Cálculo de límites. Continuidad

(1)

Cálculo de límites. Continuidad

8.1 Definición

Una función f(x) tiene límitel enx=a, si para TODA sucesión de valores

xn−→a las imágines correspondientesf(xn)−→l. Se dice entonces que lim

x−→af(x) =f(a)

8.2 Propiedades:

1. Si una función tiene límite en un punto, éste es único.

2. Si los límites laterales en un puntox=a son distintos=_⇒ La función no tiene límite en x=a.

3. Si una función tiene límite distinto de cero en un punto=_⇒Existe un entorno de ese punto en el que los valores que toma la función tienen el mismo signo que el límite.

4. Para calcular el límite de una función en un punto x = a se susti-tuye la variable independiente x por a y se realizan las operaciones indicadas (siempre que no se obtenga una expresión "indeterminada", como 0 0, ∞ ∞,∞ − ∞,0·∞,∞ 0_,₀0_,₁∞₎ 51

(2)

8.3 Cálculos con infinitos

Sumas Productos (+_∞) +l = (+_∞) (+_∞)_·(+_∞) = (+_∞) (+_∞) + (+_∞) = (+_∞) Sil > 0    (+∞)·l = (+∞) (_−∞)_·l = (_−∞) (_−∞) +l = (_−∞) Si l <0    (+_∞)_·l= (_−∞) (_−∞)_·l = (+_∞) (_−∞) + (_−∞) = (_−∞) −(_−∞) = (+_∞) Cocientes Potencias l (_±_∞) = 0 (+∞) (+∞) = (+_∞) l 0 =    (_±_∞) No existe (+_∞)(−∞) = 0 (_±_∞) 0 = (±∞) Sil >0 (+∞) l = (+_∞) 0 (_±_∞) = 0 Sil < 0 (+∞) l = 0 Si l₆= 0 l0 = 1 Si l >1    l(+∞) _{= (+} ∞) l(−∞) _{= 0} Si0< l <1    l(+∞) _{= 0} l(−∞) _{= (+} ∞)

(3)

8.4 Estrategias para el cálculo de límites

Para calcular el límite de una función continua f en un punto a _∈ _< se procede a sustituir la variable por el valor a, es decir, en realidad se calcula f(a). Una función es contínua si:

lim

x−→af(x) =f(a)

Por extensión se realiza lo mismo, aunque la función no sea continua en a. Puede ocurrir en estos casos que se produzca una ”indeterminación”, entonces se procede a reducir dicha indeterminación mediante diversas estrategias:

1. Estrategia de modificar la expresión del límite. Consiste en transformar la expresión del límite mediante transformaciones algebraicas de ésta por ejemplo multiplicar o dividir por una expresión, sumar y restar una expresión, simplificar la expresión...

2. Estrategia de cambio de variable. Consiste en poner la variable que aparece en el límite a calcular, en función de otra variable, de ésta forma el límite puede transformarse en otro más sencillo de calcular.

3. Utilización de equivalencias. Consiste en sustituir una función por otra función que cumple unas ciertas propiedades.

4. Utilización de la regla de L’Hopital.

8.4.1 Cálculo de límites mediante transformaciones

al-gebraicas

Indeterminación k

0

No es propiamente una indeterminación pues el resultado siempre es

+_∞,_−∞ ónoexisteel límite. Hay que calcular límites laterales:

Ejemplo 37 lim x→1 x2_{+ 2}_x_{+ 1} x₋1 =4 0 No existe

(4)

lim x→1+ x2_{+ 2}_x_{+ 1} x₋1 = 4 0+ = +∞ lim x→1− x2_{+ 2}_x_{+ 1} x₋1 = 4 0− =−∞ Indeterminación 0 0

- Si se trata de un cociente de polinomios, descomponemos en factores y simplificamos.

- Si hay una suma o diferencia con alguna raiz cuadrada, multiplicamos y dividimos por la expresión conjugada.

Ejemplo 38 lim x→−1 x3 −2x2_{+ 2}_x_{+ 5} x2₋₆x₋₇ =0 0 lim x→−1 (x+ 1) (x2 −3x+ 5) (x+ 1) (x₋7) = = lim x→−1 (x2 ₋3x+ 5) (x₋7) =− 9 8 Ejemplo 39 lim x→−3 √_x₂ + 2x₋3 3 √ x3_{+ 3}x2 =0 0 lim x→−3 6 s (x₋1)3(x+ 3)3 x4₍x_{+ 3)}2 = = lim x→−3 6 r (x₋1)3(x+ 3) x4 = 0 Indeterminación ∞ ∞

Si estamos calculando el límite cuandox_−→_±_∞y se trata de un cociente de polinomios, podemos:

- Dividir numerador y denominador por el término de mayor grado del denominador

- Utilizar equivalencias (ver en el apartado de equivalencias) y sustituir el polinomio por su término de mayor grado.

(5)

Ejemplo 40 lim x→−∞ x2_{+ 2}_x −1 x₋2 '∞ ∞ lim x→−∞ x2 x 'xlim→−∞ x=_−∞ Indeterminación _{∞ − ∞}

- Efectuamos las operaciones si podemos.

- Si hay una suma o diferencia con alguna raiz cuadrada, multiplicamos y dividimos por la expresión conjugada.

Ejemplo 41 lim x→+∞ ¡_x₂ −√x4_{+ 2}x¢ ₌ ∞−∞x→lim+∞ ¡_x₂ −√x4_{+ 2}x¢ ¡x2₊√_x4_{+ 2}x¢ ¡ x2₊√x4_{+ 2}x¢ = = lim x→+∞ x4 −(x4_{+ 2}_x₎ ¡_x₂ +√x4 _{+ 2}x¢ = limx→+∞ −2x x2₊√x4_{+ 2}x = limx→+∞ −2x x2 x2 x2+ q x4 x4+ 2x x4 = = lim x→+∞ −2 x 1+q1+_x23 = 0₂ = 0 Indeterminación 1∞

- Utilizamos el número "e" ( lim x→+∞ µ 1 + 1 x ¶x =e)

- Tenemos en cuenta la siguiente identidad:

lim x→af(x) g(x) =exlim→a[g(x)(f(x)−1)] (Ver aclaración (*)) Ejemplo 42 lim x→+∞ µ_x2₊_x_{+ 1} x2_{+ 1} ¶2x−1 = 1∞e lim x_→+∞(2x−1) ³_x₂₊_x +1 x2+1 −1 ´ = =ex→lim+∞(2x−1) ³_x₂₊_x +1−x2₋₁ x2+1 ´ =ex→lim+∞(2x−1) ³ _x x2+1 ´ =ex→lim+∞ ³ 2x2+x x2+1 ´ =e2

(6)

8.4.2 Cálculo de límites. Equivalencias.

Dos funciones son equivalentes en un punto si el límite de su cociente en dicho punto es 1

Si en una expresión figura como factor o divisor una función, el límite de la expresión no varia al sustituir dicha función por otra equivalente.

Algunas equivalencias: x_→0 senx_∼x tgx_∼x arcsenx_∼x arctgx_∼x 1₋cosx_∼ x 2 2 ex −1_∼x Ln(1 +x)_∼x x_→1 Lnx_∼x₋1 sen(x−1)∼x−1 x_→_±_∞ anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0 ∼anxn Ejemplo 43 lim x→0 tg8x 4x Ejemplo 44 lim x→0 sen(tg(senx)) sen(tgx) Ejemplo 45 lim x→0 1₋cosx x2 '0 0 lim x→0 x2 2 x2 = 1 2 Ejemplo 46 lim x→0 xarctanx cosxsin (2x)2 '0 0 lim x→0 x_·x cosx_·(2x)2 'limx→0 1 4 cosx = 1 4

(7)

8.4.3 Cálculo de límites. Regla de L’Hopital.

En el proceso de calcular el límite de una función en un punto, ó en el infinito, puede aparecer alguna de las siguientes indeterminaciones:

0 0,

∞

∞,∞ − ∞,0·∞,∞

0_,₀0_,₁∞

Frecuentemente, es muy difícil ó imposible, reducir estas indetermina-ciones mediante transformaindetermina-ciones algebraicas de la expresión de la función. A continuación se expone la forma de reducir la indeterminación en el caso de trabajar con funciones derivables.

Indeterminación 0

0

Supongamos que lim

x−→af(x) = 0 y xlim−→ag(x) = 0 siendo g(x) 6= 0 en un

entorno dea. Si lim x−→a

f0₍_x₎

g0₍x₎ existe, tanto si es finito como si es±∞, entonces: lim x−→a f(x) g(x) = limx−→a f0₍_x₎ g0₍x₎

NOTA: Vale igual si en vez dea es a+_{, a}−_,₊_∞_,_−∞

Ejemplo 47 lim x→0 sinx x =0 0 lim x→0 cosx 1 = 1 Indeterminación ∞ ∞ Supongamos que lim

x−→af(x) = ∞ y xlim−→ag(x) = ∞. Si xlim−→a

f0₍_x₎

g0₍x₎ existe,

tanto si es finito como si es _±_∞, entonces:

lim x−→a f(x) g(x) = limx−→a f0₍_x₎ g0₍x₎

(8)

Ejemplo 48 lim x→+∞ ex lnx =∞ ∞ lim x→+∞ ex 1 x = lim x→+∞xe x _{= +} ∞ Ejemplo 49 lim x→+∞ lnx x2 =∞ ∞ lim x→+∞ 1 x 2x = limx→+∞ 1 2x2 = 1 +_∞ = 0 Indeterminación 0_·_∞

La indeterminación0_·_∞ se puede dar en el siguiente caso:

lim

x−→af(x)g(x)

cuando lim

x−→af(x) = 0 yxlim−→ag(x) =∞

Podemos aplicar la Regla de L’Hopital pasando a uno de los casos ante-riores, dividiendo por el inverso de uno de los factoresr:

lim

x−→af(x)g(x) = limx−→a

g(x)

1

f(x)

Con lo cual se produce una indeterminación ∞ ∞ o: lim x−→af(x)g(x) = limx−→a f(x) 1 g(x)

con lo cual se produce la indeterminación 0

0 Ejemplo 50 lim x→0+xlnx₀=_·∞_xlim_→₀+ lnx 1 x = lim x→0+ 1 x − 1 x2 = lim x→0+ −x2 x = = lim x→0+−x= 0 Indeterminación _{∞ − ∞}

La indeterminación_{∞ − ∞} se puede dar en el siguiente caso:

lim

(9)

cuando lim

x−→af(x) = +∞ yxlim−→ag(x) = +∞.

Sif yg no se anulan en un entorno del puntoa, se puede escribir:

lim x−→a(f(x)−g(x)) = limx−→a Ã 1 1 f(x) − 11 g(x) ! = lim x−→a Ã ₁ g(x) − 1 f(x) 1 f(x)g(x) !

con lo cual se produce la indeterminación 0

0 y en condiciones adecuadas, se

puede aplicar la regla de L’Hopital.

Ejemplo 51 lim x→0 µ 1 sinx − 1 x ¶ = ∞−∞xlim→0 µ_x −sinx xsinx ¶ = 0 0 lim x→0 µ 1₋cosx sinx+xcosx ¶ = 0 0 = lim x→0 µ sinx

cosx+ cosx₋xsinx

¶

= 0

1 + 1₋0 = 0

Indeterminación 1∞

Tener en cuenta que (*)

lim x→af(x) g(x) =exlim→a[g(x)(f(x)−1)] Ejemplo 52 lim x→0 µ 3x+ 2x 2 ¶1 x = 1∞e lim x→0 1 x(3 x₊₂x 2 −1) =exlim→0 3x+2x−2 2x =exlim→0 3xln 3+2xln 2 2 = =eln 3+ln 22 =e ln 3·2 2 =e(ln 6) 1 2 = 612 =√6 Indeterminaciones _∞0 y 00 Utilizar la expresión (*): lim x→af(x) g(x) =exlim→a[g(x)Lnf(x)] Ejemplo 53 lim x→+∞ x √_x = lim x→+∞x 1 x ₌ ∞0 e lim x_→+∞ 1 xlnx =ex_→lim+∞ lnx x =ex_→lim+∞ 1 x 1 = =e0 _{= 1}

(10)

(*):

f(x)g(x) = eLn(f(x)g(x))

f(x)g(x) = eg(x)Lnf(x)

Por tanto aplicando límites:

lim x→af(x)

g(x)

=elimx→ag(x)Lnf(x)

Sif(x)_→1 entonces Lnf(x)_→f(x)₋1 y por tanto podemos poner:

lim x→af(x) g(x) =elimx→ag(x)(f(x)−1) Ejercicio 54 lim x−→1 1 x₋1 = No existe Ejercicio 55 lim x→+∞ x4 −1 x2₋₁ = +∞ Ejercicio 56 lim x→0 x 1₋√x+ 1 =−2 Ejercicio 57 lim x→0 √ 1₋x₋√1 +x x =−1 Ejercicio 58 lim x→+∞ ¡√_x₂ +x₋x¢= 1₂ Ejercicio 59 lim x→+∞ ¡√_x + 2−√x−2¢= 0 Ejercicio 60 lim x→0 1₋cosx+ sin22x sinx = 0 Ejercicio 61 lim x→0 sinx x = 1 Ejercicio 62 lim x→+∞ ex lnx = +∞ Ejercicio 63 lim x→+∞xln 2 +x x = 2

(11)

Ejercicio 64 lim x→+∞(e x −x2) =_∞ Ejercicio 65 lim x→o+(cosx) 1 sinx ₌exlim→0+ 1 sinx(cosx−1) =e0 _{= 1} Ejercicio 66 lim x→0 5 arcsinx 7x = 5 7 Ejercicio 67 lim x→0 1₋cosx x2 = 1 2 Ejercicio 68 lim x→0 xarctanx cosxsin (2x)2 = 1 4 Ejercicio 69 lim x→1 sin (x₋1) x₋1 = 1 Ejercicio 70 lim x→1 lnx x₋1 = 1 Ejercicio 71 lim x→∞ 3x2₊_x −1 2x2₋x = 3 2 Ejercicio 72 lim x→0 ex −e−x−2x x₋sinx = 2 Ejercicio 73 lim x→+∞ lnx x2 = 0 Ejercicio 74 lim x→0+xlnx= 0 Ejercicio 75 lim x→1 x5 −1 x3₋₁ = 5 3 Ejercicio 76 lim x→0 (1₋cosx) sinx x2 = 0 Ejercicio 77 lim x→0 x₋sinx cosx₋1 = 0 Ejercicio 78 lim x→1 sin (x−1) x2₋₃x_{+ 2} =−1

(12)

Ejercicio 79 lim x→0 xln (1 +x) 1₋cosx = 2 Ejercicio 80 lim x→0 xcosx₋sinx x3 =− 1 3 Ejercicio 81 lim x→0 ex −e−x₋₂_x x₋sinx = 2 Ejercicio 82 lim x→0 ex −esinx x3 = 1 6 Ejercicio 83 lim x→0 1₋cosx (ex₋1)2 = 1 2