Prueba de acceso a la universidad. Matemáticas
aplicadas a las Ciencias Sociales II
Junio 2006.Opción A
Resolución: Juan María de la Obra Jiménez.
Coordinación: Luis Cabello (I.E.S. Emilio Muñoz)
Ejercicio1.- Sean las matrices, A= x 1 1 x+ 1 y B= 0 1 1 1 :
a) (1 punto) Encuentre el valor o valores de x de forma que B2=A.
b) (1 punto) Igualmente para que A−I2=B−1.
c) (1 punto) Determine x para que A·B=I2
Ejercicio
2.-a) (1.5 puntos) Halle los valores de a y b para que la gráfica de la función f(x) = ax3+ 3x2−5x+b pase por el punto (1,-3) y tenga el
punto de inflexión en x=-1.
b) (1.5 puntos) Halle los intervalos de monotonía y los extremos relativos de la función definida porg(x) =x3−3x2+ 7.
Ejercicio
3.-Parte 1.- En un aula de dibujo hay 40 sillas, 30 con respaldo y 10 sin él. Entre las sillas sin respaldo hay 3 nuevas y entre las sillas con respaldo hay 7 nuevas.
b) (1 punto) Si se coge una silla que no es nueva, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga respaldo?.
Parte 2.- (2 puntos)
En una población, una variable aleatoria sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica 9. ¿De qué tamaño, como míni-mo, debe ser la muestra con la cual se estime la media poblacional con un nivel de confianza del 97 por ciento y un error máximo admisible igual a 3?
Ejercicio1.- Sean las matrices, A= x 1 1 x+ 1 y B= 0 1 1 1 :
a) (1 punto) Encuentre el valor o valores de x de forma que B2=A.
b) (1 punto) Igualmente para que A−I2=B−1.
c) (1 punto) Determine x para que A·B=I2
Resolución: apartado a)
Sabemos queB2=A, entonces:
0 1 1 1 · 0 1 1 1 = x 1 1 x+ 1 1 1 1 2 = x 1 1 x+ 1 A= 1 1 1 2 entonces: 1 =x 1 = 1 1 = 1 2 =x+ 1 =⇒x= 1
por lo tanto sustituyendo x=1 en A se comprueba que lo pedido ocurre.
apartado b)
Calculemos primero la matriz inversa de B, y para ello sabemos que: B−1
= 1
|B|(B
J
)T Calculamos primero el determinante de B:
|B|= 0·1−1·1 =−1
Calculamos ahora la matriz adjunta de B: BJ=
y en conclusión: B−1 = 1 −1 1 −1 −1 0 = −1 1 1 0
calculada yaB−1, queremos encontrar una x que cumpla queA−I
2=B−1, es decir: x 1 1 x+ 1 − 1 0 0 1 = −1 1 1 0 x−1 1 1 x = −1 1 1 0 por lo tanto: x−1 =−1 =⇒x= 0 x= 0
y en conclusión, x=0 es el único valor para el que se cumple lo que nos piden.
apartado c)
Queremos ver queA·B=I2:
x 1 1 x+ 1 · 0 1 1 1 = 1 0 0 1 1 x+ 1 x+ 1 x+ 2 = 1 0 0 1 , y por lo tanto: 1 = 1 x+ 1 = 0 =⇒x=−1 x+ 1 = 0 x+ 2 = 1 =⇒x=−1
luego para x=-1 se cumple lo que buscábamos.
——————– NOTA: para una matriz 2x2 la adjunta se calcula de esta forma: X = x11 x12 x21 x22 , XJ = x22 −x21 −x12 x11 ——————— Enlace de interés:
Ejercicio
2.-a) (1.5 puntos) Halle los valores de a y b para que la gráfica de la función f(x) = ax3+ 3x2−5x+b pase por el punto (1,-3) y tenga el
punto de inflexión en x=-1.
b) (1.5 puntos) Halle los intervalos de monotonía y los extremos relativos de la función definida porg(x) =x3−3x2+ 7.
Resolución: apartado a)
Para hallar a y b el ejercicio nos proporciona dos datos: 1.- Pasa por el punto (1,-3)=⇒f(1) =−3
2.- Punto de inflexión en x=-1=⇒f′′ (−1) = 0 Entonces: 1.−f(1) =−3 =⇒a+ 3−5 +b=−3 =⇒a+b=−1 2.−f′ (x) = 3ax2+ 6x−5 f′′ (x) = 6ax+ 6 f′′ (−1) =−6a+ 6 entonces: −6a+ 6 = 0 a= 1
y por lo tanto sustituyendo a=-1 en la ecuación anterior tenemos que:
1 +b=−1 =⇒b=−2
y en conclusión la función es:
apartado b)
Para calcular los extremos relativos de la función, lo que tenemos que hacer es derivar la función e igualarla a cero:
g(x) =x3−3x2+ 7 g′ (x) = 3x2−6x= 0 x= 0 x(3x−6) = 0 . 4 4 h h h h h h h h h h h h . * * U U U U U U U U U U 3x−6 =⇒x= 2 g(0) = 03−3·02+ 7 = 7 g(2) = 23−3·22+ 7 = 8−12 + 7 = 3
Entonces los candidatos a extremos relativos son:
(0,7),(2,3) Estudiemos la monotonía: (−∞,0),−→g′ (−1) = 9>0, entonces g crece. (0,2),−→g′ (1) =−3<0, entonces g decrece. (2,∞),−→g′ (3) = 9>0, entonces g crece.
Luego en (0,7) hay un máximo (la función crece hasta llegar a x=0 y decrece a continuación), y en (2,3) hay un mínimo (la función decrece hasta llegar a x=2 y crece a continución).
——————– NOTA:Crecimiento y decrecimiento de una función:
Una función es creciente en un punto cuando la derivada de la función es ese punto es positiva, y es decreciente cuando la derivada en ese punto es negativa. Los máximos y mínimos anulan a la primera derivada (se llaman también ex-tremos relativos). ——————–
——————– INTERNET
Ojo, hay que pinchar en entrar como invitado:
Cálculo de máximos y mínimos ——————–
Ejercicio
3.-Parte 1.- En un aula de dibujo hay 40 sillas, 30 con respaldo y 10 sin él. Entre las sillas sin respaldo hay 3 nuevas y entre las sillas con respaldo hay 7 nuevas.
a) (1 punto) Tomada una silla al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea nueva?.//
b) (1 punto) Si se coge una silla que no es nueva, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga respaldo?.
Parte 2.- (2 puntos)
En una población, una variable aleatoria sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica 9. ¿De qué tamaño, como míni-mo, debe ser la muestra con la cual se estime la media poblacional con un nivel de confianza del 97 por ciento y un error máximo admisible igual a 3?
Resolución: Parte
1.-Bien, llamemos: R−→silla con respaldo. N−→silla nueva.
Resolvamos por tabla de contingencia:
. R RC T N 7 3 10 NC 23 7 30 T 30 10 40 Luego: a) P(N)=C F C P = 10 40 = 0,25 b)P(RC /NC ) =307 = 0,2b3
con lo que: a) P(N)=30 40· 7 30+ 10 40· 3 10 = 10 40 = 0,25 b)P(RC/NC)=teoma de Bayes=P(RC∩NC) P(NC ) = 10 40· 7 10 30 40· 23 30+ 10 40· 7 10 = 0,2b3 Parte 2
Recordemos la expresión del error: E=zα
2 σ
√
n lo que nos proporciona el problema es:
σ= 9 1−α= 0,97 E= 3 X −→N(µ,9) luego: α= 0,03; α 2 = 0,015 P(Z≤zα 2) = 0,97 + 0,015 = 0,985
y mirando en las tablas de la distribución Normal obtenemos: zα
2 = 2,17
el problema nos pide un error a lo sumo de 3, luego de la expresión del error obtenemos: 2,17·√9 n = 3 √ n= 2,17·9 3 = 6,51 n= 42,3 =⇒n= 43
y en consecuencia la muestra debe ser mayor o igual que 43.
————- NOTA:Tablas de la Normal
Las tablas de la ley Normal nos indican, dado un punto del eje de abcisas, el tamaño del área que queda debajo del gráfico. Dicha área puede ser, como máximo 1, pues un suceso no puede tener probabilidad mayor que y 1, y como mínimo 0.
Podemos utilizar las tablas en dos direcciones. Dado un punto x=a, calcular el área (o probabilidad de que ocurra un suceso), o bien dada la probabilidad de que ocurra un suceso (o un área), encontrar el punto x=a. ————–
————- Enlace de interés: