El conjunto de todas las matrices de ordenn

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G. Ríos

Matrices

1. Definiciones y notación

Los conjuntos del tipo In=

{

xN:1≤xn

}

se denominan secciones iniciales del conjunto de los naturales.

Una matriz de números reales, de dimensión m×n, es una función cuyo dominio es el producto cartesiano Im×In y cuyo codominio es IR.

El conjunto de todas las matrices de orden m×n se denota por el símbolo Mm n× .

Para aclarar que se trata de una matriz de números reales se puede escribir Mm n× ( )IR o IRm×n. Si m=n se dice que la matriz es cuadrada de orden n . El conjunto de las matrices cuadradas de orden n se denota por Mn.

2. Representación de una matriz

Los elementos de Im×In sirven para identificar las celdas de una tabla rectangular de m filas y n columnas. El par

( )

i,jIm×In identifica el lugar de la fila i y la columna j.

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

(

m

) ( ) (

m m

)

(

mn

)

n n

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

3 2 1

2 3

2 2 2 1 2

1 3

1 2 1 1 1

Una matriz de orden m×n puede representarse mediante una tabla rectangular, en la celda correspondiente a la fila iIm y a la columna jIn se ubica el número real asociado al par

( )

i,jIm×In.

3. Notación

Con una letra mayúscula se denota el nombre de una matriz, por ejemplo A B M, , etc.

Una letra minúscula con dos subíndices ai j, indica un elemento de una matriz, el elemento de la fila número i y de la columna número j.

El elemento general de una matriz escrito dentro de paréntesis alude a la matriz cuyo elementos general se representa por ai j,

( )

ai j,

4. Ejemplo

Por ejemplo la tabla (o arreglo) rectangular

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

6 4 2

5 3 1

representa la matriz de dimensión 2×3 definida por las correspondencias:

( )

1,1 1

( )

1,2 3

( )

1,3 5

( )

2,1 2

( )

2,2 4

( )

2,3 6

Si ponemos

( )

ai j,

⎞⎟

= ⎜ ⎜⎝ ⎠ 1 3 5

2 4 6 entonces a11=1, a12=3, a15=5, a21=2, a22=4 y a23=6.

Reseña histórica

Suponga que a un par de números reales ( )x,y se le pone en correspondencia con otro par (x′,y′) de acuerdo con las siguientes reglas

y d x c y

y b x a x

+ = ′= + ′

Se establece así una función de dominio y codominio IR2 .

Las funciones de este tipo se denominan transformaciones lineales.

Estudiando las transformaciones lineales Arthur Cayley (Inglaterra 1821-1895) observó que las mismas quedaban completamente determinadas por los coeficientes a, b, c y d. Por lo que ideó la notación

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

d c

b a

como una representación simbólica de la transformación lineal.

Basándose en las leyes operatorias de las aplicaciones lineales Cayley definió las leyes algebraicas de las matrices (1857)

El término matriz fue introducido por James Sylvester (Inglaterra 1814 – 1897).

2

(3)

Álgebra de matrices

5. Definición. Igualdad de matrices

Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y si tienen iguales los elementos correspondientes a los mismos subíndices, es decir:

Siendo A=

( )

ai jMm n× y B=

( )

bi jMp q× , entonces

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= ∀ =

∀ = = = ⇔ =

n j

m i

b a

q n

p m B

A

j i j

i 1,2,… ; 1,2,…,

6. Definición. Adición (suma)

Dadas dos matrices A=

( )

aij y B=

( )

bij , ambas de dimensión m×n, se denomina suma de A y B a la matriz S=

( )

sij de dimensión m×n definida por

n j

m i

b a

sij= ij+ ij ∀ =1,2,..., ∀ =1,2,...,

• Ejemplo

Si

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− =

1 3

0 2

2 1

A y

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− − =

1 3

1 1

2 2

B , entonces

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

+ − −

+ +

− + = +

0 0

1 3

0 3

1 1 3 3

1 0 1 2

2 2 2 1

B A

En cambio si ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

0 3

2 1

C no está definida la matriz A+C porque A y C son de distinta dimensión.

7. Propiedades de la suma

El par (Mm n× ,+) es un grupo conmutativo.

El enunciado indica que se cumplen las siguientes propiedades cualesquiera sean A, B y C de dimensión m×n.

• Conmutativa: A+B=B+AA B, ∈Mm n× ( )IR

• Asociativa: A+

(

B+C

) (

= A+B

)

+CA B C, , ∈Mm n× ( )IR

• La matriz Om×n cuyos elementos son todos nulos es el neutro de la suma, es decir:

( )

m n m n m n

(4)

A modo de ejemplo se demuestra de la propiedad conmutativa, las demás se dejan como ejercicio.

( )

aij

A= y B=

( )

bij

(

a b

) (

b a

)

B A B

A+ =1 ij+ ij =2 ij+ ij =1 +

Los argumentos son los siguientes

reales de suma la de a Conmutativ :

2 matrices de suma de Definición :

1

La unicidad del elemento neutro y del opuesto son propiedades que se cumplen automáticamente en todos los grupos, por lo tanto también en éste son válidas.

8. Definición. Diferencia o sustracción

Como la suma de matrices constituye un grupo, existe una operación inversa de la suma, la sustracción que se define del modo habitual,

( )

B A B

A− = + −

9. Multiplicación de una matriz por un número real

Dados una matriz A=

( )

ai jMm n× y un número real λ, se denomina producto de λ y A, y se escribe λA, la matriz de ordenm×n definida del modo siguiente:

( )

a i m j n A= λ ij ∀ =1,2,..., ∀ =1,2,...,

λ

En álgebra superior los números reales, y más en general los elementos de un cuerpo cualquiera, se denominan escalares, para distinguirlos de los vectores.

10. Propiedades de la multiplicación por escalares

En los enunciados siguientes los escalares están representados por letras minúsculas griegas y las matrices se consideran de las dimensiones adecuadas para que resulten posibles las operaciones planteadas.

• λ(A B+ )= λ + λA B ∀λ ∈IR, ∀A B, ∈Mm n× (Distributiva frente a la suma de matrices) • (λ + μ)A= λ + μA B ∀λ μ ∈, IR, ∀ ∈A Mm n× (Distributiva frente a la suma de reales) • λ μ( A)= μ λ( A) ( )= λμ A ∀λ μ ∈, IR, ∀ ∈A Mm n× (Leyes asociativas)

• 1A=A.

• 0A=O .

A modo de ejemplo se prueba la distributiva frente a la suma de matrices. Sean A=

( )

ai jMm n× ,B=

( )

bi jMm n× y λ ∈IR, entonces:

(

)

(

( )

( )

)

(

)

(

(

)

)

(

)

( )

ijmn

( )

ijmn

( )

ijmn

( )

ijm n mn mn

n m j i j i n m j i j i n m j i j i n m j i n m j i n m n m

B A

b a

b a

b a b

a b

a b

a B

A

× ×

× ×

× ×

× ×

× ×

× ×

×

λ + λ = λ

+ λ

= λ + λ

= ∴

∴ = λ + λ = +

λ = +

λ = +

λ = + λ

2 1

1 3

2 1

Argumentos: 1: Definición de suma de matrices, 2: Definición de producto por un escalar, 3: Distributiva de la multiplicación frente a la adición en los reales.

(5)

11. Definición: Vectores

Las matrices que tienen solo una columna o una fila se denominan vectores. Es decir son matrices de dimensión 1×n (vector fila) o m×1 (vector columna). En estos casos se dice que la dimensión del vector es n o m respectivamente.

Ejemplos

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

−2 0 1

es un vector columna de dimensión3 y

(

1 4 1 −1

)

es un vector fila de

dimensión 4.

12. Producto escalar de dos vectores

Dados dos vectores de igual dimensión U =

(

a1,a2, ,an

)

y V =

(

b1,b2, ,bn

)

se denomina producto escalar de U y V , y se escribe U,V o UV lo siguiente:

=

=

= + + + = = ⋅

n k

k k k n

nb a b

a b a b a V U V U

1 2

2 1 1

(6)

b b

b b

b b

a a a c c c

c c , , , , , , , , , , , , , ,

1 1 1 3

2 1 2 3

3 1 3 3

1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3

2 1 2 3

1,2 2,2 3,2

2,1 2,2 2,3 2,2 b b b a a a c

Multiplicación de matrices

13. Definición. Matrices conformables

Se dice que una matriz A es conformable con otra matriz B si el número de columnas de A es igual al número de filas de B.

Es decir AMm n× es conformable con BMp q× sii n= p.

14. Convenio de notación

Si A es una matriz de m filas y n columnas, entonces las filas de A se representan por

( ) ( ) ( ) ( )m

A1,A2,A3, ,A

Y las columnas de A se representan por A( )1,A( )2,A( )3, ,A( )n

15. Definición. Producto de matrices

Siendo A=

( )

ai j, ∈Mm n× y B=

( )

bj k, ∈Mn p× , (donde A se ha tomado conformable con B), se denomina producto de A y B a la matriz de dimensión m p× cuyo elemento de la fila i y la columna k es el producto escalar de la fila i de la matriz A y la columna k de la matriz B. Es decir:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )m ( ) ( )m ( ) ( )m ( )p

A B A B A B

A B A B A B

A B

A B A B A B

, , , , , , , , , ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ =⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠

1 2 2

1 1 1

1 2 2

2 2 2

1 2

donde ( ) ( )k i

A B indica el producto escalar de la fila A( )i por la columna B( )k con i=1,2, ,m y k=1,2, ,p.

Observaciones

m n n p m p

AM × y BM× ⇒ A BM ×

( )

( )

( )

( ) ( )

j n k

i j m n j k n p i km p i k i i j j k

j

A a, B b , A B C c, c, A B, a b, ,

= × × × = ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎡ = = = = = = ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎜

1

16. Ejemplo ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − = 0 2 1 2 0 1 2 1 0 6 5 4 3 2 1 B A

(

)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − − + − − + + − + − × + × − + × = 2 16 1 2 7 1 0 10 8 12 0 4 6 5 0 0 4 2 6 0 1 1 3 1 2 0 1 B A

(7)

17. Propiedad Asociativa del producto de matrices

Sean Am×n =

( )

aij , Bn×p =

( )

bjk y Cp×q =

( )

ckl .

( ) ( )

BC AB C

A = .

Demostración

Se necesitan cuatro conjuntos de índices: Im, In, Ip e Iq. Tomando siempre

q P n

m j I k I l I

I

i∈ , ∈ , ∈ , ∈

A los efectos de la demostración se introducen las matrices S=BC y T =AB.

q n q p p

n C S

B S

BC= ∧ × × ⇒ ×

Entonces término general de S se puede escribir de la siguiente forma:

= = p k l k k j l

j b c

s 1

Por otra parte AB=TAm×nBn×pTm×p, lo que permite escribir su término general así:

= = n j k j j i k

i a b

t 1

Ahora, se tiene: A

( )

BC =AS, y el término general de la matriz producto de A y S tiene la forma

(

)

∑∑

∑ ∑

∑ ∑

= = = = = = = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n j p k l k k j j i n j p k l k k j j i n j p k l k k j j i n j l j j

i s a b c a b c a b c

a

1 1

1 1

1 1

1

Mientras que

( )

AB C=TC, conduce a

∑∑

∑ ∑

= = = = = = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = p k n j l k k j j i p k l k n j k j j i p k l k k

i c a b c a b c

t

1 1

1 1

1

Las propiedad asociativa de la suma y el producto de reales permite afirmar que

∑∑

∑∑

= = = = = p k n j l k k j j i n j p k l k k j j

ib c a b c

a

1 1

1 1

(8)

18. Propiedad distributiva del producto frente a la suma de matrices

Sean Am×n, Bn×p y Cn×p. Entonces

(

B C

)

AB AC

A + = +

Demostración

Considérese iIm, jIn kIp. Sean A=

( )

ai j , B=

( )

bj k y C=

( )

cj k .

(

)

( )(

)

(

)

⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎝ ⎛

+ =

+ =

+

=

n

j

k j k j j i k

j k j j

i b c a b c

a C B A

1

Dentro de la sumatoria figura una operación entre números reales, entonces, aplicando la propiedad distributiva del producto frente a la suma de reales se tiene:

(

jk jk

)

ij jk ij jk j

i b c a b a c

a + = +

Por lo cual, sustituyendo y luego de separar en dos sumatorias se llega a:

(

)

(

)

(

)

(

)

⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎝ ⎛

+ =

⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎝ ⎛

+ =

+

= =

=

n

j

k j j i n

j

k j j i n

j

k j j i k j j

i b a c a b a c

a C

B A

1 1

1

Esto puede verse como la suma de dos matrices:

(

)

(

)

(

)

⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎜ ⎝ ⎛ =

+

= =

n

j

k j j i n

j

k j j

i b a c

a C

B A

1 1

Cada una de las cuales es un producto:

( )

( )( ) ( )( )

i j j k i j j k

A B C+ = a b +a c =A B+AC

Lo cual concluye la demostración.

19. Observación

En el teorema anterior se multiplicó A por la izquierda de B+C, entonces se dice que el producto es distributivo por la izquierda frente a la suma.

En forma análoga se prueba la propiedad distributiva del producto por la derecha frente a la suma de matrices. Es decir

(

B+C

)

A=BA+CA, siendo A, B y C matrices de dimensiones adecuadas.

La necesidad de separar los dos casos anteriores proviene del hecho que la multiplicación de matrices no es conmutativa lo cual se justificará en breve.

20. Leyes asociativas del producto de matrices y del producto por escalares

Cuales quiera sean las matrices conformables A y B, y el escalar λ se verifica:

( ) ( )

AB = λA B=A

( )

λB λ

(9)

21. Diferencias entre el producto de reales y el de matrices

Conmutativa

La multiplicación de matrices no es conmutativa. Para justificarlo alcanza con mencionar que estando definido el producto AB, no necesariamente lo está BA. Pues que A sea conformable con B no implica que B lo sea con A.

Aún siendo A conformable con B y B conformable con A por lo general ABBA.

Cancelativa

La multiplicación de matrices no es cancelativa. Para justificarlo es suficiente exponer un ejemplo:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

6 2

3 1

A , ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ −

=

2 4

14 1

B y ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

− =

3 3

1 4

C

Se verifica AC=AB

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− +

− + = ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ − +

+ − + =

16 26

8 13 18 2 18 8

9 1 9 4 16

26 8 13 12 28 24 2

6 14 12 1

C A B

A

Sin embargo de ello no se deduce B=C.

Existencia de divisores de cero

Se dice que AO es un divisor propio de cero si existe una matriz BO tal que AB=O. En tal caso también B es un divisor de cero.

Sean ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

12 4

3 1

A y ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛− −

=

1 2

3 6

B . Aquí 0 0 2

0 0 12 12 24 24

3 3 6 6

O B

A ⎟⎟=

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ − + −

+ − + −

= .

Entonces A es un divisor propio de cero (por la izquierda) y B es un divisor propio de cero (por la derecha).

El ejemplo es suficiente para mostrar la existencia de divisores propios de cero. Recuérdese que en los reales, y en cualquier cuerpo, no existen divisores de cero. En dichos casos se prueba que ab=0 ⇒ a =0 ∨ b=0. Se reafirma que en el producto de matrices esto no es necesario.

Como caso particular del anterior

(10)

Algunos tipos de matrices especiales

22. Matriz diagonal

Una matriz cuadrada A=

( )

ai j tal que aij=0 si ij se denomina Matriz diagonal.

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

=

nn

a a

a A

0 0

0 0

0 0

22 11

23. Matriz identidad

Para cada nN se denomina Matriz Identidad de orden n a la siguiente

( )

i j

n i j

i j

si i j

I tal que

si i j

⎧δ = = ⎪⎪

= δ ⎨⎪δ =

≠ ⎪⎩

1 0

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

n

I

Propiedades de la matriz identidad

AIn=AAm×n. Es elemento neutro a la izquierda para matrices rectangulares de n columnas.

InA=AAn×p. Es elemento neutro a la izquierda para matrices rectangulares de n filas.

InA=AInAn×n. Es elemento neutro bilateral para matrices cuadradas de ordenn .

24. Matrices triangulares

• Triangular superior: A=

( )

ai j n n× tal que ai j= ∀0 ( )i j, con i>j

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

nn n n

a a a

a a

a

0 0 0

0 0

0 22 2

1 12 11

• Triangular inferior:A=

( )

ai j n n× tal que ai j=0 ∀( )i j, con i<j

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

nn n

n a a

a a a a

2 1

22 21 11

(11)

Potencias de una matriz

Sea AMn n× . Se define:

• Para rN

⎩ ⎨ ⎧ > = = 0 0 1 r A A r I

Ar rn

si si

• Para rZ y r <0, y si A−1

( )

r

r A

A = −1 −

Propiedades

A Am n=Am n+

( )

Am n=Am n

• (λA)n= λnAn

Cuidado

• (A B)nA Bn n, salvo que AB=BA

Matriz inversa de una matriz cuadrada

25. Definición

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Si existe una matriz B tal que AB=BA=In se dice que A es invertible y que B es la matriz inversa de A.

26. Teorema. Unicidad de la matriz inversa

Sean B y C matrices que satisfacen la definición de inversa de A, entonces C=B.

( ) ( )

AB CA B I B B C CI C I CA C A I BA B A n n n n = = = = = = = ∧ = =

El teorema de unicidad justifica la notación A−1 para designar a la matriz inversa de A, puesto que no hay ambigüedad.

27. Observación

Se logra probar la unicidad suponiendo que AB=In y que CA=In. En efecto

( ) ( )

AB CA B I B C

I C

C= n= = = n =

La observación permite trabajar con una sola condición AB=In o BA=In.

28. Ejemplo

Dada ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 3 2 1 1

A hállese, si es posible, A−1.

Si existe A−1 debe ser de la forma

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ d c b a

y debe cumplir ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 0 0 1 3 2 1 1 d c b a

Operando e igualando matrices se obtiene

⎩ ⎨ ⎧ =− = ⎩ ⎨ ⎧ − = = ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = ++ = ⎩ ⎨ ⎧ = ++ = ⇔ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + 1 1 2 3 1 3 2 0 0 3 2 1 1 0 0 1 3 2 3 2 d b c a d b d b c a c a d b c a d b c a

Por lo tanto ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = − 1 2 1 3 1 A 29. Ejercicio

Sea ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = d c b a A

db

Matriz Singular:

Así se denominan las matrices que no

son invertibles

Matriz Regular:

(12)

30. Propiedades relacionadas con la matriz inversa

( )

A1 −1=A

( )

AB −1=B−1A−1

Demostración

Las demostraciones se basan en el teorema de unicidad de la matriz inversa

• Por definición de inversa aplicada a la matriz A−1 se tiene ( )*1 , y por definición de matriz inversa aplicada a A se tiene ( )*2 , entonces se puede plantear

( )( )

( )

( )

( )

( )

n

n

A A I

A A

A A I

(* ) *

− −

− − −

⎫⎪⎪

⇒ = ⎪⎪ ⇒

= ⎬⎪

⇒ = ⎪⎪⎭

1

1 1

1 1 1

1

2

La conclusión final se debe al teorema unicidad de la matriz inversa, pues si

( )

A−1−1A la matriz A−1 tendía dos inversas distintas.

• Primero obsérvese la siguiente cadena de deducciones

(AB B A)

(

− −

) (

A BB

)

AAI AnAAIn

↑ ↑ ↑ ↑

= = = =

1 1 1 1 1 1

1 2 3 4

Que se justifican por: ( )1 Propiedad asociativa del producto de matrices, ( )2 Definición de matriz inversa aplicada a B, ( )3 Propiedad de la matriz identidad: es elemento neutro del producto de matrices, ( )4 Definición de matriz inversa aplicada a A.

Ahora, combinando el resultado anterior con la definición de matriz inversa aplicada a AB y el teorema de unicidad de la matriz inversa se tiene:

( )( )

( )

(

)

( )

n

n

AB AB I

AB B A

AB B A I

− − −

− −

⎫⎪ = ⎪⎪⇒

= ⎬⎪

= ⎪⎪⎭

1

1 1 1

(13)

31. Método de cálculo de la matriz inversa

Existen muchos métodos para obtener la matriz inversa de una matriz dada, en este curso se verán algunos de ellos. El siguiente se explica con un ejemplo.

Considérense los vectores: e1=(1 0 0, , ), e2=(0 1 0, , ) y e3=(0 0 1, , ).

Sea A

− ⎟

= −⎜

⎟⎟

⎜ −

⎝ ⎠

1 2 2 1 3 0 0 2 1

Se escribe:

( )

A1 =1e1+2e2−2e3; A( )2 = −1e1+3e2 y A( )3 = −2e2+e3

Se plantea formalmente un sistema

( )

( )

( )

e e e A

e e A

e e A

⎧⎪ + = ⎪⎪

⎪⎪− + =

⎨⎪

⎪⎪ + = ⎪⎪⎩

1 2 3 1

1 2 2

2 3 3

2 2 3 2

Resolviendo el sistema se obtienen expresiones de e1, e2 y e3 en función de las filas de A,

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

e e e

A A A A

A A

A A

A A

A A A

− −

− −

− + ×

− ×

− +

+ +

1 2 3

1

2

3

1

1 2

3

1

1 2

1 2 3

1 2 2 1 3 0 0 2 1 1 2 2

0 5 2 2

0 2 1 5

1 2 2 0 5 2

0 0 1 2 2 5

( ) ( ) ( )

e3=2A1 +2A2 +5A3

( ) ( ) ( )

(

)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

e A A A A A

e A A A A A

e A A A

e A A A

− + + = +

= + + + +

= + +

= + +

2 1 2 3 1 2

2 1 2 1 2 3

2 1 2 3

2 1 2 3

5 2 2 2 5

5 4 4 10

5 5 5 10

2

( ) ( ) ( )

(

)

(

( ) ( ) ( )

)

( ) ( ) ( )

e A A A A A A A

e A A A

+ + + − + + =

= + +

1 1 2 3 1 2 3 1

1 1 2 3

2 2 2 2 2 5

3 2 6

El método descrito se basa en la teoría de las transformaciones lineales entre espacios vectoriales.

Puede verse su explicación por ejemplo en el libro clásico Álgebra Moderna de

(14)

32. Ejemplo 2

A

⎞⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎟

⎟⎟

⎜⎝ ⎠

1 2 1 2 1 3 1 3 0 1 1 0 2 0 0 1

Sean e e e e1, 2, 3, 4 definidos en forma análoga al ejemplo precedente, y para simplificar póngase w x y z, , , , las filas de A. Entonces

e e e e w

e e e e x

e e y

e e z

w x y z w

x w F F

y

z w F F

w x w

y

x z w F F

w x w

y

x y z w F F

⎧ + + + =

⎪⎪

⎪⎪ + + + = ⎪⎪⎨

⎪ + = ⎪⎪

+ = ⎪⎪⎩

− − +

− − − − − +

− − + − +

− + + − +

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3

1 4

1 2

1 4

2 4

3 4

2 2

3 3

2

1 2 1 2 1 3 1 3 0 1 1 0 2 0 0 1 1 2 1 2 0 1 0 1 0 1 1 0

0 4 2 3 2 2

1 2 1 2 0 1 0 1 0 1 1 0

0 1 2 0 3 5 3

1 2 1 2 0 1 0 1 0 1 1 0

0 0 1 0 3 5

Reordenando las columnas se obtiene la forma escalerizada

e e e e

w x w

y

x y z w

− + + −

1 4 2 3

1 2 2 1 1 1 0 1 1

1 3 5

( ) ( ) ( )

e w x y z

e y e w x y z

e x w e x w x y z w w x y z

e w w x y z w x y z x y z w

w x y z

= − − −

= − = − + + +

= − − = − − − − + = − − −

= − − − − − − + + + − − − − +

= − + + +

3

2 3

4 2

1

5 3

5 3 2

3 2 5 4 2 2

2 4 2 2 2 5 3 2 3 5

2

Entonces

A

⎛− ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎟ − ⎟

⎟⎟

⎜ − − −

⎝ ⎠

1

2 1 1 1 5 3 2 1

5 3 1 1

(15)

Matriz transpuesta

33. Definición

Dada una matriz A, la matriz que se obtiene intercambiando las filas con las columnas de A se denomina transpuesta de A, y se anota AT. La fila i de Apasa a ser la columna i de AT.

( )

T

( )

m n i j n m j i j i i j

A × = aA × = a′ / a′ =a

Ejemplo

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− = ⇒

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− =

1 2 3

4 0 1

1 4

2 0

3 1

T

A A

3

2 1 1 2′, =a , =

a

34. Propiedades elementales de la matriz transpuesta

( )

AT T=A

• (A B+ )T =AT+BT • (λA)T= λAT, λ ∈IR

(

AB

)

T =BTAT

A modo de ejemplo se hace la demostración de la propiedad

(

AB

)

T =BTAT .

Sean AMm n× , BMn p× . Para la demostración póngase AB=D y BTAT =E, por lo que se deberá probar la igualdad DT =E .

Obsérvese que DMm p× y puede describirse por su término general

p m

n

j

k j j i k

i a b i I k I

d =

∀ ∈ ∀ ∈

=1

Luego DT es la matriz de dimensión p×m cuyo término general i k

d′ que verifica dki =dik.

Con respecto a E puede verse que su dimensión es p×m y que su término general eki está dado por

j i i j k j j k n

j i j j k i

k b a con b b a a

e =

′ ′ ′ = ∧ ′ =

(16)

Otras matrices especiales

35. Matriz simétrica

Así se denominan las matrices que verifican la condición A=AT

36. Matriz hemisimétrica o antisimétrica

Matriz que satisface la condición AT =A

37. Observación

Si A es una matriz cuadrada cualquiera A+AT es simétrica y AAT es antisimétrica, y además

(

A+AT

) (

+ AAT

)

=A

2 1 2

1

Por lo tanto, toda matriz cuadrada puede escribirse como la suma de una matriz simétrica con una antisimétrica.

38. Matriz idempotente

Matriz que satisface la condición A2=A.

Ejemplos:

In es idempotente

⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛− −

=

3 1

6 2

A es idempotente. Verifíquelo.

39. Matriz nilpotente

Matriz que satisface la condición An =O para algún entero positivo n. Si 0

n es el menor entero positivo para el cual se verifica dicha condición se dice que A es nilpotente de índice n0.

40. Matriz involutiva

Una matriz A es involutiva si A2=I .

Ejercicio. Halle una matriz involutiva de dimensión 2×2 distinta de I2.

41. Matriz ortogonal

Una matriz A es ortogonal si AAT =ATA=I.

Ejemplo.

⎟⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− =

22 22

22 22

A . Verifíquelo

Ejercicio. Verifique que la matriz ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

α α

α − α =

cos sen

sen cos

(17)

Números complejos

Sea el conjunto de las matrices de la forma ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ −

a b

b a

con a y b reales. Es decir

a b

X X con a IR b IR

b a

: ,

×

⎧ ⎛ − ⎞ ⎫

⎪ ⎜

=⎨ ∈ =⎜ ∈ ∈ ⎬

⎝ ⎠

⎪ ⎪

M2 2 ⎭

42. Ejercicio 1.

Demuestre la siguiente lista de propiedades, donde se considera siempreX∈ ∧Y∈ ∧ Z

cualesquiera. (Muchas de las propiedades enunciadas aquí valen en general para el producto de matrices o la suma de matrices, otras son propias de las matrices del conjunto )

X Y+ ∈

( ) ( )

X+ Y+Z = X Y+ +Z

X Y+ = +Y X

O2∈ y X+O2=XO2+X=O2

( ) ( )

X X / X X O

∀ ∈ ∃ − ∈ + − = 2

X Y

( ) ( )

X Y Z = XY Z

X Y=Y X

I2∈ y X I2=XI X2 =I2

X , X O , Y / X Y I

∀ ∈ ≠ 2 ∃ ∈ = 2,

Nota:

a b

a b a b a b

X Y X

b a b a

a b a b

⎞⎟

⎛ − ⎞⎟ ⎜⎜ + + ⎟

=⎜ ⇒ = = ⎜

− ⎟

⎝ ⎠

⎜⎝ + + ⎠

2 2 2 2

1

2 2 2 2

( )

X Y+Z =X Y+X Z

El conjunto C constituye un cuerpo conmutativo con relación a las operaciones suma y multiplicación de matrices.

• La suma satisface las propiedades asociativa, conmutativa, existencia de neutro: a=0 y b=0

(18)

• Se verifica la propiedad distributiva del producto frente a la suma.

43. Ejercicio 2

Sean ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

1 0

0 1

1 e ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ −

=

0 1

1 0

i

Verifique que ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝

⎛ −

= a b

b a

Figure

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