MATEM´
ATICAS
para estudiantes de primer curso
de facultades y escuelas t´ecnicas
Tema 2
Polinomios y fracciones algebraicas
2. El anillo de los polinomios 3
2.1. Polinomios . . . 3
2.2. Suma y diferencia de polinomios . . . 4
2.3. Producto de polinomios. Propiedades . . . 5
2.4. El anillo de los polinomios . . . 6
3. Divisi´on de polinomios 7 3.1. Divisi´on de polinomios . . . 7
3.2. Regla de Ruffini . . . 9
4. Divisibilidad de polinomios 10 4.1. Teorema de Ruffini. Regla general de divisibilidad de polinomios . . . 10
4.2. Divisibilidad del binomio xn−an. . . 11
4.3. Divisibilidad del binomio xn+an. . . 12
5. Descomposici´on factorial de polinomios 13 5.1. Sacar factor com´un . . . 13
5.2. Doble extracci´on de factor com´un . . . 13
5.3. Trinomio cuadrado perfecto de un binomio. Diferencia de cuadrados . . . 14
5.4. Descomposici´on de un polinomio conocidos sus ceros . . . 15
5.5. M´aximo com´un divisor y m´ınimo com´un m´ultiplo . . . 15
6. Fracciones algebraicas 16
7. El cuerpo de las fracciones algebraicas 18
1.
Monomios
Llamaremos monomio a toda expresi´on literal en la que est´en involucradas exclusivamente las operaciones de multiplicaci´on, divisi´on,potenciaci´on yradicaci´on.
Ejemplo 1.1
Son monomios las expresiones 3ax,−2x2y, 3 2a
√
x, 5xy 2 3x3z. No son monomios las expresiones 7a−2x, 3a−5b
3 ,
6x2 −2y
3a+b .
Todo monomio est´a formado por un factor num´erico, llamadocoeficiente, y un factor literal con sus exponentes respectivos. Ejemplo 1.2 1) 3ax2y4 ( 3 coeficiente, ax2y4 parte literal. 2) −1 2mp 5 −12 coeficiente, mp5 parte literal.
Llamaremosgradode un monomio a la suma de todos los exponentes de sus letras. As´ı, por ejemplo, el grado del monomio 5x5m4z
es 5 + 4 + 1 = 10; el grado del monomio 3m2n5z7 es 2 + 5 + 7 = 14.
Se dir´a que dos monomios sonsemejantescuando tienen la misma parte literal. De este modo, son semejantes los monomios −3a5b
, 2ba5 y 3
4a 5b
; no son semejantes los monomios 6a5b2
, 6a2b5 , 3
2ab 6
.
Dos monomios semejantes que tienen el mismo coeficiente son iguales, mientras que si tienen coefi-cientes opuestos se llaman opuestos.
Las operaciones que se pueden realizar con los monomios son las siguientes:
Suma y diferencia de monomios.– La suma o la diferencia de dos o m´as monomiossemejantes es otro monomio semejante a los primeros, cuyo coeficiente es la suma o diferencia de los coeficientes de los monomios dados.
Ejemplo 1.3 1) 7ax5b2 −2ax5b2+ 3ax5b2= (7 −2 + 3)ax5b2 = 8ax5b2. 2) −3xy4 −(−6)xy4 = [−3−(−6)]xy4 = 3xy4 .
Ejemplo 1.4
1) La suma de los monomios 3xy5m3, −1
3x
2yz3 y 4x3z3m est´a representada por la expresi´on algebraica 3xy5m3
−13x2yz3
+ 4x3z3m .
2) La diferencia de los monomios 6xy5m2
y−2x2ym3
viene dada por la expresi´on algebraica 6xy5m2
−(−2x2ym3
) = 6xy5m2
+ 2x2ym3 .
Producto y potencia de monomios.– El producto de monomios o un monomio elevado a una po-tencia es otro monomio. En el primer caso, el resultado es un monomio que tiene como coeficiente el producto de los coeficientes, y como parte literal las distintas letras con exponente igual a la suma de los exponentes con que figuran en los monomios. En el segundo caso, para elevar un monomio a una potencia, es suficiente elevar el coeficiente a dicha potencia y multiplicar los exponentes de cada letra por el exponente de la potencia a la que se desea elevar.
Ejemplo 1.5
1) El producto de los monomios 3ax2y3z5
,−2x3z y 1
3az 4ym
viene dada por
(3ax2y3z5)(−2x3z) 1 3az 4 ym = 3·(−2)·1 3 ·a 2 x5y4z10m=−2a2x5y4z10m. 2) (−2xy5 )(−6x2z ) = 12x3y5z . 3) −23ax2y4 3 =−8 27a 3x6y12 . 4) (−3mx5y3 )2 = 9m2x10y6 .
Divisi´on de monomios.– Para dividir dos monomios basta con escribirlos en forma de fracci´on, de tal manera que el monomio dividendo sea el numerador y el monomio divisor el denominador. A continuaci´on, se dividen los coeficientes entre s´ı y se restan los exponentes de las respectivas letras. Ejemplo 1.6 1) −35xy5m2 : (2xy3m) =− 3 10y 2 m; 2) (3x2yz3) : ( −2x3y) = −3 2x −1z3; 3) 4 3mn 2z : 2 9xm 3 = 6m−2n2zx−1.
Obs´ervese que en los dos primeros ejemplos se han obtenido como resultado monomiosenteros, mientras que en el tercero, el monomio resultante esfraccionario. Cuando el cociente es un mo-nomio entero, diremos que elmonomio dividendo es divisible por el monomio divisor, o tambi´en que el primero esm´ultiplo del segundo.
En la pr´actica, para que un monomio sea m´ultiplo de otro, se requiere que el primero tenga todas las letras del segundo con grado igual o superior, no siendo necesario que el coeficiente del primer monomio sea m´ultiplo del coeficiente del segundo.
Ejemplo 1.7 1) 6m4y5z3 es m´ultiplo de 3my4z2 ; 2) 7m3yz4 es m´ultiplo de 5m2z3; 3) −5max4 es divisor de 8m2x7a5t2.
M´aximo com´un divisor y m´ınimo com´un m´ultiplo de monomios.– El m´aximo com´un divi-sor de varios monomios es el monomio de mayor grado que puede dividir a la vez a todos los monomios dados. As´ı, el m.c.d. de varios monomios es otro monomio cuya parte literal est´a for-mada por todas las letras comunes con el menor exponente. Si los coeficientes son n´umeros enteros, tomaremos su m.c.d. como coeficiente; por el contrario, si todos los coeficientes no son enteros, tomaremos el 1 como coeficiente del m.c.d.
Ejemplo 1.8 1) m.c.d.(30x3y4t2,15x2y5, −20x4y6m3) = 5x2y4; 2) m.c.d. 3 4x 4 t6z,12x3y4t,8x2yzt3 =x2t. 3) m.c.d.(8xy4,−12x2y5t,16x3m2ta2,36m2t) = 4.
El m´ınimo com´un m´ultiplo de varios monomios es otro monomio, cuya parte literal est´a formada por todas las letras, comunes y no comunesa los monomios dados, con elmayor exponente. Por coeficiente se toma el m.c.m. de los coeficientes de los monomios, si ´estos son n´umeros enteros; en caso contrario, se tomar´a el 1 como m.c.m.
Ejemplo 1.9 1) m.c.m.(8x5y2,−12xy3z2,20x2y5z6) = 120x5y5z6; 2) m.c.m. 3ab4,7 3ma 2, 5m3z2a, −6t3m4 =a2b4m4z2t3 .
2.
El anillo de los polinomios
2.1.
Polinomios
La suma de varios monomios que no sean semejantes no se puede efectuar y da lugar a un poli-nomio. Cada uno de los t´erminos que lo componen se denominat´erminodel polinomio.
Un monomio se puede considerar como un caso particular de polinomio con un ´unico t´ermino. Cuando todos los monomios son enteros, el polinomio se llama entero. Cuando hablemos de polinomios, nos referiremos siempre a los polinomios enteros. Los polinomios fraccionarios se estudiar´an m´as adelante. Ejemplo 2.1 1) 3 4xy 2+ 2mx5 −5m2y es un polinomio entero; 2) 3xy 2 5m − xty z + 5xy x+y −3x 2y3z es un polinomio fraccionario.
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus t´erminos. Si todos los t´erminos tienen el mismo grado, el polinomio se llamar´a homog´eneo.
Ejemplo 2.2 1) 3x4ym3 −12x3y6 + 3y4m es de grado 9; 2) 3 4x 2 y5a+ 2a3b5−3 5x 5 y3 es de grado 8.
2.2.
Suma y diferencia de polinomios
Para sumar dos o m´as polinomios se escriben, uno a continuaci´on de otro, todos los t´erminos de los polinomios y se suman los t´erminos semejantes. Esta ´ultima operaci´on se denominareducci´on de t´erminos semejantes. Ejemplo 2.3 1) (3ax5 −2a3x) + (3a2x2 +ax5) + (3a3x −a2x2) = 3ax5 −2a3x+ 3a2x2 +ax5 + 3a3x −a2x2 = 4ax5 +a3x + 2a2x2 . 2) 3a2 −14ab + 3 2b 2 −2ab+1 3a 2 + (4ab−b2) = 3a2 − 14ab+ 3 2b 2 −2ab+ 1 3a 2 + 4ab −b2 = 10 3 a 2 +7 4ab+ 1 2b 2 .
Las operaciones entre polinomios representan operaciones entre n´umeros relativos y, por tanto, se mantendr´an las propiedades de las operaciones con dichos n´umeros:
La suma es asociativa, es conmutativa,
posee elemento neutro (polinomio nulo),
cada polinomio tiene su sim´etrico (polinomioopuesto)
Ejemplo 2.4 Propiedad asociativa: (3ax2−2a2x) + (ax2−x3) + (2a3−ax2) = (3ax2−2a2x) + (ax2−x3+ 2a3−ax2) = = 3ax2−2a2x+ax2−x3+ 2a3−ax2 = 2ax2−a2x−x3+ 2a3, (3ax2−2a2x) + (ax2−x3) + (2a3−ax2) = (3ax2−2a2x+ax2−x3) + (2a3−ax2) = = 3ax2−2a2x+ax2−x3+ 2a3−ax2 = 2ax2−a2x−x3+ 2a3. Propiedad conmutativa: 1 3ax 2 −2ax + (5a2x−3ax2) = 1 3ax 2 −2ax+ 5a2x−3ax2 =−8 3ax 2 + 3a2x, (5a2x−3ax2) + 1 3ax 2 −2ax = 5a2x−3ax2+ 1 3ax 2 −2ax =−8 3ax 2 + 3a2x. Elemento neutro: (3a2x5−2ax+ 3x4) + (0a2x5+ 0ax+ 0x4) = (3a2x5−2ax+ 3x4) + 0 = = 3a2x5−2ax+ 3x4.
Elemento opuesto:
(5mn2+ 3ax2−2nm2) + (−5mn2−3ax2+ 2nm2) = = 5mn2+ 3ax2−2nm2−5mn2−3ax2+ 2nm2= 0.
Resumiendo, podemos decir que en el conjuntoPde los polinomios, la suma es una ley de composici´on interna (operaci´on), que posee las propiedades conmutativa, asociativa, elemento neutro y elemento sim´etrico; luego el par (P,+) es ungrupo abelianoo conmutativo.
La diferencia de dos polinomios es igual a la suma del primero con el opuesto del segundo.
Ejemplo 2.5
(3a2m−2am2−5am)−(5am2+ 7a2m) = 3a2m−2am2−5am−5am2−7a2m= =−4a2m−7am2−5am.
En la pr´actica y como se ha podido observar en los ejemplos anteriores, para sumar o restar polinomios, se quitan los par´entesis, teniendo presente que si delante hay un signo +, los signos que figuran en el par´entesis no var´ıan, y si delante tenemos el signo −, se cambian todos los signos de los t´erminos que figuran dentro del par´entesis.
2.3.
Producto de polinomios. Propiedades
Como un polinomio es la suma de varios t´erminos, podemos aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y enunciar la siguiente regla:
Para multiplicar un polinomio por un monomio, se multiplica por el monomio cada uno de los t´erminos del polinomio.
Con esto hemos reducido el problema al producto de monomios, que ya sabemos realizar.
Ejemplo 2.6 3 4ax 2 −2a2x+ 2 3ax 3a2m= 9 4a 3 x2m−6a4xm+ 2a3xm.
Extendiendo la propiedad distributiva al producto de dos sumas, podemos decir que para multiplicar dos polinomios, basta multiplicar cada t´ermino de uno de los polinomios por cada uno de los t´erminos del otro, y despu´es, reducir los t´erminos semejantes.
Ejemplo 2.7 1) (3m2+ 2mn−n2)(2m−3n) = (3m2+ 2mn−n2)(2m) + (3m2+ 2mn−n2)(−3n) = = (6m3+ 4m2n−2mn2) + (−9m2n−6mn2+ 3n3) = 6m3−5m2n−8mn2+ 3n3. 2) (4x2−3x+ 2)(5x2−3x−2) = = (4x2−3x+ 2)(5x2) + (4x2−3x+ 2)(−3x) + (4x2−3x+ 2)(−2) = = (20x4−15x3+ 10x2) + (−12x3+ 9x2−6x) + (−8x2+ 6x−4) = = 20x4−27x3+ 11x2−4.
El producto de polinomios, al igual que la suma, tiene las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva respecto de la suma.
Propiedad asociativa: (3x+ 2y) [(2x−3y)(3x−y)] = (3x+ 2y)(6x2−9xy−2xy+ 3y2) = = (3x+ 2y)(6x2−11xy+ 3y2) = 18x3+ 12x2y−33x2y−22xy2+ 9xy2+ 6y3= = 18x3−21x2y−13xy2+ 6y3, [(3x+ 2y)(2x−3y)] (3x−y) = (6x2+ 4xy−9xy−6y2)(3x−y) = = (6x2−5xy−6y2)(3x−y) = 18x3−15x2y−18xy2−6x2y+ 5xy2+ 6y3 = = 18x3−21x2y−13xy2+ 6y3. Propiedad conmutativa: (2xy−3x2)(2x+ 5y) = 4x2y−6x3+ 10xy2−15x2y=−11x2y−6x3+ 10xy2, (2x+ 5y)(2xy−3x2) = 4x2y+ 10xy2−6x3−15x2y=−11x2y−6x3+ 10xy2.
Propiedad distributiva respecto de la suma:
3x2[(2x−3) + (3x−5)] = 3x2(2x−3 + 3x−5) = 3x2(5x−8) = 15x3−24x2.
Aplicando la propiedad distributiva se tiene que
3x2[(2x−3) + (3x−5)] = 3x2(2x−3) + 3x2(3x−5) = = 6x3−9x2+ 9x3−15x5 = 15x3−24x2.
Elemento neutro: El elemento neutro del producto es el 1, consider´andolo como el monomio de grado cero y coeficiente uno. En efecto, multiplicando por 1 cualquier polinomio, ´este no var´ıa. Elemento sim´etrico: Como el grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los factores, dado un polinomio de grado mayor que cero, no existir´a ning´un polinomio que multiplicado por el primero nos d´e 1. As´ı, ning´un polinomio que no se reduzca a un n´umero tieneelemento sim´etrico para la multiplicaci´on.
2.4.
El anillo de los polinomios
En el conjunto P de todos los polinomios enteros hemos definido dos operaciones fundamentales: la suma y la multiplicaci´on. Estas operaciones tienen las siguientes propiedades:
La suma es asociativa, es conmutativa,
posee elemento neutro (polinomio nulo),
cada polinomio tiene su sim´etrico (polinomio opuesto)
La multiplicaci´on es conmutativa, es asociativa,
posee elemento neutro (el 1), es distributiva respecto de la suma.
Un conjunto dotado de dos operaciones con estas propiedades tiene estructura de anillo abeliano unitario.
3.
Divisi´
on de polinomios
3.1.
Divisi´
on de polinomios
As´ı como la suma de varios monomios no se pod´ıa realizar m´as que en el caso de monomios semejantes, y nos ve´ıamos obligados a dejar la suma indicada, obteniendo un polinomio, tambi´en la divisi´on de polinomios s´olo es posible cuando el dividendo es m´ultiplo del divisor. En caso contrario, indicamos la divisi´on, obteni´endose una fracci´on algebraica.
Ejemplo 3.1 El cociente (3x2y
−2axy3 −3y4
) : (5xb2z −3z2
) da lugar a la fracci´on algebraica 3x2y
−2axy3 −3y4 5xb2z−3z2 .
De la divisi´on dedos monomios resulta otro monomio entero si el dividendo contiene todas las letras del divisor con un grado igual o mayor.
Del mismo modo, para que la divisi´on de un polinomio entero por un monomio d´e otro polinomio entero, es necesario que todos los t´erminos del polinomio sean divisibles por el monomio divisor; en este caso diremos que el el dividendo es divisible por el divisor. El cociente es el resultado de dividir cada t´ermino del polinomio por el monomio.
Ejemplo 3.2 (3x4yz2−4ax2y3−7x3y2z+ 2x2y) : 2x2y= 3 2x 2 z2−2ay2−7 2xyz+ 1.
Cuando en Zno es posible la divisi´on entre dos n´umerosay b, expresamos el resultado mediante un cociente c y un resto r, de forma que
a=bc+r, con r < b.
Al n´umerocse le llama cociente entero y a r,resto de la divisi´on.
An´alogamente, dadas dos expresiones algebraicas A(x) yB(x) en una misma variable, en general, el cociente A(x)
B(x) no es un polinomio entero, es decir,A(x) no es divisible por B(x). Se trata de buscar dos polinomios enteros, C(x) y R(x), tales que
A(x) =B(x)C(x) +R(x),
con la condici´on de que el grado deR(x) sea menor que el deB(x).
A los dos polinomiosC(x) yR(x) se les denomina, respectivamente,cociente enteroyresto de la divisi´on.
A continuaci´on se proporciona una regla para la divisi´on de dos polinomios. ´Esta consta de divi-siones y multiplicaciones; en el ejemplo que se expone a continuaci´on, indicaremos las primeras con (*) y las segundas con (**).
Ejemplo 3.3 Para realizar la divisi´on (−5x−3x2 + 2x3
−5) : (x−2), se disponen los dos polinomios en orden decreciente:
2x3−3x2−5x−5 |x−2 (∗) Se divide el primer t´ermino, 2x3
, por el primer t´ermino del divisor, x; el cociente as´ı obtenido, 2x2
, es el primer t´ermino del cociente buscado. 2x3
−3x2
−5x−5 |x−2 2x2
(∗∗) Se multiplica el cociente parcial, 2x2, por el divisor, x
−2, y se resta el resultado del dividendo. Para esto es suficiente poner los t´erminos del producto parcial,con los signos cambiados, debajo de los t´erminos semejantes del dividendo, y efectuar lasuma algebraica:
2x3 −3x2 −5x −5 | x−2 −2x3 +4x2 2x2
x2
−5x −5 (∗) Se divide el primer t´ermino del nuevo dividendo,x2
, por el primer t´ermino del divisor: 2x3 −3x2 −5x −5 | x−2 −2x3 +4x2 2x2 +x x2 −5x −5
(∗∗) Se multiplica el cociente obtenido,x, por el divisor,x−2, y se resta del nuevo dividendo: 2x3 −3x2 −5x −5 | x−2 −2x3 +4x2 2x2 +x x2 −5x −5 −x2 +2x −3x −5 (∗) Se divide el t´ermino−3x por x, obteniendo −3.
(∗∗) Se multiplica −3 por el divisor, x−2, y se le resta de −3x−5: 2x3 −3x2 −5x −5 | x−2 −2x3 +4x2 2x2+x−3 x2 −5x −5 −x2 +2x −3x −5 +3x −6 −11
Ya no se puede continuar pues el resto obtenido, −11, es de grado inferior al grado del divisor.
Ejemplo 3.4 1) (x−2x3 −3 + 3x4 ) : (2x2 −1). 3x4 −2x3 +x −3 | 2x2 −1 −3x4 +3 2x 2 3 2x 2 −x+3 4 −2x3 +3 2x 2 +x −3 +2x3 −x +3 2x 2 −3 −32x2 +3 4 −94 Se obtiene as´ı el cociente 3
2x 2 −x+3 4 y de resto− 9 4.
2) (4x5+ 11a2x3+a5 −12ax4+a4x −2a3x2) : (2x2+a2 −3ax). 4x5 −12ax4 +11a2x3 −2a3x2 +a4x +a5 | 2x2 −3ax+a2 −4x5 +6ax4 −2a2x3 2x3−3ax2+1 2a 3 −6ax4 +9a2x3 −2a3x2 +a4x +a5 +6ax4 −9a2x3 +3a3x2 a3x2 +a4x +a5 −a3x2 +3 2a 4x −12a5 5 2a 4x +1 2a 5
En este caso el cociente viene dado por 2x3
−3ax2 +1 2 y el resto por 5 2a 4x +1 2a 5 .
3.2.
Regla de Ruffini
Cuando tenemos que dividir un polinomioA(x) por un binomio de la formax−a, la operaci´on se puede hacer de otra forma m´as sencilla, como puede observarse el siguiente ejemplo:
Ejemplo 3.5 Para dividir el polinomio (4x4 −5x3
+ 3x5 −x2
−63 −13x) por el binonio x −2, primeramente se ordena el polinomio en orden decreciente:
3x5+ 4x4−5x3−x2−13x−63.
Despu´es se escriben s´olo los coeficientes del polinomio con su signo, y se separa el t´ermino indepen-diente. El t´ermino independiente del divisor x−2 se pone a la izquierda con elsigno cambiado:
3 4 −5 −1 −13 −63 2
El primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo; se coloca debajo del primer coeficiente del dividendo:
3 4 −5 −1 −13 −63 2 ↓
3
Este coeficiente se multiplica por el t´ermino independiente del binomio y el resultado se coloca debajo del segundo coeficiente del dividendo, sum´andose con ´este:
3 4 −5 −1 −13 −63
2 6
3 10
Este proceso se va repitiendo hasta llegar al ´ultimo coeficiente del polinomio: 3 4 −5 −1 −13 −63
2 6 20 30 58 90
3 10 15 29 45 27
Los n´umeros obtenidos, salvo el ´ultimo, son precisamente los coeficientes del cociente, y el ´ultimo es el resto; tenemos pues que el cociente viene dado porC(x) = 3x4+ 10x3+ 15x2+ 29x+ 45.
Cuando el divisor es un binomio de la forma x+a, tambi´en se aplica la regla de Ruffini escribiendo
x+a=x−(−a).
Ejemplo 3.6 Dividir el polinomio A(x) = 16x2y3 +y4x+ 7x5
−20y2x3
−8yx4
−y5 por el binomio
x−2y.
a) Ordenamos el polinomio seg´un las potencias decrecientes de x: A(x) = 7x5 −8yx4 −20y2x3 + 16x2y3+y4x
−y5.
b) Realizamos la divisi´on con la precauci´on de colocar los coeficientes del polinomioA(x) tanto num´eri-cos como literales:
7 −8y −20y2 16y3 y4 −y5
2y ↓ 14y 12y2
−16y3 0 2y5 7 6y −8y2 0 y4 y5 Tenemos pues que C(x) = 7x4+ 6yx3
−8y2x2+y4 yR=y5.
4.
Divisibilidad de polinomios
4.1.
Teorema de Ruffini. Regla general de divisibilidad de polinomios
Cuando tenemos un polinomio P(x) y un binomio x−a, podemos hallar el resto de la divisi´on
P(x) : (x−a) sin realizar la operaci´on, lo cual ser´a muy ´util para determinar si la divisi´on es exacta o no.
El resto de dicha divisi´on es un polinomio en x, de grado inferior al divisor, y como x−a es de primer grado, el resto R ser´a de grado cero, es decir, ser´a un t´ermino independiente de x. Luego si
C(x) es el cociente de la divisi´on, por la definici´on de esta operaci´on tendremos que
P(x) = (x−a)C(x) +R.
El segundo miembro de esta igualdad es una transformaci´on del primer miembro y las dos expresiones algebraicas son id´enticamente iguales y, por tanto, la igualdad ser´a cierta para cualquier valor de la variable x. En particular, si hacemos x=a, se obtiene
P(a) = (a−a)C(a) +R=R.
En consecuencia,
Teorema 4.1 (de Ruffini) El resto de la divisi´on P(x) : (x−a) es el valor num´erico del polinomio
P(x) para x=a.
Ejemplo 4.1
1) Para calcular el resto de la divisi´on (x4 −3x+ 2x2 −5) : (x −2), sustituimos en el polinomio dividendox por 2, obteniendo:
P(2) = 24
−3·2 + 2·22
−5 = 16−6 + 8−5 = 13,
luego R=P(2) = 13.
2) ¿Es divisible el polinomioP(x) = 3x3 +x4
−6x+ 2 por el binomio x−1?
P(1) = 3·13+ 14−6·1 + 2 = 3 + 1−6 + 2 = 0.
3) El resto de la divisi´on (x4+ 4x+ 5 −3x3) : (x+ 2) = (x4+ 4x+ 5 −3x3) : [x −(−2)] viene dado por P(−2) = (−2)4 + 4(−2) + 5−3(−2)3 = 16−8 + 5 + 24 = 37.
4) ¿Es exacta la divisi´on (x4
−6x−4 + 3x3
) : (x+ 2)? S´ı, pues
R =P(−2) = (−2)4−6(−2)−4 + 3(−2)3 = 16 + 12−4−24 = 0.
De la regla de Ruffini se deducen dos consecuencias:
Si el polinomioP(x) es divisible porx−a, el resto de la divisi´on es nulo; luegoP(a) = 0. Rec´ıprocamente; si el polinomio P(x) es tal queP(a) = 0, el resto de la divisi´on P(x) : (x−a) es nulo y, por lo tanto,P(x) es divisible por x−a.
El valor apara el queP(a) = 0 recibe el nombre decero del polinomio P(x). Podremos concluir con esta importanteregla general de divisibilidad:
La condici´on necesaria y suficiente para que un polinomioP(x) sea divisible porx−a
es queasea uncero del polinomio.
Ejemplo 4.2 Sin realizar la divisi´on, se puede comprobar que el polinomioP(x) =x4−3x+x3+ 3x5
es divisible por (x+ 1), ya que
P(−1) = (−1)4
−3(−1) + (−1)3
+ 3(−1)5
= 1 + 3−1−3 = 0,
esto es, x=−1 es un cero de P(x).
4.2.
Divisibilidad del binomio
xn−anLa diferencia de dos potencias de igual exponente es siempre divisible por la diferencia de sus bases, es decir, xn−anes siempre divisible porx−a. En efecto, seg´un la regla general de divisibilidad de los polinomios, para ver sixn−anes divisible porx−a, basta hacer x=ay observar que el resto es nulo:
P(x) =xn−an, R=P(a) =an−an= 0,
luego la divisi´on siempre es exacta y, adem´as,
xn−an= (x−a)C(x),
donde C(x) puede calcularse aplicando la regla de Ruffini:
1 0 0 0 0 · · · 0 −an a ↓ a a2 a3 a4 · · · an−1 an
1 a a2 a3 a4 · · · an−1 0
Como el cociente es un polinomio decreciente en xy de grado n−1, tendremos que
C(x) =xn−1+axn−2+a2xn−3+a3xn−4+· · ·+an−2x+an−1. Ejemplo 4.3 x3−y3= (x−y)(x2+xy+y2), x5−y5= (x−y)(x4+x3y+x2y2+xy3+y4), 8−x3= (23 −x3) = (2−x)(4 + 2x+x2).
La diferencia xn−an de dos potencias de igual exponente es divisible por la sumax+ade sus bases si nes un n´umero par.
Procediendo de forma totalmente an´aloga a la anterior, se tiene que
P(x) =xn−an, P(−a) = (−a)n−an= (
an−an= 0 si nes par,
−an−an=−2an si nes impar.
De aqu´ı se deduce que −aes un cero del polinomio P(x) ´unicamente cuandones par, as´ı que s´olo en ese caso P(x) es divisible por x+ay, adem´as,
xn−an= (x+a)C(x).
Aplicando la regla de Ruffini se llega a que
C(x) =xn−1−axn−2+a2xn−3−a3xn−4+· · ·+an−2x−an−1. Ejemplo 4.4 x4−y4 = (x+y)(x3−x2y+xy2−y3), x6−64 = (x+ 2)(x5−x42 +x322 −x223 +x24 −25 ).
4.3.
Divisibilidad del binomio
xn+anLa suma de dos potencias de igual exponente xn+an nunca es divisible por la diferencia de sus bases x−a. As´ı es; si P(x) =xn+an, haciendo uso del criterio general de divisibilidad, se tiene que
P(a) =an+an= 2an6= 0.
La suma de dos potencias de igual exponente xn+an es divisible por x+as´olo cuando nes impar. Efectivamente; si hacemos P(x) =xn+an, entonces
P(−a) = (−a)n+an= (
an+an= 2an sin es par,
−an+an= 0 sin es impar.
S´olo cuando n es impar, −aes un cero de P(x) y, por tanto, s´olo en este caso P(x) es divisible por
x+a, siendo
xn+an= (x+a)C(x).
El cociente C(x) puede calcularse aplicando la regla de Ruffini:
1 0 0 0 0 0 · · · 0 0 an −a ↓ −a a2 −a3 a4 −a5 · · · −an−2 an−1 −an 1 −a a2 −a3 a4 −a5 · · · −an−2 an−1 0 de modo que C(x) =xn−1−axn−2+a2xn−3−a3xn−4− · · · −an−2x+an−1. Ejemplo 4.5 (x5+ 1) : (x+ 1) =x4−x3+x2−x+ 1, 128x7+ 2187 =(2x)7+ 37 = =(2x+ 3) (2x)6−(2x)53 + (2x)432−(2x)333+ (2x)234−(2x)35+ 36= =(2x−3)(64x6−96x5+ 144x4−216x3+ 324x2−486x+ 729).
5.
Descomposici´
on factorial de polinomios
Descomponer un polinomio en factores significa transformar el polinomio en producto de monomios u otros polinomios de grado inferior.
Esta operaci´on suele presentar muchas dificultades y, con frecuencia, no es posible. Por esto, nos limitaremos a los casos m´as sencillos, que se reducir´an a considerar la propiedad distributiva de la multiplicaci´on respecto de la suma, y a los productos notables.
5.1.
Sacar factor com´
un
La descomposici´on factorial de polinomios tiene en ´Algebra las mismas aplicaciones que en Aritm´eti-ca la descomposici´on en factores primos: hallar el m´aximo com´un divisor (m.c.d.) y el m´ınimo com´un m´ultiplo (m.c.m.) de varios polinomios y, por consiguiente, la simplificaci´on de fracciones, la reducci´on al m´ınimo denominador com´un, resoluci´on de ecuaciones, etc.
La primera operaci´on de descomposici´on, que siempre tiene que preceder a cualquier otra, consiste en sacar factor com´un uno o varios factores que aparecen en todos los t´erminos. El polinomio dado es igual al producto de esos factores por el polinomio que resulte de dividir cada t´ermino por el factor com´un. Se podr´ıa considerar esta operaci´on como la inversa de la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. En efecto, si aplicamos la propiedad distributiva al producto, se verifica
m(3x+ 3y−5x2) = 3mx+ 3my−5mx2.
El polinomio del segundo miembro contiene en todos los t´erminos la letram, que podr´a sacarse factor com´un: Propiedad distributiva −→ m(3x+ 3y−5x2) = 3mx+ 3my −5mx2 ←−
Sacar factor com´un
En general, se saca factor com´un el m.c.d. de los t´erminos del polinomio.
Ejemplo 5.1
1) Los t´erminos del polinomio 4a2b−5ab2+ 7ab contienen todos el factorab, con lo que 4a2b−5ab2+ 7ab=ab(4a−5b+ 7).
2) Todos los t´erminos del polinomio 5x4yz2−15ax3yz+ 25x3z3bcontienen el factor 5x3z, pudi´endose escribir 5x4yz2−15ax3yz+ 25x3z3b= 5x3z(xyz−3ay+ 5z2b). 3) (a+b)2 −3(a+b)a+ 5(a+b)(a−b) = (a+b)(a+b−3a+ 5a−5b) = (a+b)(3a−4b). 4) a2b −b=b(a2 −1).
5.2.
Doble extracci´
on de factor com´
un
Puede suceder que algunos t´erminos de un polinomio presenten un factor com´un, mientras que los restantes ofrezcan otro factor com´un distinto. Al sacar factor com´un de los primeros y de los segundos por separado, con frecuencia se puede transformar todo el polinomio en factores.
Ejemplo 5.2
1) am−bm+an−bn=m(a−b) +n(a−b) = (a−b)(m+n).
En los dos primeros se ha sacado factor com´un m y el los otros dos, n. Los dos t´erminos que han resultado, contienen el factor com´un a−b. Mediante una segunda extracci´on de factor com´un el polinomio se ha convertido en un producto.
Esta doble extracci´on de factor com´un se puede considerar como laoperaci´on inversa del producto de dos polinomios.
2) 3x2
−2xy−6mx+ 4my =x(3x−2y)−2m(3x−2y) = (3x−2y)(x−2m).
3) 3xma+ 3xna−mya−nya+ 3xmb+ 3xnb−myb−nyb= 3ax(m+n)−ya(m+n) + 3xb(m+n)−
yb(m+n) = (m+n)(3ax−ya+3xb−yb) = (m+n) [a(3x−y) +b(3x−y)] = (m+n)(3x−y)(a+b).
5.3.
Trinomio cuadrado perfecto de un binomio. Diferencia de cuadrados
Los productos notables son ya conocidos:
(a±b)2 =a2±2ab+b2.
Un problema que deseamos abordar ahora es c´omo reconocer si un trinomio es un cuadrado perfecto de un binomio. Para ello observamos que en el trinomio de la igualdad anterior, tenemos dos monomios que son cuadrados perfectos, a2 y b2, mientras que el tercer t´ermino, 2ab, es doble producto de las bases de esos cuadrados perfectos. Cada vez que se cumplen estos requisitos, el trinomio es eldesarrollo de la suma o diferencia de dos monomios, seg´un que el doble producto sea positivo o negativo.
Ejemplo 5.3 1) 25a2 + 20a + 4 ↓ ↓ (5a)2 → 2·5a·2 ← 22 25a2
es el cuadrado de 5a; 4 es el cuadrado de 2; y 20aes el doble de 5a·2. Como el duplo lleva el signo positivo, se trata del cuadrado de una suma:
25a2+ 20a+ 4 = (5a+ 2)2. 2) x2 4 − 3xy + 9y 2 =x 2 −3y 2 ↓ ↓ x 2 2 → 2·x 2 ·3y ← (3y) 2
Es m´as, leyendo en sentido inverso la igualdad (a+b)(a−b) =a2−b2 obtenemos
a2−b2 = (a+b)(a−b). Ejemplo 5.4 1) x2−9 = (x+ 3)(x−3); 2) 16x2y4 −25 = (4xy2 + 5)(4xy2 −5); 3) (x−y)2 −z2 = [(x−y) +z] [(x−y)−z] = (x−y+z)(x−y−z).
5.4.
Descomposici´
on de un polinomio conocidos sus ceros
Tratemos ahora la descomposici´on de un polinomio cualquiera conocidos sus ceros. De este modo, si P(x) es un polinomio de grado nyaes un cero de P(x), sabemos queP(x) es divisible porx−a; hallando C(x) por la regla de Ruffini tendremos que
P(x) = (x−a)C(x),
donde C(x) es un polinomio de grado n−1. Esta descomposici´on ya se ha estudiado anteriormente. Ahora bien, siP(x) es un polinomio de grado nya1, a2, . . . , ansonnceros deP(x), entonces ´este se puede descomponer de la siguiente forma:
P(x) =A(x−a1)(x−a2)· · ·(x−an),
donde A es el coeficiente del t´ermino de gradonde P(x), llamadocoeficiente l´ıder de P(x).
5.5.
M´
aximo com´
un divisor y m´ınimo com´
un m´
ultiplo
Estudiemos el m´aximo com´un divisor y el m´ınimo com´un m´ultiplo de dos polinomios:
(A) Un polinomio P(x) es divisible por otro polinomio D(x) si, descompuestos en factores primos, todos los factores de D(x) est´an en P(x) con exponentes mayores o iguales.
Ejemplo 5.5 ¿Es divisibleP(x) = 8x4y3−32x3y4+ 4x3y3 por D(x) = 4x4y2−16xy3+ 2xy2? 8x4y3 −32x3y4+ 4x3y3 4x4y2−16xy3+ 2xy2 = 4x3y3(2x −8y+ 1) 2xy2(2x−8y+ 1) = 2x 2 y. S´ı es divisible y el cociente es C(x) = 2x2y .
(B) El m.c.d. (m.c.m.) de dos o m´as polinomios es el polinomio de mayor grado (menor grado) que sea divisor (divisible por) los polinomios dados. Descompuestos los polinomios dados en factores primos, podemos hallar el m.c.d. y el m.c.m. como sigue:
El m.c.d. de dos o varios polinomios descompuestos en factores primos es igual al polinomio producto de todos los factores comunes con el menor exponente.
El m.c.m. de dos o varios polinomios descompuestos en factores primos es igual al polinomio producto de todos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.
Ejemplo 5.6 Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de los polinomios P(x) = 2x4y
−4x3y2 + 2x2y3 y Q(x) =x3y2 −xy4 .
Descomponiendo los polinomios resulta:
P(x) =2x2y(x2−2xy+y2) = 2x2y(x−y)2
, Q(x) =xy2(x−y)(x+y),
de manera que m.c.d.(P(x), Q(x)) =xy(x−y) y m.c.d.(P(x), Q(x)) = 2x2y2(x−y)2
6.
Fracciones algebraicas
Lasfracciones algebraicasson expresiones literales que representan al cociente inexacto de dos monomios o polinomios. Cuando el numerador es m´ultiplo del denominador, diremos que la fracci´on es impropia.
Ejemplo 6.1 Las expresiones
3x−2y 4x−y , x 3x2 −2, 5x−10y x−2y , x 3x2
son todas fracciones algebraicas; sin embargo, la tercera es una fracci´on impropia pues 5x−10y
x−2y =
5(x−2y)
x−2y = 5.
El valor num´erico de una fracci´on, para determinados valores de sus letras, es el n´umero que resulta de sustituir las letras por sus valores respectivos y realizar las operaciones indicadas.
Ejemplo 6.2 El valor num´erico de
x−2x2+ 3a 2a−6x para ( x= 1, a= −2, es 1−2·12+ 3( −2) 2(−2)−6·1 = 1−2−6 −4−6 = −7 −10 = 7 10.
Puede ocurrir que la fracci´on algebraicano tenga sentidopara determinados valores de sus letras; esto sucede cuando para dichos valores se anula el denominador. As´ı, la expresi´on anterior no tiene sentido para los valores x= 1 ya= 3, porque tendr´ıamos
1−2·12 + 3·3 2·3−6·1 = 1−2 + 9 6−6 = 8 0.
A veces sucede que los valores dados a las letras anulan, a la vez, el numerador y el denominador; diremos que para dichos valores la fracci´on esindeterminada.
Ejemplo 6.3 La fracci´on x+ 1
x2+ 2x+ 1 es indeterminada parax=−1 ya que, hallando el valor num´erico correspondiente, se obtiene: (−1) + 1 (−1)2+ 2( −1) + 1 = −1 + 1 1−2 + 1 = 0 0.
Dos fracciones son equivalentes si toman los mismos valores num´ericos para todos los valores atri-buidos a sus letras que no anulan el denominador.
Ejemplo 6.4 3x−a
4x−2 +a y
9x2 −a2 12x2
−6x+ 7xa−2a+a2 son equivalentes. Para comprobarlo es suficiente dar ax y a ados valores y ver que los correspondientes valores num´ericos coinciden. Como las letras representan n´umeros, se pueden extender a las fracciones algebraicas las propiedades de las fracciones aritm´eticas.
Otra definici´on de equivalencia que coincide con la primera es la siguiente:
Dos fracciones algebraicas son equivalentes cuando el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda es igual al producto del numerador de la segunda por el denominador de la primera. As´ı, si m,n,p yq representan polinomios algebraicos, podremos escribir
m n ≡
p
Las dos fracciones del ejemplo anterior son equivalentes, ya que
(3x−a)(12x2−6x+ 7xa−2a+a2) = (9x2−a2)(4x−2 +a),
cuya comprobaci´on se deja al alumno.
Si se multiplican o dividen el numerador y el denominador de una fracci´on algebraica por un mismo polinomio, se obtiene una fracci´on algebraica equivalente a la primera. En efecto, sia,bycson polinomios, podemos escribir que a
b = ac
bc, ya que por la asociatividad y conmutatividad del producto
de polinomios resulta ser a(bc) =b(ac). Aplicando esta propiedad fundamental, podemossimplificar una fracci´on, dividiendo sus dos t´erminos por un divisor com´un, si lo tienen.
Ejemplo 6.5 12a 3x 8ax2 = 3a2 2x, 3(x−2)2 4(x2−4) = 3(x−2)2 4(x−2)(x+ 2) = 3(x−2) 4(x+ 2).
Cuando una fracci´on no se puede simplificar, diremos que est´areducida a los m´ınimos t´erminoso que es irreducible, y la consideramos el representante can´onicodel conjunto de todas las fracciones equivalentes a ella.
Reducir a com´un denominador dos o m´as fracciones algebraicas es hallar otras fracciones algebrai-cas equivalentes a las primeras que tengan el mismo denominador. Para ello, se sigue un procedimiento an´alogo al empleado en las fracciones num´ericas:
a) Se reducen las fracciones dadas a sus m´ınimos t´erminos (irreducibles).
b) Se halla el m.c.m. de los denominadores de las fracciones reducidas, obteni´endose as´ı el denominador com´un.
c) Para hallar el numerador, se divide el m.c.m. por cada denominador y se multiplica el cociente obtenido por su respectivo numerador.
Ejemplo 6.6 Reducir a com´un denominador las siguientes fracciones: 3x2 5ax, 12(x−1)2 16(x2 −1), 30(x−2) 20a2(x+ 1)2. a) Reducci´on: 3x 5a, 3(x−1) 4(x+ 1), 3(x−2) 2a2(x+ 1)2.
b) Hallar el m.c.m. de los denominadores:
Primer denominador = 5a Segundo denominador = 4(x+ 1) Tercer denominador = 2a2(x+ 1)2 m.c.m. de denominadores = 22 5a2 (x+ 1)2 = 20a2 (x+ 1)2
c) C´alculos de los nuevos numeradores:
Primer numerador (20a2(x+ 1)2) : (5a) = 4a(x+ 1)2 4a(x+ 1)2 3x= 12ax(x+ 1)2 Segundo numerador (20a2(x+ 1)2 ) : [4(x+ 1)] = 5a2(x+ 1) 5a2(x+ 1)3(x −1) = 15a2(x2 −1) Tercer numerador (20a2 (x+ 1)2 ) : 2a2 (x+ 1)2 = 10 10·3(x−2) = 30(x−2)
Las nuevas fracciones algebraicas ser´an pues: 12ax(x+ 1)2 20a2(x+ 1)2, 15a2 (x2 −1) 20a2(x+ 1)2, 30(x−2) 20a2(x+ 1)2.
7.
El cuerpo de las fracciones algebraicas
Dadas dos fracciones algebraicas mn y p
q, donde m, n, p y q son polinomios, se define su suma
como m n + p q = mq+np nq . Ejemplo 7.1 3x x−y + x+y x2−1 = 3x(x2 −1) + (x+y)(x−y) (x−y)(x2−1) = 3x3 −3x+x2 −y2 x3−x−x2y+y . En caso de que dos fracciones algebraicas tengan el mismo denominador, p, se tendr´a que
m p + n p = m+n p ,
donde m,ny pson polinomios.
Ejemplo 7.2 3a+b b2 + a−5b b2 + 6b−5a b2 = 3a+b+a−5b+ 6b−5a b2 = −a+ 2b b2 .
Si las fracciones dadas tienen distinto denominador, se pueden reducir al m´ınimo com´un denominador y despu´es hallar la suma de los numeradores aplicando la regla anterior.
Ejemplo 7.3 3x x−y + 2(x+y) (x−y)2 + 3 (x+y)(x−y) = 3x(x−y)(x+y) (x−y)2(x+y) + 2(x+y)2 (x−y)2(x+y) + 3(x−y) (x−y)2(x+y) = = 3x 3 −3xy2 + 2x2 + 4xy+ 2y2 + 3x−3y (x−y)2(x+y) .
Las fracciones algebraicas forman un grupo abeliano para la operaci´on suma. Efectivamente, si
a, b, c, d, m y n son polinomios, se cumplen las siguientes propiedades para la suma de fracciones algebraicas: Conmutativa: a b + c d = ad+bc bd , c d+ a b = cb+ad db ;
como la multiplicaci´on y la suma de polinomios son conmutativas, las dos sumas son iguales. Asociativa: a b + c d +m n = ad+cb bd + m n = (ad+cb)n+mbd bdn = adn+cbn+mdb bdn , a b + c d+ m n =a b + cn+md dn = adn+ (cn+md)b bdn = adn+cbn+mdb bdn .
Existe elemento neutro: El 0 es lafracci´on neutra para la suma:
m n + 0 = m n + 0 n = m+ 0 n = m n.
Elemento sim´etrico: La fracci´on algebraica sim´etrica de a b para la suma es− a b, pues a b + −ab= a+ (−a) b = 0 b = 0. Se dir´a que−a
b es la fracci´on algebraica opuesta de a b.
La diferenciade dos fracciones algebraicas se puede definir como la suma de la primera con la opuesta de la segunda. Ejemplo 7.4 3a 2b − −4ab = 3a 2b + 4b a = 3a2+ 8b2 2ab .
Sean ahora los polinomios m, n, p y q. Se define el producto de las fracciones algebraicas m
n y p q como m n p q = mp nq. Ejemplo 7.5 3x(x−y) x2+ 2xy a(x−y) 2y = 3ax(x−y)2 2y(x2+ 2xy).
Las fracciones algebraicas forman un grupo abeliano para la operaci´on producto. Efectivamente, si a, b, c, d, m y n son polinomios, se cumplen las siguientes propiedades para la multiplicaci´on de fracciones algebraicas: Conmutativa: a b c d = ac bd, c d a b = ca db;
como la multiplicaci´on de polinomios es conmutativa, los dos productos son iguales.
Asociativa: Como el producto de polinomios es asociativo, tambi´en lo ser´a el producto de fracciones algebraicas.
Existe elemento neutro: El 1 es lafracci´on algebraica neutra para el producto:
m p1 = m p 1 1 = m p.
El 1 es conocido comofracci´on unidad. Elemento sim´etrico: Si a
b es una fracci´on algebraica tal que b6= 0, entonces su fracci´on sim´etrica
respecto del producto es b
a, pues a b b a = ab ba = 1. Se dir´a que b
a es la fracci´on algebraica inversa de a b.
Hemos definido dos operaciones en el conjunto de las fracciones algebraicas, la suma y el producto, obteniendo dos estructuras de grupo abeliano. Entre estas dos operaciones existe una propiedad que las liga: la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. As´ı, si a, b, m, n,p y q son polinomios, se cumple que
a b m n + p q = a b m n + a b p q.
La demostraci´on de este resultado se deja como ejercicio para el alumno.
(F,+) es un grupo abeliano, (F,·) es un grupo abeliano, ·es distributivo respecto de +;
entonces (F,+,·) tiene estructura decuerpo.
Para finalizar, decir que ladivisi´on de dos fracciones algebraicas se puede definir como el producto de la primera por la inversa de la segunda.
Ejemplo 7.6 4x2 5ay2 : 3ax3 5y = 4x2 5ay2 5y 3ax3 = 4 3a2xy.
8.
Ejercicios propuestos
(1) Suma las siguientes expresiones:
a) 3xy2 −2 3y 2x+xy2, 5ab2 −3a2b+ 6ba2+ 2b2a; b) 3 2x 4y+2 3xy 4 −3 4x 4y −xy4, 2 √ 5xy 2+ √ 5 2 xy 2+√20xy2.
(2) Indica la suma de los siguientes monomios y reduce t´erminos semejantes:
a) 3ax2, 1 2xa 2, −ax2, −34a2x ; b) 0′5x3y2, 1 2y 2x3, −34x2y3, −0′3y3x2 ; c) −5 3yx 4 , 3 2xy 4 , x4y, 0′3y4 x.
(3) Multiplica los siguientes monomios:
a) 3ax3y, 2ax, −3x2y ; b) 2 3mn 2, −3 4nm 2, 6n3; c) 5 6ax 2 y, −3xy3, 12 5 ax, − 1 9xy.
(4) Realiza las siguientes operaciones:
a) 2ax2b −34a2x2 −56ab3 + 2a2x2 −35x2b2 −109 a2b2 ; b) 3 4abc(−2a 2b ) −12c2 −32a(−a2b2c3 ); c) 5 3a 3 b3z5 −109 b4z6 −73a3z10 −1514b7z .
(5) Calcula las potencias de los monomios siguientes: a) 3 2x 3y2 3 , 2 5xy 2 4 , (−2ab2z3 )4 ;
b) (3xy3 )23, (−3z2ab3 )22, n (xy2 )25o6 ; c) " 3 4xy 5 8 8 9xy 2 5#3 , " (3xa3 )2 −13x 3#2 ; d) 3 2ab− 1c−2 −2 , (8a3b6 )1/3, (81a−1 )−3/4 .
(6) Realiza todas las operaciones posibles, simplificando t´erminos semejantes:
a) 6xy2z 2 3xz 2 −3y −23xz 2 +3 2xz(−3xyz) 2 −2x2yz2 ; b) −32a2 3 (−2x)2 − 1 3ax 2 ax2 +4 5(a 6x )(−2x) + 2 3a 3 (−2x2 )2 .
(7) Divide los siguientes monomios:
a) 3 4m 2 n3: 5 2m, −19x5yz3 : 3 2xyz ; b) 5a3xy2 : (−3axy), −2x4y: (−3x3); c) " (3x2y )2 −14ax2y 3 (6xyz) # : 9 4a 2x7y3z .
(8) Realiza las siguientes operaciones con monomios, reduciendo t´erminos semejantes:
a) " 3 2xy 2 2 : −34x2 #3 − " 1 4x 3y2 2 : 1 2x 3 2#3 ; b) " 2m3 −1 4mn 2 3#2 : " −1 2mn 2 2#3 −(−m2)3.
(9) Halla el m.c.d. de los siguientes monomios:
a) 2a2xy3, 6ax2y, 8a3x2; b) 26xy5z, 52(xyz)2, 39x2yz3 ; c) 3 2x 6ym2, 4 9x 2y7, 9 25a 3x5y6z.
(10) Halla el m.c.m. de los siguientes monomios:
a) 33a2m, 99am2, 8a3x2; b) 26xy5z, 52(xyz)2, 22amn; c) 3 5xy 2z, 6 7x 2yz2, 7 9z 9; d) 3 4a 5 m4z, 6 5a 3 m4z3, 3 2am 2 z 3 .
(11) Efect´ua las siguientes operaciones de sumas y restas:
b) 2a3+ 3(x −y)−5(a2+b) + −a3+ 2(a2+b) −8(x−y) + + 12(x−y) + 10(a2 +b)−6a3 ; c) 1 2x 2 −xy+1 5y 2 + 5 8x 2 −13xy+ 3 10y 2 + −34x2+14 15xy−y 2 ; d) 5 8x 3 +2 3x 2 + 7 4x−3 − 1 2x+ 2 1 3 − 1 2x 3 −45x2 ; e) (7y3 −3xy2 + 5x2y −7y−2x−1)−(7y2 −3y3 + 5xy2 + 6x3 −3); f) (x2y −2x3 −5xy2 ) + (5xy2 −3x2y + 4y3 ) − (2x3 −7x2y + 6y3 ) + (6xy2 −5y3 ) . (12) CalculaA−B+C yA+B−C siendo A= 1 3x 2 y−3 2xy 2 + 3xy, B = 5 6x 2 y− 1 3xy+ 7 5xy 2 , C= 3 4xy 2 +3 4x 2 y−5 6xy.
(13) SiA,B yC son los polinomios del ejercicio anterior, averigua
B+C−A, A−(B+C), C−(A−B), B−(A−C).
(14) Efect´ua los siguientes productos:
a) (2a2 −3ab+b2 )(a2 −5ab+ 6b2 ); b) a[b(a−c) +a(a+c)]−c (a+b)c−(ac−b2 ) (a2 −bc); c) 1 2 x−2 3 (x+ 1)− x+2 3 x− 3 4 −3x2; d) 1 5x 3 −32x2 2x− 3 4x+ 5 6 (−4x3 ). (15) CalculaAB,B(−C),−CA, 2AB, siendo A=x2+ 2x−2, B =x2−3x+ 1, C = 2x−x2+ 3.
(16) Con los polinomios del ejercicio anterior, calcula:
(−A)BC, A(−B)C, AB(−C).
¿C´omo son entre s´ı estos productos? ¿Por qu´e?
(17) Realiza las siguientes operaciones:
a) x3−1 3x x 2 +1 2x − 3x−3 4 x 4 −25x3 ; b) 5 2m 2n2 − 4 3m 3n −1 2mn 2+m4 − − 3mn3− 3 4n 4 − 2m4−4 3m 3 n+3 2n 4 +3 2m 2 n2 −m(m−n); c) 3−x 2 − 2x−3 6 x−2 4 + 3x−2 3 .
(18) Efect´ua las divisiones siguientes:
b) 3 4b 2x4 − 52x6 +5 6b 3x7 −x8 : 5 4x 3 ; c) −12m2n2+ 3 2mn 3 −1 3m 2n3 : 4 3mn 2; d) (3m2 −1)2+ (3m3 −2)2 −5(m3+ 2m2+ 1) : (−2m2).
(19) Expresa en forma de producto los siguientes polinomios, buscando un factor com´un a todos los t´erminos: a) 4x5−12x3+ 8x4−24x8+ 16x6; b) 15a4b3c2 −18a6b2+ 9a5b2c4 −21a3b6c3; c) 5 12m 5n4p −76m3n2 + 4 15m 6n3p2 .
(20) Realiza las siguientes divisiones:
a) (3m2 −5m3 −1 +m4 −4m) : (3−4m+m2 ); b) (x6−3x+x3−3) : (x2−3x); c) (3a5 −11a4b −10a3b2 −14a2b3+ 7ab4 −3b5) : (3a2 −2ab+b2); d) 3 2x 4 −25x3 + 9 4x 2 +3 5x−1 : 3 2x 2 −25xx+ 3 ; e) 3 2x 4+19 8 x 3 −11 12x 2+2 3x−3 : 1 2x 2+ 3 ; f) 5 2x 5 −23x3(a−b)2 + (a−b)5 : 5 2x+ 5(a−b) ; g) a3(a2−2x2) +x3(4a2+ax)−2x(a4+x4) : (a−2x).
(21) Sirvi´endote de la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones:
a) (8x3 −3x+x4 + 20 + 12x2 ) : (x+ 3); b) (20−22x3 +x5 ) : (x−2); c) 7x2+2 3x 5 +11 12x− 15 4 x 3 +1 2 : (x+ 3); d) m+ 3 2m 4 + 2m5 − 134 m3 : m−1 2 ; e) (a5 −3a3b2+b5) : (a+b); f) (x12 −3x9a3 + 5x6a6 + 3x3a9 −7a12 ) : (x3 −a3 ).
(22) Calcula el resto de las divisiones siguientes, empleando el teorema de Ruffini:
a) (x2−3x4+ 3−x) : (x−3); b) 9 4x 5 −45 8 x 3+3 2−x 2 : x−2 3 ; c) (3x6−4x3+ 3x2−x+ 2) : (x+ 2); d) 25 8 m 3 −15 4 m 2+ 3m − 20 3 : 2 5 +m ; e) (3x4+ 2x−5x3+ 2−x2) : (2−x).
(23) Reconoce, sin hacer la divisi´on, si P(x) es divisible por D(x) = (x∓a): a) P(x) = 3x3 −21x+ 18, D(x) =x+ 3; b) P(x) = 7x4 −5x3 + 3x2 −4x−1,D(x) =x−1; c) P(x) =a2x3+ax2 −2a3+a2x −3ax4+ 2x5,D(x) =x −a; d) P(x) =x3+1 2a 2 x+ 3ax4− 3 4x 6 ,D(x) =x+a.
(24) Averigua el resto de las siguientes divisiones. Si son exactas, calcula tambi´en el cociente y expresa el dividendo como producto de dos factores:
a) (5m−3m3 + 8m2 −6) : (m−3); b) (4a4 −8a2 −6 + 2a3 −2a) : a−3 2 ; c) (x4 + 3ax3 −10a2x2 + 3x−6a) : (x−2a); d) (my4+m2a2y3 −2m3a4y2+ay −ma3) : (y −ma2); e) (a−c)x3 −(a−c)2x2+ (a −c)x−(a−c)2 : [x−(a−c)]; f) 2y4 +ay3 +1 2a 2y2 −a3y +3 8a 4 : y−1 2a ;
(25) Hallap para que la divisi´on (x2
−2x+p) : (x+ 3) sea exacta.
(26) ¿Qu´e valor debe tomarm para que x5 −8x2
+mx−6x3
+ 1 sea divisible porx−4?
(27) Determina el valor dem para que la divisi´on del polinomio x4−3x3+ 2x−2m entrex+ 2 d´e 16 de resto.
(28) ¿Son exactas estas divisiones? Si lo son, halla directamente el cociente; si no lo son, halla el resto:
a) (x5 −32) : (x−2), (x5 −32) : (x+ 2); b) 9 16 −a 4y8 : √ 3 2 −ay 2 ! , 9 16 −a 4y8 : √ 3 2 +ay 2 ! ; c) (64 +a6 ) : (2−a), (64 +a6 ) : (2 +a); d) (a6y12+ 1) : (a3y6 −1), (a6y12+ 1) : (a3y6+ 1); e) (a+ 1) : (√3 a−1), (a+ 1) : (√3 a+ 1); f) (a−1) : (√3 a−1), (a−1) : (√3 a+ 1); g) 81 16y 4 −m12 : 3 2y−m 3 , 81 16y 4 −m12 : 3 2y+m 3 ; h) (27x6 −64) : (√3x−2), (27x6 −64) : (√3x+ 2).
(29) Descomp´on en factores los polinomios siguientes, sacando factor com´un:
a) 2ax2 −4a2x + 12ax; b) 10x2y −25xy2 ; c) 49x2 −21ax+ 42x3 ; d) 1 8a 2 x3− 3 16a 3 x2−1 4a 2 x2+ 5 12a 5 x2; e) 3(x−2) + (x−2)2 −2x(x−2) +ab(x−2)3 .
(30) Descomp´on en factores, realizando una doble extracci´on: a) ay−2by−2bx+ax; b) 6ab−9b2 + 2ax−3bx; c) by2 −2a+ay2 −2b; d) y6 −y4+ 2y3 −2y; e) 3mn+mp+ 3rn+rp; f) am+ 2bn+cm+ 2bp+cn+ap+ 2bm+an+cp.
(31) Descomp´on en factores los siguientes trinomios:
a) 4x2−12x+ 9; b) x2−6x+ 9; c) x6 −2x3y +y2 ; d) 1 9 − 2 3x+x 2 ; e) 20 + 20x+ 5x2 ; f) −x2 −2xy−y2; g) x 2 y2 + y2 x2 + 2; h) x4+ 1 3x 2+ 1 36.
(32) Descomp´on en factores las diferencias de cuadrados
a) 4x2 −9; b) 16y2 −x4 ; c) a2x2 −49y2 ; d) x2 −1; e) 16a8 −81b8; f) a 2 9 − b2 25; g) 400a2 −25b2; h) a2−(x−y)2 .
(33) Descomp´on en factores los siguientes binomios:
a) x3+ 8y3, 27a3−y3, 512 +y3; b) a8 −256, a8 + 256, x5 −243; c) 128x7 −27√3, 8−x6, 1−x6 .
(34) Descomp´on los siguientes polinomios, aplicando las propiedades oportunas:
a) ax−bx+ay−by; b) a2 −2ab+b2 −c2; c) 3mx2−nx2+ 3my2−ny2; d) (2x−1)2 −(3x+ 2)2 ;
e) x2m+ 2xm+ 1;
f) 32x6−2x4−32y4x2+ 2y4.
(35) Comprueba que 5, 3 y−1 son ceros del polinomiox3 −7x2
+ 7x+ 15, y descomp´onlo en factores.
(36) x = 3 y x = ±2 son tres ceros del polinomio x4 +x3 −16x2 −4x+ 48. Halla el otro cero y descomp´on el polinomio.
(37) Busca los ceros y descomp´on en producto de tres factores los polinomios 3x2−12x−15 y 5x2+ 5x−30.
(38) Halla el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes grupos de polinomios:
a) a2 −b2, a2 −2ab+b2, a2b −ab; b) 5x−10, 15x2−60, 3x2−12x+ 12; c) ax−ay−bx+by, x2 −2xy+y2, 3a2 −6ab+ 3b2 ; d) x4 −y4, x2 −y2, x3 −x2y+xy2 −y3.
(39) Calcula el valor de las siguientes fracciones algebraicas:
a) 3ab 2 −2(a−b)2+ 4a2b 3(a+b)2 −a3+ 1 −2b paraa= 2, b= 3 y para a= 1 2 yb= 1 2; b) a 3 +b3−a(3a−2b) (a+b)4 paraa= 4, b=−5 y paraa= 2 3, b= 2 3.
(40) Halla los representantes can´onicos de las siguientes fracciones:
a) 16a 3 b−12a2b3 8a3b ; b) xy 2 −x2 x2−ax; c) a 2 −b2 a3−b3; d) x 4 −y4 (x+y)2(x−y)2; e) (m+n) 2 −(m−n)2 2m2n−4mn2 ; f) 3ax−3ay 9y2−9x2; g) m 4 −2m2y +y2 am2−by−ay+bm2; h) x 2n−xn xn+1 .
(41) Reduce las siguientes fracciones al m.c.d.:
a) z x−y, y x−z, x y−z; b) 16x 12x+ 3y, y2 16x+ 4y, xy 4x2+xy;
c) a a2b −2ab2+b3, a a2b −b3, b a3 −a2b; d) x 2 −y2 ax−bx−ay+by, a+b x2−2xy+y2.
(42) Efect´ua las siguientes operaciones:
a) 3(x−y) 2xy−x2−y2 − x x2−y2 − 1 x−y; b) 1 + a b : a 2 −b2 ab−b2; c) 9x2+ 4y2 6xy −2 : 9x2 −4y2 6xy −2 3x 3x−2y : 2b 3x+ 2y 2 ; d) (x−y)2 − 1 2x−2y 2 1 2x−y y + x−2y x : 1 2x−2y 2 −(x−y)2 x+ 2y x − 1 2x+y y ; e) x+ 2y 2 − 1 4x 2 +y2 x−2y 2 x−2y 2 + x2+ 4y2 4 x+ 2y 2 : 8xy 4y2−x2 1− x x+ 2y x2 −4y2 2x : 1 +2y x : x 2 − x2+ 4y2 2x+ 4y .