Definition Sea a un número complejo cualquiera y r un número real positivo, las

Funciones de Variable Compleja

Seax,y  0, 0 y

z  xiy. Laforma trigonométrica dezestá dada por:

z rcosisin

donde r  z 0, y  argz es el argumento dez. Cuando   ,, se llamaargumento principaldezy se denota porArgz.

No definiremos ningun argumento para el número complejo 0 00i.

Theorem de Moivre Sea

z  rcosi sin

cualquier número complejo dado en forma trigonométrica y sea n cualquier entero positivo, entonces

zn _{ r}n_{cos ni sin n.}

Del teorema de Moivre se deducen las siguientes propiedades:

Siz1 r1cos1 isin2, z2  r2cos2isin2son cualesquiera dos números complejos distintos

de cero, entonces

z1z2 r1r2cos12isin1 2

z1

z2 

r1

r2cos12isin12

En particular:

1

z1  r11cos1isin1.

Conjuntos de números complejos

Definition Sea a un número complejo cualquiera y r un número real positivo, las desigualdades:

 za  r, za  r, za  r,

denotarán, respectivamente el disco abierto de radio r con centro en z  a, el disco cerrado de radio r con centro en z  a y la circunferencia de radio r y centro en z  a.

Claim Si z  z1 iz2 y a  a1 ia2, |za|  r

 |z1 a1iz2 a2|  r  z1 a12z2 a22  r2

el cual, es el conjunto de puntosz1,z2del plano cuya distancia aa1,a2es

menor que r.

Definition Sea S un conjunto de números complejos. Se dice que S es abierto si cada punto de S puede ser centro de un disco abierto de radio positivo; en términos más formales, S es abierto si

Definition Un conjunto S de números complejos es conexo si cada par de puntos de S se pueden unir por una trayectoria poligonal completamente contenida en S. Y se dice que S es una región o dominio si S es abierto y conexo.

Definition Una región o dominio S es simplemente conexo cuando toda curva cerrada en S contiene en su interior solamente puntos de S.

Example Describir el conjunto: |z1|  |z|.

Solución:

|z1|  |z|

 |z1|2 _{ |z|}2

 z1z1 z z

 z1z  1 z z

 z z z z 1 z z

 1 z z

 1 2 Rez  ½  Rez. Así, el conjunto es un dominio.

Funciones y transformaciones

Definition Sea D un dominio. Si asignamos a cada punto z  D un número complejo único w  fzdecimos que la ecuación w  fzdefine una función de valores complejos en D. Llamamos a D el dominio de la función. Para cada z en D, denotamos por w  fzla imagen de z. El conjunto de todas las imágenes

w : w  fz,z  D se llama conjunto imagen de la función.

No se cae en ninguna ambiguedad al usarfz, la ecuación w  fzo aúnf para denotar la función definida enD.

Si el conjunto imagen lo denotamos porE llamaremos también afzuna transformación del dominioD

en el conjuntoE.

Example Definimos las transformaciones más simples donde D  E   :

fz  zb, b  C fijo

que traslada el plano complejo a una distancia de|b|unidades en la dirección del argumento de b y la función

fz  az, a  C fijo, a  0.

Notation si w  fzes una transformación de D en E donde z  xiy, w  uiv siendo reales x,y,u,v podemos escribir

fxiy  ux,yivx,y

y pensar en la transformación en términos de un par de funciones de valores reales uy,yy vx,ydefinidas de D  R2 _{a R}

ux,y  Re fz, vx,y  Imfz.

Definition una función fzdefinida en el dominio D tiene límite en z0,en D si existe

un número complejo L con la propiedad siguiente:

 0, ,z0  0, tal que|fzL| ,siempre que z D, y 0 |zz0| ,z0,

llamamos aLel límite defzenz0, y escribimos:

zlim fz0 z L.

Claim fzpuede puede no estar definida en z0.

L  AiB es un número complejo dado, entonces

zz₀

lim fz  L 

x,yx0,y0

lim ux,y  A y

x,yx0,y0

lim vx,y  B

Definition Sea fzuna funcion definida en un dominio D, fzes continua en z0si se

satisfacen las condiciones siguientes:

1. fzestá definida enz0

2.

zlimz0 fzexiste, y

3.

zlimz0 fz fz0.

Definition Se dice que fzes continua en D si la función es continúa en cada punto de D.

Theorem Si fzes una función definida en un dominio D y z0  x0iy0  D,

entonces fzes continua en z0 tanto ux,ycomo vx,yson continuas en x0,y0.

Example Sea fz  z Re z

|z| . ¿Puede ser definido f0de manera que fzsea continua

ahí?

Solucion:

fz  zRe_|z|z  xiyx

x2_y2 

x2

x2_y2 i

xy x2_y2

así

ux,y  x2

x2 _y2 , vx,y 

xy x2_y2

Intuimos que

x,ylim0,0ux,y 0, x,ylim0,0 vx,y 0

En efecto, sea  0. Por demostrar   0 tal que

0 x,y0, 0     x2

x2_y2  

donde x,y  x2_y2 _perox2 _{ x}2 _y2 _así

x2

x2_y2 

x2_y2

x2_y2  x 2 _y2_.

Sea entonces

0  x2_y2 _{  } x2

x2_y2  x

2_y2 _{  }

Asimismo, sea 0. P.D.  _{ 0 tal que}

0 x,y0, 0  _ xy

x2_y2  

pero

xy x2_y2 

|x||y|

x2_y2 

x2_y2 _x2_y2

x2_y2  x 2_y2

0 x2_y2 _{   |} xy

x2_y2 | x

2_y2 _{  }

así

z0

lim fz 0i0 0 Comofztiene límite enz 0, podemos definir

f : C  C : fz

zRez

|z| , si z  0

0, si z 0 y entoncesfes continua enz 0.

Example Sea fz  |z|z2 . Decídase en que puntos de C, fzno es continua, no tiene

límite o tiene límite pero no es continua.

Solución: Evidentementefzno está definida enz 0, por lo tanto no es continua enz 0. Veamos si tiene límite enz 0:

fz |z_z|2  z z_z  z. Así

fz z, si z  0 pero

z0

lim fz 

z0

lim z 0. Entoncesfztiene límite enz  0.

Example Sea fz  |z|z . Esta función no es continua en z  0. ¿Tiene límite en

z  0?

Solución: Veamos

fz  |z_z|  |z_{z z}|z  |z|z

|z|2  _|z_z| 

xiy x2_y2

Así

ux,y x

x2_y2 , vx,y 

y x2_y2

Analicemos el límite de ux,y cuando nos aproximamos al origen por los ejes coordenados positivos.

x,0lim0,0 ux,y x,0lim0,0

x

x2_y2  _xlim_0

x

2_x2  1

0,ylim0,0 ux,y 0,ylim0,0

x

x2_y2 ylim 00  0

Derivadas y analiticidad

Definition Sea fzuna función definida en un dominio D, siendo z0, un punto en D.

Definimos la derivada de fzen z0, como el límite:

h0

lim fz0 hfz0 h

(Aqui h es un número complejo). Si existe el límite decimos que fz es diferenciable en z0y escribimos dicho límite como fz0o df_dz

zz0.

Decimos que fzes diferenciable en D si es diferenciable en cada punto de D. Al límite le llamamos derivada de fzen z0.

Example Sea fz  z2_{. Sea z0, un número complejo cualquiera y h un número}

complejo h  0

fz0  h0

lim fz0hfz0

h lim_h0 

z0h2 z02

h 



h0

lim z02 2z0hh2 z02

h lim 2z_h0 0 h  2z0

Example Sea

fz 

|z|2

z4 , z  0 0, si,z  0 entonces f es continua en z  0. Afirmamos que :

z0

lim fz  f0  0.

En efecto, sea  0, P.D.   0 tal que

|z0|  |fzfz0| 

o sea

|z|  |z|5

z5  

pero

|z|5

z5  |z| 

haciendo , se tiene:

|z|  |z|5

z5  |z|  

Sin embargo,fzno es diferenciable enz 0. En efecto,

h0

lim f0h_hf0 

h0

lim

|h|5

h4 0

h  lim |_h0 h|

5

h5

Sihes real positivo

h0

lim |h|5

h5 1

h0

lim |h|5

h5 1

por lo tantofzno es diferenciable enz0 0.

Example Obtener la derivada de la función

fz  ₁z_z.

Solución:

fz

h0

lim fzh_hfz 

h0

lim

zh

1zh  1zz

h  lim_h0

zh1zz1zh 1zh1z

h 



h0

lim zz2hhzzz2zh

h1zh1z h0

lim 1

h1zh1z h0

lim 1

1z2

Theorem Si fzy gzestán definidas en un dominio D y son diferenciables en z0  D entonces:

1. Tanto fzcomo gzson continuas en z0.

2. Si para cualquiera complejos y Fz fzgzentonces Fzes diferenciable en z0 y

Fz0 fzgz

3. Si Gz fzgz entonces Gzes diferenciable en z0 y

Gz0 fz0gz0fz0gz0

4. Si Hz _gf_z_z_ y gz0  0,entonces Hzes diferenciable en z0 y

Hz0  fz0gz0fz0gz0

gz02

5. Si fz c para algún complejo c, entonces fzes diferenciable en z0y fz0 0.

Theorem Si gzes una función analítica en un dominio D con imagen E y fwes analítica en un dominio que contiene a E entonces la función composición

Fz  fgz

es analitica en D y para cada z0  D

Fz0  fgz0gz0. Theorem Regla de L’ Hôpital

Si gz0  0 y hz0  0, y si gzy hzson diferenciables en z0 con

hz0  0, entonces

zlimz0 gz

hz  00 zlimz0 gz

hz.

Desde el punto de vista de formal, esta regla es idéntica a la que se emplea en el cálculo elemental para evaluar formas indeterminadas con funciones de variable real.

Example Determine

z2i

lim z2i z4 _16

Solución: Aplicando la regla de L’Hôpital

z2i

lim z2i

z4_16  0₀ 

z2i

lim 1

4z3  _421_i3 ₃₂1_i.

Claim Si gz0  0  hz0y hz0  0, mientras que gz0  0, no puede

aplicarse la regla de L’Hôpital. De hecho, es posible mostrar que

zlimz₀ gz hz no

Example De una función que es continua en todo el plano complejo pero sólo es diferenciable en el origen. Sea

fz  |z|2

es decir fxiy  x2 _y2_.

Solución: Evidentemente es continua en todo punto de C. Siz 0 :

f0 

h0

lim f0h_hf0 

h0

lim |h_h|2 

h0

lim h h_h 

h0

lim h 0 Siz 0

fzhfz

h  |zh|

2_|z|2

h  

zhzhz z

h 

 zhz_hhz z  z h h z_h h h  z h_h  z  h

Sihes real

h0

lim fzhfz

h  z z

Sihir conr  0

h0

lim fzh_hfz  z z

pero siz  0 entonces z z z z. Por lo tantofzno es diferenciable enz  0.

Definition Se dice que una función fz definida en un dominio D que contiene el punto z0 es analítica en z0 si para algun número r  0 tal que el disco abierto

: z : |zz0| r está contenido en D , la función fzes diferenciable en cada punto de dicho disco.

En el ejemplo anteriorfzes diferenciable enz 0, pero no analítica enz 0.

Example La función fz  fxiy  3x4iy no es diferenciable en ningún z  C.

Solución: En efecto,

h0

lim fzh_hfz 

h0

lim 3h14ih2

h1ih2 

Sih2  0

h0

lim fzh_hfz  3 Sih1  0

h0

lim fzh_hfz  4

Por lo tanto no existe el límite. De hecho no es diferenciable en ningún punto.

Busquemos condiciones que garanticen la existencia de una derivada defzen cada punto.

Theorem si fzes una función definida y continua en un dominio D que contiene al punto z0  x0 iy0 y fzes diferenciable en z0, entonces:

1. Refz ux,ye Imfz vx,yposeen derivadas parciales de primer ordenx0,y0.

2. Las derivadas parciales de u y v enx0,y0satisfacen las condiciones:

uxx,y vyx,y, uyx,y vxx,y #

fz0 

h0

lim fz0hfz0

h . i

Suponiendo quehes real y

fz  fxiy  ux,yivx,y ref: i queda

h0

lim ux0 h,y0ux0,y0

h i

vx0h,y0vx0,y0

h



h0

lim ux0 h,y0ux0,y0

h lim_h0 i

vx0 h,y0vx0,y0

h  uxx0,y0vxx0,y0

entonces cada límite debe existir yfz0  uxx0,y0ivxx0,y0.

Si tomamos ah  irconrreal, una argumentación similar nos llevará a

fz0  vxx0,y0iuyx0,y0.

Al igualar la parte real y la parte imaginaria en las expresiones obtenidas parafz0obtenemos las ecuaciones ref: CauchyRiemann.

Las ecuaciones ref: CauchyRiemann se conocen comoecuaciones de Cauchy- Riemanne indican las condiciones necesarias para que fztenga derivada enz0.

Example Sea

fz  z2_.

Claramente, la función es diferenciable en todo el plano complejo. Descomponiendo la función en su parte real e imaginaria tenemos

fxiy  xiy2 _{ x}2 _y2_2xyi

donde

ux,y  x2 _y2 _{y vx,y  2xy}

las derivadas parciales son

uxx,y  2x, uyx,y  2y

vxx,y  2y, vyx,y  2x

claramente se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann ref: CauchyRiemann.

Example Ahora consideremos la función

fz  3x4yi

Aunque intuimos que es una función diferenciable, no lo sabemos con certeza, así que veamos si se cumplen las Ecuaciones de Cachy-Riemann

uxx,y  3, uyx,y  0

vxx,y  0, vyx,y  4

claramente uxx,y  vy x,ypara ningún puntox,y  C, por lo tanto fz

no es diferenciable en ningún punto de C.

Las condiciones de Cauchy-Riemann no son suficientes para determinar la existencia de la derivada en

z0, es decir, podemos encontrar una función fz, definida en un dominio que contenga al puntoz0, donde

Refze Imfzsatisfagan las ecuaciones de cauchy-Riemann pero sin derivada enz0.

Solución:

Puede observarse que

ux,y |xy|12, vx,y 0

Por la definición de derivada parcial

ux0, 0  k0

lim uk0, 0u0, 0

k lim 0_k0 k0  0 k  R. Análogamente, se puede ver que

uy0, 0 0, vx0, 0, vy0, 0 0

y se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Sin embargo, sih h1ih2

f0hf0

h  |h1h2|

1 2

h1ih2,

sih2 0

h0

lim f0h_hf0 0 sih1 0

h0

lim f0h_hf0 0 sih1 h2

h0

lim f0h_hf0 

h10

lim |h1h2| 1 2

h1ih2 h10

lim |h12| 1 2

h1ih1 h10

lim |h1|

h1ih1 



h10

lim |h1|

h111i 

1

11i _hlim |_10 hh11|,

pero

lim |h1|

h1 

1,si,h1  0

1,si,h1  0

por lo tanto,fz no es diferenciable enz 0.

El siguiente teorema ofrece condiciones suficientes para quefztenga derivada en cualquier punto

z0  C.

Theorem Sea fzuna función definida en el dominio D que contiene el punto z0  x0 iy0.Si ux,y  Refz y vx,y  Imfztienen primeras

derivadas parciales continuas en una vecindad|zz0| r de z0 en D y

satisfacen las condiciones de Cauchy-Riemann enx0,y0,entonces fzes

diferenciable en z0y

fz0  uxx0,y0ivxx0,y0. Example Sea fz  |z|2 _{ x}2 _y2

ux  2x, uy  2y

vx  0, vy  0,

entonces

ux0,0  vy0,0,

uy0,0  vx0,0

y las parciales son continuas en una vecindad del punto0,0, por lo tanto fz

tiene derivada en z0, pero sólo ahí.

anterior

fz0  uxx0,yoivxx0,y0  fz0

y cuando z  x0i, fz  fx  ex_{. Esto y el hecho de que fz}

0  fz0

influirá en la definición de la función ez_.

Theorem Si fzes analitica en un dominio D, entonces ux,y  Refzy

vx,y  Imfz tienen primeras derivadas parciales continuas que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en cada punto de D.

Theorem Si fzestá definida en un dominio D, ux,y  Refz y vx,y  Imfz

tienen primeras derivadas parciales continuas en todo punto de D y se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann

uxx,y  vyx,y  uyx,y  vxx,y,

en cada punto de D, entonces fzes analitica en D.

Example Sea fz  z, es decir fxiy  xiy. Veamos si se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

ux  1, uy  0,

vx  0, vy  1

entonces

ux  vy

por lo tanto fzno es diferenciable en ningún punto.

Exercise Encuentre la forma de las ecuaciones de Cauchy-Riemann cuando la variable independiente z está expresada en forma trigonométrica

z  rcosi sin.

Solución: Seafz wdondew ur,ivr,. Sabemos del cálculo en varias variables que u

x  ur xr  u x,

u

y  ur yr  u y,

v

x  vr xr  v x,

v

y  vr yr  v y

comor x2_y2_{, y   tan}1_y

x

r

x  12x2y2½2x _x2x_y2 

x

r  cos,

r

y  y

r sin,



x  11yx2

. y

x2 

y x2  

y

x2_y2  

y r2 1r

y

r 1r sin,



y  11yx2

. 1_x  x

x2 _y2  _rx2  1r xr  1r cos

Utilizando las ecuaciones de cauchy-Riemann 0 u

x  vy ur 1r vcos1r uvrsin,

0  u

y  vx 1r uvrcosur 1r vsin

l ur 1_{r v},

m  1_{r u}vr

tenemos el sistema de dos ecuaciones homogeneo:

lcosmsin  0

lsinmcos  0

cuyo determinante principal es distinto de cero, por lo tanto el sistema tiene sólo la solución trivial, es decir,

l m  0, o bien

ur  1_{r v} y vr 1_{r u}

las cuales son llamadas forma polar de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Exercise Encuentre la forma polar de fz.

Solución: Sabemos que

fz uxx0,y0ivxx0,y0

sustituyendo

fz urcos 1_{r u}sinivrcos 1_{r v}sin.

Example Demuestre que fz  zn _{es diferenciable en en todo z  C}

Solución:

fr, rn_{cosnisinn}

entonces

ur, rn_{cosn, vr, r}n_sinn

Calculando las parciales

ur  nrn1cosn, u nrnsinn

vr  nrn1sinn, v nrncosn.

Evidentemente, se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar, por lo tantofes diferenciable en todo punto de C y

fz nrn1_{cosncos} 1

rnrnsinnsin

inrn_{sin ncos} 1

r nrncosnsin

nrn1_{cosnn1isinn1 nz}n1

Funciones Elementales

Se llaman operaciones elementales sobre las funcionesfzygzaquellas que dan uno de los resultados siguientes:

fzgz, fzgz, _gf_z_z_, fza_{, a}fz _{dondeaes una constante compleja.}

Una función elñemental es una función ó la inversa de una función generada a partir de constantes y la variable independiente por medio de sucesión finita de de operaciones elementales.

En la siguiente tabla figuran algunas de las funciones más importantes:

 Polinomios



k0

n

akzk  Funciones racionales:



k0

n

akzk



k0

m

 La funcion exponencial:

ez  Funciones trigonometricas:

sinz, cosz, tanz, cscz, secz, cotz

 Funciones hiperbólicas

sinhz, coshz, tanhz, sechz, cschz, cothz

 Funciones logarítmicas

logz

 Funciones trigonométricas inversas:

sin1_{z, cos}1_{z, tan}1_{z, csc}1_{z, sec}1_{z, cotn}1_z

 Funciones hiperbólicas inversas:

sinh1_{z, cosh}1_{z, tanh}1_{z, csch}1_{z, sech}1_{z, coth}1_z

 La función potencial:

zs_{, s  C}

La función exponencial

Queremos definir una funciónfztal que:

i) Si z R, fz  ez_, ii) fz  fz,

iii) fz1z2  fz1fz2.

Siu R, sabemos del cálculo real que

eu _





uk

k! por lo tanto

eiy _





iyk

k! 



k0



iy2k

2k! 





iy2k1

2k1! 



k0



i2k_y2k

2k! 



k0



i2k_iy2k1_

2k1! como:

i0 _{1, i}2 _{1, i}4 _{1, i}6 _{ 1,,i}2k _{ 1}k

entonces





k0



1k_y2k

2k! i



k0



1k_y2k1_

2k1!  cosyisiny Así deberiamos tener por la igualdad (iii) que

ez _{ e}xiy _ex_eiy _{ e}x_{cosyisiny}

Que es la función del ejemplo que también cumple (i) y (ii). Así:

Definition La Función exponencial ez_{se define para todo z  xiy como}

ez _{ e}x_{cos yi sin y.}

Propiedades:

Parapyqenteros , q  0, k 0, 1, 2. . . ,q1,

b) ez _{ e}x_eiy

c) ez _ 1 ez

d) ez _{ e}z

e) |ez_{|  e}Rez

f) ez_p _{ e}pz

g) ez_1q  e1qzi2k

h) ez_pq  epqzi2k

i) ez1z2  ez1ez2

j) dez dz  ez

k) ez _{es periódica, cualquier periodo dee}z _{tiene la forma2ni, n  Z.}

Pruebas: a)iy 0iy,

eiy _{ e}0iy _{ e}0_{cosyisiny cosyisiny.}

b) Comoz xiy,

ez _ex_{cosyisiny e}x_eiy

c) Como z xiy,

ez _ex_{cosyisiny  e}x_{cosyisiny}

 _e1x cosy_cosisin_yy_cos_isiny_yisiny  _e1z

d) Como z  xiy,

ez _ex_{cosyisiny e}x_{cosyisiny}

ex _cosyiex_{siny e}x _cosyiex_siny

ex_{cosyisiny e}z

e) Siz xiy, ez _{ e}x_{cosyisinypor lo tanto}

|ez_|2 _ez_ez _{ e}z_ez _ex_{cosyisinye}x_{cosyisiny.}

e2x_cos2_ysin2_{y e}2x _{ e}x_2

por lo tanto: |ez_{|  e}x_{. Debe escogerse el signo positivo pues un valor absoluto nunca es negativo.}

Entonces se tiene lo deseado |ez_{| e}x _{ e}Rez

f) como p es un entero, por el teorema de Moivre.

ez_p _{ e}x_{cosyisiny}p _epx_{cospyisinpy e}pxiyp _{ e}pz

g)

ez_1q _ex_{cosyisiny}1q _ exq_cos y2k

q isin yq2k, k 0, 1. . . ,q1.

exqiy2qk _{ e}xqiyi2kq _{ e}ziq2k_. h) Ya queez_pq _epz1q_{, tenemos:}

ez1ez2 ex1cosy₁isiny₁ex2cosy₂isiny₂

ex1ex2cosy₁isiny₁cosy₂isiny₂

ex1x2cosy₁y₂isiny₁y₂ ez1z2

j) Ya se vio en el ejemplo.

k) Una función es periódica si existew  C tal quefzw fz, para todoz  C. Supongamos que

ezw _ez_{, para todo z  C,}

en particular siz 0 :

ew _1

siw sti,

|ew_|es _1

por lo tanto s 0 yw ti. Asíeti _{ 1 o sea costisint  1, igualando la parte real e imaginaria:}

cost 1, sint 0 asít 2n para algún n Z. En conclusiónw 2ni.

Observación:

siz xiyse expresa en forma polar comoz rcosisin, parar  0, podemos escribir :

z rei

y en consecuencia:

z rei

Siz1 r1ei1, z2 r2ei2 y r2  0

z2z1  r1r2ei12

y

z1

z2 

r1ei12

r2

Gráfica de la función exponencial

e

_

_e

_e

_

_

_e

ex _{ y   y}

Funciones trigonométricas e hiperbólicas

paray R, resolvamos el par de ecuaciones siguientes :

eiy _{cosyisiny}

eiy _{cosyisiny.}

para el coseno y seno dey :

cosy 1₂eiy_eiy_{, siny} 1

2ieiyeiy

Por esto definimos

sin z  _2i1 eiz _eiz_{; cos z } 1

2eizeiz.

Siempre que los denominadores sean distintos de cero, definimos también:

tan z  sin z

cos z cot z  tan z1

sec z  1

cos z csc z  _{sin z}1

siempre que los denominadores en cuestión sean diferentes de cero.

Lo importante de estas definiciones es que producen las funciones trigonométricas de valores reales cuandozes real y muestran cuan importante es saber exactamente en que puntos sinz 0 y cosz 0.

Por ejemplo, sinz 0 cuandoz n n  Z. Pero tal vez haya otros números en C dondez 0 (Veremos mas adelante que esto no sucede).

Además, cuando las seis funciones estan definidas son analiticas y :

sinz  cosz, cosz _{ sinz tanz} _sec2_z

cotz _csc2_{z secz} _{secztanz cscz} _{ csczcotz}

Para el siguiente análisis, recordemos que para z xiy,

eiz _eixiy _eyix_,

eiz _eixiy _ey_eix

Además, recordar que en el cálculo de una variable se definen las funciones hiperbólicas seno y coseno como: sinhy ey₂ey y coshy  ey₂ey, para todo y R.

Veamos ahora como desarrollar la función sinzen términos dexey:

sinxiy  eixiy_2ieixiy  eyix₂_i eyix  eyeix₂_ieyeix 

 eycosxisinx₂_ieycosxisinx  ieyeysinx₂_ieyeycosx  eyeysinx_2ieyeycosx  ey₂ey sinx iey₂ey cosx

coshysinxisinhycosx

obteniendo la identidad

sinxiy sinxcoshyicosxsinhy. Análogamente se puede comprobar que:

cosxiy cosxcoshyisinxsinhy

siniy isiny, cosiy coshy, para y R sinz sinz, cosz  cosz.

Veamos ahora para que valores dez, sinz 0 (recordar que sinzes una extensión de sinx) ¿Existen otros valores dezpara los cuales sinz  0?

sinz 0 sinxiy 0 sinxcoshyicosxsinhy 0  sinxcoshy 0

cosxsinhy 0 , En la primera ecuación, como coshy  0, coshy ey_ey

2 para todoy  R, vemos quex k para

algúnk Z, pero de la segunda ecuación,como cosk  1, entonces para que la segunda ecuación sea válida se debera hacer que

sinhy 0 o sea ey₂ey 0 lo cual se cumplen sí y sólo si

ey _ey _{ y y  y 0}

La función sinztiene sólo ceros reales. Análogamente se puede demostrar que :

cosz 0 z k₂, k Z, impar.

Claim Puesto que :

tanz sinz

cosz

cotz 1 tanz

secz  1 cosz

cscz  1 sinz

son analíticas excepto en donde el denominador se anula entonces tanzy seczson analíticas excepto para

z k

2, k Z, impar ycotzycsczson analíticas excepto enz k,k  Z.

PROPIEDAD QUE NO SE CUMPLE EN C

|sinz| 1 y |cosz| 1 En efecto

|sinz|2 _{|senxiy|}2 _{|sinxcoshyicosxsinhy|}2 _{ sin}2_xcosh2_ycos2_xsinh2_y

sin2_xsinh2_{y1cos}2_xsinh2_{y sin}2_xcos2_xsin2x_sinh2_{y sin}2_xsinh2_y

pero

sinhy ey₂ey no esta acotada ni superior ni inferiormente pues:

ylim sinh y ; ylim sinh y 

por lo tanto |sinz|, no esta acotada, análogamente se puede ver que : |cosz|2 _cos2_xsinh2_y

y por lo tanto |cosz| tampopco está acotada.

Funciones hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas están definidas en los puntos donde al denominador no es nulo y son las siguientes:

sinhz ez_ez

2 coshz e

z_ez

2

tanhz  sinhz

coshz cothz  tanh1 z

sechz  1

coshz cschz sinh1z

comoez_yez _{son funciones analiticas en todo C sinhzy coshzson también funciones analíticas en todo el}

plano complejo.

Analicemos los ceros de sinhzy coshz. Esperamos que sinhz 0, cuandoz 0, y que coshz 0 carezca de soluciónes (pero estas ecuaciones pueden tener soluciones adicionales situadas fuera del eje real).

Paraz xiy,

sinhz sinhxiy exiy₂exiy  excosyisiny₂excosyisiny  exexcosy₂iexexsiny cosysinhxisinycoshx

i.e.

sinhxiy cosysinhxisinycoshx

De la misma manera, se puede demostrar que

coshxiy cosycoshxisinysinhx

Busquemos los ceros de la función sinhz:

pero

sinhx ex₂ex , coshx  ex₂ex

como coshx  0 siny 0 y k,k  Z. Pero paray k, cosy  0, por lo tanto sinhx 0 lo cual es posible sólo six 0. Sustituyendoz  xiy  ki, k  Z

Análogamente

coshz  0  ez _ez _{ e}x_{cosyisiny e}x_{cosyisiny}

 ex excosy 0 ex_{ e}x_{siny 0}

de la primera ecuación se deduce quey k

2, k Z impar,x 0. Por lo tantoz k2i, k  Z impar.

De aqui se deducen las singularidades de tanhz, cothz, sechz, cschz.

Identidades de las funciones hiperbólicas

 sinhiy isiny

 coshiy cosy

 |sinhz|2 _{ sinh}2_zsin2_y

 |coshz|2 sinh2_zcos2_y

 sinhz1z2 sinhz1coshz2sinhz2coshz1

 coshz1z2 coshz1coshz2sinhz2sinhz1

 cosh2_zsinh2_{z 1}

 coth2_zcsch2_{z 1}

 sinhiz  isinz

 coshiz cosz

 siniz isinhz

 cosiz coshz

Derivadas de las funciones hiperbólicas

 sinhz _coshz  coshz _sinhz  tanhz sech2_z

 sechz _{ sechztanhz}  cschz _{ cschzcothz}

Funciones logarítmicas

comoez_{nunca toma el valor de cero , la ecuaciónw e}z_{no tendrá solución enzcorrespondiente a}

w 0.

siwes distinto con cero, escribimos :

w |w|cosargwisinargw  |w|eiargw

Aquí, argw puede tomar una infinidad de valores. Sea  uno de los valores de argw, por lo tanto:

w  |w|ei

si tomamos

z ln|w|i

Donde ln|w| denota al logaritmo natural del número positivo |w| entonces :

ez _eln|w|i _eln|w|_{cosisin |w|e}i _w

Definition Para cada número complejo z,z  0, Llamaremos un logaritmo de z a cualquier número w  ln|z|i arg z, donde ln|z|es el logaritmo natural de|z|y arg z es cualquiera de los valores del argumento de z.

Nótese que no hemos definido aún una función logaritmica .

En el caso particular en que zes un número real positivo argz2k,k  Z y

w  ln|z|i2k.

De todos estos valores, el único que coincide con el logaritmo natural real corresponde a la opción argz  0.

Y para cualquierz C,z  0 existe un valor del argzcon la propiedad de que   argz  .

Designamos a este valor como el argumento principal dez.

Definition Para cada número complejo z,z  0 definimos el valor principal del logaritmo de z como:

Log z  ln|z|iArg z donde

Arg z  ,.

Definition La función w  Log z, definida para todo z  C, z  0, se llama función logaritmica principal.

Remark Para cada k  Z, podríamos definir otra función logaritmica

correspondiente a la elección2k1  arg z  2k1. Por lo común, se llama a la colección de tales funciones, semejantes a la logaritmica (y hay una infinidad de ellas ) "Función Logarítmica" refiriéndose a cada función de la colección como una Rama de la función logarítmica.

Definition La función logarítmica está dada por la siguiente colección infinita de ramas:

log |z| ln |z|iargz, z 0 donde

2k1 argz 2k1, k 0,1,2,

Theorem Cada rama, log z , de la función logarítmica posee las siguientes propiedades:

1. log z es discontinua en z  0,

2. log z es analitica en todo z, con excepción de z  0 y

log z  1_z.

3. Para todo z, z  0 una rama cualquiera de la función logarítmica difiere de cualquier otra en un multiplo entero de 2i.

Proof Seak  z, fijo y tomemos la rama de la función logarítmica correspondiente a

2k1  argz  2k1.

1) Seaz0  0. Cuandoz  z0 desde el semiplano inferior argz  argz0 2. Cuandoz  z0 desde el semiplano superior arg z  arg z0. Por lo tanto logz es discontinua enz0.

zz0

lim logz 

zz0

lim ln |z|i

zz0

lim argz  ln |z0|i

argz0 2 argz0

ó.

2) Como logzno es continua enz  0 no es diferenciable.

Seazun punto situado fuera del eje real negativo y distinto de cero.

z  rei_{, r  0, 0  2k1  argz  2k1,}

entonces logz  lnri. Utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar con

ur,  lnr, vr,  

vemos que

ur  1r , u  0,

vr  0, v  1.

las cuáles son continuas con y además

ur  1_{r v} , vr  1_{r u},

por lo tanto

logz  urcos 1_{r u}sinivrcos 1_{r v}sin

 1_r cosi1_{r v}sin  1_r cosisin

 _r 1

cosisin  1z . Definition Sean A y B dos números complejos. Escribimos

A  Bmódulo 2i

cuando AB es un múltiplo entero de 2i.

Propiedades de las funciones logarítmicas

I) log z1z2  logz1 logz2 módulo2i II) logz1

z2   logz1logz2 módulo2i

z1  ei2 y z₂  ei34 entonces

Log z1  i₂ y Log z2  i 3₄

pero

z1z2  ei



234  ei54  ei225°  ei34 y

Logz1z2  log ei

3

4  3 4 i Así

logz1z2  log z1log z2 2i.

Función potencial generalizada

Definition La función zn_{, donde n es un número entero se llama función de potencia}

entera. La función za _{donde z y a son números complejos se llama la función}

potencial generalizada. Ésta se define como: za _{ a}a log z

Cada rama de la función logarítmica determina una rama de za_.

Theorem Sean a,b C y denotemos por log z cualquier rama particular de la función logarítmica, entonces:

C1. La rama corespondiente za _{es analítica en dondelog zes analítica.}

C2. z  0 : za_zb _{ z}ab_.

C3. z  0 : za _ 1 za .

C4. za_ _{ az}a1_{,z  0}

C5. z1z2a  za1z2ae2aki para algún enterok. Proof

C1. Como log z es analítica en Cz  0, yez _{en todo C, por la regla de} cadenaza _{es analítica en Cz  0.}

C2.za_zb _{ e}alogz_eblogz _{ e}ablogz _{ z}ab_.

C3.za _{ e}alogz _ 1 ealogz 

1 za . C4.za_ _{ e}alogz_ _{ e}alogz a

z  az za  az1za  aza1. C5. Como logz1z2  logz1logz2 mod 2i, entonces

logz1z2logz1logz2  k2i para algúnken Z

z1z2a  ealogz1z2  ealogz1logz22ki 

 ealogz1ealogz2ea2ki  z₁az₂aea2ki.

Claim za _{tiene un valor que corresponde a cada uno de los valores posibles de}

log z pero la periodicidad de la función exponencial nos indica que valores distintos de log z no determinan necesariamente valores distintos de za_.

Caso1:

a

es un entero.

za _ealogz _ealog|z|iargz _{ e}alog|z|_eiargza _

ealog|z|_ei2ka _ealog|z|_eia_ei2ka _{ e}alog|z|_eia

donde Arg z, argz 2k.

za_{tiene un solo valor pues las distintas ramas de logzdifieren en un múltiplo entero de 2i, lo mismo}

sucede conalogzy entoncesza_{tiene solamente un valor, dado por :}

ealogz _i3 _{ e}3 log|i|_e3i_{2  cos 3}

2 isin 32  i

Caso II.

a

es un racional

Seaa pq, dondepes un entero,qes un entero positivo y pq es irreducible.

za _{ e}pqlogz _epqlog|z|iargz _epqlog|z|_eiargzpq SiArg z es el argumento principal, i.e. ,, entonces

, k  Z,

p

q argz  pq pq2k

así

eiargzpq _eiqp_eipq2k _

eipq2k _ei2kqp

el cual toma valores distintos cuandok, 1, 2. . . ,q1, y cualquier otro valor dekproduce uno de los valores deqque ya se han obtenido.

Por lo tantoza_{tieneqvalores distintos que se obtienen haciendo}

logz Log z2ki, k 0,q1 y

za _{ z}pq _epqLog z_eipq2k_{,k 0,q1} da losqvalores distintos deza_{, dondeLog z es la función logarítmica principal.}

Example Sea fz  z12

z21  e12Log ze2i2k k  0,1. i.e.

z12  e

1 2log z

e12 log zei 

|z|12e2iArgz

|z|12e2iArgz por ejemplo

i12  e

i

2 4  ei8

e24i  ei8 

 e

i₈

ei8

CasoIII.

a

es un irracional