ||x||,

est´a es la m´as la usual, es decir,

||(x1, . . . , xn)||= (x12+· · ·+x2n)1/2. (1.3)

1.2

El disco unitario

El disco unitario en Rn es definido por Dn=

{xRn :

||x||<1}, (1.4)

donde Para n >1 , se tiene que Dn = f−1( ]− ∞,1[ ) , donde f : Rn −→ R es definida por f(x) =||x||2.

El discounitario cerradoes definido por

Dn={xRn :

||x||61}=f−1( ]

− ∞,1] ),

1.3

Esfera Unitaria

La esfera unitaria Sn en Rn+1 es definida por Sn=

{x∈Rn :

(8)

Definamos f : Rn+1 −→ R por f(x) = ||x||2 1 , tenemos entonces que Sn=f−1(0) .

1.4

Producto de Discos

La aplicaci´on h:Dp

×Dq

−→Dp+q definida por

h(x, y) =

                      

||y||

p

||x||2+||y||2(x, y) 0<||x||6||y||

||x||

p

||x||2+||y||2(x, y) 0<||y||6||x||

0 x=y= 0

es un homeomorfismo. El lector puede describir una forma geom´etrica de obtener esta f´ormula.

1.5

Cilindro

El cilindro n–dimensional Cn es el producto C=Sn−1

×R.

Para cada n > 1 , el espacio euclideano agujereado, Rn− {0}, es

homeo-morfo (difeohomeo-morfo) al cilindro n–dimensional Cn. Para verlo, definimos el

home-omorfismo (difehome-omorfismo C∞) es f : Rn

− {0} −→ Sn−1

×R por f(x) =

1

||x||x,log(||x||)

. Su inverso f−1 : Sn−1 ×R −→ Rn − {0} es definido por

f−1(y, t) =ety.

1.6

Disco cerrado como espacio cuociente

El disco cerrado Dn puede ser visto como un espacio cuociente, es decir, homeo-morfo a un espacio cuociente.

Por ejemplo, si en el espacio producto Sn−1

×I identificando el subespacio

Sn−1× {0} a un punto, digamos 0Dn, entonces Dn es homeomorfo al espacio

cuociente descrito. Para verlo, consideremos la aplicaci´on q : Sn−1×I −→ Dn

definida por q(x, t) =tx. Es f´acil ver que la aplicaci´onq es continua y sobreyectiva. Adem´as, satisfaceq(x, t) =q(x′, t) si y s´olo si t=t= 0 y x

6

(9)

q induce una aplicaci´on continua y biyectiva ¯q:Sn−1×I/Sn−1× {0} −→Dn, tal

que el siguiente diagrama es conmutativo.

Sn−1

×I Dn

π q

¯

q c

X =Sn−1

×I/Sn−1

× {0} donde π :Sn−1

×I −→Sn−1

×I/Sn−1

× {0} es la aplicaci´on couciente. Ahora, como Sn−1×I/Sn−1× {0} es compacto y Dn es Hausdorff se sigue que ¯q es un

homeomorfismo.

1.7

Suma topol´

ogica de espacio

Sean X e Y dos espacios topol´ogicos. Lasuma topol´ogicade X con Y, denotada por X∨Y , es definida como la uni´on disjunta de dos replicas de X e Y, respec-tivamente. La topolog´ıa es dada como sigue. Un conjunto V XY es abierto si, y s´olo si, V X es abierto en X y V Y es abierto en Y.

Si f : A ⊂ X −→ Y es una aplicaci´on continua. Podemos “pegar” X e

Y con respecto a f, esto es, introducimos la relaci´on de equivalencia “∼” sobre

XY, por (

xy si xA, y Y y f(x) =y x1∼x2 si x1, x2∈A y f(x1) =f(x2).

El espacio cuociente X Y / es denotado por Xf,AY . En particular si

A={x0} ⊂X y f :X −→Y es continua y f(x0) =y0, entonces X∪f,{x0}Y es denotado por X∪x0,y0Y, y es llamado el wedge (=cu˜na) de los espacios X e Y .

Proposici´on 1.1 La esfera unitaria Sn

⊂Rn+1 (n>1) es homeomorfa a Dn

∪i,Sn−1

Dn, donde i:Sn−1

−→Sn−1 es la aplicaci´on identidad.

Demostraci´on. Definamos los espacios B1={(x1, . . . , xn+1)∈Sn : xn+1 >0}

y B2 = {(x1, . . . , xn+1) ∈ Sn : xn+1 6 0}. Tenemos que B1 ∪B2 = Sn y

(10)

Es claro que la proyecci´on (x1, . . . , xn+1) −→ (x1, . . . , xn) determina un

homeomorfismo desde B1 (resp. desde B2) sobre el disco unitario cerrado D n

. Ahora, esa proyecci´on es la identidad sobre Sn−1. El espacio Dn

∪i,Sn−1 D

n

es por lo tanto homeomorfo a Sn.

Proposici´on 1.2 La esfera unitaria Sn es homeomorfa al espacio cuociente Dn/

,donde Sn−1=Dn

∼ ∗ ( un punto).

Demostraci´on. Sean B1 ={x∈D n

: ||x||61/2} y B2={x∈D n

: 1/26

||x||61}. Tenemos que B1 es homeomorfo a D n

y B2 es homeomorfo al espacio Sn−1

×I. Sea q:Dn−→Dn/=Dn/Sn−1 la proyecci´on. Tenemos

a) Dn/Sn−1 es un espacio compacto, uni´on de q(B

1) y q(B2) .

b) q(B1) es un conjunto cerrado en D n

/Sn−1, homeomorfo a Dn.

c) q(B2) es un conjunto cerrado en D n

/Sn−1, homeomorfo a Dn.

d) q(B1)∩q(B2) es homeomorfo a Sn−1.

Luego, Dn/Sn−1 es homeomorfo a Sn.

Por ejemplo, tenemos que si f :Sn−1 =Dn

−→ {∗} ( un punto) entonces

Dn/Sn−1≈Dnf,Sn−1{∗} ≈Sn. (Aqu´ı≈ significa homeomorfo a.) Tenemos tambi´en que S1= [0,1]/0

∼1 y S2=D2/S1

Proposici´on 1.3 La esfera unitaria Sn (n>1) es homeomorfa a Dp

×Sq

∪i,Sp−1×Sq

Sp−1

×Dq+1, donde p+q =n e i : Sp−1

×Sq =(Dp

×Sq)

−→ Sp−1

×Sq =

∂(Sp−1

×Dq+1) es la aplicaci´on identidad.

Demostraci´on. Sean B1 = {(x1, . . . , xn+1) ∈ Sn : x21+· · · +x2p 6 1/2} y

B2={(x1, . . . , xn+1)∈Sn : x21+· · ·+x2p>1/2}. Tenemos que B1∪B2=Sn y

B1∩B2={(x1, . . . , xn+1)∈Sn : x12+· · ·+x2p= 1/2}=Sp−1×Sq. La aplicaci´on

h:B1−→D p

×Sq definida por

h(x1, . . . , xn+1) =

√2x1, . . . ,

2xp,q xp+1

1−Pi6px2i

, . . . ,q xn+1

1−Pi6px2i

(11)

es un homeomorfismo, y la aplicaci´on k:B2−→Sp−1×D q+1

definida por

k(x1, . . . , xn+1) =

 x1

q

1−Pi>p+1x2i

, . . . ,q xp

1−Pi>p+1x2i

,√2xp+1, . . . ,

2xn+1

 

tambi´en es un homeomorfismo. Las aplicaciones h y k satisfacen k◦h−1 es la

identidad sobre Sp−1

×Sq. Lo cual concluye la prueba.

Por ejemplo, S3 =D2

×S1

∪S1

×D2 es la descomposici´on de S3 como la

uni´on de dos toros s´olidos pegados por el borde T2=S1×S1

Figura.

1.8

Espacios Lenticulares

Sea S2n+1 = {z = (z

1, . . . , zn+1) ∈ Cn+1 : ||z|| = Pn+1j=1 ||zj||2 = 1} la esfera

unitaria de dimensi´on 2n+ 1 y sea λ una ra´ız primitiva p–´esima de la unidad, es decir, λ S1 y λp = 1 . El grupo Z

p act´ua de modo propiamente

discon-tinuo y libre sobre S2n+1 mediante la acci´on Θ : Z

p×S2n+1 −→ S2n+1 dada

por Θ(r,(z1, . . . , zn+1)) = (λrz1, . . . , λrzn+1) . El espacio de ´orbitas, L2n+1p = S2n+1/Z

p es una variedad conexa de dimensi´on 2n+ 1 , llamada el espacio lentic-ularde dimensi´on 2n+ 1 y grupo Zp.

1.9

Espacios Lenticulares Generalizados

Consideremos un subgrupo finito de S1. Es sabido que estos subgrupos son ciclicos

e isomorfos a Zk (aditivo) para alg´un k. Un tal grupo Zk act´ua sobre C, con

la acci´on dada por z−→e2πikjk−1z, donde k

(12)

existe una acci´on de Zk sobre Cn+1 y sobre S2n+1, esta es dada por

(z1, . . . , zn+1)→

e2πi1/kz1, e2πik1/kz2, . . . , e2πikn/kzn+1

.

Esta acci´on es propiamente discontinua y libre cuando kj y k son coprimos

(j = 1, . . . , n). El espacio cuociente S2n+1/Z

k es llamado espacio lenticular

gener-alizado, y es denotado por L(k, k1, . . . , kn) . Cuando n= 1 reobtenemos el espacio

lenticular L(k, k1) .

1.10

Toros

El toro n–dimensional, Tn, es la variedad Tn =S1

× · · · ×S1

| {z }

n−veces

.

Proposici´on 1.4 El toro n–dimensional Tn es homeomorfo al espacio cuociente Rn/Zn, donde la acci´on de Zn sobre Rn es dada por Θ : Zn

×Rn

−→ Rn,

Θ((m1, . . . , mn),(x1, . . . , xn)) = (x1+m1, . . . , xn+mn).

Demostraci´on. Sea π : Rn −→ Rn/Zn la proyecci´on can´onica. Definamos f : Rn −→ Tn por f(x

1, . . . , xn) = (exp(2πix1), . . . ,exp(2πixn)) . Tenemos que f

es continua y sobreyectiva. Definamos ¯f :Rn/Zn

−→Tn por ¯f([(x

1, . . . , xn)]) =

f(x1, . . . , xn) . Ahora es f´acil verificar que ¯f es una biyecci´on continua. Como Rn/Zn es compacto y Tn es Hausdorff, se sigue que ¯f es homeomorfismo.

Rn Tn

π

f

¯

f c

Rn/Zn

1.11

Espacio Proyectivo Real

El grupo multiplicativo R∗=R

−{0} act´ua de modo propiamente discontinuo sobre

Rn+1

(13)

Rn+1− {0}/Rpuede ser interpretado como el conjunto de las rectas pasando a trav´es del origen en Rn+1. El espacio proyectivo n–dimensional es el espacio de

´orbitas de la acci´on de R∗ sobre Rn+1

− {0} dadas por las homotecias. Sea R la relaci´on de equivalencia sobre Rn+1

− {0} asociada a la acci´on de

R∗ anterior. La relaci´on R sobre Sn

⊂Rn+1

− {0} puede ser interpretada como la relaci´on de equivalencia asociada a la acci´on del grupo Z2 ={1,−1} sobre Sn

dada por (±1, x)−→ ±x.

Proposici´on 1.5 La inclusi´on can´onica i:Sn ֒Rn+1− {0} induce un homeo-morfismo ¯i:Sn/Z

2−→RPn.

Demostraci´on. Basta ver que el siguiente diagrama conmuta.

Sn Rn+1− {0}

π1

i

π c

Sn/Z

2 RPn

Sn/Z 2

¯i

Complete los detalles de la prueba.

Teorema 1.1 RPn es una variedad compacta y conexa de dimensi´on n.

Demostraci´on. Ver Notas de Cursos de Variedades Diferenciables.

Proposici´on 1.6 El espacio proyectivo RPn es homeomorfo al espacio cuociente de Dn identificando antipodalmente los puntos de Sn−1=Dn (es decir, identi-ficamos x con x, para todo xSn−1).

Demostraci´on. F´acil y se deja a cargo del lector.

Tenemos que RP0 es un punto, y RP1 es homeomorfo a S1. Para mostrar

esto ´ultimo consideremos la aplicaci´on f : S1

−→ S1 dada por f(z) = z2, y

definamos ¯f :S1/(z

(14)

biyecci´on continua, como S1/z ∼ −z es compacto y S1 es Hausdorff se sigue el

resultado.

S1 S1

π f

¯

f c

S1/(z

∼ −z)

Para n < m la inclusi´on can´onica i : Sn ֒

→Sm induce un homeomorfismo

desde RPn sobre un subespacio cerrado de RPm, el cual identificamos con Rn.

x

−x

−1 1

• •

x∼y

Finalmente, identificando 1∼ −1 se obtiene S1.

Proposici´on 1.7 Sea q :Sn−1 =Dn

−→ RPn−1 la proyecci´on can´onica. En-tonces RPn es homeomorfo al espacio Dn∪q,Sn−1RPn−1.

Demostraci´on. F´acil y se deja cargo del lector.

(15)

Usando el corolario anterior, tenemos la siguiente manera de visualizar el plano proyectivo 2–dimensional, ´esta es como sigue. Dentro del espacio R3 considere una

banda de M¨obius M2, con borde incluido, tenemos que ∂M =S1. Ahora considere R3R4, y eliga un punto w fuera del hiperplano R3. Una cada punto del borde

de la banda de M¨obius con w a trav´es una linea recta. El espacio obtenido es el plano proyectivo incrustado en R4.

1.12

Espacio Proyectivo Complejo

El grupo multiplicativo C∗=C−{0} act´ua de modo propiamente discontinuo sobre

Cn+1

− {0} por las homotecias z −→λz. El espacio de ´orbitas Cn+1

− {0}/C∗ puede ser interpretado como el conjunto de las rectas complejas, es decir, planos reales 2–dimensionales, pasando a trav´es del origen en Cn+1.

El espacio proyectivo complejo de dimensi´on n, CPn es el espacio de ´orbitas Cn+1

− {0}/C∗.

Sea R la relaci´on de equivalencia sobre Cn+1

− {0} inducida por la acci´on de

C∗. La restricci´on de R a S2n+1 puede ser interpretada como la relaci´on de

equiva-lencia asociada aS1 sobre S2n+1, dada por (λ,(z

1, . . . , zn+1))−→(λz1, . . . , λzn+1) ,

donde λS1

⊂C.

Proposici´on 1.8 La inclusi´on can´onica i:S2n+1֒

→Cn+1

− {0} induce un home-omorfismo ¯i:S2n+1/S1

−→CPn.

Demostraci´on. F´acil y se deja a cargo del lector.

Proposici´on 1.9 Sea q : S2n−1 =D2n

−→CPn−1 la proyecci´on can´onica (en este caso, llamada fibraci´on de Hopf ). Entonces CPn es homeomorfo a D2n∪q,S2n−1

CPn−1.

Demostraci´on. Sea f :D2n −→CPn

la aplicaci´on definida por f(z1, . . . , zn) =

[(z1, . . . , zn,1− ||(z1, . . . , zn)||)] . Sea i:CPn−1 ֒→CPn la inclusi´on can´onica. La

aplicaci´on h: CPn−1

∪D2n −→CPn, igual a i sobre CPn−1 e igual a f sobre D2n induce un homeomorfismo desde CPn−1

∪q,S2n−1D

2n

en CPn.

Corolario 1.2 El complemento de CPn−1 en CPn es homeomorfo a R2n.

(16)

Demostraci´on. ComoCP0 es un punto yCP1 es homeomorfo al espacio cuociente

de D2 identificando su borde a un punto, se tiene lo pedido.

1.13

Grupos Cl´

asicos

Denotemos por M(n,C) el ´algebra compleja de dimensi´on n2 de las matrices

cuadradas de orden n×n con coeficientes complejos.

Sea AM(n,C) , por A∗ denotamos las matriz AT, donde si A= (a

ij)n×n

entonces A= (¯aij)n×n es la matriz cuyos coeficientes son los conjugados

(comple-jos) de los coeficientes de A, y AT = (a

ji)n×n indica la matriz traspuesta de A.

La matriz A∗ es llamada matriz adjunta de A.

En M(n,C) consideremos los siguientes conjuntos:

1. GL(n,C) ={A∈ M(n,C) : det(A)6= 0}= det−1(C− {0}) , grupo lineal complejo.

2. U(n,C) = {A GL(n,C) : AT = A−1

} = {A GL(n,C) : A∗A = I

}, grupo unitario.

3. SU(n,C) = {A U(n,C) : det(A) = 1} = {A GL(n,C) : A∗A =

I y det(A) = 1}, grupo especial unitario.

An´alogamente, para M(n,R) el ´algebra de las matrices cuadradas n×n con coeficientes reales , consideramos los siguientes conjuntos:

1. GL(n,R) = GL(n,C)∩M(n,R) = {A ∈ M(n,R) : det(A) 6= 0} = det−1(R− {0}, grupo lineal.

2. O(n,R) =U(n,C)M(n,R) ={AGL(n,R) : AAT =I

}, grupo ortogo-nal.

3. SO(n,R) = SU(n,C)M(n,R) = {A ∈ O(n,R) : det(A) = 1}, grupo especial ortogonal.

Para n < m, identificamos M(n,C) con la sub´algebra de M(m,C) , formada por las matrices A= (ajk)m×m tales que ajk =δjk para j > n o k > n, donde

δjk es la delta de Kronecker, la cual es dada por

δjk=

(

1 si j=k

(17)

Tenemos que:

1. GL(n,C) es un conjunto abierto de M(n,C) , pues GL(n,C) = det−1(C

{0}) y la funci´on det :M(n,C)−→C es continua, de hecho diferenciable de clase C∞.

2. GL(n,R) = det−1(R− {0}) , luego es un conjunto abierto de M(n,R) . 3. GL(n,C) y GL(n,R) son grupos topol´ogicos.

4. U(n,C) , SU(n,C) , GL(n,C) , O(n,R) y SO(n,R) son subgrupos cerrados de GL(n,C) .

5. Sea f :U(n,C)−→ SU(n,C)×S1 dada por f(A) = (A/det(A),det(A)) es

un isomorfismo.

An´alogamente, la funci´on f : O(n,R) −→ SO(n,R)× {−1,1} dada por

f(A) =

A

det(A),det(A)

es un isomorfismo.

6. La aplicaci´on exponencial, exp : M(n,C)−→GL(n,C) , la cual es definida por

exp(A) = ∞

X

k=0

Ak

k!

es un difeomorfismo desde una vecindad de 0 en M(n,C) sobre una vecin-dad de I (matriz identidad) en GL(n,C) . An´alogamente, para exp :

M(n,R)−→GL(n,R) . 7. Sea AU(n,C) . Entonces

(a) exp(A)∈U(n,C) si y s´olo si A+A∗= 0 , es decir, A es antisim´etrica. (b) exp(A)∈ SU(n,C) si y s´olo si A+A∗= 0 y traza(A) = 0 .

(c) exp(A)∈GL(n,R) si y s´olo si A∈M(n,R) .

(d) exp(A)∈ SO(n,R) si y s´olo si AM(n,R) y A+AT = 0 , es decir,

A es antisim´etrica.

8. SO(2,R) y U(1,C) son isomorfos a S1.

Proposici´on 1.10 Los grupos topol´ogicos U(n,C), SU(n,C), O(n,R) y SO(n,R)

(18)

Demostraci´on. F´acil, se deja a cargo del lector.

Proposici´on 1.11 Los grupos GL(n,C), U(n,C), SU(n,C), GL(n,R) y SO(n,R)

son variedades topol´ogicas de dimensi´on 2n2, n2, n2

−1, n2 y (n2

−n)/2, re-spectivamente.

Demostraci´on. Ver Notas de Curso de Variedades.

Proposici´on 1.12 El grupo topol´ogico SU(n,C) es conexo por caminos.

Demostraci´on. Sea A∈ SU(n,C) entonces existe B ∈ SU(n,C) tal que BAB−1=

C es una matriz diagonal, C= (cjk)n×n, con cjk=δjke2πiλj y λ1+· · ·+λn= 0 .

Luego, α:I−→ SU(n,C) definido por α(t) =Ct= δjke2πitλj

n×n es un camino

en SU(n,C) , uniendo I con C. Por lo tanto, β : I −→ SU(n,C) dada por

β(t) =B−1C

tB es un camino en SU(n,C) uniendo I con A.

Corolario 1.4 El grupo U(n,C) es conexo por caminos.

Demostraci´on. Inmediata.

Proposici´on 1.13 El grupo SO(n,R) es conexo por caminos.

Demostraci´on. Sea A∈ SO(n,R) entonces existe B ∈ SO(n,R) tal que C =

BAB−1 tiene la forma

                 

1 0 0

. .. ...

0 1 0 0

0 cos(2πλ1) sen(2πλ1)

−sen(2πλ1) cos(2πλ1)

!

0 0

. ..

0 cos(2πλp) sen(2πλp)

−sen(2πλp) cos(2πλp)

!                  

(los lugares no llenos, son 0’s)

(19)

Corolario 1.5 El grupo O(n,R) tiene dos componentes conexas por caminos.

Proposici´on 1.14 1. GL(n,R) es homeomorfo a O(n,R)×Rn2 +n 2 .

2. GL(n,C) es homeomorfo a U(n,C)×Rn2

.

3. GL(n,C) es conexo.

Demostraci´on. Se deja a cargo del lector.

Proposici´on 1.15 Los espacios homog´eneos O(n+1,R)/O(n,R) y SO(n+1,R)/SO(n,B)

son ambos homeomorfos a Sn

Demostraci´on. Tenemos que O(n+ 1,R) y SO(n+ 1,R) operan transitivamente sobre la esfera Sn, y los subgrupos de isotrop´ıa del punto (0, . . . ,0,1) son

respecti-vamente, O(n,R) y SO(n,R) . Luego, como O(n+ 1,R) es compacto se tiene que

Sn es homeomorfo a

O(n+ 1,R)/O(n,R) y tambi´en a SO(n+ 1,R)/SO(n,R) .

Proposici´on 1.16 Los espacios homog´eneos U(n+1,C)/U(n,C) y SU(n+1,C)/SU(n,C)

son ambos homeomorfos a S2n+1.

Demostraci´on. An´aloga a la anterior.

1.14

Acci´

on de Grupos sobre Espacios Topol´

ogi-cos

Sean H y G grupos y ψ:H −→G un homomorfismo. Definamos la aplicaci´on Θ : H ×G −→ G por Θ(h, g) = ψ(h)·g. Entonces Θ es una acci´on por la izquierda de H sobre G.

(20)

1.14.1

Ejemplos de acciones de grupos topol´

ogicos

1. GL(n,R) act´ua de modo natural sobre Rn, en este caso Θ :GL(n,R)× Rn

−→Rn es dada por Θ(A, x) =Ax.

2. Sea H GL(n,R) un subgrupo, entonces ΘH = Θ|H : H ×Rn −→ Rn

define una acci´on. Observemos que ΘH = Θ◦i, donde i: H ֒→GL(n,R)

es la aplicaci´on inclusi´on. Como i y Θ son continuas, se sigue que ΘH es

continua. 3. Sea H = ( a b 0 a !

: a >0

)

⊂GL(2,R),

no es dif´ıcil ver que H es una variedad 2–dimensional C∞, la cual es un grupo. Las aplicaciones producto e inversi´on son ambas C∞. Adem´as, es claro que H es un conjunto cerrado de GL(2,R), por lo tanto H es un subgrupo del grupo GL(2,R). La aplicaci´on, ΘH:H×R2−→R2, es dada

en este caso por

ΘH a b 0 a ! , x y !!

= ax+by

ay

!

la cual es claramente es continua.

Definici´on 1.1 Sea G un grupo que act´ua sobre un conjunto M. Dado el con-junto AM, definimos G·A ={g·a : g G , a A}. La ´orbita de xM

bajo la acci´on de G es, orbG(x), la cual denotamos simplemente por G·x, es el

conjunto G·x={g·x : gG}. Si G·x=x, decimos que x es un punto fijo de la acci´on de G sobre M. Si G·x=M para alg´un xM, decimos que G act´ua de modo transitivo sobre M. En este caso, G·x=M para todo x∈M.

Ejemplo. Sean M = Rn y G = GL(n,Rn). Entonces 0 Rn es un punto

fijo de la acci´on de GL(n,Rn) sobre Rn definida arriba. Adem´as, esta acci´on

es transitiva sobre Rn

− {0}, pues si x Rn, x

6

= 0 entonces existe una base

F = {f1, . . . , fn} de Rn tal que f1 = x. Expresando esa base en t´erminos de la

base can´onica, es decir, escribiendo fi =Pnj=1aijei, i = 1, . . . , n, se tiene que

x=Ae1, donde A= (aij)∈GL(n,R). Luego cada x∈R−{0}est´a en la ´orbita de

(21)

es la esfera Sn

kxk = esfera de radio kxk y centro en el origen. Por otro lado, el origen es el ´unico punto fijo deH.

Ahora si G es un grupo topol´ogico y M es un espacio topol´ogico, y Θ :

G×M −→ M es una acci´on, definimos p ∼q si y s´olo si existeg ∈G tal que

q= Θ(g, p) , adem´as, es una relaci´on de equivalencia. AM/G se le llama espacio de ´orbitas. Dotamos M/G con la topolog´ıa cuociente inducida por la proyecci´on can´onicaπ:M −→M/G .

Teorema 1.2 Sea Gun grupo topol´ogico y H ⊂G un subgrupo topol´ogico. En-tonces la proyecci´on can´onicaπ:G−→G/H es continua y abierta. Adem´as,G/H

es Hausdorff si y s´olo siH es cerrado.

Demostraci´on. Topolog´ıa general.

Definici´on 1.2 Sea G un grupo topol´ogico que act´ua sobre un conjunto X y sea

x X, el grupo de isotrop´ıa o estabilizador de x es el subgrupo Gx ={g ∈ G :

g·x=x}.

Lema 1.1 SeaG un grupo topol´ogico que act´ua transitivamente sobre un conjunto

M. Entonces para todox, y∈M, se tiene que Gx es isomorfo aGy.

Demostraci´on. Sea x6=y, entonces existeg G tal queg·x=y. Definamos

φ:Gx −→Gy por φ(k) = g−1kg , se tiene que φ es el isomorfismo buscado. La

verificaci´on es f´acil y se deja al lector.

Luego en el caso en que un grupo act´ua transitivamente sobre un conjunto, podemos hablar del grupo de isotrop´ıa como el grupo de isotrop´ıa de cualquier punto del conjunto.

1.15

Espacios Homog´

eneos

Definici´on 1.3 Decimos que un epacio topol´ogico M es homog´eneo si existen un grupo topol´ogico G y un subgrupo topol´ogicoH ⊂G tal queM =G/H.

Ejemplo. La esferaSn. El grupo

O(n+ 1) act´ua de modo natural sobreSn. La

acci´on es dada por Θ(A, x) =Ax, la cual es transitiva. El grupo de isotrop´ıa de

e1= (1,0,· · ·,0)∈Sn es el grupo de las matrices de la forma,

1 0

0 A

!

(22)

Luego Sn=O(n+ 1)/O(n) . An´alogamenteSn=SO(n+ 1)/SO(n) .

Teorema 1.1 SiG act´ua transitivamente sobreM, entonces existe una correspon-dencia biyectiva entreM y G/H, donde H es el grupo de isotrop´ıa (la acci´on es considerada por la izquierda).

Demostraci´on. Sea x0 ∈M, fijo. Definimos la correspondenciaf : G/Gx0 −→

M porf(g·Gx0) =Lg(x0) , es f´acil probar que f es la biyecci´on buscada.

Ejemplos.

1. RPn

. El conjunto de rectas pasando por el origen en Rn+1. El grupoO(n+1)

act´ua transitivamente sobre la variedad RPn como sigue: Θ(A,[p]) = [Ap],

consideremos la recta generada por e1 = (1,0,· · ·,0), ella es transformada

en s´ı misma por las transformaciones ortogonales siguientes,

±1 0

0 A

!

, dondeA∈ O(n)

El grupo de isotrop´ıa es por lo tanto isomorfo al producto directo O(1)× O(n), de donde

RPn=

O(n+ 1)/(O(1)× O(n)) 2. G= (R,+) act´ua sobre S1 =

{e2πiϕ : ϕ

∈ R} como sigue: Lt(e2πiϕ) =

e2πi(t+ϕ). Como e2πi= 1, el grupo de isotrop´ıa de 1 es isomorfo a Z, luego S1=R/Z.

En general, si Tn = S1

× · · · ×S1, (n–veces), es el toro n–dimensional,

tenemos la acci´on de (Rn,+) sobre Tn dada por

L(t1,...,tn)(e

2πiϕ1, . . . , e2πiϕn) =

e2πi(t1+ϕ1), . . . , e2πi(tn+ϕn)

y el grupo de isotrop´ıa es Zn,por lo tanto Tn=Rn/Zn.

3. Variedad de Stiefel Vn,k. Cada punto de esta variedad es un conjunto

ortonormal ordenado de kvectores X = (v1, . . . , vk), vi ∈Rn, hvi, vji=

δij y kvik= 1, donde δij es la delta de Kronecker.

Toda matriz A∈ O(n) transforma un punto x= (v1, . . . , vk)∈Vn,k en un

(23)

La variedad de Stiefel Vn,k es una subvariedad en Rnk. De hecho los

vec-tores v1, . . . , vk ∈Rn escritos en una base ortonormal cualquiera en Rn son

caracterizados por sus coordenadas vi = (xi1, . . . , xin), i = 1, . . . , k. Las

cantidades xij, i= 1, . . . , k, j= 1,· · ·, n, son las coordenadas de un punto

en Rnk. Esas coordenadas est´an relacionadas por un sistema de k(k+ 1)/2

ecuaciones

hvi, vji=δij = n

X

s=1

xisxjs, i , j= 1, . . . k i6j

La variedad de Stiefel Vn,k es una subvariedad de dimensi´on nk−

k(k+ 1) 2 en Rnk.

En efecto, como O(n) opera transitivamente sobre Vn,k basta construir una

parametrizaci´on en un punto cualquiera de Vn,k. Sea este punto x0 =

(xij), donde xij = δij, i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , n. Para construir una

parametrizaci´on en torno a x0 basta mostrar que la matriz jacobiana del

sistema de ecuaciones anterior tiene rango k(k+1)2 en el punto x0, lo cual es

claro.

Ahora sea xij =xij(t) una curva en Vn,k tal que (xij(0)) =x0. Tenemos

n

X

s=1

xis(t)xjs(t) =δij i , j= 1, . . . , k, i6j,

xij(0) =δij i= 1, . . . , k , j= 1, . . . , n .

El vector velocidad ξij= dxdtij|t=0 de esta curva verifica la ecuaci´on,

0 = d

dt

n

X

s=1

xis(t)xjs(t)

!

=ξij+ξji, i, j= 1, . . . , k ,

luego Tx0Vn,k consiste de los vectores ξij, i= 1, . . . , k, j = 1, . . . , n, tales que ξij =−ξij, i, j= 1, . . . , k.

Como O(n) act´ua transitivamente sobre Vn,k podemos buscar el grupo de

(24)

de Rn en una base ortonormal v

1, . . . , vn ∈ Rn. En el sistema de

coorde-nadas elegido la matriz ortogonal que deja los vectores v1, . . . , vkinvariantes

tiene la forma siguiente,

      

1 · · · 0 0 ..

. . .. ... ... 0 · · · 1 0 0 · · · 0 A

      

, dondeA∈ O(nk).

Luego el grupo de isotrop´ıa es O(nk), es decir,

Vn,k =O(n)/O(n−k).

Es f´acil ver tambi´en que

Vn,k=SO(n)/SO(n−k).

En particular,

Vn,n = O(n)

Vn,n−1 = SO(n)

Vn,1 = Sn−1

4. Variedad de Grassmann G(n, k,R)

Los puntos de la variedad de Grassmann son los k-planos pasando por el origen en Rn. El grupo

O(n) act´ua transitivamente sobre Rn y ello induce

una acci´on natural sobre Gn,k como sigue: elijamos un k-plano P ∈ Gn,k

y A ∈ O(n), entonces es claro que A(P) es un k-plano. Busquemos un grupo de isotrop´ıa de P, para ello introducimos un sistema de coordenadas ortogonales en Rn de modo que los primeros kvectores est´en contenidos en

P. Las matrices ortogonales que dejan P invariante son de la forma

A 0

0 B

!

, dondeA∈ O(k) y B ∈ O(nk).

Luego Gn,k =O(n)/(O(k)×O(n−k)), de donde es clara la igualdad Gn,k=

(25)

5. Espacios homogeneos del grupo unitario U(n).

U(n) = {AGL(n,C) : AA¯T=I} ⊂GL(n,C)

SU(n) = {A∈U(n) : det(A) = 1} ⊂U(n)

Sea S2n−1

⊂R2n=Cn la esfera unitaria compleja, S2n−1=

{(z1, . . . , zn)∈ Cn :

|z1|2+· · ·+|zn|2= 1}. Como antes se prueba

(a) S2n−1=U(n)/U(n

−1) =SU(n)/SU(n1) (b) CPn−1=U(n)/(U(1)

×U(n−1)), plano proyectivo complejo (c) GC

n,k=U(n)/(U(k)×U(n−k)), variedad de Grassmann compleja.

1.16

Ejercicios

1. Pruebe que si M = G/H entonces dimM = dimG−dimH. Calcule dimGC

n,k.

2. Estudie los ejemplos,

(a) SO(2n)/U(n); (b) SU(n)/SO(n);

(c) SO(p+q)/SO(p)×SO(q); (d) SU(p+q)/SU(p)×SU(q);

(26)

Homotop´ıa

Introduciremos la noci´on de homotop´ıa, la cual es la m´as fundamental en topolog´ıa algebraica.

2.1

Homotop´ıa de Aplicaciones

Dados dos espacios topol´ogicos X e Y, denotamos por C(X, Y) el conjunto de aplicaciones continuas de X en Y. EnC(X, Y) definiremos una relaci´on de equiva-lencia, “∼” , llamada homotop´ıa. Intuitivamente homotop´ıa significa que dadas dos aplicaciones continuas f0, f1:X −→Y , podemos deformar la imagen de f0 en la

imagen de f1 dentro del espacio Y .

f0

f1

f0(X)

f1(X)

X

Y

Figura 2.1

en la figura (2.1) podemos deformar la imagen de f0 en la imagen de f1 dentro de

Y.

(27)

f0

f1

f0(X)

f1(X)

X

Y

Figura 2.1

en la figura (2.1) no podemos deformar la imagen de f0 en la imagen de f1 dentro

del espacio Y pues existe un “hoyo”.

En todo lo que sigue, salvo menci´on contraria, por I denotamos el intervalo [0,1] .

Definici´on 2.1 Sean f0, f1 : X −→ Y aplicaciones continuas. Decimos que f0 es homot´opica a f1 si, existe una aplicaci´on continua F :X×I−→Y tal que

(

F(x,0) = f0(x)

F(x,1) = f1(x) para todo xX.

La aplicaci´on F es llamada una homotop´ıa entre f0 y f1. Algunas veces

us-amos la notaci´on f0∼F f1 o F :f0∼f1 para indicar expl´ıcitamente la homotop´ıa

entre f0 y f1, cuando sea necesario, si no simplemente escribimos f0∼f1.

Para cada t∈I, definimos la aplicaci´on Ft:X −→Y por Ft(x) =F(x, t) .

Es claro que Ft es continua, luego dar la homotop´ıa F equivale a definir una

familia continua a 1–par´ametro (Ft)t∈I de aplicaciones continuas de X en Y. La

continuidad de la familia significa que la aplicaci´on (x, t)−→ Ft(x) es continua.

Tenemos F0=f0 y F1=f1. Es com´un pensar en el par´ametro t, como el tiempo,

de esta forma una homotop´ıa puede ser pensada como un proceso de deformaci´on de la aplicaci´on f0, donde tal deformaci´on tiene lugar en una unidad de tiempo.

(28)

1. Caminos. Un camino en X es una aplicaci´on continua f :I−→X. Cada camino f : I −→ X es homot´opico a la aplicaci´on constante εf(0) :

I−→X, definida por εf(0)(t) =f(0) , para todo t∈I.

En efecto, sea F :I×I−→X dada por F(s, t) =f((1−t)s) . Es claro que

F es continua, y satisface F(s,0) =f(s) y F(s,1) =f(0) =εf(0).

2. Sea X uno de los espacios Rn o Dn =

{xRn :

||x||<1} (disco unitario

n–dimensional centrado en el origen). Sea f : X −→ Y una aplicaci´on continua. Entonces f es homot´opica a la aplicaci´on constante εf(0) :X −→

Y, dada por εf(0)(x) =f(0) .

En efecto, consideremos la aplicaci´on F :X×I−→Y dada por F(x, t) =

f((1−t)x) . Se tiene que F es continua, y satisface F(x,0) = f(x) y

F(x,1) =f(0) =εf(0).

3. Sean f0, f1:X−→Rn o f0, f1:X −→Dn aplicaciones continuas, entonces

f0∼f1.

En efecto, sea F :X×I−→Rn (o Dn) dada por F(x, t) = (1

−t)f0(x) +

tf1(x) . Es claro que F es continua, y satisface F(x,0) =f0(x) y F(x,1) =

f1(x) . Notemos que la deformaci´on la producimos a lo largo del segmento de

recta que une f0(x) y f1(x) para cada x∈X, por esta raz´on F es llamada homotop´ıalineal entre f0 y f1.

Lo mismo vale cambiando Rn o Dn por un conjunto convexo de un espacio

vectorial normado.

4. Sean f0, f1:X −→Y dos aplicaciones aplicaciones constantes, f0(x) =p

y f1(x) =q para todo x∈X. Entonces f0 y f1 son homot´opicas si y s´olo

si p y q pertenecen a la misma componente conexa por caminos de Y. En efecto,

() Si F :f0∼f1, entonces para cada x∈X la aplicaci´onα:I −→X,

dada por α(t) =F(x, t) es un camino uniendo p y q.

(⇐) Si p y q pertenecen a la misma componente conexa por caminos de

Y, existe un camino α:I−→Y tal que α(0) =p y α(1) =q. Definamos

F :X×Y −→Y, porF(x, t) =α(t) , y se tiene que F : f0∼f1.

5. Sean f, g:Sn

−→Sn aplicaciones continuas tales que f(x)

6

=g(x) para todo xSn, es decir, si a:Sn

−→Sn es la aplicaci´on antipodal a(x) =

(29)

entonces f 6=a◦g. Se tiene f ∼g.

En efecto, notemos que la condici´on f(x)6=g(x) significa que para cada

x ∈ Sn el segmento de recta en Rn+1 uniendo f(x) y g(x) no pasa

por el origen. Luego podemos definir F : Sn

×I −→ Sn por F(x, t) =

(1t)f(x) +tg(x)

k(1−t)f(x) +tg(x)k, es inmediato que F es continua y satisface F(x,0) =

f(x)

||f(x)|| =f(x) y F(x,1) =

g(x)

||g(x)|| =g(x) .

−f(x)

f(x)

g(x)

Dos casos particulares

(a) Si f : Sn

−→Sn no tiene puntos fijos, es decir, f(x)

6

=x para todo

x∈Sn, entonces f a.

En efecto, tenemos que f(x)6=x=a◦a(x) para todo x∈Sn.

(b) Si f :Sn−→Sn es tal que f(x)

6

=−x para todo x∈Sn, es decir, f

no tiene puntos antipodales. Entonces f ∼IdSn. En efecto, f(x)6=−x=a◦IdSn(x) para todo x∈Sn. 6. Si n es impar, entonces la aplicaci´on antipodal a:Sn

−→Sn es homot´opica

a la aplicaci´on identidad IdSn de Sn.

En efecto, como n = 2k+ 1 es impar podemos considerar Sn = S2k+1

R2(k+1) = Cn+1, y los puntos de de Sn pueden ser interpretados como

(k+1)–uplas de n´umeros complejos (z0, . . . , zk) tales que |z0|2+· · ·+|zk|2=

1 . Dados z = (z0, . . . , zk) ∈ Sn y u ∈ C, con |u| = 1 , definimos uz

por uz = (uz1, . . . , uzk) . Es inmediato que uz ∈ Sn. Ahora, sea H : Sn

(30)

y satisface H(z,0) = z y H(z,1) = eπiz = z = a(z) . (Recuerde que

ea+ib= ea(cos(b) +isen(b)) .)

Nota. Afirmamos que sin es par entonces la aplicaci´on antipodal a:Sn −→ Sn no es homot´opica a la aplicaci´on identidad. La prueba de esta afirmaci´on

queda pendiente por el momento, la daremos m´as adelante.

7. Campos de Vectores y Homotop´ıas en Sn

Un campo continuo de vectores tangentes en Sn es una aplicaci´on continua

v : Sn −→ Rn+1 que satisface hv(x), xi = 0 para todo x Sn. Una

singularidad de v es un punto x0∈Sn tal que v(x0) = 0 .

x v(x)

Afirmaci´on 2.1 Si n es impar, digamos n = 2k1 entonces existe un campo continuo de vectores tangentes sin singularidades en Sn.

En efecto, tenemos que S2k−1 R2k, luego podemos escribir los puntos

xR2k en la forma x= (x

1, . . . , xk, y1, . . . , yk) . Sea v :S2k−1 −→S2k−1

dada por v(x1, . . . , xk, y1, . . . , yk) = (−y1, . . . ,−yk, x1, . . . , xk) . Es claro que

v es continua y satisface v(x)6= 0 y hv(x), xi= 0 para todo x∈S2k−1.

Afirmaci´on 2.2 Si existe un campo continuo de vectores tangentes en Sn entonces la aplicaci´on antipodal es homot´opica a la aplicaci´on identidad.

En efecto, sea v:Sn−→Rn+1 un campo continuo de vectores tangentes sin

singularidades en Sn. Definamos la aplicaci´on f : Sn

−→ Sn por f(x) = v(x)+x

(31)

f(x)

x+v(x)

x v(x)

Es claro que f es continua. Como v(x)6=x para todo x∈Sn, se tiene que

f(x)6=x=a◦a(x) , luego f ∼a. Resta probar que f ∼IdSn, y usando que la relaci´on de homotop´ıa es transitiva (se mostrar´a luego) se tiene que

f IdSn∼a.

Sea H :Sn×I −→Sn dada por H(x, t) = x+tv(x)

||x+tv(x)||. Tenemos que H es continua y satisface H(x,0) =IdSn(x) y H(x,1) =f(x) . Lo que concluye la prueba de la afirmaci´on.

Tenemos lo siguiente

1. n impar = Existe un campo continuo de vectores tangentes sin singulari-dades sobre Sn.

2. Existe un campo continuo de vectores tangentes sin singularidades sobre Sn

= la aplicaci´on antipodal a : Sn

−→ Sn es homot´opica a la aplicaci´on

identidad de Sn.

3. n impar = Existe un campo continuo de vectores tangentes sin singulari-dades sobre Sn = la aplicaci´on antipodal a:Sn −→Sn es homot´opica a

la aplicaci´on identidad de Sn.

4. Existe un campo continuo de vectores tangentes sin singularidades sobre Sn

= la aplicaci´on antipodal a : Sn

−→ Sn es homot´opica a la aplicaci´on

identidad de Sn sin prueba−→ n impar.

Resumiendo lo probado hasta ahora, tenemos el siguiente teorema.

(32)

Teorema 2.2 (Poincar´e–Bohl) Sea E un espacio vectorial normado. Si f, g :

X−→E− {0} son aplicaciones continuas tales que ||f(x)g(x)||<||f(x)|| para todo xX, entonces f g.

Demostraci´on. Basta probar que en estas condiciones que 0 / [f(x), g(x)] =

{(1t)f(x)+t g(x) : tI} para todo xX, es decir, 0 no pertenece al segmento de recta uniendo f(x) y g(x) , pues si 0∈[f(x), g(x)] para alg´un x∈X entonces

||f(x)−g(x)||=||f(x)||+||g(x)||>||f(x)||.

Hecho lo anterior, podemos definir la homotop´ıa lineal F(x, t) = (1−t)f(x) +

t g(x) entre f y g.

Observaci´on. Cabe notar que el contradominio Y juega un rol importante en las homotop´ıas de aplicaciones f0, f1 :X −→ Y, pues es dentro de Y donde ocurre

la deformaci´on. De hecho puede ocurrir que dos aplicaciones f0, f1 : X −→ Y′,

con Y′ Y no sean homot´opicas, pero consideradas como aplicaciones de X en Y si lo sean, por ejemplo tomando Y′ =R

− {0} e Y =R dos aplicaciones

f0, f1:X −→Y′ constantes f0(x) =−1 y f1(x) = 1 para todo x∈X no pueden

ser homot´opicas, pero consideradas como aplicaciones de X en R si lo son. Ahora impondremos algunas restricciones a las homotop´ıas, las cuales nos ser´an ´utiles m´as adelante.

Definici´on 2.2 (Homotop´ıa relativa) Sea AX y sean f0, f1:X −→Y aplica-ciones continuas tales que f0(x) =f1(x) para todo x∈A, es decir, f0|A=f1|A. Decimos que f0 es homot´opica a f1 relativo a A, y usamos las notaciones f0∼f1

relA o F : f0∼f1 relA si, existe una homotop´ıa F :X×I−→Y entre f0 y

f1, tal que para todo a∈A y todo t∈I se tiene que F(a, t) =f0(a) =f1(a).

Note que en esta definici´on, la homotop´ıa deja los puntos f0(a) =f1(a) para

todo aA, invariantes durante la deformaci´on.

Ejemplos.

1. Sea r:Rn

− {0} −→Rn

− {0} dada por r(x) = ||1x||x. Afirmamos que r

es homot´opica a la aplicaci´on identidad relativo a Sn.

En efecto, sea H : (Rn

− {0})×I −→ Rn

(33)

t)x+tr(x) . La aplicaci´on H es continua y satisface

      

H(x,0) =x=Id(x)

H(x,1) =r(x)

H(a, t) =a para todo aSn y todo t

∈I .

2. Sea X=S1

×R el cilindro y sea A=S1

× {0} ∼=S1 (aqui X ∼=Y significa que X e Y son homeomorfos). La aplicaci´on p:X−→S1

× {0} dada por

p(x, y, z) = (x, y,0) es homot´opica a la aplicaci´on identidad relativo a A. En efecto, definamos la aplicaci´on H : X ×I −→ X por H(x, y, z, t) = (x, y, tz) . Es f´acil verificar que la aplicaci´on H satisface lo pedido.

El siguiente lema de topolog´ıa nos ser´a de gran utilidad para probar que apli-caciones continuas definidas por “ramas” son continuas bajos sus hip´otesis.

Lema 2.1 (Gluing Lemma=lema del pegado) Sea X espacio topol´ogico. Supong-amos que podemos escribir X = A∪B, donde A y B son conjuntos abiertos (resp. cerrados). Dadas aplicaciones continuas f :A−→Y y g:B −→Y tales que f|(AB) =g|(AB), definamos la aplicaci´on h:X −→Y por

h(x) =

(

f(x) si xA g(x) si xB. Entonces h es continua.

Demostraci´on. Haremos la prueba en el caso que ambos A y B son conjuntos abiertos en X, en el caso que ambos sean cerrados, la prueba es completamente an´aloga.

Sea O Y un conjunto abierto. Tenemos h−1(O) = h−1(O)

∩(AB) = (h−1(O)A)(h−1(O)B) =f−1(O)g−1(O) , este conjunto es abierto, pues f

y g son continuas.

(34)

Demostrac´on. La relaci´on de homotop´ıa relativa a A es una relaci´on refleja, pues basta tomar la homotop´ıa H(x, t) =f(x) para todo xX y todo tI.

Para mostrar que es sim´etrica, vemos que si F : f g rel A, entonces

K(x, t) =F(x,1−t) satisface K: g∼f relA.

Finalmente, para mostrar que es transitiva tenemos que si F : f g relA

y G: gh relA, entonces la aplicaci´on H :X×I−→Y definida por

H(x, t) =

(

F(x,2t) si 06t61/2

G(x,2t1) si 1/26t61

satisface H(x,0) =F(x,0) =f(x) , H(x,1) =G(x,1) =h(x) , y si aA y tI

entonces H(a, t) =f(a) =g(a) = h(a) . Resta probar que H es continua. Para esto notemos que para todo xX y para t= 1/2 se tiene que F(x,1) =g(x) y

G(x,0) =g(x) , es decir, F|X× {1/2}=G|X× {1/2}, por lo tanto H es continua por el Gluing Lemma.

Ahora usaremos la noci´on de homotop´ıa para dar una relaci´on de equivalencia sobre la clase de los espacios topol´ogicos.

Definici´on 2.3 Sea X, Y espacios topol´ogicos. Decimos que X e Y tienen el mismo tipo de homotop´ıa o que ellos son homot´opicamente equivalentes, y usamos la notaci´on X Y , si existen aplicaciones continuas f :X −→Y y g:Y −→X

tales que gf IdX y f◦g∼IdY .

Las aplicaciones f, g como en la definici´on son llamadasinversas homot´opicas, tambi´en decimos que f es una equivalencia homot´opica y que g es su inversa homot´opica.

Ejemplos.

1. Si X e Y son homeomorfos entonces X ≡Y. En este caso, si f :X −→Y

es un homeomorfismo entonces f es una equivalencia homot´opica y su inversa homot´opica es el homeomorfismo inverso f−1.

2. Rn≡ {0}.

En efecto, sean f :Rn

−→ {0} y g:{0} −→Rn dadas por f(x) = 0 para

todo x∈Rn y g(0) = 0 , respectivamente. Tenemos que gf(x) = 0 para

todo x ∈ Rn. Sea H : Rn×I −→ Rn dada por H(x, t) = tx, es claro

que H es una homotop´ıa entre IdRn y g◦f. Por otra parte, se tiene que

(35)

3. Sean X =S1×R e Y =S1× {0} entonces XY .

En efecto, sean p : S1 ×R −→ S1× {0} (proyecci´on) e i : S1 × {0} ֒ S1

×R (inclusi´on can´onica) las aplicaciones dadas por p(x, y, z) = (x, y,0) e

i(x, y,0) = (x, y,0) , respectivamente. Tenemos que pi(x, y,0) =p(x, y,0) = (x, y,0) , es decir, p◦i=IdS1×{0}, por otra parte, i◦p(x, y, z) =i(x, y,0) = (x, y,0) , definamos H :S1

×R×I−→S1

×R por H(x, y, z, t) = (x, y, tz) , es claro que H es continua y satisface H(x, y, z,0) = (x, y,0) y H(x, y, z,1) = (x, y, z) =IdS1×R(x, y, z) .

4. Sea X la banda de M¨obius y sea Y su c´ırculo central. Entonces X Y. En efecto, la banda de M¨obius puede ser obtenida como el espacio cuociente del cuadrado Q= [0,1]×[0,1] identificando los puntos (0, y) con (1,1y) de su borde, y en el interior cada punto se identifica consigo mismo.

Ahora note que en la banda de M¨obius los puntos correspondientes a la linea

{(x,1/2) : 0 6x6 1} de Q forman un c´ırculo, el cual llamamos c´ırculo central. Es claro que la linea {(x,1/2) : 06x61} y el cuadrado Q tienen el mismo tipo de homotop´ıa. Es f´acil ver ahora que esa equivalencia de homotop´ıa induce una equivalencia de homotop´ıa entre la banda de M¨obius y su c´ırculo central.

Tenemos el siguiente.

Teorema 2.4 La relaci´on “mismo tipo de homotop´ıa” es una relaci´on de equiva-lencia en la clase de los espacios topol´ogicos.

(36)

Sea f : X −→ Y una aplicaci´on continua, por [f] denotamos su clase de equivalencia m´odulo homotop´ıa, es decir, [f] = {g : X −→ Y / g f}. Defini-mos tambi´en [X, Y] = {[f]/ f : X −→ Y}, este es el conjunto de las clases de homotop´ıa de aplicaciones continuas de X en Y .

Proposici´on 2.1 Si X X′ e Y

≡ Y′ entonces [X, Y] y [X, Y] tienen la

misma cardinalidad.

Demostraci´on. Sean ϕ:X′ −→X y ψ: Y −→Yequivalencias homot´opicas. Definamos la aplicaci´on Γ : [X, Y]−→[X′, Y] por Γ([f]) = [ψ

◦f ϕ] . Es f´acil ver que Γ es una biyecci´on, lo que concluye la prueba.

La Moral del Asunto. La idea de buscar espacios con el mismo tipo de homotop´ıa es la siguiente: asociaremos a un espacio X ciertos grupos, veremos que ellos son invariantes por homotop´ıa, esto quiere decir que espacios con el mismo tipo de homotop´ıa tienen asociados los mismos grupos, por lo tanto, para estudiar un espacio buscamos unos m´as simple y con el mismo tipo de homotop´ıa, y estudiamos este ´ultimo.

2.2

Espacios Contractibles

Es esta secci´on estudiaremos los espacios cuyo tipo de homotop´ıa es el m´as simple, es decir, tienen el mismo tipo de homotop´ıa que un punto, y los llamamosespacios contractible.

Ejemplos.

1. Rn y Dn son contractible.

2. Sea ARn un conjunto convexo, entonces A es contractible.

3. Sea E ⊂Rn. Decimos que E es estrellado en pE si para cada xE el

segmento de recta uniendo p y x, el cual es dado por [p, x] ={(1−t)p+t : 0 6 t 6 1}, est´a contenido en E. Note que todo conjunto convexo es estrellado en cualquiera de sus puntos, la rec´ıproca es obviamente falsa. Si

E es estrellado, entonces E es contractible.

4. Un ejemplo de un espacio no contractible es Sn, esto lo probaremos m´as

(37)

Proposici´on 2.2 Un espacio X es contractible si y s´olo si la aplicaci´on identidad

IdX :X −→X es homot´opica a una aplicaci´on constante c:X −→X, digamos

c(x) =p para todo xX.

Demostraci´on. Supongamos que X es contractible. Sea f : X −→ {p} una equivalencia homot´opica y sea g:{p} −→X su inversa homot´opica. Tenemos que

g◦f ∼IdX, es claro que g◦f es una aplicaci´on constante.

Rec´ıprocamente, si IdX :X −→X es homot´opica a la aplicaci´on constante

c : X −→ X, digamos c(x) = p para cada x ∈ X, entonces IdX y c son

equivalencias homot´opicas.

Proposici´on 2.3 Todo espacio contractible es conexo por caminos.

Demostraci´on. Sea X un espacio contractible. Fijemos p ∈ X. Sea H :

X×I−→X una homotop´ıa entre IdX y una aplicaci´on constante c:X −→X

dada por c(x) =p para cada xX. Para cada x sea αx :I −→ X dado por

αx(t) =H(x, t) . Es claro que αx es un camino en X uniendo x y p.

Proposici´on 2.4 Si X o Y es contractible entonces cualquier aplicaci´on continua

f :X −→Y es homot´opica a una aplicaci´on constante.

Demostraci´on. Supongamos que X es contractible. Sea H :X ×I−→X una homotop´ıa entre IdX y una aplicaci´on constante. Entonces f ◦H :X×I−→Y

es una homotop´ıa entre f y una aplicaci´on constante.

Ahora, si Y es contractible, sea K : Y ×I −→ Y una homotop´ıa entre

IdY y una aplicaci´on constante. Entonces H :X×I −→Y dada por H(x, t) =

K(f(x), t) es una homotop´ıa entre f y una aplicaci´on constante.

Corolario 2.1 a) Si X es contractible e Y es conexo por caminos, entonces cualquier par de aplicaciones continuas f, g:X −→Y son homot´opicas. b) Si Y es contractible entonces cualquier par de aplicaciones continuas f, g:

X−→Y son homot´opicas.

Demostraci´on. a) Sea H : X ×I −→ X una homotop´ıa entre IdX y una

aplicaci´on constante c:X −→X dada por c(x) =p para todo xX. Entonces

(38)

dada por ˜c(x) =f(p) para todo x∈X. An´alogamente, g◦H :X×I −→Y es una homotop´ıa entre g y la aplicaci´on constante ¯c : X −→Y dada por ¯c(x) =

g(p) para todo x X. Ahora, como Y es conexo por caminos, las aplicaciones constante ˜c,c¯:X −→Y son homot´opicas.

b) F´acil, se deja a cargo del lector.

Corolario 2.2 Si X es contractible entonces X×Y tiene el mismo tipo de homo-top´ıa que Y . En particular, si Y es contractible entonces X×Y es contractible.

Demostraci´on. Sea H :X×I−→X una homotop´ıa entre IdX y una aplicaci´on

constante c :X −→X dada por c(x) = p para cada x X. Consideremos las aplicaciones p2:X×Y −→Y e ip:Y ֒→X×Y dadas por p2(x, y) =y e ip(y) =

(p, y) , respectivamente. Tenemos que p2 e ip son equivalencias homot´opicas, pues

ip◦p2(x, y) = ip(y) = (p, y) = ip(y) y p2◦ip(y) = p2(p, y) = y = IdY(y) . Sea

K : X×Y ×I −→ X×Y dada por K(x, y, t) = (H(x, t), y) . Tenemos que K

es continua y satisface K(x, y,0) = (x, y) =IdX×Y(x, y) y K(x, y,1) = (p, y) =

ip◦p2(x, y) , lo cual termina la prueba.

Ejemplos.

1. Rn

×Y, Dn

×Y, C×Y , y E×Y tiene el mismo tipo de homotop´ıa que Y, donde C ⊂Rn es un conjunto convexo y E Rn es un conjunto

estrellado en pE.

2. Toro S´olido T R4. Este es definido como el producto T =D2

×S1, del

disco unitario D2

⊂R2 y el c´ırculo unitario. Tenemos que T

(39)

2.3

Retractos

Definici´on 2.4 Sea AX. Decimos que A es un retracto de X si, existe una aplicaci´on continua r:X−→A, llamada retracci´on, tal que ri=IdA:A−→A, donde i:A ֒→X es la aplicaci´on inclusi´on i(x) =x para todo x∈A.

Observaci´on. La condici´on r◦ i = IdA significa que r|A = IdA. es decir,

para cada a∈A se tiene que r(a) =a, m´as espec´ıficamente el siguiente diagram conmuta

Ejemplos.

1. Sea C=S1×R el cilindro. Entonces S1× {0} ∼=S1 es un retracto de C.

En efecto, definamos la retracci´on r : C −→ S1

× {0} por r(x, y, z) = (x, y,0) .

2. La esfera unitaria Sn es un retracto de Rn+1

− {0}. En efecto, definamos la retracci´on r:Rn+1

− {0} −→Sn por r(x) = 1

||x||x.

z

w

z ||z||=||w||w

π(z) = z

||z||=||w||w =π(w)

3. Sean C1 y C2 dos c´ırculos disjuntos en S3, los cuales estan entrelazados

como muestra la figura

(40)

Sea T2 =S1×S1 el toro 2–dimensional contenido en S3. Entonces T2 es

un retracto de S3

−(C1∪C2) .

En efecto, tenemos que S3 =

{(x1, x2, x3, x4)∈R4 : x21+x22+x23+x24 =

1}=T1∪T2, donde

T1 : x21+x2261/2

T2 : x23+x24>1/2.

Es claro que Ti ≈ S1×D2 es un toro s´olido para i = 1,2 , y que S3 = S1

×D2

∪f D2×S1, donde la identificaci´on f :∂(S1×D2)−→∂(D2×S1)

es la aplicaci´on que pega los borde de los toros s´olidos, llevando meridianos en paralelos y vice versa.

Ahora, pensemos S3 como R3

∪{∞}, gr´aficamente, vemos como est´a definida la retracci´on de S3

−(C1∪C2) en el toro T2=S1×S1⊂S3.

Figura

4. El toro T2 puede ser obtenido como el espacio cuociente T2 = [0,1]×

[0,1]/∼, donde (x,0)∼(x,1) y (0, y)∼(1, y) , y en el interior del cuadrado la idenficaci´on es la identidad. Sea X =T2

− {p}, donde pT2. Tenemos

(41)

5. El plano proyectivo RP2 es obtenido como el espacio cuociente RP2 =

D2/

∼, identificando antipodalmente los puntos del borde de D2 y en el

interior la idenficaci´on es la identidad.

Figura

Tenemos que RP2

Figure

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