Modelo de teoría de juegos en mercado eléctricos

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(1)MODELO DE TEORÍA DE JUEGOS EN MERCADO ELÉCTRICOS. JOEL ALBERTO RODRÍGUEZ LES MES. UNIVERS IDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA BOGOTÁ, FEBRERO DE 2005.

(2) MODELO DE TEORÍA DE JUEGOS EN MERCADO ELÉCTRICOS. Tesis propuesta para el grado en Ingeniería Eléctrica. JOEL ALBERTO RODRÍGUEZ LES MES. Dirigida por HERNANDO DURÁN CAS TRO P.H.D.. UNIVERS IDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA BOGOTÁ, FEBRERO DE 2005.

(3) Dedicado a mi familia y a todos los que en alguna manera han contribuido a mi crecimiento como profesional y persona..

(4) IEM E-02-05-04 TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN.............................................................................................................2 MODELOS TRADICIONALES DE OLIGOPOLIO .......................................................7 M odelos estáticos de oligopolio ....................................................................................7 M odelo de Equilibrio de Cournot ..................................................................................8 Restricciones de capacidad y retornos decrecientes a escala.........................................9 M odelo de Stackelberg ................................................................................................11 M odelo de liderazgo en la elección del precio ............................................................12 M odelo cooperativo.....................................................................................................13 M odelos de competencia en generación ......................................................................13 ENFOQUES TRADICIONALES SOBRE EL PROBLEM A PRECIOS DE PERIODO PICO ................................................................................................................................15 Americano....................................................................................................................15 Británico ......................................................................................................................15 Francés .........................................................................................................................16 Contribuciones recientes a la teoría de precios de periodo pico..................................17 MODELO DE PPP USANDO DEM ANDA ECONÓM ICA..........................................18 Generalidades ..............................................................................................................18 Enfoque a mercados eléctricos ....................................................................................19 Caso Particular.........................................................................................................25 APLICACIONES DE LA TEORÍA DE JUEGOS EN M ERCADOS ELÉCTRICOS ...31 Introducción.................................................................................................................31 M odelo de Cournot en mercados eléctricos.................................................................32 Generalidades ..........................................................................................................32 M odelo general ........................................................................................................33 Caso Particular.........................................................................................................37 Ejemplo....................................................................................................................44 CONCLUSIONES...........................................................................................................49 BIBLIOGRAFIA.............................................................................................................51. 1.

(5) IEM E-02-05-04. INTRODUCCIÓN. El tema de confiabilidad del suministro a largo plazo en sistemas eléctricos se puede catalogar como multidisciplinario ya que encadena las ciencias económicas, con la ingeniería y la técnica. Debido al proceso de reestructuración de los mercados en la década de los noventa donde se migró , en la mayoría de los casos, de un sistema centralizado y vertical a modelos mixtos donde se rompió el esquema vertical en segmentos como Generación, Transmisión, Comercialización y distribución, apareció la gran interrogante de librar los modelos a su propia suerte dejando a los mercados, de la forma como se establecieron en particular, la responsabilidad por el abastecimiento futuro de la demanda eléctrica o introducir elementos de control , cargos, que permitieran garantizar el cubrimiento de la misma. Las respuestas fueron variadas pero tienen muchas cosas en común que permiten catalogarlas en: •. M ercados libres. •. Cargos por capacidad. •. Requerimientos por capacidad. •. Instrumentos financieros. •. Centralización. El tema es bastante complejo ya que el sistema energético suple todos los sectores económicos de una nación e influye drásticamente en el desarrollo de la misma; todos somos consumidores de energía y el funcionamiento de nuestra civilización actual se basa en la explotación de combustibles fósiles y del aprovechamiento de recursos naturales. Debe ser entonces responsabilidad de los estados el uso eficiente de sus recursos o del interés privado; se hizo una apuesta de confianza y fe en los mercados al reestructurar los sistemas eléctricos en una teórica búsqueda de ahorros y de eficiencias que han entrado en duda muchas veces, se debe entonces entender porque realmente los sistemas centralizados no funcionaban y si realmente los sistemas actuales son lo que se. 2.

(6) IEM E-02-05-04 pensaba, es diferente evaluar una opción sin haberla experimentado a hacerlo cuando ya se ha implementado; con más de una década de experiencia, los estados deberían tener conceptos acertados sobre los beneficios y perjuicios de los dos tipos de sistemas.. Los economistas han tratado de brindar herramientas adecuadas de análisis para mercados eléctricos, sin embargo muchas veces pecan al desconocer parámetros vitales de carácter técnico de los mismos, en especial son: •. Se deben cumplir parámetros generales del sistema como frecuencia, voltaje y estabilidad. Además se debe tener un cuenta la estructura física de la red de transmisión para lograr el balance exacto en tiempo real entre demanda y oferta en cada punto de la red.. •. Imposibilidad de almacenamiento y despacho inmediato de la demanda.. •. Respuesta inmediata a contingencias, que busca cumplir los parámetros generales.. •. Demanda del consumidor final aislada del mercado e inelástica en el corto plazo, por dificultades tecnológicas y políticas el consumidor no tiene exposición directa a los precios de la energía.. •. La composición del parque generador no es homogénea, y en el caso hidráulico se hace uso de recursos públicos como el agua.. •. Se debe tener en cuenta los costos asociados a racionamientos.. •. La demanda es extremadamente variable, no solo estacionalmente sino diariamente, la diferencia entre los picos y valles de demanda es alta lo cual lleva a que muchas tecnologías se usen solo durante periodos cortos en el año. Por esta razón la habilidad de dichos generadores para recuperar sus costos de inversión y de operación fijos y variables es altamente dependiente de la formación de precios en los periodos de alta demanda, o de baja capacidad.. Estas características hacen que sea un producto diferente de cualquier otro existente y desclasifica modelos simplistas de oferta y demanda, ya que no tienen en cuenta estas características especiales. El propósito de este trabajo es intentar vincular estas características en un modelo general, analizando la perspectiva de manejo óptimo. 3.

(7) IEM E-02-05-04 centralizado y de libertad de los agentes, verificando la necesidad o no de instrumentos que garanticen la suficiencia en el largo plazo.. Debido a que se entran a manejar conceptos de probabilidad es importante definir la confiabilidad del suministro a largo plazo, Oren (2003) se remite a la definición del NERC (National Electric Reliability Council) estadounidense que define confiabilidad como “el grado al cual el desempeño de los elementos del sistema técnico resulta en potencia entregada a los consumidores dentro de los estándares aceptados y en la cantidad deseada”. Adicionalmente dicho concejo define dos atributos de los sistemas eléctricos: •. Seguridad: Describe la habilidad de el sistema para resistir perturbaciones o contingencias.. •. Suficiencia: Representa la habilidad de el sistema de suplir la potencia agregada requerida por los consumidores en todo momento.. La seguridad involucra aspectos operacionales de corto plazo del sistema que se caracterizan a través de análisis de contingencias y evaluaciones dinámicas de la estabilidad del sistema. Se provee por medio de dispositivos de protección con estándares de operación y otros procedimientos que incluyen el despacho restringido de seguridad y requerimientos conocidos como “servicios auxiliares”: soporte de voltaje, regulación de capacidad AGC, reservas rodantes, capacidad de arranque.. La suficiencia, por otra parte, representa la habilidad del sistema de suplir la demanda, en el largo plazo, considerando la fluctuación e incertidumbre inherentes a la demanda y oferta, la incapacidad de almacenamiento y el largo tiempo requerido para la expansión. de la generación.. La suficiencia en. generación ha sido medida. tradicionalmente en términos de las cantidades de reservas planeadas y en operación en el sistema y la correspondiente probabilidad de perdida de carga (LOLP) que sirve como criterio para el planeamiento y decisiones de inversión en sistemas donde existen tecnologías de generación relativamente homogéneas en cuanto a costos se refiere, este criterio no es adecuado para sistemas con dominancia hidráulica.. 4.

(8) IEM E-02-05-04 Es importante resaltar que desde una perspectiva técnica la seguridad y suficiencia se encuentran muy relacionadas pero no se implican una a la otra. El sistema administrativo es quien define el nivel óptimo de la una o la otra. En términos de ingeniería se podría decir que la seguridad refiere a la potencia y la suficiencia a la energía.. Para hacer un análisis eficiente de la suficiencia, una vez definida, es imperativo agrupar y definir relaciones entre las diversas problemáticas que se relacionan directa o indirectamente con el problema, particularizándolo al caso hidrotérmico como: •. Como vincular eficientemente el uso del recurso agua.. •. Volatilidad, o mejor aleatoriedad en los precios debido a la volatilidad intrínseca de la hidrología.. •. Es posible separar la volatilidad causada intrínsecamente de la causada por poder de mercado.. •. Las rentas de escasez son adecuadas para garantizar la expansión de acuerdo con la teoría de mercados.. •. Es adecuada la estructura del mercado, que induce a largo plazo en cuanto a generación.. •. Se deben usar modelos económicos o de simulación.. •. Es mejor separar el servicio de potencia pico en el corto plazo del de energía a largo plazo o deben estar fusionados.. •. Cómo debe participar la demanda en la determinación de la confiabilidad, es posible unificar un criterio general para el sistema agregado.. Un reto de desempeño para los mercados eléctricos competitivos perfectos bajo condiciones de homogeneidad de los generadores es el manejo de los picos de operación (incluye picos de demanda y déficit de oferta). Durante unas cuantas horas al año, la diferencia demanda versus oferta es alta, la oferta es inelástica y pueden haber problemas de congestión de red. Durante esta fracción de tiempo el mercado debe facilitar la distribución eficiente de los recursos; los precios son altos y le dan a los generadores de punta las rentas necesarias para pagar los costos de inversión en nueva generación y reflejan además las preferencias de los consumidores por la confiabilidad y. 5.

(9) IEM E-02-05-04 la cantidad de inversión en nueva capacidad. Sin embargo existen imperfecciones de mercado que desvían estos resultados teóricos de la realidad, tales como: • •. La demanda por energía y confiabilidad no tiene un papel activo en el mercado spot. la limitada exposición de la demanda, durante periodos de escasez, a los precios en tiempo real lleva a que sea extremadamente inelástica. Esto da oportunidades significativas a los generadores para ejercer poder de mercado.. La ambigüedad en las responsabilidades, las imperfecciones del mercado y la incertidumbre natural afecta los incentivos para contratar lo que causa un acentuado desempeño de corto plazo. Estas imperfecciones pueden llevar a situaciones de muy poca o de excesiva inversión en capacidad.. 6.

(10) IEM E-02-05-04. MODELOS TRADICIONALES DE OLIGOPOLIO. En el modelo competitivo todos los productores y consumidores se asumen como tomadores de precio, sin embargo este supuesto puede no ser aceptable cuando hay pocos agentes en un lado del mercado, ellos usualmente tendrán poder de mercado, es decir la posibilidad de alterar los precios por fuera de los niveles competitivos. El caso más simple es el del monopolista, es decir un único vendedor de un bien en especial. En el caso eléctrico, la poca participación de la demanda y los pocos agentes generadores, quienes por razón de la reestructuración del mercado persiguen intereses privados, exigen el uso de modelos de poder de mercado de pocos agentes, conocidos como oligopolios.. Modelos estáticos de oligopolio La herramienta apropiada para analizar este tipo de situaciones es la teoría de juegos (capitulo especial). Se analizará inicialmente modelos estáticos simples en los cuales solo existe un periodo de interacción competitiva y firmas que toman decisiones simultáneamente.. M odelo de Bertrand de competencia de precios.. Supónganse 2 firmas que desean maximizar su beneficio, en un mercado cuya función de demanda es dada por x ( p ) . Se asume que dicha función de demanda es _. continua y estrictamente decrecientes para todo p tal que x ( p ) > 0 y existe un p < ∞ tal _. que x ( p ) = 0. _. para todo p ≥ p , las firmas tienen retornos constantes a escala con el. 7.

(11) IEM E-02-05-04 mismo costo c>0 por unidad producida. Se asume adicionalmente que x (c) ∈ (0, ∞) , lo que implica que el óptimo social competitivo es positivo y finito. El proceso es el siguiente, las dos firmas simultáneamente fijan sus precios p1 y p2. Las ventas para la firma j están dadas por: si p j < p k ⎧x j ( p j ) ⎪ x (p , p ) ⎪ j j k x j ( p j , pk ) = ⎨ si p j = p k 2 ⎪ 0 si p j > p k ⎪⎩. Las firmas producen por orden y por ende incurren en costos de producción exclusivos de la cantidad que produzcan, de acuerdo a sus ventas. Dados los precios p1 y p2 los beneficios de la firma j son (pj –c)xj(pj,,pk ). El equilibrio de Nash para este juego (p1*,,p2*) es único y se da cuando las dos firmas fijan sus precios iguales al costo p1*= p2*=c. La prueba es sencilla, si se fijan precios al costo las dos firmas ganan cero, ninguna firma puede ganar subiendo su precio ya que no tendría ventas, y si baja el precio tendría pérdidas.. El modelo de Bertrand predice que las distorsiones que surgen del ejercicio de poder de mercado son limitadas al caso especial de monopolio, sin embargo esta es una conclusión poco realista; al incluir algunas variaciones la conclusión puede verse alterada.. Modelo de Equilibrio de Cournot Considérese el caso simple de dos empresas que producen un bien homogéneo, con niveles de producción q1 y q2 respectivamente, por ende una producción agregada Q=q1+q2 se supone que existe una función de demanda inversa p(q). El precio de mercado correspondiente a este nivel de producción es p(Q)=p(q1+q2). Si la empresa i tiene función de costos ci(q1) para i=1,2, entonces la empresa 1 busca maximizar su beneficio: maxπ 1 ( q1 , q2 ) = p ( q1 + q2 ) − c1 ( q1 ) q1. 8.

(12) IEM E-02-05-04. Los beneficios de la empresa 1 dependen de la cantidad de producción que elija 2, por tanto la empresa debe predecir el nivel de 2. este es el tipo de consideración que interviene en un juego abstracto: cada jugador debe adivinar las elecciones de los demás. * * El equilibrio de Nash, es un conjunto de niveles de producción óptimos ( q1 , q 2 ). en el que cada una de las empresas elige el nivel de producción que maximiza sus beneficios, dadas sus expectativas sobre la elección de la otra empresa, y las expectativas de cada una de las empresas sobre la elección de la otra son correctas. ∂π 1 ( q 1 , q 2 ) = p ( q1 + q 2 ) + q1 p ' ( q1 + q 2 ) − c1 ' ( q1 ) = 0 ∂q1 ∂π 2 ( q1 , q 2 ) = p( q 1 + q 2 ) + q 2 p '( q 1 + q 2 ) − c2 ' ( q 2 ) = 0 ∂q 2. Estas son las condiciones de primer orden de maximización individual para cada empresa, es. decir. las. empresas. simultáneamente maximizan sus utilidades,. determinando una elección óptima de nivel de producción en función de su expectativa sobre el nivel de producción de la otra. Esta relación se conoce como curva de reacción. El modelo de Cournot muestra que al aumentar el número de firmas el precio de mercado tienda al competitivo. En contraste con el modelo Bertrand muestra una reducción gradual del poder de mercado al incrementar el número de firmas. En la realidad la mayoría de las firmas escogen precio, no cantidades. Sin embargo el modelo de Bertrand ofrece una interpretación alternativa del modelo de Cournot, la idea básica es que se puede pensar en escogencias de cantidades como decisiones de largo plazo por capacidad, con determinación de precio por medio de una función inversa de demanda.. Restricciones de capacidad y retornos decrecientes a escala En muchas situaciones, como la que nos preocupa, es natural suponer que las firmas operan bajo condiciones de eventuales retornos decrecientes a escala, al menos. 9.

(13) IEM E-02-05-04 en el corto plazo, cuando el capital es fijo. Un caso especial es cuando la firma tiene restricciones de capacidad que impiden producir más de una cierta cantidad, q .. El modelo de Bertrand se ve afectado en. el supuesto de que se satisface. cualquier nivel de demanda, se debe asumir que cada firma posee un tope y que cada firma conoce el tope de su rival. Suponga que hay dos firmas y que cada una tiene costo marginal c>0 y una 3 4. restricción de capacidad q = x (c) . En este caso p1*= p2*=c no es un equilibrio. De hecho, cualquiera que sea el nivel de capacidad q , q < x (c ) , cada firma puede asegurar para si misma niveles positivos de ventas y de beneficios si fija su precio por debajo de p (q ) pero arriba de c. Por esta razón si existen restricciones de capacidad la. competencia no llevará los precios a los costos. Esta característica fue observada por Edgeworth.. Típicamente se piensa que las firmas escogen su capacidad y surge la pregunta: cuál puede ser el resultado de un modelo en el cual las firmas escogen primero su capacidad y luego compiten a través de precios? Kreps y Scheinkman formulan esta pregunta y muestran que bajo ciertas condiciones (entre ellas el supuesto que las demandas de alta valoración se atienden primero cuando la demanda por firmas de bajo precio supera la capacidad) el único equilibrio de Nash perfecto es el resultado de Cournot. Este resultado es natural: el determinar el precio de la curva inversa de demanda en el modelo de Cournot puede verse como un sustituto para esta competencia en. precio de dos etapas. Efectivamente, para un rango amplio de posibilidades de. capacidades ( q 1 , q 2 ), el único equilibrio para el subjuego de pricing es que las firmas fijen sus precios iguales a p( q 1 + q 2 ). Así, este modelo de dos etapas de escoger capacidad / competir en precio da otra interpretación del modelo de Cournot: Se puede decir, del modelo de competencia en cantidad de Cournot, que captura la competencia a largo plazo por escoger capacidad, con competencia en precio en el corto plazo, dados los niveles de capacidad. La observación crucial se halla en que cuando las dos empresas están vendiendo la cantidad máxima que les permite su capacidad, ninguna de. 10.

(14) IEM E-02-05-04 ellas quiere bajar su precio. Es cierto que si lo bajaran, atraerían a todos los clientes de su rival, pero como ya están vendiendo todo lo que pueden no les sirva para nada.. Modelo de Stackelberg Consta de dos fases y en el que una de las empresas mueve primero. La otra observa el nivel de producción que ha elegido la primera y elige su nivel óptimo de producción. Este modelo se enfoca al liderazgo en la elección de cantidad.. Supóngase que la empresa 1 es la líder y la 2 la seguidora. En ese caso el problema de 2 es maximizar sus beneficios p (q1 + q2 )q 2 − c 2 ' (q2 ) . La condición de primer orden es: p (q1 + q2 ) + q2 p' ( q1 + q 2 ) = c 2 ' (q 2 ). Al igual que en el caso de Cournot se puede derivar una función de reacción de la empresa 2, f 2 ( q1 ) que da el nivel óptimo de producción para 2 basado en la producción de 1.. Ahora la empresa 1 desea elegir su nivel de producción, anticipándose a la elección de 2, por esta razón 1 busca maximizar: p (q1 + f 2 ( q1 ))q1 − c1 ' (q1 ) La condición de primer orden es: p (q1 + q2 ) + q1 p' (q1 + q2 )(1 + f 2' (q1 )) = c1 ' (q1 ). Con las condiciones de primer orden se puede determinar el equilibrio de producción. Una conclusión fundamental de este modelo es que bajo ciertas condiciones es mejor ser líder de mercado.. 11.

(15) IEM E-02-05-04. Modelo de liderazgo en la elección del precio Existe liderazgo en la elección de precio cuando una de las empresas fija el precio que la otra considera dado. Se resuelve de manera análoga al de Stackelberg. Supóngase un mercado de bienes heterogéneos, existe una demanda de producción de la empresa i x i ( p1, p2 ) . La seguidora elige p 2 dado el p1 . Por tanto la seguidora busca maximizar: max p2 x2 ( p1 , p2 ) − c2 ( x 2 ( p1 , p2 )) p2. Con base en la condición de primer orden se puede obtener la función de reacción que da la elección óptima de p 2 en función de p1 . De esta manera el líder debe resolver: max p1 x1 ( p1 , g 2 ( p1 )) − c1 ( x1 ( p1 , g 2 ( p1 ))) p1. Hallando así su precio óptimo p1 . En el caso de productos homogéneos, si la empresa 2 vende una cantidad positiva, debe venderla al precio p1 = p2 . A cada uno de los precios p1 , la seguidora decidirá producir la cantidad S 2 ( p1 ) que maximice beneficios. Por lo tanto en este caso la función de reacción es simplemente la curva de oferta competitiva. Si la empresa 1 cobra p1 , la 2 venderá r( p1 ) = x1 ( p1 ) − S2 ( p1 ) ; r( p1 ) se conoce como la función de demanda residual de la empresa 1, quién desea maximizar: max p1 r( p1 ) − c1 r ( p1 ) p1. El resultado más general de este modelo es que la empresa seguidora obtendría mayores beneficios que la líder. Intuitivamente la razón es que la líder tiene que reducir su nivel de producción para mantener el precio, mientras que la seguidora puede considerar fijo el precio de la líder y producir tanto como desee; la seguidora puede aprovecharse de las limitaciones que tiene el líder para elegir su nivel de producción.. 12.

(16) IEM E-02-05-04. Modelo cooperativo Todos los juegos anteriores se consideran como no cooperativos ya que cada empresa se preocupa exclusivamente por sus beneficios. Cuando las empresas hacen acuerdos para maximizar beneficios conjuntos se tiene que desean maximizar: max p(q1 + q2 )( q1 + q 2 ) − c1 ( q1 ) − c 2 (q 2 ) q1 , q 2. La solución del sistema de ecuaciones de primer orden es que las empresas deben igualar sus costos marginales de producción. Sin embargo este equilibrio no es estable, siempre existe una motivación de las empresas para violar los acuerdos y obtener mayores beneficios.. Modelos de competencia en generación La producción final en los sistemas eléctricos no solo depende de la minimización de costos individual sino de la interacción entre los agentes. Cada firma debe maximizar su beneficio ( ingresos de mercado menos costos operativos) bajo incertidumbre donde su percepción del riesgo, el comportamiento de los competidores, las estructuras de propiedad, la mezcla tecnológica y otra multitud de factores externos, técnicos y económicos condicionan el mercado. El equilibrio, si existe, se define como el punto de convergencia donde cada participante logra su objetivo de maximización.. Day hace un buen resumen de los tipos de interacción estratégica que se han usado en mercados de potencia: •. Competencia perfecta (sin poder de mercado).. •. Estrategia generalizada de Bertrand (juego de precios).. •. Estrategia de Cournot (juego de cantidades). Borenstein y Bushnell usan un modelo de simulación el cual, heurísticamente, evalúa el mercado de California; de manera iterativa se ajusta el mercado hasta obtener equilibrios. Bushnell extiende el análisis a múltiples periodos.. •. Coalición. 13.

(17) IEM E-02-05-04 •. Stackelberg. •. Variaciones generales conjeturales.. •. Funciones de oferta conjeturales.(FOC). Introducido por Klemperer y M eyer y aplicado por Green y Newbery al sector eléctrico de Inglaterra. Rudkevich extiende el análisis usando funciones de oferta escalonadas.. •. Equilibrios de funciones oferta.(EFO). Hogan modela el problema de maximización de beneficios de cada firma como un problema de optimización no lineal que toma en cuenta las restricciones de la red, incorpora las condiciones de primer orden de las firmas marginales en el problema de optimización de las firmas estratégicas. Ramos modela el comportamiento competitivo de las firmas incorporando un conjunto de restricciones en un modelo de costos de producción tradicional. Se representan todos los agentes de la cadena: el operador del sistema, los generadores y los usuarios.. La inversión estratégica es una noción relevante para analizar las inversiones en los mercados de energía. Esta es, la inversión que modifica las acciones de los oponentes, y se entiende mejor en el contexto de dos etapas de decisión: primero se decide la inversión y en una posterior etapa se llevan a cabo las operaciones (generar, negociar y vender). La incertidumbre en la segunda etapa influencia las decisiones de la primera etapa. Spence analiza las condiciones de entrada para dos firmas donde una entra en la primera etapa y la otra en la segunda; Dixit adiciona el hecho de que la primera firma puede adicionar capacidad en la segunda etapa. Gabsewicz y Poddar asumen que las dos entran en la primera etapa, escogiendo sus capacidades y no pudiéndolas modificar en la segunda etapa, asumen que la función de demanda se revela en la segunda etapa. Von der Fehr y Harbord presentan un juego de dos etapas, en el cual en la primera etapa n firmas entran simultáneamente al mercado y escogen la cantidad de capacidad a instalar, luego la demanda se revela y las firmas simultáneamente entregan ofertas por precios, este modelo es similar al de Kreps y Scheinkman y al de Davison y Deneckre. M urphy y Smeers se apartan un poco de los conceptos económicos hacia los modelos computacionales presentando tres modelos: competencia perfecta, Cournot de malla abierta, incluye inversiones en nueva capacidad y el Cournot de malla cerrada que separa las decisiones de inversión de las ventas.. 14.

(18) IEM E-02-05-04. ENFOQUES TRADICIONALES SOBRE EL PROBLEMA PRECIOS DE PERIODO PICO. El problema de precios de periodo pico refiere a productos no almacenables cuyas demandas son periódicas, donde se busca establecer la política de precios óptima en el sentido que la oferta pueda recuperar sus costos de operación y de inversión. Existen, básicamente, tres enfoques:. Americano Este enfoque analiza las implicaciones de la fijación de precios para productos no almacenables con demandas periódicas en el contexto de una firma con capacidad de producción homogénea los autores representativos son Steiner (1957) y Kahn (1970). En el caso más simple donde se consideran un periodo de demanda fuerte (pico) y otro de demanda débil (fuera de pico), el resultado más aceptado es que los usuarios en el pico deben pagar los costos marginales más los costos por capacidad, mientras que los usuarios fuera del pico solo deben pagar los costos marginales.. Se enfatiza además que la demanda en cada periodo reacciona al precio y que un periodo de demanda que pareciese ser el periodo pico, puede a larga no ser el único. El usar dos funciones de demanda establecidas simplifica el problema ya que se ignoran los desplazamientos de pico dados por la motivación de los consumidores por evitar estar en el periodo de máximo consumo.. Británico En este enfoque la teoría de precios de periodo pico se preocupa por especificar de manera más específica el problema eléctrico y las tecnologías de producción. El autor más representativo es Turvey (1968), quien relaja el supuesto de homogeneidad en las capacidades de producción y reconoce que el suministro eficiente de una demanda. 15.

(19) IEM E-02-05-04 periódica generalmente implica una mezcla de diferentes tipos de capacidad con costos de capacidad e inversión diferentes. No trata los efectos de la elasticidad de la demanda y la posibilidad de los desplazamientos de pico.. Francés El desarrollo de esta teoría produjo un resultado ligado al desarrollo actual de políticas tarifarias y de rutinas para determinar la inversión óptima en el suministro eléctrico, el autor representativo es Boiteux (1960). La metodología teórica abarca el enfoque americano, reconociendo la elasticidad de la demanda y la posibilidad de desplazamiento del pico; y el británico, enfatizando las posibilidades tecnológicas de generación. Este enfoque aporta tres avances importantes sobre la demanda y los costos de suministro: Primero, reconoce explícitamente que las demandas no solamente son periódicas sino que poseen una alta incertidumbre. Dicha incertidumbre conduce a la posibilidad de que la carga exceda la capacidad disponible y deba ser racionada en algún instante. La incertidumbre asociada a la demanda y a la oferta (por salidas forzadas) exige la existencia de márgenes de reserva en la generación.. El segundo avance es la incorporación de los costos de racionamiento asociados a los racionamientos de las cargas. Dichos costos en un contexto de incertidumbre tienen implicaciones tanto para la fijación de precios como para la planificación de inversiones. En la planificación de inversiones, la capacidad de reducirlos o incrementarlos acordemente con el nivel de capacidad genera reglas que determinan los niveles óptimos de capacidad y los márgenes de reserva asociados. En la fijación de precios se establecen reglas óptimas que fijan los precios iguales a los costos marginales esperados de energía más los costos marginales esperados de racionamiento.. Finalmente, se vinculan los sistemas de transmisión y distribución, reconocen que mientras los sistemas de generación y transmisión son “comunes” y que los costos marginales reflejan las características de la carga, a medida que se avanza hacia el sistema de distribución y el punto de uso final el sistema se vuelve paulatinamente “individual”.. Esto implica que mientras la naturaleza de los costos de los sistemas. comunes implica precios de periodo pico, basados en la carga total del sistema, los costos del sistema de distribución dependen más de las características individuales que no coinciden necesariamente con el comportamiento del sistema.. 16.

(20) IEM E-02-05-04. Como se puede observar de estos tres enfoques, la aplicación de los principios marginalistas de fijación de precios, es más complicada que dar simples prescripciones, basadas en modelos útiles pero demasiado simples. Se deben considerar la elasticidad de la demanda, incertidumbres, costos de racionamiento, tecnologías heterogéneas y algunas otras. particularidades que acerquen más a la realidad de estos sistemas tan. especiales.. Contribuciones recientes a la teoría de precios de periodo pico El artículo “M arshall and Turvey on Peak Load or Joint product pricing” de Crew y Kleindorfer (1971) trata el problema de los precios para cargas variables en el contexto de muchas de la consideraciones de Turvey, pero especialmente las francesas. Considera demanda periódica, tecnologías diversas, incertidumbre y costos de racionamiento en una estructura consistente donde se determinan los precios eficientes y el plan de inversiones óptimas. Se muestra que el precio óptimo en cada periodo debe ser igual al costo marginal esperado más el costo marginal de racionamiento esperado. Adicionalmente se determinan cotas para los precios individuales de cada periodo y de la suma de los precios a través de los mismos. Se afirma que la presencia de incertidumbre incrementa la capacidad óptima para el sistema en relación con el caso determinista y también se incrementa con el número de mezclas factibles de capacidad. Se enfatiza que este tipo de evaluaciones debe hacerse mirando más allá de los costos, considerando los efectos en la demanda y sus costos de racionamiento.. Es importante entonces hacer recomendaciones relevantes para nuevos desarrollos teóricos, basados en la literatura existente tales como: definir los periodos de demanda adecuados, lo cual no es obvio pero puede ser más fácil si se tiene en cuenta las formas de medición existente y la habilidad de los consumidores de responder a los precios, es importante además tener en cuenta que los periodos pico pueden ocurrir no solo por la demanda sino por indisponibilidades de la generación. En el caso particular colombiano es importante vincular las condiciones climáticas posiblemente en los esquemas de tarificación o de remuneración (opciones?). Es importante además tener en cuenta la temporalidad de la instalación de plantas nuevas, dado que los tiempos son muy largos, lo que puede afectar los análisis hechos con datos del presente.. 17.

(21) IEM E-02-05-04. MODELO DE PPP USANDO DEMANDA ECONÓMICA Generalidades El modelo que se desarrollará a continuación presenta un modelo enfocado a mercados eléctricos, donde se conocen a priori funciones de demanda específicas para periodos definidos (horas en un día por ejemplo) y donde se especificarán los vectores precio-demanda que maximicen el bienestar social, este nuevo modelo contrasta con los resultados obtenidos por Rodríguez, en cuyo modelo las cantidades a producir se conocen. Se asumirá que las funciones de demanda son independientes entre si y que las funciones de costo de los agentes incluyen una componente de costo de inversión por unidad producida y otra de costo operativo, además cumplirán propiedades fundamentales de los sistemas eléctricos.. Sea q ( p ) la demanda económica del mercado para un instante de tiempo especifico, en ella se refleja la maximización de la utilidad conjunta de los compradores. Se supondrá que tiene una función inversa de demanda p (q ) tal que p (q ( p )) = p , además se supondrá que dicha función es decreciente y por tanto. ∂p ( q ) < 0 . El ∂q. excedente del consumidor, de acuerdo con la teoría de bienestar, se define entonces como la diferencia entre la disposición total a pagar y lo que efectivamente paga el consumidor, lo cual gráficamente se puede ver en la siguiente figura:. 18.

(22) IEM E-02-05-04. q*. EC =. ∫ p(q)dq − p(q*)q * 0. EC = P( q ) − p ( q*)q *. Figura 1. Existe adicionalmente una función de costos para el productor c(q ) y se define el excedente del productor de manera análoga como la diferencia entre lo que efectivamente recibe y lo que efectivamente está dispuesto a recibir. M atemáticamente q*. ∫. se define como EP = p (q*)q * − c(q )dq . Una vez definidos estas funciones y la medida 0. de bienestar de los agentes del mercado, se puede definir una medida general denominada el beneficio neto social igual a la suma entre los excedentes del productor y del consumidor: q*. Z = EC + EP =. ∫. q*. ∫. p (q ) dq − c( q )dq = P( q ) − C ( q ). 0. 0. Enfoque a mercados eléctricos El problema que se explora en este trabajo es la incidencia de los costos de inversión y las restricciones de capacidad de los generadores en el comportamiento de los agentes. del mercado eléctrico. Para analizar este problema de forma general se. supondrá la existencia de dos tecnologías de generación, hidráulica y térmica, cada una con funciones de costo diferentes pero que cumplen ciertas características: los costos de inversión en capacidad de generación son mayores para la hidráulica : I H YH + cH (q H ) donde YH es la capacidad instalada e I H el costo por periodo de cada unidad de capacidad instalada, cH (q H ) representa el costo de producción variable con la cantidad producida q H . Para la térmica de manera análoga la función de costos es IT YT + cT (qT ) , sin. embargo. IT < I H. esta. tiene. costos. de. operación. menores,. esto. es:. y ∀q , cT ( q) > cH ( q ). 19.

(23) IEM E-02-05-04. Figura 2. La siguiente parte del análisis se fundamenta en gran parte en los trabajos de Steiner y de Kleindorfer sobre teoría de precios de periodo, de manera similar se define el modelo como: Sean x1,x2,x3..xi..xn las demandas de energía eléctrica para cada periodo i=1…n con xi ≥ 0, asociados a estas existirá un vector de precios p1,p2,p3.. pi… pn determinado por la interacción entre oferta y demanda. Adicionalmente se conocen las funciones inversas de demanda para cada periodo P1(x1), P2(x2), P3(x3).. Pi(xi)… Pn(xn), se asume que estas funciones son continuas, decrecientes. y diferenciables con. ∂Pi ( xi ) <0. ∂xi. Además se supone que dichas funciones tienen inversa Xi(p1) = xi. Sean IT > 0, IH > 0 los costos constantes de instalar una unidad de capacidad, y se conocen las funciones de costo para cada generador, y que son constantes a través de los periodos cH (q H ), cT (qT ) estas funciones de costo son continuas, crecientes y diferenciables con. ∂ c (q ) ∂cH ( qH ) > 0, T T > 0 . ∂qT ∂q H. En cuanto a las restricciones, YH y YT representan la capacidad instalada de las máquinas y por tanto el limite superior de producción de cada máquina en cada subperiodo, representados por q H i y qT i . La regla de despacho será la usual y evidente en la cual se usa la tecnología más barata primero, de esta manera el costo de producción conjunto es óptimo, de esta manera: q H i ( p i , YH ) = min{X i ( pi ), YH }. qT i ( p i , YT , YH ) = min{X i ( pi ) − q H i ( X i ( p i ), YH ), YT }. La producción total de las dos tecnologías se definirá como:. 20.

(24) IEM E-02-05-04. S i ( p i , YH ,YT ) = min{X ( p i ), YH + YT }.. Una vez definido el problema, se desea maximizar el beneficio social neto de la sociedad definido como:. W ( p , YT , YH ) =. n. Si ( pi ,YH ,YT ). ∑ ∫ 1. A. n. ∑. Pi ( xi ) dxi −. n. ∑c. cH ( q H i ( p i , YH )) −. 1. 0. T. ( qT i ( pi , YH , YT )) −I TYT − I H YH. 1. esta función de beneficio social se pueden agregar, componentes. probabilísticas, asociadas a la aleatoriedad de las demandas, de la disponibilidad de las maquinas o restricciones de confiabilidad de satisfacer la demanda. Se pueden adicionar costos de racionamiento como lo hace Kleindorfer en su trabajo para incluir el efecto de las perdidas económicas por el no suministro de energía.. A continuación se obtienen las condiciones de primer orden. ∂W ( p, YT , YH ) y ∂ pi. ∂W ( p, YT , YH ) ∂W ( p, YT , YH ) que darán forma a la solución del problema. Obsérvese , ∂ YH ∂ YT. primero el caso: ⎡ ∂ ⎢ = ∂pi ⎢ ⎣. ∂W ( p ,YT , YH ) ∂pi. n Si ( pi ,YH , YT. ). ⎤. ⎡. n. ∑ ∫ P ( x ) dx ⎥⎥ − ∂∂p ⎢⎣⎢∑ c ⎦ i. 1. i. i. H. i. 0. 1. ⎤ ∂ ⎡ ( qH i ( pi , Y H ))⎥ − ⎢ ⎦⎥ ∂pi ⎢⎣. n. ∑c. T. 1. ⎤ ( qT i ( p i , YH , YT )) ⎥ ⎦⎥. Observando cada término: 1. ∂ ⎡ ⎢ ∂p i ⎢ ⎣. n. S i ( p i , YH , YT. 1. 0. ∑ ∫. ). ⎤ p i ( xi ) dxi ⎥ = ⎥ ⎦. Pi (min{X ( pi ), YH + YT }). ∂ ⎡ ⎢ ∂p i ⎢ ⎣. n. S i ( p i , YH , YT. 1. 0. ∑ ∫. ). n. ∑ 1. S i ( pi ,YH +YT ) ⎤ ∂ S ( p ,Y + YT ) ∂ ⎡ ⎢ Pi ( xi ) dxi ⎥ = Pi (S i ( p i , YH + YT )) i i H ∂p i ∂pi ⎢ ⎥ 0 ⎣ ⎦. ∫. ∂( min{X ( pi ), YH + YT }) entonces : ∂pi. ⎤ ⎧⎪si X ( p ) ≤ Y + Y i H T Pi ( xi ) dx i ⎥ = ⎨ ⎥⎦ ⎪si X ( p ) > Y + Y ⎩ i H T. ⇒ pi ⇒0. ∂ X ( pi ) ∂p i. 21.

(25) IEM E-02-05-04 2. ∂ ∂p i. =. ⎡ ⎢ ⎢⎣. n. ∑ 1. ⎤ cH ( q H i ( p i , YH )) ⎥ = ⎥⎦. n. ∑ ∂∂p [c. ]. H ( q H i ( p i , YH )). i. 1. ∂cH ( q H i ( pi , YH )) ⎡ ∂ min{X i ( pi ), YH }⎤ ⎢ ⎥ entonces : ∂q H i ∂p i ⎣ ⎦. ∂ ⎡ ⎢ ∂p i ⎣⎢. n. ∑ 1. ⎧ ⎤ ⎪ si X ( p i ) ≤ YH ⇒ ∂cH ( q H i ) ⎡⎢ ∂ X i ( p i ) ⎤⎥ cH ( q H i ( p i , YH )) ⎥ = ⎨ ∂q H i ⎣ ∂pi ⎦ ⎦⎥ ⎪ si X ( p ) > Y ⇒0 i H ⎩. 3. ∂ ∂p i. =. ⎡ ⎢ ⎢⎣. n. ∑ 1. ⎤ cT ( q T i ( pi ,YH , YT )) ⎥ = ⎥⎦. n. ∑ ∂∂p [c. T. 1. (q T i ( pi ,YH , YT )) ]. i. ∂cT (min{X i ( pi ) − q H i ( p i , YH ), YT }) ⎡ ∂ min{X i ( p i ) − q H i ( pi , YH ), YT }⎤ ⎢ ⎥ entonces : ∂qT i ∂p i ⎣ ⎦. ⎧ ∂ c ( q ) ⎡ ∂X ( p ) ⎤ si YH < X i ( p i ) ≤ YT + YH ⇒ T T i ⎢ i i ⎥ ⎪ =⎨ ∂ qT i ⎣ ∂ pi ⎦ ⎪si X ( p ) − q ( p ,Y ) > Y + Y ⇒0 i i Hi i H T H ⎩. Una vez determinadas las derivadas se pueden establecer las condiciones para las cuales ∂W ( p, YT , YH ) = 0: ∂ pi ∂W ( p, YT , YH ) =0 ∂ pi si X i ( p i ) ≤ YH 0 = pi. ∂ X i ( pi ) ∂cH ( q H i ) − ∂q H i ∂p i. ⎡ ∂X i ( p i ) ⎤ ∂cH ( q H i ) ⎢ ⎥ ⇒ pi = ∂q H i ⎣ ∂ pi ⎦. si YH < X i ( p i ) ≤ YH + YT 0 = pi. ∂cT ( qT i ) ∂ X i ( pi ) ∂cT ( qT i ) ⎡ ∂ X i ( pi ) ⎤ − ⎢ ⎥ ⇒ pi = ∂qT i ⎣ ∂p i ⎦ ∂q T i ∂p i. Ahora observando la derivada respecto a las capacidades instaladas:. 22.

(26) IEM E-02-05-04 ∂ ⎡ ∂W ( p, YT , YH ) ⎢ = ∂YH ⎢ ∂ YH ⎣. n S i ( pi ,YH ,YT. ). ⎤ ∂ ⎡ Pi ( xi ) dxi ⎥ − ⎢ ⎥⎦ ∂YH ⎢⎣ 0. ∑ ∫ 1. ∂ ⎡ − ⎢ ∂YH ⎣⎢. n. ∑c. T. 1. n. ∑c. H (q H i (. 1. ⎤ pi , YH )) ⎥ ⎥⎦. ⎤ ( qT i ( p i , YH ,YT ))⎥ − I H ⎦⎥. Se procede de igual manera, obteniendo cada término. 1. ∂ ⎡⎢ ∂YH ⎢ ⎣. n S i ( p i ,Y H ,YT. ) ⎤ Pi ( x i ) dxi ⎥ = ⎥ 0 ⎦. ∑ ∫ 1. Pi (min {X ( p i ), YH + YT }). ∂ ⎡ ⎢ ∂pi ⎢ ⎣. n. ∑ 1. S i ( pi ,Y H ,YT ) ⎤ ∂ ⎡⎢ Pi ( x i ) dxi ⎥ = YH ⎢ ⎥ 0 ⎦ ⎣. ∫. ∑ P (S ( p ,Y i. i. i. H. , YT )). 1. ∂Si ( p i , YH , YT ∂YH. ). ∂( min{X ( pi ), YH + YT }) entonces : ∂YH. n S i ( pi ,Y H ,YT ). ⎤ ⎧ si X ( p ) ≤ Y + Y i H T Pi ( x i ) dxi ⎥ = ⎨ > + si X ( p ) Y Y ⎥ i H T 0 ⎦ ⎩. ∑ ∫ 1. n. ⇒0. ⇒ Pi (YH + YT ). 2. ∂ ⎡ ⎢ ∂YH ⎣⎢. n. ∑ 1. ⎤ cH ( q H i ( pi , YH )) ⎥ = ⎦⎥. n. ∑ ∂Y∂ [c. H. ( qH i ( pi ,YH )) ]. H. 1. ∂cH ( q H i ( pi , YH )) ⎡ ∂ min{X i ( pi ), YH }⎤ ⎢ ⎥ entonces : ∂q H i ∂YH ⎣ ⎦. =. ∂ ⎡ ⎢ ∂YH ⎣⎢. n. ∑ 1. ⎧ si X ( pi ) ≤ YH ⇒ 0 ⎤ ⎪ ∂c ( q ) cH ( q H i ( pi , YH )) ⎥ = ⎨ si X ( p ) > Y ⇒ n H Hi i H ⎦⎥ ⎪ ∂qH i ⎩. 3. ∂ ⎡ ⎢ ∂YH ⎣⎢. n. ∑. =. 1. ⎤ cT ( qT i ( p i ,YH ,YT ))⎥ = ⎦⎥. n. ∑ ∂Y∂ [c 1. T. ( qT i ( p i , YH , YT ))]. H. ∂cT ( qT i ( pi ,YH ,YT )) ⎡ ∂ min {X i ( pi ) − q H i ( p i , YH ), YT }⎤ ⎢ ⎥ entonces : ∂qT i ∂YH ⎣ ⎦. ⎧ ∂ c ( q ( p , Y , Y )) ⎪ si YH < X i ( p i ) ≤ YT + YH ⇒ n T T i i H T =⎨ ∂ qT i ⎪si YH > X i ( pi ) > YT + YH ⇒ 0 ⎩. 23.

(27) IEM E-02-05-04. Las condiciones para ∂W ( p, YT , YH ) =0 ∂ YH. ∂W ( p, YT , YH ) = 0 son: ∂ YH. si X ( p i ) ≤ YH 0 = 0− IH si YH < X ( p i ) ≤ YH + YT 0 = 0− n. ∂c ( q ) ∂cH ( q H i ) + n T Ti − IH ∂q T i ∂q H i. si X ( p i ) > YH + YT 0 = p i (YH + YT ) − n. ∂cH ( q H i ) − IH ∂q H i. Ahora para la térmica ∂ ⎡ ∂W ( p, YT , YH ) ⎢ = ∂YT ⎢ ∂YT ⎣. n. Si ( pi ,YH ,YT ). ∑ ∫ 1. 0. ⎤ ∂ Pi ( xi ) dxi ⎥ − ⎥⎦ ∂YT. ⎡ ⎢ ⎢⎣. n. ∑c. T. 1. ⎤ ( qT i ( p i , YH ,YT ))⎥ − I T ⎥⎦. Se procede de igual manera, obteniendo cada término. 1. ∂ ⎡⎢ ∂YT ⎢ ⎣. n. Si ( pi , YH ,YT. ⎤ Pi ( xi )dxi ⎥ = ⎥ 0 ⎦. ∑ ∫ 1. ). pi (min{X ( pi ),YH + YT }). ∂ ⎡ ⎢ ∂pi ⎢ ⎣. n. ∑ 1. S i ( p i ,Y H ,YT ) ⎤ ∂ ⎡⎢ Pi ( x i ) dxi ⎥ = ∂YT ⎢ ⎥ 0 ⎦ ⎣. ∫. ∑ P ( S ( p ,Y i. i. i. H. , YT )). 1. ∂S i ( p i , YH , YT ) ∂YT. ∂ (min{X ( pi ),YH + YT }) entonces : ∂YT. n S i ( p i ,Y H ,YT. ) ⎤ ⎧ si X ( p ) ≤ Y + Y i H T Pi ( x i ) dxi ⎥ = ⎨ > + si X ( p ) Y Y ⎥⎦ ⎩ i H T 0. ∑ ∫ 1. n. ⇒0. ⇒ Pi (YH + YT ). 2. ∂ ⎡ ⎢ ∂YT ⎣⎢. =. n. ∑ 1. ⎤ cT ( qT i ( p i , YH ,YT ))⎥ = ⎦⎥. n. ∑ ∂Y∂ [c (q T. 1. Ti(. pi ,YH , YT )) ]. T. ∂cT ( qT i ( pi ,YH ,YT )) ⎡ ∂ min {X i ( pi ) − q H i ( p i , YH ), YT }⎤ ⎢ ⎥ entonces : ∂qT i ∂ YT ⎣ ⎦. ⎧ si X i ( p i ) − q H i ( pi ,YH ) ≤ YT + YH ⇒ 0 ⎪ ∂c ( q ) =⎨ si X i ( p i ) − q H i ( pi ,YH ) > YT + YH ⇒ n T T i ⎪ ∂q T i ⎩. 24.

(28) IEM E-02-05-04. Las condiciones para ∂W ( p, YT , YH ) =0 ∂ YH si X ( p i ) ≤ YH + YT. ∂W ( p, YT , YH ) = 0 son: ∂ YH. 0 = 0 − IT si X ( p i ) > YH + YT 0 = Pi (YH + YT ) − n. ∂cT ( qT i ) − IT ∂qT i. De este conjunto de ecuaciones se establece el precio del sistema que equivale al costo marginal de la unidad que se despache en ese momento, y se derivan la ecuaciones que determinan las capacidades a instalar de cada tecnología, en general la demanda máxima debe ser exactamente igual a la suma de las capacidades instaladas, esto es una consecuencia lógica de la formulación donde no se contempla un racionamiento. Para una mayor comprensión de las mismas se solucionará un caso particular sencillo con dos periodos de demanda y costos cuadráticos para cada tecnología.. Caso Particular Como caso práctico, supóngase que la función de costo de los agentes generadores esta dado por funciones de la forma:. CH ( q H ) = a 2 q H + a3 q H CT ( qT ) = b2 qT + b3 qT. 2. 2. Este tipo de función vincula los costos de operación de las plantas, las hidráulicas son más baratas que las térmicas ya que estas últimas reflejan los costos del combustible, este hecho implicaría que. b3 > a3 y b2 > a2 . Se tienen costos de. instalación IT > 0, IH > 0 constantes por instalar una unidad de capacidad por periodo. Evidentemente I H > IT .. Se tendrán dos periodos de demanda, una más alta (pico) y otra más baja (fuera de pico) con funciones: 25.

(29) IEM E-02-05-04 ⎧ h1 p1 ⎪ X1 ( p1 ) = ⎨ m − m si 0 ≤ p1 ≤ h1 ⎪⎩ 0 de otra forma. h ⎧⎪ P1 ( x1 ) = ⎨ h1 − mx1 si 0 ≤ x1 ≤ m ⎪⎩ 0 de otra forma ⎧ h ⎪h − mx2 si 0 ≤ x2 ≤ P2 ( x2 ) = ⎨ 2 m ⎪⎩ 0 de otra forma. ⎧ h2 p2 ⎪ − si 0 ≤ p 2 ≤ h1 X 2 ( p2 ) = ⎨ m m ⎪⎩ 0 de otra forma. Donde xi representa la cantidad total demandada por el mercado y pi es el precio de mercado en el periodo i. Xi(pi) es la función de demanda y Pi(xi) la función inversa de demanda en el periodo i. Se supondrá que la demanda del periodo 1 es mayor que la del periodo 2 así h1 > h2 , la pendiente m será la misma para todos los periodos. La función de beneficio social será entonces, tal como se definió en la sección anterior. W ( p1 , p 2 ,YT , YH ) = −. (. b 2 qT 1 + b3 qT 12. S1 ( p1 ,YH ,YT ). ∫. )− (b q. 0. ). ∫. ). (. ) (. P2 ( x2 ) dx2 − a 2 q H 1 + a3 q H 1 − a 2 q H 2 + a3 q H 2 2. 2. ). 0. + b3 q T 2 − I T YT − I H YH 2. 2 T2. Donde:. S 2 ( p2 , YH ,YT. P1 ( x1 ) dx1 +. q H 1 ( p1 , YH ) = min {X 1 ( p1 ), YH }. qT 1 ( p1 , YT , YH ) = min {X 1 ( p1 ) − q H 1 ( p1 , YH ), YT }. S1 ( p1 , YT , YH ) = min {X 1 ( p1 ), YH + YT }. Son las cantidades producidas en el periodo 1. q H 2 ( p2 , YH ) = min{X 2 ( p 2 ), YH }. qT 2 ( p 2 , YT , YH ) = min{X 2 ( p 2 ) − q H 2 ( p2 , YH ), YT }. S 2 ( p 2 ,YT ,YH ) = min{X 2 ( p 2 ), YH + YT }. Son las cantidades producidas en el periodo 2. Ahora se deben derivar las ecuaciones de primer orden de tal manera que se maximice el beneficio neto social: ∂W ( p1 , p 2 ,YT ,YH ) =0 ∂p1. ∂W ( p1 , p2 , YT ,YH ) =0 ∂p2. ∂W ( p1 , p2 , YT , YH ) =0 ∂ YT. ∂ W ( p1 , p 2 , YT , YH ) =0 ∂YH. 26.

(30) IEM E-02-05-04 Se obtendrán las ecuaciones de primer orden, de acuerdo a las obtenidas en el apartado anterior. S 1 ( p1 ,YH , YT ) ⎞ ∂ ∂ ∂W ( p1 , p 2 ,YT ,YH ) ∂ ⎛⎜ 2 2 P1 ( x1 ) dx1 ⎟ − a2 q H 1 + a 3q H 1 − b2 q T1 + b3q T1 = ⎟ ⎜ ∂p1 ∂p1 ∂p1 ∂p1 0 ⎠ ⎝ • Si X 1 ( p1 ) ≤ YH. (. ∫. 0 = p1 − a 2 − 2 a3 X1 ( p1 ) ⇒ p1 =. ). (. ). ma 2 + 2 a3 h1 m + 2 a3. • Si YH < X1 ( p1 ) ≤ YH + YT 0 = p1 − b2 − 2b3 ( X1 ( p1 ) − YH ) ⇒ p1 =. mb2 + 2 b3 h1 2b3YH m − m + 2 b3 m + 2b3. De igual manera en el periodo 2: S2 ( p 2 , YH , YT ) ⎞ ∂ ∂ ∂ ⎛⎜ ∂W ( p1 , p 2 ,YT ,YH ) 2 2 P2 ( x2 ) dx 2 ⎟ − a 2 q H 2 + a3 q H 2 − b2 q T 2 + b3 qT 2 = ⎟ ⎜ ∂p2 ∂p 2 ∂p 2 ∂ p2 0 ⎠ ⎝ • Si X 2 ( p 2 ) ≤ YH. (. ∫. 0 = p 2 − a 2 − 2 a3 X 2 ( p2 ) ⇒ p 2 =. ). (. ). ma 2 + 2 a3 h 2 m + 2 a3. • Si YH < X 2 ( p 2 ) ≤ YH + YT 0 = p 2 − b2 − 2 b3 ( X 2 ( p 2 ) − YH ) ⇒ p 2 =. mb2 + 2b3 h2 2 b3YH m − m + 2 b3 m + 2 b3. Ahora derivando respecto a la capacidad hidráulica: S 1 ( p1 ,YH , YT ) S2 ( p 2 ,YH , YT ) ⎞ ⎞ ∂ ∂ ⎛⎜ ∂ ⎛⎜ ∂W ( p1 , p 2 ,YT ,YH ) 2 ⎟ ( ) P1 x1 dx1 + P2 ( x2 ) dx 2 ⎟ − a2 q H 1 + a 3 qH 1 = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂YH ∂YH ∂YH ∂YH 0 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 a2 qH 2 + a 3 q H 2 − b2 qT1 + b3 qT 1 − b2 qT 2 + b3 qT 2 − I H − ∂YH ∂YH ∂YH. ∫. (. ). (. (. ∫. ). (. ). ). Procediendo término a término: ⎧Si X1 ( p1 ) < YH + YT ⎫ ⎧ Si X 2 ( p 2 ) < YH + YT ⎫ S1 ( p1 ,YH ,YT ) S 2 ( p2 , YH ,YT ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎞ ⎛ ⇒0 ⇒0 ∂ ⎜ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + P1 ( x1 ) dx1 + P2 ( x2 ) dx2 ⎟ = ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎟ ≥ + ≥ + Si X ( p ) Y Y Si X ( p ) Y Y ∂YH ⎜ 1 1 H T⎪ 2 2 H T⎪ ⎪ 0 0 ⎠ ⎪ ⎝ ⎪⎩ ⇒ h1 − m (YH + YT ) ⎪⎭ ⎪⎩ ⇒ h 2 − m(YH + YT ) ⎪⎭. ∫. ∫. 27.

(31) IEM E-02-05-04. [(. ) (. ∂ 2 2 a2 q H 1 + a 3q H 1 + a2 q H 2 + a 3 q H 2 ∂YH. [(. ) (. ∂ 2 2 b2 qT1 + b3 qT1 + b 2 qT 2 + b3 qT 2 ∂YH. )]. )]. ⎧si X 1 ( p1 ) < YH ⎫ ⎧ si X 2 ( p 2 ) < YH ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒0 ⇒0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ =⎨ + ⎬ ⎨ ⎬ ≥ ≥ si X ( p ) Y si X ( p ) Y 1 1 H⎪ 2 2 H ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩⇒ a 2 + 2 a3YH ⎪⎭ ⎪⎩ ⇒ a 2 + 2 a3YH ⎪⎭. si X 1 ( p1 ) < YH si X 2 ( p 2 ) < YH ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒0 ⇒0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ siYH ≤ X1 ( p1 ) < YH + YT ⎪⎪ ⎪⎪ si YH ≤ X 2 ( p 2 ) < YH + YT ⎪⎪ =⎨ ⎬ +⎨ ⎬ ⎪⇒ −b2 − b3 ( X 1 ( p1 ) − YH ) ⎪ ⎪ ⇒ −b2 − b3 ( X 2 ( p 2 ) − YH ) ⎪ ⎪ si X1 ( p1 ) ≥ YH + YT ⎪ ⎪ si X 2 ( p 2 ) ≥ YH + YT ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒0 ⎪⎩ ⇒0 ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭. Obsérvese que estas ecuaciones hacen referencia a todos los periodos, se debe entonces hacer suposiciones del comportamiento a través de los periodos y evaluar la condición, la condición óptima será aquella que cumpla todas las restricciones. Ahora derivando respecto a la capacidad térmica: S1 ( p1 , YH , YT ) ⎞ ∂ ∂ ⎛⎜ ∂W ( p1 , p 2 ,YT ,YH ) P1 ( x1 ) dx1 ⎟ + = ⎟ ⎜ ∂ YT ∂YT ∂YT 0 ⎠ ⎝ ∂ 2 b2 qT 2 + b3q T 2 − I T − ∂YT. ∫. (. ). ⎞ ⎛ S 2 ( p 2 ,YH ,YT ) ∂ 2 ⎜ P2 ( x2 ) dx2 ⎟ − b q +b q ⎟ ∂ YT 2 T 1 3 T1 ⎜ 0 ⎠ ⎝. ∫. (. ). Procediendo término a término: ∂ ⎛⎜ ∂YT ⎜ ⎝. S 1 ( p1 ,YH , YT ). [(. ∫ P ( x )dx 1. 1. ⎧ Si X1 ( p1 ) < YH + YT ⎫ ⎧ Si X 2 ( p2 ) < YH + YT ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎞ ⎪⎪ ⇒0 ⇒0 ⎪ ⎪ ⎪ + P2 ( x2 ) dx2 ⎟ = ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎟ ≥ + ≥ + Si X ( p ) Y Y Si X ( p ) Y Y 1 1 H T⎪ 2 2 H T⎪ ⎪ 0 ⎠ ⎪ ⎪⎩ ⇒ h1 − m(YH + YT ) ⎪⎭ ⎪⎩ ⇒ h2 − m(YH + YT ) ⎪⎭. S 2 ( p2 ,YH ,YT. 1. +. 0. ) (. ∫. ). ∂ b q + b3 qT1 2 + b 2 qT 2 + b3q T 2 2 ∂YH 2 T1. )]. ⎧ si X 1 ( p1 ) < YH + YT ⎫ ⎧si X 2 ( p2 ) < YH + YT ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒0 ⇒0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ =⎨ + ⎬ ⎨ ⎬ ≥ + ≥ + si X ( p ) Y Y si X ( p ) Y Y 1 1 H T⎪ 2 2 H T⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⇒ b2 + 2 b3 YT ⎪⎭ ⎪⎩ ⇒ b2 + 2b3YT ⎪⎭. Ahora se deben analizar los resultados obtenidos para discernir la solución adecuada; como se asumió que la demanda del periodo 1 es mayor que la del periodo 2, h1 > h2 , entonces para satisfacer la demanda es claro que X1 ( p1 ) = YH + YT ya que no. instalar capacidad adicional no serviría en este caso disminuiría el beneficio social neto,. 28.

(32) IEM E-02-05-04 ya que no aporta nada al excedente del consumidor. De esta misma situación se adiciona que X 2 ( p 2 ) < YH + YT , ya que la demanda es menor en dicho periodo. Sin embargo, se debe hacer alguna suposición sobre el comportamiento de X 2 ( p 2 ) : 1.. X 2 ( p 2 ) ≤ YH. •. ∂W ( p1 , p 2 , YT ,YH ) =0 ∂ p1 0 = p1 − b 2 − 2b3 (YT ) ⇒ p1 = b2 + 2b3 (YT ). •. ∂W ( p1 , p 2 , YT ,YH ) =0 ∂ YT 0 = h1 − m(YH + YT ) − (b2 + 2b3YT ) − I T. •. ∂W ( p1 , p 2 , YT ,YH ) =0 ∂p 2 p2 =. •. ma2 + 2 a3 h 2 m + 2a 3. ∂W ( p1 , p 2 ,YT ,YH ) =0 ∂YH 0 = h1 − m(YH + YT ) − (a 2 + 2 a 3YH ) − I H. En este caso se resalta un resultado importante que se obtiene al fusionar las ecuaciones de capacidad:. (b2 + 2 b3YT ) + I T = (a 2 + 2a 3YH ) + I H. ⇒ (b2 + 2b3YT ) − ( a2 + 2a 3YH ) = I H − I T. Este resultado se obtiene de manera particular para funciones lineales en los trabajos de Duran y de Kleindorfer. Despejando las ecuaciones se obtiene que:. b ⎞ ⎛ ⎛ b ⎞ h1 ⎜1 + 3 ⎟ + I T + b2 + (I H − b 2 )⎜ 2 + 3 ⎟ m⎠ m⎠ ⎝ YH = ⎝ (2 m + a3 )(2 m + b3 ) − m YT =. 2.. a ⎞ h1 − I H − a 2 ⎛ − YH ⎜ 2 + 3 ⎟ m⎠ m ⎝. X 2 ( p 2 ) > YH. 29.

(33) IEM E-02-05-04 •. ∂W ( p1 , p 2 , YT ,YH ) =0 ∂ p1 0 = p1 − b 2 − 2b3 (YT ) ⇒ p1 = b2 + 2b3 (YT ). •. ∂W ( p1 , p 2 , YT ,YH ) =0 ∂ YT 0 = h1 − m(YH + YT ) − (b2 + 2b3YT ) − I T. •. ∂W ( p1 , p 2 , YT ,YH ) =0 ∂p 2 0 = p 2 − b2 − 2 b3 ( X 2 ( p 2 ) − YH ) ⇒ p 2 =. •. mb2 + 2b3 h2 2 b3YH m − m + 2 b3 m + 2 b3. ∂W ( p1 , p 2 ,YT ,YH ) =0 ∂YH 0 = h1 − m(YH + YT ) − 2 (a 2 + 2 a3 YH ) − I H − (− b 2 − b3 ( X 2 ( p 2 ) − YH ) ). 30.

(34) IEM E-02-05-04. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE JUEGOS EN MERCADOS ELÉCTRICOS. Introducción El objetivo específico de esta sección es derivar resultados, fruto de dos modelos económicos de oligopolio, el modelo de Cournot y el modelo de Equilibrio de funciones de oferta, el cual no ha sido analizado en secciones anteriores y que se plantea como un análisis novedoso y como una generalización de muchos otros modelos. Se desea hacer un particular énfasis en el mismo ya que sus particularidades nos llevaran a nuevas conclusiones Sea Q( p ) la demanda económica del mercado para un instante de tiempo especifico, en ella se refleja la maximización de la utilidad conjunta de los compradores. Por simplicidad, se supondrá que existentes dos agentes capaces de afectar el mercado de manera directa, encontrándose entonces en una situación oligopólica. En el caso de los mercados eléctricos un agente podría representar un generador hidráulico y el otro a un térmico. Dichas firmas tienen costos asociados a su nivel de producción (q) representados por una función. C i (qi ) , en este análisis inicial se supondrá únicamente que es. monotónicamente creciente.. El objetivo principal de los agentes es maximizar su beneficio, definido como las ventas totales menos los costos asociados a la producción de los bienes. max π i ( qi ) = q i p( qi + ∑ q j ) − Ci (qi ) j ≠i. 31.

(35) IEM E-02-05-04. Siendo P (q ) la función inversa de demanda de Q( p ) , es decir P (Q( p)) = q . De acuerdo con la teoría de juegos, cada agente intentará hacer lo más beneficioso para si mismo teniendo en cuenta las acciones de los demás. Lo que diferencia los enfoques son los supuestos sobre la influencia de la función de demanda y la variable a utilizar en la optimación.. Modelo de Cournot en mercados eléctricos. Generalidades En el caso del modelo de Cournot, los agentes intentan variar su cantidad producida teniendo en cuenta la producción de los otros agentes de tal manera que se maximice su propia utilidad, este enfoque es no cooperativo ya que se asume que no existen coaliciones entre los agentes. El problema para el agente i, en el modelo de Cournot es: max π i ( qi ) = qi p( qi + ∑ q j ) − Ci (qi ) qi. j ≠i. Asumiendo que la producción total de los otros agentes. ∑q. j. es dada, de esta. j≠ i. manera la condición de primer orden para el agente i es: ∂π i = 0 = p( qi + ∑ q j ) + qi p' ( qi + ∑ q j ) − Ci ' (qi ) ∂qi j ≠i j ≠i. De esta condición se puede derivar una función que relaciona la producción de i respecto a las demás, cumpliendo con la maximización de beneficio propio, conocida como la función de reacción de i.. El equilibrio de Nash para esta condición se da en la intersección entre las curvas de reacción de los agentes, dicho equilibrio puede ser estable o no dependiendo. 32.

(36) IEM E-02-05-04 de la estructura del problema. En términos económico el equilibrio es estable si no existe motivación alguna para que los agentes varíen su posición ya que si lo hacen disminuirán su beneficio. Esta condición se conoce también como un equilibrio en sentido de Pareto.. Al aplicar este modelo al mercado eléctrico, se deben tener en cuenta ciertas particularidades, se asumirá que no existen ni restricciones ni costos de red; en este punto se debe ser cuidadoso ya que las restricciones de red restringen el espectro de posibilidades de producción de los agentes. Este punto es bastante interesante y se ha venido analizando en literatura reciente; usualmente se le ve como una característica generadora de poder de mercado ya que el agente puede obtener mayores rentas aprovechando las restricciones. Obviando esta importante particularidad que en una condición ideal no existiría para los agentes, se debe adicionar la característica propia de capacidad, los agentes no pueden producir a capacidades superiores a su máximo técnico.. Para generalizar el comportamiento de la curva de costos de las tecnologías se hará uso de una función convexa creciente y luego para efectos prácticos un función cuadrática, la cual refleja el comportamiento básico de los costos tanto para agentes térmicos como hidráulicos, se debe tener presente las relaciones fundamentales que afectan el comportamiento estratégico entre estas dos tecnologías que son, mayor costo de inversión y menor costo de operación de las hidráulicas respecto a las térmicas. Otro punto importante es la inclusión de la restricción de capacidad. Técnicamente las plantas pueden llegar hasta cierto límite de producción que es su máximo operativo, sin embargo llegar a dicho nivel puede implicar reducciones en la vida útil de las plantas; en este trabajo no se modelará el detalle de los costos de arranque y de saturación de las plantas, se asumirá que la planta para cada instante de tiempo puede llegar a producir hasta cierto límite de capacidad a un costo alto pero no infinito, como es asumido por ciertos autores.. Modelo general Se supondrá, como se dijo anteriormente, que los agentes tienen funciones de costo características dependientes de su producción que describen tanto su costo. 33.

(37) IEM E-02-05-04 variable como su costo fijo, estas serán crecientes, continuas y diferenciables en el intervalo de operación de la máquina. Por tanto se debe cumplir que: ∂C i (qi ) ≥0 ∂qi. ∂ Ci (qi ) ≥ 0 ∀ 0 ≤ qi ≤ qi MAX 2 ∂ qi 2. i = H ,T. La función de demanda inversa Q( p ,t ) representará la cantidad de M W que demandarían los usuarios dados un precio y una hora en particular. Como el modelo de Cournot que trataremos muestra la competencia en el mercado de corto plazo, hora a hora, se puede omitir el término t y resolver el problema para dicho instante en particular, se deben contrastar los casos relevantes como lo son las horas de demanda pico y no pico. Se asume entonces que para cada t la función de demanda es invertible de esta manera si la demanda es P (Q ) , Q(P ) sería la función de demanda inversa del mercado para una hora particular. Para efectos prácticos se supondrá adicionalmente, en análisis posteriores, que la demanda es una función lineal P(Q) = h − mQ , obsérvese que el parámetro h puede modelar las diferentes condiciones de demanda del mercado donde h pico > h fuera de pico . Teniendo el problema definido en su contexto, el problema individual. de los agentes es:. HIDRÁULICO. TÉRM ICO. max π H ( qH ) = q H P( qH + qT ) − CH (qH ). max π T ( qT ) = qT P (qT + q H ) − CT ( qT ). sa. sa. qH. qH ≤ qH MAX qH ≥ 0. µH+ µH −. qT. qT ≤ qT MAX qT ≥ 0. µT + µH−. Debido a la simetría existente entre los dos problemas, se puede resolver para un solo agente y análogamente usar la solución de uno para calcular la del otro, utilizando las relaciones entre constantes se obtendrán las conclusiones. Para el caso hidráulico: − L = − qH P (q H + qT ) + CH (qH ) + µ H + (qH − q MAX ) + µH ( −q H ) H. Las condiciones de primer orden de Kuhn-Tucker son:. 34.

(38) IEM E-02-05-04 ∂P + − = − P( qH + q T ) − q H P' ( q H + qT ) + C H ' ( q H ) + µ H − µ H = 0 ∂q H. µ H + (q H − q MAX ) =0 H µ H − (−q H ) = 0 +. −. µH ≥ 0 µH ≥ 0 Y la condición de segundo orden indica: ∂2P = − P' ( q H + qT ) − [q H P' ' ( q H + qT ) + P' ( q H + qT ) ] + C H ' ' ( q H ) > 0 ∂2qH C H ' ' ( q H ) > 2 P' ( q H + qT ) + q H P' ' ( q H + qT ). Evidentemente la existencia de un máximo local depende de la forma del comportamiento regular de las funciones usadas, como la función de costos es creciente y con segunda derivada positiva, como se mostró anteriormente, la función de demanda debe ser decreciente, lo cual es económicamente cierto, el término qH es siempre no positivo debido a la restricción y por tanto no afecta la regularidad de la función. Para resolver este problema se plantean las posibles combinaciones de restricciones activas e inactivas:. µH+ = 0 µH − = 0 ⇒ qH < qH MAX. ∧ qH > 0. − P (qH + qT ) − qH P ' (qH + qT ) + CH ' ( qH ) = 0 qH =. C H ' (q H ) − P( qH + qT ) P ' (q H + qT ). En este caso la producción se encuentra entre sus límites normales de operación.. µH+ > 0 µH − = 0 ⇒ qH = qH MAX. ∧ qH > 0. − P (q H MAX + qT ) − q H MAX P ' (qH MAX + qT ) + CH ' (qH MAX ) + µ H + = 0. 35.

(39) IEM E-02-05-04. En este caso la producción llega a su máximo, y por ende el beneficio depende de la cantidad que fije el otro oponente. Un aspecto especial de esta ecuación es que se determina un rango de respuesta para la producción del oponente. Obsérvese que: − P (qH MAX + qT ) − qH MAX P' ( qH MAX + qT ) + C H ' ( qH MAX ) + µ H + = 0. y. µH + > 0. ⇒ P (q H MAX + qT ) + q H MAX P ' (q H MAX + qT ) − CH ' (qH MAX ) = µ H + > 0 P( qH. MAX. + qT ) + qH. MAX. P ' (q H. MAX. + qT ) > CH ' (q H. MAX. ). La condición óptima fuerza al generador hidráulico a fijar su producción al máximo si el otro generador ofrece una cantidad determinada por la ecuación anterior ( qT ). Este punto es muy importante ya que dicha condición puede llevar a la no existencia de un punto de equilibrio de Nash. Analizando el siguiente caso se obtiene:. µH+ = 0 µH − > 0 ⇒ qH < qH MAX. ∧ qH = 0. − P (qT ) + C H ' (0) − µ H − = 0 En este caso la producción es cero, y los beneficios son negativos ya que se debe incurrir en costos fijos de operación. Al igual que en el caso anterior, aparece otro límite de operación dado por − P (qT ) + CH ' (0) − µ H − = 0. y. µH − > 0. ⇒ − P (qT ) + CH ' (0) = µ H − > 0 P( qT ) < CH ' (0). → qT < P −1 (CH ' (0)). 36.

(40) IEM E-02-05-04 De igual manera el generador hidráulico debe hacer cero su producción si la producción del térmico ( qT ) está por encima de la cantidad demanda por los usuarios al costo marginal en cero del agente hidráulico. Los límites de producción establecidos en las ecuaciones anteriores completan la estrategia de producción del agente hidráulico que maximiza su beneficio; ya que la ecuación restante se descarta debido a que conduce a un absurdo:. µH + > 0 µH− > 0 ⇒ q H = qH. MAX. ∧ qH = 0. Caso Particular Como caso práctico, supóngase que la función de costo de los agentes generadores esta dado por funciones de la forma: CH ( q H ) = a1 + a 2 q H + a3 q H CT ( qT ) = b1 + b2 qT + b3 qT. 2. 2. Este tipo de función vincula los costos de operación fijos para ambas tecnologías, como los costos fijos incluyen los costos amortizados de inversión en la planta, se debería cumplir que b1 < a1 ya que las plantas hidráulicas exigen inversiones mucho más altas que las térmicas, obsérvese sin embargo que es un valor por unidad de tiempo, ya que se asume esta función de costo para un tiempo específico, obsérvese que q representa la potencia en un t, sin embargo podría representa energía en un periodo. Como los mercados eléctricos tranzar energía en el mercado spot por horas, se podría decir que dicha función representa el costo asociado a producir cierta cantidad de M Wh en una hora específica. Otra particularidad es que los costos de operación de las plantas hidráulicas son menores al de las térmicas ya que estos reflejan en gran manera los costos del combustible, en el caso hidráulico se podría asumir un costo para el agua pequeño respecto a los de combustible, este hecho implicaría que b3 > a3 y b2 > a2 .. 37.

(41) IEM E-02-05-04 Retomando el caso particular, y a manera de ejemplo, usando la función de costos y la función inversa de demanda especificada y sus derivadas, se obtendrían las siguientes ecuaciones: ∂C H ( qH ) = a 2 + 2 a3q H ∂ qH ∂CT ( qT ) = b2 + 2b3 qT ∂qT. ⎧⎪h − mQ si 0 ≤ Q ≤ h P (Q ) = ⎨ m ⎪⎩ 0 de otra forma ⎧⎪ h P 0 Q( P ) = ⎨ m − m si ≤ Q ≤ h ⎪⎩ 0 de otra forma. Procediendo de igual manera: •. Caso 1 +. −. µH = 0 µH = 0 ⇒ q H < q H MAX. ∧ qH > 0. − h + mq H + mqT + mq H + a 2 + 2a 3 q H = 0 qH =. •. h − mqT − a 2 2 a3 + 2 m. qT =. h − a 2 − q H ( 2 a 3 + 2m) m. Caso 2 +. −. µH > 0 µH = 0 ⇒ q H = q H MAX. ∧ qH > 0. − h + mqT + q H h − mqT − q H qT <. •. MAX. MAX. h − a2 − q H. +. ( 2 m + 2 a3 ) + a 2 + µ H = 0 +. ( 2m + 2a 3 ) − a2 = µ H > 0. MAX. ( 2a 3 + 2 m). m. Caso 3. 38.

(42) IEM E-02-05-04. µH + = 0 µH − > 0 ⇒ q H < qH MAX. ∧ qH = 0. − h + mqT + a 2 = µH − > 0 qT >. h − a2 m. Estas ecuaciones muestran que para que el agente hidráulico maximice sus beneficios el oponente debe ofertar dentro de un rango específico de producción, su acción solo es óptima bajo cierto comportamiento de su rival. Esto puede verse en la función de reacción del agente hidráulico.. MAX ⎧ h − mqT − a2 h − a2 − qH (2a3 + 2m) h − a2 si ≤ qT ≤ ⎪ m m ⎪ 2 a3 + 2m h − a ⎪ 2 qH (qT ) = ⎨ q H = 0 si qT > = qT m ⎪ MAX (2a3 + 2m) ⎪q = q MAX si q < h − a 2 − q H = qT H H T ⎪ m ⎩. En la figura siguiente se muestra el comportamiento típico de la función de reacción para el agente hidráulico:. Figura 3. La ecuación para el térmico sería análoga a la anterior:. 39.

(43) IEM E-02-05-04 MAX ⎧ h − mqH − b2 h − b2 − qT (2b3 + 2m) h − b2 si ≤ qH ≤ ⎪ m m ⎪ 2b3 + 2m h − b ⎪ 2 qT (q H ) = ⎨ qT = 0 si qH > = qH m ⎪ MAX (2b3 + 2 m) ⎪q = q MAX si q < h − b2 − qT = qH T T H ⎪ m ⎩. El equilibrio de Nash, el punto de equilibrio estable, ocurre en el punto de cruce entre estas dos funciones, se debe tener en cuenta los efectos de los parámetros y las restricciones de rango en la determinación del punto de equilibrio. Para determinar el punto de equilibrio, se puede hallar la función inversa de la expresión anterior y buscar el punto de corte entre las dos funciones, un ejemplo alusivo se presenta en la figura 2:. Figura 4. Definiendo iqT (q T ) como la inversa de la función de reacción del agente térmico se obtiene que:. iq T (qT ) =. h − b2 − qT ( 2b3 + 2m) m. si 0 ≤ qT ≤ qT MAX. Determinar el punto de equilibrio, en principio, sería una tarea fácil; sin embargo, pueden ocurrir situaciones como la siguiente donde existen múltiples equilibrios:. 40.

(44) IEM E-02-05-04. Figura 5. Se debe entonces verificar cuales son las condiciones que garanticen la existencia de un único óptimo y que permitan una comparación objetiva con la teoría de precios de periodo pico (TPPP). Existen particularidades que facilitan el análisis:. 1. Relación de pendientes. La pendiente de la curva de reacción del agente hidráulico es menor en valor absoluto que la curva de reacción inversa:. pendienteCIRT. − (2b3 + 2 m) −m < pendienteCRH m 2a 3 + 2m. 2. Rangos para operación según TPPP. Dicha teoría afirma que la tecnología de costo marginal menor se despacha en la base de la demanda, y se completa la demanda con un orden creciente de costo marginal. Esta condición sería similar a las siguientes situaciones:. Figura 6. 41.