OBJ 6 PTA 6 Suponga que X e Y son independientes, cada una con distribución uniforme en el

Especialista: Richard Rico Evaluadora: Florymar Robles Universidad Nacional Abierta Int. a la Probabilidad (Cód. 737) _{Probabilidad (Cód. 747)}

Vicerrectorado Académico _{Cód. Carrera: 236 - 280 - 508}

Área de Matemática _{Fecha: 08 – 02 – 2014}

MODELO DE RESPUESTAS Objetivos del 1 al 8.

OBJ 1 PTA 1 Un agricultor compra tres vacas, dos cochinos y cuatro gallinas a una persona que tiene 6 vacas, 5 cochinos y 8 gallinas. ¿Cuántas opciones de selección tiene el agricultor?

Solución:

Opciones para las vacas

n1 =

)! 3 6 ( ! 3

! 6 C6₃

−

= = 3! (6 – 3)! = 20

Opciones para los cochinos

n2 =

)! 2 5 ( ! 2

! 5 C5₂

−

= = 2! (5 – 2)! = 10

Opciones para las gallinas

n3 =

)! 4 8 ( ! 4

! 8 5

2

− =

C = 4! (8 – 4)! = 70

Por lo tanto, el número total de opciones son: N = n1 . n2 n3 = 20 . 10 . 70 = 14.000

El agricultor tiene 14000 opciones de selección.

OBJ 2 PTA 2 Se sacan dos cartas al azar de una baraja española de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) Las dos sean espadas.

b) Una de ella espada y la otra bastos?

Sugerencia: Recuerde que en estas barajas hay 13 espadas y 13 bastos.

Nota: Para el logro del objetivo debe responder correctamente ambos literales.

Solución:

Tenemos que hay 1326

! 2 !. 50

! 52 52

2 = =

C maneras de sacar 2 cartas de 52.

a) Puesto que hay 78 ! 2 !. 11

! 13 13

2 = =

P(A) = número de maneras posibles de sacar 2 espadas de 52 cartas.

Entonces, P(A) =

17 1 1326

78 ₌ .

b) Puesto que hay 13 espadas y 13 bastos, se tiene que: 13.13=169 maneras de sacar una espada y un basto; Si P(B) = número de maneras posibles de sacar una de ella espada y la otra bastos de 52 cartas.

Entonces, P(B) =

102 13 1326

169 ₌ .

OBJ 3 PTA 3 Cuando ocurre un accidente de automóvil, las autoridades de transito hacen análisis al conductor para determinar la presencia de alcohol en la sangre. Por experiencias se sabe que si un conductor ha ingerido alcohol, el análisis resultará positivo en el 97% de los casos. Por otro lado, el examen produce erróneamente un resultado positivo en un 2% de los casos, suponiendo que en el 1% de los accidentes el conductor haya ingerido licor, ¿cuál es la probabilidad de que en un accidente en el que el examen resultó positivo, el conductor haya realmente consumido alcohol?

Solución:

Sea A el suceso de haber ingerido alcohol, B el de resultar positivo el examen, así que:

02 0 97

0 01

0, , P(B/A) , , P(B/A) ,

) A (

P = = =

Deseamos 03288

0295 0

0097 0 99 0 02 0 01 0 97 0

01 0 97

0 _,

, , ,

* , , * ,

, * , )

A ( P ) A / B ( P ) A ( P ) A / B ( P

) A ( P ) A / B ( P )

B / A (

P = =

+ =

+ =

OBJ 4 PTA 4 A 300 espectadores se les preguntó si estaban satisfechos con la cobertura de un desastre reciente

Si S es el evento “estar satisfecho por la cobertura”, entonces ¿Es S es independiente del género?

Solución:

Según la definición de la Pág. 105 del texto UNA (Cód. 737) que

P(Satisfecho) = P(Satisfecho | femenino).= P(Satisfecho | masculino) Lo cual en caso de ser cierto demostraría que S es independiente.

Luego, P(Satisfecho) se obtienen dividendo el número de personas satisfechas por la cobertura del evento sin importar su género, entre el total de personas encuestadas, esto es:

P(Satisfecho) =

55

80

+

=

135

Especialista: Richard Rico Evaluadora: Florymar Robles

Por otra parte

P(Satisfecho | femenino). =

120 80

80

+ = 200 80

= 0.4

y

P(Satisfecho | masculino). =

45 55

55

+ = 100 55

= 0.55

lo que demuestra que

P(Satisfecho) ≠ P(Satisfecho | femenino). ≠ P(Satisfecho | masculino) Por lo tanto, S no es independiente del género.

OBJ 5 PTA 5 ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo más sólo un último digito par en 7 medidas de presión, si los últimos dígitos par e impar son igualmente probables?

Solución:

Sea

X

la variable aleatoria real independiente dada por:

X

: El número de último dígito par. Esta variable aleatoria sigue una distribución Binomial en virtud de que las medidas de presión presenten un último dígito par o no, con parámetros

n

=

7

y sea

p=q.

Ahora, como los eventos son igualmente probables, entonces

2

1

=

=

q

p

, luego:

[

]

1 0 7 6

0

7 7

7

7 7

1 1 1 1 1 1 1

1 , 7, 0, 7, 1, 7,

0 1

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

7 8 .

2 2 2 16

x

P X b x b b

=

   

            

≤ = _{ }= _{ }+ _{ }=_{    } +_{   }

              

     

=_{ } + _{ } = _{ }=

     

∑

OBJ 6 PTA 6 Suponga que X e Y son independientes, cada una con distribución uniforme en el

intervalo [0,1]. ¿Cuál es la distribución conjunta de Z=X/Y?

Solución:

Para obtener la función de distribución conjunta,

F

_Z

(

z

)

, de la variable Z debemos calcular

) z Y / X ( P ) z Z ( P ) z (

F_Z = ≤ = ≤

Notemos que como 0<Z<∞ si X>0 e Y>0 entonces,

1

)

1

Y

0

(

P

)

1

X

0

(

P

)

1

Y

0

,

1

X

0

(

P

)

Z

0

(

P

1

≥

<

<

∞

≥

<

≤

<

≤

=

<

≤

≤

≤

=

Por lo tanto, se tiene que:

1

)

Z

0

(

P

<

<

∞

=

Ahora, calculemos F_Z(z) si z>0. En este caso tenemos que:

) B ) Y , X (( P ) z Y / X ( P ) z (

F_Z = ≤ = ∈ _z ,

donde Bz es la región que mostramos a continuación dependiendo del caso.

CASO1 ( z<1) CASO2 (z≥1)

Podremos restringir nuestra atención al cuadrado unitario ya que P(0≤X≤1,0≤Y≤1)=1. Como X e Y tiene densidad conjunta igual a 1 en el cuadrado entonces tenemos:

) B ( área dxdy 1 )

B ) Y , X ((

P _z

B z

z

∫ ∫

=

= ∈

Luego,

      

≥ −

< <

≤ =

1 z z

2 1 1

1 z 0 2

/ z

0 z 0

) z ( F_Z

OBJ 7 PTA 7 El número de fallas por semana de un tipo de mini computadoras es una variable

aleatoria Y con distribución de Poisson de parámetro h. Dado que el costo semanal de reparación de estas fallas viene dada por la variable aleatoria C=2Y+Y2, demuestre que E(C)=3h+h2.

Solución:

Sabemos que como Y se distribuye Poisson de parámetro h entonces, su valor esperado es h y su varianza es h2, por lo tanto:

E(C)=E(2Y+Y2)=2E(Y)+E(Y2)=2E(Y)+Var(Y)+E(Y) =3h+ h2

OBJ 8 PTA 8 El nivel de stock de un producto es, en una fecha dada No=10. Cada fin de semana se evalúan x= el número total de ingresos e y= el número total de salidas, de modo que el nivel es

) (No x y

N = + − , suponiendo que las variables aleatorias X e Y son independientes y que esperanza y

z

1/z 1/z

Especialista: Richard Rico Evaluadora: Florymar Robles

la varianza del nivel N es respectivamente E(N)=10 y Var(N)=25. Utilice la desigualdad de Tchebichev para hallar una cota inferior de la probabilidad del evento.

S: “El nivel en el fin de semana es inferior o igual a 20 y todas las órdenes han sido cubiertas”.

Solución:

El evento S se puede expresar como:0≤N ≤20, lo cual es equivalente a:

( )

10

10 20

0≤N ≤ ⇔− ≤N −E N ≤

Como σ = Var

( )

N = 25 =5, ahora la última desigualdad puede escribirse como:

( )

10 2.σ

( )

2.σ

( )

2.σ

10≤ − ≤ ⇔− ≤ − ≤ ⇒ − ≤

− N E N N E N N E N

Y la desigualdad de Tchebichev dice en este caso:

( )

(

)

₂

2 1 .

2 ≤

≥

−E N σ

N P

Por lo tanto,

( )

( )

(

( )

)

0,75

4 1 1 . 2 1

1− = − − ≥ ≥ − =

= P S P N E N σ

S P