Unidad Nº 6: Electrostática

Unidad Nº 6:

Electrostática

Noción de carga eléctrica

Como sabemos, los cuerpos materiales se atraen unos a otros con una fuerza denominada ''fuerza gravitatoria''. Esta atracción tiene consecuencias prácticas cuando al menos uno de los cuerpos que intervienen tienen una masa enorme, como ocurre con un planeta. Sin embargo, las fuerzas gravitatorias no son las únicas que actúan a distancia entre los cuerpos materiales. A veces otras fuerzas son enormemente mayores. Un pequeño imán es capaz de levantar un clavo de acero de una mesa en contra de la atracción gravitatoria de la tierra entera. Un peine frotado con un tejido levantará pequeños trozos de papel. Estos son ejemplos de fuerzas magnéticas y eléctricas respectivamente.

La existencia de estas fuerzas es conocida desde la antigüedad, pero fue durante el Renacimiento cuando se inició el estudio sistemático de la electricidad y el magnetismo, sin embargo, el conocimiento claro de estos fenómenos físicos, no tuvo lugar hasta fines del siglo pasado. Difícilmente, otro logro científico tuvo consecuencias tan profundas y de tan largo alcance. Existen aplicaciones prácticas innumerables. El dominio de las fuerzas eléctricas y el desarrollo de las comunicaciones han cambiado nuestra forma de vivir.

En el aspecto científico hemos aprendido que las fuerzas eléctricas controlan la estructura de los átomos y moléculas. La electricidad esta asociada a muchos procesos biológicos, por ejemplo, con la acción de los centros nerviosos y cerebrales.

Atracción y repulsión entre objetos electrificados

Vamos a examinar algunos hechos básicos de los fenómenos eléctricos y magnéticos, y discutiremos su interpretación. Comencemos con un simple experimento eléctrico. Si frotamos una barra de vidrio con un paño de seda y la situamos horizontalmente sobre un soporte colgado de un hilo, y luego frotamos otra barra de vidrio, observaremos que al acercarla a la primera, se repelen.

Si repetimos el experimento con dos barras de plástico frotadas con un paño de lana observaremos que sucede lo mismo.

Finalmente, si frotamos una barra de vidrio con seda y otra de plástico con lana y, situamos una de ellas sobre el soporte, acercando la otra veremos que se atraen.

Podemos realizar experimentos semejantes con un gran número de otras sustancias. Los objetos del mismo material electrizados por el mismo procedimiento se repelen siempre. Los cuerpos de distinta sustancia pueden atraerse o repelerse.

Por consiguiente, los cuerpos electrificados pueden clasificarse en dos grupos. Sólo existen

dos estados eléctricos, Uno semejante al de la barra de vidrio y otro semejante al de la

barra de plástico. Siguiendo la notación común, creada por Benjamín Franklin (1706-1790), diremos que la barra de vidrio y todos los objetos que se comportan de igual manera, están cargados positivamente. Del mismo modo, diremos que la barra de plástico y los restantes objetos que se comportan del mismo modo están cargados negativamente.

Primer principio de la electrostática

Cargas de igual signo se repelen, y cargas de signo contrario se atraen.

Estructura eléctrica de la materia

Como sabemos, la materia esta formada por átomos y los mismos átomos están constituidos por unidades más pequeñas: los protones, los neutrones y los electrones. Los protones y neutrones se encuentran en el núcleo del átomo, donde esta concentrada prácticamente toda la masa y los electrones se encuentran orbitando a gran velocidad alrededor del núcleo. Los protones están cargados positivamente; los electrones, negativamente y los neutrones no tienen carga eléctrica.

Un átomo neutro tiene la misma cantidad de protones en el núcleo que electrones orbitando, por esta razón su carga neta es cero. Si de alguna manera se quitan electrones a un átomo neutro, quedará con un defecto de carga negativa, por lo tanto estará cargado positivamente. Si por el contrario, se le agregan electrones, quedará con exceso de carga negativa, por lo tanto estará cargado negativamente.

Al frotar un cuerpo con otro, algunas sustancias tienden a captar algunos electrones superficiales y otras a cederlos, por ejemplo, la barra de vidrio cede electrones a la seda, quedando el vidrio cargado positivamente y el paño cargado negativamente. En el caso de la barra de plástico la lana cede electrones y el plástico los capta quedando cargado negativamente.

Cuando un cuerpo tiene todos sus átomos en estado neutro decimos que está descargado. Sin embargo tengamos en claro que esto no significa que no tiene cargas eléctricas.

Segundo principio de la electrostática:

Es imposible crear carga eléctrica de un signo si a la vez no se crea igual carga del signo contrario. Es decir, la carga eléctrica en un sistema cerrado permanece constante

Dieléctricos y conductores

Con frecuencia clasificamos distintos materiales diciendo que unos son conductores eléctricos y otros son aislantes. La clasificación está basada en experiencias semejantes a las siguientes:

Fabricamos un péndulo eléctrico colgando de un hilo una esferita de tergopol recubierta con un delgado papel metálico. Colocamos una barra metálica en posición horizontal sobre un soporte de manera que haga contacto con el péndulo, como indica la figura 1. Si electrificamos por frotamiento una barra de plástico y tocamos con ella la barra metálica veremos que la esfera del péndulo es inmediatamente repelida, como indica la figura 2.

Si repetimos el experimento utilizando una barra de plástico en lugar de una metálica veremos que al tocarla con la barra cargada no sucede nada.

Por lo tanto podemos asegurar que las barras metálicas y las de plástico se comportan de manera diferente.

.

Para explicar ésta diferencia basta admitir que en un metal existan algunas partículas eléctricas libres que son capaces de desplazarse de un punto a otro, cosa que no ocurre con el plástico. Supongamos, por ejemplo, que las partículas libres del metal son negativas. Cuando el plástico cargado negativamente toca la barra metálica neutra, algunas de estas partículas que se encuentran en exceso en la primera pasan a la segunda y se dispersan a lo largo de toda la barra hasta llegar a la esfera. Entonces la barra y la esfera quedan cargadas negativamente y se repelen mutuamente.

¿Qué ocurre al sustituir la barra metálica por otra de plástico?. En este material no hay posibilidad de que las partículas negativas se muevan libremente, por esto, las cargas que le pasa la primera barra quedan alojadas en el punto de contacto. El resto, permanece eléctricamente neutro al igual que la esfera; por lo tanto, no existe ninguna fuerza que obligue a la esfera a separarse de la barra.

Las sustancias que se comportan como el metal se denominan conductores. Las sustancias cuya conducta es similar a la del plástico se llaman aislantes o dieléctricos. Todos los conductores tienen partículas eléctricas libres y los aislantes no.

En los metales, la conductividad es debida exclusivamente al movimiento de las partículas negativas, es decir, los electrones.

Carga eléctrica por contacto.

Si se pone en contacto un cuerpo cargado con otro neutro, parte de la carga del primero pasa al segundo, quedando ambos cargados con el mismo signo. Si el segundo cuerpo es conductor, la carga que adquiere se distribuye por toda su superficie exterior.

Experimentalmente se verifica que si se ponen en contacto dos esferas conductoras iguales, una cargada y la otra neutra, la carga se reparte mitad para cada una. Si una de las esferas es más grande, la carga se reparte proporcionalmente, yendo la mayor cantidad de carga a la esfera mayor.

Descarga a tierra:

Siendo la tierra un conductor enormemente mayor que cualquier otro cuerpo que se encuentre sobre ella, todo objeto cargado que se conecte a tierra se descargará inmediatamente.

Inducción eléctrica:

Supongamos que se tiene una barra conductora en estado neutro y se le acerca otra barra que se encuentra cargada, por ejemplo, positivamente como indica la figura.

Experimentalmente se observa que la barra conductora se “polariza”, esto significa que en el extremo que se encuentra más cercano a la barra cargada se concentra carga negativa y en el más lejano se concentra carga positiva. Este hecho puede explicarse si

recordamos que los conductores tienen electrones libres que son atraídos por la carga positiva de la barra que acercamos, de esta manera en el otro extremo se produce un defecto de electrones que dan origen a la carga positiva.

Electroscopio de hojas:

El electroscopio es un instrumento cualitativo empleado para demostrar la presencia de cargas eléctricas. En la figura se muestra el instrumento tal como lo utilizó por primera vez el físico Michael Faraday. El electroscopio está compuesto por dos hojuelas de metal muy finas (a,a) colgadas de un soporte metálico (b) en el interior de un recipiente de vidrio u otro material no conductor (c). Una esfera (d) recoge las cargas eléctricas del cuerpo cargado que se quiere observar; las cargas, positivas o negativas, pasan a través del soporte metálico y llegan a ambas hojas. Al ser iguales, las cargas se repelen y las láminas se separan. La distancia entre éstas depende de la cantidad de carga.

Ley de Coulomb

Realizando una serie de experimentos con una balanza de torsión por él diseñada, Charles de Coulomb (francés, 1736-1806) descubre la ley que permite calcular las fuerzas que se ejercen entre cargas eléctricas.

Balanza de torsión de Coulomb

Coulomb empleó una balanza de torsión para estudiar las fuerzas electrostáticas. Para ello cargó una esfera fija con una carga q1, y una esfera situada en el extremo de una

varilla colgada con una carga q2. La fuerza ejercida por q1

sobre q2 tuerce la varilla y la fibra de la que cuelga.

Girando el cabezal de suspensión en sentido contrario se mantienen las esferas a la distancia original. La fuerza se mide por el ángulo que hay que girar el cabezal. Coulomb halló que la fuerza ejercida por una carga sobre otra es directamente proporcional al producto de ambas cargas (q1q2). También observó que la fuerza era inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia r entre las esferas cargadas.

Ley:

La fuerza de atracción o repulsión que ejerce una carga eléctrica sobre otra tiene una dirección que coincide con la de la recta que las une y su módulo es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Adoptando un sistema de referencias polar con origen en una carga nos queda:

r

ˆ

⋅

⋅

=

1 ₂ 2 0

r

q

q

k

F

r

Esta es la fuerza que la carga 1 hace sobre la 2, tengamos en cuenta que, cumpliendo con el principio de acción y reacción, la carga 2 hará una fuerza igual y de sentido contrario sobre la 1.

La constante de proporcionalidad k0 depende del sistema de unidades adoptado para definir la unidad de carga eléctrica. En el sistema internacional la unidad de carga se llama Coulomb.

Dos cuerpos puntuales se encuentran cargados con 1 C (Coulomb) cada uno cuando separados una distancia de 1 m. se repelen con una fuerza de 9 . 109 N (Newton).

Despejando la constante k0 de la ecuación de Coulomb y reemplazando por los valores de la definición se obtiene su valor.

1C

1C

1m

N

10

9

q

q

r

F

k

r

q

q

k

F

2 9 2 1 2 0 2 2 1 0

_⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

⇒

⋅

=

2 2 9 0

C

m

N

10

9

k

=

⋅

⋅

Un cuerpo puntual es aquel cuyas dimensiones son despreciables frente a las distancias que lo separan de los demás.

Ejemplo 1:

Dos cargas puntuales q1= 5.10-5 C y q2 desconocida se encuentran separadas a 0,3 m y se

repelen con una fuerza de 2 N. Calcular el valor de q2

Solución:

Planteamos la ley de Coulomb para el cálculo del módulo de la fuerza y despejamos q2

C

10

4

C

m

N

10

9

C

10

5

m

0,09

N

2

k

q

r

F

q

r

q

q

k

F

-7 2 2 9 5 -2 0 1 2 2 2 2 1 0

_⋅

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

⇒

⋅

=

.

Ejemplo 2:

Tres cargas eléctricas puntuales están ubicadas en el vacío como indica la figura, siendo q1 = 4.10-5 C; q2 = 8.10-5 C y q3 = 10-5

C. Calcular la fuerza resultante que actúan sobre la carga tres.

Solución:

Primero hacemos un diagrama de las fuerzas que actúan sobre q3 y calculamos sus valores:

⋅

⋅

⋅

=

⋅ = ⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

⋅ = ⋅

⋅

=

r

r

r

r

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2 -5 -5 9 1 3 1,3 0 2 2 2 1,3 1,3 2 -5 -5 9 2 3 2,3 0 2 2 2 2,3 2,3

q

q

N m

4.10 C

10 C

F k

i

9 10

C

1m

r

F

3,6N i

q

q

N m

8.10 C

10 C

F k

j

9 10

C

4m

r

F

1,6N j

Por lo tanto:

=

+

r

_ˆ

_ˆ

F

3,6N

i

1,6N

j

Si aplicamos Pitágoras para calcular el módulo, nos queda:

3,94N

1,6N)

(

N)

(3,6

F

r

=

2

+

2

≅

Carga del electrón

Robert Andrews Millikan, (1868-1953), físico y premio Nobel estadounidense, fue conocido por su trabajo dentro de la física atómica. Millikan nació en Morrison (Illinois) y estudió en las universidades de Columbia, Berlín y Göttingen. Se incorporó al cuerpo docente de la Universidad de Chicago en 1896, y en 1910 fue profesor de física. Abandonó la

universidad en 1921 al convertirse en director del laboratorio de física Norman Bridge en el Instituto de Tecnología de California. En 1923 le fue concedido el Premio Nobel de Física por los experimentos que le permitieron medir la carga de un electrón, comprobando que la carga solamente existe como múltiplo de esa carga elemental.

El valor por el hallado es de 1,6.10-19_{C, es decir, que en 1C de carga habrá 6,25.10}18

electrones.

Campo eléctrico

Cuando un cuerpo se encuentra cargado, el espacio que lo rodea se ve afectado por su presencia, pues si se coloca una carga puntual en dicho espacio, sobre ella aparecerá una fuerza. Entonces podemos decir que en el espacio existe “algo“ provocado por el cuerpo cargado que modifica sus propiedades; a ese “algo” lo denominamos Campo

eléctrico. Por lo tanto podemos decir que el campo eléctrico es una propiedad del

espacio que le permite ejercer fuerzas sobre cargas eléctricas en reposo.

Vector Campo Eléctrico:

Como dijimos, podemos hablar de una propiedad nueva del espacio y por lo tanto debemos “inventar” una magnitud que nos permita medirla. Definiremos entonces el vector campo eléctrico.

Si colocamos una carga puntual muy pequeña (carga exploradora) en reposo, en una región del espacio podrán suceder dos cosas: que no experimente la acción de una fuerza o que si lo haga. De ser así, existe un campo eléctrico. Si duplicamos el valor de la carga exploradora, observamos que se duplica la fuerza que sobre ella actúa, si triplicamos el valor de la carga también se triplica el de la fuerza, es decir, que la fuerza que aparece sobre la carga, en ese punto del espacio, es directamente proporcional al valor de esta. Si se hace lo mismo para otros puntos del espacio se encuentra que la relación de proporcionalidad continúa aunque el valor de la constante podrá ser otro. Esto significa que cada punto del espacio tendrá asociada una magnitud igual al cociente entre la fuerza que actúa sobre una carga eléctrica puesta en el y su valor. Es evidente que se tratará de una magnitud vectorial pues es el resultado del producto de un escalar por un vector.

Definición:

El vector campo eléctrico en un punto del espacio es una magnitud que se obtiene como el cociente entre la fuerza que actúa sobre una carga exploradora colocada en el punto y el valor de la carga.

E

q

F

q

F

E

r

r

r

r

⋅

=

⇒

=

Es importante destacar que la dirección del vector campo eléctrico es el mismo que la de la fuerza y su sentido también coincide siempre y cuando la carga exploradora sea positiva.

Veamos en el ejemplo gráfico como serían los vectores campo eléctrico en distintos puntos del espacio que rodean a cuerpos cargados.

Espacio que rodea a un cuerpo cargado

positivamente Espacio que rodea a un cuerpo cargado

negativamente

Obsérvese que en el caso que el campo lo genera un cuerpo cargado positivamente los vectores campo eléctrico son salientes mientras que, si el cuerpo que genera el campo está cargado negativamente los vectores son entrantes, es decir, se dirigen hacia el cuerpo.

Cálculo del campo eléctrico producido por una carga puntual:

Supongamos una carga puntual Q en el espacio alejada de cualquier otro cuerpo. Alrededor de ella se generará un campo eléctrico que podrá detectarse con una carga exploradora q y calcularse aplicando la definición de campo eléctrico.

q

F

E

r

r

=

Pero según la ley de Coulomb la fuerza sobre la carga exploradora puede calcularse como:

r

ˆ

⋅

⋅

=

_{0 2}

r

q

Q

k

F

r

Por lo tanto reemplazando nos queda:

r

ˆ

⋅

/

⋅

/

⋅

=

q

r

q

Q

k

E

r

_{0 2}

r

ˆ

⋅

=

_{0 2}

r

Q

k

E

r

Conclusión:

El campo eléctrico que rodea a una carga puntual aislada en el espacio disminuye según el cuadrado de la distancia a la carga que lo genera.

Principio de superposición:

Cuando un campo eléctrico es generado por varias cargas eléctricas puntuales, el campo eléctrico en un punto del espacio es la suma vectorial de los vectores campo eléctrico generados por cada una de las cargas en dicho punto como si las otras no existieran.

∑

= =

=

in 1 i i

E

E

r

r

Ejemplo:

En la figura se observa la obtención del campo eléctrico en el punto P debido a las cargas Q1, Q2, Q3. Es importante destacar

que en el punto P solo existe el campo EP. Los vectores E1, E2, E3, se utilizaron para hacer la

suma vectorial pero en realidad no existen, solo existirían independientemente, es decir, si solo estuvieran en el espacio las cargas que los generan en ausencia de las otras:

r

r

r

v

3 2 1 p

E

E

E

E

=

+

+

Campo eléctrico en el interior de un conductor:

Si un conductor se encuentra en equilibrio electrostático, la carga eléctrica en exceso se encuentra distribuida sobre la superficie de manera que en el interior del conductor el campo eléctrico será nulo. Esto es lógico pues si no lo fuera, dicho campo produciría movimiento de cargas y entonces no habría equilibrio.

Michael Faraday nació el 22 de septiembre de 1791 en Newington (Surrey). Era hijo de un herrero y recibió poca formación académica. Mientras trabajaba de aprendiz con un encuadernador de Londres, leyó libros de temas científicos y experimentó con la electricidad. En 1812 asistió a una serie de conferencias impartidas por el químico sir Humphry Davy y envió a éste las notas que tomó en esas conferencias junto con una petición de empleo. Davy contrató a Faraday como ayudante en su laboratorio químico de la Institución Real. Faraday entró en la Sociedad Real en 1824 y al año siguiente fue nombrado director del laboratorio de la Royal Institution. Faraday recibió muchos galardones científicos, algunos de ellos concedidos por la Sociedad Real. También le ofrecieron la presidencia de esta institución, pero declinó el honor. Murió el 25 de agosto de 1867, cerca de Hampton Court (Surrey).

Las investigaciones que convirtieron a Faraday en el primer científico experimental de su época las realizó en los campos de la electricidad y el magnetismo. En 1821 trazó el campo magnético alrededor de un conductor por el que circula una corriente eléctrica (la existencia del campo magnético había sido observada por vez primera por el físico danés Hans Christian Oersted en 1819). En 1831 Faraday descubrió la inducción electromagnética, y el mismo año demostró la inducción de una corriente eléctrica por otra. Durante este mismo periodo de trabajo, investigó los fenómenos de la electrólisis y descubrió dos leyes fundamentales: que la masa de una sustancia depositada por una corriente eléctrica en una electrólisis es proporcional a la cantidad de electricidad que pasa por el electrólito, y que las cantidades de sustancias electrolíticas depositadas por la acción de una misma cantidad de electricidad son proporcionales a las masas equivalentes de las sustancias.

Al experimentar con el magnetismo, Faraday realizó dos descubrimientos de gran importancia. Uno fue la existencia del diamagnetismo y el otro fue comprobar que un campo magnético tiene fuerza para girar el plano de luz polarizada que pasa a través de ciertos tipos de cristal. ( Fuente Microsoft Encarta 97).

Líneas de fuerza:

En esta parte de nuestro desarrollo queremos destacar una de las concepciones más importantes de la electrostática: el modelo de lineas de fuerza. Faraday imaginó al campo eléctrico representandolo con lineas que nacían en cargas positivas y morían en cargas negativas. La intensidad del campo era proporcional a la densidad de lineas de fuerza, es decir, en los lugares donde las lineas se concentraban el campo era más intenso y donde las líneas estaban más dispersas el campo era más débil. Veamos algunos ejemplos:

Campo generado por una carga positiva infinitamente alejada de otras.

Campo generado por una carga negativa infinitamente alejada de otras.

Campo generado por un dipolo eléctrico, es decir dos cargas iguales pero de signo

contrario.

Campo generado por dos cargas iguales.

Las líneas de fuerza eléctricas indican la dirección y el sentido en que se movería una carga de prueba positiva si se situara en un campo eléctrico.

Flujo de un campo eléctrico

Supongamos un campo eléctrico uniforme representado por líneas de fuerza paralelas en una región del espacio. Si colocamos en dicha región una superficie matemática, será atravesada por las líneas. La cantidad de líneas que atraviesen la superficie será proporcional a la intensidad del campo, a la medida de la superficie y al ángulo que forme la superficie respecto de las líneas de fuerza.

Para medir este ángulo definiremos el vector superficie, cuyas características serán: Módulo, igual a la medida de la superficie; dirección y sentido, perpendicular a la superficie.

Definición:

El flujo Φ del campo eléctrico E constante a través de una superficie S es una magnitud que se obtiene como el producto escalar entre el vector campo eléctrico y el vector superficie.

α

Φ

_Er

=

E

r

⋅

S

r

⋅

cos

Tengamos en cuenta que si el campo eléctrico no fuera constante sobre toda la superficie o si la superficie no fuera plana el cálculo del flujo se complicaría y para efectuarlo habría que recurrir a el cálculo diferencial y hacerlo a través de una integral.

Carl Friedrich Gauss, (1777-1855), fue un matemático alemán conocido por sus muy

diversas contribuciones al campo de la física, especialmente por sus estudios del electromagnetismo.

Nació en Braunschweig el 30 de abril de 1777 y estudió lenguas antiguas, pero a los 17 años comenzó a interesarse por las matemáticas e intentó dar una solución al problema clásico de la construcción de un heptágono regular, o figura de siete lados, con una regla y un compás. No solamente consiguió probar que esto era imposible, sino que siguió aportando métodos para construir figuras de 17, 257 y 65.537 lados. Durante estos estudios, probó que la construcción, con regla y compás, de un polígono regular con un número de lados impar sólo era posible cuando el número de lados era un número primo de la serie 3, 5, 17, 257 y 65.537 o un producto de dos o más de estos números. A raíz de este descubrimiento abandonó sus estudios de lenguas y se dedicó a las matemáticas. Estudió en la Universidad de Gotinga desde 1795 hasta 1798; para su tesis doctoral presentó una prueba de que cada ecuación algebraica tiene al menos una raíz o solución. Este teorema, que ha sido un desafío para los matemáticos durante siglos, se sigue denominando teorema fundamental de álgebra. Su tratado sobre la teoría numérica,

Disquisitiones arithmeticae (1801), es una obra clásica en el campo de las matemáticas.

Más tarde, Gauss dirigió su atención hacia la astronomía. Ceres (un asteroide débil) había sido descubierto en 1801, y puesto que los astrónomos pensaban que era un planeta, lo observaron con mucho interés hasta que lo perdieron de vista. Desde sus primeras observaciones, Gauss calculó su posición exacta, de forma que fue fácil su redescubrimiento. También planeó un nuevo método para calcular las órbitas de los cuerpos celestes. En 1807 fue nombrado profesor de matemáticas y director del observatorio de Gotinga, ocupando los dos cargos hasta el 23 de febrero de 1855, fecha de su muerte.

Aunque Gauss hizo valiosas contribuciones tanto a la astronomía teórica como práctica, trabajó sobre todo en matemáticas y en física matemática, abarcando prácticamente todas sus ramas. En la teoría numérica desarrolló el importante teorema de los números

primos Gauss fue el primero en desarrollar una geometría no euclídia, pero no publicó estos importantes descubrimientos ya que deseaba evitar todo tipo de publicidad. En la teoría de la probabilidad, desarrolló el importante método de los mínimos cuadrados y las leyes fundamentales de la distribución de la probabilidad. El diagrama normal de la probabilidad se sigue llamando curva de Gauss. Realizó estudios geodésicos y aplicó las matemáticas a la geodesia. Junto con el físico alemán Wilhelm Eduard Weber, Gauss realizó una intensa investigación sobre el magnetismo. Entre sus más importantes trabajos están los de la aplicación de las matemáticas al magnetismo y a la electricidad; una unidad de inducción magnética recibe su nombre. También llevó a cabo investigaciones en el campo de la óptica, especialmente en los sistemas de lentes. ( Fuente Microsoft Encarta 97).

Ley de Gauss

Imaginemos una carga eléctrica puntual que genera un campo eléctrico en un punto del espacio.

Si rodeamos la carga con superficies esféricas concéntricas a ella S1, S2, S3, las líneas de

fuerza del campo eléctrico Er producirán un

flujo a través de ellas. Las superficies son mayores cuanto más alejadas están las superficies a la carga pero también las líneas de fuerza que las atraviesan están mas separadas. La medida de las superficies aumentan con el cuadrado de su radio (S=4.π.r2_{) y como sabemos el valor del campo} eléctrico disminuye en la misma proporción

(E= k0.Q/r2).

Por lo tanto el flujo a través de cualquiera de las superficies será siempre el mismo (obsérvese que el vector superficie para un pequeño elemento de S es paralelo al vector campo eléctrico que lo atraviesa).

(

4

r

)

cos

0º

4

k

Q

r

Q

k

_{0 2} 2 ₀ E

⎟

_⎠

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

⎞

⎜

⎝

⎛

_⋅

=

π

π

Φ

r

Esto nos indica que el flujo que atraviesa cualquiera de las esferas es constante y directamente proporcional a la carga que encierra la superficie.

Gauss generalizó esta conclusión haciendo uso del cálculo diferencial y llegó a la siguiente ley:

Ley de Gauss:

El flujo de campo eléctrico que atraviesa cualquier superficie cerrada es directamente proporcional a la carga encerrada por la superficie.

encerrada 0

E

=

4

⋅

π

⋅

k

⋅

Q

Φ

r

Aplicaciones de la ley de Gauss:

Conductor recto infinito:

Podemos aplicar la ley para calcular el campo eléctrico generado por un alambre infinito cargado.

Supongamos que tenemos en el espacio un alambre infinito cargado y deseamos calcular el campo eléctrico que produce a una distancia r del mismo. Para esto colocamos una superficie cilíndrica cerrada de

longitud

l

y radio r, concéntrica con el conductor de manera que solo habrá flujo a través de la superficie cilíndrica propiamente dicha ya que las tapas no son atravesadas por ninguna línea de fuerza.

En la figura se indica el alambre infinito cargado con una carga genérica Q y rodeado por la superficie. Obsérvese que para cada elemento de superficie S el campo eléctrico es paralelo y además es constante sobre toda la superficie.

Aplicando la ley de Gauss sabemos que:

encerrada 0

E

=

4

⋅

π

⋅

k

⋅

Q

Φ

r

El flujo a través de la superficie cilíndrica puede calcularse como el producto del módulo del campo eléctrico, que es constante, y la medida de la superficie.

l

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

E

S

E

2

r

E

π

Φ

r

r

r

Si igualamos las ecuaciones y despejamos el módulo del campo eléctrico nos queda:

l

l

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

/

⋅

=

⋅

⋅

/

⋅

r

Q

k

2

E

Q

k

4

r

2

E

encerrada 0 encerrada 0

r

r

π

π

Definiremos una magnitud denominada densidad lineal de carga que indicará la carga por unidad de longitud de la siguiente manera:

l

Q

=

λ

Por lo tanto nos queda:

r

k

2

E

r

=

⋅

0

⋅

λ

En el caso de un alambre recto de longitud infinita el campo eléctrico disminuye en forma inversamente proporcional a la distancia que lo separa del punto donde se desea calcular el campo.

Placa conductora infinita cargada:

Ahora aplicaremos la ley para calcular el campo eléctrico generado por una placa conductora infinita cargada.

Supongamos que tenemos en el espacio una placa infinito cargada y deseamos calcular el campo eléctrico que produce en un punto cualquiera del mismo. Para esto colocamos una superficie cilíndrica cerrada, de manera que una de las tapas se encuentre en el interior de la placa, por lo tanto solo habrá flujo a través de la tapa que se encuentra en el exterior ya que en el interior del conductor en equilibrio electrostático el campo es cero y la superficie cilíndrica propiamente dicha no es atravesada por ninguna línea de fuerza.

En la figura se indica la placa conductora infinita cargada con una carga genérica Q y rodeado por la superficie. Obsérvese que para cada elemento de superficie S el campo eléctrico es paralelo y además es constante sobre toda la superficie.

Prof.: Claudio A. Naso 15

S

Q

k

4

E

r

=

⋅

π

⋅

0

⋅

encerrada

Aplicando la ley de Gauss sabemos que:

encerrada 0

E

=

4

⋅

π

⋅

k

⋅

Q

Φ

r

El flujo a través de la tapa circular puede calcularse como el producto del módulo del campo eléctrico, que es constante, y la medida de la superficie.

S

E

E

=

⋅

r

r

Φ

Si igualamos las ecuaciones y despejamos el módulo del campo eléctrico nos queda:

Q

k

4

S

E

r

π

Definiremos una magnitud denominada densidad superficial de carga que indicará la carga por unidad de superficie de la siguiente manera:

S

Q

=

σ

Por lo tanto nos queda:

σ

π

⋅

⋅

⋅

=

4

k

₀

E

r

Como vemos el campo eléctrico es constante en todo el espacio.

Trabajo Eléctrico

Supongamos un campo eléctrico uniforme en una región del espacio representado por líneas de fuerza paralelas y una carga que se desplaza desde el punto A hasta el punto B sin acelerarse siguiendo dos caminos, el AB y el ACB. Tengamos en cuenta que para que la carga no se acelere habrá que realizar sobre ella una fuerza externa igual y contraria a la que el campo le aplica. Calcularemos el trabajo realizado por la fuerza eléctrica para las dos trayectorias:

Trayectoria AB: AB AB AB

F

d

cos

0º

F

d

L

=

r

⋅

⋅

=

r

⋅

Trayectoria ACB:

α

cos

d

F

90º

cos

d

F

L

L

_AC

+

_CB

=

⋅

_AC

⋅

₁

₄₂

₄

₃

+

⋅

_CB

⋅

0

Pero si observamos el triángulo tenemos:

CB AB

d

d

cos

α

=

Reemplazando: AB CB AB CB CB AC

F

d

d

d

d

F

0

L

L

+

=

+

r

⋅

⋅

=

r

⋅

Como podemos ver el trabajo realizado por la fuerza que el campo ejerce sobre la carga es independiente de la trayectoria.

Esta demostración se realizó para el caso particular de un campo eléctrico uniforme pero se puede generalizar para un campo eléctrico cualquiera si se hace uso del cálculo diferencial.

Se trata de un caso similar al que se demostró para el campo gravitatorio cuando estudiamos mecánica.

Diremos entonces que la fuerza que el campo eléctrico ejerce sobre la carga es conservativa pues el trabajo que realiza es independiente de la trayectoria.

Energía potencial eléctrica:

Como el trabajo es independiente de la trayectoria podemos introducir el concepto de energía potencial eléctrica tal que, cuando la carga pasa de un punto a otro dentro de un campo eléctrico, experimenta una variación en dicha energía que es igual al trabajo de esa fuerza cambiado de signo.

AB PBA

-

L

E

=

Δ

La variación de la energía potencial eléctrica es la diferencia entre la energía potencial que la carga posee en el punto final de su trayectoria y la energía potencial que posee en el punto inicial de la misma:

AB PA

PB

-

E

-

L

E

=

Por lo tanto:

Si el Trabajo de la fuerza es positivo, la variación de la energía potencial es negativa, por lo tanto la energía potencial de la carga a disminuido.

Si el Trabajo de la fuerza es negativo, la variación de la energía potencial es positiva, por lo tanto la energía potencial de la carga a aumentado.

Diferencia de potencial eléctrico (Tensión):

La diferencia de energía potencial eléctrica entre dos puntos de un campo eléctrico depende de la cantidad de carga que se transporte entre esos puntos pues las fuerzas que aplique el campo sobre la carga dependerán de su valor y por lo tanto el trabajo que estas fuerzas realicen también.

Por lo tanto resultará conveniente definir una magnitud que nos independice de la cantidad de carga transportada y que solo dependa de la posición dentro del campo eléctrico. Esta magnitud se denomina diferencia de potencial (ddp):

La diferencia de potencial entra dos puntos de un campo eléctrico es el cociente entre el trabajo realizado por el campo sobre una carga para tansportarla de un punto al otro y el valor de la carga transportada.

q

L

q

E

-E

V

PB PA AB AB

=

−

=

− Δ

(ΔVAB = diferencia de potencial entre el punto B y el punto A del campo.)

Por lo tanto:

(

)

q

L

V

-V

AB A B

=

−

(VA = Potencial del punto A) (VB = Potencial del punto B)

q

L

V

-V

AB B A

=

Obsérvese que la diferencia de potencial eléctrico indica la diferencia de energía potencial eléctrica por unidad de carga entre dos puntos.

Es evidente que no tiene mucho sentido hablar del potencial absoluto ya que lo que hemos definido es la diferencia de potencial. Ahora si arbitrariamente asignamos el valor de potencial cero para algún punto del espacio. Todos los demás puntos tendrán un valor de potencial relativo a este al que usualmente se llama potencial absoluto del punto.

Unidad:

[ ] [ ]

_{[ ]}

V

(

Volt

)

C

J

q

L

V

=

=

=

La diferencia de potencial entre dos puntos de un campo eléctrico es de 1V cuando para trasladar una carga de 1C entre dichos puntos el campo realiza un trabajo de 1J.

Relación entre diferencia de potencial y campo eléctrico para un campo uniforme:

A Partir de la definición tenemos:

(

)

AB AB AB A B

E

d

q

d

F

q

L

V

-V

=

⋅

⋅

=

=

−

r

r

AB AB

E

d

V

=

⋅

−

Δ

r

Esta relación es solo válida para un campo eléctrico uniforme porque se calculó el trabajo considerando que la fuerza F se mantiene constante para todo el trayecto.

Fuerza electromotriz (fem)

Una fem es un dispositivo capaz de producir y sostener una diferencia de potencial

entre dos puntos. Funciona transformando algún tipo de energía en eléctrica. Por ejemplo:

Una pila eléctrica: Transforma energía química en eléctrica.

Una dínamo o un alternador: Transforman energía mecánica en eléctrica. Una fotocélula: Transforma energía lumínica en eléctrica.

Una termocupla: transforma calor en energía eléctrica.

Un conjunto de estos elementos conforma una batería.

En un circuito se la indica con el siguiente símbolo:

Pila Eléctrica:

Alessandro Volta, (1745-1827), físico italiano, conocido por sus trabajos sobre la

electricidad. Nació en Como y estudió allí, en la escuela pública. En 1774 fue profesor de física en la Escuela Regia de Como y al año siguiente inventó el electróforo, un instrumento que producía cargas de electricidad estática. Durante 1776 y 1777 se dedicó a la química, estudió la electricidad atmosférica e ideó experimentos como la ignición de gases mediante una chispa eléctrica en un recipiente cerrado. En 1779 fue profesor de física en la Universidad de Pavía, cátedra que ocupó durante 25 años. Hacia 1800 había desarrollado la llamada pila de Volta, precursora de la batería eléctrica, que producía un flujo estable de electricidad. Por su trabajo en el campo de la electricidad, Napoleón le

nombró conde en 1801. La unidad eléctrica de tensión conocida como volt recibió ese nombre en su honor.

La pila de eléctrica elemental está compuesta de tres partes: un par de placas metálicas distintas, llamadas electrodos, una solución ácida llamada electrolito y un recipiente no conductor, llamado celda.

Para construir una pila en el laboratorio en general se utiliza cinc y cobre como electrodos; ácido sulfúrico diluido como electrolito y un recipiente de vidrio o goma dura como celda.

Las moléculas individuales de ácido sulfúrico ( H2SO4 ) están compuestas de siete átomos

cada una: dos átomos de hidrógeno, uno de azufre y cuatro de oxígeno. Cuando se vierte un poco de ácido concentrado en una celda llena de agua que tiene los electrodos de cobre (Cu) y cinc (Zn) se produce una reacción química de manera que el cinc se combina con el ácido formando sulfato de cinc ( ZnSO4 ), esta reacción, tiene

como consecuencia la liberación de electrones en el electrodo de cinc, quedando cargado entonces con carga negativa, a su vez el electrodo de cobre tiene que ceder electrones quedando cargado positivamente.

Las pilas en las que el producto químico no puede volver a su forma original una vez que la energía ha sido convertida (es decir, que las pilas se han descargado), se llaman pilas primarias o voltaicas. Las pilas en las que el producto químico puede ser reconstituido pasando una corriente eléctrica a través de él en dirección opuesta a la operación normal de la pila, se llaman pilas secundarias o acumuladores.

Pilas primarias

La pila primaria más común es la pila Leclanché o pila seca, inventada por el químico francés Georges Leclanché en los años sesenta. La pila seca que se utiliza hoy es muy similar al invento original. El electrólito es una pasta consistente en una mezcla de cloruro de amonio y cloruro de cinc. El electrodo negativo es de cinc, igual que la parte exterior de la pila, y el electrodo positivo es una varilla de carbono rodeada por una mezcla de carbono y dióxido de manganeso. Esta pila produce una fuerza electromotriz de unos 1,5 V.

Otra pila primaria muy utilizada es la pila de cinc-óxido de mercurio, conocida normalmente como batería de mercurio. Puede tener forma de disco pequeño y se utiliza en audífonos, células fotoeléctricas y relojes de pulsera eléctricos. El electrodo negativo es de cinc, el electrodo positivo de óxido de mercurio y el electrólito es una disolución de hidróxido de potasio. La batería de mercurio produce unos 1,34 V.

La pila de combustible es otro tipo de pila primaria. Se diferencia de las demás en que los productos químicos no están dentro de la pila, sino que se suministran desde fuera.

Pilas secundarias

El acumulador o pila secundaria, que puede recargarse revirtiendo la reacción química, fue inventado en 1859 por el físico francés Gaston Planté. La pila de Planté era una batería de plomo y ácido, y es la que más se utiliza en la actualidad. Esta batería que contiene de tres a seis pilas conectadas en serie, se usa en automóviles, camiones,

aviones y otros vehículos. Su ventaja principal es que puede producir una corriente eléctrica suficiente para arrancar un motor; sin embargo, se agota rápidamente. El electrólito es una disolución diluida de ácido sulfúrico, el electrodo negativo es de plomo y el electrodo positivo de dióxido de plomo. En funcionamiento, el electrodo negativo de plomo se disocia en electrones libres e iones positivos de plomo. Los electrones se mueven por el circuito eléctrico externo y los iones positivos de plomo reaccionan con los iones sulfato del electrólito para formar sulfato de plomo. Cuando los electrones vuelven a entrar en la pila por el electrodo positivo de dióxido de plomo, se produce otra reacción química. El dióxido de plomo reacciona con los iones hidrógeno del electrólito y con los electrones formando agua e iones plomo; estos últimos se liberarán en el electrólito produciendo nuevamente sulfato de plomo.

Un acumulador de plomo y ácido se agota porque el ácido sulfúrico se transforma gradualmente en agua y en sulfato de plomo. Al recargar la pila, las reacciones químicas descritas anteriormente se revierten hasta que los productos químicos vuelven a su condición original. Una batería de plomo y ácido tiene una vida útil de unos cuatro años. Produce unos 2 V por pila. Recientemente, se han desarrollado baterías de plomo para aplicaciones especiales con una vida útil de 50 a 70 años.

Otra pila secundaria muy utilizada es la pila alcalina o batería de níquel y hierro, ideada por el inventor estadounidense Thomas Edison en torno a 1900. El principio de funcionamiento es el mismo que en la pila de ácido y plomo, pero aquí el electrodo negativo es de hierro, el electrodo positivo de óxido de níquel y el electrólito es una disolución de hidróxido de potasio. La pila de níquel y hierro tiene la desventaja de desprender gas hidrógeno durante la carga. Esta batería se usa principalmente en la industria pesada. La batería de Edison tiene una vida útil de unos diez años y produce aproximadamente unos 1,15 V.

Otra pila alcalina similar a la batería de Edison es la pila de níquel y cadmio o batería de cadmio, en la que el electrodo de hierro se sustituye por uno de cadmio. Produce también 1,15 V y su vida útil es de unos 25 años.

Voltímetro:

Es un instrumento que permite medir la diferencia de potencial entre dos puntos. En un circuito se lo simboliza de la siguiente forma:

Capacidad

Supongamos un conductor esférico conectado a través de una fem. a tierra como indica la figura. Al hacerlo, los electrones libres que se encuentran en el conductor son obligados por el campo eléctrico que aplica la fem a desplazarse hasta la tierra de manera que la carga se polariza entre el cuerpo y la tierra hasta que la ddp entre el cuerpo y la tierra es la misma que la que aplica la fem.

Prof.: Claudio A. Naso 21

Definición:

Si la fem es variable, podemos cambiar la ddp aplicada entre la esfera y la tierra. Al realizar este experimento se observa que a medida que aumenta la ddp, se incrementa la caga de la esfera en forma directamente proporcional.

Si se cambia la esfera por otro cuerpo conductor cualquiera se observa que la carga admitida por el conductor sigue siendo directamente proporcional a la ddp pero la constante de proporcionalidad es otra.

V

Q

∝

Δ

La capacidad de un conductor es una magnitud escalar que depende de sus características geométricas y cuyo valor es igual al cociente entre la carga que admite cuando se le aplica una diferencia de potencial y el valor de dicha diferencia.

V

Q

C

Δ

=

Unidades:

[ ] [ ]

_{[ ]}

F

(Faradio)

V

C

V

Q

C

=

=

=

Sub-unidades: Milifaradio: mF = 10-3 _F Microfaradio: μF = 10-6 _F Nanofaradio: nF = 10-_{9 F} Picofaradio: pF = 10-12 _F

Podemos concluir también que todo cuerpo cargado tiene una ddp respecto de tierra. Generalmente se da el valor potencial cero a la tierra con lo cual el cuerpo cargado tiene un potencial absoluto respecto de tierra.

Ejemplo:

Dos cuerpos conductores se encuentran muy alejados uno del otro y tienen una carga Q1=4 μC y Q2=6 μC siendo sus capacidades C1=2 μF y C2=6 μF. Si se los pone en contacto

mediante un fino hilo conductor calcular:

a- El potencial inicial respecto de tierra para cada cuerpo. b- El potencial final de las cuerpo.

c- La carga final de cada cuerpo. Solución:

Cálculo de los potenciales iniciales:

1V

F

6

C

6

C

Q

V

;

2V

F

2

C

4

C

Q

V

2 2 2,0 1 1 1,0

=

=

=

=

=

_μ

=

μ

μ

μ

Para calcular el potencial final tenemos que tener en cuenta el principio de conservación de la carga y que al conectar los cuerpos se producirá un movimiento de cargas hasta

que todo vuelva a quedar en equilibrio cuando no haya ddp entre los cuerpos y por lo tanto ambos cuerpos tendrán el mismo potencial respecto de tierra:

V

1,25

F

8

C

10

V

V

)

C

C

(

C

10

V

C

V

C

C

6

C

4

Q

Q

Q

Q

f f 2 1 f 2 f 1 f 2, f 1, 2,0 1,0

=

=

⋅

+

=

⋅

+

⋅

=

+

+

=

+

μ

μ

μ

μ

μ

Calculamos ahora la carga final de cada cuerpo:

C

7,5

1,25V

F

6

V

C

Q

C

2,5

1,25V

F

2

V

C

Q

f 2 f 2, f 1 f 1,

μ

μ

μ

μ

=

⋅

=

⋅

=

=

⋅

=

⋅

=

Obsérvese que la suma da las cargas finales coincide con la suma de las cargas iniciales.

Capacitores:

Un capacitor es un dispositivo especialmente diseñado para tener una gran capacidad en relación con un conductor común. Los hay de varios tipos: cerámicos, electrolíticos, de poliester, pero uno de los primeros en inventarse y más utilizados es el capacitor plano de placas paralelas.

Este capacitor consiste en dos placas conductoras enfrentadas paralelamente y separadas por una cierta distancia que puede estar vacía u ocupada por un dieléctrico, como indica la figura. Cuando se conecta este capacitor a una fem., el campo eléctrico que esta genera comienza a introducir electrones en una placa quitándolos de la otra hasta que la ddp. entre placas es la misma que la de la fem. en estas condiciones se restablece el equilibrio electrostático y el capacitor ha quedado cargado. Si se lo desconecta de la fem., continuará cargado hasta que las placas sean conectadas por un conductor. En esta situación la carga negativa pasará a la placa positiva y el capacitor se habrá descargado.

Si aplicamos la definición de capacidad tenemos que:

V

Q

C

Δ

=

Siendo Q la carga sobre una de las placas y ΔV

la ddp. entre placas.

Como ya hemos calculado aplicando la ley de Gauss el campo eléctrico producida por esta placa en el vacío es constante siendo su valor:

σ

π

⋅

⋅

⋅

=

4

k

₀

E

r

La diferencia de potencial para un campo constante es:

d

E

V

=

r

⋅

Δ

d

k

4

V

=

⋅

π

⋅

₀

⋅

σ

⋅

Δ

d

S

Q

k

4

V

=

⋅

π

⋅

₀

⋅

⋅

Δ

Por lo tanto:

d

S

k

4

1

d

S

Q

k

4

Q

C

0 0

⋅

⋅

⋅

=

⋅

/

⋅

⋅

⋅

/

=

π

π

La expresión 0

k

4

1

⋅

⋅ π

es una magnitud física denominada permitividad eléctrica del

vacío y se lo indica con ε0 :

0

k

4

1

⋅

⋅

=

π

ε

0 Entonces:

d

S

C

=

ε

0

⋅

El valor de la permitividad eléctrica del vacío es:

ε

0 = 8,85 . 10-12

Si en lugar de vacío se coloca un dieléctrico entre placas la c mayor que la del vacío. En dicho caso la capacidad se calcula como:

d

S

C

= ε

⋅

Permitividad eléctrica relativa:

Para una sustancia se define la capacidad eléctrica relativa como el cociente entre la permitividad eléctrica de la sustancia y la del vacío:

0 r

_ε

ε

ε =

Estos valores se encuentran tabulados:

Permitividades relativas a 18ºC Parafina 2 Ebonita 2,5 Vidrio 5 a 9 Azufre 4 Mica 3 a 6 Baquelita 5,5 Germanio 16 Alcohol metílico 33 Glicerina 42 Acetona 21 Agua pura 81 Ácido cianhídrico 95

Símbolo del capacitor:

Cuando en un circuito se quiere indicar un capacitor se lo representa con el siguiente símbolo:

Asociación de capacitores:

Los capacitores pueden asociarse entre si para obtener distintos valores de capacidad deseados. Existen dos formas de asociación: en serie y en paralelo.

Asociación en paralelo:

Un conjunto de capacitores está asociado en paralelo cuando se encuentran conectados a la misma diferencia de potencial. Por ejemplo:

En esta asociación todos los capacitores se encuentran conectados a la ddp producida por la fem. (ΔVAB). Ésta, provocará que una de las placas de cada capacitor adquiera una carga proveniente de la placa que la enfrenta, de manera que el equilibrio se restablecerá cuando la ddp en cada capacitor sea la misma que la de la fem. La carga total del sistema será entonces la suma de las cargas adquiridas por cada capacitor:

Q

T

= Q

1

+ Q

2

+ Q

3

Pero según la definición de capacidad:

Q

T

= C

1

. V

AB

+ C

2

. V

AB

+ C

3

. V

AB

Sacando factor común:

Q

T

= V

AB

. ( C

1

+ C

2

+ C

3

)

Por lo tanto: 3 2 1 AB T

_C

_C

_C

V

Q

+

+

=

Teniendo en cuenta la definición de capacidad nos queda:

C

C

C

C

_T

=

₁

+

₂

+

₃

Cuando los capacitores se encuentran asociados en paralelo, la capacidad del sistema es igual a la suma de las capacidades de cada capacitor.

Asociación en serie:

Un conjunto de capacitores está asociado en serie cuando se encuentran conectados uno a continuación de otro. Por ejemplo:

En esta asociación la fem. obliga a los electrones libres de la placa izquierda del capacitor C1a trasladarse a la placa de la derecha del capacitor C3 hasta que la ddp

entre los puntos AyB se hace igual a la producida por la fem. La carga no puede ingresar

al capacitor C2, sin embargo este se carga por inducción ya que las placas exteriores

obligan a una polarización de cargas en el capacitor central. Si se desconecta al sistema de la fem., habrá adquirido una determinada carga, que no es otra que la de las placas exteriores. Sin embargo cada capacitor tendrá también la misma carga, pues si se los desconectara entre sí, quedarían cargados de la misma manera. Eso significa que:

Q

1

= Q

2

= Q

3

= Q

T

Además la diferencia de potencial entre los extremos del sistema será la suma de las diferencias de potencial de cada capacitor:

V

AB

= V

AD

+ V

DE

+ V

EB Remplazando: 3 3 2 2 1 1 AB

C

Q

C

Q

C

Q

V

=

+

+

Teniendo en cuenta que todas las cargas son iguales e iguales a la carga total, sacamos factor común y despejamos:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

⋅

=

3 2 1 T AB

C

1

C

1

C

1

Q

V

3 2 1 T AB

C

1

C

1

C

1

Q

V

+

+

=

Por lo tanto: 3 2 1 T

C

1

C

1

C

1

C

1

₌

₊

₊

Ejemplo:

Para el siguiente circuito de capacitores calcular una vez que entra en régimen estacionario:

a) CT, e b) QT ,Q en cada capacitor c) VAB , VBD , VBE , Datos: C1 = 5 μF C4 = 30 μF C2 = 8 μF VED = 2 V C3 = 20 μF

Calculamos la capacidad total

F

12

C

F

12

1

F

60

2

3

F

30

1

F

20

1

C

1

C

1

C

1

3,4 4 3 3,4

μ

μ

μ

μ

μ

=

⇒

=

+

=

+

=

+

=

C

2,3,4

= 8

μ

F + 12

μ

F = 20

μ

F

F

4

C

F

4

1

F

20

4

1

F

5

1

F

20

1

C

1

C

1

C

1

T 1 2,34 T

μ

μ

μ

μ

μ

=

⇒

=

+

=

+

=

+

=

Calculamos Q4

Q

4

= C

4

. V

ED

= 30

μ

F . 2V = 60

μ

C

Como C3 está en serie con C4 tienen la misma carga

Q

3

= 60

μ

C

Calculamos ahora VBE

3V

F

20

C

60

C

Q

V

3 3 BE

=

=

_μ

=

μ

Calculamos VBD

V

BD

= V

BE

+ V

ED

= 5V

Calculamos ahora Q2

Q

2

= C

2

. V

BD

= 8

μ

F . 5V = 40

μ

C

Sumando las cargas en paralelo calculamos Q2,3,4 que es igual a Q1 y a QT por estar

conectadas en serie

Q

T

= Q

1

= Q

2,3,4

= Q

2

+ Q

3,4

= 40

μ

C + 60

μ

C = 100

μ

C

Ahora calculamos VAB

20V

F

5

C

100

C

Q

V

1 1 AB

=

=

_μ

=

μ

La fem. se calcula sumando las ddp

e = V

AB

+ V

BD

= 20V + 5V = 25 V

Guía de preguntas y problemas de

electrostática

Carga eléctrica y ley de Coulomb

189- ¿ Cuántas clases de cargas eléctricas existen y cómo se las denomina? 190- ¿ Cómo está constituido un átomo neutro?

191- ¿ Cómo se explica la electrificación por frotamiento? 192- Enuncie los principios de la electrostática.

193- ¿ Qué diferencia existe entre una aislante y un conductor?

194- Si dos esferas conductoras se ponen en contacto, estando una cargada eléctricamente y la otra descargada. ¿ Qué sucede?

195- Si ambas esferas son iguales. ¿ Qué sucede?

196- Si una de las esferas es más grande. ¿ Cómo se repartirá la carga?

197- Si se pone en contacto con la tierra a un cuerpo cargado ¿ Qué sucede? 198- ¿ Cómo explicaría esto en base a las conclusiones anteriores?

199- ¿ Qué es un electroscopio de hojas?

200- ¿ En qué consiste el fenómeno de inducción electrostática y cómo se explica? 201- Explique la forma de cargar un electroscopio por inducción.

202- ¿ Qué es una carga eléctrica puntual? 203- Enuncie la ley de Coulomb.

204- ¿ De qué depende el valor de la constante de proporcionalidad k? 205- ¿ Cómo se define la unidad de carga eléctrica en el sistema MKS? 206- ¿ Cuál es el valor de la constante electrostática en el vacío?

207- ¿ Qué es el cuanto elemental de electricidad y cuál es el valor de su carga eléctrica?

208- ¿ En qué lugar de los conductores se distribuyen las cargas eléctricas? 209- Si se carga un cuerpo conductor no esférico ¿ Cómo se distribuye la carga?

210- Dos cargas eléctricas iguales están ubicadas en el vacío a 2 m una de la otra y se repelen con una fuerza de 400 N. Calcular el valor de cada carga.

Resp: 4,2 10-4 _C

211- Tres cargas eléctricas, q₁ = 8 . 10-4 _{C ; q2 = 9 . 10}-5 _{C y q3 desconocida están}

ubicadas en el vacío como indica la figura. Calcular el valor de q₃ para que q₂ se encuentre en equilibrio.

Resp: 7,2 10-3 _C

212- Tres cargas eléctricas se encuentran ubicadas en el vacío como indica la figura. Si el valor de la fuerza resultante que actúa sobre q2 es 300 N. Calcular el valor y signo de

q1 y q3.

Resp: -6,67 10-4 _{C , 8 10}-3 _C

213- Calcular las fuerzas resultantes que actúa sobre q1 y q3 en el caso del problema

anterior.

Resp: 4861,8 N , 4574,9 N

214- En el modelo de Bohr correspondiente al átomo de hidrógeno, un electrón describe una órbita circular alrededor de un núcleo que contiene un solo protón. Si el radio de la órbita es aproximadamente 0,53 . 10-10 _{m, y la masa del electrón es me =}

9,1 10-31 _{Kg. Calcular la velocidad del electrón y el número de revoluciones que da por}

segundo. (frecuencia).

Resp: 2187,5 Km/s , 6,57 1015 _Hz.

215- Dos esferas iguales de masa m = 5 g., cuelgan de hilos de seda de longitud L = 0,2 m. como indica la figura. Ambas esferas están cargadas con cargas eléctricas iguales. Sí el ángulo α = 37º. Calcular el valor de la carga de cada esfera cuando el sistema se encuentra en equilibrio.

Resp: 4,93 10-7 _C

216- Dos cargas puntuales A y B iguales ubicadas en el vacío a 2 m de distancia interactúan con una fuerza de módulo 3,1 N. Otra carga C igual a las anteriores se

ubica en la perpendicular trazada al segmento AB en el punto medio a 2 m del mismo. Determine:

a- El valor de as cargas eléctricas.

b- El módulo de la fuerza que actúa sobre C. Resp: 3,71 10-5 _{C , 4,46 N.}

217- Tres cargas eléctricas puntuales están ubicadas en el vacío como indica la figura, siendo q1 = 4 . 10-5 C ; q2 = 8 . 10-5 C y q3 = 10-5 C. Calcular el módulo y dirección de las

fuerzas resultantes que actúan sobre cada carga.

Resp: 4,28 N , 5 N , 2 N

218- Dos esferas conductoras de igual radio A y B con cargas iguales se repelen con una fuerza de 3,6 N encontrándose en el vacío a una distancia de 4 m en el vacío. Otra esfera conductora C neutra y del mismo radio que las anteriores, toca primero a la esfera A y luego a la B, finalmente se ubica en el punto medio del segmento determinado por las esferas A y B. Calcule:

a- Carga inicial de las esferas. b- Carga final de las esferas. c- Fuerza resultante sobre q_C.

Resp: 4 10-5 _{C , 6 10}-5 _{C , 6 10}-5 _{C , 2,7 N}

219- Dos cargas eléctricas puntuales de igual signo q1 = 8.10-4 C y q2 = 2.10-4 C están

ubicadas en el vacío a 6 m de distancia. Determine en que punto de la recta que une ambas cargas debe ubicarse q3 = 10-5C para que la fuerza neta sobre ella resulte nula.

Resp: 2 m

Campo Eléctrico

220- El módulo del campo eléctrico debido a una carga puntual es E = k q/r2 , siendo r la distancia entre la carga y el punto en el cual se calcula el campo. Esto sugiere que el campo eléctrico es infinito en el sitio en que está localizada la carga. ¿ Será infinita la fuerza actuante sobre ella?

221- Las líneas de fuerza permiten representar gráficamente a un campo eléctrico. ¿ Son estas líneas sobre las cuales el valor del campo eléctrico es constante? ¿ Pueden cruzarse dos líneas de fuerza? Justifique sus respuestas.

222- Dibuje las líneas de fuerza en un plano que contenga dos cargas puntuales de igual valor y signo. ¿Por qué las líneas de fuerza parecen emanar en forma uniforme desde el centro de la figura a distancias suficientemente alejadas del mismo?

223- Si se deja en libertad una carga puntual de masa m, inicialmente en reposo ¿ se moverá a lo largo de una línem de fuerza?

224- Si se coloca un dipolo electrico en un campo el ectrico no uniforme ¿ existe una fuerza neta sobre él ?

Aplique su respuesta a la experiencia "casera" en la cual un peine frotado se acerca a trozos de papel livianos.