El teorema de Gauss, por otra parte, nos permite determinar la expresión del campo eléctrico creado por una distribución continua de carga, tales como esferas dieléctricas y conductoras, planos, hilos o cilindros, la expresión del teorema de Gauss que vamos a usar es:
int
0 S
Q Ed S
=
APLICACIÓN DEL TEOREMA DE GAUSS
• El teorema de Gauss nos proporciona un método alternativo para el cálculo del campo eléctrico de determinadas distribuciones de carga que cumplan unas determinadas condiciones de simetría
• Será válido para calcular el campo eléctrico creado por las siguientes distribuciones:
1. Esferas conductoras el huecas 2. Esferas dieléctricas el macizas 3. Planos infinitos
4. Líneas infinitas 5. Cilindros
• Para aplicar el teorema de Gauss debemos seguir los siguientes pasos: 1. Escoger una superficie gaussiana imaginaria a la que aplicar el
teorema, para cada uno de los casos anteriores se escoge una u otra superficie:
DISTRIBUCIÓN SUPERFICIE GAUSSIANA
Esferas Esfera interior para puntos interiores
Esfera exterior para puntos exteriores
Planos infinitos Cilindro perpendicular al plano que
corte al plano
Líneas infinitas Cilindro coaxial con la línea
Flujo
eléctrico
Superficie
abierta
Campo eléctrico
constante
Campo eléctrico
variable
Superficie
cerrada
diferencial de superficie correspondiente a la superficie gaussiana escogida en el apartado anterior
3.
SUPERFICIE RESULTADO DE LA INTEGRAL
ESFERA 2
·4 Ed S=E
r
CILINDRO
1 2 3
Ed S=ES +ES +ES
Siendo S1,S2 y S3 las superficies de las
tapas y la superficie lateral del cilindro *Todas las superficies que aparecen el las integrales son las superficies referidas a las superficies gaussianas que se escogen el apartado 1 de aplicación del teorema
4. Se calcua la carga interior que encierra la superficie gaussiana y se divide entre ε0, es decir, se calcula el término int
0 Q
, la carga interior, se refiera a la carga que encierra la superficie gaussiana que escogemos para la aplicación del teorema, en el a la superficie real que tenemos.5. Se iguala lo obtenido en el apartado 2 y en el apartado 3 y se despeja el campo eléctrico.
Ejemplo 1.- Calcular el campo eléctrico creado por una esfera dieléctrica con una densidad volumétrica de carga ρ en puntos interiores y exteriores
Supongamos una esfera maciza con radio R y con una carga Q distribuida uniformemente por todo su volumen. Empezaremos calculando el campo eléctrico en puntos interiores de la esfera
PUNTOS INTERIORES
• Escogemos en primer lugar la superficie gaussiana, que en nuestro caso será una esfera de radio r y interior a la esfera real que tenemos. Es importante recordar que la esfera gaussiana a la que aplicamos el teorema es una esfera imaginaria, que usamos para aplicar el teorema:
• Seguidamente calculamos la integral 2
· ·4
Ed S=E S=E
r
• A continuación calculamos la carga contenida en el interior de la esfera gaussiana que se escoge para aplicar el teorema, como se trata de una esfera dieléctrica, la carga está distribuida por todo el volumen de la esfera, por lo que para determinar cuál es la carga encerrada en la superficie gaussiana, necesitamos hacer uso de la densidad volumétrica de carga ρ.
3 4 3 Q
Q V r
V
= =
=
3 0 0 4 3 Q
r
=
• Igualando y despejando, obtenemos la expresión del campo eléctrico en el interior de la esfera dieléctrica:
3 3
2 2
0 0 0
4 4
·4 ·4
3 3 3
r r r
E
r
E
r
E
= = =
PUNTOS EXTERIORES
• En primer lugar escogemos la superficie gaussiana, que para este caso será otra esfera, pero exterior y de radio r, ya que ahora estamos calculando el campo eléctrico en puntos exteriores a la esfera
• Hacemos la integral 2
· ·4
Ed S=E S=E
r
• Calculamos la carga contenida en el interior de nuestra superficie gaussiana, que en este caso será la totalidad de la carga de la esfera Q • Igualando y despejando obtenemos la expresión para el campo eléctrico
en el exterior de una esfera dieléctrica: 2 2 0 0 1 ·4 4 Q Q
E r E
r
= =
Por lo tanto para una esfera dieléctrica el maciza, el campo eléctrico depende de si estamos considerando un punto interior el un punto exterior
0 2 0
int
3
1
4
r
E
puntos
eriores
E
Q
E
puntos
exteriores
r
=
=
=
teorema es una esfera imaginaria, que usamos para aplicar el teorema: • Seguidamente se calcula la integral:
2
· ·4
Ed S=E S=E
r
• En este caso la carga interior a una esfera gaussiana interior será nula, ya que la esfera es hueca y tiene su carga distribuida uniformemente en su superficie, por lo tanto Qint=0
• Igualando y despejando Y, tenemos que.
0
E
=
PUNTOS EXTERIORES
• En primer lugar escogemos la superficie gaussiana, que para este caso será otra esfera, pero exterior y de radio r, ya que ahora estamos calculando el campo eléctrico en puntos exteriores a la esfera
• Hacemos la integral 2
· ·4
Ed S=E S=E
r
• Calculamos la carga contenida en el interior de nuestra superficie gaussiana, que en este caso será la totalidad de la carga de la esfera Q • Igualando y despejando obtenemos la expresión para el campo eléctrico
en el exterior de una esfera dieléctrica: 2
2
0 0
1 ·4
4
Q Q
E r E
r
= =
Para la esfera conductora, tendremos que:
2 0
0 int
1 4
E puntos eriores
E Q
E puntos exteriores r
=
= =
• Se escoge como superficie gaussiana un cilindro de radio r que como ya habíamos visto anteriormente, está compuesta por tres superficies, de los de las tapas y una de la superficie lateral, en este caso se anula el término correspondiente a la superficie lateral, por ser perpendicular el campo a dicha superficie.
2 1 1 2 2 3 3 1 1 2 Ed S =E S +E S +E S =E S = E r
• La carga interior al cilindro escogido es la correspondiente a la zona sombreada, en donde el cilindro corta al plano, en esta porción de plano, la carga encerrada se calcula haciendo uso de la densidad superficial de carga:
2
0 0
Q
r
=
• Igualando las de los expresiones y despejando el campo eléctrico obtenemos:
2 2
0 0
2
2 r
E
r
E
= =
1. El campo eléctrico creado por una placa infinita es independiente de la distancia, es decir una placa infinita y uniforme crea un campo uniforme en todos los puntos del espacio
2. El campo eléctrico solo depende de la densidad superficial de carga.
de la esfera es: A) Cero
B) Q / (4 π ε₀r2) C) Q / ε₀
Cuestión 2.- En el interior de una esfera conductora cargada: A) El potencial no es nulo.
B) La carga no es nula.
C) El campo electrico no es nulo.
Cuestión 3.- En el interior de un conductor esferico cargado y en equilibrio electrostatico se cumple:
A) El potencial y el campo aumentan desde el centro hasta la superficie de la esfera.
B) El potencial es nulo y el campo constante. C) El potencial es constante y el campo nulo.
PROBLEMAS DE REPASO
Problema 1.- Tres cargas puntuales de 2 μC se situan respectivamente en A(0, 0), B(1, 0) y C(1/2, √3/2). Calcula:
