Modelo y caracterización del patrón de flujo en un sistema propulsivo - (pequeño motor-cohete)

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(1)MODELO Y CARACTERIZACION DEL PATRON DE FLUJO EN UN SISTEMA PROPULSIVO (PEQUEÑO MOTOR-COHETE). CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA MIM-2002-II-05. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECANICA AREA DE CONVERSIÓN DE ENERGIA 2003.

(2) MODELO Y CARACTERIZACION DEL PATRON DE FLUJO EN UN SISTEMA PROPULSIVO (PEQUEÑO MOTOR-COHETE). TRABAJO DE GRADO PARA OPTAR AL TITULO DE MAGÍSTER EN INGENIERIA MECANICA. ASESOR MSc. JOSE RAFAEL TORO COASESOR PhD, MSc FABIO ROJAS. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECANICA AREA DE CONVERSIÓN DE ENERGIA 2003.

(3) DEDICATORIA. Con todo mi amor, sacrificio y entrega a mi hijo Joseph.... Por toda tu comprensión y apoyo Andrea... A mi eterno consejero, amigo y compañero... ...El viento....

(4) AGRADECIMIENTOS. El autor del presente proyecto de grado , expresa su eterno agradecimiento a todos aquellos quienes manifestaron una verdadera voz de aliento durante el largo camino que se recorrió hasta que este proyecto tuviera luz propia. A todos con quienes la amistad se fortaleció en los duros momentos, en los de duda y en los de felicidad, quiero expresarles mi voz de afecto y agradecimiento, por ser ellos quienes permitieron que alcanzara mi destino, aún contra los fuertes vientos que arreciaron en el trayecto, gracias a sus oportunas contribuciones, manifestaciones de apoyo, o simplemente con sus verdaderas expresiones de desinteresada ayuda. A todos ellos, mis más profundos deseos de alegría, éxito y felicidad, pues su apoyo merece eso y mucho más. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Ingeniero Fabio Rojas, Ingeniero Rafael Toro, y demás miembros de la universidad que me prestaron su invaluable conocimiento y apoyo.. A mi amigo, compañero y leal consejero. Ingeniero Gabriel Meluk, por su apoyo y creencia en un final diferente. A él mis eternos agradecimientos y deseos de que su universo permanezca como un halo de luz en nuestras vidas. Al Ingeniero Julio Sierra, quien me apoyó y fortaleció en los momentos de duda y quien estuvo siempre creyendo en mí. A él mis eternas gracias....

(5) OBJETIVOS. •. Elaboración de un modelo que cubra las geometrías y valores característicos de la tobera de escape.. •. Determinación de las características de temperatura y presión al interior de la tobera de escape mediante simulación numérica analítica.. •. Presentación de un modelo computacional con el fin de obtener mapas de temperatura, velocidad y presión para el diseño de una plataforma de experimentación..

(6) MIM-2002-II-05. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. TABLA DE CONTENIDO. LISTA DE FIGURAS OBJETIVOS INTRODUCCIÓN 1. INTRODUCCIÓN AL COHETE Y AL MOTOR COHETE 1.1 DESCRIPCION Y ANÁLISIS DINAMICO DEL COHETE 1.1.1 Parámetros estáticos 1.1.1.1 Empuje 1.1.1.2 Impulso específico 1.1.2 Parámetros dinámicos 1.1.2.1 Aceleración del vehículo 1.1.2.2 Gravedad 1.1.2.3 Arrastre 1.1.2.4 Cálculo numérico del coeficiente de arrastre en función del número de Mach 1.2 Ecuación dinámica caracterísitca 1.2.1 TIPOS DE MOTOR COHETE Y DESCRIPCIÓN DEL FUNCIONAMIENTO 1.2.2 Descripción y operación de un motor cohete 1.2.2.1 Tipos de motor cohete 1.2.2.1.1 Motor cohete químico 1.2.2.1.1.1 Motor cohete químico de propelente líquido 1.2.2.1.1.2 Motor cohete químico de propelente sólido 1.2.2.1.1.3 Motor cohete químico híbrido 1.2.2.1.3 Motor cohete nuclear 1.2.2.1.4 Motor cohete eléctrico 1.2.2.1.5 Motor cohete solar y fotónico 1.2.2.1.6 Motor cohete fotónico 2. 2.1 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.4 2.5 2.6 2.6.1 2.7. DUCTO PROPULSIVO : TOBERA DE LAVAL FLUJO Y REQUERIMIENTOS EN LA TOBERA (Breve análisis del proceso de expansión TEORIA DEL COHETE IDEAL RESUMEN DE RELACIONES TERMODINÁMICAS Relaciones de un gas perfecto Relaciones de entropía – Procesos termodinámicos COMPRESIBILIDAD, VELOCIDAD DEL SONIDO Y NUMERO DE MACH ECUACIONES DE FLUJO COMPRESIBLE, INVISCIDO Y CONDICIONES TOTALES (Estancamiento) FLUJO ISOENTROPICO, COMPRESIBLE CUASIUNIDIMENSIONAL Flujo de masa y velocidad de escape ONDAS DE CHOQUE. 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 12 13 13 14 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 20 20 21 23 24 26 29 31.

(7) MIM-2002-II-05. 2.7.1 2.7.2 2.8 2.9 2.9.1 2.10 2.10.1 2.10.2 2.10.3 2.11 2.11.1 2.11.2 2.11.3 2.11.4 2.12 2.12.1 2.12.2 2.12.3 3. 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 4. 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.3.1. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. Ondas de choque normales estacionarias Ondas de choque oblícuas estacionarias FLUJO DE PRANDTL & MEYER ALREDEDOR DE UNA ESQUINA TEORIA MATEMÁTICA DE LAS CARACTERÍSTICAS Ecuaciones de compatibilidad PROCEDIMIENTO DE SOLUCION DEL MÉTODO DE LAS CARACTERÍSTICAS (MOC) PARA DUCTOS SUPERSONICOS Puntos internos Puntos de frontera sólida Frontera de presión constante DISEÑO DE TOBERAS SUPERSÓNICAS Intersección de ondas de expansión Reflexión de las ondas de expansión por una pared Neutralización de las ondas de expansión Toberas de mínima longitud CONSIDERACIONES FINALES SOBRE EL FLUJO INVISCIDO, ESTACIONARIO EN UN DUCTO CONVERGENTE-DIVERGENTE Tipo 1: Flujo subsónico en toda la tobera Tipo 2: Flujo supersónico y ondas de choque normales en la sección divergente Tipo 3: Flujo isoentrópico y supersónico a través de toda la tobera. 31. 32 35 36 38 39 39 40 41 42 43 44 44 44 45 46 46 47. DISEÑO DEL DUCTO PROPULSIVO: TOBERA DE LAVAL RELACIONES BASICAS PARA UN DISEÑO PRELIMINAR. Coeficiente de Empuje y Velocidad Característica CÁLCULOS PRELIMINARES Y DISEÑO INICIAL Definición de la Misión. Primeras consideraciones: Empuje de diseño Procedimiento de solución. 48. CARACTERIZACION EXPERIMENTAL DEL MOTOR COHETE LA CAMARA DE EMPUJE: CAMARA DE COMBUSTIÓN Y TOBERA DE ESCAPE VARIABLES DEL PROPELENTE Formulación Datos de los componentes Mezcla y preparación PRUEBAS DE LA MEZCLA Caracterización de propiedades: diseño del experimento Elección del tamaño de la muestra Esquema de montaje DESARROLLO DE LOS EXPERIMENTOS Combustión frontal sin tabique Combustión frontal con tabique Combustión de propelente con geometría interna sin tabique Primer experimento. 58. 48 50 50 50 51. 58 61 61 61 62 62 63 64 65 66 66 66 67 67.

(8) MIM-2002-II-05. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. 4.4.3.2 4.4.3.3 4.4.4 4.4.4.1 4.4.4.2 4.4.4.3 4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.3.1 4.5.3.2 4.5.3.3 4.5.3.4 4.5.4 4.5.4.1 4.5.4.2 4.6 4.7. Segundo experimento Tercer experimento Combustión de propelente con geometría interna con tabique Primer experimento Segundo experimento Tercer experimento ANÁLISIS ESTADÍSTICO Prueba de idoneidad del modelo Análisis matemático Reducción del problema bifactorial a unifactorial con dos niveles Análisis estadístico para el tiempo de ignición (Start-up) Análisis estadístico para el tiempo de estado estable Análisis estadístico para el tiempo de corte (Tail-off) Análisis estadístico para el empuje Idoneidad del Modelo unifactorial Suposición de normalidad Suposición de homogeneidad e independencia temporal. 5.. MODELAMIENTO NUMERICO DEL FLUJO DE GASES AL INTERIOR DEL MOTOR COHETE. 5.1. 5.2 5.2.1 5.2.1.1 5.2.1.2 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.2.1 5.3.2.2 5.3.2.3 5.4. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES SISTEMAS HIPERBOLICOS Solución de las ecuaciones hiperbólicas Caso general del sistema de conservación Choques y Rarefacciones MÉTODOS DE SOLUCIÓN Método de las características Principales Métodos de Diferencias Finitas Método de Lax – Wendroff Método de Lax Método Upwind SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE EULER DE DINÁMICA DE GASES Ecuaciones de Euler unidimensionales en diferencias finitas Análisis de la cámara de combustión Resultados de la simulación mediante Diferencias Finitas por MATLAB Momentum Velocidad Densidad Presión Modelamiento computacional mediante elementos finitos. 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.3.1 5.4.3.2 5.4.3.3 5.4.3.4 5.4.4. EVALUACION CUALITATIVA DE LA EXPERIMENTACION CONCLUSIONES. 68 68 69 69 70 70 71 71 71 73 73 74 75 76 76 76 78 79 81 82 82 84 87 87 89 92 92 93 93 93 94 94 95 95 97 97 100 101 102 105.

(9) MIM-2002-II-05. 5.4.4.1 5.4.4.2 5.4.4.3 5.4.4.4 5.4.4.5 5.4.4.6 5.4.5 5.4.5.1 5.4.5.2 5.4.5.3 5.4.5.4 5.4.5.5 5.4.5.6 5.4.5.7 5.4.5.8 5.4.5.9 5.4.5.10 5.4.5.11 5.4.5.12 5.5. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. Elementos para la simulación Consideraciones y generalidades Construcción del modelo. geometría Construcción del Modelo: Enmallado Construcción del modelo. Condiciones de carga Condiciones de solución del modelo Solución por elementos finitos del conjunto cámara – Tobera – zona de descarga - Modelo de cámara de combustión con core: Velocidad Presión Densidad Número de Mach Temperatura Velocidad Axial – Dirección X Velocidad Radial – Velocidades en la dirección Y. Traza de las velocidades en la dirección axial Viscosidad Progresión de la velocidad Progresión de la presión Progresión de la velocidad axial CONCLUSIONES CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES BIBLIOGRAFÍA ANEXO1 ANEXO 2. 105 105 106 107 107 108 109 109 112 113 114 115 116 117 118 119 120 120 121 121.

(10) MIM-2002-II-05. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. LISTA DE FIGURAS 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5. Coeficiente de arrastre en función del número de Mach Motor cohete químico de propelente líquido Motor cohete químico de propelente sólido Motor cohete nuclear Motor cohete eléctrico. 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8 2--9 2-10 2-11 2-12. Onda de choque normal estacionaria Relación de cambio de entropía-Número de Mach Ondas de Choque oblicuas estacionarias - ilustración 1 Ondas de Choque oblicuas estacionarias- ilustración 2 Ondas de Choque oblicuas estacionarias- ilustración 3 Ondas de Choque oblicuas estacionarias- ilustración 4 Flujo de Prandtl & Meyer alrededor de una esquina- ilustración 1 Flujo de Prandtl & Meyer alrededor de una esquina- ilustración 2 Flujo de Prandtl & Meyer alrededor de una esquina- ilustración 3 Teoría Matemática de las características- ilustración 1 Teoría Matemática de las características- ilustración 2 Solución al método de las características-Puntos internos-- ilustración 1 Solución al método de las características-Puntos internos-- ilustración 2 Solución al método de las características-Puntos de frontera sólida-ilustración 1 Solución al método de las características-Puntos de frontera sólida-ilustración 2 Solución al método de las características-Puntos de frontera sólida-ilustración 3 Solución al método de las características-Frontera de presión constante -- ilustración 1 Tobera Supersónica Intersección de ondas de expansión Reflexión de las ondas de expansión por una pared Neutralización de las Ondas de Expansión Toberas de Mínima Longitud Consideraciones finales sobre el flujo inviscido, estacionario en un ducto convergente-divergente Principales regímenes de flujo que se presentan en un ducto propulsivo Tipo Tobera de Laval. 2-13 2-14 2-15 2-16 2-17 2-18 2-19 2-20 2-21 2-22 2-23 2-24. 3-1 3-2 3-3 3-4. Curva velocidad – tiempo. Solución por Runge-Kutta de ecuación (1.21) Relación de longitud de tobera con factor de expansión de área Plano final configuración geométrica tobera de descarga Diseño constructivo de la tobera de descarga. 31 32 33 33 33 33 35 35 36 37 38 40 40 40 41 41 41 42 43 44 44 45 45 46. 51 54 55 55.

(11) MIM-2002-II-05. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. 3-5 3-6. Tobera de descarga construida Variaciones isoentrópicas en sección diverente. 55 56. 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6 4-7. Fases de operación de un motor cohete de propelente sólido Barra de propelente sólido Esquema del montaje experimental Foto del montaje Representación de propelente sin geometría interna (sin Core) Representación de propelente sin geometría interna con tabique Lecturas de empuje de las pruebas de emisión frontal con y sin tabique Representación de propelente con geometría interna sin tabique Lecturas de empuje del primer experimento con core y sin tabique Lecturas de empuje del segundo experimento con core y sin tabique Lecturas de empuje del tercer experimento con core y sin tabique Representación de propelente con geometría interna con core y tabique Lecturas de empuje del primer experimento con core y con tabique Lecturas de empuje del segundo experimento con core y con tabique Lecturas de empuje del tercer experimento con core y con tabique Foto del experimento con core y con tabique Foto del experimento con core y con tabique Comportamiento de los residuos de probabilidad acumulada del empuje Comportamiento de los residuos ajustados del empuje Comportamiento de los residuos ajustados del empuje en el tiempo Fotos visualización gases de escape Fotos visualización gases de escape Fotos visualización gases de escape. 59 62. 4-8 4-9 4-10 4-11 4-12 4-13 4-14 4-15 4-16 4-17 4-18 4-19 4-20 4-21 4-22 4-23 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 5-7 5-8 5-9 (a) 5-9 (b) 5-9 (c) 5-9 (d) 5-10 (a) 5-10 (b) 5-10 (c). Propagación de características Propagación de rerefacciones Rarefacción en tres dimensiones Propagación de rarefacción Zona de choque en características Zona de choque en características en tres dimensiones Región de choques de la ecuación (líneas características del choque Esquema del sistema a modelar por diferencias finitas Momentum en vista tridimensional Contornos del momentum y líneas características Líneas características de momentum Contornos de momentum en función del tiempo para diferentes posiciones Velocidad para la cámara de combustión Contornos y líneas características de la velocidad Líneas características de velocidad. 66 66 66 67 67 67 68 68 69 69 70 70 71 71 77 78 79 80 80 80 88 89 89 90 90 91 91 95 98 98 99 99 100 100 101.

(12) MIM-2002-II-05. 5-10 (d) 5-11 (a) 5-11 (b) 5-11 (c) 5-12 (a) 5-12 (b) 5-12 (c) 5-13 5-14 5-15 5-16(a) 5-16(b) 5-16 (c) 5-16 (d) 5-17 (a) 5-17 (b) 5-18 (a) 5-18 (b) 5-19 (a) 5-19 (b) 5-20 (a) 5-20 (b) 5-21 (a) 5-21 (b) 5-22 5-23 (a) 5-23 (b) 5-24 (a) 5-24 (b) 5-25 5-26 5-27. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. Contornos de velocidad en función del tiempo para diferentes posiciones. Densidad para la cámara de combustión Contornos y líneas características de la densidad Contornos de densidad en función del tiempo para diferentes posiciones Presión al interior de la cámara de combustión Contornos y líneas características de la presión Comportamiento de la presión en función del tiempo para diferentes posiciones Modelo geométrico del problema del motor cohete Detalle del enmallado Condiciones de frontera para la simulación tipo core Resultado de la velocidad del flujo de gases en el motor-cohete mediante ANSYS Resultado de la velocidad del flujo de gases en el motor-cohete mediante ANSYS Resultado de la velocidad del flujo de gases en el motor-cohete mediante ANSYS Resultado de la velocidad del flujo de gases en el motor-cohete mediante ANSYS Distribución de presión al interior de la tobera Distribución de presión al interior de la cámara y la tobera Distribución de densidad al interior de la tobera y cámara Distribución de densidad al interior de la tobera Solución para el número de Mach en la tobera, cámara y zona de descarga Solución para el número de Mach en la tobera Distribución de Temperatura en la tobera y en la cámara Distribución de Temperatura en la tobera Distribución de velocidad axial en la tobera y la cámara Distribución de velocidad axial en la tobera, cámara y zona de descarga Distribución de velocidad radial en la tobera Lineas de Traza (“de corriente”) de la velocidad axial en la tobera, cámara y ambiente Lineas de Traza (“de corriente”) de la velocidad axial en la tobera, cámara y ambiente Distribución de viscosidad en la tobera y la cámara Distribución de viscosidad en la tobera Progresión de la velocidad dentro de la tobera y la cámara Progresión de la presión dentro de la tobera y la cámara Progresión de la velocidad axial dentro de la tobera y la cámara. 101 102 102 103 103 104 104 106 107 108 110 110 111 111 112 113 113 114 114 115 115 116 116 117 117 118 118 119 119 120 120 121.

(13) INTRODUCCIÓN.. Recientemente han crecido los requerimientos de tecnologías de propulsión de "alto desempeño", dentro de las cuales se encuentran especialmente los ductos propulsivos tipo cohetes. Esta creciente industria, así llamada aeroespacial, fomenta en forma suma el progreso de ramas de estudio de las que se valió para su propio desarrollo, surge así un afán por precisión y seguridad, que ha conllevado a que la industria aeroespacial se convierta en uno de los principales frentes de avance del trabajo investigativo mundial. Sin embargo, pese a los sofisticados modelos, teorías y demás infraestructuras montadas alrededor de este tema, los conceptos que soportan el funcionamiento de un cohete son de relativa baja complejidad. Es así como se exponen de manera general los principios de funcionamiento de un cohete y su respectivo motor-cohete, su relación con los requerimientos de flujo en una hipotética misión propuesta y se indican rápidamente los parámetros bajo los cuales se evalúan las condiciones de trabajo de esta máquina. Finalmente se presentan datos y valores del diseño y desempeño calculados teóricamente, que luego son contrastados con aquellos obtenidos de la experimentación, de la misma manera que son presentados modelos computacionales del fenómeno, que confrontan los resultados experimentales llevados a cabo.. Valga la pena señalar que, junto con otra serie de actividades que han comenzado ha efectuarse en el departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad de Los Andes, al momento de la realización del presente trabajo, todos los esfuerzos de este proyecto van encaminados a la motivación de nuevos frentes de trabajo, tanto investigativos como industriales, para que nunca se dejen de enfrentar nuevos retos, que aunque distantes, suelen estar más cerca de lo que se cree..

(14) MIM-2002-II-05. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. 1. INTRODUCCION AL COHETE Y AL MOTOR COHETE 1.1. DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DINÁMICO DEL COHETE. El cohete es un conjunto de dispositivos que conforman un sistema de propulsión, constituido principalmente por un sencillo motor para impartir movimiento a un vehículo (el vehículo cohete) y por una carga útil. En general, se aplica esta denominación a todo vehículo completo que se encuentre impulsado por un tipo de motor en el que tanto la masa propulsada como la fuente de energía para impulsar esa masa se encuentren contenidas en el motor mismo, denominando por consiguiente Motor-cohete a las plantas propulsoras que reúnan la anterior característica. El cohete es de esta manera, directamente análogo a todos los otros motores térmicos en los que altas temperaturas de trabajo son requeridas para una alta disponibilidad de energía en el ciclo del motor. Este tipo de vehículos se caracterizan por su capacidad para funcionar en ausencia de atmósfera y por el uso de motores que contrastan con la mayoría de los motores convencionales, los cuales someten la energía química del combustible a varias transformaciones antes de ser aprovechada en la conducción misma del vehículo, no así en un cohete, en el que la conversión de la energía química a movimiento es directa. En un cohete la materia, inicialmente estacionaria con respecto al contenedor, es expulsada usualmente como un fluido continuo con una "velocidad de escape" ue, y con una rata de flujo másico: • & dm # m=$ ! % dt ". (1.1). esta masa expulsada experimenta por tanto una rata de cambio de momentum con respecto al tiempo: m! ⋅ u e (1.2) En virtud del principio de acción y reacción, este momentum es transmitido a la porción restante de masa total instantánea del cohete (m), como una fuerza de "empuje", dada por: = m! ⋅ ue (1.3). τ. donde, τ y ue están en sentidos opuestos; esta ecuación es válida si la masa es expulsada al vacío, resultando entonces un mecanismo básico de funcionamiento bastante simple. Sin embargo, si la masa no es expulsada al vacío, se requerirá una mayor fuerza para acelerar los gases, e igualmente , esta fuerza es igual al empuje mismo; este último, viene dado por las suma de dos componentes, una debida al momentum (como en la ecuación 1.1) y otra debida a la diferencia de presiones entre un punto a la salida del ducto y la presión del medio circundante:. τ = m! ⋅ ue + (Pe − Pa ) ⋅ Ae. (1.4). En esta última relación, el primer término es igual a la suma axial de todas las fuerzas producidas por las presiones internas en la cámara de empuje1, el segundo término es la 1. Entiéndase por cámara de empuje el ensamble de cámara de combustión y tobera de descarga, términos que son. 8.

(15) MIM-2002-II-05. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. suma de las presiones externas actuando sobre el área de salida de la tobera, la cual es el área efectiva proyectada, de la cámara de empuje.. 1.1.1 Parámetros Estáticos 1.1.1.1 Empuje Es sencillo mostrar, como se hizo anteriormente, como el empuje desarrollado depende del flujo de propelente, la velocidad de escape, y la presión y las condiciones ambientales (atmosféricas). Ya que el fluido expelido puede ser considerado continuo (y constante), es necesario considerar las presiones justo en el plano de salida del ducto de escape pe, y en el entorno de éste, patm. El área transversal de salida del ducto es Ae, la cual se supone es la misma de la sección del chorro. El empuje resulta ser, por lo tanto, el resultado de una distribución de esfuerzos y/o presiones, sobre las superficies interior y exterior. De esta manera la ecuación de momentum permite el cálculo completo del empuje en términos de las condiciones del plano de escape. Además, dicho empuje resulta ser máximo para unas condiciones dadas de cámara y área de garganta, cuando el fluido es expandido hasta la presión atmosférica. Entonces resulta conveniente definir una velocidad de escape equivalente, ueq, como se ve a continuación:. , p − pa ) ueq = ue + * e ' ⋅ Ae + m! ( Con esta definición se puede escribir la ecuación del empuje como: τ = m! ⋅ ueq. (1.5) (1.6). 1.1.1.2 Impulso Específico El impulso que logre desarrollar el cohete, por unidad de masa de propelente expelida, resulta ser una variable, y a su vez característica, muy importante dentro del desempeño general de un cohete. Si la velocidad ueq es constante en la ecuación (1.6), esta ecuación demuestra que el impulso total (I) impartido al vehículo durante la aceleración resulta ser:. I = - τ ⋅ dt = M p ⋅ ueq. (1.7). donde Mp es la masa total de propelente expelido. El impulso por unidad de masa de propelente es por lo tanto:. I τ = = ueq M p m!. (1.8). El término impulso específico, Isp, es usualmente definido como:. I sp =. u I = eq m! ⋅ g e ge. (1.9). donde ge es la aceleración debida a la gravedad en la superficie terrestre. La presencia de ge en la definición es arbitraria, pero ofrece la ventaja que en cualquier sistema de medida o de unidades, el impulso específico resulta expresado en segundos.. explicados más adelante, así como en el trabajo d grado “ANÁLISIS Y DISEÑO DE UNA CÁMARA DE COMBUSTIÓN PARA UN PEQUEÑO MOTOR COHETE”, de Diego Garzón – Magíster Ing. Mecánica, Universidad de Los Andes, actualmente en desarrollo.. 9.

(16) MIM-2002-II-05. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. 1.1.2 Parámetros Dinámicos 1.1.2.1Aceleración del vehículo Debido a que una gran parte de la masa total del cohete antes del lanzamiento puede ser propelente, la masa del vehículo varía fuertemente durante el vuelo. Este aspecto debe ser tenido en cuenta en el momento en que se quiera establecer la velocidad alcanzada por el vehículo durante el lapso en el que consuma el propelente. En algún instante t, su masa es instantáneamente m y su velocidad u, y a su vez durante un corto intervalo de tiempo dt se expele un incremento de masa dm con una velocidad de escape ue relativa al vehículo (no confundir con ueq de (1.5)), o cohete en la medida en que la velocidad cambia a u+du. El cambio de momentum, (en la dirección de u) del vehículo durante el intervalo de tiempo dt es:. m ⋅ (u + du ) − mu = m ⋅ du (1.10) El cambio de momentum de la masa dm es: dm ⋅ (u − ue ) − dm ⋅ u = − dm ⋅ ue (1.11) dm Dado que: dm = + m! ⋅ dt = − ⋅ dt (1.12) dt donde m ! es la rata de flujo de propelente, y usando la definición de ueq se obtiene: dm FD du = −u eq ⋅ − ⋅ dt − g ⋅ cosθ ⋅ dt (1.13) m m donde FD es la fuerza de arrastre, y θ es el ángulo de inclinación del vehículo con. respecto a la dirección vertical (medida en la dirección de la gravedad); En ausencia de arrastre y gravedad, mediante integración de la ecuación (1.13), y considerando que el valor de u eq es constante, se tiene que:. m m = +ueq ⋅ ln 0 (1.14) m0 m donde ∆u es el cambio en la velocidad del vehículo y m0 es su masa inicial, valor el cual, ∆u = −ueq ⋅ ln. si se analiza entre el tiempo de quemado, suministrará la aceleración impartida al vehículo. 1.1.2.2 Gravedad La variación de la atracción gravitacional desde la superficie terrestre, puede ser deducida de la ley de gravitación de Newton: 2. & Re # g = ge $ (1.15)] ! % Re + R " donde: g = aceleración local debida a la gravedad, ge= aceleración debida a la gravedad en la superficie de la tierra, Re = radio de la tierra, R = distancia desde la superficie de la tierra. La etapa de empuje de los cohetes químicos usualmente termina cuando la distancia viajada por el vehículo es una pequeña fracción del radio de la tierra y la aceleración gravitacional no ha sido muy alterada (o simplemente su valor no ha variado. 10.

(17) MIM-2002-II-05. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. bastante con respecto al valor promediado sobre la superficie de la tierra). por ejemplo, a una altitud de 100 millas, el valor de la gravedad resulta ser de 0.95 veces ge (g = 0.95 ge). Asumiendo constante el valor de la velocidad de escape (de los gases), arrastre de valor cero, y un valor en la aceleración de la gravedad constante, se puede obtener la ecuación. ∆u = ueq ⋅ ln R − g ⋅ C o s θ ⋅ tb. (1.16). donde, tb es el período de quemado, y C o s θ es el valor promedio integrado de Cos θ. Esta aproximación es conveniente para períodos de empuje relativamente cortos, únicamente. Cuando es considerada la gravedad, es claro que el nivel de empuje absoluto es importante tanto como la velocidad de escape (de los gases) y la relación de masas. Según datos experimentales, cuando un vehículo es lanzado desde la superficie de la tierra, el empuje del vehículo debería ser entre una o una y media veces el peso inicial del vehículo, o hasta dos veces este valor, si se desea que el vehículo pueda despegar de la tierra con una aceleración razonable. 1.1.2.3 Arrastre La resistencia de la atmósfera al paso del cohete a través de ella, puede ser estimado por medio de información empírica del valor del coeficiente de arrastre;.en forma convencional se expresa el arrastre sobre cualquier cuerpo atravesando un fluido real, de la siguiente forma:. 1 FD = CD ⋅ ρ ⋅ u 2 ⋅ Af 2. (1.17). donde: FD = fuerza de arrastre debida a fuerzas viscosas y de presión, ρ = densidad local del aire, u = velocidad del vehículo, Af = área frontal de una sección transversal del vehículo, CD = coeficiente de arrastre. El coeficiente CD depende de la forma del vehículo, velocidad e inclinación, θ, con respecto a la dirección del vuelo. La densidad atmosférica varia considerablemente durante el período de empuje de un cohete. La densidad varia con la altitud, aproximadamente como:. ρ (h ) = 1.2014 ⋅ e (−2.9⋅10. −5. ⋅h1.15. ). (1.18). donde ρ = densidad atmosférica en kg/m , h= distancia sobre la tierra en m. La densidad atmosférica se reduce al 1% del valor de ella sobre el nivel del mar en una latitud de cerca de 100.000 pies. Con datos adecuados sobre el coeficiente de arrastre y la variaciones de densidad, es posible calcular cuidadosamente el desempeño real de un vehículo dado, elevándose contra las fuerzas gravitacionales a través de la atmósfera, sabiendo que tanto el empuje como el arrastre están siempre paralelos a la velocidad del vehículo. 3. 1.1.2.4 Cálculo Numérico del Coeficiente de Arrastre en Función del Número de Mach Varios investigadores han dedicado sus esfuerzos al problema conocido como el problema de Goddard, que consiste en maximizar la altitud de un cohete en vuelo vertical en un medio que se resista a su avance, cuando la carga de propelente es especificada.. 11.

(18) MIM-2002-II-05. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. Los esfuerzos se han encaminado a la resolución de una serie de ecuaciones que utilizan factores adimensionales, los cuales permiten, a partir de un conjunto de ecuaciones dinámicas, definir el vector de estado, el cual describe la altura, la velocidad y la masa del cohete, uno de los principales logros de estos estudios ha sido determinar la dependencia del coeficiente de arrastre en función del número de Mach del vuelo del cohete, lo cual presenta la ventaja de tener implícita cualquier variación en las propiedades del fluido en el que se mueve el cohete (ecuación (1.19)). CD (M) = N1 • tan-1 (N2 (M –N3))+ N4. (1.19). donde: CD = Coeficiente de arrastre; M = Número de Mach; Ni= Constantes experimentales para la solución de la ecuación: N1=0,0095, N2=25, N3=0,953467778N4,= 0.036. Los valores de los coeficientes han sido determinados experimentalmente2, para el caso de un cohete que se encuentre en reposo en la superficie de la tierra y cuya masa de combustible sea en total un 40% de la masa inicial del cohete. Sin embargo es importante anotar que pequeñas variaciones de estos coeficientes no influyen en la determinación global del coeficiente de arrastre, cuya gráfica para los valores dados se muestra en la Figura 1-1.. Figura. 1-1. 1.1.3 Ecuación Dinámica Característica Con ayuda de los resultados de la discusión anterior se puede entonces escribir toda la ecuación dinámica completa así:. τ − FD − W = ma. (1.20). en donde, al reemplazar los términos indicados anteriormente, se obtiene: α. 1 d 2x , dx ) m! ⋅ ue − CD ⋅ ⋅ ρ ⋅ * ' Af − mg = m 2 2 dt + dt (. (1.21). Dado que la masa total del cohete depende de la rata de flujo másico expelida (masa de != los gases de combustión), entonces puede ser escrita como m = mo – β t;donde: β= m rata de flujo másico de los gases de combustión .mo= Masa inicial del cohete.. 2. Los datos han sido obtenidos de los trabajos en aerodinámica de Zlatskiy y Kiforenko (1983).. 12.

(19) MIM-2002-II-05. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. Al dividir la ecuación (1.21) entre esta última expresión, y reorganizando, se puede obtener finalmente: 2 ue β d 2 x , 1 ) C D ρ ⋅ A f , dx ) + * '⋅ ⋅* ' + g = 2 mo − β ⋅ t dt + 2 ( mo − β ⋅ t + dt (. (1.22). Esta última relación es la ecuación característica del cohete, la cual expresa de manera adecuada la dependencia del movimiento del cohete con respecto al empuje suministrado por el motor cohete. Esta ecuación diferencial es de segundo orden no-homogénea y nolineal, por lo que su solución analítica resulta bastante compleja. Sin embargo, mediante métodos numéricos es posible obtener una pronta solución cuantitativa, a partir de unas condiciones iniciales aparentemente obvias: la posición y la velocidad.. 1.2. TIPOS DE MOTOR COHETE Y DESCRIPCIÓN DEL FUNCIONAMIENTO. 1.2.1 Descripción y Operación de un Motor Cohete Luego de la anterior revisión sobre los conceptos generales del desempeño del cohete, resulta conveniente conocer un poco más acerca del funcionamiento del motor-cohete. La descripción del funcionamiento de un motor-cohete, en forma general, es la siguiente: la energía química calienta la materia de trabajo en una cámara rígida a altas temperaturas; la materia es entonces expulsada a través de un ducto en una dirección específica, por lo general en forma de un chorro que coloca al cohete en movimiento gracias únicamente a la reacción, sin intervención de partes complementarias, ni la conversión mecánica ó eléctrica de un movimiento rotacional a movimiento lineal o viceversa. Además, mientras que un motor convencional esta diseñado para propulsar una carga casi permanente a una velocidad aproximadamente constante, la masa de un cohete decrece continuamente tanto como su materia es expulsada, alcanzando rápidamente la aceleración necesaria durante el tiempo de quemado como para que su velocidad terminal al final de éste sea la suficiente para llevarlo en vuelo libre. En la cámara rígida, llamada de manera frecuente cámara de combustión, y que por lo general es cilíndrica, los propelentes son inyectados y quemados (en el caso del motor cohete con propelente líquido), ó fundidos e ignitados “in situ” (en el caso del motor cohete a base de propelentes sólidos), fenómenos que generalmente se suponen ocurren a presión constante; además dependiendo de la naturaleza del propelente utilizado, variará el tipo de desempeño que presente el motor-cohete, así como los gases de escape que se presenten como fluido de trabajo. Independiente de la acción de permitir la quema de los propelentes, la cámara de combustión también sirve como mecanismo de desarrollo y estabilización del flujo, al menos de manera teórica. De esta forma, los gases producto de la combustión que contienen un elevado contenido energético, manifestado en su temperatura y presión, llegan a la entrada de un ducto de sección variable, llamado difusor-tobera, en el cual proceden a expansionarse para luego ser descargados al medio ambiente, que por lo regular es la atmósfera. Estos gases ya expansionados poseen una elevada energía cinética producto de la conversión de temperatura y presión en velocidad, la cual finalmente en virtud del momentum de los gases, suministra la fuerza impulsora, llamada empuje, que propulsa el vehículo, el vehículo cohete.. 13.

(20) MIM-2002-II-05. 1.2.2.1. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. Tipos de Motor Cohete. La clasificación de los cohetes se ha adoptado en función de las fuentes de energía empleadas para la propulsión, las cuales son: por reacciones de combustión, por reacción nuclear, por energía radiante y por energía eléctrica creada o almacenada en el vehículo. De esta manera se denominan los motores cohetes: químicos (que pueden ser de propelente sólido, líquido o híbrido), nuclear, fotónico y solar y motor cohete eléctrico ( que pueden ser electrotérmico, electromagnético y electrostático. 1.2.2.1.1 Motor cohete químico: Presenta dos características: !" La reacción química dentro de la cámara de empuje produce un gas de alta presión y alta temperatura a la entrada de una tobera de escape convergente-divergente. !" El gas propelente caliente se expande al fluir por la tobera de escape, convirtiendo parte de la energía térmica generada por la reacción química en energía cinética, que produce un chorro de escape de gases con alta velocidad. 1.2.2.1.2 Motor cohete químico de propelente líquido Es el que utiliza para su funcionamiento la energía termoquímica de los ergoles, que son las sustancias que componen los propergoles o propelentes, (propelente es cualquier sustancia líquida, sólida gaseosa o plasma empleada en la propulsión del cohete). Estos motores cohete pueden ser: !" monopropelentes, consta de un solo componente, un propelente mezclado previamente, por lo cual el oxidante no necesita ser suministrado. Sin embargo, es peligroso que la combustión se desarrolle en el tanque de almacenamiento, además posee bajo poder calorífico. Estos se dividen a su vez en catergoles, son líquidos que contienen el combustible y el oxidante en la misma molécula (p.e, peróxido de hidrógeno H2O2 o nitrometano CH3NO2; monoergoles, son líquidos que contienen el oxidante y el combustible en una disposición molecular inestable (p.e., hidracina N24 H4); y las mezclas sintéticas de oxidante y combustible líquido (p.e, el nitrato de metilo CH3ONO2 mezclado con alcohol metílico). !" bipropelente, consta de dos componentes líquidos oxidante y combustible que se suministran separadamente en la cámara de combustión y se mezclan allí mismo o en los inyectores. Estos se dividen en: hipergólicos o autoinflamables que reaccionan cuando sus chorros entran en contacto y diergólicos o no-autoinflamables que necesitan un sistema de ignición para iniciar la combustión. !" La figura 1-2 muestra las partes de un motor cohete químico bipropelente, en el cual los líquidos se abastecen a presión el inyector de la cámara de combustión donde se mezclan y reaccionan para producir gases a altas presiones y temperaturas. Para una combinación dad de propelentes, la temperatura de combustión, depende de la relación en peso entre el comburente y el combustible, es decir de la relación de la mezcla y de la presión estática a la que se realiza la combustión. Cuando el gasto de los propelentes líquidos iguala al de los gases de escape, la presión de combustión permanece constante.. 14.

(21) MIM-2002-II-05. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. Figura 1-2. 1.2.2.1.1.2 Motor cohete químico de propelente sólido En este tipo de motor cohete el propelente está contenido en forma sólida dentro de la cámara de combustión, el cual necesita de un ignitor que inicia la combustión en la superficie expuesta de la masa física o cuerpo de propelente o también llamado grano, el cual contiene todo el material necesario para llevar a cabo la combustión, mezclado y compactado como se muestra en la figura 1-3. Una vez el propelente es encendido el grano se quema en una dirección normal a la superficie de quemado y la combustión se propaga radialmente con velocidad constante. En general en diseño de la malla de propelente sólido debe permitir una mayor área superficial u que el parea de la superficie quemada varíe de acuerdo con una curva empuje-tiempo predeterminada.. Figura 1-3. Estos motores cohete pueden ser: #"De doble base, si los propelente se encuentran en las moléculsa que forman el propelente. #"compuesto o heterogéneo, cuando el propelente esta formado por la mezcla mecánica de un combustible sólido con otro combustible sólido. 1.2.2.1.1.3. Motor cohete químico híbrido. El propelente consta de una componente sólido y otro líquido, en el cual el componente sólido se introduce en la cámara de combustión en forma de cartuchos sólidos y el. 15.

(22) MIM-2002-II-05. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. componente líquido se introduce a la cámara a través de un ducto desde el tanque de almacenamiento. 1.2.2.1.3 Motor cohete nuclear: Son aquellos con energía nuclear que emplean un reactor de núcleo sólido. En el cual el sistema de abastecimiento hace circular el propelente a través de pasajes de enfriamiento en la tobera, en el reactor, en la celda de presión y en la coraza hasta llegar al intercambiador de calor del reactor, donde el propelente se calienta antes de pasar a la tobera en el cual sufre un proceso de expansión y es descargado al exterior, como se muestra en Figura 1-4. El motor se enciende ajustando los tambores de control del reactor neutrónico para incrementar la cantidad de neutrones, donde el calor generado por la. Figura 1-4. fisión de los núcleos, principalmente de uranio se utiliza para calentar un propelente gaseoso como el hidrógeno, hasta alcanzar una temperatura de 200 K a la entrada de la tobera de escape. El gas se descarga al exterior después de expandirse en una tobera de escape convergente-divergente. La fuente de energía esta dada por la fisión nuclear. 1.2.2.1.4. Motor cohete eléctrico. El motor cohete eléctrico convierten la energía necesaria directamente de la energía cinética del propelente sin elevar la temperatura del fluido de trabajo. En los cohetes eléctricos la fuente de energía puede ser por fusión nuclear y solar o por radioisótopos y además requieren una planta generadora de electricidad como de baterías de celdas solares, termoeléctrica, química de pila termoeléctrica, de generador turboeléctrico o de inducción de plasma en movimiento Las partes del motor se observan en la Figura 1-5. En general en los cohetes eléctricos sus propelentes constan de cualquier partícula discreta cargada la cual es acelerada por fuerzas electromagnéticas o de presión. Los motores cohetes eléctricos pueden clasificarse en: !" Motor cohete electrotérmico, emplea energía eléctrica para calentar, a altas temperaturas, un propelente gaseoso antes de inyectarlo a una tobera de escape convergente-divergente. !" Motor cohete electromagnético o de plasma, opera con un gas conductor neutral o ionizado, es decir un plasma, que se acelera por medio de su interacción con un. 16.

(23) MIM-2002-II-05. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. campo magnético variable o estacionario. Se emplea la conductividad de los propelentes de plasma para crear una fuerza de aceleración electromagnética actuando como una fuerza de cuerpo dentro del plasma. !" Motor cohete electrostático, emplea campos electrostáticos para acelerar y expulsar partículas cargadas eléctricamente y con velocidades altas. La idea fundamental es transformar la energía térmica (nuclear) en energía cinética, que se aplica a una corriente de partículas eléctricamente neutras de muy alta velocidad que salen de una o más cámaras de empuje.. Figura 1-5. 1.2.2.1.5 Motor cohete solar y fotónico Emplea la energía del sol para calentar un fluido de trabajo que se inyecta posteriormente en la tobera y se descarga a alta velocidad. La vela solar usa la presión de los fotones del sol para crear una fuerza de propulsión, sin embargo uno de los problemas de diseño es que el colector solar debe apuntar al sol todo el tiempo y la energía solar disponible en inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del sol. 1.2.2.1.6. Motor cohete fotónico. Consta de una fuente lumínica de alta intensidad con un reflector de colimación. En el motor fotónico “ideal” se obtienen grandes cantidades de energía con pequeñas cantidades de materia convirtiendo la masa en energía de acuerdo con la ecuación de Einstein. Una vez presentados los principios básicos y la ecuación característica del funcionamiento de un cohete, así como los diferentes tipos de motor-cohete que se pueden encontrar en la actualidad, a continuación se van a presentar las relaciones termodinámicas y de mecánica de fluidos, apropiadas, para encontrar los patrones de comportamiento dentro de la tobera de descarga. En general, a continuación se presenta la fundamentación teórica para la solución analítica del flujo al interior del ducto propulsivo, así como se presentan ciertos métodos de resolución del flujo, mediante métodos numéricos, en un patrón bidimensional.. 17.

(24) MIM-2002-II-05. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. 2.. DUCTO PROPULSIVO: TOBERA DE LAVAL. Como se mencionaba anteriormente, es la tobera de descarga el elemento que permite convertir toda la energía química de la combustión de la propelentes en energía cinética y así poder impartir movimiento al cohete. En las siguientes líneas se presenta una breve y rápida discusión acerca del proceso de expansión de los gases, de las relaciones termodinámicas de los procesos al interior de la tobera y de algunas herramientas matemáticas para el análisis de la misma. Los primeros análisis se hacen basados en la teoría del cohete ideal, y en especial, sobre las consideraciones de una expansión isentrópica unidimensional, para luego comenzar a abordar el problema de los choques y expansiones, terminando con una discusión sobre el método de las características para flujo bidimensional. 2.1. FLUJO Y REQUERIMIENTOS EN LA TOBERA expansión).. (Breve análisis del proceso de. Durante el diseño del sistema propulsivo de un motor-cohete de tipo químico, conocido también como tobera, se pueden seguir varios métodos de análisis con respecto al comportamiento del flujo al interior de la tobera, los cuales tienen en cuenta el equilibrio químico durante el recorrido del gas y, por tanto, también las propiedades del mismo; la expansión de los gases es otro de los fenómenos que altera la geometría de la tobera, pérdidas de energía, condiciones a la salida de la tobera, etc. La consideración de todos estos factores podrían llegar a elevar el grado de complejidad del “problema” a tal punto que se necesitarían cientos de horas de cálculo en equipos de cómputo avanzado. Sin embargo existen ciertas consideraciones (suposiciones ideales), que permiten diseños preliminares de geometrías de expansión que pueden ser luego, de una manera relativamente sencilla, refinados mediante las consideraciones y correcciones del flujo real. De manera general se describe a continuación la expansión y el proceso de manera simple: Una vez los gases producto de la combustión (Cohetes Químicos) alcanzan la entrada a la sección convergente de la tobera, estos experimentan una expansión adiabática y reversible, y por tanto isoentrópica, de manera que comienza un proceso de caída en la presión y la temperatura, fenómeno que permite la conversión de la energía térmica acumulada en los gases en energía cinética, y así traducirse en un aumento de la velocidad. Dicho proceso de incremento en la energía cinética se mantiene hasta un punto en el cual, aún cuando continuara la disminución en la sección transversal, la velocidad no aumenta más. En este punto se dirá que se ha alcanzado el estado crítico o estación de condiciones críticas: la garganta de la tobera; el estado crítico es, de manera general, el punto en donde el flujo alcanza la velocidad del sonido, a esas condiciones críticas (Temperatura y Presión), y por tanto se considera el flujo como sónico. A partir de este punto la tobera toma un gradual aumento de su sección transversal, la región divergente donde los gases continúan el proceso de expansión si llegaron con las condiciones ya mencionadas en la garganta, ó presentaran un proceso gradual de compresión si no alcanzaron el estado crítico. En cualquiera de los dos casos el flujo ya ha alcanzado suficiente energía cinética para continuar su recorrido y a su vez, en la gran mayoría de los casos, para suministrar un impulso suficiente para desplazar al cohete.. 18.

(25) MIM-2002-II-05. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. Dentro del análisis de la tobera, uno de los principales objetivos resulta ser la determinación del flujo másico de los gases de escape que van a ser expansionados a través de la misma. Tanto si se trata de un motor-cohete de propelente sólido como uno de propelente líquido, es conveniente establecer de manera coherente, y lo más aproximada posible, dicha tasa de flujo en función de parámetros geométricos del ducto propulsivo, para, de esta manera, poder caracterizar dicho ducto y a su vez determinar las condiciones que gobernarán el empuje del vehículo (cohete). La generación de gases de escape, que es el fluido de trabajo del motor-cohete, está relacionada directamente con la tasa de quemado del propelente, la cual está influenciada por diferentes factores que deben ser considerados. En los motores-cohete de tipo líquido dicha tasa de quemado está relacionada con la velocidad de inyección de los propelentes y con la velocidad de reacción de combustión que generará finalmente los gases calientes a ser expansionados. En el motor-cohete de tipo sólido dicha tasa de quemado se relaciona más directamente con factores como el tamaño de grano, la composición del propelente, entre otros, y al igual que en el líquido, con la reacción de combustión. 2.2. TEORÍA DEL COHETE IDEAL. Un cohete ideal es un dispositivo para la producción de una rata máxima de cambio de momento (y por esto la fuerza de empuje) por medio de un mínimo gasto másico. De manera breve se puede mostrar que para mantener un empuje constante, la rata a la cual la energía cinética es suministrada para expeler la masa varia inversamente a la rata de flujo másico. El análisis y diseño de los motores cohete requiere de un cierto grado de idealización, y bajo determinadas consideraciones su desempeño puede ser predicho con un pequeño margen de error con respecto al desempeño real. Tales consideraciones son: A. El fluido de trabajo (gases de la combustión de los propelentes), es homogéneo, e invariante en su composición a lo largo de la tobera del cohete. Para cohetes bipropelentes, se asume un sistema de inyección en el cual el oxidante y el combustible son mezclados perfectamente. B. No existe fricción, considerándose el proceso reversible. C. No hay transferencia de calor a través de las paredes de la tobera (flujo adiabático). Esta consideración en conjunto con la anterior, proveen las condiciones para flujo isoentrópico. D. El flujo del propelente es estacionario y constante. E. La sustancia de trabajo obedece las leyes de los gases perfectos, debido a las altas temperaturas de combustión encontradas en estos dispositivos (del orden de 3000-8000 ºF), donde los gases producto de la combustión están muy por encima de las condiciones de vapor saturado. F. Todos los gases de escape dejan la tobera del cohete teniendo una velocidad dirigida axialmente. (Suposición mantenida hasta el desarrollo de flujo cuasiunidimensional). 19.

(26) MIM-2002-II-05. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. G. La velocidad del gas es uniforme a través de cualquier sección transversal al eje de la tobera. Las consideraciones B, C, F, y G permiten la directa aplicación al flujo de la tobera de las relaciones para una expansión isoentrópica unidimensional, en tanto que con las suposiciones A, D y E el gas y su tratamiento analítico se elabora con las relaciones para gas perfecto, aún calóricamente.. 2.3 RESUMEN DE RELACIONES TERMODINÁMICAS A continuación se presenta de manera breve algunas de las relaciones termodinámicas básicas que son necesarias en el análisis de flujo en toberas, y en general, y en el de cualquier proceso termodinámico. Debe notarse ( como se infirió en la discusión del cohete ideal), que al analizar la tobera en principio sin choques, ni fricción, y bajo un proceso adiabático el cambio de entropía al interior de ésta es cero, y por lo tanto, todas las relaciones serán derivadas para un flujo isoentrópico, en donde se cubren inicialmente las relaciones para una gas perfecto y en flujo cuasi-unidimensional. Posteriormente se analizan las ondas de choque y la aproximación a flujo bidimensional). Igualmente cabe señalar que el flujo siempre es considerado en estado estacionario, con lo que se pretende examinar el flujo estabilizado ya en la tobera, y no el proceso transitorio previo ni de finalización.. 2.3.1 Relaciones de un Gas Perfecto Un gas perfecto es definido como un fluido que tiene calores específicos constantes y cuyas propiedades obedecen y están relacionadas por una ecuación de estado, generalmente escrita como:: p = ρ ⋅ R ⋅T (2.1) en donde, p es la presión absoluta, T es la temperatura absoluta del gas, ρ es la densidad del gas y R es la constante específica universal del gas. Además se define como calor específico a volumen constante cV, a la relación:. , ∂e ) cv = * ' + ∂T ( v. (2.2). en la cual e es la energía interna por unidad de masa, Este calor específico cv es la cantidad de incremento de energía interna requerido por unidad de masa de un gas, para permitir incrementar su temperatura en un grado, cuando el volumen en mantenido constante. Se puede demostrar que en termodinámica e es una función únicamente de la temperatura para un gas perfecto. El calor específico a presión constante cp esta definido como:. , ∂h ) cp = * ' + ∂T ( p. (2.3). 20.

(27) MIM-2002-II-05. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. en donde, h es la entropía por unidad de masa, dada por h = e + p/ρ. Dado que p/ρ es igual a RT y que e es una función solo de la temperatura, entonces h también es una función solo de la temperatura. Utilizando las anteriores relaciones y la definición de entalpía, se tiene que: R = c p − cv (2.4) relación que sólo es válida para un gas perfecto que obedezca la ecuación de estado (2.1). Resulta conveniente en este punto definir la relación de calores específicos, γ, la cual esta dada por:. γ=. cp cv. (2.5). Si se utiliza la relación (2.5) entonces la ecuación (2.4) se convierte en:. cv = ó. cp =. R γ −1. γ. γ −1. (2.6). −R. (2.7). estas últimas relaciones resultan ser muy útiles, por contener valores que se pueden considerar constantes en un gas perfecto dado, γ y R 2.3.2 Relaciones de entropía – Procesos termodinámicos La entropía de un sistema dado está definida como:. , dq ) ds = * H ' + T (rev. (2.8). en donde el flujo del sistemas es considerado reversible ( sin fricción). una de las formas de la primera ley de la termodinámica para un sistema dado es:. dqH = pd. 1. ρ. + de. (2.9). relación obtenida de la ecuación de energía del flujo de un tubo de corriente que no efectúa trabajo, y en donde se han despreciado los términos debidos al flujo sin fricción. Así combinando (2.8) y (2.9). ,1) Tds = pd ** '' + de +ρ(. (2.10). relación que debe mantenerse aún para casos de flujo no-reversible. El cambio de energía interna, para un gas perfecto, esta dada por:. (e2 − e1 ) = cv (T2 − T1 ). (2.11). y en el caso de la entalpía, la relación resulta ser:. (h2 − h1 ) = c p (T2 − T1 ). (2.12). Ahora, para el cambio de entropía se utiliza la ecuación (2.10), la cual, al ser integrada, se convierte en:. 21.

(28) MIM-2002-II-05. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. & ρ # T s2 − s1 = $ln 1 ! ⋅ R + cv ln 2 , T1 % ρ2 " ecuación que puede ser manipulada en conjunto con las ecuaciones (2.6) y (2.7), y con la ecuación de estado y expresarla como:. ó como:. & T , ρ )γ −1 # s2 − s1 = cv ⋅ ln $ 2 ** 1 '' ! $% T1 + ρ 2 ( !" & p , ρ )γ # s2 − s1 = cv ⋅ ln $ 2 ** 1 '' ! $% p1 + ρ 2 ( !". (2.13). (2.14). Las ecuaciones (2.13) y (2.14) son formas de la segunda ley de la termodinámica. Dado que todos los análisis anteriores han sido basados en la suposición de un proceso reversible (flujo sin fricción), entonces a partir de (2.8) se puede ver que ds = dqH/T ó que Tds=dqH. Igualmente, basado en la teoría del cohete ideal, si el proceso es además adiabático, entonces dqH=0 y por tanto ds=0 o s= constante, con lo que se pueden obtener relaciones para el flujo reversible, adiabático y por tanto isentrópico, al interior de la tobera. Así, ya que s2=s1, entonces:. p1. =. γ. ρ1. p2. (2.15). ρ 2γ. esta relación en conjunto con la ecuación de estado de los gases, permite obtener:. T2 , p2 ) =* ' T1 *+ p1 '(. γ −1 γ. γ −1. ,ρ ) = ** 2 '' + ρ1 (. (2.16). en el caso del cambio de entalpía para el proceso isoentrópico en la tobera, se tiene que: γ −1 & # , ) p2 γ $ h2 − h1 = c pT1 ** '' − 1! $+ p1 ( ! $% "!. (2.17). Finalmente se debe señalar que en un proceso politrópico cualquiera:. p. ρk. = cte ,. (2.17a). y sólo en el caso isoentrópico, en donde no existe transferencia de calor, es cuando k=γ, como se mostró anteriormente. En general, durante el análisis del sistema motor cohete, se tienen tres tipos principales de procesos: #"Proceso adiabático, en el cual no existe intercambio alguno de calor desde o hacia el sistema. #"Proceso reversible, en el que ningún fenómeno disipativo se sucede, tales como los producidos por la viscosidad, conductividad térmica o difusión de masa. #"Procesos isoentrópicos, siendo éste el proceso que es tanto adiabático como reversible.. 22.

(29) MIM-2002-II-05. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. la principal importancia de este tipo de procesos radica en el hecho que en el flujo en la tobera, la capa límite presente en las paredes es muy delgada, comparada con el flujo total, con lo cual el grueso del flujo no sufre de los fenómenos disipativos que implica la capa límite, y dado que no existe adición de calor, se puede asumir el fenómeno finalmente, como flujo isoentrópico, al igual que en varias aplicaciones de flujo compresible.. 2.4. COMPRESIBILIDAD, VELOCIDAD DEL SONIDO Y NUMERO DE MACH. En el estudio de cualquier sustancia real se encuentra que absolutamente todas las sustancias de la naturaleza son compresibles, en una mayor o menor medida cada una de ellas. Al expandir o presionar a las sustancias, la densidad de estas cambia de manera que sus demás propiedades relacionadas con la densidad también cambiarán. Esto resulta particularmente cierto para los gases, en menor medida para los líquidos y de manera casi imperceptible para los sólidos. Existen dos tipos de compresibilidades, la isotérmica y la isoentrópica, dependiendo de las condiciones en la que se determine esta propiedad de la sustancia, aún cuando los valores de ambas, para diferentes sustancias, se encuentran en diferentes textos sobre propiedades. La importancia de determinar si las condiciones de un flujo dado corresponden a una condición compresible o incompresible, radica en la diferencia del tratamiento de las ecuaciones y de las relaciones a utilizar. En el estudio de gases, como es el caso del presente trabajo, resulta sumamente importante determinar las condiciones del flujo, en cuanto a compresibilidad del mismo. Para esto resulta importante definir el número de Mach, el cual es una medida de cuan compresible es un fluido en un punto dado. Para esto es conveniente comenzar definiendo la velocidad de una pequeña perturbación en un flujo como:. c2 =. dp dρ. (2.18). así que un cambio súbito o perturbación en un flujo estacionario puede ocurrir únicamente cuando la velocidad particular c = dp dρ ocurre en el fluido. Dado que una onda de sonido en un fluido compresible corresponde a una movimiento oscilatorio con pequeña amplitud, a esta velocidad de propagación de una pequeña perturbación se le denomina velocidad del sonido del medio en cuestión. La velocidad del sonido puede ser expresada en varias formas. Introduciendo el módulo de elasticidad:. E=−. dp d∀ ∀. (2.19). en donde: ∀ es el volumen del fluido sometido al cambio de presión dp; así, ya que:. d∀ dv dρ = =− ρ ∀ v. entonces la ecuación (2.19) puede ser expresada como. 23.

(30) MIM-2002-II-05. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. E=. dp ρ ⋅ dp = dρ dρ. (2.20). ρ. de esta manera, a ecuación (2.18) se puede escribir:. c=. E. ρ. (2.21). relación para la velocidad del sonido que aplica tanto para gases como para líquidos. Igualmente, dado que los cambio de presión y temperatura a través de una onda de sonido son despreciables ( la suposición de “pequeña perturbación” es la base de todo este análisis), se puede considerar como un proceso reversible. El rápido paso a través de la onda, con los cambios despreciables de temperatura, hacen que el proceso se considere “casi” adiabático. En total, el proceso del paso del fluido a través de una onda de sonido , puede considerarse isoentrópico, y así empleando la ecuación (2.17a):. dp γ⋅p = γ ⋅ p ⋅ ρ −1 = dρ ρ. y así:. c=. (2.22). γ⋅p ρ. de la ecuación (2.1) se tiene: c = γ ⋅ R ⋅T (2.23) relación bastante útil y conocida por expresar la velocidad del sonido en términos de la temperatura absoluta. En un flujo dado, la temperatura cambia entre puntos diferentes, debido a los efectos viscosos, de fricción y a los cambios de densidad, por lo que resulta evidente que en un flujo compresible, el número de Mach variará entre dos puntos diferentes del flujo. Habiendo definido la velocidad del sonido en un medio, se puede definir el número de Mach, el cual es:. M =. u c. (2.24). donde, u es la velocidad del fluido y c la velocidad del sonido, en un punto dado. En general, si M > 0.3 , el fluido debe considerarse compresible, y los efectos de la compresibilidad debes ser tenidos en cuenta, y considerados en el tratamiento del flujo. 2.5. ECUACIONES DE FLUJO COMPRESIBLE, INVISCIDO Y CONDICIONES TOTALES (Puntos de Estancamiento). Como en el estudio de cualquier flujo, las ecuaciones que lo gobiernan cubren tres principios fundamentales: conservación de la masa, conservación de momentum y conservación de la energía, que sumadas a las ecuaciones de estado y a la de energía interna, permiten el estudio del flujo de un gas caloríficamente perfecto, como es la suposición general para los gases de escape a través de la tobera. Las ecuaciones se presentan a continuación, en forma diferencial:. 24.

(31) MIM-2002-II-05. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. Ecuación de continuidad: (Principio de conservación de masa). " ∂ρ + ∇ • ρV = 0 ∂t. (2.25). donde ∇ • es la divergencia = div Ecuación de momentum:(Principio de conservación del momentum). ∂p Du =− + ρ ⋅ fx ∂x Dt Dv ∂p ρ = − + ρ ⋅ fy Dt ∂y ∂p Dw = − + ρ ⋅ fz ρ ∂z Dt. ρ. (2.26a) (2.26b) (2.26c). Ecuación de energía: (Principio de conservación de la energía). (. Ecuación de estado:. ). " " " D e +V 2 2 = ρ ⋅ q! − div( pV ) + ρ ( f • V ) ρ Dt p = ρ ⋅ R ⋅T. ecuación de energía interna:. e = cvT. (2.27) (2.1) (2.28). Ahora se examinan los conceptos de las condiciones de estancamiento o condiciones totales. Cuando un flujo es detenido isoentrópicamente o desacelerado lentamente en un proceso adiabático, los valores de p, T y ρ cambian a medida que el fluido es llevado al reposo. Los nuevos valores, del fluido desacelerado son llamados las condiciones de estancamiento o totales y son indicados con un cero como subíndice. Así, To y po representan la temperatura y presión de estancamiento o totales, respectivamente. Igualmente, la entalpía del fluido en este estado en llamada la entalpía de estancamiento, y se puede escribir como: ho = c pTo (2.29) para un gas perfecto caloríficamente. Mediante un corto tratamiento matemático a la ecuación de energía (2.27), despreciando los términos de generación de calor y de fuerzas externas, se puede obtener:. ρ. (. ). D h +V 2 2 =0 Dt. en el caso de un flujo estacionario. por lo tanto, se puede establecer que:. h+. V2 = cte 2. (2.30). para la línea de corriente dada, a lo largo de ella. Así, aplicando el concepto de las condiciones de estancamiento definidas cuando el flujo es llevado al reposo, se puede concluir que:. V2 h0 = h + = cte 2. (2.31). expresión que define la entalpía de estancamiento.. 25.

(32) MIM-2002-II-05. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. Además la temperatura de estancamiento puede ser definida como:. To = T +. V2 2c p. (2.32). que en el caso de gases perfectamente calóricos resulta ser constante, al igual que en flujos adiabáticos. En flujos no adiabáticos se debe tener en cuenta que se sigue manteniendo el concepto de entalpía y temperatura de estancamiento, aún cuando entre dos puntos diferentes sus valores no sean iguales (condición que define el flujo no adiabático).. 2.6. FLUJO ISOENTRÓPICO, COMPRESIBLE CUASI-UNIDIMENSIONAL. El flujo adiabático, reversible o isoentrópico es una aproximación ideal que suele ser aplicada a flujos a través de transiciones, de toberas, de difusores o medidores vénturi, en los cuales los efectos de fricción son menores y el calor transferido se puede despreciar, ya que las distancias recorridas son muy cortas y los gradientes de velocidad y temperatura son pequeños (por ejemplo, en vecindades muy cercanas, entre partículas continuas). En el estudio del flujo cuasi-unidimensional, la variable que se agrega, generalmente, es el área transversal del ducto, normal a la dirección del flujo. Esta área es variable a lo largo de la dirección del flujo, y por tanto es dependiente de una variable espacial, por ejemplo A=f(x). En términos de esta mueva variable , en un régimen estacionario, la ecuación de continuidad se puede escribir como: ρ ⋅ u ⋅ A = cte (2.33) La ecuación de momentum se puede expresar como: dp = − ρ ⋅ u ⋅ du (2.34) y la ecuación de energía como:. u2 h+ = cte 2. (2.35). Dado que es conveniente ver la influencia de la nueva variable A, se desarrollará la forma diferencial de la ecuación de continuidad así: De (2.33), se tiene que d ( ρ ⋅ u ⋅ A) = 0 ó ρ ⋅ u ⋅ dA + ρ ⋅ A ⋅ du + A ⋅ u ⋅ dρ = 0 y dividiendo entre ρ ⋅ u ⋅ A , se tiene:. dA du dρ + + =0 ρ A u. (2.36). Ahora bien, la ecuación (2.34) se puede expresar también como:. dp. ρ. = −udu =. dp dρ ⋅ dρ ρ. recordando la definición de la velocidad del sonido se tiene que:. c2. dp. ρ. = −udu. ó. dp. ρ. =−. u du c2. 26.

(33) MIM-2002-II-05. que finalmente resulta en:. CARLOS ALBERTO DUQUE DAZA. dp. ρ. sustituyendo (2.37) en (2.36), se tiene:. =−. u 2 du du ⋅ = −M 2 2 c u u. (. ). dA du = M 2 −1 A u. (2.37). (2.38). ecuación que es llamada relación de área-velocidad, y la cual es muy importante por el hecho de relacionar los cambios de área con las variaciones de velocidad. En general, el análisis es el siguiente: 1. Cuando el flujo es subsónico, es decir 0 ≤ M <1, el factor M 2 – 1 es negativo, así que (2.38) se convierte en:. dA du =− A u y de esta forma un incremento en la velocidad solo es posible si existe una disminución del área y, una disminución en la velocidad, está asociada únicamente con un aumento del área. 2. Cuando el flujo es supersónico, es decir M>1, entonces el factor M 2 – 1 es positivo, y por tanto, dA y du son directamente proporcionales. De esta forma un aumento de la velocidad estará asociado con un aumento del área y una disminución de la velocidad con una disminución del área. 3. Para flujos que son sónicos (M=1), el factor se convierte en cero, y aya que u =0, (ya que M =1), entonces se obtiene que dA =0. aún cuando exista un du finito. es así como en régimen sónico se obtiene el mínimo local (o transición ) entre la zona convergente y la divergente. Ahora bien, se puede concluir que para poder llevar un fluido en reposo o a baja velocidad, hasta una velocidad supersónica, es necesario hacerlo pasar a través de un ducto convergente inicialmente, y luego, alcanzada la velocidad sónica, hacerlo pasar a través de un ducto divergente, hasta el punto deseado de número de Mach. Por el momento es claro que el análisis a las ecuaciones de continuidad y momentum fue llevado a cabo bajo el supuesto de un proceso isoentrópico; así solo resta presentar las relaciones para las demás propiedades (ρ, p, T), en un flujo isoentrópico. Recordando la ecuación (2.32), en la cual se relaciona la temperatura en un punto cualquiera con la temperatura de estancamiento, se puede determinar la relación de temperaturas para un flujo isoentrópico:. T0 & γ − 1# 2 = 1+ $ !M T % 2 ". (2.39). igualmente, basado en las relaciones (2.16) y utilizando la anterior ecuación se puede encontrar que: γ. p 0 , & γ − 1# 2 ) γ −1 M '' = *1 + p *+ $% 2 !" (. (2.40). 27.