PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES SEPTIEMBRE – 2007 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

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(1)

I

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A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE BALEARES SEPTIEMBRE – 2007

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Contesta de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. OPCIÓN A

1º) A cada matriz real 

  

 

=

d c

b a

A se le asocia el polinomio P

( )

x = x2 −

(

a+d

)

x+ A , donde A indica el determinante de A. Se dice que P(x) es el polinomio característico de la matriz A. Se pide:

a ) Hallar una matriz que tenga como polinomio característico P

( )

x = x2 +x+1. ¿Cuán-tas matrices hay con este mismo polinomio característico?

b ) Si A tiene inversa, demuestra que el polinomio característico de la matriz inversa de A, A-1, es

( )

A x A

d a x x

P = 2 − + + 1 .

--- a )

Siendo el polinomio característico que nos han dado

( )

= 2 + +1

x x x

P , en la matriz

   

 

=

d c

b a

A se tiene que cumplir que:

  

= − = +

1 1

A d a

o

  

= −

− = +

1 1

bc ad

d a

.

Como quiera que resulta un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas es compatible indeterminado, por lo tanto tiene infinitas soluciones.

Existen infinitas matrices que cumplen la condición pedida.

Un ejemplo sencillo es para los valores: 

  

 

− − =

⇒    

 

− = → =

− = → =

1 1

1 0 1

1

1 0

A c

b

(2)

b )

Si A tiene inversa, demuestra que el polinomio característico de la matriz inversa de A, A-1, es

( )

A x A

d a x x

P = 2 − + + 1 .

Teniendo en cuenta que la inversa de la matriz A es

(

T

)

A Adj A

A−1 = 1 · . y que

siendo 

  

 

=

d c

b a

A es 

  

 

=

d b

c a

AT y

(

)



  

 

− − =

a b

c d A

Adj. T es  =

  

 

− − =

d b

c d A A 1 1 ·

      

    

− −

=

A a A

b A

c A

d

, cuyo módulo es:

(

)

A A A

bc ad A

A b A

c A

a A d

A−1 = · − − · − = 12 · − = 12 · = 1 .

Aplicando el concepto de polinomio característico de una matriz, resulta que el polinomio característico de A-1 es:

( )

2 1 , . . .

d q c A x A

d a x x

P = − + +

(3)

2º) Calcula la ecuación de la recta s que pasa por el punto P(2, -1, 1) y corta perpendicu-larmente a la recta

2 1

1 3

3 y z

x

r ≡ − = + = .

---

El haz de planos perpendiculares a la recta tiene como vector normal al vector director de la recta vr =

(

3, 1, 2

)

.

La expresión implícita del haz de planos es α ≡3x+y+2z+D =0 y de éstos in-finitos planos, el plano πque contiene al punto P, es el que satisface su ecuación:

(

)

0 7 2 3 7 ; ; 0 2 1 6 ; ; 0 1 · 2 1 2 · 3 1 , 1 , 2 0 2 3 = − + + ≡ ⇒ ⇒ − = = + + − = + + − ⇒    − = + + + ≡ z y x D D D P D z y x π α

Para determinar el punto Q, intersección del plano π con la recta r, expresamos la recta en forma de ecuaciones paramétricas:

     = + − = + = ≡ ⇒ = + = − ≡ λ λ λ 2 1 3 3 2 1 1 3 3 z y x r z y x r .

(

) (

) ( )

      − − ⇒ ⇒                   − = − = − − = = − = ⇒ − = − = = − + + − + = − + + − + + ⇒             = + − = + = ≡ = − + + ≡ 14 2 , 14 15 , 14 39 14 2 14 15 14 1 1 14 39 14 3 3 14 1 ; ; 1 14 ; ; 0 7 4 1 9 9 ; ; 0 7 2 2 1 3 3 3 2 1 3 3 0 7 2 3 Q z y x z y x r z y x λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ π

La recta s pedida es la que pasa por los puntos P y Q. Su vector director vs es

cualquiera que sea linealmente dependiente del vector QP, siendo:

(

)

(

11, 1, 16

)

(4)

La recta pedida expresada, por ejemplo, por unas ecuaciones continuas es:

16 1 1

1 11

2 = + =

− −

x y z

s

(5)

3º) Se considera la función

(

x

)

e x y 2 1 +

= . Determina los extremos relativos y los puntos de inflexión. Haz una gráfica aproximada de la función.

---

( ) (

)

(

)

(

)(

) (

)(

)

( )

( )

     − = = ⇒ = − ⇒ = = − = − + = − − + = + − + = 1 1 0 1 0 ' ' 1 1 1 1 2 1 · 1 · 1 2 ' 2 1 2 2 2 2 x x x x y x y e x e x x e x x e e x e x x

y x x x x

x x

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

1 1 2 1 0

( )

1 0 0

(

1, 0

)

'' 47 ' 1 4 , 1 4 2 1 0 2 1 2 1 1 '' '' 1 2 1 2 · 1 · 2 '' 1 1 2 1 2 2 2 2 − ⇒ ⇒ = = − ⇒ ⇒ > − + = −       ≅ ⇒ ⇒ = = ⇒ ⇒ < − = − − = = − − = + − − = − − − = −

Mín Q

e y Mínimo e y e P Máx e e y Máximo e e y x y e x x e x x e e x e x x

y x x x

x x

Para que existan puntos de inflexión es condición necesaria que y''

( )

x =0, pero no es condición suficiente, tiene que ser y' ''

( )

x ≠0.

( )

      − = + = ⇒ ± = ± = ± = + ± = = − − ⇒ = 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 8 2 2 4 4 2 ; ; 0 1 2 0 '' 2 1 2 x x x x x x y

( ) (

)

(

)

y

( )

x

e x x e x x x e e x x e x x

y x x x

x x '' ' 1 4 1 2 2 2 · 1 2 · 2 2 '' ' 2 2 2 2 = − + − = + + − − = − − − − =

Teniendo en cuenta que las raíces de −x2 +4x−1=0 son 2± 3:

(

)

(

) (

)

1'04 .

(

2'41,1'04

)

18 ' 11 66 ' 11 1 2 1 2 1 . . 0 2 1 ''

' 1 2

2 M I P e y I P

y + ≠ ⇒ ⇒ + = + + + ≅ = ⇒ →

(

)

(

) (

)

0'51 .

(

0'41, 0'51

)

66 ' 0 34 ' 0 2 2 2 1 . . 0 2 1 '' ' 2 1 2 − → ⇒ = ≅ − = − ⇒ ⇒ ≠

P I N

e y

(6)

Con los datos anteriores y teniendo en cuenta que se trata de una función continua cuyo dominio es R y que:

(

)

(

)

(

)

(

)

0 2 2 2

´ 1

2 ´

1 2

= ∞ = = +∞ →

⇒ ⇒

+ +∞ →

⇒ ⇒

+ +∞ → = +∞ →

e e x

lím

Hopital L

e x x

lím Hopital

L e

x x

lím y

x lím

x

x x

(

+

) ( )

= −∞ = +∞ = =+∞ +∞

→ = −∞

→ ∞

∞ ∞

e

e e

e x x

lím y

x lím

x ·

1

12 2

La función tiene como asíntota horizontal el eje de abscisas en su parte positiva.

La representación gráfica es, aproximadamente, la que sigue:

**********

2

f(x)

X

O Asíntota horizontal

Y

N M

P

Q 2

-1 1

(7)

4º) Se consideran las curvas y= x2 −1 e y = x+1. Halla la ecuación de la recta tan-gente a la primera curva en el punto de corte con la otra, de abscisa positiva.

---

El punto de corte se obtiene igualando las ecuaciones de las dos curvas:

(

)

: Re

0 1 2 ;

; 0

0 1 2 ;

; 0 2

; ; 1 1

2 ;

; 1 1

1 1

3 1

3 2

4 2

4 2

2

Ruffini por

solviendo x

x x

x x x x

x x x

x x x

x x

y x y

= − − =

= − − =

− − +

= + − +

= −

⇒    

+ =

− =

1 0 -2 -1

-1 -1 1 1

1 -1 -1 0

-1 -1 2

1 -2 ≠ 0

Las únicas soluciones reales son para x = 0 y x = -1; como nos indica el enuncia-do “de abscisa positiva”, la solución es x = 0 y el punto de tangencia es el siguiente:

( )

0 1

(

0, 1

)

1

2 − =−

=x y P

y .

La pendiente a una curva en un punto es el valor de la derivada de la función en ese punto:

( )

m y

m x

y x

y = 2 −1 ⇒ '=2 ⇒ = ' 0 =0= .

Por ser la pendiente 0, se trata de una recta horizontal cuya ecuación es de la for-ma y = k. Como el punto de tangencia es P(0, -1), la tangente pedida es la recta

(8)

OPCIÓN B

1º) Discute el sistema

(

)

(

)

     − = + + + = + − + = + + 1 2 3 1 3 1 2 1 2 k z k ky x z y k x z ky x

y resuélvelo en el caso de k = 1.

---

Las matrices de coeficientes y ampliada son las siguientes:

          − + − =           + − = 1 2 1 1 3 1 3 1 2 1 2 1 ' 3 1 3 1 2 1 2 1 k k k k k M y k k k k M .

El rango de M en función del parámetro k es el siguiente:

(

)(

)

(

)

(

)

1 ; ; 1 0 1 ; ; 0 3 2 4 2 3 6 2 ; ; 0 3 3 1 2 2 3 2 3 1 2 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 2

2 + − − + − + − − = − = ⇒ = =−

= + − − − − + + + − = + − = k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k M . ado Deter Compatible incógnitas n M Rango M Rango k k

Para ' 3 º min

1 1 ⇒ = = = ⇒       − ≠ ≠ 2 ' 1 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1 '

1 ⇒ =

          = ⇒

= M Rango M

k Para ado er In Compatible incógnitas n M Rango M Rango k

Para =1 ⇒ = '=2< º ⇒ det min

{

}

3 ' 0 8 3 1 3 1 1 9 3 1 1 1 3 1 1 1 1 , , ' 3 1 1 3 1 1 3 3 1 2 1 1 '

1 1 2 4

= ⇒ ≠ = − + + − − = − − − − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒           − − − − = ⇒ − = M Rango C C C M Rango M k Para le Incompatib M Rango M Rango k

(9)

Resolvemos en el caso de k = 1, en cuyo caso el sistema es compatible determi-nado; el sistema resulta:

    

= + +

= + +

= + +

1 4

1 3

1 2

z y x

z y x

z y x

.

Despreciando una de las ecuaciones, por ejemplo la última, y parametrizando una de las incógnitas, por ejemplo x=λ, resulta:

λ λ

λ λ

λ λ

λ = =

  

− = +

+ − = − −

  

− = +

− = +

  

= + +

= + +

1 ; ; 0 1

3

1 2

1 3

1 2

1 3

1 2

y z

z y

z y

z y

z y

z y

z y

R z

y x

Solución ∀ ∈

    

= − = =

λ λ λ

0 , 1 :

(10)

2º) Calcula los puntos de la recta

2 1 3

2 y z

x

r =

− = +

≡ que están a una unidad de distancia del plano π ≡x+y+z=0.

---

Este ejercicio se puede resolver de diversas formas; una de ellas es la siguiente.

La expresión de la recta r por paramétricas es

    

= − =

+ − = ≡

λ λ

λ

2 3 2

z y x

r .

Los puntos de la recta r tienen por expresión general: P

(

−2+3λ, −λ, 2λ

)

.

La distancia de un punto P0

(

x0, y0, z0

)

a un plano Ax+By+Cz+D=0 viene

dada por la fórmula

(

)

2 2 2

0 0 0 0

,

C B A

D Cz By Ax P

d

+ +

+ + + =

π .

Aplicando la fórmula anterior al caso que nos ocupa, resulta:

(

) (

) ( ) ( )

       

− = → =

+ −

+ = → =

= −

= − =

+ +

+ − + − =

+ +

+ − + + − =

4 3 2 3

2 4

4 3 2 3

2 4

3 2

4

; ; 1 3

2 4 ; ; 1 1

1 1

2 3

2 ; ; 1 1

1 1

2 3

2 ,

2 1 2

2 2

λ λ

λ λ

λ

λ λ

λ λ λ

λ λ

π P

d

Sustituyendo los valores obtenidos en el punto genérico, se obtienen los puntos que cumplen la condición pedida:

    

 

+ +

− −

⇒         

        

+ = + =

+ − =

− =

+ + − = + +

− =

+ =

2 3 2 , 4

3 2 , 4

2 3 3

2 3 2 4

3 2 · 2

4 3 2

4 2 3 3 4

3 3 6 8 4

3 2 · 3 2

4 3 2

1 1

P

z y x

(11)

    

 

− + −

⇒         

        

− = − =

− − =

+ −

= −

+ − = − +

− =

− =

2 3 2 , 4

3 2 , 4

2 3 3

2 3 2 4

3 2 · 2

4 3 2

4 2 3 3 4

3 3 6 8 4

3 2 · 3 2

4 3 2

2 2

P

z y x

λ

(12)

3º) La recta y= 2x−1 es una asíntotas oblicua de la función

( )

k x x x f + −

= 2 2 1. Halla el va-lor de k y, si existen, los extremos locales de la función.

---

La asíntota oblicua de una función es una expresión de la forma y =mx+n, don-de los valores don-de m y n son:

( )

[

f

( )

x mx

]

x lím n y x x f x lím m − ∞ → = ∞ → = .

Teniendo en cuenta lo anterior y siendo m = 2 y n = -1, sería:

( )

2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 ) ( 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 = ⇒ ⇒ − = − = + − − ∞ → = + − − − ∞ → =       − + − ∞ → = = = + − ∞ → = + − ∞ → = ∞ → = k k k x kx x lím k x kx x x x lím x k x x x lím n previsible era como m kx x x x lím x k x x x lím x x f x lím m

Para que existan extremos relativos de la función

( )

1 2 2 4 2 1 1

2 2 2

+ − = + − = x x x x x

f es

con-dición necesaria que se anule la primera derivada:

( )

(

(

)

(

)

)

(

)

(

)

(

(

)

)

( )

(

(

)

)

x x x x R

x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x f ∉ ⇒ − ± − = = + + = + + + ⇒ = + + + = + + + = + + − + = + − − + = 8 16 1 1 ; ; 0 1 4 ; ; 0 1 2 1 4 2 0 ' 1 2 1 4 2 1 2 2 8 8 1 2 2 8 8 16 1 2 2 · 1 4 1 2 · 8 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(13)

4º) Utilizando los teoremas de Bolzano y Rolle, demuestra que las curvas y=cos x e x

y= se cortan en un único punto.

---

Considerando la función f

( )

x =cos xx, que es continua derivable en su do-minio, que es

[

0, +∞

)

, por lo cual le son aplicables los teoremas de Bolzano y Rolle a cualquier intervalo cerrado perteneciente al dominio de la función.

Considerando el intervalo 

2 3 ,

0 π se observa que:

( )

( )

2 ,

( )

0

3 , 0 0

2 3 1 2 3 2 3 cos

0 1 0 1 0 0 cos 0

2

3  =

 

∈ ∃

⇒     

< −

− = −

=

> = − = − =

c f c

f f

π π

π π

π

Lo anterior demuestra que si f

( )

c =cos cc =0 ⇒ cos c= c, o sea, que existe un valor real ∈

2 3 ,

0 π

c donde se cortan las curvas dadas, como se nos pedía.

Vamos a demostrar ahora, como también se nos pide, que el punto de corte es único.

Si la función f(x) tuviera al menos otra raíz real x = b, indicaría que f(b) = 0, con lo cual se podría aplicar a la función f(x) el Teorema de Rolle, que dice que “si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b) y si se cumple que

( )

a f

( )

b

f = , existe al menos un punto c

( )

a, b tal que f’(c) = 0.

( )

f

( )

c c sen c c R

x x

sen x

f =− − ⇒ ' =0 ⇒ 2 · +1=0, ∉ 2

1

' , lo cual contradice el

Teorema de Rolle y, en consecuencia, demuestra que la función f(x) tiene una sola raíz y, en consecuencia, el punto de corte de las curvas dadas es único, c. q. d.

Figure

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