CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA

CAPÍTULO 4

APLICACIONES DE LA DERIVADA

La Función Exponencial

Recuerdese que IB:ÐBÑ se definió como la función inversa de 68. Así que, como 68 À Ð!ß ∞ÑÄ‘ es " "y sobre, entonces IB: À‘ÄÐ!ß ∞Ñ también lo es Se tieneÞ pues que IB:ÐBÑ ! para todo B − ‘Þ Además sabemos que IB:Ð!Ñ œ "puesto que 68" œ !ÞEl número IB:Ð"Ñ no tiene una representación conocida para un alumno de cálulo. John Nepper (1550-1617) demostró que es irracional ( Ver Ayudas: Nepper).

John Nepper

4.1 Definición: El número real IB:Ð"Ñ se llama " " Nepperiano/ . è

Veamos ahora que la función IB: se comporta como una potencia de . En efecto, para iniciar:/

4.2 Proposición: 3Ñ IB:Ð!Ñ œ / 33Ñ IB:Ð"Ñ œ /Þ!,

Demostración:Sabemos que IB:Ð!Ñ œ "y también que toda potencia 0 de un número positivo se toma como 1. Así que IB:Ð!Ñ œ " œ / Þ è!

4.3 Proposición: Si 2ÐBÑ !ß para todo B − ‘ y 2 ÐBÑ œ 2ÐBw ) entonces existe 5 −‘ tal que 2ÐBÑ œ IB:ÐB 5ÑÞ

Demostración:Suponga que 2ÐBÑ !ß para todo B −‘ y que 2 ÐBÑ œ 2ÐBÑÞw Entonces

-2 ÐBÑ 2ÐBÑ

w

œ "Þ El lado izquierdo es la derivada de 682ÐBÑ y el derecho la derivada de . EntoncesB las funciones que se derivaron difieren en una constante. Es decir que existe 5 −‘tal que 682ÐBÑ œ B 5y por tanto 2ÐBÑ œ IB:ÐB 5ÑÞ è

Veamos la primera propiedad tipo exponente:

4.4 Proposición: IB:Ð+Ñ ‚ IB:Ð,Ñ œ IB:Ð+ ,ÑÞ

Demostración: Tomemos 2ÐBÑ œ IB:ÐBÑ ‚ IB:Ð,ÑÞ Entonces 2 ÐBÑ œ 2ÐBÑw y por tanto 2ÐBÑ œ IB:ÐB 5Ñ. Para B œ ! se tiene que

IB:Ð!Ñ ‚ IB:Ð,Ñ œ IB:Ð! 5Ñ Í IB:Ð,Ñ œ IB:Ð5Ñ Í 5 œ ,Þ Así que IB:ÐBÑ ‚ IB:Ð,Ñ œ IB:ÐB ,Ñ. Ahora se completa tomando B œ + è.

4.5 Proposición: ÐIB:Ð+ÑÑ œ IB:Ð+,ÑÞ,

Demostración: Comparamos las funciones ÐIB:ÐBÑÑ,y IB:Ð,BÑÞ Se tiene que HBÐIB:ÐBÑ Ñ œ ,ÐIB:ÐBÑÑ, ,"HBIB:ÐBÑ œ , IB:ÐBÑ Þ, _{Es decir que}

HBÐIB:ÐBÑÑ ÐIB:ÐBÑÑ

, , œ ,

El lado izquierdo es la derivada de 68ÐIB:ÐBÑÑ, y el derecho es la derivada de ,B. Por tanto 68ÐIB:ÐBÑÑ œ ,B 5Þ, Se calcula 5, tomando B œ !y se recibe 5 œ 0. Luego 68ÐIB:ÐBÑÑ œ ,BÞ, _{Equivalentemente, aplicando} IB: _{en los dos lados del "=" :}

ÐIB:ÐBÑÑ œ IB:Ð,BÑ, è

4.6 Proposición: IB:Ð BÑ œ _{IB: B}" Þ

Demostración: En efecto HB_IB:ÐBÑ" œ HB IB:ÐBÑ_ÐIB:ÐBÑÑ# œ _IB:ÐBÑ" . Así que

HB_IB:ÐBÑ" œ _IB:ÐBÑ" y por tanto HB œ ". El lado izquierdo es es la derivada de

" IB:ÐBÑ

" IB:ÐBÑ

68_IB:ÐBÑ" y el derecho de BÞ Luego 68_IB:ÐBÑ" œ B 5Þ

Calculamos : haciendo 5 B œ ! se tiene que 5 œ0. Luego 68_IB:ÐBÑ" œ BÞ Equivalentemente

"

IB:ÐBÑ œ IB:Ð BÑ. è

Finalmente veamos que si r es un número racional entoncesIB:Ð<Ñ œ / Þ<

4.7 Proposición: si < − ß entonces IB:Ð<Ñ œ / Þ<

Demostración: para 8 −lo hacemos por inducción. Para 8 œ " IB:Ð"Ñ œ /, y / œ /" , luego IB:Ð"Ñ œ /". Note que IB:Ð#Ñ œ IB:Ð" "Ñ œ IB:Ð"Ñ ‚ IB:Ð"Ñ œ // œ /#. Mas generalmente, supuesto IB:Ð8Ñ œ /8, veamos que IB:Ð8 "Ñ œ /8"Þ En efecto IB:Ð8 "Ñ œ IB:Ð8Ñ ‚ IB:" œ / ‚ / œ /8 8"_{. Así que} IB:Ð8 "Ñ œ /8"Þ _Con esto se completa inducción sobre la afirmación de que IB:Ð8Ñ œ / ß a 8 −8 ÞAhora note que IB:Ð 8Ñ œ _IB:Ð8Ñ" œ _/" œ /8 IB:Ð<Ñ œ / a< −< Þ

. Luego . IB:Ð Ñ œ IB:Ð:Þ Ñ œ ÐIB:Ð:ÑÑ œ Ð/ Ñ œ /:_{; ;}" "; : "; ; IB:Ð Ñ œ /:_; ; è

: :

En resumen hemos demostrado dos cosas: primero que IB:ÐBÑ tiene las mismas propiedades de ÐIB:Ð"ÑÑB en cuestión de potencias y segundo que cuando es racional entonces B IB:ÐBÑ es de hecho e . De ese punto en adelante se denotó B _{IB: B}( ) como _{/ Þ}B

Note: Existe la definición de potencias yendo desde potencias naturales hasta potencias recionales como se mostró arriva (digamos el método largo). Por otro lado nosotros definimos + œ IB:Ð, 68 +Ñ, , digamos, el método cortoÞEn el caso de + œ / hemos demostrado en 4.7, que hasta exponentes racionales, los dos métodos coinciden. Además debe notarse que nosotros dimos sentido especial a potencia y que este debería ser valido cuando se escribe / ßB en cambio de IB:ÐBÑÞVeamos que es consistente:

/ œ IB:ÐB 68 /Ñ œ IB:ÐB 68 / Ñ œ IB:ÐB ‚ "Ñ œ IB:ÐBÑÞB "

La notación es consistente con la definición general de potencia. Las propiedades de potencia/B

para base se exienden para cualquier base, como se pide hacer en los ejercicios./

4.8 Ejercicio:

" Demuestre las fórmulas para Exp₊ÐBÑß + !ß así: + IB: Ð!Ñ œ "+

, IB: Ð"Ñ œ ++

- IB: ÐBÑ ‚ IB: ÐCÑ œ IB: ÐB CÑ+ + +

d ˆIB: ÐBÑ+ ‰ œ IB: ÐBCÑ+ C

/ IB: Ð BÑ œ+ _{IB: ÐBÑ}"₊

0 IB: ÐBÑ œ ++ B

1 IB: À+ ‘ ÒÐ!ß ∞Ñes" " y sobre.

# 61₊ denota la funcion inversa de IB: ÐBÑÞ₊ Usando cualquier parte precedente demuestre las propiedades de esta función así:

+ 61 " œ !+

, 61 + œ "+

- 61 ÐB ‚ CÑ œ 61 B 61 C+ + +

. 61 B œ - 61 B+ - +

/ 61+B_C œ 61 B 61 C+ +

Gráficas de funciones

Otra aplicación del cálculo diferencial es el análisis del gráfico de una función sin necesidad de tener el gráfico mismo. En 4. se ilustran las partes que se pueden analizar usando derivadas de* alguna manera. Estas partes son:

En los intevalos Ò+ß ,ÓÒ.ß 2ÓÒ4ß 5Óhay crecimiento. En los intevalos Ò,ß .ÓÒ2ß 4Óhay decrecimiento.

En los intevalos Ò+ß ,Ó Ò,ß /ÓÒ3ß 5Ó, hay concavidad positiva. En el intervalo Ð/ß 3Ñhay concavidad negativa.

En está , el máximo de 0 Þ

En ,ß 2 2+Cmáximo locales= de 0 Þ En esta . el mínimo de 0

En , están los . 4 mínimos locales de .0

____________________________________________________________

4.9

+ Í

ì

ì

ì ì

ì ì

ì

ì

, - . / 2 3 4 5

ì

ì

______________________________________________________________

Lo mencionado corresponde con las siguientes definiciones

4 10 Þ Definición: Para 0 À M Ò ‘y - − Mß N un subintervalo deM i 0es creciente en si N aBß C − N ß B / C Ê 0 ÐBÑ Ÿ 0 ÐCÑ

ii 0es estrictamente creciente en si N aBß C − N ß B / C Ê 0 ÐBÑ / 0 ÐCÑ iii 0es decreciente en si N aBß C − N ß B / C Ê 0 ÐBÑ € 0 ÐCÑ

iv 0es estrictamente decreciente en si N aBß C − N ß B / C Ê 0 ÐBÑ 0 ÐCÑ

v 0tiene concavidad positiva en si N 0Ð#ÑÐBÑ !excepto a lo mas en un número finito de elementos de en los cuales N 0Ð#ÑÐBÑ œ !Þ

vi 0tiene concavidad negativa en si N 0Ð#ÑÐBÑ / !excepto a lo mas en un número finito de elementos de en los cuales N 0Ð#ÑÐBÑ œ !.

vii 0tiene máximo en - − M si 0 ÐBÑ Ÿ 0 Ð-Ñß aB − M 0 Ð-Ñ ( se llama el máximo de )0 viii 0 tiene máximo local en - − M si existe N ß subintervalo de , tal que M - − N y

0 ÐBÑ Ÿ 0 Ð-Ñß aB − N Þ

ix 0tiene mínimo en - − M si 0 ÐBÑ € 0 Ð-Ñß aB − M 0 Ð-Ñ. ( se llama el mínimo de )0 x 0 tiene mínimo local en - − M si existe N ß subintervalo de , tal que M - − N y

0 ÐBÑ Ÿ 0 Ð-Ñß aB − N.

xi 0tiene un punto crítico en - − M, si 0 Ð-Ñw no existe o 0 Ð-Ñ œ ! èw .

intervalos Ð+ß ,Ñ Ð,ß 4Ñ Ð4ß 5Ñ, , . Note que si una función es creciente entonces la derivada es, bien positiva o bien es cero pero sólo en puntos aislados. Es decir en un número finito de puntos del intervalo la derivada es 0, en los demás es mayor que 0. En cada uno de esos puntos hay un intervalo alrededor de él con la derivada mayor que cero en todos los punto excepto en ese. Esto se ilustra en 4.11 a). Allí se muestra un único punto donde la derivada es cero. El los demás la derivada es mayor que cero.. Por ejemplo C œ B$ es una función estricatamente creciente en todo pero tiene derivada en ‘ ! B œ !( 4.11d)). Igual cosa sucede con la derivada menor que cero y cero en punos aislados. En donde eso sucede la función es decreciente.

Ahora, para hallar los puntos donde la derivada es mayor que y menor que cero es suficiente saber los puntos donde la deridada es cero. Esto produce como resultado posible extremos locales como en y de 4.9. La otra posibilidad de extremos locales sucede en los puntos donde. 2 la derivada no existe en este caso en y de 4.9., 4

Note que el máximo (y el mínimo) de la función está entre los puntos donde la derivada no existe, existe y es 0 y los valores de en y . Nosotros hemos llamado, por conveniencia, puntos0 + 5 críticos a Ð+ß 0 Ð+ÑÑß Ð5ß 0 Ð5ÑÑ y los ÐBß 0 ÐBÑÑ donde 0 ÐBÑw bien no existe o es cero.

4.11 Gráficos

a b

c

y otra con concavidad negativa. Para la primera, la derivada segunda es mayor que cero y para la segunda es menor que cero. Por consiguiente cuando la primera derivada es cero y la segunda es positiva hay un mínimo local y, por el contrario, hay máximo cuando la segunda es menor que !.

Obviamente cuando las segunda derivada es cero, por paso de negativa a positiva o viceversa, se tiene un punto de cambio de la concavidad, como en el origen de 4.11 d). Los puntos de cambio de concavidad se llaman puntos de inflexión. Por ejemplo en C œ B$, (4.11 c) el origen es un punto de inflexión. Esta función tiene alli su único cambio de concavidad, justo donde su primera derivada es La segunda derivada también es cero en !Þ B œ !. Para el caso de la función 2ÐBÑ œ B% _{se tiene} 2 ÐBÑ œ "#B ÞÐ#Ñ # _{Así que}2 Ð!Ñ œ !Ð#Ñ _{, pero no hay un cambio de}

concavidad en 0 (ver 4.11a). En efecto tanto para B / !como para B !se tiene que 12B !Þ# Aquí hay un punto _aislado de segunda derivada cero. En 4. hay cambio de* concavidad en ,ß /ß 3 pero solo en /ß 3 son detectables usando deridada porque en no existe la, primera derivada.

4.12 Ejemplos:

i Analicemos detalladamente C œ 0 ÐBÑ œ B$ para ver cómo salió el gráfico en 4.11 .c a Dominio de 0 ÐBÑ: todo .‘

b Intervalos de crecimiento: se inicia con los puntos en donde la derivada no existe o es 0: 0 ÐBÑ œ $B#exi te en toda parte. Es cero en = B œ ! únicamente. Por tanto los intervalos de crecimiento son Ð ∞ß !Ñß Ð!ß ∞ÑÞ $B !# en todo B Á !y es cero en B œ !Þ Por tanto la función es creciente en todo su dominio. c Concavidad: Buscamos intervalos lo mas grandes posible con segunda derivada

mayor que cero e intervalos con segunda derivada menor que cero. Para eso buscamos segundas derivadas iguales a cero: 0Ð#ÑÐBÑ œ 'BÞ 'B œ ! Í B œ !Þ Así que Ð ∞ß !Ñß Ð!ß ∞Ñ son los intervalos de concavidad. Por solución de inecuaciones en esos intervalos se mantiene el signo de la segunda derivada por tanto para determinar ese signo es suficiente hallarlo un punto del

intervalo. En Ð ∞ß !Ñ usamos (aquí) B œ "Þ

0Ð#ÑÐ "Ñ œ 'Ð "Ñ œ ' / !Þ_{Por tanto este es un intervalo de} concavidad negativa y en él sólo pueden haber máximos relativos. Como en él no hay primera derivada 0 y la derivada existe en ese intervalo solo se usa el dato de concavidad negativa. En Ð!ß ∞Ñ, por un argumento similar, sólo se usa el dato de concavidad positiva.

Eso en cuanto a la forma. Ahora se calculan un par de puntos para ubicar el gráfico: Ð!ß !Ñ Ð"ß "Ñy son los mas simples de calcular. Pasando por este par de puntos un gráfico, con la forma obtenida, se obtuvo 4.11 d).

ii ParaC œ B%: a DominioÀ‘

b Simétrica con recpecto a .C

c Puntos críticos: .C_{.B œ %B Þ}$ Así que _.B.C _{œ ! Í B œ !Þ} d Intervalos de "crecimiento":

Ahora, .C_.B ! Í B !. Luego Ð!ß ∞Ñ es intervalo de crecimiento. e Concavidad:

. C

.B #

#

# œ "#B que es positivo excepto en el punto aislado Ð!ß !ÑÞPor tanto hay

únicamente concavidad positiva y además un mínimo en Ð!ß !Ñ por tener derivada 0.

En este caso también se tiene como puntos extra para ubicar el gráfico Ð!ß !Ñ y (1,1). Aquí se nota que este último no muestra la diferencia entre diferentes potencias de .B Esto no es bueno. Para ver la diferencia use B œ "ß & ßpor ejemplo. 1,5)Ð # œ #ß #& mientras que 1,5)Ð % ¸ &ß !'. Con estos datos se graficó 4.11 a).

iii C œ 6ÐBÑ œ B"_B%.

a H970 œ Ð ∞ß %Ñ ∪ Ð%ß ∞Ñ

Por tanto del análisis de lo sucedido en el primero de los intervalos no se puede deducir lo que pasa en el segundo.

b Crecimiento: .C_{.B œ ÐB%Ñ}$ _ÞCláramente '_{6 Ð%Ñ}no existe. Pero no hay punto crítico

#

en B œ % porque 4 no pertenece al dominio. Decimos en cambio que hay un polo en B œ %. El lector puede verlo especificado en el gráfico 4.13 con la vertical que pasa por B œ %, la cual no pertenece al gráfico pero se acostumbra a dejarla como ayuda visual . Ahora .C_.B / ! en todo el dominio de De esto NO puede6Þ concluir que la función es decreciente en todo su dominio. Pero sí que es decreciente en cada uno de los intervalos de la partición de su dominio. El gráfico final muestra en efecto estos dos detalles. Asegúrece de que los identifica allí.

c Puntos críticos: Cláramente no tiene puntos críticos.6

d Concavidad: . C_.B## œ _ÐB%Ñ' $Þ De nuevo la segunda derivada no existe en B œ % pero de todos modos 4 no está en el dominio de . El signo de 6 _ÐB%Ñ' $ es en mismo de ÐB %Ñ$. Para B % es positivo y para B / % es negativo. Así que en Ð%ß ∞Ñla concavidad es positiva y en Ð ∞ß %Ñ es negativa.

e Puntos especiales: Ahora busquemos en qué puntos corta el eje . Para estoB C œ ! Í B"_B% œ ! Í B " œ ! Í B œ "Þ Es decir que el único corte con el eje se encuentra en B B œ " y por tanto en el intervalo Ð%ß ∞Ñ no hay corte con el eje . Para saber si el gráfico en este intervalo está por encima o por debajoB del eje veamos que pasa con B œ &. El cálculo de d C + C œ %, luego el gráfico en esta parte se encuentra sobre el eje y es decreciente.B

f Asímptotas: A qué se acerca el gráfico?. Como C lim 6ÐBÑ œ " entonces el

BÄ∞

gráfico pasa por Ð&ß %Ñy se acerca infinitamente a C œ "Þ La recta C œ " se llama una asimptota horizontal del gráfico y se deja por ayuda visual, como límite del gráfico.

De paso veamos qué pasa cuando B Ä ∞. lim 6ÐBÑ œ "ÞEs decir que

BÄ∞

se acerca a C œ ". Como C œ " está ya jugando un papel especial conviene saber si el gráfico corta C œ " en algún punto. Pero se ve fácilmente que

B"

Entonces, como sabemos que Ð"ß !Ñes un punto del grafico en Ð ∞ß %Ñ, el gráfico en ese intervalo esta por debajo de C œ "Þ Queda por decidir qué pasa en las cercanías de B œ %Þ Pero en Ð ∞ß %Ñ, lim 6ÐBÑ œ ∞Þ Por otro

BÄ%

lado lim . Todos esto datos permiten hacer el gáfico como se ve en

BÄ%6ÐBÑ œ ∞

4.13. è

4 13 Þ C œ B"_B%

ñ

ñ

"

Ð&ß%Ñ ì

ì

%

Puntos extremos

El máximo y el mínimo de una función se llaman sus extremos. Este dato es uno de los mas usados y, como ya se dijo, la derivada puede ayudar a detectarlos. Pero no se justifica lanzarse a buscarlos sin saber siquiera si ellos exi ten o nó. No si mpre existen por supuesto. Por ejemplo= / 0 ÐBÑ œ Bß B − Ð!ß "Ñ no tiene máximo ni mínimo; 2ÐBÑ œ Bß B − Ò!ß "Ñ tiene mínimo y no! tiene máximo; 5ÐBÑ œ Bß B − Ð!ß "Ó no tiene mínimo pero tiene máximo 1 y 6ÐBÑ œ Bß B − Ò!ß "Ó tiene mínimo 0 y máximo 1. Se ilustra con los ejemplos que no es suficiente con trabajar en un intervalo para tener extremos. En el intervalo abierto no hay ninguno de los dos y en el cerrado existen los dos. Pero C œ B ß B − Ð "ß "Ñ# , tiene mínimo 0. Es decir que en los intervalos abiertos la función puede tener extremos. Ahí es donde la derivada ayuda. Para iniciar damos sin demostración un teorema que establece un caso en el cual si hay extremos:

4.14 Teorema: Toda función continua 0 À Ò+ß ,Ó Ò ‘ tiene los dos extremos. è

por supuesto el mínimo será el mínimo de ellos y el el máximo de la función será el máximo de ellos.

Por ejemplo, en 4.15, en el intervalo Ò,ß -Óel máximo es 0 Ð-Ñ y el mínimo es %Þ Pero en Ò,ß %Ó el máximo es y el mínimo es! %. En todo no hay extremos de intervalo y la función no tiene‘ máximo ni mínimo.

4.15 0 ÐBÑ œ B₎$ $B_%#

ñ

ñ

'

Ð%ßq%Ñ ñ

ñ ,

-+

ñ

Aparte del uso en gráficos, en la practica se dan condiciones concretas en la cuales se buscan= máximos o mínimos.

Por ejemplo un clásico: Cuales son las dimensiones de la caja de menor costo (con tapa y altura #! -7) y volumen 120 -7$ que usa cartón de $ 20 el -7#.

20

C

B

Como el volumen de la caja es #!BC entonces #!BC œ "#!Þ Por otra parte el área de la caja es E œ #Ð#!CÑ #Ð#!BÑ #BCÞ Y como Bß C Á !ß entonces C œ Þ' Así que

B

E œ #Ð#!CÑ #Ð#!BÑ #BC œ %Ð'!_B "!B $ÑÞ Se trata de minimizar el área para así minimizar el costo. En realidad el costo del cartón es inmaterial en el problema porque se piden las dimensiones de la caja y no el costo de la caja. Para minimizar es suficiente minimizar loE que está dentro del paréntesis. Sea 2ÐBÑ œ '!_B "!B $ÞEl dominio de es 2 Ð!ß ∞ÑÞ Además 2 ÐBÑ œ w '! "!Þ 2 ÐBÑ œ !w B œ 'Þ

B#

#

para È Por tanto los intervalos de crecimiento son (0,È# ) y (È# , ). Como entonces la cocavidad es positiva y por tanto hay

$

un mínimo relativo en B œ È# 'Þ Ahora 2ÐBÑ œ ∞y 2ÐBÑ œ ∞ÞEscrito burdamente los

lim lim

BÄ! BÄ∞

posibles extremos son 2ÐÈ# 'Ñß ∞ß ∞ÞPor tanto el mínimo existe y es 2ÐÈ# 'Ñ

œ '! "! ' $Þ E œ '! "! ' $

' '

È# È#

# #

È La mínima área es pues 4( È ). Ahora, las

dimenciones pedidas son: B œ È# 'ß C œ y alturaœ #! -7Þ Por supuesto el minimo costo

#'_'

È

de las cajas es #!E œ )!(_È'!# _' "! ' $), aunque no lo pedían.

#

È

4.16 Ejercicios:

A Grafique las siguientes funciones. Debe hacer un resumen de todos los datos de graficado que se estudian en el curso.

1 /B

2 /| |B

3 /B "#

4 /B %#B

5 /B %#| |B

6 _{B %}#B

7 =/8B

=/8 B%#

8 =/8 /B

9 |=/8 /| |B|

10 /=/8 B

11 >+8 ÐB "Ñ#

12 >+8 B "#

13 =/82 B

14 -9=2 B

15 >+82 B

16 2ÐBÑ 2 ÐBÑ œ ÐB "ÑÐB #ÑÐB $Ñ 2Ð!Ñ œ !si w si

18 B 'B $#

19 CÐB %Ñ œ (

20 ÐC %ÑB œ (

21 /=/8 B" con dominio un intervalo de máxima longitud que contenga a 1.

22 BÈ$ %&

B Halle los extremos en los suientes problemas.

1 Dé dos números reales cuyo producto sea 1000 y cuya suma sea máxima.

2 De un cartón, de las dimensiones mostradas en el gráfico, dadas en -7 se recortan esquinas cuadradas de lado .+

Ãa

15 12

Cuales son la dimensiones de la caja de mayor volumen.

3 Encuentre las dimensiones de la caneca cilíndrica para gaseosas de menor área lateral para un volumen fijo de 250-7$

4 Se debe construir una puerta en forma de arco de la mayor área posible. Cual debe ser la relación entre la longitud de las columnas laterales y el radio del semicírculo superior si se dispone de 20 7> lineales de acero para el marco?

5 Un auto se nueve sobre un piso tipo a 10E 57Î2y sobre un piso tipo a F "& 57Î2ß con la misma exigencia del motor. Los pisos forman un rectágulo de 2 franjas de y "_# " 57 de ancho respectivamente y 1557 de largo. El auto debe pasar de un vértice a su opuesto en el menor tiempo posible desplazandose en línea recta sobre cada superficie. Cual debe ser el camino a seguir?

6 Para producir un producto químico se usa un químico . En el proceso xE F unidades de Fagregan Ð#!! !ß !"BÑBunidades de E pero usan en la reacción &!B #!!!!unidades de E. Si lo que se desea maximizar la producción de que cantidad del químico debe usarse?E F

8 Una cúpula de iglesia, junto con el recinto cilíndrico que le sirve de base debe estar inscrito en una semiesfera de 2!7>= de radio. En total, cúpula mas cilindro deben alcanzar el máximo volumen posible. Cual debe ser el radio del recinto?

9 Un estudio muestra que si el precio de un artículo se incrementa entonces las ventas disminuyen 4 unidades por cada peso de incremento. Teniendo en cuenta que el costo de producir el artículo es de Col$ 5000 y se producen 1000 artículos, cual debe ser el precio de venta si se supone que se venden todos los artículos producidos y se desea máxima ganancia? .

10 El tanque de un sanitario esta diseñado para disminuir el flujo de agua en la medida que la altura del agua aumenta. El mecanismo regulador adquirido hace que el flujo disminuya 10% por cada centímetro de altura a partir de 10 centímetros. El volumen ideal de un tanque es de 9000 -7$. El diseño estipula que el tanque es esencialmente un paralelipipedo de frente cuadrado. Cuales son las medidas de mínima área lateral que cierran el flujo (por medio del mecanismo de control de altura) del agua, en el volumen ideal?

Razón (rata) de cambio

Recuerde que en el capítulo 3 se mencionó que al cociente de dos funciones se le llama la razón del numerador con relación al denomimador. Así, 0ÐBÑ_1ÐBÑ es la razón de con relación a 0 1ÞPor otro lado una función del tipo 0 Ð+ 2Ñ 0 Ð+Ñ, donde es la variable se toma como 2 ß el cambio (o la función cambio) de en 0 +Þ Esto se puede escribir como 0 ÐBÑ 0 Ð+Ñ si se desea usar mas bien B œ + 2ßcomo variable y considerar el cambio como una función de , la varialble de .B 0 Por otro lado lim se considera como la razón de cambio

BÄ+ 0ÐBÑ

1ÐBÑ instantáneo, de relativo a en0 1

+. Así pues para dos funciones 2ÐBÑß 5ÐBÑ y un elemento del dominio común de + 2ß 5, la razón de cambio instáneo de 2ÐBÑ relativo a5ÐBÑ en B œ + es lim . Cuando

BÄ+

2ÐBÑ2Ð+Ñ 5ÐBÑ5Ð+Ñ

5ÐBÑ œ Bß entonces en cambio de decir la razón de cambio instantáneo de relativo a en , 0 5 + se dice la razón de cambio instantáneo, de en .0 +

Por ejemplo la derivada de una función , en , es precizamente la razón de cambio instantáneo0 + de 0 ÐBÑ en B œ +.

Pensando la derivada como la inclinación de la recta tangente a una curva en un punto dado y a la recta misma como la representación del crecimiento de la curva, entonces lo que sigue es apenas natural:

4.17 Definición: Para una función , a la razón o 0 Ð rata) de cambio instantáneo de en 0 B œ + se le llama la tendencia a crecimiento de f en + è.

Asimilamos tendencia a crecimiento negativo con tendencia a decrecimiento

Regla de L'Hopital 4.18 Proposición:

ii Si y son derivables en entonces la razón de cambio instantáneo de , con relación0 2 + 0 a , en es 1 + 0 Ð+Ñ_{1 Ð+Ñ}ww Þ Es decir que lim 0 Ð+Ñ_1Ð+Ñw Þ

BÄ

0ÐBÑ0Ð+Ñ 1ÐBÑ1Ð+Ñ

a œ

iii Regla de L'Hopital . " Si 0 Ð+Ñ œ ! œ 1Ð+Ñß entonces la razón de cambio instantáneo de 0, con relación a , en 1 B œ + es 0 Ð+Ñ_{1 Ð+Ñ}w ß si 1 Ð+Ñ Á !Þw Es decir que _{1 Ð+Ñ}0 Ð+Ñw .

w lim w

BÄ 0ÐBÑ 1ÐBÑ

a œ

iv Regla de L'Hopital 2. W3 lim 0 ÐBÑ œ ! œ lim gÐBÑ y lim

BÄ∞ BÄ∞ BÄ∞

0 ÐBÑ 1 ÐBÑ

w

w existe, entonces

lim lim

BÄ∞ BÄ∞

0ÐBÑ 0 ÐBÑ

1ÐBÑ œ 1 ÐBÑ.

w w

v Regla de L'Hopital 3ÞSuponga que lim lim para

BÄ+ BÄ+

Ð3Ñ Ð3Ñ

0 ÐBÑ œ !ß 1ÐBÑ œ !ß

3 œ "ß #ß âß 8 " y que 0Ð8ÑÐ+Ñexiste y 1 Ð+ÑÐ8Ñ existe y es distinto de !ÞEntonces lim

BÄ+

0ÐBÑ 0 Ð+Ñ

1ÐBÑ œ 1 Ð+Ñ

Ð8Ñ Ð8Ñ .

vi Regla de L'Hopital%ÞSuponga que lim lim con derivables en

BÄ+0 ÐBÑ œ ∞ œ BÄ+1ÐBÑ 0 ß 1 +

y que 0 Ð+Ñ 1 Ð+Ñw y w existen y 1 Ð+Ñ Á Þw 0 Entonces œ .

BÄ+

0ÐBÑ 0 Ð+Ñ

1ÐBÑ 1 Ð+Ñ

lim ww

Demostración: En cuanto a i , Ñ para hallar la rata de cambio instantáneo se hace lo mismo que para hallar la inclinación de la recta tangente a la curva en un punto dado: se busca en la línea secante y se toma el límite (ver la derivada). Así, si C œ 0 ÐBÑß razón de cambio es Cambio de _{Cambio de B}CÞSi B cambia de a + + 2 /ntonces Cambio de _{Cambio de B}C será 0Ð+2Ñ0Ð+Ñ₂ ÞAsí que la rata de cambio instantánea en en B B œ + es lim œ 0 Ð Ña

8Ä!

0Ð 2Ñ0Ð Ñ

2 w

a a

En cuanto a ii) lim lim .

BÄ+ BÄ+

0ÐBÑ0Ð+Ñ 0 Ð+Ñ

1ÐBÑ1Ð+Ñ œ œ 1 Ð+Ñ

0ÐBÑ0Ð+Ñ B+ 1ÐBÑ1Ð+Ñ B+ w w

Para iii se hace en iiÑ Ñ 0 Ð+Ñ œ ! œ 1Ð+ÑÞ

Para la parte ivÑß tomeB œ " 2Ð Ñ œ 0 ÐBÑß 5Ð Ñ œ 1ÐBÑ Þ ! œ" " 0 ÐBÑ œ 2Ð ÑÞ" de

> > > lim_BÄ∞ lim_>Ä! >

igual manera ! œ lim ÐBÑ œlim Ð ÑÞ Así pues lim œ lim œ lim

BÄ∞ >Ä! BÄ∞ >Ä! >Ä!

"

> 1ÐBÑ

0ÐBÑ 2Ð Ñ

5Ð Ñ

g k ">

" >

2 Ð ÑÐ Ñ

5 Ð ÑÐ Ñ _>Ä! 5 Ð Ñ 2 Ð Ñ

BÄ∞ 0 ÐBÑ 1 ÐBÑ

w " "

> ># > w " " w " > ># >

w " w w

œ lim œ lim Þ

La parte la aceptamos sin demostración.v)

En Cuanto a vi, si lim lim sea . Entonces . Por

BÄ+ BÄ+

0ÐBÑ 1ÐBÑ

0 ÐBÑ œ ∞ œ 1ÐBÑ 2ÐBÑ œ 2ÐBÑ œ "

" 0ÐBÑ

" 1ÐBÑ

tanto lim lim lim lim lim .

BÄ+ 2Ä+ BÄ+ BÄ+ BÄ+

1 ÐBÑ Ð0ÐBÑÑ 0 ÐBÑ Ð1ÐBÑÑ

2ÐBÑ œ " Ê 2ÐBÑ œ œ †

0 ÐBÑw 1 ÐBÑw Ð0ÐBÑÑ# Ð1ÐBÑÑ#

1 ÐBÑw 0 ÐBÑw Ð1ÐBÑÑ# Ð0ÐBÑÑ#

w #

w #

Si Q œ lim 2ÐBÑ entonces Q œlim Q y simplificando Q œ lim , es decir que

BÄ+ BÄ+ BÄ+

1 ÐBÑ 0 ÐBÑ

0 ÐBÑ # 1 ÐBÑ

w w

w w

lim lim

BÄ+ BÄ+

0ÐBÑ 0 ÐBÑ

1ÐBÑ œ 0ÐBÑÞ

w

4.19 Ejemplos.

" lim œlim œlim œ !. Veamos cómo se hizo: tomando B œ

BÄ∞ BÄ∞ BÄ∞

B #B # "

/ / / C

#

B B B

lim lim

BÄ∞ B

/ _CÄ! /

Ð Ñ #Ð Ñ

/ / Ð Ñ /

#Ð ÑÐ Ñ

Cœ! Cœ! Bœ∞

#ÐBÑ

#

B B

" "

C # C C

" " "

C C C

" " C # " C#

# Si se pregunta qué función tiene una tendencia a crecimiento constante y valor , se+ debe tener 0 ÐBÑ œ +w , por tanto 0 ÐBÑ œ +B 5, de manera que debe ser una de las rectas de inclinación +Þ Si + !ß entoces 0 ÐBÑ œ +B 5 en cada punto tiende a crecer, pero lo hace de manera constante. En cambio C œ /B tiene tendencia a crecimiento .C_{.B œ /}B que no solo es mayor que sino que a su vez crece rápidamente._! Así que 0 ÐBÑ œ /Btiende a crecer pero cada vez mar rápido. De hecho tiende a crecer de manera exponencial. Ahora 1ÐBÑ œ B$ tiene tendencia a crecimiento $B#, es decir que tiene una tendencia a crecimiento positiva, que aumenta con pero no tanto comoB en el caso de ./B

3 Se llama crecimiento tipo poblacional a aquel en el cual la tendencia a crecimiento es proporcional a "la población" existente. Aquí por supuesto la función en consideración se llama "la población". Si no se usa esa palabra entonces simplemente se dice que la tendencia a crecimiento de 2Ð>Ñ es proporcional a 2Ð>ÑÞ Entonces se puede calcular la población. En efecto como 2Ð>Ñdenota la población en el momento entonces la> tendencia a crecimiento en debe ser > 52ÐBÑ. Es decir que 2 Ð>Ñ œ 52Ð>ÑÞw Por ejemplo en economía se espera que el capital puesto a interés crezca de esta manera ( la tendencia a crecimiento del capital es proporcional al mismo capital, el cual por supuesto, esta creciendo). Así que si -Ð>Ñ es el capital (y no se trabaja con capital 0) entonces:

- Ð>Ñ œ 5-Ð>Ñ Íw - Ð>Ñ œ 5

-Ð>Ñ

w

.

Como los dos lados del último "œ" son derivadas de funciones conocidas entonces 68 -Ð>Ñ œ 5B 6 Í -Ð>Ñ œ /5B6 œ / /6 5B. Así pues -Ð>Ñ œ / /6 5B.

Además si 0-Ð Ñ œ -! es el capital inicial, entonces - œ -Ð!Ñ œ / / œ /! 6 ! 6. De manera que /6, por extraño que esté representado es simplemente - Þ! De modo que - > œ - / Þ! 5> El se llama la taza de 5 interés compuesto cuando el dinero está puesto a producir intereses.

4 Carbono 14 y Tiempo de Vida Media. Hay seres vivos que tienen entre sus componentes dioxido de carbono y entonces sus dos isótopos "%_G (carbono 14) y "#_G

(carbono 12). En el medio ambiente la razon de cambio entre estas funciones (del tiempo) permanece esencialmente constante y tambien en los seres que los contiene mientras estén vivos. Cuando un ser vivo muere el "#_G no se degrada pero en cambio el "%_G sí lo hace, y decrece en forma exponencial. Por tanto midiendo el "%_G en seres que fueron vivos se puede decidir cuánto hace que murieron. Digamos que "% y "# son las

! !

G G

medidas de carbono 14 y carbono 12 justo en el momento en que el ser vivo muere. Como "% ! entonces ( ) ( ), datos estos últimos que son

"#G_G! œ 5ß "%G œ 5! "#G œ 5! "#G

válidos aun a partir de muerte del ser en consideración. El carbono 14 del ser, en el momento de la muerte es pues calculable. Si además se puede calcular mas tarde entonces se puede calcular el cambio en el carbono 14. Sabiendo el cambio en el carbono 14 se puede saber el tiempo de degradación del mismo y usarlo para dar la "edad" de un fósil. Ahora por ser el decrecimiento del carbono 14 exponencial entonces su cantidad en el tiempo es denotando por Ð Ga"%G) es GÐ>Ñ œ G /<> donde G es

! !

el inicial. Ahora se ha calculado que la vida media del carbono 14, es decir el tiempo enß que pasa deG!a G_#!, es de 5730 años. Por tanto reemplazando en GÐ>Ñ œ G /! <>

< œ _&($!68"# ¸ !ß !!!"#!*'Þ _{Con esto se tiene la fórmula de degradación del carbono} 14:

GÐ>Ñ œ G /! !ß!!!"#!*'>Þ

Ahora necesitamos enfrentar el siguiente problema. Cómo hallar el carbono 14 que tenía un fosil en el momento de morir. Naturalmente por la degradación del carbono 14 la razón entre los carbonos no permance estable en el fósil. Llamemos a la razon entre los<!

carbonos, 14 a 12 en el momneto de la muerte y <0 a la razón de carbonos en el fosil. Entonces < œ! G_G C < œ0 G_G ÞPero "#G œ! "#G Þ0 Por tanto _<G œ _<G y por tanto

"% "%

! !

"# _! "# _{0 ! 0}

"% "%

0 0

"% "% "%

! _<< 0 ! 0 0

G œ ! G < < G

0 . Así está en el medio ambiente, está en fosil y está en el

fósil. Todos son medibles. Por tanto el tiempo> de muerte del fósil, hasta el momento del cálculo es despejable de la igualdad G œ0 _<<₀!G /0 !ß!!!"#!*'> y es

> œ _!ß!!!"#!*'68 < 68 <! 0

donde < /= 6+! razón en los carbonos del ser vivo y <0la misma razón en el fósil.

4.20 Ejercicios:

1 Calcule el cambio entre y , la razón de cambio, y la razón de cambio instantáneo en+ , B œ +de la función dada:

a 0 ÐBÑ œ =/8 Ð)B $Ñß + œÈ# # ß , œÈ$ # b 0 ÐBÑ œ =/8 Ð)B $Ñß + œÈ$ # ß , œÈ# #

c 1ÐBÑ œ /#B$ß + œ $ß , œ !

d 2ÐBÑ œ B $B '# + œ #ß , œ %

2 Calcule la razón de con relación a cada una de y de del ejercicio precedente. 0 1 2

3 Calcule la razón de con relación a cada una de y de en cada uno de los valores de0 1 2 , del ejercicio precedente.

4 Calcule de dos maneras distintas la razón de cambio instantaneo de con relación a y0 1 a en cada uno de los valores de del ejercicio 1.2 +

5 De ser posible calcule todos los puntos de 0 ß 1ß 2 de 1 donde a la tendencia a crecimiento es máxima.

b la tendencia a crecimiento es mínima.

c la tendencia a crecimiento es igual al valor de la función.

d Calcule todas las funciones cuya razon de cambio instantáneo en cada punto es 3 veces el valor de la funcón.

6 Cual es el menor número de datos, hasta el día de hoy, que usted necesita conocer para poder calcular la población mundial que habrá dentro de 10 años?. Deduzca una fórmula que permita calcular la población mundial de hoy en adelante.

8 Al cumplirse la vida media de una sustancia la cantidad de ella encontrada fue de 0,05 761Þ A partir de ese punto, en el tiempo igual a la mitad de la vida media. cuánta sustancia se encontrará?.

9 Para un capital , capitalizando continuamente, es lo mismo ponerlo a interes de %G < anual por un año, que a % mensual por 12 meses?.<

12

10 Una persona cede, a interés compuesto, un dinero penzando que a 7% anual, en dos años su capital se verá incrementado de un 50%. Hizo bien el cálculo o en cuanto falló el mismo?

11 En la ciudad hay 50 mil predios los cuales pagaron 75.000 millones de pesos en un determinado año en el que inició el MIO. El municipio gasta el dinero de manera exponencial y en dos meses había gastado la mitad del dinero. Le alcanzó el dinero para cubrir el año? Cuanto le quedo al fin de año?. Con el mismo ritmo de gastos, con qué capital debe iniciar para que al final de año tenga la mitad del capital? Se sabe que al bajar % el impuesto el número de ciudadanos que se presentan a pagar impuesto5 predial se incrementa en %. Cuanto debe ser para que el recáudo sea máximo. Con5 5 ese nuevo nivel de recáudo, en cuantos años el ahorro permite tener los 60.000 millones que faltan para el MIO?

Aproximaciones Polinómicas

4.21 Definición: Se llama la aproximación lineal de una función 0 en el punto " "+ a la recta tangente a la curva en . +

4.22 Proposición:=3 1ÐBÑes la proximación lineal de en 0 + entonces 1ÐBÑ œ 0 Ð+Ñ 0 Ð+ÑÐB +Ñw _.

Esto se escribe mas bien así: alrededor de +ß 0 ÐBÑ ¸ 0 Ð+Ñ 0 Ð+ÑÐB +ÑÞw

4.23 Proposición: La aproximación lineal de en es el único polinomio que cumple0 + EP" es un polinomio :ÐBÑde grado 1.

EP# la derivada 0 de en coincide con: + la derivada 0 de en .0 + EP$ la derivada " de en coincide con la : + derivada " de en 0 +

Demostración: tomando :ÐBÑ œ 0 Ð+Ñ 0 Ð+ÑÐB +Ñw _{cláramente cumple EP"ÞAdemás}

: Ð+Ñ œ :Ð+Ñ œ 0 Ð+ÑÞÐ!Ñ Por tanto se cumple EP#Þ Para EP$ : ÐBÑ œw 0 Ð+Ñw y por tanto : Ð+Ñ œw _{0 Ð+Ñ}w _{. Así pues :ÐBÑ œ 0 Ð+Ñ 0 Ð+ÑÐB +Ñ}w _{cumple AL1 AL3. a}

Ahora, todo polinomio de grado 1 se puede escribir en la forma -ÐB +Ñ 5 œ ;ÐBÑÞ Si no está escrito en esa forma de transforma dividiendo por B +. Si este polin mio cumpl AL2 y AL39 / entonces ;Ð+Ñ œ 5 C ; Ð+Ñ œ -Þw Luego ;ÐBÑ œ :ÐBÑÞAsí que 0 Ð+Ñ 0 Ð+ÑÐB +Ñw es el único polinomio que cumple AL1 AL3. a

Nota: Cuando está dada por una tabla de valores entonces el grafico aparece en la forma de la0 figura de 4.24.

► ▲

●

●

●

(a,f(a) )

(b,f(b))

(c,f(c))

Si uno de los puntos corresponde a B œ +ß es decir que 0 Ð+Ñestá dado se usa el másB cercano a " " para calcular la aproximación lineal. Si es el punto más cercano a " " entonces la+ , + mejor aproximación que se tiene a 0 Ð,Ñw es 0Ð,Ñ0Ð+Ñ_,+ y se usa esta en cambio de la derivada (ver gráfico). Así pues para valores de cercanos a " " la aproximación de es la función dada porB + 0 1

1ÐBÑ œ 0 Ð+Ñ 0Ð,Ñ0Ð+Ñ_,+ ÐB +Ñ

De igual manera si la aproximación "cuadrática" es la de un polinomio de grado 2 en B + digamos ;ÐBÑ entonces se tiene que:

4.25 Proposición: Si admite segunda derivada en entonces existe un único polinomio0 + :ÐBÑ alrededor de tal que+

E2.1 :ÐBÑes de grado 2.

E#.2 la derivada n de en coincide con: + la derivada n de en , para 0 + 8 œ !ß "ß #.

Demostración: tomando :ÐBÑ œ 0 Ð+Ñ 0 Ð+ÑÐB +Ñ 0w "_# Ð#ÑÐ+ÑÐB +Ñ# cláramente cumple EP"y EP#Þ Ahora, todo polinomio de grado 2 se puede escribir en la forma ;ÐBÑ œ - - ÐB +Ñ - ÐB +Ñ Þ! " # # Si no está escrito en esa forma se transforma dividiendo

por B +. Si este polinomio cumple AL2 entonces ;Ð+Ñ œ -!, ; Ð+Ñ œ -w "y ; Ð+Ñ œ - Þ(2) 2 "

Luego ;ÐBÑ œ :ÐBÑÞ

4.26 Definición: :ÐBÑde la proposición precedente se llama la aproximación cuadrática de 0 alrededor de +Þ

4.27 Proposición: Si admite derivada 0 7 en entonces existe un único polinomio + :ÐBÑ alrededor de tal que+

E2.1 :ÐBÑes de grado .7

E#.2 la derivada n de en coincide con: + la derivada n de en , para 0 + 8 œ !ß "ß #ß âß 7.

4.28 Definición: :ÐBÑ de la proposición precedente se llama la aproximación polinómica de grado m de alrededor de 0 +Þ

La aproximación cuadrática es una mejor aproximación que la lineal, y la cúbica es mejor que la cuadrática etc, para 0 ÐBÑ alrededor de " " . En el siguiente curso de cálculo se verá "qué tan+ bien " aproxima cada una de ellas.

1 Se llama el valor real de una función GÐBÑe a partir de 8 , +aGÐ,Ñ GÐ+ÑÞ

Esto es útil cuando se usa un modelo continuo para representar un fenómeno que depende de una variable discreta. Por ejemplo en el caso del costo de producción de un bien, no tiene sentido real que se calcule en 11Î% unidades por que cuando B œ 11Î%en la práctica se produjeron 2 unidades realmente En el intervalo entre 2 y 3 se está. agregando algo en el modelo, que no se ajusta a la realidad Asi, el costo real de producir. se hace por unidades físicas y depende de cual unidad. El costo real de producción de la unidad es el incremento del costo al pasar de la unidad 8 8 " a la unidad 8Þ Es decir que si GV denota el costo real entonces GVÐ8Ñ œ GÐ8Ñ GÐ8 "ÑÞ

2 Determine una fórmula para el cálculo aproximado del cambio (incremento) de la variable dependiente con base en el cambio (incremento) de la variable independiente.

Solución: si una variable pasa de > >!a entonces el incremento de es >" > > > Þ" ! Se trata de dar una relación para C œ 0 ÐBÑdeC C!sabiendo B B!. Pero si C œ 0 ÐBÑ

Ê C ¸ 0 ÐB Ñ 0 ÐB ÑÐB B ÑÞ! w ! ! Es decir que

C ¸ C 0 ÐB ÑÐB B Ñ Í C C ¸ 0 ÐB ÑÐB B Ñ! w ! ! ! w ! !

Note los cambios de y de presentes en la fórmula. Normalmente se usa C B ?C y ?B para denotarlos. Por tanto en las vecindades de B!se tiene que ?C ¸ 0 ÐB Ñ BÞw ! ?

Por ejemplo suponga que el costo marginal Q G de producir un artículo al producir 20 unidades es 3$ por artículo. En cuanto aumentaría aproximadamente el costo al pasar a un nivel de producción de 20.5 unidades?

?GÐBÑ œ Q GÐBÑ B Ê? ?GÐ#!Þ&Ñ œ $ † Ð!Þ&Ñ œ "Þ&

4 Mediciones imperfectas (error).

El costo marginal de producción, (denotada ) a nivel de : B!(es decir cuando B œ B!Ñ

unidades se ha podido calcular, pero el número de unidades producidas al nivel B!sólo puede ser predicho con un error de 2 unidades por cada mil. Cuál es aproximadamente el error previsto en el calculo del costo debido al error en el cálculo de la producción? Solución: si asimilamos el error como el incremento (decrecimiento) del costo se tendrá ?G ¸ Q GÐBÑ B?

I<GÐBÑ Q GÐBÑI<ÐBÑ œ Q GÐB ÑÐ#Ñ œ #Q GÐB ÑÞ! !

Así pues en general si el error en el cáculo de producción es I<ÐBÑ y el de costo es I<ÐGÑentonces I<ÐGÑ entonces I<ÐGÑÐBÑ œ GQ ÐBÑI<ÐBÑÞ

4.30 Ejercicios:

1 Suponga que su calculadora aproxima con mínimo 6 cifras decimales de exactitud. En cada caso:

a) Calcule el polinomio de aproximación (Taylor) de la función dada, en B œ +. b) Use la función de aproximación para calcular 0 Ð+ !Þ!&Ñ 0 Ð+ !Þ&Ñy y c) calcule el error debido al uso del polinomio de aproximación.

a 0 ÐBÑ œ =/8 $B + œ !ß + œ Î%1 en grado# c 0 ÐBÑ œ /$B "+ œ !ß + œ Î%_{1 en grado}# d 0 ÐBÑ œ /$B "+ œ !ß + œ Î%1 en grado$

a) =/2 B b) /$ c) 3x# 'B "# d) 68 BÞ

3 El mismo ejercicio anterior pero alrededor de 1.

4 El costo real de producción de la unidad 21 es de 500 pesos y el costo marginal en esa unidad es 3.3. Cual es la proximación lineal del costo de producción de ese bien y cual es el intervalo de su validez.

5 La tendencia a crecimiento en la producción de un químico en la que se usa una, sustancia es o 0,2 cuando + + œ #!!! gramos Se encuentra además que, siempre, laÞ disponibilidad de se maneja con un error de 3 gramos mas o menos. Que información+ debe dar la compañía sobre el posible error en la disponibilidad de , cuando llegue a, + 2000 gramos?.

6 Se desea dar una primitiva de 1ÐBÑ œ / +<-=/8B ßB en el intervalo Ð !Þ"ß !ß "ÑÞ Suponga que cuando no se puede hallar una fácilmente se permite aproximar la función por una aproximación polonomial de grado . Cual es la primitiva de en ese intervalo?% 1

7 Calcule aproximadamente È( _{"ß !#(&} usando las cuatro operaciones y cálculo diferencial de modo que su valor coincida con el que produce su calculadora.

8 Una función 2 tiene 2Ð8ÑÐ"Ñ œ Ð"Ñ ß para nœ "ß #ß ÞÞÞÞß ' y2Ð"Ñ œ $ÞGrafique

8

8