Valoración de opciones americanas con programación líneal

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(1)Valoración de Opciones Americanas con Programación Lineal. Tesis para Optar por el Titulo de Matemático. Presentada por: Camilo Andrés Santos Ardila. Director: Dr. V. Arunachalam. Universidad de los Andes Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas Bogotá, Colombia Julio, 2003.

(2) Índice general 1. Introducción. 5. 2. Preliminares. 7. 2.1. Nociones Básicas de Teoría de la Medida 2.2. Conceptos de Opciones Financieras . . . 2.3. Herramientas de Análisis Funcional . . . 2.3.1. Espacios de Sobolev . . . . . . . 2.4. Problemas Complementarios . . . . . . . 2.5. Desigualdades Variacionales . . . . . . . 2.6. Programación Lineal . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 3. Las Opciones Americanas en el modelo de Black-Scholes. 3.1. Supuestos del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Valoración Libre de Arbitraje de una Opción Put Americana . . . 3.3. Formulación con Desigualdades Variacionales y con un Sistema Complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Formulación Equivalente del Problema como un Programa Lineal Abstracto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7 9 10 11 11 13 14. 15 15 19. 21 23. 4. El Método de Programación Lineal para las Opciones Americanas en el modelo B-S 25 4.1. Localización y Discretización . . . . . . . . . . . . . 4.2. Un ejemplo del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Análisis de Sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Cambios en la volatilidad . . . . . . . . . . 4.3.2. Cambios en la tasa libre de riesgo . . . . . . 4.4. Comparación con otras metodologias . . . . . . . . 4.4.1. Método PSOR . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Programación Lineal Vs. PSOR . . . . . . . 4.4.3. Programación Lineal Vs. Arboles Binomiales. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 25 29 29 30 30 31 32 33 34. 5. Conclusiones. 36. Bibliografía. 37.

(3) 0.0. A. Código del Programa en MATLAB. 3. 39.

(4) Agradecimientos En primer lugar quiero agradecerle a mi mamá ya que todo se lo debo a ella. A Arun muchísimas gracias por su ayuda y por sus enseñanzas. Un especial agradecimiento a Fernando Beltrán por todo su apoyo y conanza. A Augusto Perilla gracias por brindarme su amistad y por enseñarme lo increíble que es aprender a aprender. Le agradezco a todos los profesores el haber contribuido a mi formación. A todos mis amigos muchísimas gracias por todo. Finalmente, gracias a las Matemáticas por darme un modo de pensar y por mostrarme una forma maravillosa de ver el mundo..

(5) Capítulo 1 Introducción La valoración de derivados es uno de los problemas más importantes en la matemáticas nancieras modernas. Instrumentos como las opciones han adquirido gran importancia tanto a nivel teórico como en los mercados reales. La opciones más comunes y más transadas son las americanas que tienen la posibilidad de ser ejercidas en cualquier momento antes de la fecha de expiración. Por lo general, debido al ejercicio temprano, el valor de una opción americana no tiene una solución análitica. El problema de valoración se ha planteado de varias formas: como un problema de tiempo óptimo de parada o un problema de frontera libre. En 1989 Jaillet, Lamberton, y Lapeyre [8] afrontaron el problema con elementos de desigualdades variacionales y esto dió las bases teóricas para el desarrollo de los métodos númericos que se implementaron en los años 90 para resolver el problema de la valoración de opciones americanas. El objetivo de este trabajo estudiar la implementación de técnicas de programación lineal para resolver el problema de valoración de opciones. Esta nueva metodología fue formulada por Dempster y Hutton [4] en 1999 en el artículo Pricing American Stock Options by Linear Programming. El trabajo se organiza de la siguiente forma: El Capítulo 2 describe los resultados más importantes que dan las bases teóricas y prácticas para el desarrollo del proyecto. En el Capitulo 3 se describe el modelo de Black-Scholes y se dene el problema de valoración de opciones americanas en sus diferentes formas. Se plantea la equivalencia entre las diferentes formulaciones del problema y se muestra que la valoración de una opción americana se puede plantear como el problema del menor elemento y como un problema lineal abstracto. En el Capítulo 4 se realiza la implementación.

(6) 1.0. 6. del modelo de programación lineal y se analizan algunos resultados númericos del método. Especicamente se analiza la sensibilidad del modelo ante cambios en los parámetros, y se compara el nuevo método de programación lineal contra el PSOR (un algoritmo ampliamente utilizado para la solución de los problemas complementarios)..

(7) Capítulo 2 Preliminares En este capítulo se realiza un resumen de la teoría y de los resultados más importantes que se utilizaron para el desarrollo del trabajo. Entre la teoría se incluyen conceptos básicos de teoría de la medida, análisis funcional y opciones nancieras que permitiran contextualizar el problema que se trabaja en el proyecto y que se resolvera con técnicas de programación lineal, problemas complementarios y desigualdades variacionales.. 2.1. Nociones Básicas de Teoría de la Medida Para cuanticar la incertidumbre que generan los precios de los activos es necesario utilizar herramientas de probabilidad, procesos estocásticos y elementos de la estadística. El desarrollo matemático de la probabilidad se originó con el estudio de los juegos de azar en 1654 con Pascal y Fermat. Sin embargo el estudio matemático riguroso de la probabilidad necesita las bases de la teoría de la medida que se desarrollo a comienzos del siglo XX con Lebesgue y Kolmogorov. A continuación se presentan las deniciones básicas de la teoría de la medida.. Denición 2.1.1. Sea Ω un conjunto. Una colección F de subconjuntos de Ω es una σ -algebra si cumple las siguientes propiedades: i) Ω ∈ F . ii) Si A ∈ F ⇒ AC ∈ F ..

(8) 2.1. 8. iii) Para una sucesión de conjuntos An ∈ F (n ∈ N) se tiene que ∞ [. An ∈ F. n=1. Denición 2.1.2. Considerese el espacio (Ω, F). Una aplicación µ → [0, ∞] es una medida en (Ω, F) si es aditiva enumerable. Esto signica que si {Ai } es una colección enumerable disyunta de F entonces: Ã∞ ! ∞ [ X µ Ai = µ(Ai ) i=1. i=1. A la tripleta (Ω, F, µ) se le denomina espacio medible. La σ -algebra de Borel B = B(R) es la σ -algebra de subconjuntos de R generada por los intervalos abiertos. Una medida P en el espacio (Ω, F) es una medida de probabilidad si P (Ω) = 1. La tripleta (Ω, F, P ) es un espacio de probablidad.. Denición 2.1.3. Sea Ω un espacio medible. Una función f : Ω → R es medible si f −1 (V ) es un conjunto medible en Ω para cualquier abierto de R.. Denición 2.1.4. Una variable aleatoria es una función Y : Ω → R tal que Y −1 (B) = {ω ∈ Ω : Y (ω) ∈ B} ∈ F para todos los conjuntos de Borel B ∈ B Un concepto importante para entender el desarrollo de la incertidumbre a través del tiempo es el de ltración. A medida que el tiempo pasa, siempre se posee más información ya que esta se acumula. Este proceso de acumulación a través del tiempo se representa por medio de la idea de ltración.. Denición 2.1.5. Una ltración es una familia creciente de σ -algebras (Ft )0≤t≤∞ . Esto signica que si s ≤ t, entonces Fs ⊂ Ft . Un proceso estocástico en tiempo continuo X es una sucesión de variables aleatorias {Xt } denidas en (Ω, F, P ) indexadas por t. Se dice que el proceso X es adaptado si Xt ∈ Ft para cada t.. Denición 2.1.6. Una variable aleatoria τ : Ω → [0, ∞] es un tiempo de parada si el evento {τ ≤ t} ∈ Ft , para todo t, 0 ≤ t ≤ ∞. Un tiempo de parada se puede entender como un tiempo en el que se decide si se continua o no en un juego de azar. La decisión de seguir o no en el juego en el tiempo t depende de la información acumulada hasta ese momento..

(9) 2.2. 9. Denición 2.1.7. Sea T el conjunto de tiempos de parada en [0, T ]. Un tiempo de parada τ ∈ T es un tiempo óptimo de parada para (Xt ) si: EQ (Xτ ) = sup EQ (Xt ) t∈T. Denición 2.1.8. Un proceso adaptado X = (Xt )0≤t<∞ es una martingala con respecto a la ltración (Ft )0≤t≤∞ si: a) E(|Xt |) < ∞ b) Si s ≤ t, entonces E(Xt |Fs ) = Xs. Denición 2.1.9. Un proceso estocástico Xt (ω) denido en [0, T ] × Ω con la σ algebra B([0, T ] × F) es un proceso progresivamente medible si para todo t ∈ [0, T ], la función (t, ω) → Xt (ω) es medible con respecto a la σ -algebra B([0, t])×Ft Uno de los procesos estocásticos más utilizados en matemáticas nancieras es el movimiento browniano. Este proceso le debe su nombre al botanico Robert Brown que en 1828 estudio el movimiento de particulas contenidas en los granos de polen de las plantas. En 1905, Albert Einstein utilizó el movimiento browniano para explicar el comportamiento de una partícula suspendida en un líquido. En 1920, Norbert Wiener denió de forma rigurosa el movimiento browniano y estableció sus propiedades.. Denición 2.1.10. El movimiento browniano estandar (Bt )t≥0 , es un proceso estocástico con las siguientes propiedades: a) B0 = 0. b) La función t → Bt (ω) es continua c) Para s ≤ t, Bt − Bs es una variable aleatoria normal que tiene media 0, varianza t − s, y es independiente de Fs = σ{Bu : u ≤ s}. 2.2. Conceptos de Opciones Financieras En 1900 el matemático francés Bachelier dió origen a las matemáticas nancieras con su tesis Théorie de la spéculation cuando conectó los conceptos de los procesos estocásticos con el movimiento de los precios de las acciones. A lo largo del.

(10) 2.3. 10. siglo XX con el desarrollo de la teoría de la probabilidad, las ecuaciones diferenciales y el cálculo estocástico, se originó la teoría de la valoración de opciones con el trabajo realizado por Black y Scholes en 1973. Una opción es un derecho para comprar o vender un activo a un precio especico durante un período de tiempo. Las opciones que dan derecho a comprar se denominan call y las que dan derecho a vender se llaman put. Las opciones europeas son aquellas que solo se pueden ejercer en una fecha especíca denominada fecha de expiración y las opciones americanas pueden ser ejercidas en cualquier tiempo anterior a la fecha de expiración. Los activos sobre los cuales se ejercen las opciones pueden ser acciones, índices bursátiles, monedas, títulos de deuda, productos agrícolas, etc. La valoración de opciones se constituye en uno de los principales problemas de las matemáticas nancieras.. 2.3. Herramientas de Análisis Funcional Para trabajar con las ecuaciones diferenciales que surgen de la formulación de los problemas de valoración de opciones, es necesario localizarlos es espacios adecuados y en esto, el análisis funcional juega un papel fundamental.. Denición 2.3.1. Un espacio de Hilbert es un espacio con producto interno (H, hi), que es completo para la norma k · k denida por el producto interno de la siguiente forma: p kxk = hx, xi. Denición 2.3.2. Una forma bilineal continua a(·, ·) denida en un espacio de Hilbert H es coerciva en H si y solo si ∃α ∈ R+ tal que a(u, u) ≥ α k u k2. ∀u ∈ H. Denición 2.3.3. Un operador T en un espacio de Hilbert H es coercivo en H si y solo si. ∃α ∈ R+ tal que hu, T ui ≥ α k u k2. ∀u ∈ H. Denición 2.3.4. Un operador lineal T en un espacio de Hilbert H es de tipo Z si y solo si. hu, vi = 0 ⇒ hu, T vi ≤ 0. ∀u, v ∈ H.

(11) 2.4. 11. 2.3.1. Espacios de Sobolev La teoría de los espacios de Sobolev se originó por el matemático ruso S.L. Sobolev en 1938. Son espacios adecuados para desarrollar las ideas de análisis funcional y la teoría de la ecuaciones diferenciales parciales. El espacio L1loc (Ω) es el conjunto de todas las funciones Lebesgue-medibles en Ω con valor absoluto integrable en todo subconjunto compacto de Ω. Un multi-indice α = (α1 , . . . , αn ) es un vector con componentes naturales y |α| = α1 + . . . + αn . La derivada parcial se dene:. Dα f =. ∂ |α| f ∂xα1 1 . . . ∂xαnn. Denición 2.3.5. Una función v ∈ L1loc (Ω) localmente integrable se llama la α − esima derivada debil de u ∈ L1loc (Ω) si satisface Z. Z |α|. uDα φdx. φvdx = (−1) Ω. Ω. |α|. para todo φ ∈ C0 (Ω) y se representa como. Dα u = v. Denición 2.3.6. Un espacio de Sobolev W m,p se dene como un espacio de funciones u ∈ Lp (Ω) cuyas derivadas débiles de orden menor o igual a m existen y pertenecen a Lp (Ω). W m,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) : Dα u ∈ Lp (Ω), para todo 0 ≤ |α| ≤ m}. 2.4. Problemas Complementarios Dada una función f : Rn → Rn , el problema complementario (complementarity problem) clásico busca un vector x tal que f (x) ≥ 0, x ≥ 0 (en cada coordenada) y hf (x), xi = 0 (con el producto interno). De forma equivalente, bajo ciertas circunstancias, busca un vector x tal que f (x) ∧ x = 0 (el mínimo en cada coordenada en el orden del retículo).1 Borwein y Dempster [3] realizaron un extenso trabajo sobre la teoría desarrollada en los problemas complementarios y en sus aplicaciones. 1 Un. conjunto ordenado (A, ≤) es un retículo si para cada par de elementos a, b ∈ A existen sup(a, b) y inf (a, b)..

(12) 2.5. 12. De forma general se pueden considerar dos problemas: el problema complementario topológico (topological complementarity problem) y el problema de orden complementario (order complementarity problem). a) El problema complementario topológico considera dos espacios vectoriales topológicos X y Y con una aplicación bilineal asociada h·, ·i en X × Y . Para un cono convexo S en X y una aplicación T : S → Y , se busca la solución a:. hT (x) + q, xi = 0,. x ∈ S,. T (x) + q ∈ S +. para q en X . S + es el cono dual de S que representa el conjunto de todos los elementos de Y que son positivos. b) El problema de orden complementario considera un reticulo vectorial X con un cono positivo S . Para una aplicación T : S → X , se busca la solución a:. (T (x) + q) ∧ x = 0,. q∈X. para q ∈ X . Un retículo vectorial es un espacio vectorial parcialmente ordenado tal que para cada par de elementos a y b en X , el máximo a ∨ b y el mínimo a ∧ b existen en el orden inducido por S .2 Un retículo vectorial X que también es un espacio de Hilbert es un retículo de Hilbert si la norma del producto interno es una norma reticular y completa. Una norma reticular signica que si |x| ≤ |y| entonces se tiene kxk ≤ kyk. Donde |x| es el valor absoluto de x denido como |x| , x ∨ (−x). Un importante resultado de Borwein y Dempster [3] da la equivalencia entre el problema de orden complentario y el problema complementario topológico. Proposición 2.4.1. Sea X un retículo vectorial y espacio de Hilbert. Las siguientes armaciones son equivalentes: a) X es un retículo de Hilbert b) S = S + c) Para x,y en S se tiene que: x ∧ y = 0 ⇔ x ≥ 0, y ≥ 0, hx, yi = 0 d) Para cada T : X ↔ X , el problema de orden complementario y el problema complementario topológico coinciden para todo q ∈ X 2 Dado un. espacio F , el orden inducido por un cono positivo P ⊂ F se dene como: Si a, b ∈ F , entonces a < b si b − a ∈ P.

(13) 2.5. 13. 2.5. Desigualdades Variacionales El problema de desigualdades variacionales puede representar varios tipos de problemas en matemáticas como por ejemplo ecuaciones no lineales, problemas de optimización, problemas complementarios, problemas de punto jo, etc. Las desigualdades variacionales se desarrollaron originalmente para estudiar ciertos tipos de ecuaciones diferenciales parciales que se originaron en la mecánica y que se denen sobre espacios de dimensión innita. Una denición general para el problema de desigualdades variacionales esta dada por Showalter [11]:. Denición 2.5.1. Sea H un espacio vectorial sobre los reales(R). Sea H un espacio de Hilbert y H 0 su espacio dual. Sea A un operador denido de H en H 0 . El problema clásico de desigualdades variacionales (DV) consiste en encontraru0 tal que. u0 ∈ K y hAu0 , v − u0 i − f (v − u0 ) ≥ 0. para todo v ∈ K. donde K es un subconjunto no vacio, cerrado y convexo de H y f ∈ H 0 . De forma equivalente como A caracteriza una forma bilineal a(·, ·) : H × H → R y para. f ∈ H 0 existe un único vector q ∈ H tal que f (u) = hu, qi, entonces el problema (DV) también se puede escribir como: Encontrar u0 tal que u0 ∈ K y a(u0 , v − u0 ) − hq, u0 − vi ≥ 0. para todo v ∈ K. Con q ∈ H El teorema de Lions-Stampachia que se menciona a continuación es de gran importancia ya que demuestra la unicidad de las soluciones de los problemas de desigualdades variacionales cuando se trabaja con operadores coercivos.. Teorema 2.5.2. (Lions-Stampachia) Sea H un espacio de Hilbert; K ⊂ H no vacío, cerrado y convexo; L : H → R un funcional continuo; a(·, ·) : H × H → R una forma bilineal continua y coerciva. Entonces el siguiente problema (DV) tiene solución única: Encontrar u tal que ( u∈K a(u, v − u) ≥ L(v − u), ∀v ∈ K.

(14) 2.6. 14. La idea de la demostración para un caso particular de este teorema se puede encontrar en Showalter [11] cap.8. Esta idea se puede extender para realizar la demostración del caso general. Para estudiar aplicaciones de los métodos de desigualdades variacionales en espacios nitos se puede consultar Nagurney [10].. 2.6. Programación Lineal La programación lineal esta relacionada con la optimización (minimización o maximización) de una función lineal que satisface un conjunto de igualdades (y/o desigualdades) lineales. Un problema clásico de programación lineal se puede escribir como. M inimizar ~c · ~x Sujeto a A~x = ~b ~x ≥ ~0 Donde ~c es un vector la de (1 × n), ~x es un vector columna de (n × 1), ~b es un vector columna de (m × 1) y A es una matriz de m × n. Una completo tratamiento de los problemas de programación lineal y de las tecnicas clásicas para resolverlos se encuentra en Bazaraa [1]..

(15) Capítulo 3 Las Opciones Americanas en el modelo de Black-Scholes 3.1. Supuestos del Modelo El modelo de Black-Scholes(B-S) plantea un modelo general y sencillo para el comportamiento de los activos. El mundo sobre el cual se trabaja es un espacio de probabilidad ltrado (Ω, F, {Ft }, Q). El parámetro de tiempo t toma valores en [0, T ], y la ltración {Ft } satisface las condiciones usuales:. Es completa: Cualquier conjunto de medida cero en F pertenece a F0 . Es continua por derecha: Ft =. T s>t. Fs. Además, se realizan los siguientes supuestos sobre la economía: a) El mercado es ideal: No hay costos transaccionales, ni impuestos. Las negociaciones de los activos se pueden llevar a cabo de forma continua. b) Los agentes tienen información simétrica. Esto signica que Q y {Ft } son comunes para todos. c) Los agentes preeren mas riqueza a menos. Hay una cuenta de ahorros S 0 con una tasa de interés constante r que representa el valor del dinero en el tiempo. dSt0 = rdSt0 dt. (3.1).

(16) 3.1. 16. donde r ∈ R+ y se supone S00 = 1. Además se supone la existencia de un activo riesgoso S 1 (una acción) cuyo precio se modela como un movimiento browniano geométrico:. dSt1 = µSt1 dt + σSt1 dWt ,. (3.2). t ∈ [0, T ]. Donde Wt es un movimiento Browniano estandar en (Ω, F, Q), µ es la tendencia del proceso y σ es el coeciente de volatilidad. Una estrategia de negocio φt = (φ0t , φ1t ), o un portafolio en la cuenta de ahorros y en el activo riesgoso, es un proceso que es progresivamente medible y que satisface. Z. T 0. (φiu )2 (Sui )2 du < ∞. (3.3). c.s.. Los procesos φt representan las cantidades invertidas o prestadas en la cuenta de ahorros (i = 0) o en la acción (i = 1). Un proceso de consumo C es un proceso adaptado, continuo y no decreciente tal que C0 = 0. Una estrategia de negocio y consumo admisible en (S 1 , S 2 ) es un vector de procesos. (φ0 , φ1 , C) que satisface la condición de autonanciamiento Z φ0t St0. +. φ1t St1. =. φ00. +. φ10 S01. t. + 0. Z φ0u dSu0. t. + 0. φ1u dSu1 − Ct. (3.4). donde t ∈ [0, T ], y C0 = 0 (casi por seguro)(c.s.). Esta ecuación arma que, comenzando con un monto inicial de inversión, todos los cambios provienen de cambios en el precio de la acción, más el interés de la cuenta de ahorros menos la cantidad de consumo Ct . De acuerdo con el Teorema Fundamental de Valoración de Activos, en este modelo no existen oportunidades de arbitraje si y solo si existe una medida de e equivalente a Q tal que S 1 /S 0 es una martingala bajo Q e. Por la probabilidad Q t t e se dene de la siguiente forma: derivada de Radon-Nikodym, la medida Q. ¯ e ¯¯ dQ ¯ dQ ¯. Ft. (. 1 = exp − 2. µ. µ−r σ. µ. ¶2 t−. µ−r σ. ). ¶ Wt. e es la única probabilidad para la cual Por el teorema de Girsanov, la medida Q e. Bajo Q e, el proceso para el precio de S 1 /S 2 es una martingala con respecto a Q t. t. la acción es el siguiente:.

(17) 3.1. 17. ft , dSt1 = rSt1 dt + St1 σdW. t ∈ [0, T ]. (3.5). donde. ft , Wt + µ − r t, W t ∈ [0, T ] σ es un movimiento browniano estandar. Para este y el siguiente capitulo se trabae y por lo tanto, el proceso para el precio de la acción jara bajo la probabilidad Q sera el que fue determinado por la ecuación (3.5).. Denición 3.1.1. Una función de remuneración ψ es una función continua, no negativa denida en R+ × [0, T ]. Denición 3.1.2. Una opción americana con remuneración ψ es un activo que paga la cantidad ψ(St , t) cuando es ejercida en el tiempo t ∈ [0, T ]. Vender ese activo signica aceptar la obligación de pagar ψ(St , t) al comprador en cualquier tiempo t ∈ [0, T ]. El tiempo T es el tiempo de expiración.. Ejemplo 3.1.3. Entre los ejemplos mas importantes para la función de remuneración de opciones americanas se tienen: Opción Call Americana: ψ(St , t) = (St − K)+ Opción Put Americana: ψ(St , t) = (K − St )+ donde K es el precio de ejercicio de la opción Con este nuevo activo en el mercado, se pueden extender los conceptos de estrategia de negocio. Como ahora la decisión del ejercicio de la opción estará basada en la información acumulada hasta la fecha, la política de ejercicio de los agentes se restringirá a un tiempo de parada de la ltración {Ft }. Denotese (Vt )0≤t≤T el valor del proceso de la opción americana, y Tt1 ,t2 como el conjunto de todos los tiempos de parada que toman valores en [t1 , t2 ].. Denición 3.1.4. Para un tiempo de parada τ ∈ T0,T , una estrategia de compray-espera sobre la opción V , es una pareja (φ2 , τ ), donde φ2 es el proceso φ2 (t) , k1[0,τ ] (t), para k ∈ R. t ∈ [0, T ].

(18) 3.2. 18. La cantidad invertida en la opción americana, es φ2 (t)Vt . Esto signica que k unidades de la opción se compran (k ≥ 0), o venden (k < 0), en el tiempo 0 y se mantienen hasta el tiempo τ . Π+ (Π− ) es el conjunto de estrategias de compra-yespera en V tales que k ≥ 0(k < 0). Una estrategia de negocio admisible en (S 0 , S 1 , V ) es una colección φ̂ = (φ0 , φ1 , φ2 , τ ) tal que (φ0 , φ1 ) es una estrategia admisible en (S 0 , S 1 ), y (φ2 , τ ) es una estrategia de compra-y-espera en V , tal que, en el intervalo (τ, T ] se tiene:. φ0t = φ0τ + φ1τ Sτ1 /Sτ0 + φ2τ ψ(Sτ , τ )/Sτ0 φ1t = 0,. φ2t = 0. Esto signica que con esta estrategia de negocio se liquidan la acción y la opción en el tiempo τ y se invierte todo en la cuenta de ahorros.. φ̂ es una estrategia de negocio y consumo admisible si con el proceso de consumo Ct se satisface la condición de autonanciamiento: Rt Rt φ0t St0 + φ1t St1 = φ00 + φ10 S01 + 0 φ0u dSu0 + 0 φ1u dSu1 − Ct , t ∈ [0, τ ](c.s.), Rτ dCu = 0, t ∈ [τ, T ], (c.s.) (3.6) t El conjunto de estrategias de negocio y consumo admisible en(S 0 , S 1 , V ) se denota por A.. Denición 3.1.5. Se dice que hay arbitraje en el mercado si ∃(φ2 , τ ) ∈ Π+ =⇒ [∃(φ0 , φ1 , C) tal que (φ0 , φ1 , φ2 , τ ) ∈ A]. (3.7). ∃(φ2 , τ ) ∈ Π− =⇒ [∃(φ0 , φ1 , C) tal que (φ0 , φ1 , φ2 , τ ) ∈ A]. (3.8). o y se tiene que. φ00 + φ10 + φ20 V0 < 0 φ0T ST0 ≥ 0. (c.s.). (3.9). Las ecuaciones (3.7 (3.8)) y (3.9) signican que es posible comprar (o vender) una opción Americana y encontrar una política de ejercicio que otorgue una ganancia libre de riesgo(arbitraje). De esta forma, en este trabajo se planteará una metodología para valorar una opción Americana bajo el supuesto de no arbitraje. Para el desarrollo del trabajo, los resultados se obtendran en el contexto de las opciones put americanas, entonces la función de remuneración se denirá como: ψ(St , t) = (K − St )+ ..

(19) 3.2. 19. 3.2. Valoración Libre de Arbitraje de una Opción Put Americana El siguiente lema y teorema da las bases para la valoración de las opciones americanas (ver Myneni [9]).. Lema 3.2.1. Dado el siguiente proceso esssup e −r(τ −t) (K − Sτ )|Ft ], Xt , τ ∈ Tt,T E[e. t ∈ [0, T ]. (3.10). existen estrategias admisibles que (φ0 , φ1 , C) que le corresponden. e E[·|F t ] representa la esperanza condicional con respecto a la medida equivalente e. Q. Idea de la Dem. La demostración se basa en la existencia de la envoltura de Snell que dene (Jt ) la menor supermartingala que mayora la remuneración descontada. esssup e −rτ (K − Sτ )+ |Ft ], Jt = τ ∈ Tt,T E[e. t ∈ [0, T ]c.s.. Y en donde se dene Xt = ert Jt . 2. Teorema 3.2.2. Sea X denido por la ecuación (3.10) Si V0 es el valor inicial de la opción put Americana. Para que no exista arbitraje en el mercado es necesario y suciente que V0 = X0. Denición 3.2.3. Para t ∈ [0, T ] y x ∈ R+ se dene e −r(τ −t) (K − Sτ )+ |S(t) = x] P (x, t) , sup E[e τ ∈Tt,T. P (x, t) es el valor de la función que representa el precio libre de arbitraje de la opción put Americana en el tiempo t cuando el precio de la acción es x. El problema de las opciones americanas se puede analizar como un problema de. tiempo óptimo de parada. El tiempo óptimo de parada ρt es el primer tiempo en [t, T ] en que J llega al nivel de la función de remuneración descontada. ρt = inf {u ∈ [t, T ]|Ju = e−ru (K − Su )}.

(20) 3.2. 20. Es posible demostrar (ver Elliot [5]) que ρt es un tiempo óptimo de parada y que el proceso (Js∧ρt , t ≤ s ≤ T ) es una martingala en [t, T ]. Así mismo, el tiempo óptimo de parada ρt es igual al primer tiempo en [t, T ] en el que el proceso del precio de la opción alcanza el valor de la función de remuneración.. ρt = inf {u ∈ [t, T ]|P (Su , u) = (K − Su )+ } Para caracterizar la solución por métodos analíticos se dene una partición del dominio en dos regiones. Una región de continuación RC :. RC , {(x, t) ∈ R+ × [0, T )|P (x, t) > (K − x)+ } Y una región de parada RP. RP , {(x, t) ∈ R+ × [0, T )|P (x, t) = (K − x)+ } Myneni[] establece las siguientes propiedades para la función que representa el valor de la función americana. Proposición 3.2.4. El valor de la opción put americana P (x, t) es convexo y decreciente en x > 0 para todo t ∈ [0, T ]. La función P (x, t) es no decreciente en t para cualquier x ∈ R+ . La función P (x, t) es continua en R+ × [0, T ]. De esta forma el objetivo es encontrar por métodos numéricos una función P :. R+ × [0, T ] −→ R, que caracterice el precio justo de la opción P (x, t) cuando el precio de la acción es x > 0 y el tiempo t ∈ [0, T ]. Se dene St∗ el valor de la acción en el cual ocurre el ejercicio óptimo de la opción para todo t ∈ [0, T ). A S ∗ se le denomina la frontera de ejercicio óptimo y se puede formular como: St∗ = sup{x|P (x, t) = (K − x)+ } Para valores de S menores que S ∗ , la opción se ejercera, mientras que para valores mayores que S ∗ la opción no se ejercera. Como no se conoce el valor de S ∗ a priori, al problema de encontrar P (x, t) con S ∗ desconocido también se le denomina un. problema de frontera libre. De esta forma, el planteamiento del problema de valoración de opciones americanas como un problema de frontera libre consiste en desarrollar una ecuación diferencial parcial y ciertas condiciones que permiten determinar el valor de la función P y la frontera desconocida de parada, S ∗ . Ver la formulación detallada en Myneni [9]..

(21) 3.3. 21. La ecuación diferencial que satisface el valor de la opción put americana esta dada por el siguiente lema(ver la demostración en Elliot [5]). Lema 3.2.5. En R × [0, T ], se cumple la siguiente desigualdad LBS [e−rt P (x, t)] + e−rt. donde. ∂P (x, t) ≤0 ∂t. σ2 2 ∂ 2 ∂ x + rx −r 2 ∂x2 ∂x se le conoce como operador diferencial de Black-Scholes. LBS ,. A LBS. Lema 3.2.6. El valor de la opción put Americana, P (x, t) satisface la siguiente ecuación diferencial en R+ × [0, T ] µ ¶ −rt −rt ∂P (x, t) LBS [e P (x, t)] + e ((K − x)+ − P (x, t)) = 0 ∂t. Dem. Cuando el precio de la opción se encuentra en la region de continuación (RC), es óptimo continuar, entonces la ecuación diferencial de Black-Scholes del lema anterior se satisface con igualdad. Cuando el proceso se encuentra en la región de parada (RP), es óptimo ejercer la opción, luego P (x, t) = (K − x), y por lo tanto LBS (P (x, t)) +. ∂P (x,t) ∂t. <02. Las características del lema y la demostración se incluíran dentro del planteamiento del problema como un sistema de orden complementario como se verá más adelante.. 3.3. Formulación con Desigualdades Variacionales y con un Sistema Complementario Para introducir el problema en la forma de desigualdades variacionales y como un sistema complementario (que llevaran a la solución por métodos numéricos) se realizara un cambio de variable y se trabajará con el logaritmo del precio:. ξ , ln(x). Esto cambia el operador LBS por L, un operador elíptico con coecientes constantes denido de la siguiente forma: µ ¶ σ2 ∂ 2 σ2 ∂ L, + r− −r 2 ∂ξ 2 2 ∂ξ.

(22) 3.3. 22. Ahora u representa el valor de la opción como función de ξ . La nueva función e de remuneración esta dada por ψ(ξ) , (K − eξ )+ . El operador L conserva las desigualdades introducidas en la sección anterior. También se denen unas nuevas ˆ y parada (RP ˆ ) con respecto a la nueva variable ξ : regiones de continuación (RC). e ˆ , {(ξ, t) ∈ R+ × [0, T )|u(ξ, t) > ψ(ξ)} RC e ˆ , {(ξ, t) ∈ R+ × [0, T )|u(ξ, t) = ψ(ξ)} RP Para la formulación del problema con desigualdades variacionales, teóricamente es necesario introducir unos espacios de funciones los cuales son extensiones de los espacios denidos en Jailet[]. Se dene el espacio de Sobolev, W 1,2,µ (R2 ) como el espacio de funciones u ∈ L2 (R2 , e−µ|x| dx) cuyas derivadas débiles de orden menor o igual a 1 existen y pertenecen a L2 (R2 , e−µ|x| dx) (Donde µ > 0; |·| es la norma L1 en R2 y dx representa la medida de Lebesgue en R2 ). Se dene H 1 como el espacio de Hilbert de funciones que pertenecen a W 1,2,µ (R2 ) que son cuadrado-integrables y tienen derivadas cuadrado-integrables denidas en R2 . Se representará el espacio dual de H 1 como H −1 y se denira H 0 como L2 (R2 , e−µ|x| dx). Se dene h·, ·i : H 1 × H −1 → R Z hu, vi ,. R. u(ξ, t)v(ξ, t)e−µ(|ξ|+|t|) dξdt. 2. Se dene la forma bilineal a(·, ·) : H 1 × H 1 → R por la siguiente ecuación (la derivada parcial. ∂u ∂ξ. se representara por uξ ): Z σ2 a(u, v) , uξ vξ e−µ(|ξ|+|t|) dξdt RZ2 2 µ ¶ σ2 ξ 2 − (r − σ ) + µ uξ ve−µ(|ξ|+|t|) dξdt 2 |ξ| 2 ZR + ruve−µ(|ξ|+|t|) dξdt, ∀u, v ∈ H 1. R2. Se supondrá que todas las funciones pertenecen a H 1 , donde H 1 es un espacio vectorial latis de Hilbert con un cono positivo P denido cuando hay no negatividad. P = {v ∈ H 1 |v ≥ 0}. El siguiente lema(Dempster[4]) relaciona la forma bilineal a(·, ·) con el operador diferencial L. Lema 3.3.1. La forma bilineal a satisface a(u, v) = hv, Lui. u, v ∈ H 1.

(23) 3.4. 23. De acuerdo con Jaillet [8], el valor de una opción put Americana se puede caracterizar por medio de desigualdades variacionales. Su resultado se expresa por medio del siguiente teorema:. Teorema 3.3.2. Considerese una función continua u(x, t) denida en R × [0, T ] que satisface el siguiente sistema:  e   u(., T ) = ψ (DV ) u ≥ ψe   v ≥ ψe c.s. ⇒ a(u, v − u) + hv − u, ∂u i ≥ 0 ∂t. Entonces u(x, t) es única y es igual al valor de la función put americana. Con el planteamiento del teorema anterior, Dempster y Hutton [4], utilizando los resultados de Borwein y Dempster [3], demostraron la equivalencia entre el problema de desigualdades variacionales y un sistema de orden complementario.. Teorema 3.3.3. El siguiente sistema de orden complementario (POC) es equivalente al sistema de desigualdades variacionales (DV)  e    u(., T ) = ψ   u ≥ ψe (P OC)  Lu + ∂u ≤0  ∂t    (−Lu − ∂u ) ∧ (u − ψ) e =0 ∂t Intuitivamente se puede ver que (POC) satisface las propiedades del valor de la ˆ se cumple Lu + ∂u = 0 y u > ψe, función put americana ya que como en RC ∂t. e = 0. En RP e , entonces ˆ , Lu + ∂u < 0 y u(ξ, t) = ψ(ξ) entonces (−Lu − ∂u ) ∧ (u − ψ) ∂t ∂t e = 0. nuevamente se cumple (−Lu − ∂u ) ∧ (u − ψ) ∂t. 3.4. Formulación Equivalente del Problema como un Programa Lineal Abstracto Denición 3.4.1. Sea H un espacio vectorial retículo de Hilbert con un cono positivo P , {v ∈ H|v ≥ 0}. Considere el subconjunto cerrado F ⊆ P ⊆ H . El. problema del menor elemento (PME) se dene como (P M E). encontrar u ∈ F tal que u ≤ v. ∀v ∈ F..

(24) 3.4. 24. El menor elemento se representara como u = M E(F ). Denición 3.4.2. Sea H un espacio vectorial latis de Hilbert con un cono positivo P . Considere el subconjunto F ⊆ P ⊆ H y c > 0 un vector constante positivo. Un programa lineal abstracto (PLA) se dene como (P LA). inf hv, ci. v∈P. tal que v ∈ F,. El siguiente teorema de Dempster y Hutton [4], es la base de la formulación del problema de opciones americanas como un problema de programación lineal ya que da la equivalencia entre un problema de orden complementario, el problema del menor elemento y un programa lineal abstracto. La equivalencia entre el ME(F) y la solución del (PLA) es facil: u es el menor elemento de F ⇔ u ≤ v para todo v ∈ F ⇔ hu, ci ≤ hv, ci para todo v ∈ F y cualquier c > 0 ⇔ u minimiza hv, ci para todo v ∈ F ⇔ u es la solución del programa lineal abstracto (PLA).. Teorema 3.4.3. Si L es un operador elíptico coersivo de tipo Z que es temporalmente homogéneo(no tiene coecientes que dependen del tiempo), entonces existe una solución única u a los siguientes problemas equivalentes:. (P OC).   u(., T ) = ψe     u ≥ ψe  Lu + ∂u ≤0  ∂t    (−Lu − ∂u ) ∧ (u − ψ) e =0 ∂t. (M E) encontrar u = M E(F ) (P LA) inf v hv, ci tal que v ∈ F, para ncualquier c > 0 en R × [0, T ], donde o ∂v e e F , v|v(·, T ) = ψ, v ≥ ψ, Lv + ≤ 0 ∂t. Discretizando el programa abstracto por diferencias nitas se obtiene un programa lineal nito que se puede resolver por diferentes técnicas de programación lineal como se verá en el siguiente capítulo..

(25) Capítulo 4 El Método de Programación Lineal para las Opciones Americanas en el modelo B-S 4.1. Localización y Discretización El problema de valoración de opciones americanas se plantea como un problema de programación lineal utilizando los resultados del capítulo anterior, discretizando el espacio por medio de diferencias nitas y encontrando la solución con algoritmos conocidos como el simplex. El dominio de la función u1 , R×[0, T ], se restringe a una región nita [L, U ]×[0, T ], dónde L < log K < U , y se establecen las siguientes condiciones de frontera en el e e ). Se supone que la solución dominio restringido: u(L, ·) = ψ(L) y u(U, ·) = ψ(U del problema en el dominio innito se obtiene cuando L → −∞ y U → ∞. El problema se discretiza aproximando el valor de la función a una función constante sobre rectángulos en una malla, sobre el dominio [L, U ] × [0, T ]. El valor de la función se aproxima sobre una malla de (I + 1) × (M + 1) puntos. Se dene um i como el valor de la función u en el punto de la malla (i, m) de la siguiente forma:. um i , u(L + i4ξ, T − m4t) Donde m ∈ {0, 1, . . . , M }, i ∈ {0, 1, . . . , I}, 4ξ = (U − L)/I y 4t = T /M . e + i4ξ), se obtienen las siguientes Utilizando la siguiente notación: ψei , ψ(L 1 Denida. en el capitulo anterior.

(26) 4.1. 26. e m e condiciones de frontera: um 0 = ψ0 ,uI = ψI con m ∈ {0, 1, . . . , M } y como m es un índice utilizado para medir el tiempo hacia atras, se obtiene el siguiente valor terminal: u0 = ψei . i. Utilizando diferencias nitas, se aproximan las derivadas parciales que aparecen en el operador L m−1 m um−1 um ∂u i+1 − ui−1 i+1 − ui−1 ≈ θ + (1 − θ) ∂ξ 24ξ 24ξ m−1 m m m 2 um−1 + um−1 ui+1 − 2ui + ui−1 ∂ u i+1 − 2ui i−1 ≈ θ + (1 − θ) ∂ξ 2 (4ξ)2 (4ξ)2 ∂u um−1 − um i ≈ i ∂t 4t. Donde el parámetro θ ∈ [0, 1] y de acuerdo a Dempster y Hutton [4] controla la estabilidad del proceso numérico. Dependiendo del valor de θ, se obtiene una forma diferente del método de diferencias nitas. El valor de θ = 0, θ =. 1 2. yθ=1. corresponden respectivamente al método de explícitas, método Crank-Nicolson y método de implícitas. Este trabajo se desarrollará tomando θ = 1. El problema discretizado por medio de diferencias nitas se puede escribir como una sucesión de M problemas de orden complementario nito(POCF) de la siguiente forma:.  e um = 0; um = ψe0 ; u0 = ψe  um ≥ ψ;  0 I    (Bum−1 + Aum − φ) ≥ 0 e =0  (Bum−1 + Aum − φ) ∧ (um − ψ)     m ∈ {1, . . . , M }. (P OCF ). (4.1). m m T Donde um , ψe y φ son vectores de (I −1)×1 denidos asi: um = (um 1 , u2 , . . . , uI−1 ) , ψe = (ψe1 , ψe2 , . . . , ψeI−1 )T , φ = (−(a + d)ψe0 , 0, . . . , 0)T . ∧ representa el mínimo. componente a componente entre dos vectores.. A y B son matrices cuadradas tridiagonales de dimensión (I − 1) × (I − 1)      A=   . b. c. a. b .. . 0 .. . 0 ···. 0 c .. . a 0.  0 ..  .    .. . 0    b c  a b. ···.      B=   . e. f. 0. d. e ... .. f .. .. 0 ···. d 0. 0 .. ..  0 ..  .    .. . 0    e f  d e. ···.

(27) 4.1. 27. Donde:. ³. ´. 2 /2)4t −θ − (r−σ24ξ σ 2 4t 1 + r4t + θ (4ξ) 2 ³ 2 ´ (r−σ 2 /2)4t σ 4t −θ 2(4ξ)2 + ´ ³ 2 24ξ (r−σ 2 /2)4t σ 4t − −(1 − θ) 2(4ξ) 2 24ξ σ 2 4t (1 − θ) (4ξ)2 − 1 ³ 2 ´ (r−σ 2 /2)4t σ 4t −(1 − θ) 2(4ξ) + 2 24ξ. a = b = c = d = e = f =. σ 2 4t 2(4ξ)2. Los M problemas se pueden escribir como un solo problema de orden complementario de la siguiente forma:. (P OCD).  e   u≥Ψ Cu ≥ Φ   e =0 (Cu − Φ) ∧ (u − Ψ). (·) (·) Con las condiciones de frontera uI = 0, u0 = ψe0 , y u0 = ψe.. Donde C es una matriz cuadrada de dimensión M (I − 1) × M (I − 1)..  A.    u=  . u1 u2 .. . uM.      . 0.   B A  C=  0 ...  0 ···   ψe  e  ψ  e = .  Ψ  .   .  ψe. ··· A B.  0 ..  .    0   A    e= Φ  . φ − B ψe φ .. ..      . φ. Para vericar la equivalencia con un programa lineal se deben vericar las condiciones del teorema 3.4.3. Estas condiciones consisten en que el operador discretizado (en este caso una matriz) sea del tipo Z y que sea coerciva. Como um−1 ya es conocido en el paso m, el operador lineal discretizado de L se encuentra representado en dimensión nita por la matriz A. Entonces es necesario que A sea del tipo Z y que sea coerciva. Las deniciones de estos últimos dos conceptos2 se pueden restringir cuando los operadores son matrices como lo expresan los siguientes resultados: 2 Ver. capitulo 2.

(28) 4.1. 28. Denición 4.1.1. Una matriz real M = (mij )ni,j=1 es coerciva si ∀x ∈ Rn. ∃C > 0. xT M x ≥ CxT x.. Denición 4.1.2. Una matriz real M = (mij )ni,j=1 es del tipo Z si ∀i, j i 6= j. mij ≤ 0. Utilizando estos resultados, A es del tipo Z si y solo si los elementos por fuera de la diagonal son menores o iguales a 0, entonces se necesita que a ≤ 0 y c ≤ 0, y esto solo ocurre si y solo si:. ¯ ¯ 2¯ 2 ¯ σ ¯r − ¯ ≤ σ ¯ 2 ¯ 4ξ. (4.2). Esta condición se cumple para cualquier conjunto de parámetros tomando valores sucientemente grandes para I. Esta condición también garantiza que la matriz A sea coerciva como lo expresa el siguiente lema:. Lema 4.1.3. Si se cumple (4.2) entonces A es una matriz coerciva Dem. Como a y c son negativos se tiene que:. T. x Ax =. I−1 X. axj−1 xj +. I−1 X. j=2. a ≥ 2. bx2j. +. I−2 X. j=1. I−1 X. (x2j−1. +. x2j ). j=2. ≥ (a + b + c). j=1. +b. I−1 X. I−2. x2j. j=1 I−1 X. x2j. cxj xj+1. cX 2 + (xj + x2j+1 ) 2 j=1. = (1 + r4t). j=1. I−1 X. x2j. j=1. Y de esta forma queda probada la coercividad. 2 Utilizando el teorema 3.4.3, se puede escribir la versión discretizada del programa lineal abstracto como un problema de programación lineal conc > 0 de la siguiente forma:. (P L).  0   min c u e t.q. u ≥ Ψ   Cu ≥ Φ.

(29) 4.3. 29. (·) (·) con las condiciones de frontera usuales uI = 0, u0 = ψe0 , y u0 = ψe.. Así mismo, cada uno de los problemas de orden complementario de la ecuación (4.1) tiene un programa lineal abstracto que se puede escribir de la siguiente forma:. min c0 um t.q. um ≥ ψe Aum ≥ φ − Bum−1 m = 1, . . . , M Entonces, la solución al problema de valoración de opciones americanas bajo el modelo de Black-Scholes es la solución a este conjunto de problemas de programación lineal.. 4.2. Un ejemplo del modelo El problema de programación lineal para la valoración de una opción put americana que se desarrollo en la sección anterior se implemento en MATLAB 6.0 con su complemento de optimización (Optimization Toolbox). Se desarrollo un ejemplo para implementar el método de programación lineal en donde las caracteristicas de la opción put americana son: Tiempo de maduración T = 1 año, strike K = 1, tasa de interés libre de riesgo r = 0,1 y volatilidad σ = 0,4. El vector c con el cual se trabajo se denió como cT = (1, 1, . . . , 1). La gura 4.1 muestra la supercie del precio de la opción put americana. La gura 4.2 muestra el valor de la opción en diferentes tiempos antes de la expiración. La gura 4.3 muestra la frontera libre (frontera de parada) para la opción put americana. En esta gura, la región debajo de la frontera representa la región de ejercicio mientras que la región de parada se encuentra por encima de la frontera. Este ejercicio se realizó con valores de partición de la malla deI = 100 y M = 100.. 4.3. Análisis de Sensibilidad En esta sección se analiza la dependencia del precio de la opción put Americana con respecto a los parámetros del modelo. Este ejercicio se realizó con valores de partición de la malla de I = 100 y M = 100..

(30) 4.3. 30 VALOR DE LA OPCION AMERICANA. 0.8 0.7. Valor de la Opción. 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0. 0 0 0.5. 1 2 1. 3 4 5. 1.5. Tiempo de Maduración (años). Valor de la Acción. Figura 4.1: La supercie del precio de una opción americana. 0.8 Tiempo de Maduración = 1 Tiempo de Maduración = 1/2 Tiempo de Maduración = 0 0.7. Valor de la Opción. 0.6. 0.5. 0.4. 0.3. 0.2. 0.1. 0. 0. 0.5. 1. 1.5. 2 2.5 Valor de la Acción. 3. 3.5. 4. 4.5. Figura 4.2: La función de remuneración y el valor de una opción put americana en diferentes tiempos antes de la expiración.. 4.3.1. Cambios en la volatilidad Los resultados obtenidos del análisis sugieren que el precio de la opción put Americana es una función creciente del parámetro de volatilidad σ . (Ver Figura 4.4). Así mismo también se deduce que la region de ejercicio (RE) (establecida por la frontera de ejercicio óptimo) se aumenta con el aumento de la volatilidad.. 4.3.2. Cambios en la tasa libre de riesgo Cuando se analizan los cambios en la tasa libre de riesgo se concluye que el precio de la opción put Americana es una función decreciente del parámetro tasa libre de.

(31) 4.4. 31 Frontera de Ejercicio Optimo 4.5. 4. 3.5. Valor de la Accion. 3. 2.5. 2. 1.5. 1. 0.5. 0. 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4 0.5 0.6 Tiempo de Maduracion. 0.7. 0.8. 0.9. 1. Figura 4.3: La frontera libre para la opción put americana. 0.8 Sigma = 0.3 Sigma = 0.6 Sigma = 0.9 0.7. Valor de la Opción. 0.6. 0.5. 0.4. 0.3. 0.2. 0.1. 0. 0. 0.5. 1. 1.5. 2 2.5 Valor de la Acción. 3. 3.5. 4. 4.5. Figura 4.4: Cambios en el valor de la opción put americana con cambios en la volatilidad. riesgo r. (Ver Figura 4.6). La región de ejercicio (RE) (establecida por la frontera de ejercicio óptimo) aumenta con el aumento de la tasa libre de riesgo.. 4.4. Comparación con otras metodologias El algoritmo clásico para encontrar el valor de la opción put Americana es por medio de la solución númerica del problema complementario (POCF). El método más utilizado es el algoritmo PSOR (projected successive overrelaxation). Más adelante se comparan los resultados del método PSOR con el método de programación lineal estudiado en este trabajo..

(32) 4.4. 32 Frontera de Ejercicio Optimo 1.5 Sigma = 0.3 Sigma = 0.6 Sigma = 0.9. Valor de la Accion. 1. 0.5. 0. 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4 0.5 0.6 Tiempo de Maduracion. 0.7. 0.8. 0.9. 1. Figura 4.5: Cambios en la frontera libre para la opción put americana con cambios en la volatilidad.. 4.4.1. Método PSOR El método PSOR se discute en forma detallada en Wilmott, Dewynne y Howison [12] y en Fryzlewicz [6]. Se considera un problema complementario como en (4.3)(equivalente a un problema de orden complementario en el contexto en el cual estoy trabajando por Borwein y Dempster[3]).. (P C).    u≥ψ Mu + q ≥ 0   (u − ψ)T (M u + q) = 0. (4.3). Donde M es una matriz de k × k . El algoritmo PSOR se puede describir por los siguientes pasos. Donde u(n) = (n). (n). (n). (u1 , u2 , . . . , uk ) representa la n-esima iteración que aproxima el valor de la solución de (4.3). 1. Se establece un parámetro del algoritmo ω = 1. Y un valor ² > 0 que representa la exactitud del algoritmo (² = 0,0000001). 2. Se establece un valor inicial para el vector u(0) que cumpla la condición. u(0) ≥ ψ . Para la implementación del algoritmo se tomo u(0) = ψ 3. Para todo j = 1, 2, . . . , k se establece Ã ! ! Ã j−1 n X X ω (n) (n−1) (n) − + qj , ψ j uj = max un−1 mji ui mji ui + j mjj i=1 i=j.

(33) 4.4. 33 0.4 r = 0.1 r = 0.15 r = 0.2 0.35. Valor de la Opción. 0.3. 0.25. 0.2. 0.15. 0.1. 0.05. 0 0.5. 1. 1.5 2 Valor de la Acción. 2.5. 3. Figura 4.6: Cambios en el valor de la opción put americana con cambios en la tasa libre de riesgo. y se obtiene de forma sucesiva varias iteraciones u(1) , u(2) , . . . 4. Se termina el algoritmo cuando dist(u(n) , u(n−1) ) < ², donde dist(·, ·) es una función de distancia denida de la siguiente forma:. Pk. dist(u. (n). ,u. (n−1). (n). (n−1). i|ui − ui | ³ P ´ )= (n) k max 1, i |vj | i. La solución aproximada para (4.3) esta dada por u(n). 4.4.2. Programación Lineal Vs. PSOR Comparando los dos métodos se obtienen resultados consistentes con los obtenidos por Dempster y Hutton [4]. Los dos modelos se compararon bajo las mismas condiciones establecidas en el ejemplo del modelo y la diferencia en los precios de la opción put americana se aprecian en la gura 4.8. Como se observa en la gráca la diferencia entre los precios es despreciable y es del orden de 1,5 × 10−7 lo cual comprueba la exactitud del algoritmo y la equivalencia entre los problemas dada por el teorema 3.4.3. Como se trabajo con un problema en el cual la malla no tenía una partición muy renada, los tiempos computacionales entre los dos métodos fueron muy similares..

(34) 4.4. 34 Frontera de Ejercicio Optimo 1.1 r = 0.1 r = 0.15 r = 0.2 1. Valor de la Accion. 0.9. 0.8. 0.7. 0.6. 0.5. 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4 0.5 0.6 Tiempo de Maduracion. 0.7. 0.8. 0.9. 1. Figura 4.7: Cambios en la frontera libre para la opción put americana con cambios en la tasa libre de riesgo.. 4.4.3. Programación Lineal Vs. Arboles Binomiales Un método muy popular y muy utilizado a nivel practico para valorar opciones americanas es el de árboles binomiales basado en la implementación numérica propuesta por Cox, Ross y Rubinstein. El modelo de árboles binomiales (explicado con detalle en [7] trabaja con una partición discreta del tiempo y supone que en cada periodo de tiempo el valor de la acción puede subir o bajar hacia el futuro. Las opciones se valoran empezando al nal del árbol (en el tiempo de expiración T ) y trabajando recursivamente hacia atrás. El valor de la función de remuneración de la opción se conoce en el tiempo. T y bajo el supuesto de ausencia de arbitraje (mundo neutral al riesgo), es posible calcular el valor de la opción en cada nodo en el tiempo T − 4t como el valor esperado del precio en el tiempo T descontado a la tasa libre de riesgo por un intervalo de tiempo 4t. Así se trabaja recursivamente hacia atrás hasta calcular el valor deseado de la opción en el tiempo 0. Para las opciones americanas, es necesario evaluar en cada nodo la posibilidad de ejercer la opción de forma temprana o de continuar con la opción. Para comparar el método de programación lineal estudiado en este trabajo y el método de árboles binomiales se tomaron los datos reales de los precios de cierre de la acción de Coca-Cola transada en la Bolsa de Nueva York. Se utilizaron 885 datos para estimar los parámetros necesarios para realizar la valoración (ver la estimación de parámetros en [7]). Como tasa libre de riesgo se utilizo la tasa de.

(35) 4.4. 35 DIFERENCIA DEL VALOR DE LA OPCION AMERICANA (PL−PSOR). −7. x 10 1.4. Valor de la Opción. 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0. 0 0 0.5. 1 2 1. 3 4 5. 1.5. Tiempo de Maduración (años). Valor de la Acción. Figura 4.8: Diferencia en los precios de la opción put americana con los algoritmos de PL y PSOR. las notas del tesoro de Estados Unidos para tres meses. Los valores obtenidos por cada uno de los métodos se compararon con los valores de la opción en el mercado para tres valores diferentes de strike. Las características estimadas de la opción put americana son: Tiempo de maduración T = 0,3342 (122 días), tasa de interés libre de riesgo r = 0,0096, volatilidad. σ = 0,1437. Para el método de programación lineal, El vector c con el cual se trabajo se denió como cT = (1, 1, . . . , 1) y se realizó con valores de partición de la malla de I = 100 y M = 100. Arboles Binomiales Programación Lineal Precio Real Strike = 55. 9.91. 9.916. 11.1. Strike = 47.5. 2.5571. 3.0635. 4.1. Strike = 42.5. 0.5276. 0.552. 2.4. En la tabla de resultados se aprecia como el valor de la put americana estimada por medio del método de programación lineal es más exacto que el método de árboles binomiales si se comparan con respecto al precio real de la opción en el mercado..

(36) Capítulo 5 Conclusiones La metodología propuesta por Dempster y Hutton para valorar opciones de tipo americano con técnicas de programación lineal, es un método eciente en donde se obtienen resultados muy similares a los de otras metodologías (PSOR o Arboles Binomiales). El desarrollo de los programas de optimización a nivel computacional permite que esta metodología sea fácil de implementar. El estudio posterior de este método de programación lineal para valoración de opciones se puede extender en varias formas. En primer lugar, se puede usar para la valoración de otro tipo de opciones americanas exóticas en donde la función de remuneración cambie. Las técnicas estudiadas en este proyecto también se pueden extender para trabajar en espacios con mas dimensiones y por ejemplo resolver el problema de valoración de opciones americanas incluyendo una volatilidad estocástica, o valorando derivados que dependen de la tasa de interés y de la tasa de cambio. Por ultimo, se pueden relajar los supuestos del modelo de Black-Scholes para desarrollar las técnicas de programación lineal en un mercado incompleto como "jump-diussion"(ver Fryzlewicz[6])..

(37) Bibliografía [1] Bazaraa, M. Jarvis, J. y Sherali, H. Linear Programming and Network Flows. John Wiley & Sons. USA, 1990. [2] Bingham, N.H. y Kiesel, R. Risk-Neutral Vluation. Springer Verlag. Great Britain. 2000. [3] Borwein, J.M. y Dempster, M.A.H. The Linear Order Complementarity Prob-. lem. Mathematics of Operations Research. 1989, Vol. 14, No. 3, 534-558. [4] Dempster, M.A.H. y Hutton, J.P. Pricing American Stock Options by Linear. Programming. Mathematical Finance. 1999, Vol. 9, No. 3, 229-254. [5] Elliott, R. y Kopp, E. Mathematics of Financial Markets. Springer Verlag. New York, 1999. [6] Fryzlewicz, P. The Application of Linear Programming to American Option. Valuation in the Jump-Diusion Model M. Sci. Thesis. Wroclaw University of Technology. Wroclaw, 2000. [7] Hull, J. Options, Futures, And Other Derivatives Prentice Hall. Fourth Edition. USA, 2000. [8] Jaillet, P. Lamberton, D. y Lapeyre, B. Variational inequalities and the pric-. ing of American Options Laboratorie de Mathématiques at Modélisation. Ecole Nationale des Ponts es Chaussées. France, 1989. [9] Myneni, Ravi. The Pricing of the American Option. The Annals of Applied Probability. 1992, Vol. 2, No. 1, 1-23. [10] Nagurney, A. Network Economics: A variational inequality approach. Kluwer Academic Publishers. USA. 1993..

(38) 5.0. 38. [11] Showalter, R.E. Hilbert Space Methods for Partial Dierential Equations. Electronic Journal of Dierential Equations. Monograph 01, 1994. [12] Wilmott, P. Dewynne, J. y Howison, S. Option Pricing, Mathematical models. and computation. Oxford Financial Press. Oxford. 1993..

(39) Apéndice A Código del Programa en MATLAB A continuación se muestra el código básico del programa en MATLAB que se utilizó para implementar la metodología de valoración de opciones estudiada en este proyecto.. %Definicion de Variables T = 1; K = 1; r = 0.1; s = 0.4; L = -1.5; U = 1.5; %Espaciamiento de la malla %Espaciamiento del Tiempo - Numero de Problemas de Optimizacion M = 100; %Espaciamiento del Precio de la Accion - Numero de Variables y Restricciones I = 100;. %Tipo de diferencias finitas q = 1; de = (U-L)/I; dt = T/M; a = -q * ( ((s^2)*dt)/(2*(de^2)) - ( ((r-(s^2)/2)*dt)/(2*de)) ); b = 1 + (r*dt) + (q*(s^2)*dt/(de^2)); c = -q * ( ((s^2)*dt)/(2*(de^2)) + ( ((r-(s^2)/2)*dt)/(2*de)) ); d = -(1-q) * ( ((s^2)*dt)/(2*(de^2)) - ( ((r-(s^2)/2)*dt)/(2*de)) ); e =.

(40) A.0. 40. ((1-q)*(s^2)*dt/(de^2)) - 1; f = -(1-q) * ( ((s^2)*dt)/(2*(de^2)) + ( ((r-(s^2)/2)*dt)/(2*de)) ); %Inicializacion de vectores vc = ones(I-1,1); A = zeros(2*(I-1),I-1); B = zeros(I-1); vfi = zeros(I-1,1); vpsi = zeros(I-1,1); u0 = zeros(I-1,1); vld = zeros(2*(I-1),1); vopcion = zeros(I+1,M+1); %Llenado de la matriz A A(1,1) = b; A(1,2) = c; for i = 2:I-2 A(i,i-1) = a; A(i,i) = b; A(i,i+1) = c; end A(I-1,I-1) = b; A(I-1,I-2) = a; for i = I:2*(I-1) A(i,i-I+1) = 1; end %Llenado de la matriz B B(1,1) = e; B(1,2) = f; for i = 2:I-2 B(i,i-1) = d; B(i,i) = e; B(i,i+1) = f; end B(I-1,I-1) = e; B(I-1,I-2) = d; vfi(1,1) = -(a+d) * (max(0,K-exp(L))); for i = 1:I-1 vpsi(i,1) = max(0,K-exp(L+(i*de))); end %Valores Iniciales for i = 1:I-1 u0(i,1) = max(0,K-exp(L+(i*de))); end %Llenado de las condiciones iniciales.

(41) A.0. %1. Parte Superior for j = 1:M+1 vopcion(I+1,j) = max(0,K-exp(L+(I*de))); end %2. Parte Inferior for j = 1:M+1 vopcion(1,j) = max(0,K-exp(L)); end %3. Parte del Lado Izquierdo for i = 1:I+1 vopcion(i,1) = max(0,K-exp(L+((i-1)*de))); end for j = 1:M %Formacion del vector del lado derecho vld1 = vfi - B*u0; for i = 1:I-1 vld(i,1) = vld1(i,1); end for i = 1:I-1 vld(i+I-1,1) = vpsi(i,1); end %Tipo de Desigualdades para las restricciones for i = 1:(2*(I-1)) td(i,1) = 2; end %Solucion del problema por SIMPLEX lb = zeros((I-1),1); A = -A; vld = -vld; u1 = linprog(vc,A,vld,[],[],lb); A = -A; vld = -vld;. 41.

(42) A.0. %Actualizacion del valor de la opcion en la malla for l = 2:I vopcion(l,j+1) = u1(l-1,1); end %Actualizacion del vector u0 for i = 1:I-1 u0(i,1) = u1(i,1); end end for j=1:M+1 y(j)=dt*j; end for i=1:I+1 x(i)=exp(L+((i-1)*de)); end %Creacion de la Frontera de Ejercicio Optimo frontera = zeros(M,1); for j=1:M i = 1; while (abs(vopcion(i,j) - vopcion(i,1)) < 0.00001) & (i < I) i = i + 1; end frontera(j)=i; end surf(y,x,vopcion); xlabel('Tiempo de Maduración (años)'); ylabel('Valor de la Acción'); zlabel('Valor de la Opción'); title('VALOR DE LA OPCION AMERICANA'); view(130,30); pause; figure;. 42.

(43) A.0. 43. plot(x,vopcion(:,I),x,vopcion(:,I/2),x,vopcion(:,1)); xlabel('Valor de la Acción'); ylabel('Valor de la Opción'); legend('Tiempo de Maduración = 1','Tiempo de Maduración = 1/2','Tiempo de Maduración = 0'); figure; s1 = zeros(M); s2 = zeros(M); for i=1:M s1(i) = exp(L+((frontera(i)-1)*de)); s2(i) = dt * i; end plot(s2,s1); xlabel('Tiempo de Maduracion'); ylabel('Valor de la Accion'); title('Frontera de Ejercicio Optimo');.

(44)