PREUNIVERSITARIO BELÉN UC
MATEMÁTICAS
GUIA 13: Geometría
Ángulos en paralelas
Ángulos de acuerdo a su medida:
Angulo nulo: Es aquel que mide
Angulo agudo: Es aquel que mide mas de
y menos de
Angulo recto: Es aquel que mide
Angulo obtuso: Es aquel que mide mas de
y menos de
Angulo extendido: Es aquel que mide
Angulo completo: Es aquel que mide
Ejemplos:
1. Si a es un ángulo agudo, entonces el ángulo
BOC es:
A) Agudo
B) Recto
C) Obtuso
D) Extendido
E) Completo
2. ¿Cuál de las siguientes opciones es siempre verdadera?
A) La suma de un ángulo agudo con un obtuso resulta extendido
B) la mitad de un obtuso es un ángulo recto
C) la suma de un ángulo obtuso con uno extendido resulta completo
D) la suma de dos ángulos rectos con un extendido resulta completo
E) la suma de dos ángulos agudos resulta un recto
3. Si
y
, entonces el ángulo
es
A) Agudo
B) Recto
C) Obtuso
D) Extendido
E) falta información
Ángulos según su posición:
Ángulos consecutivos:
Son aquellos que tienen el
vértice y un lado en común
y
consecutivos
Ángulos adyacentes o par lineal
: Son aquellos que
tienen el vértice y un lado en común y los otros dos
lados sobre una misma recta.
y
adyacentes
Angulos opuestos por el vértice
: Son aquellos que
tienen el vértice en comun y que los lados de uno
son las prolongaciones de los lados del otro.
observaciones:
a) Bisectriz de un ángulo
: Es el rayo que divide al
ángulo, en dos ángulos de igual medida
(congruentes)
b) Rectas perpendiculares
: Son dos rectas que al
cortarse forman un ángulo recto
Ángulos de acuerdo a la suma de sus medidas:
Ángulos complementarios
: Son dos ángulos cuyas medidas suman
. El complemento de un ángulo X es
- X.
Ángulos suplementarios
: Son dos ángulos cuyas medidas suman
. El suplemento de un ángulo X es
- X.
Pares de ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal
Ángulos Alternos
: Tienen la misma medida
Ángulos colaterales
: Suman
Alternos Externos
Alternos Internos
1 con 7
2 con 8
3 con 5
4 con 6
Colaterales Externos
Colaterales Internos
1 con 8
2 con 7
4 con 5
3 con 6
Ángulos Correspondientes
1 con 5
2 con 6
3 con 7
4 con 8
EJEMPLOS
:
1. En la figura, si y , entonces A) B) C) D) E)
2. En la figura, , la recta bisecta al ángulo formado por y , la recta bisecta el ángulo formado por y , entonces ¿Cuál es FALSA?
A) B) C) D) E)
3. El complemento de un ángulo es igual al doble de dicho ángulo. ¿Cuánto mide ?
4. El complemento del suplemento de una ángulo es 30. ¿Cuánto mide ?
5. Si y son ángulos suplementarios, entonces en función de es:
6. Dos ángulos suplementarios son tales que el mayor excede en 30 a cinco veces el menor ¿Cuál es la medida del menor de ellos?
7. En la figura, Entonces, la clasificación de
A) Agudo B) Recto C) Obtuso D) Extendido E) Completo A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35
9. Sea un ángulo. Si el triple de es un ángulo agudo, entonces puede tomar el(los) valor(es)
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo I y II E) I, II, III
I) II) III)
10. Si la mitad del suplemento de es igual a la mitad del complemento de . Entonces,
A) 90 B) 45 C) 30 D) 135 E) 180
11. “El doble de un ángulo agudo es un ángulo obtuso”. ¿Cuál(es) de las siguientes medidas de cumple(n) la relación enunciada?
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Solo II y III
I) II) III)
12. En la figura, y , entonces
13. Si el triple del complemento de es igual al suplemento de . Entonces, ¿ mide?
14. Si aumentara en 5 grados, su complemento mediría 45 grados, entonces ¿Cuánto mide el suplemento de ?
15. Sabiendo que y , ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El complemento de es 30
II) El complemento de la mitad de es igual a la mitad del suplemento de .
III) El suplemento de es igual a
16. En la figura, se cumple que
17. Los puntos E, O y A son colineales. Ademas,
y .
Entonces, la medida del es
18. , , y son rectas tales que // y es bisectriz del angulo obtuso formado por y . El valor de X es
19. // . ¿Cuánto mide ? 20. , y
21. // , // y . Entonces, el suplemento de es
22. L es una recta. Para determinar la medida es necesario saber que
(1) (2)
A) (1) por si sola B) (2) por si sola C) Ambas juntas D) cada una por si sola
E) se requiere información adicional 23. La medida del se puede determinar si:
(1) (2)
A) (1) por si sola B) (2) por si sola C) Ambas juntas D) cada una por si sola
E) se requiere información adicional
Ángulos en Triángulos
- En todo triangulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores es igual a 180 grados.
- En todo triangulo, la suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360 grados.
-
En todo triangulo, la medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores
no adyacentes a el.
Escaleno: Tiene sus tres lados de distinta medida.
Isósceles: Tiene solo dos lados de igual medida
Equilátero: Tiene sus lados de igual medida.
II) Según sus ángulos:
Acutángulo: Tiene sus tres ángulos agudos
Rectángulo: Tiene un ángulo recto
Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso
OTROS TEOREMAS IMPORTANTES
En un triangulo, la medida de cada lado es menor que la suma de las medidas de los otros dos y mayor que la
diferencia (positiva) de las medidas de los otros dos.
En todo triangulo, a mayor ángulo se opone mayor lado y viceversa.
Si y sólo si
EJERCICIOS
1. En el triangulo, el valor del ángulo x es 2. En el triangulo ABC, es igual a
3. En el triangulo GHI, el valor de x es 4. En el Triangulo ABC, x+y es
5. ¿Cuál de las siguientes opciones es siempre falsa?
Un triangulo puede ser:
A) Isósceles y Rectángulo B) Isósceles y Obtusángulo C) Isósceles y acutángulo D) Escaleno y Obtusángulo E) Equilátero y Obtusángulo
6. Los ángulos interiores de un triangulo miden
respectivamente , , y . Luego el triangulo es:
E) Acutángulo e isósceles
7. El valor de en el triangulo DEF, con , es
8. La clasificación del triangulo de la figura es:
9. Al expresar en función de en el , se
obtiene
10. De acuerdo al triangulo ¿Cuál de las siguientes
desigualdades es siempre verdadera?
A) 2 < X < 14 B) 3 < X < 13 C) 4 < X < 12 D) 5 < X < 11 E) 6 < X < 10
11. En el , el orden decreciente de las medidas de los lados es
12. En el , se tiene que , y , son los ángulos exteriores. Si , entonces el orden creciente de las medidas de los lados es
13. En el triangulo ABC, se traza la transversal , ¿Cuánto mide el ángulo X?
14. En la figura . Entonces, el mide:
15. , y . ¿Cuál es la
medida del ángulo si ?
16. Se tiene que . Entonces , la medida del es:
entonces el ángulo X mide es(son) verdadera(s)
I) y son ángulos suplementarios
II)
III)
19. Se puede calcular la medida del ángulo ADE, si:
(1) Los tres ángulos exteriores del mide los mismo
(2) El es rectángulo en E
A) (1) por si sola B) (2) por si sola C) Ambas juntas D) cada una por si sola
E) se requiere información adicional
20. En el , y bisectriz del
ángulo DBF. La medida del se puede determinar si:
(1) y
(2)
A) (1) por si sola B) (2) por si sola C) Ambas juntas D) cada una por si sola
