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GUÍA DE EJERCICIOS Nº 23

GEOMETRÍA PROPORCIONAL II

1. El trazo PQ de la figura 1 mide 18 cm. Si PR : PQ = 2 : 9, entonces la diferencia entre las medidas de los segmentos RQ y PR es

A) 4 cm B) 7 cm C) 10 cm D) 14 cm E) 16 cm

2. En la figura 2, con AP > PB, donde su suma es 36 cm y su diferencia es 4 cm, ¿en qué razón están respectivamente?

A) 4 : 1 B) 5 : 4 C) 9 : 1 D) 9 : 4 E) 9 : 5

3. En el segmento AB de la figura 3, AC y CB están en razón áurea. Si AC = 4 cm y es el segmento menor, entonces AB mide

A) 6 cm B) 8 cm

C) (4 + 2 5 ) cm D) (6 + 2 5 ) cm E) 12 cm

4. En un trazo AB un punto P lo divide en razón áurea, tal que AP < PB. Si AB = 13 cm y PB = x, entonces la ecuación para determinar x es

A) x2 _{– 13x – 169 = 0} B) x2 _{+ 13x – 169 = 0} C) x2 _{– 13x + 169 = 0} D) x2 _{– 39x + 169 = 0} E) x2 _{+ 39x + 169 = 0}

R

P Q fig. 1

P

A B fig. 2

C

A B fig. 3

C u r s o

:

Matemática

(2)

5. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 4. Si CD es altura y CB = 2DB = 8 cm, entonces AB mide

A) 8 cm B) 8 2 cm C) 8 3 cm D) 12 cm E) 16 cm

6. En el triángulo ACD de la figura 5, AD DC , BD es altura. Si BC = 2 cm y DB = 4 cm, el área del triángulo ACD es

A) 16 cm2 B) 20 cm2 C) 24 cm2 D) 28 cm2 E) 32 cm2

7. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 6. Si h es altura, entonces es correcto afirmar que

A) P + h = a2 B) b2_{= q(p + q)} C) ab = p + q D) ap = q

E) todas son verdaderas.

8. Las proyecciones de los catetos del triángulo ABC rectángulo en C de la figura 7, con CD altura son

A) 1,8 y 8,2 B) 3,6 y 6,4 C) 4,0 y 6,0 D) 6,5 y 8,5 E) 8,0 y 10,0

9. El área del triángulo ADC de la figura anterior (fig. 7) es

A) 8,64 B) 8,82 C) 10 D) 10,8 E) 12,5

A D B

C

fig. 4

fig. 5

A B C

D

D q

A B

fig. 6

p

b a

h C

6 8

C

fig. 7

(3)

D

fig. 8 C

A

B

8 2

D

A

C

B

4

fig. 9

2

10. En la figura 8, ABD es un triángulo rectángulo en A y AC es altura. De acuerdo a los datos de la figura, el perímetro del triángulo ABD es

A) 30 cm B) 36 cm

C) (4 5 +10) cm D) (6 5 +10) cm E) 20 5 cm

11. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s) con respecto al triángulo ABC rectángulo en B de la figura 9, donde BD es altura?

I) AD = 8 cm II) BD = 2 3 cm

III) El triángulo ABC es escaleno.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

12. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 10. Si CD = 14 cm y es altura, entonces 2x =

13. En la circunferencia de centro O de la figura 11, PD y PA son secantes. Si AP = 16 cm, CP = 8 cm y BP = 6 cm, entonces la medida de DC es

B C

O

fig. 11 D

P A

A

fig. 10

D x + 5 _B

C

(4)

14. En la figura 12 se tiene que AD = 2 cm y BD = 16 cm. ¿Cuál es el área del triángulo ABC, si AC es tangente en C?

A) 32 cm2 B) 36 2 cm2 C) 38 cm2 D) 38 2 cm2 E) 64 cm2

15. En la figura 13, ABC es un triángulo rectángulo en C. Si CD es su altura y CE es transversal de gravedad del ABC, entonces el área achurada es

A) 17 cm2 B) 19,5 cm2 C) 38 cm2 D) 39 cm2 E) 78 cm2

16. Las cuerdas AB y CD de la circunferencia de la figura 14, se cortan en P. Si AB = 10, CP = 3 y CD = 11, entonces la ecuación para determinar la medidax del segmento AP es

A) x2 _{– 10x + 24 = 0} B) x2 _{+ 10x – 33 = 0} C) x2 _{– 10x – 24 = 0} D) x2 _{– 10x + 33 = 0} E) x2 _{+ 10x + 24 = 0}

17. Sea el arco ACB en la figura 15, la cuarta parte de una circunferencia de centro O. Si AD = 2 2 cm y DB = 3

2 2 cm, entonces OC =

A) 7 2 cm B) 7

2 2 cm C) 7 cm D) 7 2 cm E) 14 cm

16

O B

C

D

A

fig. 12

2

A B

C

E

6

fig. 13

9

D

P

B C

A

fig. 14

D

C D

B

A O

(5)

18. De acuerdo a la figura 15, de la pregunta anterior CD mide

A) 1 cm B) 2 cm C) 6 cm D) 6 2 cm

E) No se puede determinar.

19. En la circunferencia de la figura 16, si el diámetro AC es perpendicular a BD , entonces essiempreverdadero que

I) ABC congruente ADC. II) DE  EB

III) ABC es isósceles de base AC .

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

20. En la circunferencia de centro O de la figura 17, AB es diámetro y CB tangente en B. Si el triángulo ABC es isósceles, entonces CD mide

A) 2 cm B) 2 2 cm C) 2 10 cm D) 4 cm E) 4 2 cm

21. En la figura 18, PT es tangente en T a las circunferencias de centro O y O’ de radio 3 cm y 7 cm, respectivamente. Si PA y PC son secantes, PB · PA – PD · PC =

A) 0 cm B) 4 cm C) 7 cm D) 10 cm

E) Falta información.

A

B D

C

E fig. 16

4

fig. 17 O

A C

D

B

fig. 18 P

A B

O’ T

D

(6)

22. El segmento AB se ha dividido en razón j es a k por P (b < c). El segmento PB se ha dividido a su vez en la misma razón por el punto R (d < e) como se muestra en la figura 19. Al respecto es correcto afirmar que

I) a = d + e

c e

II) a b = e d

e c

 

III) c = e b d

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

23. En el plano cartesiano se ha dibujado una recta L, tal como se muestra en la figura 20. La mínima distancia de L al origen es

A) 2,4 B) 3 C) 3,5 D) 4

E) no se puede determinar.

24. En la circunferencia de centro O de la figura 21, se ha inscrito el triángulo ABC. Si CD = 12 y es altura con AD = 2 cm, entonces la multiplicación de las proyecciones de los catetos y la suma de ellas es respectivamente

A) 4 y 4 B) 12 y 12 C) 12 y 8 D) 16 y 4 E) 16 y 8

25. Sea BD arco de la circunferencia de centro O y radio 8 como se muestra en la figura 22. Si AB  OA, entonces CA mide

A) 2 8 cm B) 3 2 cm C) 4 cm D) 4 3 cm E) 8 cm

fig. 19 c

a b

e d

B P R

B

A P

3

4

O L

x y

fig. 20

O A

C

D B

fig. 21

C A

B

D O

(7)

26. En la circunferencia de centro O y radio R de la figura 23, PS y PQ son tangentes. Si PT = 2 cm, el perímetro del deltoide QOSP es

A) 4 + 2R cm B) 4 + 4R cm

C) (2 + R + 2R) cm D) (2 1 + R + 2R) cm E) (4 1 + R + 2R) cm

27. Un segmento AB de 42 cm, se ha dividido en dos partes por un punto P. Se puede determinar la longitud del segmento menor si se conoce:

(1) En qué razón se dividió el segmento inicial. (2) AP : AB = 2 : 7

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

28. En la circunferencia de centro O y diámetro BD de la figura 24, CA es cuerda. Se puede determinar la medida de CE , si:

(1) BE = 4 cm y BD = 20 cm (2) CEB AEB

29. Sea PC y PB secantes a la circunferencia de centro O de la figura 25. Se puede determinar la medida de CB , si:

(1) El perímetro del ∆PBC es 28 cm. (2) DC = 3 cm.

T

2 _O

S

P

Q

fig. 23

B

D A

fig. 24 C

E

O

A

4 cm

2 cm

D

B C

P

(8)

30. En el triángulo ABC de la figura 26, es posible determinar la medida del segmento CD , si:

(1) El vértice A está a 4 cm y el vértice B a 9 cm, de la altura (2)

(3) (4) (5) (6) CD .

(7) El triángulo ABC es rectángulo en C.

RESPUESTAS

1. C 11. E 21. A 2. B 12. B 22. C 3. D 13. A 23. A 4. B 14. B 24. C 5. E 15. B 25. D 6. B 16. A 26. E 7. B 17. A 27. D 8. B 18. A 28. C 9. A 19. C 29. C 10. D 20. B 30. C

DMCAMA-23-E

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fig. 26

A D B