Diseño de un modelo para un actuador NEMS basado en nanotubos de carbono

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(1)UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA. DISEÑO DE UN MODELO PARA UN ACTUADOR NEMS BASADO EN NANOTUBOS DE CARBONO. Proyecto de grado para obtener el título de:. INGENIERO ELECTRÓNICO. Presentado por:. DAVID RICARDO MOYANO RIVILLAS Director: ALBA ÁVILA BERNAL Ph.D.. Bogotá D.C, diciembre de 2010..

(2) TABLA DE CONTENIDO. Página. Capítulo 1: OBJETIVOS Y MARCO TEÓRICO 1.1. Objetivos y Motivación 1.2. ¿Qué son los nanotubos de Carbono? 1.3. ¿Por qué se utilizan? 1.4. Aplicaciones 1.5. El actuador NEMS basado en CNT como cantiléver 1.6. Uso de mecánica del continuo 1.7. Consideraciones referentes al material 1.7.1. Módulo de Young 1.7.2. Conductividad Eléctrica 1.7.3. Resumen de propiedades y dimensiones del material 1.8. Modelos Teóricos para el voltaje de adhesión 1.8.1. Modelo de capacitancia de placas paralelas. 1.8.2. Capacitancia de placas no paralelas y voltaje constante 1.8.3. Voltaje de Pull in para un nanotubo de carbono 1.8.4. Resumen de modelos para hallar Vpi 1.9. Fenómenos de Stiction 1.9.1. Modelo del fenómeno de stiction 1.9.2. Resumen del fenómeno de Stiction 1.10. Modelo teórico para el voltaje de restitución (Pull Out). 3 5 5 6 6 7 8 8 8 9 9 10 12 13 15 15 16 18 18. CAPÍTULO 2: DESARROLLO DEL MODELO COMPUTACIONAL 2.1. Descripción de fenómenos físicos en el Software 2.2. Geometría 2.3. Materiales 2.4. Físicas 2.5. Enmallado 2.6. Parámetros y Soluciones 2.7. Limitaciones de COMSOL Multiphysics 2.8. Cambios adicionales para implementar Stiction y Vpo 2.9. Identificación del fenómeno de Pull in en COMSOL 2.9.1. No convergencia de datos 2.9.2. Deformación sobrepasa fronteras 2.9.3. Comportamiento asintótico de los datos e inconsistencia de datos posteriores 2.10. Generando las gráficas para obtener el voltaje de adhesión 2.11. Interpretando el voltaje de restitución 2.12. Ecuaciones del Modelo 2.12.1. Cálculo de fuerzas electrostáticas. 20 22 24 26 29 30 30 31 32 32 33 34 34 35 36 36 1.

(3) 2.12.2. Cálculo de deformaciones mecánicas. 37. CAPÍTULO 3: DISCUSIÓN DE RESULTADOS 3.1. Variaciones de Geometría. 39. 3.1.1. Variación de Vpi respecto a la distancia al sustrato, para distintos diámetros, a longitud constante del CNT. 40 3.1.2. Voltaje de adhesión en función de la distancia al sustrato, para distintas longitudes con un diámetro constante del CNT. 43 3.1.3. Voltaje de adhesión en función de longitud del CNT, para distintas alturas al sustrato con un diámetro constante del CNT. 46 3.1.4. Voltaje de adhesión en función de longitud del CNT, para distintos diámetros para una altura constante al sustrato. 49 3.1.5. Voltaje de adhesión en función del diámetro del CNT, para distintas longitudes con una altura constante del CNT sobre el sustrato 52 3.1.6. Voltaje de adhesión en función del diámetro del CNT, para distintas alturas al sustrato con una longitud constante del CNT. 55 3.1.7. Análisis físico de los efectos de variación en la geometría en el interruptor.. 56. 3.2. Comparación de curvas Deformación-Voltaje. 57. 3.3 Fenómenos de Stiction y voltajes de restitución (Vpo). 65. 3.3.1. Caso 1: Longitud de 0,4µm; Altura al sustrato de 20nm. Sustrato Utilizado: Au. 66. 3.3.2. Caso 2: Longitud: 0,4µm; Altura al sustrato de 63nm. Sustrato Utilizado: Au.. 67. 3.3.3. Caso 3: Longitud: 1,7µm; Altura al sustrato de 812nm. Sustrato Utilizado: Au.. 68. 3.3.4. Comparación de distintos sustratos.. 70. CAPÍTULO 4: CONCLUSIONES Y RETOS 4.1. Conclusiones. 71. 4.2. Trabajo Futuro. 74. CAPÍTULO 5: AGRADECIMIENTOS Y REFERENCIAS 5.1 Agradecimiento. 75. 5.2. Referencias. 75 2.

(4) Capítulo 1. Introducción y marco teórico. 1.1.. Objetivos y motivación.. Los NEMS, de la sigla en inglés (Nano Electro Mechanic System) son dispositivos electromecánicos cuyas dimensiones pertenecen a la escala de los nanómetros. Dentro de sus aplicaciones se encuentran interruptores, transistores y resonadores, entre otros [6]. La construcción de NEMS se realiza a partir de nano materiales o nano estructuras. Para este trabajo, se simulará un interruptor NEMS será basado en nanotubos de carbono (CNT, por sus siglas en inglés). Este trabajo desarrollará una implementación en software de simulación multifísica de un interruptor NEMS. Este interruptor consiste en dos electrodos, uno de los cuales es el CNT, en configuración de cantiléver y el otro es un sustrato que puede ser dieléctrico o conductor. La motivación para la investigación en esta clase dispositivos, surge del interés en buscar formulaciones alternativas para interruptores electrónicos no basados en tecnología CMOS, ya que la tecnología CMOS en los últimos años ha sacrificado aumentos en rendimiento en favor de reducir efectos de consumo de potencia en el dispositivo, como corrientes de fuga, Dadgour et.al (2009). Dentro de estos dispositivos se encuentran tecnologías híbridas con CMOS y NEMS [32] y dispositivos, como el interruptor basado en CNT, que prescinden de CMOS para su funcionamiento. Este dispositivo fue propuesto originalmente por Espinosa et.al (2005) con el fin de desarrollar celdas de memoria RAM basadas en CNT y desde entonces ha sido estudiado; igualmente, Espinosa et.al (2005) ha caracterizado este dispositivo, experimentalmente. El objetivo de este trabajo, es analizar los fenómenos físicos que dictan el comportamiento del interruptor desde una perspectiva de mecánica del continuo, tomando en cuenta efectos de variación en la geometría del CNT, todo esto utilizando una implementación en Software de simulación multifísica. El interruptor NEMS cuenta con dos posiciones, encendido y apagado. El fenómeno involucrado en la transición de apagado a encendido es conocido como Pull In, mientras que la 3.

(5) transición encendido-apagado es controlada por los fenómenos de Stiction y Pull Out, estos fenómenos se reflejan en los voltajes de adhesión y restitución (Vpi y Vpo). Dentro de los resultados obtenidos, se encontraron los parámetros geométricos de mayor influencia sobre Vpi. Mediante un análisis a partir de la curva de Paschen [31] se obtuvieron los voltajes máximos para Vpi tomando en cuenta el voltaje de rompimiento dieléctrico del aire y la distancia entre electrodos. Se encontraron dimensiones para el diseño del interruptor que reducen los efectos del fenómeno de Stiction en el dispositivo y aseguran una operación confiable. Se demostró la influencia del material del sustrato sobre el fenómeno de Stiction y el Voltaje Vpo, mediante cambios del material de conductor a dieléctrico, reflejado una reducción en los casos de falla del interruptor. Al ser este un trabajo de modelamiento teórico, la metodología a seguir consiste, en primera instancia, en la recopilación de información pertinente al tema, para obtener modelos de referencia y argumentos teóricos suficientes para justificar la implementación en el programa de simulación multifísica. Dicha implementación constituye la segunda parte del desarrollo del trabajo. La tercera fase se compone de la obtención de datos del modelo, en forma de simulaciones, su análisis y su validación con trabajos experimentales documentados en el área. El presente documento se divide en cuatro capítulos: En el primer capítulo se encuentran las definiciones referentes a la teoría de nanotubos de carbono así como las definiciones y teorías explicando los fenómenos que serán tenidos en cuenta dentro del modelo. El segundo capítulo cubrirá, paso a paso, los detalles de la implementación del modelo del actuador en el software de simulación multifísica. También se cubrirá la forma en la cual el programa arroja los resultados y la forma de interpretarlos, teniendo en cuenta el funcionamiento del dispositivo. En este capítulo se incluyen las ecuaciones matemáticas resueltas por el software en su ejecución. El tercer capítulo contiene los resultados obtenidos a partir de las simulaciones del modelo, así como los análisis respectivos. Por último, en el cuarto capítulo se encuentran consignadas las conclusiones del trabajo así como futuras direcciones de trabajo.. 4.

(6) 1.2.. ¿Qué son los nanotubos de carbono?. Las nanoestructuras conocidas como nanotubos de carbono (conocidos también como CNT), una forma alotrópica del carbono, químicamente inerte y térmicamente estable fueron descubiertos por Sumio Iijima en 1991 [1]. Físicamente, pueden verse como una lámina de grafito doblada para dar una forma cilíndrica. Mecánicamente son rígidos pero al mismo tiempo flexibles y son ligeros [2]. Eléctricamente pueden ser semiconductores o metálicos, esto depende de una propiedad denominada quiralidad. La quiralidad se define como el ángulo al cual se dobla sobre sí misma la lámina de grafito. Esta propiedad se expresa en términos de un vector llamado vector de enrollamiento; éste se define como. (. ). .. y. son direcciones en la hoja de. grafito y n, m son números enteros. Las combinaciones de n y m en las direcciones. y. dicta-. rán la dirección del enrollamiento de la hoja de grafito [2]. H.Dai et.al. (2006), proporciona información detallada sobre las formas quirales de los nanotubos así como estudios referentes a la conductividad de estos materiales. Adicional a la distinción hecha por la quiralidad, los nanotubos de carbono se clasifican en dos familias: de una sola pared (en inglés Single Walled Carbon Nanotube o SWNT) o de múltiples paredes (en inglés Multi-Walled Carbon Nanotube o MWNT). Los SWNT constan de una única lámina de grafito doblada sobre sí misma en forma cilíndrica mientras que los MWNT contienen varias de estas láminas, organizadas de forma concéntrica. Las diferentes láminas interactúan entre sí por medio de las fuerzas de Van der Waals [4].. 1.3.. ¿Por qué se utilizan?. Tomando en cuenta su estabilidad térmica, baja reactividad química y reducido tamaño, los CNT son una seria alternativa para convertirse en los bloques de construcción para dispositivos NEMS. La búsqueda de materiales alternativos surge de efectos indeseables como tunelamiento por gate y oxidación de superficie, los cuales se presentan cuando se utiliza silicio como material para dispositivos en escala de nanómetros [5], [6].. 5.

(7) Por otra parte, al intentar replicar elementos típicos de los microsistemas (MEMS), como cantiléver o vigas doblemente ancladas, en la escala de NEMS, la reducción de órdenes de magnitud hace cobrar importancia a fenómenos normalmente despreciados a longitudes mayores, un ejemplo de esto son las fuerzas de Van der Waals [4].. 1.4.. Aplicaciones. Adicionalmente a los dos ejemplos de la sección anterior, Hoenlein et.al (2006) y Bushan, Fuchs (2007) realizan una descripción de los dispositivos NEMS actualmente en desarrollo. A continuación se presenta una lista, extraída de estos dos trabajos, seleccionando dispositivos en los cuales los CNT son el bloque principal de construcción. . Resonadores.. . Transistores FET.. . Nano Pinzas.. . Elementos de memoria no volátiles. . Nano relés. . Cantiléver controlado por voltaje.. Para efectos de desarrollo del presente proyecto, el modelo a desarrollar y sus resultados corresponden a un cantiléver controlado por voltaje.. 1.5.. Actuador NEMS en cantiléver basado en nanotubos de Carbono. Un cantiléver puede definirse como una viga transversal en suspensión, sostenida por un único punto de apoyo, al otro lado del extremo libre [7]. Bajo condiciones de equilibrio, la rigidez del cantiléver lo mantendrá en una posición horizontal. Para el caso del actuador NEMS que ocupa este trabajo, el nanotubo de carbono hace las veces de cantiléver. Las consideraciones de rigidez en el elemento, sumadas a la decisión de hacer del cantiléver un elemento conductor, permitien6.

(8) do el control por voltaje llevan a la decisión de diseño de utilizar un MWNT como elemento de cantiléver [8]. El dispositivo se actuará de forma electrostática, aplicando un voltaje entre el nanotubo y un sustrato. Dicho voltaje causará una deformación del CNT respecto a su posición horizontal original, debida a la fuerza electrostática; al aumentar el voltaje, aumentará a su vez la deformación del CNT hasta el punto en donde éste tome contacto con el sustrato [8]. Al acto de contacto entre el CNT y el sustrato se denomina Pull-In y al voltaje para el cual sucede el fenómeno se denominará en este trabajo voltaje de adhesión (Vpi por el nombre en inglés), Este voltaje determinará el cambio de apagado a encendido en el actuador [9]. Al proceso de despegar el CNT del sustrato se le denomina restitución e igualmente tiene un voltaje asociado, al cual se le llamará voltaje de restitución (Vpo de acuerdo a su nombre en inglés). Durante el período de contacto entre las dos superficies están presentes fuerzas de adhesión entre las superficies, al igual que fuerzas interatómicas que impedirán la separación de las dos superficies [10]. Estas fuerzas también se encuentran en dispositivos más grandes, como los MEMS, donde se denomina a este fenómeno stiction [11]; así mismo, el medio presente entre los electrodos es aire. En la figura 1 se muestra un diagrama simplificado del actuador NEMS.. Figura 1: Diagrama simplificado del actuador NEMS, se nombran las dimensiones geométricas más importantes. La línea punteada corresponde a una deformación arbitraria del CNT, en presencia de voltaje, el medio entre los dos electrodos corresponde al aire.. 1.6.. Uso de mecánica del continuo. La mecánica continua permite describir los fenómenos que conforman el comportamiento del actuador, proponiendo una interpretación diferente a la usual en esta clase de dispositivos, basada en simulaciones atómicas. El aval para la realización de modelos basados en mecánica del con7.

(9) tinuo es proporcionado por Dequesnes et.al (2002), donde la experimentación y modelos desarrollados por medio de mecánica del continuo, para cantiléver basados en CNT se muestran consistentes para experimentos de deflexión trans-axial del CNT debidos a fuerzas externas. Esta clase de resultado permite utilizar programas de simulación basados en el método de elementos finitos (FEM) tales como ANSYS o COMSOL Multiphysics. Estos programas consideran dominios, entendidos como materiales continuos. Esto supone introducir al programa las propiedades mecánicas, eléctricas y térmicas del material; las propiedades utilizadas serán dependientes de las físicas seleccionadas. Para este trabajo, la validación de los resultados arrojados por el modelo provendrán de los datos experimentales obtenidos por Ke (2006), Ke et.al (2006) y Loh et.al (2010).. 1.7.. Propiedades del material.. 1.7.1. Módulo de Young Esta propiedad es una constante que indica qué tan tolerante a fenómenos de tensión o compresión es un elemento [7]. Para el MWNT en este caso particular se utilizará un valor de E=1TPa, valor proveniente de los trabajos de Ke (2006) y Ke et.al (2006). Este valor se ha comprobado a partir de experimentos de estrés y fractura en MWNT bajo tensión axial, realizados en [15]. Así mismo, se ha comprobado estos valores, por medio de la obtención de curvas esfuerzodeformación y tensiones máximas de plasticidad y fractura; bajo simulaciones atómicas, concluyendo que estas propiedades se mantienen independientemente de la quiralidad del nanotubo (definida en la sección 1.2) [16].. 1.7.2. Conductividad Eléctrica De acuerdo con Wei et.al (2001), los MWNT pueden soportar altas densidades de corriente (10 6 a 109 A/cm2) por períodos prolongados de tiempo, sin cambios medibles en su resistencia. Esto proporciona una alta conductividad, calculada en 7.99x106 s m-1 por dicha referencia.. 8.

(10) 1.7.3. Resumen de propiedades y dimensiones del material El modelo del material en el nanotubo asume: . Densidad uniforme del material.. . Se modela el CNT como un cilindro uniforme.. . o. Radio Constante.. o. Longitud constante.. Régimen elástico. Propiedad Módulo de Young Yield Point Conductividad eléctrica Longitud Diámetro (exterior) Diámetro( interior). Valor (Unidades) [Referencia] 1 (Tpa) [15] [16] 1.3x105(MPa) [16] 7.99 x106 (S m-1) [16] 1-20µm [13] 10-130nm [13] 33.6 nm [4] [13]. Tabla 1: Resumen de las propiedades y dimensiones del CNT, estas propiedades serán introducidas al software.. 1.8.. Modelos teóricos para el voltaje de adhesión. En los actuadores electrostáticos se denomina Pull In al fenómeno por el cual, a un voltaje determinado, la fuerza electrostática es mayor o tiene una mayor tasa de cambio que la fuerza de restitución electrostática, generando una inestabilidad en el actuador, esto provoca que el elemento móvil se precipite sobre el sustrato [8]. Antes de Vpi la fuerza electrostática está balanceada con la fuerza de restitución elástica. Cuando se alcanza el voltaje de adhesión (Vpi), la fuerza electrostática es mucho mayor que la fuerza de restitución, lo que ocasiona que el cantiléver no se mantenga suspendido sino que se desplace hacia el sustrato [18]. La figura 2 muestra el antes y el después de Vpi. Para el CNT.. 9.

(11) Figura 2: Diagrama simplificado del actuador para Voltajes inferiores al voltaje de adhesión (Vpi). En la parte izquierda, el CNT se encuentra balanceado para un V<Vpi. En la parte derecha, a un V=Vpi, el CNT se ha precipitado sobre el sustrato, gracias a una fuerza electrostática superior a la fuerza elástica de restitución.. Se tendrán en cuenta tres modelos diferentes para el cálculo del voltaje de adhesión: . Capacitancia de Placas Paralelas [20]. . Capacitancia de placas no paralelas [10]. . Voltaje de adhesión (Pull In)en un nanotubo de carbono [18]. Para todos los modelos, se encuentra una descripción de cada una de las variables así como sus unidades en la tabla de símbolos y variables al principio del documento. 1.8.1. Capacitancia de placas paralelas El modelo más simple proviene del capacitor de placas paralelas y la fuerza electrostática que se presenta entre éstas. Asumiendo que una placa es libre de moverse respecto a la otra, la fuerza electrostática hará que la placa móvil, en este caso particular con un potencial +V, se mueva hacia la placa con potencial 0 ó –V. Este movimiento causará un incremento en la capacitancia, donde se tiene como condición un área de placas constante así como un dieléctrico constante: ( ) La fuerza electrostática viene dada por la relación: ( ) Esta relación se mantendrá hasta que la distancia se aproxime a cero, momento en el cual se puede considerar que se ha alcanzado Vpi. Este modelo no toma en cuenta de manera adecuada las variaciones en la distancia entre placas, como producto de un aumento en la fuerza, así que debe introducirse la capacitancia como una cantidad que variable de la distancia entre placas: 10.

(12) ( ). ( ). Modificando la ecuación 1 para tener en cuenta los cambios en la capacitancia a lo largo de la dirección x se obtiene la ecuación 3. Si se emplea la sustitución ( ). (. ). donde x es la distancia. entre placas a un voltaje dado, se puede derivar fácilmente la ecuación. De acuerdo con la definición de Vpi, debe incluirse la fuerza elástica de restitución; dicha función de la fuerza elástica será lineal y vendrá dada por la ley de Hooke: A partir de estas dos relaciones se puede describir el desplazamiento y puede extenderse a la deformación, por esa misma vía, en función del voltaje aplicado. En Senturia (2002) y Pelesko et.al (2003) se demuestra que las soluciones de equilibrio para un sistema actuado electrostáticamente bajo este modelo vienen dadas por:. (. ( ). ). A su vez, [19], [20] aproxima la distancia a la cual ocurre Vpi como. haciendo un paralelo. con el mismo comportamiento en MEMS, reemplazando este valor en (4) se obtiene el valor para el voltaje de adhesión:. √. ( ). Tanto el texto de Senturia (2002) como el de Pelesko et.al (2003) ofrecen una demostración detallada de estos resultados, Pelesko et.al (2003) en especial permite observar el fenómeno desde una perspectiva de carga (Q) constante, así como la de voltaje constante aquí utilizada gracias a una generalización de la energía en un capacitor, como función de Energía y Co-energía. Así mismo una demostración alternativa, se encuentra en la referencia [4].. 1.8.2. Capacitancia de Placas no paralelas A diferencia de un capacitor de placas paralelas, el actuador en cantiléver no posee una única variación respecto a la distancia sino que esta varía cada vez más a medida que se aleja del punto de anclaje del cantiléver. Adicionalmente, la fuerza electrostática no es una fuerza puntual sobre el 11.

(13) cantiléver sino una fuerza distribuida a lo largo de éste [4], [21]. El desplazamiento no uniforme del CNT puede modelarse como una capacitancia de placas no paralelas, representando en este caso una función lineal de deformación a lo largo del nanotubo [10]. De igual forma, esta referencia (N. Tas et.al (1996)), demuestra el voltaje de adhesión como un mínimo global de la función resultante de la resta de la contribución de las energías Electrostática y Mecánica (elástica en este caso en particular). Este modelo extiende el enunciado en la sección 1.8.1, ya que conserva sus restricciones de área de placas constante y dieléctrico uniforme con un único voltaje aplicado, a lo cual añade la consideración de la capacitancia como una función lineal. Por otra parte, este modelo no toma en cuenta estrés residual, ya que de acuerdo a lo propuesto por Osterberg et.al (1994), el estrés residual no existe para configuraciones en cantiléver. Para el desarrollo del modelo, se define la función de energía elástica como: ( ) Donde el producto EI es el módulo de Young multiplicado por el momento de inercia, l es la longitud total y x es la dirección de deflexión. La función de energía aportada por la capacitancia se define como: ( ). ( ). De acuerdo a lo expresado por [10], la función de capacitancia se modela del a siguiente forma: ( ). |. ( ). |. La deflexión máxima ocurrirá en la punta, donde se balancea la fuerza elástica y la fuerza eléctrica: ( ) Bajo estas condiciones, se aplica la definición de Vpi. En este caso a partir de las energías, se obtiene el punto de inestabilidad para cantiléver. (. ). 12.

(14) Reemplazando ecuaciones (6), (7) y (8) en (10) se obtiene finalmente: ( (. ) ). (. ). Lo cual despejando para la distancia, da una distancia límite para considerar colisión con el sustrato de. y finalmente una expresión:. √. (. ). 1.8.3. Voltaje de adhesión (Pull In)en un nanotubo de carbono La definición de voltaje de adhesión más completa de las estudiadas, ha sido definida por Dequesnes et.al (2002) y Espinosa et.al (2005). Ésta toma en cuenta el elemento móvil como un cilindro, extendiendo la teoría de cantiléver a nanotubos de carbono, concretamente tubos de carbono de varias paredes, o MWNT, utilizando expresiones específicas para la deflexión, así como para la capacitancia. Adicional a lo anterior, se asume el nanotubo de carbono como un elemento cilíndrico uniforme, permitiendo así el uso de mecánica continua en el análisis, así como un régimen de pequeña deformación, donde el grosor del nanotubo es mucho menor (al menos un orden de magnitud) que la distancia entre éste y el sustrato en ausencia de voltaje [18]. Este régimen permite descartar los efectos debidos a la tensión y compresión del elemento, debido a esto mismo no se tomará en cuenta la influencia de las fuerzas de van der Waals. Dequesnes et.al (2002) proporciona un cálculo detallado de la fuerza de van der Waals en un nanotubo en cantiléver basada en mecánica del continuo. Espinosa et.al (2005) brinda datos experimentales correspondientes al modelo. La ecuación rigiendo el movimiento de un nanotubo de carbono en cantiléver es, de acuerdo con [18]: (. ). 13.

(15) Donde el momento de inercia toma en cuenta el hecho que se está trabajando con una geometría circular concéntrica, definiendo el radio exterior como Rext y el radio interior como Rint: (. ). (. ). La expresión del voltaje de adhesión vendrá dada, al igual que lo propuesto en el de capacitancias no paralelas (sección 1.8.2), por la energía almacenada, en este caso a lo largo del nanotubo, y la fuerza será la tasa de cambio de la energía a lo largo de la dirección en la cual se produce la deflexión. Se define la componente eléctrica de la energía por unidad de longitud (en la dirección axial z) como. ( ⁄ ). (. ). Y la fuerza, también por unidad de longitud, vendrá dada por: (. ). (. ). La energía mecánica vendrá dada por la deflexión del nanotubo. ∫ (. ). (. ). Se toman idénticas condiciones a expresadas por las ecuaciones (9) y (10) para fuerzas y energías, lo cual resulta en una expresión para el voltaje de adhesión Vpi:. (. )√. (. ). 14.

(16) 1.8.4. Resumen de modelos para hallar Vpi Modelo [Referencia] Ecuaciones Capacitancia de placas paralelas [20] (Sección 1.8.1). Capacitancia de placas no paralelas [10] (Sección 1.8.2). Pull in para un nanotubo de carbono [18] (Sección 1.8.3). √. √. (. )√. Comentarios Asume: -Voltaje Uniforme -Área uniforme de placas -Niega campos eléctricos en los bordes Adicional a lo anterior asume: -Función de capacitancia lineal -No toma en cuenta Estrés residual -el cantiléver solo se dobla Asume: -Voltaje Constante -Material (nanotubo) uniforme -pequeñas deformaciones (r<<R por un factor de 101) -puede extenderse incorporar correcciones para Fuerzas interatómicas y fenómenos mecánicos de estiramiento.. Tabla 2: Resumen de modelos y restricciones para el voltaje de adhesión. 1.9.. Fenómenos de stiction. El fenómeno de stiction se presenta en micro y nanosistemas cuando dos superficies entran en contacto y por acción de fuerzas interatómicas, electrostáticas o capilares entre las superficies, éstas se adhieran. Este fenómeno ocurre a pequeñas escalas, del orden de 1x10-6 m o más pequeñas, donde los efectos de superficie son más relevantes [11]. Esta adhesión puede ser reversible, permitiendo a las superficies adheridas volverse a separar o irreversible, dejando las superficies juntas de forma permanente. N.Tas et.al (1996) afirma que la stiction es una causa de fallas en. 15.

(17) microsistemas, esto, naturalmente, incluye a aquellos basados en cantiléver. Estas fallas pueden ocurrir durante la fabricación de los dispositivos, donde los efectos de capilaridad y tensión superficial de líquidos adhieren accidentalmente superficies o durante la operación de los dispositivos, cuyas partes móviles pueden adherirse unas con otras durante el movimiento. Para elementos como interruptores o pinzas, donde se presenta necesariamente contacto entre superficies, el fenómeno de stiction es inevitable y pasa a ser una consideración de diseño. Para el caso del actuador NEMS basado en CNT, el fenómeno de stiction determinará el voltaje de restitución del dispositivo (Vpo) [23].. 1.9.1. Modelo del fenómeno de Stiction. Referencias para el modelo: [10], [23]. La stiction sucede cuando, al entrar en contacto dos superficies, la fuerza de restitución elástica del material es menor que aquella que mantiene al material adherido. Este resultado se obtiene a partir de las energías, tanto mecánicas como de adhesión para un cantiléver; asume que hay un material uniforme, así como únicamente deflexión del cantiléver, despreciando los efectos de estiramiento y compresión, también conocido como régimen de pequeñas deformaciones, dado que la distancia al sustrato es mucho mayor que el grosor del cantiléver [10]. Bajo estas suposiciones se define la energía de restitución como (. ). Y la energía de adhesión viene definida por (. ). (. ). El punto a partir de donde se considera que hay stiction irreversible, viene definido por una longitud, llamada longitud crítica. donde a partir de ésta se presentará el fenómeno. Este punto. ocurre cuando el incremento de la energía de adhesión es igual al decremento en la energía elástica de restitución. (. ) 16.

(18) Reemplazando en (3) las ecuaciones (1,2) se obtiene la expresión para la longitud crítica de stiction.. √. (. ). Esta ecuación es función de la energía de adhesión, la cual es un valor experimental dependiente del material, por lo cual debe conocerse previamente. De (4) se concluye que para stiction, pero no será irreversible; mientras que para. habrá. la stiction será irreversible.. De acuerdo con [23] el límite en la longitud del CNT para el cual ocurrirá Stiction irreversible viene dado por la condición (. ). La porción del CNT adherida al sustrato se denomina Lc y corresponde a la porción derecha de la figura 3.. Figura 3: (Izq) Cantiléver separado, (Der) Cantiléver adherido al sustrato, la porción adherida se denomina L c, tomado de [10].. La fuerza de Restitución elástica para un CNT adherido se define como:. (. (. ). ). Y la fuerza de adhesión se define: ( Donde LC es la longitud de contacto y. ). es la energía de adhesión entre las superficies del sustrato. y CNT. Reemplazando las ecuaciones (25) y (26) en (24), se obtiene: (. ). (. ). 17.

(19) Donde Lc debe ser menor a L. El valor máximo de la ecuación (27) ocurre a Lc=L/4 lo cual puede traducirse como el punto al cual la fuerza de adhesión es máxima, esto da una relación de proporcionalidad de L4 respecto a h. Para guardar coherencia con las referencias que proveerán las validaciones experimentales, el modelo se simulará un sustrato de oro (Au). Así mismo, de cara a observar los efectos provenientes de un cambio de sustrato, se simulará también con Dióxido de silicio (SiO 2). Los valores de son experimentales y se encuentran en la tabla 3. Material del sustrato. Energía de Adhesión (mJ/m2) [Referencia]. Oro (Au). 71,8 [24]. Dióxido de Silicio(SiO2). 131 [25]. Tabla 3: Energías de adhesión de sustratos que serán utilizados en el modelo, los valores proceden de datos experimentales obtenidos en [24] y [25].. 1.9.2. Resumen del fenómeno de Stiction Suposiciones y comentarios del modelo  Referencias: N.Tas et.al (1996), C.Ke et.al (2010).  Pequeñas deformaciones: ( ) para considerar únicamente deflexión.  No incluye fenómenos de estrés residual ni estiramiento/compresión.  Material uniforme.  Desarrollado para un cantiléver.  Debe conocerse de antemano. Ecuaciones Importantes:. √. (. ). Tabla 4: Resumen del modelo del fenómeno de Stiction, se incluyen las ecuaciones más relevantes así como las referencias de donde provienen.. 1.10. Modelo teórico para el voltaje de restitución (Pull Out). Pull Out es el fenómeno complementario a Pull In. En éste se busca, a un voltaje determinado, llamado voltaje de restitución, menor que el voltaje de adhesión, volver a recuperar el equilibrio entre la fuerza elástica y electrostática en el actuador, haciendo que éste retorne a un estado de equilibrio y eventualmente, a su posición original [8]. C.Ke y H.Espinosa (2004) proponen teórica-. 18.

(20) mente la existencia del voltaje de restitución, así como un comportamiento de un dispositivo basado en los fenómenos de Adhesión y Restitución. Por otra parte [10] contiene la comprobación experimental de dicho ciclo, para un CNT en cantiléver. En la figura 4 se muestran las fuerzas actuando sobre el CNT antes de producirse el fenómeno de restitución y después de éste.. Figura 4: (Izq) Actuador durante el proceso de Pull In, las fuerzas electrostática (Flecha Azul) y de adhesión (Flecha púrpura) son superiores a la fuerza de restitución elástica (Flecha Naranja). (Der) Actuador a voltaje de restitución, La fuerza de restitución elástica ha podido vencer a la fuerza de stiction, así que el CNT retorna a su posición de resposo.. En el caso de la figura 4, el CNT se encuentra adherido al sustrato. Para liberarse, la fuerza de restitución elástica debe ser mayor que la fuerza electrostática y la fuerza que lo mantiene adherido, llamada fuerza de adhesión, efecto del fenómeno de Stiction (definida en la sección 1.9). Al voltaje para el cual esto ocurre, se le ha denominado Voltaje de restitución o Vpo. Una vez se ha liberado el CNT, retornará a su posición original en reposo (Figura 4, parte derecha). Considerando las referencias [8], [12], [14], donde el fenómeno de restitución elástica es enunciado y al ser el dispositivo controlado por un único voltaje, las condiciones resumidas en la tabla 2 (Sección 1.8.4) son válidas también para el fenómeno de restitución; adicionando el conjunto de restricciones que surgen de tomar en cuenta el fenómeno de Stiction, condensadas en la tabla 4 (sección 1.9.2).. Capítulo 2. Implementación del Modelo en Software. Para el desarrollo de las simulaciones en este trabajo, se utilizará COMSOL Multiphysics versión 4.0/4.0a. COMSOL es un software comercial de simulación multifísica, desarrollado por COMSOL AB [26]. Se escogió este programa porque, dentro de sus físicas, permite modelar sistemas electrostáticos y sistemas mecánicos. Así mismo, de acuerdo con el fabricante, puede ser utilizado para simular MEMS; sin embargo, el objetivo es utilizar COMSOL para simular NEMS. Para este 19.

(21) caso particular, de un actuador basado en CNT, los resultados de las secciones 1,6 y 1,7 avalan el uso de paquetes de software como COMSOL. El diagrama de las partes del actuador se muestra en la figura 5.. Figura 5: Diagrama de los elementos constitutivos del actuador, se incluyen también las dimensiones geométricas importantes; éstas serán variadas como parte del análisis. L corresponde a la longitud, h a la altura sobre el sustrato, d al diámetro. Para las simulaciones, se utilizará un modelo 2D. Las entradas del programa serán: . Geometría del actuador. (Largo, diámetro, altura al sustrato). . Material del CNT. . Voltaje Aplicado. Del modelo se espera obtener los siguientes resultados: . Valores de Deflexión para el CNT.. . Voltajes de Adhesión (Vpi). . Voltajes de Restitución (Vpo).. 2.1. Descripción de fenómenos físicos en el Software. Para la implementación del actuador en COMSOL, es necesario traducir los fenómenos físicos que describen al actuador a las físicas del programa, las físicas son el conjunto de ecuaciones que serán resueltas por el programa y representan un conjunto de fenómenos físicos; COMSOL es un software de simulación multifísica, esto significa que el problema puede estar descrito por distintas físicas dentro del software y éstas pueden compartir resultados entre sí, lo cual permite obtener resultados que integren a todos los fenómenos [27], [28]. La figura 6 proporciona una comparación entre el fenómeno físico en la realidad y las físicas y pasos necesarios para su descripción en el software de simulación.. 20.

(22) Figura 6: Descripción de la implementación del fenómeno de Pull In software, las entradas son comunes tanto al fenómeno físico como a la simulación. El proceso de deformación se implementa mediante el uso de dos físicas y la herramienta de enmallado móvil. La identificación del fenómeno de Pull In es visual, para el caso de un actuador real [13], para la simulación se realiza a partir de la gráfica de deformación-voltaje.. La implementación detallada y los comandos necesarios que cada uno de los elementos en la figura 6 es el objetivo de este capítulo. Las descripciones se harán a modo de tutorial, los comandos de software así como los valores que deben introducirse al programa serán identificados en negrita. La figura 7 muestra un esquema de cada una de las secciones en la implementación del modelo computacional.. 21.

(23) Figura 7: Diagrama del proceso de implementación del actuador en COMSOL; la sección 2.2 corresponderá a la definición de la geometría del problema, de allí se obtienen bordes y dominios sobre los cuales se aplicarán los materiales en la sección 2.3. La sección 2.4 corresponde a la configuración de las físicas y herramientas de simulación. Los parámetros se definirán en la sección 2.5; por último se realiza el enmallado en la sección 2.6, lo que deja la implementación lista para ejecutarse.. 2.2. Geometría La geometría define qué elementos del modelo corresponderán a los materiales, en este caso CNT y aire. A su vez, es el punto de partida de cualquier modelo que se desee implementar en COMSOL. . Abra un archivo nuevo en COMSOL. . En la pestaña Model Wizard seleccione 2D.. . Haga clic en el botón Next localizado en la esquina superior izquierda.. . La pantalla cambiará a Add Physics, pero no se especificarán las físicas todavía, así que haga clic en Next, nuevamente.. 22.

(24) . Seleccione Stationary del menú desplegable. Este será el tipo de estudio utilizado y es estacionario puesto que los voltajes no cambiarán en el tiempo.. . Finalmente, presione el botón Finish. Esto abrirá un espacio de trabajo bidimensional y la pantalla geometry. Allí, si se desea, puede cambiarse el sistema de unidades utilizado, para este caso se ha dejado el valor por defecto [m]. Para crear los rectángulos que corresponderán al CNT y el aire debe hacerse clic derecho sobre geometry y seleccionar de allí rectangle, este primer rectángulo será el que corresponda posteriormente al CNT. . Dentro del menú de Rectangle se debe introducir la posición y el tamaño.. . Dentro del campo Width introduzca la letra L (corresponderá a la longitud del CNT). . Dentro del campo Height introduzca D_ext (corresponderá al diámetro). . Las letras cambiarán a color rojo, puesto que no se le ha dicho al programa que significan todavía, son parámetros que se variarán con la simulación y se definirán en la sección 2.4.. . En el campo X del submenú Position introduzca un cero. . Mientras que en el campo Y del mismo submenú introduzca height (esto dará la altura sobre el sustrato).. Un segundo rectángulo corresponderá al aire que rodea al actuador. Éste tendrá una dimensión fija en su altura, mientras que variará en su largo, dependiendo del largo del CNT que se esté simulando. . Cree un rectángulo de la misma forma que en el paso anterior.. . En Position deje tanto x cómo y en cero.. . En height introduzca 5e-6. (esto dará un alto de 5µm constante). . Y en width introduzca L+2e-6. (el parámetro L permite variar el ancho). Un tercer rectángulo, que también corresponderá al aire, debe introducirse para obtener un enmallado uniforme, esto se requiere para los cálculos de fuerza electrostática. Este rectángulo estará ubicado en el espacio entre el CNT y el otro rectángulo de aire, con las siguientes dimensiones: . Width: 2e-6. . Height: D_ext 23.

(25) . Position X: L. . Position Y: height.. En la figura 8 se muestra el proceso terminado, donde R1 corresponde al actuador, y R2-R3 corresponden al aire. La frontera inferior de R2 hará las veces de sustrato cuando se definan las físicas.. Figura 8: Captura de pantalla donde se muestra la geometría terminada, r1 corresponderá al CNT mientras que r2 y r3 serán definidos como aire. (Dimensiones en metros).. 2.3. Materiales. COMSOL divide los elementos geométricos creados en la sección 2.1 en dominios. En este momento, la función de los dominios será delimitar los materiales a utilizar en el modelo. Se utilizarán dos materiales: el CNT, cuyas propiedades fueron definidas en la sección 1.7 y aire. Para el electrodo de tierra se utilizará una condición de frontera, así que no es necesario definir explícitamente el metal. La figura 9 muestra los dominios creados por el programa a partir de la geometría en la sección anterior. 24.

(26) 3 4. 2 1. Figura 9: Dominios creados por COMSOL después de ser introducida la geometría, cada uno de estos dominios corresponde a un conjunto de propiedades sobre las cuales será aplicada después una física.. . Dentro de la pestaña Model Builder se encuentra el submenú Materials, haciendo clic derecho sobre éste, se despliega la opción Open Material Browser.. . En este seleccione Built in->Air, haciendo clic derecho adiciónelo al modelo.. . Aparecerá debajo de Materials en Model Browser, allí la segunda opción, denominada Selection debe cambiarse a Manual, esto permitirá especificar el material únicamente en los dominios deseados.. . De acuerdo a la figura 9 seleccione el dominio 2 y haga clic en el signo (-) allí ubicado, esto deseleccionará el dominio 2 y lo dejará libre para ser definido como CNT.. El CNT es un material especial, de manera que no se encuentra en la librería predeterminada del programa, lo que se hará es tomar las propiedades de la sección 1.7 e introducirlas en el material C [100] presente en la librería, de la siguiente forma: . En Material Browser introduzca en el campo de búsqueda C [100] y adiciónelo al modelo. . Defina C [100] en el dominio 2, según la figura 9, siguiendo los pasos anteriores.. Una vez dentro de los materiales del modelo, se selecciona y en el submenú Material Contents se cambian los valores de las propiedades, bajo la convención Valor [unidades]. 25.

(27) 2.4. Físicas Se utilizarán las físicas de Electrostática y Mecánica del continuo para modelar el comportamiento del actuador. Adicionalmente, se utilizará la herramienta de enmallado móvil del programa para poder acoplar las distintas físicas entre sí. Éstas físicas se definen en COMSOL como: . Electrostatics (es). . Solid Mechanics (solid). . Moving Mesh (ale). El primer paso es adicionar las físicas al modelo: . Haciendo clic derecho en Model1 en Model Builder, seleccionar Add Physics.. . La primera será electrostática, encontrada bajo AC/DC-> electrostatics.. . se adiciona haciendo clic derecho sobre Add Selected. De acuerdo con el esquema de la figura 6, el uso dado a la física electrostática es el de calcular la fuerza electrostática entre el CNT y el sustrato, basado en el voltaje de excitación. Una vez adicionada la física aparecerá dentro del Model Builder como un menú expansible. . El submenú Charge Conservation 1 menciona las ecuaciones y los dominios sobre los cuales está actuando la física, en este caso 1, 2, 3 y 4, según el esquema en la figura 5.. . También muestra las ecuaciones que el programa resolverá, una vez se le den las condiciones de dominio y de borde.. Dichas ecuaciones son: ⃗ ⃗. 26.

(28) . El submenú Zero Charge se obtiene por defecto, al igual que el anterior, y es una condición de borde, ésta hace la carga cero en todas las paredes del rectángulo 2.. . El submenú Initial Values se deja en su valor por defecto de 0V, ya que corresponde a las condiciones iniciales de voltaje para los dominios.. . El voltaje de excitación (en adelante V_in) se especifica añadiendo el submenú Electric Potential, correspondiente a una condición de borde. Se selecciona el borde inferior del CNT y en el campo V0 se introduce la expresión V_in (nuevamente un parámetro).. . Para añadir tierra se agrega el submenú Ground. En éste se define como tierra el borde inferior de R2.. . El cálculo de fuerzas electrostáticas se habilita añadiendo el menú Force Calculation.. . Se selecciona el dominio 2 (según la figura 5) donde se calculará la fuerza y se nombra Fes.. En este punto ya se encuentra lista la física Electrostatics. El siguiente paso es configurar Mecánica del continuo e insertar Fes dentro de ésta para poder obtener las deformaciones. . La física se encuentra en el menú Add Physics->Structural Mechanics->Solid Mechanics.. . Esta física sólo se define sobre el dominio 2 (según la figura 5). . Al igual que en electrostática, también hay aquí valores iniciales, que se dejan también en su valor por defecto de 0V correspondientes en este caso al desplazamiento y velocidad iniciales.. . Se añade la condición de borde Fixed Constraint que representará los elementos que se mantendrán fijos. Esto representa el anclaje del CNT y corresponde a la pared izquierda de éste, de acuerdo con la figura 4.. . Por el contrario, los otros 3 bordes son libres de moverse, esto se realiza añadiendo la condición Free y seleccionando los demás bordes del CNT.. . Las fuerzas (distribuidas) se incorporan como Boundary Load, este proceso debe realizarse dos veces, para poder adicionar tanto la fuerza electrostática como la fuerza de restitución elástica. 27.

(29) . La fuerza eléctrica proviene de la física electrostática. Allí se le dio el nombre Fes; en Boundary load se selecciona el borde inferior del CNT y se introduce en el campo X la expresión es.nTx_Fes y en el campo Y la expresión es.nTy_Fes correspondiente a las componentes vertical y horizontal de la fuerza electrostática.. . Un segundo Boundary Load permite adicionar la fuerza elástica de restitución. En este caso el borde es el borde superior del CNT el seleccionado en la ventana Boundaries. La fuerza se define como –K*v en el campo Y, con Total Force en el menú desplegable Load Type.. . K es la constante de elasticidad, nuevamente es un parámetro, mientras que v es la deformación.. Finalmente, Moving Mesh permite adaptar el enmallado a los cambios producidos por las deflexiones del elemento. Aunque no es una física, se encuentra junto a éstas en el menú Add Physics. . Se llega a ella por: Mathematics->Deformed Mesh->Moving Mesh. . La condición Free Deformation se aplica a los dominios 1,3 y 4 cuyo material es aire, para tomar en cuenta que el aire sólo se atravesará y por ende las deformaciones del enmallado allí no serán relevantes.. . La condición Prescribed Deformation, definida en el dominio 2, correspondiente al CNT, hará los cambios en la malla según la deformación proveniente de la física mecánica. Esto se logra introduciendo la expresión u en el campo dx y la expresión v en el campo dy.. . Para las fronteras, se sigue un proceso similar. En este caso se utiliza Prescribed mesh Displacement seleccionando los bordes libres del CNT, tal como se hizo con la condición Free de la física mecánica. Nuevamente se introducen las expresiones u en el campo dx y la expresión v en el campo dy.. 28.

(30) 2.5. Enmallado El enmallado se encuentra dentro de la sección Mesh en el Model Builder. . Al hacer clic derecho, proporciona las distintas opciones para realizar el enmallado del sistema, se selecciona Mapped.. Mapped crea una cuadrícula uniforme sobre las superficies que se deseen enmallar (en este caso toda la geometría). . El siguiente paso consiste en especificar la densidad de la malla. Allí debe especificarse, en Element Size, la opción Extremely Fine, que proporciona la mayor resolución de enmallado. Expandiendo la pestaña Element Size Parameters, se tiene un tamaño mínimo de cuadrícula de 3x10-10 m y un máximo de 1,5x10-7 m.. Es importante especificar tanto el tipo de enmallado como los tamaños de los elementos que lo conformarán. El enmallado influye sobre el cálculo de la fuerza electrostática, repercutiendo de manera directa en la deflexión. A continuación se comparan las opciones por defecto de enmallado (Free Triangular para el tipo de enmallado y Element Size: Normal) junto con la opción escogida y una más, para una longitud de 10µm un diámetro de 100nm y una altura al sustrato de 3,5µm, con un Vpi esperado de 64,5V según la teoría. Tipo de do/Densidad. Enmalla- Deformación Teórico. a. Vpi Vpi Calculado. Tiempo de Simulación. Free Triangular/Normal. 3,07x10-6 (12%). No Calculado. 218 s.. Mapped/Normal. 3,21x10-6 (8%). No Calculado. 30 s.. Mapped/Extremely Fine. No Convergencia. 67,5V. 482 s.. Tabla 5: Comparación de distintos tipos de enmallado, tiempos de simulación y resultados esperados.. De donde se puede observar la influencia de un enmallado fino sobre otros más gruesos. En este caso es necesario sacrificar rapidez de cómputo para poder obtener resultados. Por otra parte, las dimensiones del enmallado deben ser consistentes con las dimensiones del problema, una resolución mínima de los elementos superior a las longitudes del problema repercutirá en que no se encuentren los resultados deseados, como se puede ver en la tabla 5, donde para los enmallados más gruesos, no fue posible encontrar el voltaje de adhesión. 29.

(31) 2.6. Parámetros y Soluciones Las cantidades a parametrizar se definen en el menú Global Definitions->Parameters, allí se introduce el nombre del parámetro y su valor o expresión algebraica. Parámetro. Nombre del parámetro. Valor(es) [unidades] [referencia]. Longitud del CNT. L. 1-20[µm] [12],[13]. Diámetro del CNT. d. 10-110[nm] [12],[13]. Altura al sustrato. height. 0,1-3,9[µm] [12],[13]. Voltaje de entrada. V_in. 0-50 [V] [12],[13]. Constante de elasticidad. K. [N m-1] [4],[23]. Tabla 6: Lista de parámetros incluidos dentro de la implementación en COMSOL, los rangos de valores y/o ecuaciones provienen de las referencias experimentales mencionadas. Es importante aclarar la diferencia entre parámetro y variable en COMSOL, allí una variable es un resultado numérico que puede ser utilizado entre físicas o entre modelos. Un parámetro, por el contrario, es un valor de entrada al modelo, que puede variarse para obtener distintos resultados en la simulación. El último paso es dar los límites de la solución, por default se tiene un Study 1, dentro de éste la opción Stationary o Step1: Stationary, permite realizar un análisis paramétrico. Dentro de ésta, se selecciona el Voltaje de entrada, y se especifica el rango de valores, así como el espacio entre éstos. Por último se selecciona Study 1 y se hace clic derecho en Compute, después de un tiempo (dependiente de la máquina, densidad del enmallado y físicas involucradas) se obtienen las soluciones; en el caso particular para el voltaje de adhesión, se requiere una inspección a fondo de las soluciones, que será descrita en la sección 2.9.. 2.7. Limitaciones de COMSOL Multiphysics El voltaje de adhesión se entiende computacionalmente como un punto donde las soluciones a las ecuaciones del modelo no convergen. Por tanto una sola implementación no puede abarcar los eventos de pull in y pull out ya que en el momento donde alcance el voltaje de adhesión (Vpi) se considerará una inestabilidad en la solución y la ejecución de la simulación se detendrá. Esto hace 30.

(32) necesario partir el modelo en dos partes, una que calcule el voltaje de adhesión y otra conteniendo los fenómenos de stiction y el voltaje de restitución. Así mismo, otra limitante del programa derivada de dicha inestabilidad, es la poca automatización al momento de obtener los resultados. Al intentar un barrido paramétrico respecto a más de un elemento, debe especificarse individualmente los pares de valores a evaluar. Adicionalmente, cualquier error de convergencia, como el encontrado al identificar el voltaje de adhesión, detendrá todo el proceso. Esto obliga a hacer la variación de parámetros manual, derivando en una pérdida de automatización en el proceso de simulación.. 2.8. Cambios para implementar Stiction y Pull Out.. Figura 10: Cantiléver adherido al sustrato, al alcanzar el voltaje V pi. La porción adherida al sustrato se denomina Lc. La figura 10 muestra el cantiléver después de Vpi ha ocurrido. Para desarrollar el modelo correspondiente a Vpo y tomar en consideración la fuerza de adhesión al sustrato del CNT, el modelo debe modificarse. Las modificaciones son: . Adicionar un rectángulo más, de longitud Lc para tomar en cuenta Lc, esto implica reducir r1 (representando al CNT) a un valor L-Lc.. . En el menú Geometry seleccionar Union con las opciones Keep Boundaries, esto hará que se interpreten tanto el rectángulo anterior como el nuevo como un mismo material, al tiempo que permite diferenciar cuáles partes serán sometidas a stiction y cuáles no.. . Cambiar el valor del parámetro K a (. ). para tomar en cuenta la fuerza de restitu-. ción con el CNT adherido. El valor de K proviene de [23]. . Debe añadirse una nueva fuerza para tomar en cuenta la fuerza de stiction, esto se hace adicionando un nuevo Boundary Load sobre la parte inferior del rectángulo de longitud Lstict, esta fuerza se define como Total Force con un valor correspondiente a la energía de adhesión del material, multiplicado por Lc. 31.

(33) . Por último se debe cambiar el sentido del barrido paramétrico de voltaje, que irá en adelante desde Vpi hasta un valor cercano a 0. Es importante dejar en claro que los pasos del parámetro deben ser negativos, de la forma range(Vpi,-paso, fin), de lo contrario al calcular las soluciones se obtendrá un mensaje de error mencionando una lista de parámetros vacía.. 2.9. Identificación del fenómeno de Pull In en COMSOL. El fenómeno de pull in en COMSOL Multiphysics surge como resultado de la no convergencia de las ecuaciones que conforman el modelo del actuador electrostático simulado. La simulación integra dos físicas: Electrostática y Mecánica, más la herramienta de malla móvil. De acuerdo con la teoría del fenómeno (Ver sección 1.8), cuando éste ocurra habrá colapsado el actuador con el sustrato. Computacionalmente se entiende como una no convergencia de las ecuaciones debido a que la deformación que dicho valor de voltaje ha impuesto genera o bien un cruce de dos fronteras que normalmente no deberían cruzarse (punta cargada y sustrato a tierra) o bien un cambio súbito en el perfil de la deflexión. Todo lo anterior hace que el programa se detenga o bien no pueda estabilizar las soluciones después de ése punto; de allí que el Voltaje de adhesión (Vpi) no tenga una única forma de identificarse. Dichas formas son: . Por error explícito en Convergencia de los datos: el programa presentará un mensaje de error.(Sección 2.9.1). . Cuando la deformación sobrepasa las fronteras: la deflexión en la gráfica de deformación es mayor que la altura al sustrato. (Sección 2.9.2). . Por comportamiento asintótico de los datos: en el valor de Vpi la gráfica deformaciónvoltaje presentará una asíntota. (Sección 2.9.3). . Por incoherencia de datos posteriores: después de un punto la gráfica deformación-voltaje no es bien comportada. (Sección 2.9.3). 2.9.1. Error en convergencia de los datos. Este punto es fácilmente identificable, por cuanto el Software emite un mensaje apenas ha fallado la convergencia para algún valor. El valor del voltaje de adhesión será el último valor para el cual el software logró hallar una solución coherente. La simulación se detendrá, mostrando un mensaje 32.

(34) de error, como el de la figura 11, donde no ha podido encontrar una solución para todos los parámetros.. Figura 11: Mensaje de error indicando que no se ha encontrado una solución para todos los parámetros entrados. Esto indica que la simulación ha terminado.. 2.9.2. Deformación sobrepasa fronteras En este caso, el último valor o serie de valores en el barrido de voltaje han sobrepasado el límite inferior que corresponde al sustrato del actuador. Físicamente esto no es posible, ya que no se espera que el cantiléver perfore el sustrato mucho mayor que éste. Se define allí el voltaje de pull in como el valor de voltaje al cual empieza a presentarse dicha deformación, según como se muestra en la figura 12. En este caso en particular, la deflexión de la punta es superior a 0,6µm, valor de la altura entre el CNT y el sustrato. Así mismo, de acuerdo con la teoría de Pull In (Sección 1.8), se considera que el fenómeno de pull in ha ocurrido para cualquier cociente δ/h menor al 67%; en este caso es del 58,3%.. Figura 12 Deflexión causada por el Pull-in, puede apreciarse que el cantiléver se ha deflectado más allá del plano de tierra, indicando pull in (en este caso con un valor de 7,4VDC), detalle de Vpi indicado en rojo.. 33.

(35) 2.9.3. Comportamiento asintótico de los datos e inconsistencia de datos posteriores Para este caso, no se observa únicamente la gráfica correspondiente a la deformación apreciable del modelo, sino la curva que recorre la deformación a lo largo de todo el barrido de voltaje, ilustrada en la figura 13. Aquí el voltaje de pull in se determina como el punto donde hay un cambio abrupto en el perfil de la deformación. Se sugiere que esta prueba se haga en conjunto con las demás, ya que el perfil de deformación permite ver cómo ha variado la deflexión a lo largo del barrido de voltaje y también permite discernir hasta qué punto los datos son válidos o no. En ocasiones se presenta una situación donde se ha dado la caída correspondiente a Vpi en un cierto valor de datos para posteriormente a un valor más alto volver a subir, o en un caso más benigno estabilizarse después de haber caído al nivel de Vpi.. Figura 13: Perfil de deflexión del cantiléver (evaluado en su punta) versus voltaje aplicado. Los datos son inconsistentes después de la primera asíntota, donde se considera que ha ocurrido Pull-in, demarcado por un círculo rojo (V=5,6 VDC para el caso de la izquierda y V=10,8VDC para el de la derecha.. 2.10. Generando las Gráficas para obtener el voltaje de adhesión. El análisis parte de un barrido en voltaje DC el cual dará los voltajes de pull in a medida que las no convergencias vayan apareciendo. . Expanda el menú Study de la Pestaña Model Builder.. . En el estudio “Step 1: Stationary”o similar, seleccione Continuation analysis y escoja un parámetro para definir el voltaje de entrada.. . Defina el rango o los valores del parámetro (se sugiere utilizar la función range(inicio,paso, fin)). . De clic derecho en Study y seleccione Compute (se identifica por un símbolo de = verde) 34.

(36) . El software empezará a calcular las soluciones.. El postprocesamiento se realiza una vez el programa ha terminado de calcular, en el menú Results de la pestaña Model Builder. . Expanda 2D Plot Group 1, la gráfica Surface 1 mostrará un diagrama del actuador con una leyenda de colores refiriéndose al movimiento respecto a su posición original del cantiléver.. . Para ver la deformación, haga clic derecho en Surface 1 y seleccione Deformation, aparecerá una nueva rama en el árbol de Surface 1 y allí podrá ver la deflexión.. . Esta deflexión maneja un valor de autoescala, seleccione Deformation, haga clic en Scale e ingrese un valor de 1; esto mostrará la deformación real.. Por último se hace necesario ver el perfil de la deformación a lo largo del barrido de voltaje, esto se hace con una gráfica que muestre la deflexión en el eje horizontal en función del voltaje aplicado. . En el menú Results, haga clic derecho y seleccione 1D plot Group. Esto permitirá graficar variables en modo X-Y.. . En 1D plot Group 1, que acaba de crearse, en el menú de clic derecho seleccione Point Graph. Aparecerá un dibujo del actuador con diversos puntos de interés, seleccione el valor correspondiente a la esquina inferior derecha, ya que este es el punto que posee la mayor deformación y en tal caso será el primero en tocar el sustrato.. . En el campo Expression introduzca la variable v, ésta corresponde a la deflexión en el eje vertical. En el campo X-axis data asegúrese que aparezca Parameter Value.. A partir de estas dos gráficas es posible obtener toda la información necesaria para determinar los voltajes de Pull-in.. 2.11. Interpretando el voltaje de Restitución. En este caso se cuenta con un barrido desde Vpi hasta un valor cercano a 0, este barrido significa una reducción del voltaje, que a su vez es una reducción en la fuerza electrostática. Es posible que esta reducción, inclusive con un voltaje mínimo (del orden de 0.1 a 1V), no logre levantar al CNT 35.

(37) de su posición adherida. En este caso el software mostrará un mensaje igual al de la figura 11. Es posible que esto suceda para todos los valores o sólo para unos cuantos, así que debe irse refinando la búsqueda hasta buscar un valor para el cual la simulación converja. En la siguiente tabla se muestran las formas de identificar los resultados del fenómeno. . Acción. . Resultado. . No convergencia para ningún valor. . Stiction, no hay Vpo. . No convergencia o deflexión 0 para valo-  res cercanos a Vpi y deflexiones <5nm para los demás. Stiction, no hay Vpo, aunque el CNT se levantará.. . No convergencia o deflexión 0 para valo-  res cercanos a Vpi y deflexiones ≥5nm después de un valor de voltaje dado. Stiction presente, pero es superada y Vpo corresponderá a la deflexión de 5nm. Tabla 7: Identificación de los fenómenos de Stiction y voltajes de restitución para analizar los resultados arrojados por la implementación computacional en COMSOL.. El valor de 5nm en la deflexión se define como el límite para el cual actúa la fuerza de adhesión entre las 2 superficies, éste fue hallado de manera experimental en [12] y [13].. 2.12. Ecuaciones del Modelo Adicional a las ecuaciones introducidas en la sección 2.3, cada física tiene dentro de sí las ecuaciones que serán resueltas por COMSOL, utilizando el método de elementos finitos. Los puntos más importantes son el cálculo de la fuerza electrostática, dependiente del voltaje aplicado y la deformación ocasionada por las fuerzas mecánicas, cuyo cálculo generará la deflexión del CNT y finalmente el valor del voltaje de adhesión. 2.11.1 Cálculo de Fuerzas electrostáticas Ref. [29]. Cuando en la sección 2.3 se ha seleccionado la opción Force Calculation, se da la orden al software que incluya el cálculo de fuerzas electrostáticas. Estas fuerzas son dependientes de las condiciones de frontera impuestas al momento de resolver las ecuaciones de Maxwell. Para este modelo, las ecuaciones son: ⃗ ⃗. (. ). (. ) 36.

(38) (. ). Éstas se seleccionan cuando, de acuerdo con el proceso de la sección 2.4, se incluye Charge Conservation 1. El programa calculará un valor de fuerza electrostática por voltaje de entrada, por geometría, de manera que se tiene en cuenta el cambio en la fuerza que ocasionan las variaciones de geometría [29]. Para la fuerza electrostática, se resuelve la ecuación: ∮. (. ). Donde n1 es un vector normal a la superficie de integración,. corresponde a la frontera del vo-. lumen de integración, en el caso general y T2 es un tensor que incluye las contribuciones de los campos eléctricos y magnéticos sobre el dominio de integración. Al tratarse de un problema de electrostática, no se toman en cuenta las componentes temporales de los campos B y D, de manera que los efectos de inducción no se tomarán en cuenta. La expresión para n1T2 está dada por: (. (. ). ). (. ). (. ). Donde p corresponde a la presión del aire. 2.11.2 Cálculo de Deformaciones mecánicas. Ref. [30]. El valor dado por la ecuación 31 se introduce dentro del análisis realizado por la física de mecánica de sólidos, encargada de calcular las deformaciones. Debido a que el material se ha asumido uniforme en todas las direcciones, de acuerdo a lo discutido en las secciones 1.6 y 1.7. El esfuerzo y la deformación seguirán la relación: (. ). Donde E es el módulo de elasticidad del material. La deformación viene dada por el desplazamiento en todas direcciones. (. ). (. ) 37.

(39) El software resuelve las fuerzas externas, deformaciones internas y externas a partir del principio de trabajo virtual, se toma en cuenta fuerzas que afecten a todo el cuerpo, a superficies, bordes y fuerzas puntuales. Dicha formulación viene dada por la ecuación: ∫(. ). ∫(. ). ). ∫( (. ∑(. ). (. ). ). El primer término corresponde a las fuerzas sobre todo el volumen del dominio, el segundo a fuerzas sobre la superficie, el tercero a fuerzas presentes en las fronteras (boundary load) y la sumatoria corresponde a las fuerzas puntuales sobre el cuerpo. Es en este punto donde la fuerza obtenida en la ecuación (31) se añade al modelo, acoplando la física electrostática con la mecánica de sólidos. Esto relaciona, el voltaje aplicado con la deformación del cuerpo (el CNT), permitiendo obtener las curvas de las cuales se obtendrá el voltaje de adhesión, resolviendo la ecuación (35) y (36) para . Si el caso es obtener el voltaje de restitución, la fuerza correspondiente la adhesión entre las dos superficies estará contemplada como una carga adicional dentro de la ecuación (35).. Capítulo 3. Discusión de Resultados. Los resultados que se analizarán provienen de las simulaciones del modelo para obtener voltajes de adhesión (Vpi) y el modelo para observar la influencia del fenómeno de Stiction y obtener voltajes de restitución (Vpo). Como primera medida se mostrarán los resultados correspondientes a las simulaciones de Vpi respecto a variaciones en la geometría del CNT. Se examinarán variaciones en diámetro del CNT, longitud y altura sobre el sustrato. La validación de las simulaciones proviene de datos experimentales, para el modelo de Vpi provienen de los experimentos realizados en [12] y [13] mientras que. 38.

(40) para el modelo de Stiction y Vpo, provienen de [14]. Un resumen de los valores experimentales utilizados para validar las simulaciones se muestra en la tabla 8. Experimento. Largo [µm]. Diámetro[nm]. Altura al sustrato[µm]. 1 2 3 4 5 6 7. 6,8 7 6,6 7 9 7,9 6. 47 80 60 100 100 100 90. 3 1 1 1 0,9 0,55 0,8. Vpi Experimental (V) 48 32 19,2 41 28 17 36. Tabla 8: Resumen de los valores experimentales utilizados para validar las simulaciones, tomado de [14].. 3.1. Variaciones de Geometría. Para el análisis de las variaciones de geometría, se tendrá en cuenta tres variables: altura al sustrato, diámetro del CNT y largo de éste. Los análisis involucrarán 2 cantidades geométricas variables y una constante, las gráficas presentadas serán: . Voltaje de adhesión en función de la distancia al sustrato, para distintos diámetros con una longitud constante del CNT. (Sección 3.1.1).. . Voltaje de adhesión en función de la distancia al sustrato, para distintas longitudes con un diámetro constante del CNT. (Sección 3.1.2).. . Voltaje de adhesión en función de longitud del CNT, para distintas alturas al sustrato con un diámetro constante del CNT. (Sección 3.1.3).. . Voltaje de adhesión en función de longitud del CNT, para distintos diámetros para una altura constante al sustrato. (Sección 3.1.4).. . Voltaje de adhesión en función del diámetro del CNT, para distintas longitudes con una altura constante del CNT sobre el sustrato. (Sección 3.1.5).. . Voltaje de adhesión en función del diámetro del CNT, para distintas alturas al sustrato con una longitud constante del CNT. (Sección 3.1.6).. 39.

(41) 3.1.1. Variación de Vpi respecto a la distancia al sustrato, para distintos diámetros, a longitud constante del CNT. Para este análisis, cuyos resultados se presentan en la gráfica 1, se simuló un rango de distancias al sustrato de 1µm a 4µm, la variación en los diámetros del CNT va desde 10nm hasta 70nm, en pasos de 20nm. El rango de voltajes obtenidos osciló entre 0,1 y 80V; de esta gráfica se extraen las siguientes conclusiones: . Para una distancia constante al sustrato de 0,2µm los voltajes de adhesión (Vpi), son inferiores a 1V para todas las variaciones en diámetro. El valor mínimo corresponde a un diámetro de 10nm y un Vpi de 30mV mientras que el valor máximo, para un diámetro de 70nm, es de 0,8V.. . Para una distancia de 0,2µm, un incremento de 20nm en el diámetro muestra un aumento constante de 0,2V en el valor de Vpi.. . La variación máxima entre 10nm y 70nm, para una altura fija de 0,2µm, es de ~0,7V.. . Para diámetros iguales a 10nm, Vpi es aproximadamente constante respecto a la altura al sustrato, para el rango de 1 a 4µm. con una variación total inferior a 2V para dicho rango.. . Si se aumenta el diámetro, aumenta la pendiente de la curva Vpi-Altura al sustrato.. . Para diámetros más grandes, para este caso en el rango de 30nm a 70nm, el aumento en la pendiente indica una mayor sensibilidad a los cambios en la altura al sustrato. Para 50nm de diámetro se tiene una sensibilidad de 11,4 V/µm, mientras para 70nm de diámetro se tiene un valor de 19,8 V/µm.. . Para una distancia fija grande, dentro de la escala (4µm), la variación en diámetro genera cambios apreciables en Vpi. Para este valor se tiene una variación total de 75V entre 10nm y 70nm.. . Para una longitud fija de 4µm, el aumento de diámetro no trae consigo un aumento constante del Vpi. El aumento de 10nm a 30 nm genera un aumento de 13,6V, el de 30nm a 50nm es de 28,3V y de 32,4V de 50 a 70nm.. 40.