CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR

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APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra

UNIDAD 12

CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR

Cantidad de movimiento angular de una partícula.

Así como en el movimiento de traslación se se desarrolla el concepto de Impulso (I) para describirlo, en el movimiento rotacional se conoce el concepto de Momento angular (L) que es análogo al de impulso. El concepto de momento angular es muy útil para describir movimientos en dos o tres dimensiones y rotaciones. Consideremos el movimiento de un punto de masa 𝑚𝑖 respecto de O.

En la figura, la partícula de masa 𝑚𝑖, ligada a un cuerpo rígido,

rota alrededor de un eje fijo a una distancia r del eje. Si

𝑝 = 𝑚𝑣 es el momento lineal, se define el momento angular de la partícula con respecto al eje de rotación considerado por la expresión:

𝐿

𝑖

= 𝑟

𝑖

× 𝑝

𝑖

Como 𝐿𝑖 es perpendicular al plano de rotación formado por r y p o bien el plano que forman el punto O y la dirección de la velocidad, tal como vemos en las figuras, partiendo de la definición de producto vectorial se tiene que el módulo del momento angular:

𝐿

𝑖

= 𝑟

𝑖

𝑝

𝑖

sin 𝜃 = 𝑟

𝑖

𝑚

𝑖

𝑣

𝑖

sin 𝜃

Donde 𝑟𝑖sin 𝜃 corresponde al brazo de palanca 𝑏 para el vector de momento lineal, por tanto:

𝐿

𝑖

= 𝑚

𝑖

𝑣

𝑖

𝑏

Supongamos ahora que la velocidad no es constante, sino que varía con el tiempo. Como la componente tangencial de la aceleración cumple la relación 𝑑𝑣𝑖

𝑑𝑡 = 𝑎𝑡 , derivar la expresión

anterior con respecto al tiempo conduce a:

𝑑𝐿

𝑖

𝑑𝑡

= 𝑏𝑚

𝑖

𝑑𝑣

𝑖

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Como 𝐹 = 𝑚𝑎, entonces: 𝑑𝐿𝑖

𝑑𝑡 = 𝑏𝐹𝑖, como 𝜏 = 𝑏𝐹, se tiene que:

𝜏 =

𝑑𝐿

𝑖

𝑑𝑡

Esto significa que la rapidez de cambio del momento angular de una partícula es igual al torque de la fuerza neta que actúa sobre ella.

Por otro lado, el momento angular para un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje de simetría, en términos rotacionales, se obtiene convirtiendo la velocidad tangencial en velocidad angular, sabiendo que 𝑣 = 𝜔𝑟, entonces:

𝐿

𝑖

= 𝑟

𝑖

𝑚

𝑖

𝑟

𝑖

𝜔 = 𝑚

𝑖

𝑟

𝑖2

𝜔

Recordando que 𝐼 = 𝑚𝑖𝑟𝑖2, tenemos que:

𝐿 = 𝐼𝜔

Cantidad de movimiento angular de un sistema de partículas.

Consideremos ahora el conjunto de todas las partículas que conforman el cuerpo rígido. Como ya se sabe, para cada partícula existe una ecuación de momento angular. Sumando miembro a miembro todas las ecuaciones, en el caso de n partículas, se obtiene:

𝜏1+𝜏2+ ⋯ +𝜏𝑛 = 𝑑𝐿1 𝑑𝑡 +

𝑑𝐿2

𝑑𝑡 + ⋯ + 𝑑𝐿𝑛

𝑑𝑡 ⇒ 𝜏𝑖 𝑛

𝑖=1

= 𝑑𝐿1 𝑑𝑡 +

𝑑𝐿2

𝑑𝑡 + ⋯ + 𝑑𝐿𝑛

𝑑𝑡 ⇒

𝜏𝑖 𝑛

𝑖=1

= 𝑑

𝑑𝑡 𝐿1+ 𝐿2+ ⋯ + 𝐿𝑛 = 𝑑𝐿 𝑑𝑡

Por tanto, si se define el momento angular del sistema de partículas por la expresión:

𝜏

𝑖

𝑛

𝑖=1

=

𝑑𝐿

𝑑𝑡

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Conservación de la cantidad de movimiento angular.

El momento angular sirve para expresar de otro modo el principio dinámico básico del movimiento rotacional. También es la base del principio de conservación del momento angular. Al igual que la conservación de la energía y del momento lineal, este principio es una ley de conservación universal, válida en todas las escalas, desde los sistemas atómicos y nucleares hasta los movimientos de las galaxias. Para comprenderlo, se debe recordar que la cantidad de movimiento lineal total de un sistema de partículas permanece constante si el sistema está aislado; es decir, si la fuerza externa total que actúa sobre el sistema es cero.

Para ejemplificar, un trapecista, un clavadista y un patinador que hacen piruetas en la punta de un patín aprovechan este principio. Suponga que una trapecista acaba de separarse de un columpio con los brazos y las piernas extendidos, y girando en sentido antihorario alrededor de su centro de masa. Al encoger los brazos y las piernas, su momento de inercia 𝐼𝐶𝑀 con respecto a su centro de masa cambia de un valor grande 𝐼𝑖 a uno mucho menor 𝐼𝑓. La única fuerza externa que actúa sobre ella es su peso, que no tiene torque con respecto a un eje que pasa por su centro de masa. Así, su momento angular 𝐿 = 𝐼𝐶𝑀𝜔 permanece constante, y su velocidad

angular 𝜔 aumenta al disminuir 𝐼𝐶𝑀. Esto es:

𝐼

𝑖

𝜔

𝑖

= 𝐼

𝑓

𝜔

𝑓

𝜏

𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜

= 0

Esto es lo que en realidad ocurre cuando un patinador o una bailarina gira con los brazos estirados y luego los encoge, su velocidad angular aumenta al disminuir su momento de inercia. En ambos casos, se conserva el momento angular en un sistema donde el torque externo neto es cero, así tenemos que, para el caso inicial con respecto al final:

𝜏

𝑖 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑓

=

𝑑𝐿

𝑓

𝑑𝑡

Y para el caso final con respecto al inicial:

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Al aplicar la Tercera Ley de Newton se tiene que

𝜏

𝑖 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑓

= −𝜏

𝑓 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑖

,

es decir:

𝑑𝐿

𝑓

𝑑𝑡

= −

𝑑𝐿

𝑖

𝑑𝑡

𝑑𝐿

𝑓

𝑑𝑡

+

𝑑𝐿

𝑖

𝑑𝑡

= 0

Por tanto:

𝑑𝐿

𝑑𝑡

= 0

Este es el Principio de Conservación del Momento Angular, el cual se enuncia de la forma siguiente:

La cantidad de movimiento angular total de un sistema es constante tanto en magnitud como en dirección si el torque externo neto que actúa sobre el sistema es cero, es decir, si el sistema está aislado.

Algunos otros aspectos de la conservación de la cantidad de movimiento angular.

Formación de una estrella de neutrones

Los Astrónomos aplican el principio de conservación del momento angular para determinar algunas de las características de la formación de los astros que se forma en las galaxias, realizando medidas de los radios de expansión y de las variaciones d la velocidades angulares sobre radiofotos obtenidas de los radiotelescopios, en este caso, los científicos asumen que el cambio en el movimiento del astro en estudio es similar al del patinador descrito anteriormente, pero en dirección inversa, conforme su masa se acerque al eje de rotación, se espera que gire más rápido.

Supongamos ahora que el astro en estudio es una estrella que explota y que durante el colapso del núcleo estelar los astrónomos realizan las siguientes consideraciones:

1. Que sobre el núcleo no actúa un torque externo.

2. Que el núcleo permanece esférico con la misma distribución de masa relativa.

3. Que su masa permanece constante y mantiene una distribución es simétrica.

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Aplicando el Principio de Conservación del Momento Angular, se obtiene:

𝐼

𝑖

𝜔

𝑖

= 𝐼

𝑓

𝜔

𝑓

⇒ 𝑘𝑀𝑅

𝑖 2

𝜔

𝑖

=

𝑘𝑀𝑅𝑓 2

𝜔

𝑓

Como 𝜔 =2𝜋

𝑇, se obtiene:

𝑘𝑀𝑅𝑖 2

2𝜋

𝑇

𝑖

=

𝑘𝑀𝑅𝑓

2

2𝜋

𝑇

𝑓

De esta expresión se desprende:

𝑇

𝑓

=

𝑅

𝑓

2

𝑅

𝑖2

𝑇

𝑖

Con esta aplicación del Principio de Conservación del Momento Angular, se pueden determinar los períodos cuando se desarrollen cambios de velocidad angular.

El carrusel

Este divertido juego infantil, que se encuentran en muchos parques, permite la posibilidad de estudiar una de las aplicaciones del principio de conservación del momento angular, cuando un niño camina en la plataforma del carrusel, se produce una variación de la velocidad angular que experimenta el niño, mientras que la del aparato se mantiene constante, en este caso el cambio de rapidez en es similar al del patinador que gira y a la estrella de neutrones ya analizados.

Sin embargo, este problema es diferente porque la parte del momento de inercia del sistema que corresponde al niño 𝐼𝑁 cambia, mientras que la otra parte, la de la plataforma del carrusel 𝐼𝑃, permanece fijo, supongamos que está última gira sobre un eje sin rozamiento, por tanto se considera como un sistema aislado, consideremos R como el radio de la plataforma y r la posición del niño con respecto al eje de rotación.

En este caso, al inicio el niño se encuentra en el borde de la plataforma por lo que R=r, un instante después se encuentra en una posición más cercana al eje de rotación, por lo que se puede señalar:

𝐼𝑖 = 𝐼𝑃𝑖 + 𝐼𝑁𝑖 = 1 2𝑀𝑅

2+ 𝑚𝑅2 𝑦 𝐼

𝑓 = 𝐼𝑃𝑓 + 𝐼𝑁𝑓 =

1 2𝑀𝑅

2+ 𝑚𝑟2

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1

2

𝑀𝑅

2

+ 𝑚𝑅

2

𝜔

𝑖

=

1

2

𝑀𝑅

2

+ 𝑚𝑟

2

𝜔

𝑓

Despejando 𝜔𝑓

se obtiene:

𝜔

𝑓

=

1

2 𝑀𝑅

2

+ 𝑚𝑅

2

1

2 𝑀𝑅

2

+ 𝑚𝑟

2

𝜔

𝑖

El movimiento de giroscopios y trompos

Otro digno de análisis es el de un trompo que gira en torno a su eje de simetría, como se muestra en la parte (a) de la figura, si el trompo gira rápidamente, el eje de simetría da vueltas en torno al eje z, describiendo un cono, como se observa en la parte (b) de la misma figura. En este caso, el movimiento del eje de simetría en torno a la vertical, conocido como movimiento de precesión, por lo general es lento en relación con el movimiento de giro del trompo.

Por eso es que muchas veces nos preguntamos ¿por qué el trompo no cae? Ya que el centro de masa no está directamente arriba del

centro de giro punto O, en el trompo actúa un torque neto en torno a un eje que pasa a través de O y otro torque que resulta del peso 𝑚𝑔 del trompo.

El trompo ciertamente caerá si no está girando. Sin embargo, como gira, tiene una cantidad de movimiento angular L que se dirige a lo largo de su eje de simetría, que se mueve alrededor del eje z, es decir se presenta un movimiento de precesión, porque el torque produce un cambio en la dirección del eje de simetría. Esta ilustración es un excelente ejemplo de la importancia de la naturaleza direccional de la cantidad de movimiento angular.

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𝜏 =

𝑑𝐿

𝑑𝑡

Esta expresión muestra que, en el intervalo de tiempo infinitesimal

𝑑𝑡, el torque distinto de cero produce un cambio en la cantidad de movimiento angular 𝑑𝐿, que está en la misma dirección del torque, por lo tanto, como éste es perpendicular a L, entonces 𝑑𝐿 s también lo

es, tal como se ilustra en la siguiente figura y de la que se desprende que para 𝑑𝑡:

𝑑𝐿 = 𝐿

𝑓

− 𝐿

𝑖

= 𝜏𝑑𝑡

Ya que 𝑑𝐿 es perpendicular a L, la magnitud de L no cambia 𝐿𝑓 = 𝐿𝑖 . Sin embargo, para

simplificar la descripción del sistema, se supone que la cantidad de movimiento angular total de la rueda en precesión es la suma de la cantidad de movimiento angular 𝐼𝜔 debida al giro y la cantidad de movimiento angular debida al movimiento del centro de masa en torno al eje, la que se despreciará, ya que consideraremos a 𝜔 como muy grande.

El diagrama vectorial de la figura anterior, muestra que, en el intervalo de tiempo 𝑑𝑡, la cantidad de movimiento angular gira a través de un ángulo 𝑑𝜃, que también es el ángulo a través del que da vueltas el eje, por tanto so obtiene la siguiente expresión:

𝑑𝜃 =

𝑑𝐿

𝐿

=

𝜏𝑑𝑡

𝐿

=

𝑚𝑔𝑕𝑑𝑡

𝐿

Derivando esta expresión con especto al tiempo:

𝑑𝜃

𝑑𝑡

=

𝑚𝑔𝑕𝑑𝑡

𝐿

𝑑𝑡

𝑑𝜃

𝑑𝑡

=

𝑚𝑔𝑕

𝐿

Donde 𝑑𝜃

𝑑𝑡 = 𝜔𝑝 y que se conoce como velocidad angular de preseción o frecuencia de

precesión, por tanto la expresión de esta velocidad es:

𝜔

𝑝

=

𝑚𝑔𝑕

𝐼𝜔

Figure

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