UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
Diseño de estrategias de control basadas en
teoría de juegos para sistemas de tráfico
urbano
Sindy Paola Amaya
Tesis presentada como requisito para optar el título de Magister en Ingeniería Electrónica
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electrónica
1. Soy consciente que cualquier tipo de fraude en esta Tesis es considerado como una fal-ta grave en la Universidad. Al firmar, entregar y presenfal-tar esfal-ta propuesfal-ta de Tesis o Proyecto de Grado, doy expreso testimonio de que esta propuesta fue desarrollada de acuerdo con las normas establecidas por la Universidad. Del mismo modo, aseguro que no participé en ningún tipo de fraude y que en el trabajo se expresan debidamente los conceptos o ideas que son tomadas de otras fuentes.
2. Soy consciente de que el trabajo que realizaré incluirá ideas y conceptos del autor y el Asesor y podrá incluir material de cursos o trabajos anteriores realizados en la Univer-sidad y por lo tanto, daré el crédito correspondiente y utilizaré este material de acuerdo con las normas de derechos de autor. Así mismo, no haré publicaciones, informes, artícu-los o presentaciones en congresos, seminarios o conferencias sin la revisión o autorización expresa del Asesor, quien representará en este caso a la Universidad.
Firma:
Nombre: Sindy Paola Amaya Código: 201210399
C.C.: 1’057.573.129 de Sogamoso
Fecha: 14 de enero de 2015
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
Resumen
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Las principales ciudades en Colombia han venido creciendo de manera acelerada y dada su infraestructura limitada y el aumento del número de carros haciendo uso de las vías la conges-tión vehicular se ha convertido en uno de los principales problemas que afectan su desarrollo. Durante décadas la solución fue adicionar vías alternas o carriles. Dado que esto ya no es espacial ni económicamente posible en los centros urbanos, los sistemas inteligentes de tráfico (ITS) han emergido como la forma más eficiciente de regular los recursos viales disponibles.
El control de sistema de tráfico urbano es el producto de la modernización en temas de trans-porte que principalmente se hace a través del manejo de semáforos en intersecciones. Para separar los flujos de tráfico que pueden resultar en conflicto es necesario guiar y programar efectivamente el comportamiento de las señales de tráfico (semáforos). Un perfecto sistema de control coordinado de señales de tráfico en un área urbana debe responder a la demanda vehicular y optimizar los planes de señales on-line así como implementarse en tiempo real. Esto es llamado control adaptativo. Sin embargo no hay un sistema que reúna todos los requisitos mencionados anteriormente, debido a la característica no lineal de los mismos. Esto ocasiona que las diferentes técnicas de modelado y control no funcionen adecuadamente.
Las estrategias de control aplicadas a los sistemas de tráfico urbano se pueden clasificar en: estrategias de tiempo fijo y estrategias sensibles al tráfico. Dado el avance en las tecnologías de sensado y comunicaciones, se puede disponer de medidas en tiempo real.
Este trabajo es una propuesta orientada hacia la mejora de la movilidad urbana en el país basada en las diferentes investigaciones y desarrollos realizados en el campo de los sistemas de transporte urbano a nivel mundial. Se enfoca principalmente en la aplicación de inteligencia computacional y más específicamente la teoría de juegos en problemas de ingeniería.
Declaración de Autoría i
Índice de figuras v
Índice de tablas vi
1. Introducción 1
2. Definición del Problema 4
3. Representación de una red de tráfico urbano a partir de Grafos 10
3.1. Notación . . . 10
3.2. Representación de una red de tráfico urbano a partir de grafos . . . 11
3.3. Modelamiento continuo de la red de tráfico urbano . . . 15
3.3.1. Modoσ = 1 . . . 17
3.3.2. Modoσ = 2 . . . 18
3.3.3. Modoσ = 3 . . . 19
3.3.4. Modoσ = 4 . . . 20
3.3.5. DAE homogénea . . . 21
3.3.6. Modoσ = 1 . . . 24
3.3.7. Modoσ = 2 . . . 26
3.3.8. Modeσ = 3 . . . 28
3.3.9. Modoσ = 4 . . . 30
3.4. Sistema de tráfico urbano híbrido . . . 32
4. Formulación del problema de control de tráfico urbano como un juego 38 4.1. Mean Dynamics y protocolos de revisión . . . 39
4.1.1. Dinámicas poblacionales . . . 42
4.1.1.1. Replicator Dynamic - RD . . . 42
4.1.1.2. Brown-Von Neumann-Nash - BNN . . . 43
4.1.1.3. Logic Dynamic . . . 43
4.1.1.4. Smith Dynamic . . . 43
4.1.2. Fictitious Play . . . 44
Índice general iv
5. Caso de estudio 46
5.1. Simulador de tráfico . . . 48
5.1.1. Simulación del algoritmo Fictitious Play . . . 51
6. Resultados y análisis 53 6.1. Escenario 1 . . . 54
6.2. Escenario 2 . . . 54
6.3. Escenario 3 . . . 55
6.4. Escenario 4 . . . 55
6.5. Escenario 5 . . . 56
2.1. Clasificación de las Estrategias de Control . . . 5
3.1. Red de träfico urbano . . . 13
3.2. Autómata sistema DAE no homogéneo . . . 22
3.3. Autómata sistema DAE homogéneo . . . 23
5.1. Sistema de tráfico de 8 intersecciones . . . 47
5.2. Esquema general del Sistema de Control . . . 47
5.3. Estructura general del simulador . . . 48
5.4. Diagrama de bloques del simulador . . . 50
Índice de tablas
2.1. Estrategias de tiempo fijo para intersecciones aisladas . . . 6
2.2. Paquetes comerciales de Tiempo fijo para intersecciones coordinadas . . . 6
2.3. Estrategias de Sensibles al tráfico para intersecciones aisladas . . . 7
2.4. Paquetes comerciales para estrategias sensibles al tráfico en intersecciones coor-dinadas . . . 8
2.5. Paquetes comerciales basados en modelo . . . 8
4.1. Algunos protocolos de revisión . . . 40
6.1. Resultados . . . 57
Introducción
El crecimiento de las ciudades conlleva a un constante aumento en los diferentes medios de transporte, especialmente vehículos particulares circulando por su infraestructura. Como con-secuencia de la gran demanda y la capacidad limitada, los enlaces en la red vehicular se congestionan generando problemas de movilidad para los usuarios. Las redes de tráfico ur-bano son saturadas durante las horas pico en donde el control tradicional es poco efectivo para el manejo del flujo vehicular. Con la congestión aparece el fenómeno de las colas que se traducen en retardos en los viajes. Debido a que los vehículos permanecen mayor tiempo sobre los enlaces, la malla vial se va degradando, lo que contribuye a un aumento acelerado de la congestión y por consiguiente en más deterioro de la infraestructura. Todo esto resulta en retardos excesivos, mayor gasto de combustible, reducción de la seguridad e incremento en la contaminación ambiental [1].
Diferentes alternativas han surgido para enfrentar esta problemática, como la de aumentar el número de carriles y las vías alternas. Sin embargo, dado que esto no es ni física ni econó-micamente viable, los esfuerzos tanto de entidades académicas como gubernamentales se han centrado en la investigación e innovación de Sistemas Inteligentes de Transporte (ITS) [2] que permitan mejorar el desempeño de las redes de tráfico urbano haciendo uso de los elementos existentes en las vías como: semáforos, cámaras y señales de transito. En particular, el control de señales de tráfico (semáforos) juega un papel importante dentro de los ITS. Los sistemas de control de tráfico actuales pueden ser agrupados en dos clases: (i) Estrategias de tiempo fijo, donde la ley de control es independiente de las variables de la red y están basadas en datos históricos. TRANSYT [3] es una de las estrategias de control de tiempo fijo más usadas. El enfoque de las estrategias de tiempo fijo se ha realizado a partir de intersecciones aisladas e
Capítulo 1. Introducción 2
intersecciones coordinadas y para cada una existen diferentes técnicas y algoritmos de control desarrolladas. La principal desventaja de estas estrategias es que basan sus decisiones sobre datos históricos y no en tiempo real, impidiendo que el sistema se adapte efectivamente a los constantes cambios, es decir, la demanda puede variar todos los días incluso dentro de una hora del día debido a eventos especiales. Los accidentes son un factor que pueden perturbar las con-diciones del tráfico de una manera que no es predecible; (ii) Estrategias sensibles al tráfico, que son aquellas en las que el estado de la red es medido en tiempo real haciendo uso de detectores de tráfico. Esto permite que los planes de señales sean constantemente actualizados. Un plan de señales es una repetición de una secuencia de estados (luces) de los semáforos existentes en los enlaces de entrada a un área de cruce (nodo). Las principales variables de decisión en los planes de señales son el tiempo de ciclo, la duración de tiempo de verde y el offset. El tiempo de ciclo es el tiempo necesario para completar una secuencia de estados de los semáforos en un nodo. El tiempo de verde es una fracción del tiempo de ciclo durante la cual un semáforo en un enlace está en verde y permite el flujo en esa dirección. El offset es el tiempo entre el inicio de una fase de verde en un nodo y el inicio de una fase de verde en otro nodo cercano. Una fase es una parte del plan de señales durante la cual un conjunto de enlaces tiene derecho de paso (ROW, por sus siglas en inglés). Al igual que en las estrategias de tiempo fijo, las estrategias de control sensibles al tráfico son aplicadas a intersecciones aisladas [4] y a conjuntos de intersecciones [5],[6],[7]. Los paquetes comerciales más conocidos son SCOOT, UTOPIA, PRODYN y OPAC.
Hoy en día la investigación entorno al tema del control de tráfico urbano ha logrado desarollar técnicas muy sofisticadas que respondan de manera más eficiente a la demanda actual y satu-ración de las redes urbanas, es el caso de las estrategias basadas en inteligencia computacional.
Dentro del modelado de sistemas de tráfico existen diferentes enfoques que permiten describir el movimiento y la interacción entre los elementos que hacen parte del tráfico. Dada la com-plejidad y magnitud de estos sistemas, no es posible validar las estrategias sobre escenarios reales. De acuerdo al modelo [8] existen plataformas de simulación que pueden ser utilizadas:
Modelo microscópico: En esta clase de modelos, las variables para el análisis de la red se relacionan con el comportamiento de los vehículos individuales respecto a la infraestruc-tura y a los demás vehículos dentro de la red. Dada la escala del modelo su complejidad aumenta. Dentro de las plataformas de simulación de este tipo de modelos se encuentran VISSIM, el cual se utiliza para el caso de estudio de este artículo.
Modelos macroscópicos: Las variables en este modelo estan relacionadas con las carate-rísticas de flujo. Es ideal para tratar modelos de redes urbanas a gran escala. Dentro de las plataformas de simulación macroscópicas están: VISUM, TRANSYT-7F, FREFLO, entre otros.
Modelos mesoscópicos: mezcla conceptos de los modelos microscópicos y macroscópicos. Se analiza el comportamiento de grupos de conductores. Algunas de las plataformas de simulación de estos modelos son: METROPOLIS, DYNASMART, DYNAMIT E INTE-GRATION [9].
En el presente trabajo se proponen estrategias basadas en teoría de juegos evolutivos [10]. Las dinámicas poblacionales permiten describir el proceso dinámico de una población interactuan-do estratégicamente. Estas muestran cómo la población alcanza un equilibrio dependieninteractuan-do de un protocolo de revisión, es decir, la forma en la cual los agentes deciden cuándo y cómo cam-biar de estrategia persiguiendo un mejor estado (utilidad). Esta descripción dinámica ayuda al diseño de sistemas de control y aprendizaje, la solución de problemas de optimización y asignación de recursos. El control de tráfico urbano es visto como un problema de asignación de recursos en donde se pretende determinar en tiempo real los tiempos de verde (recurso) para un tiempo de ciclo fijo, con el objetivo de minimizar el número de vehículos en cola en cada uno de los enlaces modelados. Por otro lado, se plantea el modelo de un sistema de tráfi-co urbano desde la perspectiva de sistemas híbridos [11]. Estos sistemas tráfi-combinan dinámicas continuas y discretas, permitiendo una descripción más completa. Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales no pueden describir cambios de las variables lógicas que pueden tomar valores de
0 y1.
El libro está organizado de la siguiente manera. El capítulo dos presenta el planteamiento del problema de control de tráfico urbano. En el capítulo tres está el modelo de una red de tráfico urbano usando la representación de grafos, y se plantea el modelo híbrido de la misma. El capítulo cuatro se presentan las dinámicas poblacionales usadas en el diseño de las estrategias de control implementadas. El capítulo cinco muestra el caso de estudio utilizado para la implementación de las estrategias así como el simulador de tráfico usado. En el capítulo seis se presentan los resultados y análisis del comportamiento de cada una de las estrategias de control. Finalmente, están las conclusiones y trabajos futuros.
Capítulo 2
Definición del Problema
Las estrategias de control aplicadas a los sistema de tráfico urbano se pueden clasificar teniendo en cuenta ciertas características:
Actualización de los planes de señal: estrategias de tiempo fijo y estrategias sensibles al tráfico.
Topología de la red: estrategias aisladas y estrategias coordinadas.
Estado de la red: estrategias para condiciones de no saturación y estrategias para con-diciones de saturación.
Modelo de la red: estrategias basadas en modelo y estrategias heurísticas.
Estrategias centralizadas y estrategias descentralizadas.
Índice de desempeño.
El control de los sistemas de tráfico se hace principalmente a través de los semáforos [1]. A continuación se describen algunas conceptos generales de los sistemas de tráfico:
Intersección:consiste de un número de vías que confluyen en un área de cruce.
Vía:puede tener uno o más carriles pero tiene asociada una cola única e independiente.
Tránsito Vehicular (veh/h): las vías son usadas por el flujo de tráfico.
Flujo de Saturación:es el flujo medio cruzando la línea de parada de una vía cuando el flujo
correspondiente tiene derecho de paso, la cola de espera es suficientemente larga y las vías de comunicación no están bloquedas.
Una etapa o fase es una parte del ciclo de señal, durante la cual un grupo de flujos tiene derecho de vía; su duración se llama tiempo de verde (split).
Dos flujos compatibles pueden cruzar con seguridad una intersección simultáneamente, de lo contrario son antagonistas.
Ciclo de Señal:es una repetición de un conjunto de combinaciones de señales en una inter-sección; su duración se llama tiempo de ciclo.
Las Contantes de tiempos perdidoson necesarios entre las etapas para evitar interferen-cias entre flujos antagonistas de etapas consecutivas.
A partir de la topología de la red se plantea la clasificación de la Figura ??:
Figura 2.1:Clasificación de las Estrategias de Control
2.2 Estrategias de Tiempo Fijo
Este tipo de estrategias se aplican a una única intersección. Cada vía que la compone puede tener varios carriles aumentado su complejidad.
2.1.1 Intersecciones Aisladas
Las Estrategias de Tiempo Fijo tienen la desventaja que a condiciones de saturación su desem-peño se ve disminuido. Las estrategias más representativas dentro de esta clase son:
Capítulo 2. Definición del Problema 6
Tabla 2.1:Estrategias de tiempo fijo para intersecciones aisladas
Estrategia Parámetro a determinar Índice de desempeño
Basada en Etapas
Tiempos de verde (split) de cada etapa, Minimizar el retardo total (SIGSET) Tiempo de ciclo Maximizar capacidad de intersección (SIGCAP) Basada en Fases
Tiempos de verde (split) de cada etapa, Minimizar el retardo total Tiempo de ciclo, Maximizar capacidad de intersección
Etapas optimas
Los paquetes comerciales, basados en etapas, son SIGSET y SIGCAP. El primero busca mi-nimizar el retardo total de intersección para demandas dadas, mientras que el segundo busca maximizar la capacidad de la intersección.
2.1.2 Intersecciones Coordinadas
Las estrategias de tiempo fijo más representativas para intersecciones coordinadas son:
Tabla 2.2: Paquetes comerciales de Tiempo fijo para intersecciones coordinadas
Estrategia Parámetro a determinar Índice de desempeño
MAXBAND
Diferencia de fase entre ciclos Maximizar el número de vehículos que pueden viajar para intersecciones sucesivas (offset) dentro de un rango de velocidad sin paradas (ola verde) TRANSYT
offset Minimizar el número total de retardo y Tiempos de verde el número de paradas
2.2 Estrategias Sensibles al Tráfico y Métodos Inteligentes
Las estrategias de control sensibles al tráfico, comparadas con las anteriores son potencialmente eficientes pero a la vez más costosas.
2.2.1 Intersecciones Aisladas
Tabla 2.3: Estrategias de Sensibles al tráfico para intersecciones aisladas
Estrategia Parámetro a determinar
Método de Intervalo de Vehículo Intervalo Crítico de Verde
MOVA Posponer o no posponerT segundos la decisión del cambio de etapa
Estrategias de Control difusos [4],[12],[13], [14], [15]:Dentro de los métodos inteligentes usados para el control de tráfico se encuentran los sistemas basados en la teoría de lógica difusa.Debido a la complejidad de los sistemas de control coordinado y que hay muchos factores que inter-actúan, es difícil describir el sistema completo usando un conocimiento cualitatvo, por esta razón los método de control difuso son limitados a intersecciones aisladas.
2.2.2 Intersecciones coordinadas:
Las estrategias sensibles al tráfico aplicadas a intersecciones coordinadas representan uno de los grandes desafíos para la comunidad académica dedicada al área de tráfico urbano. Muchos de los resultados de investigaciones, convertidos en paquetes comerciales se han instalado en redes de tráfico reales. Para este tipo de topología, las estrategias de control sensibles al tráfico se pueden dividir en tres:
Capítulo 2. Definición del Problema 8
Tabla 2.4:Paquetes comerciales para estrategias sensibles al tráfico en intersecciones
coor-dinadas
Estrategia Parámetros Índice de Desempeño
SCOOTS Tiempos de Verde Minimización de la suma (Split Offset Optimization Technique) Tiempo de ciclo de las colas promedio
diferencia de fase entre ciclos
SCATS Tiempo de Verde Minimizar el número de (Sydney Coordinated Tiempo de ciclo paradas en las intersecciones adaptive Traffic Systems) Minimizar los retardos
UTOPIA Tiempo de inicio de verde y Minimizar número de paradas (Urban Traffic Optimization duración Minimizar los retardos
by Integrated Automation) offset
Métodos de optimización clásica y MPC basados en modelo
Tabla 2.5:Paquetes comerciales basados en modelo
Estrategia Índice de Desempeño Algoritmo de optimización
OPAC Minimizar el tiempo Enumeración completa PROGYN total de espera de todos Programación dinámica CRONOS los vehículos Programación dinámica RHODES Globas heurísitico
El control por predicción de modelo (MPC) es una técnica en la cual la acción actual del control se obtiene resolviendo, en cada instante de muestra, un problema de control óptimo de horizonte finito, los resultados son solo aplicados a un periodo mucho más corto que el horizonte de predicción. El proceso de horizonte deslizante evita acciones de control miopes resolviendo un problema de optimización dinámico para un sistema en tiempo real sensible al tráfico. Yazici et al [5] diseñaron un control descentralizado usando MPC para minimizar la longitud de las colas con información de las intersecciones adyacentes. Tettamanti et al,
[16] aplicaron MPC para disminuir las congestiones del tráfico y reducir los tiempos de viaje, utilizando un modelo en espacio de estados basado en el modelo Store and forward.
SCOOT, SCATS, RHODES, MOTION y TUC son estrategias de arquitectura centralizada mientras UTOPIA, PROGYN, CRONOS y OPAC son estrategias decentralizadas, es decir la inteligencia del control se encuentra distribuido a través de la red.
Inteligencia Computacional: Las estrategias de control basadas en inteligencia compu-tacional se pueden dividir en tres grupos:
• Técnicas Bioinspiradas: en las últimas décadas, la simulación y la síntesis de sistemas biológicos se han convertido en elementos imprescindibles para la com-prensión y la explicación de la lógica y la complejidad de la vida. Los sistemas naturales, principalmente los sistemas vivos, brindan ejemplos del tipo de proble-mas que se estudian y se intentan resolver en computación no convencional, como ejemplo las técnicas bioinspiradas aparecen como una vía para resolver problemas complejos relacionados con optimización, búsqueda, programación de rutas, asig-nación de espacios, descubrimiento de patrones y toma de decisiones. Dentro de las métodos bioinspirados aplicados a los sistemas de tráfico urbano se encuentran loa algoritmos evolutivos [17], [18], [6] y la redes neuronales [19], [20],[21].
• Métodos de Machine Learning: Dentro de los métodos basados en Machine
Learning aplicados a sistemas de control tráfico esta la programación dinámica adaptativa [22], [23], [24] y el aprendizaje por refuerzo [25],[26], [27].
• Agentes y Teoría de Juegos: La arquitectura basada en agentes ha sido am-pliamente usada para el desarrollo de sistemas distribuidos de gran escala. Debido a la naturaleza distribuida de los sistemas de tráfico y de transporte, los enfoques basados en agentes se convierten en una nueva perspectiva para tratar aspectos como modelado y simulación, ruteo dinámico, manejo de la congestión, apoyo a decisiones y control de coordinación de tráfico a gran escala. Por otro lado la teo-ría de juegos ha emergido como una importante herramienta en diferentes campos, particularmente en los sistemas de interacción de múltiples agentes, donde el obje-tivo es maximizar (minimizar) sus pagos. Diferentes enfoques se han basado en la aplicación de agentes y teoría de juegos [28], [29], [7], [30], [31],.
Capítulo 3
Representación de una red de tráfico
urbano a partir de Grafos
3.1.
Notación
G = (V(G),E(G), ψG): Grafo dirigido que representa una red de tráfico urbano. Para simpli-ficar la notación, V(G) =V,E(G) =E yψG=ψ.
V: conjunto de todos los nodos en la red. Un nodo tiene asociados enlaces de entrada y/o salida.
E: conjunto de todos los enlaces en la red. E contiene todas los enlaces de la red que son modelados.
ψ: función de incidencia que asocia cada elementoi∈ E un par ordenado(p, r)∈ V.
(p, r): es el enlace o segmento de vía entre el nodo p y el nodor. Dondep es el nodo a través
del cual el flujo de tráfico entra al enlace i ∈ E y r es el nodo a través del cual el flujo de tráfico deja el enlace i∈ E.
Ip: conjunto de enlaces de entrada al nodop.
Op: conjunto de enlaces de salida desde el nodo p.
Cp: tiempo de ciclo para el nodo p.
Lp: tiempo total perdido para el nodo p.
Fp: conjunto de etapas en el nodop.
oi: capacidad de flujo de salida del enlacei[veh/time].
τ(i,j): tasa de giro de vehículos desde el enlaceihacia el enlace j,τ(i,j)∈[0,1].
si: estado del semáforo en el enlace i,si ∈ {0,1}.
si(σ): estado del semáforo en el enlace ien el modo σ,si ∈ {0,1}.
σ :modo o configuración de la red dada por los diferentes estados de los semáforos.
wi: capacidad de almacenamiento de vehículos del enlace i.
ci: entrada de flujo de tráfico vehicular externo [veh].
li: longitud de cola actual[veh].
qi : entrada de flujo de cola [veh/time].
hi: salida de flujo de cola[veh/time].
gi : tiempo de verde efectivo para el enlacei[time].
3.2.
Representación de una red de tráfico urbano a partir de
grafos
Una red de tráfico vehicular puede ser representada como un grafo dirigidoG= (V,E, ψ)[?].V es el conjunto no vacío de nodos, E es el conjunto de enlaces yψes una función de incidencia que asocia a cada uno de los enlacesi∈ E un par ordenado(p, r)∈ V. A continuación se define cada uno de estos elementos:
V ={1,2,3, . . . , m}
m es el número total de nodos en la red.
Capítulo 3. Representación de una red de tráfico urbano a partir de Grafos 12
n es el número total de enlaces en la red. Cada enlace tiene una dirección definida, de modo que el elemento i∈ E es el enlace desde el nodop hasta el nodor, donde p, r∈ V. La función de incidencia está definida para cada elemento del conjunto de enlaces así:
ψ(i) ={(p, r) :p, r∈ V}
Cada nodo en la red tiene asociado un conjunto de enlaces de entrada y un conjunto de enlaces de salida:
Ip ⊂ E,Ip ={i: (l, p)∈ψG(E), i∈ E}
el par(l, p) es el enlace de entrada al nodopo el segmento de vía entre el nodo ly el nodop. El conjunto de enlaces de salida es:
Op ⊂ E,Op ={i: (p, r)∈ψG(E), i∈ E}
el par (p, r) es un enlace de salida desde el nodo p o el segmento de vía entre el nodo p y el nodo r. En la Figura 3.1(a) se observa un red de tráfico vehicular cuya representación en grafos aparece en la Figura 3.1(b).
A continuación se presentan algunos conceptos relacionados con el plan de señales que se muestra en la Figura 3.1(c) en donde se describe el comportamiento de los semáforos de cada uno de los nodos de la red de tráfico, así como algunos elementos importantes. Estas definiciones son válidas para nodos con conjuntos de enlaces de entrada no vacíos:
Cp: tiempo de ciclo.
Lp: tiempo total perdido.
Fp: conjunto de etapas o fases. Una etapa es definida como una parte del plan de señales
durante la cual un conjunto de enlaces de entrada al nodo p tiene derecho de paso (ROW).
oi, i∈ Ip : el flujo de saturación representan la capacidad de flujo de salida del enlace
idurante el tiempo de verde. [veh/time]. Estos valores son conocidos.o= [o1, . . . , on]T
1 2
3
4 5
q1 h1
q2
h2
q3 h3
q4
h4
(a) Red de tráfico urbano
1 2
3
4 5
l1 l3
l2
l4
(b) Representación en grafos
1 2
Cp (1,2)
(3,2)
(c) Plan de señales para el nodo2
Figura 3.1: Red de träfico urbano
τ(i,j),i∈ Ipandj∈ Op. las tasas de giro representan la distribución de vehículos girando
desde el enlaceial enlacej,τ(i,j)∈[0,1]. En otras palabrasτ(i,j)es la tasa de giro desde el enlacej al enlace i, conψ(i) = (p, r) yψ(j) = (l, p)
Capítulo 3. Representación de una red de tráfico urbano a partir de Grafos 14
P
i∈Ip
gi+Lp=Cp
donde gi es el tiempo de verde en el enlace i.
sies el estado del semáforo en el enlacei∈ Ip (si∈ {0,1}). Los semáforos (o actuadores)
son modelados como suiches, los cuales cambian entre dos estados lógicos: 1 (cuando el semáforo está en verde y los vehículos tiene derecho de paso, ROW), y 0 (cuando los semáforos están en rojo o estados intermedios (ámbar/rojo) y los carros están detenidos).
s= [s1, . . . , sn]T for alli∈ E.
wi es la capacidad de almacenamiento de vehículos del enlace i, Ω = [wi, . . . , wn]para
todo i∈ E.
ci es la entrada de flujo vehicular externa al enlace i [veh/time].c = [ci, . . . , cn]T para
todo i∈ E.
Restricciones
Restricciones por la geometría en cada enlacei
0≤li ≤li
Restricciones sobre la entrada de control
gi ≤gi ≤gi
La primera restriccióng
i es el valor mínimo de segundos de tiempo de verde. Este depende de
las propiedades del sistema, puede ser cero por falta de vehículos sobre la vía i. La segunda restricción gi está relacionada con la suma de tiempos de verde en la intersecciónp. Debe ser menor queCp−Lp.
P
i∈Ip
3.3.
Modelamiento continuo de la red de tráfico urbano
El cambio en el almacenamiento vehicular en i∈ E puede ser modelado como un balance de masa dado por
wil˙i =ci+qi−hi (3.1)
Si Ip 6={φ} (donde p está dado por la función de incidencia ψ(i) = (p, r)), entonces el flujo
de entrada por el enlacei∈ E está dado por,
qi =
X
j ∈ Ip
τ(j,i)hj (3.2)
donde τ(j,i) es la tasa de giro desde el enlace de entradaj ∈ Ip al nodo p∈ V hacia el enlace
i∈ Op. En otro casoqi =ci. Reemplazando la Ecuación (3.2) se tiene
wil˙i =ci+
X
j∈Ip
τ(j,i)hj −hi (3.3)
El flujo de tráfico de salida en el enlace ies modelado como
˙
hi = oi−hi if si = 1
hi = 0 if si = 0
(3.4)
Adicionalmente, el contador de tiempo de verde está “activo” cuando si = 1, entonces
˙
gi = 1 if si = 1
gi = 0 if si = 0
(3.5)
Para una red con n=|E|enlaces, se puede reescribir la ecuación (3.3), (3.4) y (3.5) como un sistema DAE con matrices de coeficientes discontinuas.
Capítulo 3. Representación de una red de tráfico urbano a partir de Grafos 16
Eσξ˙=Aσξ+Bσ (3.6)
EΩ 0 0
0 sσ 0
0 0 sσ
˙ x ˙ h ˙ g =
0 Aτ 0
0 ˆsσ 0
0 0 ¯sσ
x h g + c
sσo
sTσ
(3.7)
En la ecuación (3.6),σes el modo o configuración de la red dada por el estado de los semáforos, en la ecuación (3.7),EΩ∈Rn×nes una matriz diagonal donde los elementos deEΩestán dados
por EΩi =wi,wi ∈Ω o EΩ=diag(Ω). Además,sσ =diag(sσ), con sσ = [s∗1, . . . , s∗n]tal que
s∗1, . . . , s∗n tiene valores fijos de acuerdo al modo σ. s¯∗i = 1−si∗ y¯sσ =diag([¯s∗1, . . . ,s¯∗n]), y ˆ
s∗i =−2s∗i + 1yˆs∗σ =diag([ˆs∗1, . . . ,sˆ∗n]). La matriz Aτ ∈Rn×n es construida por la apropiada asignación de las tasas de giro.
Para la red de tráfico urbano mostrada en la Figura 3.1(a), compuesta por dos nodos y cuatro enlaces, las amtrices son las siguientes:
Eσ =
w1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 w2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 w3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 w4 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 s∗1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 s∗2 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 s∗3 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 s∗4 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 s∗1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 s∗2 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s∗3 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s∗4
;ξ =
x1 x2 x3 x4 h1 h2 h3 h4 g1 g2 g3 g4 ;
Aσ =
0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 τ(1,3) τ(2,3) −1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0
0 0 0 0 ˆs∗1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 ˆs∗2 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 sˆ∗3 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 sˆ∗4 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 s¯∗1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 s¯∗2 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ¯s∗3 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s¯∗4
;Bσ =
c1 c2 c3 c4
s1o1
s2o2
s3o3
s4o4
s1 s2 s3 s4
donde c(2,4)= 0.
A partir de los estados de los semáforos, hay diferentes configuraciones o modos para la red de tráfico vehicular mostrada en la 3.1(a). Hay cuatro semáforos (suiches), cada uno con dos estados, por lo tanto las configuraciones posibles son24= 16. Sin embargo, el interés está sobre las configuraciones posibles. Es necesario que s1(σ) =not(s2(σ)) ys3(σ) =not(s4(σ)). Por
tal razón el número total de configuraciones se reduce a22 = 4. El conjunto de modos esΣ= {1,2,3,4}con σ∈Σ. Las matrices de entrada para cada modo son mostradas acontinuación. La Figura 3.2 muestra los modos y las transiciones entre cada uno.
3.3.1. Modo σ = 1
Capítulo 3. Representación de una red de tráfico urbano a partir de Grafos 18
E1 =
w1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 w2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 w3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 w4 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
;
A1 =
0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 τ(1,3) τ(2,3) −1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0
0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
;B1 =
c1 c2 0 c4 o1 0 o3 0 1 0 1 0
3.3.2. Modo σ = 2
E2 =
w1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 w2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 w3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 w4 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
;
A2 =
0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 τ(1,3) τ(2,3) −1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0
0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
;B2 =
c1 c2 0 c4 o1 0 0 o2 1 0 0 1
3.3.3. Modo σ = 3
Capítulo 3. Representación de una red de tráfico urbano a partir de Grafos 20
E3 =
w1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 w2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 w3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 w4 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
;
A3 =
0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 τ(1,3) τ(2,3) −1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
;B3 =
c1 c2 0 c4 0 o2 o3 0 0 1 1 0
3.3.4. Modo σ = 4
E4 =
w1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 w2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 w3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 w4 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
;
A4 =
0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 τ(1,3) τ(2,3) −1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
;B4 =
c1 c2 0 c4 0 o2 0 o4 0 1 0 1
3.3.5. DAE homogénea
Reescribiendo el sistema DAE en la ecuación (3.6) y (3.7) como un sistema DAE homogéneo se tiene:
Capítulo 3. Representación de una red de tráfico urbano a partir de Grafos 22
E1z˙=A1z+B1 E2z˙=A2z+B2
E3z˙=A3z+B3 E4z˙=A4z+B4 g3≥g3
g4≥g4
g2≥g2
g1≥g1
g3≥g3
g2≥g2, g3≥g3
g1≥g1, g4≥g4
g4≥g4
g2≥g2, g4≥g4
g2≥g2
g1≥g1, g3≥g3
g1≥g1 s1= 1
s2= 0 s3= 1 s4= 0
s1= 1 s2= 0 s3= 0 s4= 1
s1= 0 s2= 1 s3= 1 s4= 0
s1= 0 s2= 1 s3= 0 s4= 1
Figura 3.2:Autómata sistema DAE no homogéneo
Eσξ˙=Aσξ (3.8)
EΩ 0 0 0 0 0
0 sσ 0 0 0 0
0 0 sσ 0 0 0
0 0 0 In 0 0
0 0 0 0 In 0
0 0 0 0 0 In
˙ x ˙ h ˙ g ˙ s ˙ c ˙ o =
0 Aτ 0 0 In 0
0 ˆsσ 0 0 0 sσIn
0 0 ¯sσ In 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
x h g s c o (3.9)
ξ=h x1 x2 x3 x4| h1 h2 h3 h4| g1 g2 g3 g4| s1 s2 s3 s4| c1 c2 c3 c4| o1 o2 o3 o4
E1ξ˙=A1ξ E2ξ˙=A2ξ
E3ξ˙=A3ξ E4ξ˙=A4ξ
g3≥g3
g4≥g4
g2≥g2
g1≥g1
g3≥g3
g2≥g2, g3≥g3
g1≥g1, g4≥g4
g4≥g4
g2≥g2, g4≥g4
g2≥g2
g1≥g1, g3≥g3
g1≥g1 s1= 1
s2= 0 s3= 1 s4= 0
s1= 1 s2= 0 s3= 0 s4= 1
s1= 0 s2= 1 s3= 1 s4= 0
s1= 0 s2= 1 s3= 0 s4= 1
Figura 3.3:Autómata sistema DAE homogéneo
Eσ =
w1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 w2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 w3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 w4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 s∗1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 s∗2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 s∗3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 s∗4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 s∗1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 s∗2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s∗3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s4∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
;
Capítulo 3. Representación de una red de tráfico urbano a partir de Grafos 24 Aσ =
0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 τ(1,3) τ(2,3) −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 ˆs∗1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s∗1 0 0 0
0 0 0 0 0 sˆ∗2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s∗2 0 0
0 0 0 0 0 0 sˆ∗3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s∗3 0
0 0 0 0 0 0 0 ˆs∗4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s∗4
0 0 0 0 0 0 0 0 s¯∗1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 s¯∗2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s¯3∗ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s¯∗4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
;
Para la red de tráfico urbano mostrada en la Figura 3.1(a), compuesta por dos nodos y cuatro enlaces, las amtrices son las siguientes:
3.3.6. Modo σ = 1
E1 =
w1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 w2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 w3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 w4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
;
Capítulo 3. Representación de una red de tráfico urbano a partir de Grafos 26
A1 =
0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 τ(1,3) τ(2,3) −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
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0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3.3.7. Modo σ = 2
E2 =
w1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 w2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 w3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 w4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
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0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
;
Capítulo 3. Representación de una red de tráfico urbano a partir de Grafos 28
A2 =
0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 τ(1,3) τ(2,3) −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
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0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3.3.8. Mode σ = 3
E3 =
w1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 w2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 w3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 w4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
;
Capítulo 3. Representación de una red de tráfico urbano a partir de Grafos 30
A3 =
0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 τ(1,3) τ(2,3) −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3.3.9. Modo σ = 4
E4 =
w1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 w2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 w3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 w4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
;
Capítulo 3. Representación de una red de tráfico urbano a partir de Grafos 32
A4 =
0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 τ(1,3) τ(2,3) −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
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0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3.4.
Sistema de tráfico urbano híbrido
Considerando el sistema de tráfico urbano en la Figura 3.1(a), la operación completa de la red, determinada por los estados de los semáforos, puede verse como el autómata mostrado en la Figura 3.3. Este es un sistema híbrido que modela sistemas DAE homogéneas con saltos en los estados. Estos sistemas se denotan comoHDAE. El vector de estado está dado por
z= (ξ, σ)∈R6n×Σ
donde P
es un conjunto finito discreto. El sistema DAE híbrido dado por
HDAE
Eσ 0
0 1
˙
ξ
˙
σ
=
fσ(ξ)
0
= F(z) z∈C
ξ+
σ+
∈
˜
gσ(ξ)
ϕσ(ξ)
= G(z) z∈D
(3.10)
donde
fσ(ξ) = Aσξ (3.11)
C = [
σ∈P
(Cσ∩Oσ) (3.12)
˜
gσ(ξ) = gD(z)∪gO(z) (3.13)
D = [
σ∈P
(Dσ∩Oσ)∪ R6n× {σ}\Oσ (3.14)
y
gD(z) =
Q
ϕσ(ξ)gσ(ξ) si z∈Dσ∩Oσ
0 otro caso
(3.15)
gO(z) =
Q
ϕσ(ξ)ξ si z∈ R6n× {σ}
\Oσ
0 otro caso
(3.16)
donde Oσ son conjuntos de consistencia y Q
σ son proyectores (para mayor detalle ver [32]).
Los conjuntos Cσ y Dσ son subconjuntos en R6n que definen en dónde el sistema evoluciona de acuerdo aF y aG. En los saltos, el mapa˜gσ define los cambios deξ mientrasϕσ determina
Capítulo 3. Representación de una red de tráfico urbano a partir de Grafos 34
(Eσ, Cσ, fσ, Dσ, gσ, ϕσ). Para el sistema de tráfico urbano, los conjuntos de flujo y los
conjun-tos de salto están dados por:
Cσ =
n
z: gi∈[0, gi],s= [s1, . . . , sn], σ∈
Xo
(3.17)
Dσ =
n
z: gi ≥gi,s= [s1, . . . , sn], σ∈
Xo
(3.18)
El mapa de salto es
gσ(ξ) = [l,h, yg(g), ys(g, σ),c,o]T (3.19)
donde
yg(g) =
[g1, . . . , gn]T : gi
gi si gi ≤ gi
0 si gi ≥ gi
gi,0 si gi = gi
ys(g, σ) =
n
[s1, . . . , sn]T : gi ≥gi, σ∈
Po
y el conjunto de cambio de modo es
ϕσ(ξ) =
n
σ : gi ≥gi, σ∈
P o
(3.20)
Considerando el sistema de tráfico urbano de la Figura 3.1(a).El conjunto de flujo y los con-juntos de salto se muestran abajo.
C={z: g1 ∈[0, g1], g3 ∈[0, g3],s= [1,0,1,0], σ= 1} ∪ {z: g1∈[0, g1], g4∈[0, g4],s= [1,0,0,1], σ= 2} ∪ {z: g2∈[0, g2], g3∈[0, g3],s= [0,1,1,0], σ= 3} ∪
{z: g2∈[0, g2], g4∈[0, g4],s= [0,1,0,1], σ= 4}
Los conjuntos de salto para cada modo son:
D1={z: g1 > g1,s= [1,0,1,0], σ= 1} ∪ {z: g3 > g3,s= [1,0,1,0], σ= 1} ∪ {z: g1> g1, g3 > g3,s= [1,0,1,0], σ= 1}
D2={z: g1 > g1,s= [1,0,0,1], σ= 2} ∪ {z: g4 > g4,s= [1,0,0,1], σ= 2} ∪ {z: g1> g1, g4 > g4,s= [1,0,0,1], σ= 2}
D3={z: g2 > g2,s= [0,1,1,0], σ= 3} ∪ {z: g3 > g3,s= [0,1,1,0], σ= 3} ∪ {z: g2> g2, g3 > g3,s= [0,1,1,0], σ= 2}
D4={z: g2 > g2,s= [0,1,1,0], σ= 3} ∪ {z: g3 > g3,s= [0,1,1,0], σ= 3} ∪ {z: g2> g2, g3 > g3,s= [0,1,1,0], σ= 2}
El mapa de salto es
gσ(ξ) = [x,h, yg(g), ys(g, σ),c,o]T
Capítulo 3. Representación de una red de tráfico urbano a partir de Grafos 36
yg(g) =
g1 si g1 ≤ g1
0 si g1 ≥ g1
g1,0 si g1 = g1
g2 si g2 ≤ g2
0 si g2 ≥ g2
g2,0 si g2 = g2
g3 si g3 ≤ g3
0 si g3 ≥ g3
g3,0 si g3 = g3
g4 si g4 ≤ g4
0 si g4 ≥ g4
g4,0 si g4 = g4
;ys(g, σ) =
1 0 1 0 ,
si g2 ≥g2, σ = 3
si g4 ≥g4, σ = 2
si g2 ≥g2, g4 ≥g4 σ = 4
1 0 0 1 ,
si g2 ≥g2, σ = 4
si g3 ≥g3, σ = 1
si g2 ≥g2, g3 ≥g3 σ = 3
0 1 1 0 ,
si g1 ≥g1, σ = 1
si g4 ≥g4, σ = 4
si g1 ≥g1, g4 ≥g4 σ = 2
0 1 0 1 ,
si g1 ≥g1, σ = 2
si g3 ≥g3, σ = 3
si g1 ≥g1, g3 ≥g3 σ = 1
ϕσ(ξ) =
1,
si g2 ≥g2, σ = 3
si g4 ≥g4, σ = 2
si g2≥g2, g4 ≥g4 σ = 4
2,
si g2 ≥g2, σ = 4
si g3 ≥g3, σ = 1
si g2≥g2, g3 ≥g3 σ = 3
3,
si g1 ≥g1, σ = 1
si g4 ≥g4, σ = 4
si g1≥g1, g4 ≥g4 σ = 2
4,
si g1 ≥g1, σ = 2
si g3 ≥g3, σ = 3
Capítulo 4
Formulación del problema de control
de tráfico urbano como un juego
El sistema de tráfico urbano puede verse como una sociedad P ={1, . . . ,a}, compuesta por
a ≥1 poblaciones de agentes interactuando entre ellos. Cada nodo cuyo conjunto de enlaces
de entrada en no vacío, es visto como una población de agentes. Entonces la sociedad está definida como:
P ={v∈ V :Iv 6={φ}}
Para simplicar la notación y ya que los agentes en cada población comparten el mismo con-junto de estrategias y la misma función de pago, se considera de aquí en adelante una sola población para realizar las definiciones necesarias.
Los agentes en la población forman una masa m, que será distribuida entre las estrategias puras de la población. En el problema de tráfico urbano m representa el tiempo de verde efectivo en ese nodo (población),P
i∈Ipgi.
El conjunto finito de estrategias (estrategias puras) disponibles para los agentes, es denotado
como S = {1, . . . ,n}, los elementos de este conjunto se notarán como j y k. El escalar xj
representa la cantidad de agentes escogiendo la estrategia j∈ S, y el estado de la población
x es la distribución de agentes en las estrategias. El conjunto de estrategias puras para cada
población en la red de tráfico urbano corresponde al conjunto de fases en ese nodo, Fp. El
conjunto de posibles estados está dado por el simplex: