de la U. N. L.
ASOCIACION MEXICANA DE INGENIEBOS MECANICOS Y ELECTWCISTAS, A. C
S E M I N A R I O D E I N G . M E C A N I C A
P o n e n c i a :
E S T U D I O A N A L I T I C O
D E L C O N T R O L D E
V E L O C I D A D M E D I A N T E
GOBERNADOR ISOCRONO.
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P r e s e n t a d a p o r :
N . L .
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Pen/íAn^npin K v " X —-P r o c e d e n c i a
P r e c i o F e c h a C l a s i f i c ó C a t a l o g ó
jé.--
«Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
de la
U.
N . L.
ASOCIACION MEXICANA DE INGENIEHOS MECANICOS Y ELECTRICISTAS. A. C
S E M I N A R I O D E I N G . M E C A N I C A
P o n e n c i a :
E S T U D I O A N A L I T I C O
D E L C O N T R O L D E
V E L O C I D A D M E D I A N T E
GOBERNADOR ISOCRONO.
M o n t e r r e y , N . L .
A g o s t o d e 1 9 6 7 .
- s s r s s "
Capilla Alfonsina
Biblioteca
Vniversitaria
P r e s e n t a d a p o r :
ING. MIGUEL GABINO PEREZ!
v ' • ,
ING. JESUS LEAL MACIAS
s
- ^ - V V * s • •
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I N D I C E
CAPITULO PAGINA
INTRODUCCION 1 I D E R I V A C I O N A N A L I T I C A D E L D I A G R A M A D E B L O C K DEL
S I S T E M A 2 1.1 Nota A c l a r a t o r i a . 2
1.2 Análisis ^
II A N A L I S I S DEL D O M I N I O D E L TIEMPO 12*
2.1 Análisis del D o m i n i o d e l Tiempo
2 . 2 Lugar Geométrico de las B a l e e s 1 4 2 . 3 Análisis de Estado Estable 18 2.*f C a r a c t e r í s t i c a s de la R e s p u e s t a T r a n s i t o r i a 19
' 2 . 5 R e s p u e s t a T r a n s i t o r i a ante un C a m b i o en la
Señal de R e f e r e n c i a 19 9 2 . 6 R e s p u e s t a T r a n s i t o r i a ante un C a m b i o en la
s Perturbación \ 21
III . R E S P U E S T A D E F R E C U E N C I A Z h
3.1 R e s p u e s t a de F r e c u e n c i a Z k 3 . 2 Análisis de E s t a b i l i d a d 2 9
IV ' APLICACION DEL A N A L I S I S A UN C A S O PARTICULAR 33
A-.1 V a l o r e s de l o s P a r á m e t r o s 33
C O M E N T A R I O S Y C O N C L U S I O N E S 3 5
B I B L I O G R A F I A 3 7
I N T R O D U C C I O N
El propósito fundamental de este estudio es mostrar de la
manera más sencilla posible el desarrollo analítico de un
gober-nador ISOCRONO; dicho en terminología de control, derivar la
fun-ción de transferencia del sistema analizado.
De antemano aclaramos que para la comprensión de este
tra-bajo solamente son necesarios conocimientos elementales de teoría
de control, a saber, noción de transformada de Laplace,
lineari-zación de ecuaciones, criterios de estabilidad, posición de
ra-íces, respuesta de frecuencia, etc.
Hablemos ahora un poco sobre gobernadores. El sencillo go-»
bernador mecánico de Watt de masas giratorias es todavía el
co-razón de muchos sistemas de control de velocidad. Su
construc-ción relativamente sencilla, su viabilidad y su bajo costo lo
han mantenido; pese a los grandes y atropellantes adelantos de
nuestra época actual, en un puesto muy privilegiado de
populari-dad dentro de los medios más efectivos de control de velocipopulari-dad.
Todos los gobernadores caen dentro de dos grandes
clasifi-caciones, los ISOCRONOS y los NO-ISOCRONOS. Los primeros tienen
como característica principal el que mantienen la máquina prima
a velocidad constante (en estado estable) independientemente de
los cambios de carga? explicando mejor, si se genera un cambio
en la carga de la máquina cuya velocidad ss quiere controlar,
se producirá un transitorio cuyas características, desde el
de la función de transferencia del sistema analizado, esto es,
exclusivamente por la función característica. Durante este
tran-sitorio si habrá variaciones en la velocidad, sin embargo,'una
vez que el mismo ha muerto, la velocidad de la máquina será la
misma que la que existía anterior al cambio de carga.
Para los gobernadores NO-ISOCRONOS la situación es
diferen-te, o sea, un aumento de carga acarrea una disminución en la
ve-locidad, o a la inversa.
Aunque dentro de estas dos grandes c l a s i f i c a c i o n e s de g o b e r -n a d o r e s podemos difere-nciar u-n si-nút-nero de a r r e g l o s m e c á -n i c o s o -eléctricos, es imposible pretender un análisis g e n e r a l de t o d o s
ellos; razón por la cual l i m i t a m o s este estudio al gobernador Isócrono m o s t r a d o e s q u e m á t i c a m e n t e en la Figura 1 .
C A P I T U L O I
1.- DERIVACION ANALITICA DEL DIAGRAMA DE BLOCK DEL SISTEMA.
Como se verá más adelante el sistema analizado es un
siste-ma de control tipo integral, o sea que en el denominador de la
función de transferencia se tiene una "s" con exponente 1, razón
misma por lo que resulta insensible a cambios de carga en
esta-do estable y que es precisamente lo que le da el carácter de
I-6Ócrono«
1 . 1 — NOTA ACLARATORIA
de la función de transferencia del sistema analizado, esto es,
exclusivamente por la función característica. Durante este
tran-sitorio si habrá variaciones en la velocidad, sin embargo,'una
vez que el mismo ha muerto, la velocidad de la máquina será la
misma que la que existía anterior al cambio de carga.
Para los gobernadores NO-ISOCRONOS la situación es
diferen-te, o sea, un aumento de carga acarrea una disminución en la
ve-locidad, o a la inversa.
Aunque dentro de estas dos grandes clasificaciones de
gober-nadores podemos diferenciar un sinúmero de arreglos mecánicos o
eléctricos, es imposible pretender un análisis general de todos
ellos; razón por la cual limitamos este estudio al gobernador
Isócrono mostrado esquemáticamente en la Figura 1.
C A P I T U L O I
1.- DERIVACION ANALITICA DEL DIAGRAMA DE BLOCK DEL SISTEMA.
Como se verá más adelante el sistema analizado es un
siste-ma de control tipo integral, o sea que en el denominador de la
función de transferencia se tiene una "s" con exponente 1, razón
misma por lo que resulta insensible a cambios de carga en
esta-do estable y que es precisamente lo que le da el carácter de
I-6Ócrono«
1 . 1 — NOTA ACLARATORIA
Con objeto de evitar repeticiones inútiles durante el
aná-lisis de nuestro sistema conviene aclarar que para todas las
SISTEMA ANALIZADO
de las tangentes; además, dado que, como mencionábamos en la
in-troducción, todo sistema está caracterizado de pleno por su
fun-ción característica (denominador de la funfun-ción de transferencia)
y en virtud que esta función no depende de las condiciones
ini-ciales del mismo sistema, cada vez que venga al caso, estas
con-diciones iniciales se supondrán iguales a cero; además las
fun-•"ciones transformadas al dominio de Laplace se indican testadas.
1 . 3 . - ANALISIS"
Para la d e r i v a c i ó n del diagrama de b l o c k del s i s t e m a , que e s al fin de cuentas lo que realmente debe i n t e r e s a m o s desde el
punto de v'st- de c o n t r o l e s ya que esto es lo que n o s d e f i n i r á al s i s t e m a tanto en su estado transitorio c o m o en su estado e s table, se e m p l e a r o n e c u a c i o n e s elementales de d i n á m i c a que a u n -que no sean todas ellas lineales, se p r o c e d i ó a su l i n e a r i z a c i ó n alrededor de u n punto de o p e r a c i ó n según se i n d i c ó en el inciso
1.1 •
Parte de las ecuaciones que d e f i n e n a n u e s t r o s i s t e m a son:
¿r El desplazamiento Z es una función
de la velocidad d e s e a d a .
2 . - / Q ( ZmX ) La fuerza generada por el r e s o r t e
es p r o p o r c i o n a l al d e s p l a z a m i e n t o
neto del mismo (z-x)
3 . -
A£*C*AX
Por la se o m e t r i a del si6tema se vefácilmente que u n i n c r e m e n t o en j é ' f A é ) «s p r o p o r c i o n a l a u n o en
X ¿AX)
-Aislando en cuerpo libre las m a s a s giratorias se tiene la
DIAGRAMA DE FUERZAS DE UNA MASA GIRATORIA.
De aquí se tiene que:
La fuerza centrífuga en virtud del movimiento angular será
4.- «
£//7£¿U
2Asumiendo, como usualmente acontece, que el gobernador está
engranado a la flecha de salida«
X
2rr
5." aJzCjzj/Js
C j - Relación de engranes
//s - Velocidad de la flecha de salida en
revolucio-nes por minuto
Efectuando momentos sobre el pivote "¡a".
De aquí que:..
6 . - =
Cx fe
C o m o resultado de las e c u a c i o n e s 4 , 5 y 6 se tienes
7 . - f k = C * ¿ >
¿>
- <*f
T r a n s f o r m a n d o y l i n e a r i z a n d o alrededor de u n punto de ope< r a c i ó n c u a l q u i e r a las e c u a c i o n e s 1, 2f 3 y 7
1«a#-, ÁZ =C2 ÁA¿
-
.
^ J//
£h
3.a«,- =
M a n i p u l a n d o e c u a c i o n e s 2 . a , 3.a-,y 7.a
De l a s e c u a c i o n e s 10a y 8.a establecemos el primer d i a g r a m a
de b l o c k p a r c i a l .
A Né
Cz
AI
+r\
/
Cz
I -
/ís-C*Cs
¿X
C
4AA/s
F I G U R A 3
DIAGRAMA DE BLOCK PARCIAL DEL SISTEMA
A n a l i c e m o s a h o r a la v á l v u l a de c o m b u s t i b l e .
' E n ésta el flujo de c o m b u s t i b l e Q , como en c u a l q u i e r otra v á l v u l a , depende tanto de la a p e r t u r a [Y) como de la c a í d a de pre< sión a través de la m i s m a ; no obstante, bajo el s u p u e s t o de que la p r e s i ó n a n t e s de la v á l v u l a v(presión de s u m i n i s t r o ) es c o n s
-tante y de que l a s v a r i a c i o n e s de p r e s i ó n después de é s t a s o n d e s p r e c i a b l e s a l pasar el s i s t e m a de u n a c o n d i c i ó n de o p e r a c i ó n a o t r a , se concluye que el c a m b i o neto de p r e s i ó n es r a z o n a b l e -m e n t e c o n s t a n t e , lo que l l e v a a la s i -m p l i f i c a c i ó n de que el
gas-to e s ú n i c a m e n t e función de la a p e r t u r a , esgas-to es:
Ahora b i e n , la v e l o c i d a d de salida de la m á q u i n a {//sj se c o -noce está e n función del gasto
( Q ) del c o m b u s t i b l e , del par s o
bre la maquina (7"), pero además depende también (y en algunos
casos con gran influencia) de la dinámica propia del proceso
co-mo pudiese ser retrasos en el transporte de la señal, efectos de
la combustión de la máquina, etc., éstos efectos pudieran ser
ex-presados (si no se supone oscilatorio el proceso) por un término
de primer orden, que en el dominio de Laplace se representaria como
I
y +7;5
Sin embargo, según se estableció anteriormente, este término
de retraso depende directamente de la dinámica del proceso y dado
que este análisis tiene carácter particular, se asumirá que la
cons-tante de tiempo más imporcons-tante es la que depende de la inercia de
la carga con todas sus reservas. Al final de este análisis se
comentará de una forma general el efecto neto que producirla la
introducción de este término de atraso en la respuesta del sistema.
De esta forma queda:
1 0 .
A ¿ S =f(Qj T)
X
Despreciando perdidas, el par sobre la máquina está dado como
-r r ^
27Tr ¿Jk
- - r
x 7 i+ t t J
Donde:
— -r 27T
7JJJs
11.- / * - ¡ f f
72 = par de carga
o
ala
na iobüt & & 9 0 0
o
jbI et/p ¿ isi ái*xi.¿>í;x>
Lincarizando y transformando ecuaciones 9, 10 y 11
9.a.- ¿
Q « /
- j y
10.a.- 4 Ü
-CsAQ-C
7A T
. JM¡
. Cs - J Q
'Ir
•
7~~JT~k
v
L a razón del signo ¿.«Oat±vo obedece
a que la velocidad aumenta al dis-minuir el par y a la i n v e r s a .
De las ecuaciones 10.a y 11.a tenemos
12.a.-
AA/s fAQ'QATj
71 & J
¿A/s
j r
J/Vs
O = JA/s
'\op
El diagrama de block resultado de las ecuaciones 9.a y 12.a es
¿ y
Cs
_
AA/s
y
/+T
2S
|
„Aíz
F I G U R A 4Estudiemos ahora la válvula del servomotor
i
7
•
W W V
-IT
A 1 ~ ^
P,
W W V
-IT
Pt
P,
Li
c
Pt
P,
FIGURA 5
VALVULA DE CUATRO PASOS DEL SERVOMOTOR
Do la ecuación de continuidad
^"df A ' Ai
Y de la ecuación de flujo para el caso de un orificio de
pa-redes angulosas
O - Flujo a través de la válvula
Cd- Coeficiente de descarga (considerado constante',
W X s Area del puerto donde:
W - Circunferencia
X - Longitud de la apertura
Densidad del fluido
y - Constante gravitacional
AP" Diferencia de presiones en la válvula
Se llega a:
' fp
2• X>0
x<0
A»
Mi--. yfctf
A,
/I,Q
2a
2 Oz-Az
además que
es:
1 7 .
De forma a n á l o g a l l e g a m o s a:
//
n\
A A*
Tanto de la e c u a c i ó n 18 como de la 19 se ve que la v e l o c i d a d del p i s t ó n ( 4 f )e e f u n c i ó n t a n t o d e l d e s p l a z a m i e n t o X como de la
fuerza sobre el m i s m o ; por lo que linearizando y t r a n s f o r m a n d o
- t e n e m o s :
¿ y =
Donde l a s c o n s t a n t e s /\2 y son como sigue
P ar a „ X > 0
'^'Jflof 2 V PsA,-F \o
PPara X < P
./ ¿Y
Tomando como punto de o p e r a c i ó n (observar que Ka se ha-ce i g u a l a c e r o ) se l l e g a al fian a la e c u a c i ó n
> ¡ 7 — 4 L M .
2 0 . a . - ¿J / <í
Con la ecuación 20.a llegamos a nuestro último diagrama
AX
Kz
AV
5
F I G U R A 6
DIAGRAMA DE BLOCK DEL SERVOMOTOR
Integrando los diagramas parciales (figuras 3, ** y 6) se
llega al diagrama de block del sistema.
~ ¿Cs - Ct-Ca
F I G U R A 7
C A P I T U L O I I
2.1-ANALISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO.
En forma general el diagrama de block del sistema es el
si-guiente.
• - 1
Á7i
FIGURA 8
FORMA GENERAL DEL DIAGRAMA DE BLOCK DEL SISTEMA.
De éste se tiene:
t~T,
¿r,¿r~AJj.
f
&G, Fh
21.a.- -
/+e,G
2H
En función de los parámetros3 la ecuación 21«a queda:
— (Ar,AkC
2Cs\¿\¿Jf
e_ SÍOCs\r
2)Áf
tComo puede verse el sistema es de segundo orden
2.2-LUGAR GEOMETRICO D E L A S R A I C E S .
La función de transferencia de circuito abierto se define
La sensibilidad de circuito abierto es
L a ecuación característica del sistema es:
Luego
En forma polar la ecuación anterior queda como
. (\$\¿k)(ls + -k¡
Seguidamente establecemos las condiciones para definir la
posición de las raíces"«
Condición de magnitud.
Condición de ángulo
Angulo de las asíntotas
JSO
°±SLÚ
2 2 . - - > 7 - ^
Donde:
yn - Número de ceros
1ó
-L u e g o
y . J80±k3LQ_ +90<>
2
Covce con el eje r e a l áe las asíntotas
i
^
/
P
ol-OS £/ £z
¿J ~ £ G>
&Z
//
2 3 . -
Qc
<r
c.
0-T7-0
= y—
- 2-0 2f
zx
-/r
'zT
2K-
<=»o^ ^Oíl os
q
F I G U R A 9
LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES EN EL PLANO COMPLEJO
el s i s t e m a más oscilatorio . En el caso límite de te-nerse sensibilidad i n f i n i t a , la razón de a m o r t i g u a m i e n t o v a l d r í a cero y el s i s t e m a o s c i l a r í a p e r p e t u a m e n t e .
En el Capítulo I se a c l a r ó que, ademas de las c o n s i d e r a c i o -nes h e c h a s , el s i s t e m a depende también - e n a l g u n o s c a s o s fuerte-m e n t e - de la d i n a fuerte-m i c a p r o p i a del "proceso", o sea, e f e c t o s de la c o m b u s t i ó n (si es m á q u i n a de c o m b u s t i ó n ) , e f e c t o s e l é c t r i c o s (si es e l é c t r i c a ) , r e t r a s o s en el transporte de la señal, i n e r c i a s
(eléctricas o m e c á n i c a s ) , e t c .
De esto r e s u l t a que la función de t r a n s f e r e n c i a del "proceso» e s ú n i c a para cada caso y no pueden hacerse g e n e r a l i z a c i o n e s ; s i n e m b a r g o , p a r a l o s e f e c t o s de este estudio s u p o n d r e m o s una c o n s t a n te de tiempo Z m u c h o menor que el r e s t o de l a s que p u d i e s e n a parecer en esta función de transferencia a m a n e r a de que e s t a u l -tima sea r e d u c i d a a un término de primer orden (término de a t r a s o ) que en el d o m i n i o de L a p l a c e sería de la forma * d e a q u i
que i n s e r t a n d o este termino e n l a función de t r a n s f e r e n c i a total del s i s t e m a p o d e m o s p r e d e c i r a p r i m e r a s vistas que la r e s p u e s t a total d e l m i s m o t e n d e r á a ser m á s inestable por r a z ó n de h a b e r a -gregado u n polo»
C o n l a s a c l a r a c i o n e s a n t e r i o r e s , el lugar g e o m é t r i c o de las r a í c e s en la n u e v a e c u a c i ó n c a r a c t e r í s t i c a
JTz h
F I G U R A 10
L U G A R GEOMETRICO D E L A S R A I C E S E N EL P L A N O C O M P L E J O
2 . 3 . - A N A L I S I S D E E S T A D O E S T A B L E
Definiendo la ganancia del sistema como
- _
¿/Af. AÁ/s
Á7s¿
— ;
Z/A7. ¿Á/v
Se
tiene
E=ir<
Definiendo la sensibilidad del sistema como
L l e g a m o s a:
K*o
2 A , - C A R A C T E R I S T I C A S D E LA R E S P U E S T A T R A N S I T O R I A
Por tratarse de u n sistema de segundo orden, p a r a obtener la frecuencia n a t u r a l y la razón de a m o r t i g u a m i e n t o del s i s t e m a ,
b a s t a r á c o m p a r a r l a e c u a c i ó n c a r a c t e r í s t i c a del mismo con la f o r m a
general
Donde
¿ C = Razón de amortiguamiento
= Frecuencia natural
Z )¡
2 . 3 . " R E S P U E S T A T R A N S I T O R I A A N T E UN CAÍ-IB 10 E N LA S E Ñ A L D E R E F E R E N C I A
H a c i e n d o el a n á l i s i s para u n cambio en la s e ñ a l de r e f e r e n c i a tipo e s c a l ó n y u n c a m b i o en la señal de p e r t u r b a c i ó n i g u a l a cero
de manera tal que
2 7 .
-AÁ/s
¿o
-L a transformada de la s e ñ a l de referencia sería
28.-S u s t i t u y e n d o en la e c u a c i ó n 21.a I
A A /
*.K«C,C
s/T
2„AMs-... -5
Con l o s c o n c e p t o s de frecuencia n a t u r a l y r a z ó n de a m o r t i
-guamiento ya d e f i n i d o s .
•
KkkCzCs/n ~ am
ANs r' s*+2X¿¿J»S
/-
CU>i
2S
Y d e f i n i e n d o
. .
/c=/r, KsCzCsfá
R e s o l v e m o s la e x p r e s i ó n áNs aplicando fracciones p a r c i a l e s , T e o r e m a de E e a v i s i d e y transformando i n v e r s a m e n t e para e n c o n t r a r a l fin la e x p r e s i ó n en el t i e m p o dada por
Para el rango
«Mices t
UJ 2 V
FIGURA 11
RESPUESTA TRANSITORIA DEL SISTEMA ANTE UN CAMBIO EN LA SEÍSAL DE
REFERENCIA TIPO ESCALON
y
2.6.- ' RESPUESTA TRANSITORIA ANTE UN CAMBIO EN LA PERTURBACION
El análisis esta hecho para un cambio en la perturbación de
M p o rampa-escalón, y un cambio en la señal de referencia igual
A cero. Este tipo de cambio fué escogido a manera de aporximarse
F I G U R A 12
TIPO D E P E R T U R B A C I O N A N A L I Z A D O
De esta forma, la e x p r e s i ó n e n e l tiempo de la p e r t u r b a c i ó n
es*
30-
ATl -AT^t [M-*(t-a)]+
4/2 *
[*<t-*)]
T r a n s f o r m a n d o a l d o m i n i o de Laplace
#
A T
A TL
L a s o l u c i ó n se hará para u n a p e r t u r b a c i ó n de tipo
-4.5
obtenido al afectarlo por el término. Z « • « * » e l s eS "n d o
.eorema do, t r a s l a c i ó n .
32
De lo a n t e r i o r , la e x p r e s i ó n en el tiempo ante el c a m b i o de
p e r t u r b a c i ó n supuesto e s :
3 3 • ~ j & Ñ s z J — L
[cttijfcc*;
r ú SUJ«)/7^t+
S£/jUJ«x
(¿
uj
„ r
zf»
7*
Graficando e s q u e m á t i c a m e n t e la e x p r e s i ó n a n t e r i o r v e r e m o s
Ai
M
t
F I G U R A 13
C A P I T U L O I I I
R E S P U E S T A D E F R E C U E N C I A .
3 . 1 . - R e c o r d a n d o que p o r r e s p u e s t a de frecuencia se e n t i e n d e l a
r e s p u e s t a del s i s t e m a a u n a s e ñ a l de e n t r a d a tipo s e n o i d a l y que
é s t a se o b t i e n e s u s t i t u y e n d o . 5 por JO/ e n la f u n c i ó n de t r a n s -f e r e n c i a del s i s t e m a t e n d r e m o s q u e :
A A/s / • ) Cs Cz Xs/rz
p o r l o que, s e g ú n la d e f i n i c i ó n ya dada en e l c a p í t u l o a n
-t e r i o r , la g a n a n c i a r e s u l -t a .
-rr ftCsCz /fs
/r =
-7-— /z
A d e m á s , i n t r o d u c i e n d o e s t e c o n c e p t o y l a s d e f i n i c i o n e s de f r e c u e n c i a n a t u r a l y r a z ó n d e amortiguarniente que t a m b i é n d i m o s
e n e l c a p i t u l o a n t e r i o r se t i e n e :
4 w
l J W )~ " (joj)
2,
M u l t i p l i c a n d o y d i v i d i e n d o n u m e r a d o r y d e n o m i n a d o r r e s p e c
-t i v a m e n -t e p o r tá asi c o m o r e a r r e g l a n d o t é r m i n o s , la e x p r e s i ó n
a n t e r i o r q u e d a como
Expresando la magnitud del complejo anterior en decibeles:
¿ u / f f i
"
"</&/>»
¿° f J s - ^ J X - t h /
Para el diagrama de Bode, parte medular del análisis de
res-puesta de frecuencia, la asíntota de baja se obtiene haciendo
ten-der (JJ a cero por lo que resulta
Para obtener ahora la asíntota de alta se hace tender L Ü
/ ¿ ¿ / V
a infinito por lo que se ve que el. término que prevalece
por lo que:
3 7 -
£ M/jfc M/'-
2 0^ (£F)-
/0 ¿La pendiente de la asíntota de alta la obtenemos derivandc
/
f
w 1la ecuación correspondiente con respecto a
a 6 ¡oscAdü
En forma similar y según apreciamos en la ecuación de la
Igualando las 'ecuaciones de alta y de baja ya encontradas
obtenemos el corte de las mismas o punto de quiebre:
De donde:
__ ¿0 ¿06. °
~ ¿Un *
En la Figura 14 ilustramos la gráfica de las asíntotas,
/isi/} fot a e/e ¿aj*
J0_
I
20"
0
^ -40 \
— h
-OJ
/.O
As/nüta c/es¿f*
-¿0 &/i/eea</s
/O
Wn
OJ
FIGURA 14
Con lo anterior encontramos solo uno de los dos diagramas
de Bode, o sea, el diagrama Magnitud (decibeles) Frecuencia.
El segundo diagrama, de Fase Frecuencia, lo encontraremos a
con-tinuación. Para esto
Zfm**r
i *3 t r e s condiciones defrecuencia; MJ
t-CJ¿_ * ¿¿/V.
c
CU (jüj) = _ /í
UJS
uj _
cu» -1
w
Mili»,)--«
De lo que resulta que los diagramas de Bode quedan finalmente
según se ilustra en la figura a continuación
l
i
• *
FIGURA 15
D I A G R A M A S D E B O D E P A R A L A F U N C I O N D E T R A N S F E R E N C I A
E l d i a g r a m a polar (parte imaginario, parte r e a l M e l a m a g -n i t u d ) es f á c i l m e -n t e . d e d u c i b l e a partir de la figura a -n t e r i o r y
F I G U R A 16
D I A G R A M A POLAR PARA LA FUNCION D E T R A N S F E R E N C I A
3 . 2 . - A N A L I S I S D E E S T A B I L I D A D
El analisis de estabilidad mediante el criterio Nyquist se
hace en base a la llamada función de transferencia de circuito
abierto, a saber,
/ 1 ,/ 1 X,KsCzCsC
4en la que h a c e m o s una v a r i a c i ó n de *S" según se m u e s t r a e n l a Figura 17.
F I G U R A 17
V A R I A C I O N D E E N EL PLANO C O M P L E J O
F I G U R A 18
C R I T E R I O D E E S T A B I L I D A D D E N Y Q U I S T P A R A EL S I S T E M A A N A L I Z A D O
*
El c r i t e r i o de e s t a b i l i d a d mencionado e s t a b l e c e que para que el s i s t e m a sea estable el diagrama anterior no debe e n c e r r a r al p u n t o -
-Jtjú
. C o n s e c u e n t e m e n t e el sistema analizado r e s u l -ta e s t a b l e .F I G U R A 19
C A P I T U L O I V
APLICACION DEL ANALISIS A UN CASO PARTICULAR
4.1.- VALORES DE LOS PARAMETROS
N o s v a l i m o s de la r e f e r e n c i a número 1 para e s t a b l e c e r u n o s v a l o r e s típicos de l o s p a r á m e t r o s del diagrama de b l o c k de n u e s
-tro s i s t e m a , a s a b e r :
-72=¿5¿> sef.
Estableciendo además queXla gai «n ia de la señal de referen-<
cia y la retroalimentación sean igu¿ i.e a la unidad se tiene:
/á.
De esto el diagrama de b l o c k resultarla s e g ú n se m u e s t r a e :.
l a Figura 2 0
F I G U H A 20
D I A G R A M A D E B L O C K CON LOS V A L O R E S DE LOS P A R A M E T R O S E S C O G I D O S
X
C O M E N T A R I O S Y C O N C L U S I O N E S
Con todas las aclaraciones y simplificaciones hechas
duran-te el desarrollo de esduran-te trabajo, que según explicábamos
obede-cían a la imposibilidad de encontrar un análisis que fuese
váli-do para cualquier gobernaváli-dor Isócrono, la función de
transferen-cia del sistema tratado se vio es de segundo orden. Los
facto-res de mayor influencia en esta función de transferencia fueron
la inercia del sistema ( j T ^ s ) 7 l a integración / é j »
proveniente ésta última del servomotor hidráulico del gobernador
lo que a su vez es lo que le da a nuestro gobernador el carácter
de Isócrono pues con ello se logra cero sensibilidad. - ó ) ;
en suma, la velocidad de la máquina (A/s) permanece constante
ante cambios finitos de la perturbación, ( / c j » uca vez que el
transitorio del sistema ha muerto.
De lo anterior puede verse obviamente que existen otro tipo
de arreglos de gobernadores diferentes ¿1 analizado que no
obstan-te seguirán siendo Isócronos siempre y cuando se les provea una
integración mediante el mismo servomotor o algún otro mecanismo
similar a éste. De hecho es posible lograr algunos arreglos más,
también Isócronos, en los que además de tener el modo
proporcio-nal como en el que se aproporcio-nalizó, se tenga cualquier combinación
posible de este modo más el modo integral y derivativo
(combina-ciones serie o paralelo) que aunque bien sabemos harán el
siste-ma más rápido en su respuesta, sin embargo lo hacen siste-mas
polos a la función de transferencia; no olvidar que por regla
ge-neral en todo sistema de control están siempre en pugna la
ten-dencia a la inestabilidad y la rapidez del mismo.
El caso particular analizado, dado los valores de los
pará-metros escogidos, resultó subamortiguado según se deduce de las
gráficas que muestran una respuesta transitoria oscilatoria y
a-demás del diagrama de Bode que para la magnitud del complejo
si-gue la tendencia de las asíntotas por arriba de ellas. Del
dia-grama Hagnitud-Fase de. 6 0 v i ó <lue e l oárgen de fase es
de unos grados positivos corroborando con ello el análisis
teórico asi como también la estabilidad inherente al sistema
se-gún ce deduce del criterio de Nyquist.
Por último permítasenos establecer, aunque de una manera
com-pletamente asimil con lo anterior, una última reflexión.
Espe-ramos, quizas de una manera petulante, que la aportación que
ha-yamos podido proporcionar pueda llegar a inquietar su curiosidad
para que se adentren, quienes aun no lo hayan hecho, en campo tan
basto, exitante y de tanta actualidad como es el del control
B I B L I Q G R A F I A
DONNELLY, Reuben H. (Publicacion de)
"Regulating Engine. Speed Control Engineering"
Enero de 1966 V o l . 13 N o . 1 F e b r e r o de 1966 V o l . N o . 2
BAVEN, Francis H.
"Automatic Control Engineering"
McGraw-Hill Book Company Inc.
N e w Y o r k , 1961
C H U N G K U O , B e n j a m i n
"Automatic Control Systems"
Prentice-Hall Electrical Engineering Series