Poisson y Laplace

1

PROBLEMAS DE POTENCIAL CON VALORES EN LA FRONTERA ECUACIONES DE POISSON y LAPLACE

Función Delta de Dirac

la función delta de Dirac es un excelente instrumento para convertir densidades puntuales, lineales y superficiales, en densidades volumétricas equivalentes

Esto tiene un gran inter´es ya que la ecuación de Poisson es para densidades volumétricas y no posee análogo en menores dimensiones, puesto que dicha ecuación proviene del teorema de la divergencia el cual no tiene análogo en dimensiones menores a tres.

Con esta distribución es posible escribir una densidad de carga puntual (ubicada en r₀) como una densidad volumétrica equivalente

3

Es usual definir la “función” delta de Dirac como:

Esta definición se basa en una concepción errónea de la distribución delta de Dirac como una función. A pesar de ello, hablaremos de ahora en

La expresión

para el ángulo solido nos permitirá desarrollar una importante identidad que sería de uso frecuente en nuestros desarrollos, calculemos la divergencia del gradiente de la función:

Haciendo el cambio de variable y teniendo en cuenta

para r ≠0; en tal caso escribiendo el operador laplaciano en coordenadas esféricas vemos que solo aparece la derivada con respecto a la coordenada r debido a la simetría esférica de

7

pero para r = 0 esta expresión esta indeterminada. No obstante, veremos el comportamiento de esta expresión bajo una integral de volumen en una cierta vecindad de r = 0

Aquí aplicamos el teorema de Gauss

Vemos entonces que:

para r ≠ 0 en tanto que su integral en un volumen que contiene a r = 0 es 4π, reasignando r → r − r´ resulta entonces que:

11

Entre dos planos conductores indefinidos paralelos separados una distancia z₀ y conectados a

potenciales 0 y +V₀, según se muestra en la figura, existe una distribución continua de carga negativa dada por la ecuación

0 0z/z





Z V(z₀) = +V₀

V(0) = 0 z=0 z = z₀

0 0z/z  

Determine el potencial en cualquier punto entre los dos planos conductores y las densidades superficiales de carga en los mismos (suponga la permitividad del medio entre los planos igual a ₀).

PROBLEMA 1

Ecuación de Poisson en coordenadas cartesianas aplicada a este caso:

0 2 2





Al resolver esta ecuación y aplicar a la solución las condiciones de contorno expresadas en el enunciado obtendremos el potencial en todos los puntos z₀  z  0.

1 0

0 2 0

2 z C

z z

V _{ }

 





dos veces: 1 2

0 0 3 0 6 )

( C z C

z z z

V   





Condiciones

de contorno: En z = 0  V(0) = 0  C2 = 0

En z = z₀  V(z₀) = V₀ 1 0 0 2 0 0 0 0 6 )

(z V z C z

V   

   0 0 0 0 0 1 6





z z z V z z z V _         0 0 0 0 0 0 0 3 0 6 6 ) (









PROBLEMA 1 (Continuación)

Densidad superficial de carga en los planos conductores: calculemos primero el campo eléctrico

z z z V z z z V _      _   0 0 0 0 0 0 0 3 0 6 6 ) (

















El campo eléctrico en la superficie de un conductor está

dado en función de la densidad superficial de carga σ por:





E un

 0 inferior 0 0 0 0 0 6 ) 0 (









E  _ 

       

Plano inferior z = 0. Aquí u_n u_z

0 0 0 0 0 inferior 6 z V z















 _{ }

Plano superior z = 0. Aquí _u_n _u_z

V z





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Una esfera conductora de radio a está rodeada por otra esfera conductora, hueca y concéntrica con ella, de radio b > a. El espacio entre las dos esferas se rellena con un dieléctrico, y entre ambas esferas se mantiene una diferencia de potencial V_a-V_b. a) Calcule el potencial y el campo en cualquier punto situado entre ambas esferas. b) Si la permitividad del dieléctrico es , determine las densidades superficiales. c) Determine el desplazamiento y la polarización en el dieléctrico.

PROBLEMA 2

a b

V_a

V_b Como no hay densidad de cargas libres entre ambas esferas,

la ecuación de Poisson se reduce en este caso a la de Laplace. 0

2 

 V

Por la simetría esférica del problema el potencial únicamente va a depender de la coordenada radial, y entonces el laplaciano es

0

2 _

     dr dV r dr d 2 1 r C dr dV _

 1 C2

r C V  

 Integrando

dos veces

Para r = a  V(a) = V_a 1 C2

a C V_a  

Para r = b  V(b) = V_b 1 C2

b C

V_b   b

C a C V

V_a  _b  1 1





b a ab C    1





a

a V V

b a b V a C V C       1 2 b a bV aV_{a b}

  





V( ) 1 _{a b} a b





E r _{a b} a b

 

)

(





r b a V V ab

u_r a b

     r u

PROBLEMA 2 (Continuación) a b V_a V_b r u σ_a σ_b Relación entre campo y densidades superficiales de carga





E   

  

 1₂

) (









a

V V

b _{a b}

a _     



 



E   

  



 1₂

) (

n

u









b

V V

a _{a b}

b _

 

 



Si V_a > V_b (esfera interna positiva), como a < b

σ_a >0

σ_b <0

Cálculo del desplazamiento. Aplicamos el T. de Gauss a una esfera gaussiana de radio a  r  b y superficie S_r concéntrica con la esfera interna de radio a y superficie S_a que contiene la carga q.



D   Por simetría DS_r D4r2 4a2_a

2

a

 

  ab









E _r a b

  

 



Cargas ligadas +

Cargas ligadas -

E

0





D

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Se construye un condensador cilíndrico usando dos

armaduras cilíndricas concéntricas de radios a y b (b > a) e introduciendo un dieléctrico de permitividad  en la mitad inferior del mismo, según se muestra en la figura. El

condensador se carga a V₀ voltios, siendo positiva la

armadura interna. Suponiendo despreciables los efectos de los bordes, se pide:

a) Resuelva la ecuación del potencial y determine el campo en cualquier punto entre las dos armaduras.

b) Determine las densidades superficiales de carga libre y la capacidad por unidad de longitud. c) Determine el desplazamiento y la polarización.

PROBLEMA 3

a b

 ₀

Como no hay densidad de cargas libres en la región entre armaduras, la

ecuación de Poisson se reduce en este caso a la ecuación de Laplace, y dada la simetría del problema, el potencial sólo dependerá de la coordenada radial.

0

2 

 V

0

1 _

   

 

  



r V r r r

1

C dr dV

r  dr

r C

dV  1 1 C2

r dr C

dV 





Condiciones de contorno

Para r = a  V(a) = V₀

Para r = b  V(b) = 0

2 1

0 C lna C

V  

2 1ln

0C bC ln( / )

0 1

b a V C 

) / ln(

ln ₀

2

b a

V b C  

) / ln( ) / ln( )

( 0 r b

b a V r

PROBLEMA 3 (Continuación) a b  ₀ Campo eléctrico r b r b a V u r V E _r     

 ln( / )

) / ln( )

(  0



r b a V

u_r 1

) / ln( 0   

Densidades superficiales de carga libre

Tanto en la armadura interna como en la externa podemos distinguir dos zonas, la del vacío (I) y la del dieléctrico (II).

II I 0 ) (  _Ia n I a u

E  

 _IIa

n II a u

E ( ) 

r n u u   Armadura

interna

Vector unitario radial sentido hacia afuera

) / ln( )

( 0 0

0 b a a V a E_I Ia _      0 ) (  _IIb n II b u

E  

0 ) (  _Ib n I b u

E  

) / ln( ) ( 0 b a a V a E_II IIa _     

El campo eléctrico es el mismo en ambas zonas, puesto que la diferencia de potencial es la misma

Estas dos densidades de carga son positivas, puesto que ln(a/b) < 0

r n u u  Armadura

externa ln( / )

)

( 0 0

0 b a b V b E_I

Ib   _

   ) / ln( ) ( 0 b a b V b E_II

IIb   _

 



Densidades de carga negativas, puesto que

ln(a/b) < 0

Carga por unidad de longitud en la armadura interna

r

u

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PROBLEMA 3 (Continuación)

a b  ₀ II I

Desplazamiento eléctrico: aplicamos el teorema de Gauss a un cilindro cerrado y coaxial con las armaduras, de superficie lateral S_r y longitud L



D  r

S r





V  

    





D     DILr DIILr

En todos los puntos de la superficie lateral S_r el vector desplazamiento es radial y por tanto paralelo a ; en las bases del cilindro su flujo es nulo por ser perpendicular a las superficies. u_r

r u I D r u II D

En la superficie de separación entre el vacío y el dieléctrico, las componentes

tangenciales del campo eléctrico deben ser iguales y debe verificarse r

II r II r I r I u D u E u D u

E    

     0 r L q D

D_{I II}

   





0  

  0 0   _II I D D   r b a V

D_I 1

) / ln( 0 0   r b a V

D_II 1

) / ln( 0   r u b a V

D_I r

  ) / ln( 0 0   r u b a V

D_II r

  ) / ln( 0  

Polarización: D_II ₀EP_II P_II D_II ₀E

r u b a V b a

V _r

       _   ) / ln( ) / ln( 0 0

0 





P_II r

  ) / ln( 0

0  

Dos esferas metálicas concéntricas de radios a y b (b > a) se conectan ambas a tierra y en el espacio comprendido entre ellas se coloca una distribución de carga de permitividad  y densidad volumétrica de carga

PROBLEMA 4

   

 

  ₀ 1 ₂2

r a

  donde r representa la distancia radial desde el centro del sistema (b  r  a).

Calcule cuánta carga adquiere la esfera interna.

a

b 

    

  ₀ 1 ₂2

r a

 



Ecuación de Poisson

 

  2V

En este caso hay simetría esférica, por lo que el potencial sólo dependerá

de la coordenada radial.

   

 

 

    

 

2 2 0

2

2 1

1

r a dr

dV r dr

d

r 



Para calcular la carga de la esfera interna tendremos que determinar la densidad superficial de carga en dicha esfera. Para hacer esto, empezaremos calculando el potencial en cualquier punto de la región comprendida entre ambas esferas.





0 2

a r dV

r

d _{ }

   

 

 

1 2

3 0 2

C r

a r dV

r  _  _

 

2 1 2

0 r a C

dV _

  

  

  

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PROBLEMA 4 (Continuación)

2 1 2

2

0 _ln

6 r C

C r

a r

V _ 

        

 _{Condiciones de contorno: V(a)0 V(b)0}

0 ln

6 )

( 2 1 ₂

2

0   

         C a C a a a a V  

 / 1 1 0 ln

6 )

( )

( 2 ₁

2 2

0 _ 

                  C a b a b a a b a V b V   0 ln 6 )

( 2 1 ₂

2

0   

         C b C b a b b V  

No hace falta calcular C₂ porque a partir del potencial vamos a derivar para obtener el campo eléctrico  _              

 b a a b a

a b

ab

C ln /

6 2 2 2 0 1 _  dr dV u

E _r  

                            

 0 2 2 2 2_{ln /} 1₂

6

3 a b a r

a b a b ab r a r u_r                   

 ₂1

2 0 3 r C r a r u_r   

El vector desplazamiento es D  E

                              

 2 2 2 2 ₂

0

1 /

ln 6

3 a b a a

a b a b ab a a a a                                 

 2 2 2 2 ₂

0

1 /

ln 6

3 a b a r

a b a b ab r a r D 

En r = a el módulo del vector desplazamiento nos da la densidad superficial de carga.         _                     

 b a b a

a b

a b

a ln /

6 1 / 1 / / 3 4 2 0 

La carga en la esfera interna es:

        _                       

 b a b a

a b a b a S a

q _{a a} ln /

6 1 / 1 / / 3 4 4 ) ( 2 3 0   

 

      _

 

  

   

 

  

  

 

 

 

 b a b a

a b

a b a

S a

q _{a a} ln /

6 1 /

1 /

/ 3

4 4

) (

2 3

0

  

PROBLEMA 4 (Continuación)

Interpretación del resultado

) / (b a f

a b/

) / (b a f

Si la densidad ₀ es positiva, entonces la esfera interna se encuentra cargada negativamente.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

 

  _     _ 

  

 

 b a b a

a b

a b a

b

f ln /

6 1 /

1 /

/ 3

4 ) / (