Estudio analítico del control de velocidad mediante gobernadorisócrono

Texto completo

(1)

de la U. N. L.

ASOCIACION MEXICANA DE INGENIEBOS MECANICOS Y ELECTWCISTAS, A. C

S E M I N A R I O D E I N G . M E C A N I C A

P o n e n c i a :

E S T U D I O A N A L I T I C O

D E L C O N T R O L D E

V E L O C I D A D M E D I A N T E

GOBERNADOR ISOCRONO.

1055

P r e s e n t a d a p o r :

N . L .

(2)

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(3)
(4)
(5)

N ú m . Cías N ú r n . A u t o r

A d a

9 5 , 6 5

Pen/íAn^npin K v " X —-P r o c e d e n c i a

P r e c i o F e c h a C l a s i f i c ó C a t a l o g ó

jé.--

«

Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

de la

U.

N . L.

ASOCIACION MEXICANA DE INGENIEHOS MECANICOS Y ELECTRICISTAS. A. C

S E M I N A R I O D E I N G . M E C A N I C A

P o n e n c i a :

E S T U D I O A N A L I T I C O

D E L C O N T R O L D E

V E L O C I D A D M E D I A N T E

GOBERNADOR ISOCRONO.

M o n t e r r e y , N . L .

A g o s t o d e 1 9 6 7 .

- s s r s s "

Capilla Alfonsina

Biblioteca

Vniversitaria

P r e s e n t a d a p o r :

ING. MIGUEL GABINO PEREZ!

v ' • ,

ING. JESUS LEAL MACIAS

(6)

s

- ^ - V V * s • •

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I N D I C E

CAPITULO PAGINA

INTRODUCCION 1 I D E R I V A C I O N A N A L I T I C A D E L D I A G R A M A D E B L O C K DEL

S I S T E M A 2 1.1 Nota A c l a r a t o r i a . 2

1.2 Análisis ^

II A N A L I S I S DEL D O M I N I O D E L TIEMPO 12*

2.1 Análisis del D o m i n i o d e l Tiempo

2 . 2 Lugar Geométrico de las B a l e e s 1 4 2 . 3 Análisis de Estado Estable 18 2.*f C a r a c t e r í s t i c a s de la R e s p u e s t a T r a n s i t o r i a 19

' 2 . 5 R e s p u e s t a T r a n s i t o r i a ante un C a m b i o en la

Señal de R e f e r e n c i a 19 9 2 . 6 R e s p u e s t a T r a n s i t o r i a ante un C a m b i o en la

s Perturbación \ 21

III . R E S P U E S T A D E F R E C U E N C I A Z h

3.1 R e s p u e s t a de F r e c u e n c i a Z k 3 . 2 Análisis de E s t a b i l i d a d 2 9

IV ' APLICACION DEL A N A L I S I S A UN C A S O PARTICULAR 33

A-.1 V a l o r e s de l o s P a r á m e t r o s 33

C O M E N T A R I O S Y C O N C L U S I O N E S 3 5

B I B L I O G R A F I A 3 7

(7)

I N T R O D U C C I O N

El propósito fundamental de este estudio es mostrar de la

manera más sencilla posible el desarrollo analítico de un

gober-nador ISOCRONO; dicho en terminología de control, derivar la

fun-ción de transferencia del sistema analizado.

De antemano aclaramos que para la comprensión de este

tra-bajo solamente son necesarios conocimientos elementales de teoría

de control, a saber, noción de transformada de Laplace,

lineari-zación de ecuaciones, criterios de estabilidad, posición de

ra-íces, respuesta de frecuencia, etc.

Hablemos ahora un poco sobre gobernadores. El sencillo go-»

bernador mecánico de Watt de masas giratorias es todavía el

co-razón de muchos sistemas de control de velocidad. Su

construc-ción relativamente sencilla, su viabilidad y su bajo costo lo

han mantenido; pese a los grandes y atropellantes adelantos de

nuestra época actual, en un puesto muy privilegiado de

populari-dad dentro de los medios más efectivos de control de velocipopulari-dad.

Todos los gobernadores caen dentro de dos grandes

clasifi-caciones, los ISOCRONOS y los NO-ISOCRONOS. Los primeros tienen

como característica principal el que mantienen la máquina prima

a velocidad constante (en estado estable) independientemente de

los cambios de carga? explicando mejor, si se genera un cambio

en la carga de la máquina cuya velocidad ss quiere controlar,

se producirá un transitorio cuyas características, desde el

(8)

de la función de transferencia del sistema analizado, esto es,

exclusivamente por la función característica. Durante este

tran-sitorio si habrá variaciones en la velocidad, sin embargo,'una

vez que el mismo ha muerto, la velocidad de la máquina será la

misma que la que existía anterior al cambio de carga.

Para los gobernadores NO-ISOCRONOS la situación es

diferen-te, o sea, un aumento de carga acarrea una disminución en la

ve-locidad, o a la inversa.

Aunque dentro de estas dos grandes c l a s i f i c a c i o n e s de g o b e r -n a d o r e s podemos difere-nciar u-n si-nút-nero de a r r e g l o s m e c á -n i c o s o -eléctricos, es imposible pretender un análisis g e n e r a l de t o d o s

ellos; razón por la cual l i m i t a m o s este estudio al gobernador Isócrono m o s t r a d o e s q u e m á t i c a m e n t e en la Figura 1 .

C A P I T U L O I

1.- DERIVACION ANALITICA DEL DIAGRAMA DE BLOCK DEL SISTEMA.

Como se verá más adelante el sistema analizado es un

siste-ma de control tipo integral, o sea que en el denominador de la

función de transferencia se tiene una "s" con exponente 1, razón

misma por lo que resulta insensible a cambios de carga en

esta-do estable y que es precisamente lo que le da el carácter de

I-6Ócrono«

1 . 1 — NOTA ACLARATORIA

(9)

de la función de transferencia del sistema analizado, esto es,

exclusivamente por la función característica. Durante este

tran-sitorio si habrá variaciones en la velocidad, sin embargo,'una

vez que el mismo ha muerto, la velocidad de la máquina será la

misma que la que existía anterior al cambio de carga.

Para los gobernadores NO-ISOCRONOS la situación es

diferen-te, o sea, un aumento de carga acarrea una disminución en la

ve-locidad, o a la inversa.

Aunque dentro de estas dos grandes clasificaciones de

gober-nadores podemos diferenciar un sinúmero de arreglos mecánicos o

eléctricos, es imposible pretender un análisis general de todos

ellos; razón por la cual limitamos este estudio al gobernador

Isócrono mostrado esquemáticamente en la Figura 1.

C A P I T U L O I

1.- DERIVACION ANALITICA DEL DIAGRAMA DE BLOCK DEL SISTEMA.

Como se verá más adelante el sistema analizado es un

siste-ma de control tipo integral, o sea que en el denominador de la

función de transferencia se tiene una "s" con exponente 1, razón

misma por lo que resulta insensible a cambios de carga en

esta-do estable y que es precisamente lo que le da el carácter de

I-6Ócrono«

1 . 1 — NOTA ACLARATORIA

Con objeto de evitar repeticiones inútiles durante el

aná-lisis de nuestro sistema conviene aclarar que para todas las

(10)

SISTEMA ANALIZADO

de las tangentes; además, dado que, como mencionábamos en la

in-troducción, todo sistema está caracterizado de pleno por su

fun-ción característica (denominador de la funfun-ción de transferencia)

y en virtud que esta función no depende de las condiciones

ini-ciales del mismo sistema, cada vez que venga al caso, estas

con-diciones iniciales se supondrán iguales a cero; además las

fun-•"ciones transformadas al dominio de Laplace se indican testadas.

(11)

1 . 3 . - ANALISIS"

Para la d e r i v a c i ó n del diagrama de b l o c k del s i s t e m a , que e s al fin de cuentas lo que realmente debe i n t e r e s a m o s desde el

punto de v'st- de c o n t r o l e s ya que esto es lo que n o s d e f i n i r á al s i s t e m a tanto en su estado transitorio c o m o en su estado e s table, se e m p l e a r o n e c u a c i o n e s elementales de d i n á m i c a que a u n -que no sean todas ellas lineales, se p r o c e d i ó a su l i n e a r i z a c i ó n alrededor de u n punto de o p e r a c i ó n según se i n d i c ó en el inciso

1.1 •

Parte de las ecuaciones que d e f i n e n a n u e s t r o s i s t e m a son:

¿r El desplazamiento Z es una función

de la velocidad d e s e a d a .

2 . - / Q ( ZmX ) La fuerza generada por el r e s o r t e

es p r o p o r c i o n a l al d e s p l a z a m i e n t o

neto del mismo (z-x)

3 . -

A£*C*AX

Por la se o m e t r i a del si6tema se ve

fácilmente que u n i n c r e m e n t o en j é ' f A é ) «s p r o p o r c i o n a l a u n o en

X ¿AX)

-Aislando en cuerpo libre las m a s a s giratorias se tiene la

(12)

DIAGRAMA DE FUERZAS DE UNA MASA GIRATORIA.

De aquí se tiene que:

La fuerza centrífuga en virtud del movimiento angular será

4.- «

£//7£¿U

2

Asumiendo, como usualmente acontece, que el gobernador está

engranado a la flecha de salida«

X

2rr

5." aJzCjzj/Js

C j - Relación de engranes

//s - Velocidad de la flecha de salida en

revolucio-nes por minuto

Efectuando momentos sobre el pivote "¡a".

(13)

De aquí que:..

6 . - =

Cx fe

C o m o resultado de las e c u a c i o n e s 4 , 5 y 6 se tienes

7 . - f k = C * ¿ >

¿>

- <*f

T r a n s f o r m a n d o y l i n e a r i z a n d o alrededor de u n punto de ope< r a c i ó n c u a l q u i e r a las e c u a c i o n e s 1, 2f 3 y 7

1«a#-, ÁZ =C2 ÁA¿

-

.

^ J//

£

h

3.a«,- =

M a n i p u l a n d o e c u a c i o n e s 2 . a , 3.a-,y 7.a

(14)

De l a s e c u a c i o n e s 10a y 8.a establecemos el primer d i a g r a m a

de b l o c k p a r c i a l .

A Né

Cz

AI

+

r\

/

Cz

I -

/ís-C*Cs

¿X

C

4

AA/s

F I G U R A 3

DIAGRAMA DE BLOCK PARCIAL DEL SISTEMA

A n a l i c e m o s a h o r a la v á l v u l a de c o m b u s t i b l e .

' E n ésta el flujo de c o m b u s t i b l e Q , como en c u a l q u i e r otra v á l v u l a , depende tanto de la a p e r t u r a [Y) como de la c a í d a de pre< sión a través de la m i s m a ; no obstante, bajo el s u p u e s t o de que la p r e s i ó n a n t e s de la v á l v u l a v(presión de s u m i n i s t r o ) es c o n s

-tante y de que l a s v a r i a c i o n e s de p r e s i ó n después de é s t a s o n d e s p r e c i a b l e s a l pasar el s i s t e m a de u n a c o n d i c i ó n de o p e r a c i ó n a o t r a , se concluye que el c a m b i o neto de p r e s i ó n es r a z o n a b l e -m e n t e c o n s t a n t e , lo que l l e v a a la s i -m p l i f i c a c i ó n de que el

gas-to e s ú n i c a m e n t e función de la a p e r t u r a , esgas-to es:

Ahora b i e n , la v e l o c i d a d de salida de la m á q u i n a {//sj se c o -noce está e n función del gasto

( Q ) del c o m b u s t i b l e , del par s o

(15)

bre la maquina (7"), pero además depende también (y en algunos

casos con gran influencia) de la dinámica propia del proceso

co-mo pudiese ser retrasos en el transporte de la señal, efectos de

la combustión de la máquina, etc., éstos efectos pudieran ser

ex-presados (si no se supone oscilatorio el proceso) por un término

de primer orden, que en el dominio de Laplace se representaria como

I

y +7;5

Sin embargo, según se estableció anteriormente, este término

de retraso depende directamente de la dinámica del proceso y dado

que este análisis tiene carácter particular, se asumirá que la

cons-tante de tiempo más imporcons-tante es la que depende de la inercia de

la carga con todas sus reservas. Al final de este análisis se

comentará de una forma general el efecto neto que producirla la

introducción de este término de atraso en la respuesta del sistema.

De esta forma queda:

1 0 .

A ¿ S =f(Qj T)

X

Despreciando perdidas, el par sobre la máquina está dado como

-r r ^

27T

r ¿Jk

- - r

x 7 i

+ t t J

Donde:

— -r 27T

7

JJJs

11.- / * - ¡ f f

72 = par de carga

(16)

o

ala

na io

büt & & 9 0 0

o

jbI et/p ¿ i

si ái*xi.¿>í;x>

Lincarizando y transformando ecuaciones 9, 10 y 11

9.a.- ¿

Q « /

- j y

10.a.- 4 Ü

-CsAQ-C

7

A T

. JM¡

. Cs - J Q

'Ir

7

~~JT~k

v

L a razón del signo ¿.«Oat±vo obedece

a que la velocidad aumenta al dis-minuir el par y a la i n v e r s a .

De las ecuaciones 10.a y 11.a tenemos

12.a.-

AA/s fAQ'QATj

71 & J

¿A/s

j r

J/Vs

O = JA/s

'\op

El diagrama de block resultado de las ecuaciones 9.a y 12.a es

¿ y

Cs

_

AA/s

y

/+T

2

S

|

„Aíz

F I G U R A 4

(17)

Estudiemos ahora la válvula del servomotor

i

7

W W V

-IT

A 1 ~ ^

P,

W W V

-IT

Pt

P,

Li

c

Pt

P,

FIGURA 5

VALVULA DE CUATRO PASOS DEL SERVOMOTOR

Do la ecuación de continuidad

^"df A ' Ai

Y de la ecuación de flujo para el caso de un orificio de

pa-redes angulosas

(18)

O - Flujo a través de la válvula

Cd- Coeficiente de descarga (considerado constante',

W X s Area del puerto donde:

W - Circunferencia

X - Longitud de la apertura

Densidad del fluido

y - Constante gravitacional

AP" Diferencia de presiones en la válvula

Se llega a:

' fp

2

• X>0

x<0

Mi--. yfctf

A,

/I,

Q

2

a

2 Oz

-Az

además que

es:

1 7 .

(19)

De forma a n á l o g a l l e g a m o s a:

//

n

\

A A*

Tanto de la e c u a c i ó n 18 como de la 19 se ve que la v e l o c i d a d del p i s t ó n ( 4 f )e e f u n c i ó n t a n t o d e l d e s p l a z a m i e n t o X como de la

fuerza sobre el m i s m o ; por lo que linearizando y t r a n s f o r m a n d o

- t e n e m o s :

¿ y =

Donde l a s c o n s t a n t e s /\2 y son como sigue

P ar a „ X > 0

'^'Jflof 2 V PsA,-F \o

P

Para X < P

./ ¿Y

Tomando como punto de o p e r a c i ó n (observar que Ka se ha-ce i g u a l a c e r o ) se l l e g a al fian a la e c u a c i ó n

> ¡ 7 — 4 L M .

2 0 . a . - ¿J / <í

Con la ecuación 20.a llegamos a nuestro último diagrama

(20)

AX

Kz

AV

5

F I G U R A 6

DIAGRAMA DE BLOCK DEL SERVOMOTOR

Integrando los diagramas parciales (figuras 3, ** y 6) se

llega al diagrama de block del sistema.

~ ¿Cs - Ct-Ca

F I G U R A 7

(21)

C A P I T U L O I I

2.1-ANALISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO.

En forma general el diagrama de block del sistema es el

si-guiente.

• - 1

Á7i

FIGURA 8

FORMA GENERAL DEL DIAGRAMA DE BLOCK DEL SISTEMA.

De éste se tiene:

t~T,

¿r,¿r~

AJj.

f

&G, Fh

21.a.- -

/+e,G

2

H

En función de los parámetros3 la ecuación 21«a queda:

— (Ar,AkC

2

Cs\¿\¿Jf

e

_ SÍOCs\r

2

)Áf

t

Como puede verse el sistema es de segundo orden

2.2-LUGAR GEOMETRICO D E L A S R A I C E S .

La función de transferencia de circuito abierto se define

(22)

La sensibilidad de circuito abierto es

L a ecuación característica del sistema es:

Luego

En forma polar la ecuación anterior queda como

. (\$\¿k)(ls + -k¡

Seguidamente establecemos las condiciones para definir la

posición de las raíces"«

Condición de magnitud.

Condición de ángulo

Angulo de las asíntotas

JSO

°±SLÚ

2 2 . - - > 7 - ^

Donde:

yn - Número de ceros

(23)

-L u e g o

y . J80±k3LQ_ +90<>

2

Covce con el eje r e a l áe las asíntotas

i

^

/

P

ol-OS £/ £z

¿J ~ £ G>

&Z

//

2 3 . -

Qc

<r

c

.

0-T7-0

= y

- 2-0 2f

z

x

-/r

'zT

2

K-

<=»o

^ ^Oíl os

q

F I G U R A 9

LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES EN EL PLANO COMPLEJO

(24)

el s i s t e m a más oscilatorio . En el caso límite de te-nerse sensibilidad i n f i n i t a , la razón de a m o r t i g u a m i e n t o v a l d r í a cero y el s i s t e m a o s c i l a r í a p e r p e t u a m e n t e .

En el Capítulo I se a c l a r ó que, ademas de las c o n s i d e r a c i o -nes h e c h a s , el s i s t e m a depende también - e n a l g u n o s c a s o s fuerte-m e n t e - de la d i n a fuerte-m i c a p r o p i a del "proceso", o sea, e f e c t o s de la c o m b u s t i ó n (si es m á q u i n a de c o m b u s t i ó n ) , e f e c t o s e l é c t r i c o s (si es e l é c t r i c a ) , r e t r a s o s en el transporte de la señal, i n e r c i a s

(eléctricas o m e c á n i c a s ) , e t c .

De esto r e s u l t a que la función de t r a n s f e r e n c i a del "proceso» e s ú n i c a para cada caso y no pueden hacerse g e n e r a l i z a c i o n e s ; s i n e m b a r g o , p a r a l o s e f e c t o s de este estudio s u p o n d r e m o s una c o n s t a n te de tiempo Z m u c h o menor que el r e s t o de l a s que p u d i e s e n a parecer en esta función de transferencia a m a n e r a de que e s t a u l -tima sea r e d u c i d a a un término de primer orden (término de a t r a s o ) que en el d o m i n i o de L a p l a c e sería de la forma * d e a q u i

que i n s e r t a n d o este termino e n l a función de t r a n s f e r e n c i a total del s i s t e m a p o d e m o s p r e d e c i r a p r i m e r a s vistas que la r e s p u e s t a total d e l m i s m o t e n d e r á a ser m á s inestable por r a z ó n de h a b e r a -gregado u n polo»

C o n l a s a c l a r a c i o n e s a n t e r i o r e s , el lugar g e o m é t r i c o de las r a í c e s en la n u e v a e c u a c i ó n c a r a c t e r í s t i c a

(25)

JTz h

F I G U R A 10

L U G A R GEOMETRICO D E L A S R A I C E S E N EL P L A N O C O M P L E J O

2 . 3 . - A N A L I S I S D E E S T A D O E S T A B L E

Definiendo la ganancia del sistema como

- _

¿/Af. AÁ/s

Á7s¿

— ;

Z/A7. ¿Á/v

Se

tiene

E=ir<

Definiendo la sensibilidad del sistema como

(26)

L l e g a m o s a:

K*o

2 A , - C A R A C T E R I S T I C A S D E LA R E S P U E S T A T R A N S I T O R I A

Por tratarse de u n sistema de segundo orden, p a r a obtener la frecuencia n a t u r a l y la razón de a m o r t i g u a m i e n t o del s i s t e m a ,

b a s t a r á c o m p a r a r l a e c u a c i ó n c a r a c t e r í s t i c a del mismo con la f o r m a

general

Donde

¿ C = Razón de amortiguamiento

= Frecuencia natural

Z )¡

2 . 3 . " R E S P U E S T A T R A N S I T O R I A A N T E UN CAÍ-IB 10 E N LA S E Ñ A L D E R E F E R E N C I A

H a c i e n d o el a n á l i s i s para u n cambio en la s e ñ a l de r e f e r e n c i a tipo e s c a l ó n y u n c a m b i o en la señal de p e r t u r b a c i ó n i g u a l a cero

de manera tal que

2 7 .

-AÁ/s

(27)

¿o

-L a transformada de la s e ñ a l de referencia sería

28.-S u s t i t u y e n d o en la e c u a c i ó n 21.a I

A A /

*.K«C,C

s

/T

2

„AMs-... -5

Con l o s c o n c e p t o s de frecuencia n a t u r a l y r a z ó n de a m o r t i

-guamiento ya d e f i n i d o s .

KkkCzCs/n ~ am

ANs r' s*+2X¿¿J»S

/-

CU>i

2

S

Y d e f i n i e n d o

. .

/c=/r, KsCzCsfá

R e s o l v e m o s la e x p r e s i ó n áNs aplicando fracciones p a r c i a l e s , T e o r e m a de E e a v i s i d e y transformando i n v e r s a m e n t e para e n c o n t r a r a l fin la e x p r e s i ó n en el t i e m p o dada por

Para el rango

«Mices t

UJ 2 V

(28)

FIGURA 11

RESPUESTA TRANSITORIA DEL SISTEMA ANTE UN CAMBIO EN LA SEÍSAL DE

REFERENCIA TIPO ESCALON

y

2.6.- ' RESPUESTA TRANSITORIA ANTE UN CAMBIO EN LA PERTURBACION

El análisis esta hecho para un cambio en la perturbación de

M p o rampa-escalón, y un cambio en la señal de referencia igual

A cero. Este tipo de cambio fué escogido a manera de aporximarse

(29)

F I G U R A 12

TIPO D E P E R T U R B A C I O N A N A L I Z A D O

De esta forma, la e x p r e s i ó n e n e l tiempo de la p e r t u r b a c i ó n

es*

30-

ATl -AT^t [M-*(t-a)]+

4/2 *

[*<t-*)]

T r a n s f o r m a n d o a l d o m i n i o de Laplace

#

A T

A TL

L a s o l u c i ó n se hará para u n a p e r t u r b a c i ó n de tipo

(30)

-4.5

obtenido al afectarlo por el término. Z « • « * » e l s eS "n d o

.eorema do, t r a s l a c i ó n .

32

De lo a n t e r i o r , la e x p r e s i ó n en el tiempo ante el c a m b i o de

p e r t u r b a c i ó n supuesto e s :

3 3 • ~ j & Ñ s z J — L

[cttijfcc*;

r ú S

UJ«)/7^t+

S£/jU

J«x

(¿

uj

„ r

z

7

*

Graficando e s q u e m á t i c a m e n t e la e x p r e s i ó n a n t e r i o r v e r e m o s

Ai

M

t

F I G U R A 13

(31)

C A P I T U L O I I I

R E S P U E S T A D E F R E C U E N C I A .

3 . 1 . - R e c o r d a n d o que p o r r e s p u e s t a de frecuencia se e n t i e n d e l a

r e s p u e s t a del s i s t e m a a u n a s e ñ a l de e n t r a d a tipo s e n o i d a l y que

é s t a se o b t i e n e s u s t i t u y e n d o . 5 por JO/ e n la f u n c i ó n de t r a n s -f e r e n c i a del s i s t e m a t e n d r e m o s q u e :

A A/s / • ) Cs Cz Xs/rz

p o r l o que, s e g ú n la d e f i n i c i ó n ya dada en e l c a p í t u l o a n

-t e r i o r , la g a n a n c i a r e s u l -t a .

-rr ftCsCz /fs

/r =

-7-— /z

A d e m á s , i n t r o d u c i e n d o e s t e c o n c e p t o y l a s d e f i n i c i o n e s de f r e c u e n c i a n a t u r a l y r a z ó n d e amortiguarniente que t a m b i é n d i m o s

e n e l c a p i t u l o a n t e r i o r se t i e n e :

4 w

l J W )

~ " (joj)

2

,

M u l t i p l i c a n d o y d i v i d i e n d o n u m e r a d o r y d e n o m i n a d o r r e s p e c

-t i v a m e n -t e p o r tá asi c o m o r e a r r e g l a n d o t é r m i n o s , la e x p r e s i ó n

a n t e r i o r q u e d a como

(32)

Expresando la magnitud del complejo anterior en decibeles:

¿ u / f f i

"

"</&/>»

¿

° f J s - ^ J X - t h /

Para el diagrama de Bode, parte medular del análisis de

res-puesta de frecuencia, la asíntota de baja se obtiene haciendo

ten-der (JJ a cero por lo que resulta

Para obtener ahora la asíntota de alta se hace tender L Ü

/ ¿ ¿ / V

a infinito por lo que se ve que el. término que prevalece

por lo que:

3 7 -

£ M/jfc M/'-

2 0

^ (£F)-

/0 ¿

La pendiente de la asíntota de alta la obtenemos derivandc

/

f

w 1

la ecuación correspondiente con respecto a

a 6 ¡oscAdü

En forma similar y según apreciamos en la ecuación de la

(33)

Igualando las 'ecuaciones de alta y de baja ya encontradas

obtenemos el corte de las mismas o punto de quiebre:

De donde:

__ ¿0 ¿06. °

~ ¿Un *

En la Figura 14 ilustramos la gráfica de las asíntotas,

/isi/} fot a e/e ¿aj*

J0_

I

20"

0

^ -40 \

— h

-OJ

/.O

As/nüta c/es¿f*

-¿0 &/i/eea</s

/O

Wn

OJ

FIGURA 14

(34)

Con lo anterior encontramos solo uno de los dos diagramas

de Bode, o sea, el diagrama Magnitud (decibeles) Frecuencia.

El segundo diagrama, de Fase Frecuencia, lo encontraremos a

con-tinuación. Para esto

Zfm**r

i *3 t r e s condiciones de

frecuencia; MJ

t-CJ¿_ * ¿¿/V.

c

CU (jüj) = _ /í

UJS

uj _

cu» -1

w

Mili»,)--«

De lo que resulta que los diagramas de Bode quedan finalmente

según se ilustra en la figura a continuación

(35)

l

i

• *

FIGURA 15

D I A G R A M A S D E B O D E P A R A L A F U N C I O N D E T R A N S F E R E N C I A

E l d i a g r a m a polar (parte imaginario, parte r e a l M e l a m a g -n i t u d ) es f á c i l m e -n t e . d e d u c i b l e a partir de la figura a -n t e r i o r y

(36)

F I G U R A 16

D I A G R A M A POLAR PARA LA FUNCION D E T R A N S F E R E N C I A

3 . 2 . - A N A L I S I S D E E S T A B I L I D A D

El analisis de estabilidad mediante el criterio Nyquist se

hace en base a la llamada función de transferencia de circuito

abierto, a saber,

/ 1 ,/ 1 X,KsCzCsC

4

(37)

en la que h a c e m o s una v a r i a c i ó n de *S" según se m u e s t r a e n l a Figura 17.

F I G U R A 17

V A R I A C I O N D E E N EL PLANO C O M P L E J O

(38)

F I G U R A 18

C R I T E R I O D E E S T A B I L I D A D D E N Y Q U I S T P A R A EL S I S T E M A A N A L I Z A D O

*

El c r i t e r i o de e s t a b i l i d a d mencionado e s t a b l e c e que para que el s i s t e m a sea estable el diagrama anterior no debe e n c e r r a r al p u n t o -

-Jtjú

. C o n s e c u e n t e m e n t e el sistema analizado r e s u l -ta e s t a b l e .

(39)

F I G U R A 19

(40)

C A P I T U L O I V

APLICACION DEL ANALISIS A UN CASO PARTICULAR

4.1.- VALORES DE LOS PARAMETROS

N o s v a l i m o s de la r e f e r e n c i a número 1 para e s t a b l e c e r u n o s v a l o r e s típicos de l o s p a r á m e t r o s del diagrama de b l o c k de n u e s

-tro s i s t e m a , a s a b e r :

-72=¿5¿> sef.

Estableciendo además queXla gai «n ia de la señal de referen-<

cia y la retroalimentación sean igu¿ i.e a la unidad se tiene:

/á.

(41)

De esto el diagrama de b l o c k resultarla s e g ú n se m u e s t r a e :.

l a Figura 2 0

F I G U H A 20

D I A G R A M A D E B L O C K CON LOS V A L O R E S DE LOS P A R A M E T R O S E S C O G I D O S

X

(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)

C O M E N T A R I O S Y C O N C L U S I O N E S

Con todas las aclaraciones y simplificaciones hechas

duran-te el desarrollo de esduran-te trabajo, que según explicábamos

obede-cían a la imposibilidad de encontrar un análisis que fuese

váli-do para cualquier gobernaváli-dor Isócrono, la función de

transferen-cia del sistema tratado se vio es de segundo orden. Los

facto-res de mayor influencia en esta función de transferencia fueron

la inercia del sistema ( j T ^ s ) 7 l a integración / é j »

proveniente ésta última del servomotor hidráulico del gobernador

lo que a su vez es lo que le da a nuestro gobernador el carácter

de Isócrono pues con ello se logra cero sensibilidad. - ó ) ;

en suma, la velocidad de la máquina (A/s) permanece constante

ante cambios finitos de la perturbación, ( / c j » uca vez que el

transitorio del sistema ha muerto.

De lo anterior puede verse obviamente que existen otro tipo

de arreglos de gobernadores diferentes ¿1 analizado que no

obstan-te seguirán siendo Isócronos siempre y cuando se les provea una

integración mediante el mismo servomotor o algún otro mecanismo

similar a éste. De hecho es posible lograr algunos arreglos más,

también Isócronos, en los que además de tener el modo

proporcio-nal como en el que se aproporcio-nalizó, se tenga cualquier combinación

posible de este modo más el modo integral y derivativo

(combina-ciones serie o paralelo) que aunque bien sabemos harán el

siste-ma más rápido en su respuesta, sin embargo lo hacen siste-mas

(49)

polos a la función de transferencia; no olvidar que por regla

ge-neral en todo sistema de control están siempre en pugna la

ten-dencia a la inestabilidad y la rapidez del mismo.

El caso particular analizado, dado los valores de los

pará-metros escogidos, resultó subamortiguado según se deduce de las

gráficas que muestran una respuesta transitoria oscilatoria y

a-demás del diagrama de Bode que para la magnitud del complejo

si-gue la tendencia de las asíntotas por arriba de ellas. Del

dia-grama Hagnitud-Fase de. 6 0 v i ó <lue e l oárgen de fase es

de unos grados positivos corroborando con ello el análisis

teórico asi como también la estabilidad inherente al sistema

se-gún ce deduce del criterio de Nyquist.

Por último permítasenos establecer, aunque de una manera

com-pletamente asimil con lo anterior, una última reflexión.

Espe-ramos, quizas de una manera petulante, que la aportación que

ha-yamos podido proporcionar pueda llegar a inquietar su curiosidad

para que se adentren, quienes aun no lo hayan hecho, en campo tan

basto, exitante y de tanta actualidad como es el del control

(50)

B I B L I Q G R A F I A

DONNELLY, Reuben H. (Publicacion de)

"Regulating Engine. Speed Control Engineering"

Enero de 1966 V o l . 13 N o . 1 F e b r e r o de 1966 V o l . N o . 2

BAVEN, Francis H.

"Automatic Control Engineering"

McGraw-Hill Book Company Inc.

N e w Y o r k , 1961

C H U N G K U O , B e n j a m i n

"Automatic Control Systems"

Prentice-Hall Electrical Engineering Series

(51)

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