GUÍA DE LABORATORIO
ACELERACIÓN DE UN CUERPO EN “CAIDA LIBRE”
OBJETIVO:
Determinar el valor de la aceleración de un cuerpo (aceleración de la gravedad o intensidad del campo gravitacional) cuando cae libremente cerca a la superficie terrestre.
Identificar el comportamiento de movimiento de un cuerpo a partir de una curva de aceleración en función del tiempo.
MARCO TEÓRICO
El acelerómetro
Medir la aceleración de un cuerpo es de gran importancia tecnológica actualmente. El dispositivo diseñado para tal fin es el acelerómetro, el que junto a otro dispositivo que se estudiara posteriormente , el giróscopo, es usado en los llamados sistemas de navegación inercial (inertial navigation systems-INS) para calcular la posición, la orientación y la velocidad de una nave o vehículo, sin ninguna ayuda externa, solo conociendo las condiciones iniciales. En el mundo de los computadores los acelerómetros son instalados en los computadores portátiles, de tal manera que si el computador experimenta una aceleración brusca, una caída, el disco duro se apague y las cabezas lectoras no ocasionen ningún daño. En el ámbito de los automóviles la información entregada por un acelerómetro puede ayudar a encontrar y solucionar problemas de vibraciones en el motor. Y por supuesto, un acelerómetro puede decirle al computador de a bordo cuando disparar los sistemas de seguridad como las bolsas de aire (air bag). En general la información entregada por un acelerómetro puede ser empleada por un computador, usando el software apropiado, para infinidad de aplicaciones de la vida moderna.
Funcionamiento del acelerómetro
Existen muchas formas de construir un acelerómetro, dentro de las más comunes están las que usan el efecto piezoeléctrico y los basados en cambios de capacitancia. El primero aprovecha las propiedades de ciertos materiales que al ser sometidos a esfuerzos generan una diferencia de potencial y los segundos son capacitores que al ser deformados cambian su capacitancia eléctrica.
Modelo de un acelerómetro
Independientemente del principio físico base para el funcionamiento del acelerómetro, en últimas tenemos un dispositivo que detecta cuando
sobre el actúa una fuerza neta. Vamos a modelar un acelerómetro en una dimensión. El modelo está compuesto por un resorte de masa despreciable en posición horizontal unido a un bloque con masa sobre una plataforma movible. No hay fricción
entre el bloque y la plataforma, como se muestra en la figura. El bloque A de masa m está unido por medio del resorte de constante de elasticidad k a la plataforma movible. Cuando la
plataforma experimenta una aceleración constante en la dirección positiva del eje x respecto a un observador inercial, el resorte se deforma.
Para un observador inercial fijo en la tierra, el diagrama de cuerpo libre (DCL) del bloque A sería:
La ecuación de movimiento en forma vectorial sería:
𝑁⃗⃗ + 𝐹⃗⃗⃗⃗ + 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎 𝑅
Se escoge un sistema de coordenadas con uno de los ejes paralelos a la dirección de la aceleración
La ecuación vectorial de movimiento en componentes rectangulares es: 𝐹𝑅𝑖 ̂ + 𝑁𝑗̂ − 𝑚𝑔𝑗̂ = 𝑚𝑎𝑖̂ + 0𝑗̂
Siguiendo con el álgebra apropiada tenemos:
𝐹𝑅𝑖 ̂ + (𝑁 − 𝑚𝑔)𝑗̂ = 𝑚𝑎𝑖̂ + 0𝑗̂
Llegamos a las ecuaciones escalares:
𝐹𝑅= 𝑚𝑎
𝑁 − 𝑚𝑔 = 0
Como el resorte tiene constante de elasticidad 𝑘, entonces tenemos que
𝐹𝑅 = 𝑘∆𝑥
En donde ∆𝑥 es la deformación del resorte, de modo que
𝑘∆𝑥 = 𝑚𝑎
𝑁⃗⃗
𝐹𝑅 ⃗⃗⃗⃗
𝑚𝑔
𝑁⃗⃗
𝐹𝑅 ⃗⃗⃗⃗
𝑚𝑔
Y por lo tanto la deformación del resorte es proporcional a la aceleración. O sea, tenemos una cantidad física cuyo cambio es proporcional a la aceleración del sistema.
Si ahora el acelerómetro se coloca en posición vertical, como se muestra en la figura, y el sistema está en reposo, de la primera ley de newton se concluye que la magnitud de la fuerza que hace el resorte sobre el bloque es igual a la magnitud del peso del bloque, de modo que la deformación del resorte seria proporcional a la aceleración de la gravedad. Se tendría:
∆𝑦 = 𝑚𝑔 𝑘
Se puede calibrar el acelerómetro de tal manera que para esa
deformación el valor que mediría sería el de g (la aceleración de la gravedad) y por lo tanto todas las demás aceleraciones se expresarían en términos de g.
Si el sistema se suelta y cae en caída libre su aceleración será precisamente igual en magnitud a g. En este caso se tendría
𝐹𝑅
⃗⃗⃗⃗ + 𝑚𝑔 = 𝑚𝑔
De modo que
𝐹𝑅 = 0
El acelerómetro mientras esté en caída libre marcara aceleración cero, porque la deformación del resorte sería nula.
En el laboratorio tenemos un acelerómetro tridimensional, o sea, detecta la aceleración en tres direcciones mutuamente perpendiculares. El modelo que usaremos es el de una caja cerrada con un bloque, con masa, en su interior, y suspendido de las paredes de la caja por medio de resortes unidos a cada una de las paredes.
Cuando el acelerómetro está en reposo sobre una de sus caras, según el eje que corresponda, marca 1,00, indicando que ese eje es paralelo a la intensidad del campo gravitacional, en los otros dos ejes marca cero.
MATERIALES
Torre transmisora de datos (wireless-link). Computador con Windows xp ó superior. Software Cobra4.
Administrador receptor inalámbrico (memoria usb) de equipo COBRA. Cinta métrica
Sensor de aceleración (acelerómetro)
Caja de cartón con una espuma en su base para amortiguar la caída del sensor.
PROCEDIMIENTO
Siguiendo los procedimientos generales del uso del sistema “Cobra”, con el programa “measure” abierto en el computador, se conecta el acelerómetro a la torre transmisora de datos y se determinan los tres ejes que identifica el acelerómetro, se ubica el eje z y se procede medir una altura de 1,00 m sobre la superficie con la cinta métrica.
Nota: El experimento se realiza dejando caer el acelerómetro con la torre transmisora dentro de una caja que el fondo tiene una espuma que evita los posibles daños en el impacto.
El experimento consiste en dejar caer libremente el acelerómetro, desde la altura de 1,00 m, en una posición tal que en reposo la intensidad del campo gravitacional sea paralela al eje z, esta corresponde a colocar el acelerómetro con la pequeña pantalla que marca el estado de la batería hacia arriba. Durante el intervalo de tiempo que dura la caída libre, el acelerómetro marca aceleración cero en el eje z.
Los pasos serían los siguientes:
1. Lleve el acelerómetro a una altura de 1,00 m sobre la superficie de la espuma receptora.
2. Inicie la medida en el programa “measure”, haciendo click en el botón “grabar” ( ) ubicado en la esquina superior izquierda de la pantalla.
3. Deje caer el sensor con la torre
4. Detenga la grabación haciendo click en el botón “detener” ( ) ubicado en la esquina superior izquierda de la pantalla.
5. En la pantalla aparecen las medidas tomadas por el sensor en los tres ejes, haga click
sobre los botones ( ) y ( )para que solo quede la gráfica de la fracción de la aceleración de la gravedad en función del tiempo en el eje z.
6. Una imagen típica es la mostrada en la figura
En el intervalo de tiempo entre 0,00 s y 2,72 s el sensor marca aproximadamente 1,00 g, que corresponde al intervalo de tiempo entre el momento en que se comenzó a grabar y el momento en el que el operario suelta el sensor. En el intervalo de tiempo entre 2,72 s y 3,16 s, aproximadamente, el sensor marca aproximadamente 0,00 g y correspode al intervalo de tiempo que el sensor permaneció en el aire en caída libre. En el intervalo de medición que sigue se observan aceleraciones de hasta 6 veces la aceleración de la gravedad, alternándose con aceleraciones negativas, estas aceleraciones corresponden a la aceleración a la que está sometido el cuerpo durante el impacto.
intervalo de tiempo es de 0,43654, si tomamos tres cifras significativas, es 0,436 s que corresponde a una aceleración de la gravedad de 10,5𝑚𝑠2.
En la caída libre despreciando la fricción con el aire, la relación entre la altura, ℎ, la aceleración 𝑎, de caída y el intervalo de tiempo, 𝑡 ,es:
ℎ =1 2𝑎𝑡2
Despejando 𝑎, se obtiene:
𝑎 =2ℎ 𝑡2
BIBLIOGRAFÍA
Guía de manejo equipo Cobra4, guía 5.1.4.2 “Zero g during free fall” en el siguiente enlace:
http://repository.phywe.de/files/versuchsanleitungen/p1500160/e/1500160e.pdf http://innalabs.com/index.php/quartz-accelerometers.html
