Transformada Discreta de Fourier

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Capítulo 13

Transformada Discreta de

Fourier

La Serie Exponencial de Fourier de Tiempo Discreto descompone cualquier señal discreta y periódica en una combinación lineal de exponenciales complejas. Tales exponenciales representan oscilaciones a frecuencias múltiplo. Tal opera-ción de denomina como «Serie Exponencial de Fourier de Tiempo Discreto» y es mejor conocida como la «Transformada Discreta de Fourier» o DFT1no obs-tante, en las diversas fórmulas que serán tratadas en este capítulo sólo se usará F {}.

Hay dos situaciones a considerar en cuanto al uso de la Transformada Dis-creta de Fourier:

• Sólo sirve para señales potencia del tipo periódico.

• La mayoría de las señales a estudiar no son periódicas y sin embargo esta DFT se usa en su análisis.

13.1 Oscilación en el plano complejo

La teoría de Fourier permite expresar cualquier señal periódica como una suma de oscilaciones ponderadas. Así entonces, se vuelve crítico entender el concepto de oscilación discreta.

Definición 13.1 El dominio de la oscilacion es el conjunto deN enteros

en el intervalo descrito a continuación.

n= 0,1, . . . , N1 (13.1)

1DFT es la abreviación de «Discrete Fourier Transform» que traducido al castellano es la

«Transformada Discreta de Fourier»

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Definición 13.2 El recorrido temporal de una oscilaciónes un conjun-to de N muestras consecutivas y equidistantes de una circunferencia de radio

unitario. Estas muestras se expresan en notación de Euler como sigue:

ej2Nπnn= 0,1, . . . , N−1 (13.2) Cada muestra de una oscilación se expresa, en notación de Euler, como la pareja(radio,´agunlo). Un relación matemática especial permite expresar cada

muestra de la oscilación como un número complejo en notación rectancular. Por separado, la parte real y la parte imaginaria, representan relaciones senoidales defasadas noventa gados.

Las relaciones indicadas en la figura 13.1 muestran los recorridos para dife-rentes cantidades de muestrasN.

13.1.1 Nulidad frente a la suma de los recorridos

Teorema 13.1 Nulidad del recorrido frente a la suma. La suma de N

muestras equidistantes de una oscilación es nula. Matemáticamente se puede escribir:

N−1

n=0

ej2Nπn= 0 ∀N≥2 (13.3) A modo de demostración, si se observan los recorridos de las muestras, pa-ra cada caso de N, en la figura 13.1, podrán validarse fácilmente las sumas

siguientes: 1 � n=0 ej22πn= 2 � n=0 ej23πn = 3 � n=0 ej24πn= 0

13.1.2 frecuencia de giro

Es posible agregar un parámetro al concepto de oscilación tal que, se realicen varios recorridos del círculo unitario para el mismo dominio. Este parámetro se denomina «frecuencia de giro»k.

Definición 13.3 La frecuencia de girok se refiere a que es posible realizar krecorridos o giros sobre la circunferencia unitaria para un mismo dominio de n= 0. . . N 1. Matemáticamente implica que el argumento de la relación de

Euler cambia ak(2π/N)n:

ejk2Nπn; (n= 0,1, . . . N−1)ˆ(k= 0,1, . . . N−1) (13.4) Para ilustrar el concepto de frecuencia de giro, suponga un recorrido de

N = 8 muestras. Las frecuencias de giro para k = 0. . .7 se ilustran en las figuras 13.2 y 13.3.

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13.1. OSCILACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO 267 ej2π 2n;n= 0,1 ej23πn;n= 0,1,2 ej2π 4n;n= 0,1,2,3

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ej0×2π 8×n;n= 0. . .7 ej1×2π 8×n;n= 0. . .7 ej2×2π 8×n;n= 0. . .7 ej3×2π 8×n;n= 0. . .7

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13.1. OSCILACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO 269 ej4×2π 8 ×n;n= 0. . .7 ej5×2π 8 ×n;n= 0. . .7 ej6×2π 8 ×n;n= 0. . .7 ej7×2π 8 ×n;n= 0. . .7

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13.1.3 Propiedades oscilación frente a

la rapidez de giro

Teorema 13.2 Nulidad de la cantidad de giros frente a la suma. La suma de de los fasores para toda frecuencia de girokes nula excepto parak= 0.

Matemáticamente se puede escribir que:

N−1 n=0 ejk28πn=      N 0 k= 0 k= 1,2. . . N1 (13.5)

Escrito de una forma compacta y útil se tiene que:

N−1

n=0

ejk28πn=Nδ(k) ∀k= 0,1. . . N−1 (13.6)

donde δ(k)es la función pulso unitario.

Como puede observarse en las figuras 13.2 y 13.3, si se suman los fasores para toda rapidez de giro se encontrará que el total es nulo, excepto parak= 0.

Teorema 13.3 Periodicidad temporal. La oscilación es periódica en el do-minio de nen la cantidad deN, es decir:

ejk2Nπ(n+αN)=ejk2Nπn α�Z (13.7) Para demostrar la fórmula considérese el siguiente desarrollo:

ejk2π N(n+αN) = ejk2Nπn+jk2NπαN = ejk2π Nn+jk2πα = ejk2π Nnejk2πα = ejk2π Nn

Teorema 13.4 Periodicidad frecuencial. La oscilación es periódica en el dominio dek, en la cantidad N, es decir:

ej(k+βN)2Nπn=ejk 2π

Nn (13.8)

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13.2. DEDUCCIÓN DE LA TRANSFORMADA DISCRETADE FOURIER271 ej(k+βN)2π Nn = ejk2Nπn+jk2NπβN = ejk2π Nn+jk2πβ = ejk2π Nnejk2πβ = ejk2π Nn

Teorema 13.5 Ortogonalidad. Dadas las oscilacionesejk2π

Nn y e−jr 2π

Nn,

és-tas serán ortogonales si se satisface que el producto punto de sus respectivos recorridos es nulo para cuando k=r, es decir:

N−1 n=0 ejk2Nπne−jk 2π Nr=      N; 0; k=r k�=r (13.9)

Escrito en una manera más compacta y útil se tiene que:

N−1

n=0

ejk2Nπne−jr 2π

Nn=Nδ(k−r) (13.10)

dondeδ()es la función pulso unitario. La respectiva demostración se deja al lector.

13.2 Deducción de la Transformada Discreta

de Fourier

La Transformada Discreta de Fourier, como ya se ha mencionado, descom-pone una señal periódica en una combinación lineal de oscilaciones a frecuencias de giro en múltiplos sucesivos. Los pesos de tal combinación lineal son fasores, que como su nombre lo indica, afectan las oscilaciones en amplitud y fase.

13.2.1 Componente espectral

Definición 13.4 Un fasores un número complejo que representa la ampitud y fase de una oscilación. Matemáticamente, el fasor se expresa mediante la relación de Euler como una cantidad compleja.

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Definición 13.5 Componente espectral. Se denomina componente espectral a una oscilación cuyos parámetros son una amplitud, una fase y una frecuencia de giro2. En forma matemática se trata del producto de un fasor (amplitud y

fase) con una oscilación (frecuencia):

Xejk2Nπn (13.12)

donde:

X es un fasor, el cual, por definición, representa la amplitud y una fase

de la oscilación

13.2.2 Fórmula de síntesis de la DFT:

transformada inversa

Teorema 13.6 Síntesis de una serie de muestras de una señal peroió-dica. Dada una serie discreta y periódica deN números realesx={x(0), x(1)

, . . . , x(n), . . . , x(N1)}. Cada muestra se puede expresar como una

combi-nación lineal de oscilaciones con diferentes amplitudes, fases y frecuencias de giro en mútiplos sucesivos. Matemáticamente se tiene que la n-ésima muestra se calcula como: x(n) = N−1 k=0 X(k)ejk2Nπn; n= 0,1, . . . N−1 (13.13) siendo:

N el número de muestas en un periodo.

X(k)el k-ésimo factor de peso de la combinación lineal.X(k)es un fasor

en función de la frecuencia de oscilación.

13.2.3 Ejemplo:

Desarrolle la serie exponencial para una señal compuesta de 4 muestras. Siguiendo la ecuación 13.13 se tiene que el desarrollo de la combinación lineal para la n-ésima muestra es:

x(n) =X(0)ej024πn+X(1)ej1 2π 4n+X(2)ej2 2π 4n+X(3)ej3 2π 4n (13.14) Si ahora se desarrollan todas las posibles series se tiene:

2En tiempo continuo, la componente espectral tiene parmetros de amplitud, fase y

frecuen-cia. Para el caso de la «Transformada Discreta de Foruier», en vez de «frecuencia» se usa «rapidez de giro».

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13.2. DEDUCCIÓN DE LA TRANSFORMADA DISCRETADE FOURIER273 x(0) = X(0)ej02π 40 + X(1)ej1 2π 40 + X(2)ej2 2π 4 0 + X(3)ej3 2π 40 x(1) = X(0)ej02π 41 + X(1)ej1 2π 41 + X(2)ej2 2π 4 1 X(3)ej3 2π 41 x(2) = X(0)ej02π 42 + X(1)ej124π2 + X(2)ej224π2 X(3)ej324π2 x(3) = X(0)ej02π 43 + X(1)ej1 2π 43 + X(2)ej2 2π 4 3 X(3)ej3 2π 43 (13.15)

Puede notarse que para aproximar todas las muestras de la señal de estudio se deben realizar un totalN×N de productos complejos.

13.2.4 Fórmula de análisis: transformada directa

Teorema 13.7 Fórmula de análisis de una señal períodica. Considere ahora la secuencia deNnúmeros realesx={x(0), x(1), . . ., x(n), . . ., x(N1)},

los cuales son muestras de una señal periódica3. Tal secuencia debe

transformar-se en la transformar-secuencia de N fasoresX ={X(0), . . . , X(k), . . . , X(N1)} según

la fórmula. X(k) = N−1 n=0 x(n)e−jk2Nπn; k= 0,1, . . . N−1 (13.16) siendo:

N el número de muestras en un periodo.

x(n) representa la n-ésima muestra de la señal en el dominio del tiempo.

X(k)es el k-ésimo fasor de la combinación lineal.

Definición 13.6 El espectrode una señal discreta y periódica es el conjunto de númerosX ={X(0), . . . , X(k), . . . , X(N1)}. El dominio de este

conjun-to lo forma la secuenciak= 0,1, . . . , N−1misma que representa las frecuencias

de giro de las oscilaciones.

A modo de demostración del teorema 13.7 considérese la ecuación 13.13 la cual se multiplica en sus dos miembros por una exponencial cuya cantidad de giros es r, es decir:

x(n)e−jr2Nπn=e−jr2Nπn

N−1

k=0

X(k)ejk2Nπn

3El origen de la señal puede ser discreto o bien, puede tratarse de una señal analgica de la

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Observe que la nueva exponencial es independiente de npor lo cual puede entrar en la sumatoria x(n)e−jr2π Nn= N−1 k=0 X(k)ejk2π Nne−jr2Nπn

Ahora se integra a ambos lados de la igualdad

N−1 n=0 x(n)e−jr2Nπn= N−1 n=0 N−1 k=0 X(k)ejk2Nπne−jr2Nπn

Aplicando la propiedad conmutativa de la suma se tiene la siguiente permu-tación N−1 n=0 x(n)e−jr2Nπn= N−1 k=0 X(k) N−1 n=0 ejk2Nπne−jr 2π Nn

Trabajando algunos exponentes

N−1 n=0 x(n)e−jr2π Nn = N−1 k=0 X(k) N−1 n=0 ej(k−r)2π Nn

Aplicando la propiedad de ortogonalidad se logra

N−1 n=0 x(n)e−jr2Nπn= N−1 k=0 X(k)Nδ(kr)

Ahora bien, considere que la sumatoria del miembro derecho tiene el siguiente comportamiento N−1 k=0 X(k)δ(kr) =N         X(0)δ(0r) +X(1)δ(1r) +. . . +X(r)δ(r−r) +. . . X(N−1)δ(N−1−r)         =N X(r)

Sustituyendo este comportamiento se logra

N−1

n=0

x(n)e−jr2Nπn=N X(r)

Haciendo cambio de variable rk

N−1

n=0

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13.3. CÁLCULO DEL ESPECTRO DE SEÑALES SENO Y COSENO 275 Concluyendo 1 N N−1 n=0 x(n)e−jr2Nπn=X(k)

Que es la misma ecuación 13.16.

13.3 Cálculo del espectro de señales seno y

coseno

13.3.1 Señal coseno

Dada la siguiente señal coseno, calcule su espectro:

cos � k2π Nn � (13.17) Para calcular el espectro, primero se debe aplicar la identidad de Euler de la forma siguiene: 1 2e jk2π Nn+1 2e −jk2π Nn

Observe el segundo término, tiene el coeficiente−k, es decir, tiene una

fre-cuencia negativa. Para lograr una frefre-cuencia positiva se aprovecha la propiedad de periodicidad angular establecida en el teorema 13.4. En consecuencia, es posible sutituir la frecuencia negativa porN−k. Así entonces:

cos � k2π Nn � = 1 2e jk2π Nn+1 2e j(N−k)2π Nn (13.18)

13.3.2 Señal seno

Dada la siguiente señal seno, calcule su espectro:

sen � k2π Nn � (13.19) Para calcular el espectro, primero se debe aplicar la identidad de Euler de la forma siguiene:

−12jejk2Nπn+1 2je

−jk2π

Nn

Observe el segundo término, tiene el coeficiente−k, es decir, tiene una

fre-cuencia negativa. Para lograr una frefre-cuencia positiva se aprovecha la propiedad de periodicidad angular establecida en el teorema 13.4. En consecuencia, es posible sutituir la frecuencia negativa porN−k. Así entonces:

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sen � k2π Nn � =1 2je jk2π Nn+1 2je j(N−k)2π Nn (13.20)

Finalmente, debe observarse que un factor dej intoduce un defasamiento de

90 grados.

13.3.3 Señal conseno defasado

Dada la siguiente combinación lineal, calcule el espectro.

acos � k2π Nn � +bsen � k2π Nn � (13.21) Para resolver el esectro de esta combinación lineal, previamente se debe aplicar una identidad trigonométrica (consulte el apéndice C) tal que nos entrega la siguiente relación: � a2+b2cos � k2π Nn−atg b a �

Ahora se realiza la siguiente equivalencia para simplificar las ecuaciones pos-teriores:

β=atgb a

Aplicando la equivalencia de Euler (consulte el apéndice C) se logra: 1 2 � a2+b2�ejk2π Nn−β+e−jk 2π Nn+β � Resolviendo potencias se logra:

1 2 � a2+b2e−jβejk2π Nn+1 2 � a2+b2ee−jk2π Nn

Aplicando la propiedad de periodicidad angular resulta en: 1 2 � a2+b2e−jβejk2π Nn+1 2 � a2+b2eej(N−k)2π Nn

13.4 Ejemplos de cálculo del espectro de

señales periódicas

Las señales periódicas que se estudian a continuación se expresan como una combinación lineal de senos y cosenos, lo cual facilita su estudio.

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13.4. EJEMPLOS DE CÁLCULO DEL ESPECTRO DESEÑALES PERIÓDICAS277

Figura 13.4: Transformada Discreta de Fourier de la señal coseno.

13.4.1 Señal cosenoidal

Calcúlese la «Transformada Discreta de Fourier» de la señal siguiente:

cos � 22π 8 n � (13.22) El primer paso es descomponer la señal coseno en una serie exponencial empleando las identidades de Euler, es decir:

cos � 22π 8 n � =1 2e j22π 8n+1 2e −j22π 8n

Considérese ahora la propiedad de periodicidad frecuencial sobre el siguiente término: 1 2e j(−2+8)2π 8n= 1 2e j62π 8n

Así entonces, la serie exponencial de la señal coseno resulta en:

cos � 22π 8 n � = 1 2e j22π 8n+1 2e j62π 8n

Lo cual es la Transformada Discreta de Fourier buscada. La figura 13.4 ilustra como se grafica esta función.

13.4.2 Señal senoidal

Calcúlese la Transformada Discreta de Fourier de la seña siguiente:

sen � 22π 8 n � (13.23) El primer paso es descomponer la señal seno en una serie exponencial em-pleando las identidades de Euler, es decir:

sen � 22π 8 n � = 1 2je j22π 8n− 1 2je −j22π 8 n

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Figura 13.5: Transformada Discreta de Fourier de la señal seno. Se reacomodan los términos como sigue:

sen � 22π 8 n � =j1 2e j22π 8 n+j1 2e −j22π 8n

Considérese ahora la propiedad de periodicidad frecuencial sobre el siguiente término: j1 2e j(−2+8)2π 8 n=j1 2e j62π 8n

Así entonces, la serie exponencial de la señal coseno resulta en:

sen � 22π 8 n � =j1 2e j22π 8n+j1 2e j62π 8n

En este caso, es necesario observar que los términos están afectados en fase por el número imaginarioj, esto es 90 grados. Así entonces, la gráfica espectral

para la señal seno resulta como la mostrada en la figura 13.5.

13.4.3 Señal conseno defasado

Dada la siguiente combinación lineal, calcule el espectro.

cos � 22π 8 n � +sen � 22π 8 n � (13.24) Aplicando trigonometría se logra:

√ 2cos � 22π 8 n− π 4 �

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13.5. PROPIEDADES DEL ESPECTRO DE UNA SEÑAL PERIÓDICA279

Figura 13.6: Transformada Discreta de Fourier de una suma de seno y conseno a la misma frecuencia

Aplicando la identidad de Euler: 1 √ 2e −jπ 4ej228πn+√1 2e jπ 4ej628πn

El respectivo diagrama espectral puede verse en la figura 13.6.

13.5 Propiedades del espectro de una señal

pe-riódica

Esta sección aparece con fines meramente diractamente didácticos y su pre-tención es proveer un conocimiento general respecto de alunas propiedades bá-sicas de la DFT. En una sección posterior se volverán a enumarar estas mismas propiedades pero estavez, estableciendo ecuaciones.

El espectro de toda señal periódica comparte propiedades bien definidas, las cuales serán enunciadas a continuación. Para ilustrar estas reglas se usará el espectro de la siguiente señal y que es mostrado en la figura 13.7:

1 +cos � 22π 8 n � +1 2sen � 32π 8 n � (13.25)

Teorema 13.8 La componente de directa de una señal periodica es una espiga en k= 0 y aparece con toda su amplitud.

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Figura 13.7: Espectro correspondiente a la ecuación 13.25.

Teorema 13.9 Teorema de composición espectral. Cada componente se-noidal de un mensaje genera un par de componentes espectrales con la mitda de su amplitud.

Teorema 13.10 Teorema de la simetría par. El espectro de magnitudes de una señal periodica tiene simetría par respectro deN/2.

Teorema 13.11 Teorema de la simetría impar. El espectro de fase de una señal periodica tiene simetría impar respectro deN/2.

Teorema 13.12 Periodicidad del espectro. El espectro de una señal perió-dica tiene periodicidad de N.

13.6 Propiedades de la DFT

Teorema 13.13 Homogeneidad. La «Transformada Discreta de Fourier» de una función amplificada por un factorA es numéricamente igual a la

transfor-mada amplificada en un factorA, de la función.

F {Ax(n)}=AF {x(n)} A�R (13.26)

A modo de demostración considérese el planteamiento siguiente: F {Ax(n)}=

N−1

n=0

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13.6. PROPIEDADES DE LA DFT 281 Dado que el término A es constante para la sumatoria se puede fatorizar

como sigue:

F {Ax(n)}=A

N−1

n=0

x(n)e−jk2Nπn

Concluyendo, el término a la derecha del signo igual se puede escribir como: F {Ax(n)}=AF {x(n)}

Resultado que es coincidente con la propiedad a demostrar.

Teorema 13.14 Aditividad. La «Transformada Discreta de Fourier» de una suma de funciones es numéricamente igual a la suma de las transformadas de las funciones.

F {x(n) +y(n)}=F {x(n)}+F {y(n)} (13.27) A modo de demostración considérese el planteamiento siguiente:

F {x(n) +y(n)}=

N−1

n=0

[x(n) +y(n)]e−jk2Nπn

Es posible aplicar la propiedad distributiva al miembro en la derecha del signo igual: F {x(n) +y(n)}= N−1 n=0 x(n)e−jk2Nπn+ N−1 n=0 y(n)e−jk2Nπn

Concluyendo, el término a la derecha del signo igual se puede escribir como: F {x(n) +y(n)}=F {x(n)}+F {y(n)}

Resultado que es coincidente con la propiedad a demostrar.

Teorema 13.15 Simetría par en la magnitud. La magnitud de la «Trans-formada Discreta de Fourier» tiene simetría par respecto de la frecuenciaN/2.

�X(k)��=��X(Nk)�� (13.28)

Teorema 13.16 Simetría impar en la fase. La fase de la «Transformada Discreta de Fourier» tiene simetría impar respecto de la frecuencia N/2.

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Figura 13.8: Ilustración del teorema de estacionaridad temporal de la «Trans-formada Discreta de Fourier».

Teorema 13.17 Simetría par en la parte real. La parte real de la «Trans-formada Discreta de Fourier» tiene simetría par respecto de la frecuenciaN/2.

Re{X(k)}=Re{X(Nk)} (13.30)

Teorema 13.18 Simetría impar en la parte imaginaria. La parte imagi-naria de la «Transformada Discreta de Fourier» tiene simetría impar respecto de la frecuencia N/2.

Im{X(k)}=Im{X(Nk)} (13.31)

Teorema 13.19 Estacionaridad temporal de la fórmula de análisis. La «Transformada Discreta de Fourier» es estacionaria en el tiempo, es decir, es independiente del origen temporal elegido para analizar una señal discreta periódica. F {x(n)}= N−1 n=0 x(n)e−jk2Nπn= N−1+α n=0+α x(n)e−jk2Nπn (13.32) Este teorema queda ilustrado en la figura 13.8. En la figura se observa una señal cuyo espacio muestral consiste deNelementos. Según la formulación 13.32

no importa en que instante se empiece la captura de las muestras.

Para demotrar la validez de este teorema considérese la tarea de retirar el términoαde los límites de la sumatoria.

F {x(n)}=

N−1+α−α

n=0+α−α

x(n+α)e−jk2Nπ(n+α) Así, se llega a la siguiente formulación:

F {x(n)}=

N−1

n=0

(19)

13.6. PROPIEDADES DE LA DFT 283

Figura 13.9: Señal periódica para analizar mediante la «Transformada Discreta de Fourier».

A continuación se desglosa el término exponencial compleja de la forma siguiente: F {x(n)}= N−1 n=0 x(n+α)e−jk2π Nαe−jk 2π Nn (13.34)

Si el lector observa bien, el términox(n+α)es la función adelantada enα

y el términoe−jk2π

Nαes un fasor que retrasa la función enαpor lo cual se tiene que:

x(n+α)e−jk2Nπα=x(n) (13.35) Así, sustituyendo la ecuación 13.35 en la ecuación 13.34 se logra:

F {x(n)}=

N−1

n=0

x(n)e−jk2Nπn

Que es la ecuación original de la «Transformada Discreta de Fourier». Para concluir con este teorema hace falta comentar que, las formulaciones 13.32 y 13.33 son muy utilizadas en la demostración de otras propiedades de la DFT.

La siguiente propiedad se deriva de la estacionaridad temporal de la «Tans-formada Discreta de Fourier».

Teorema 13.20 Periodicidad de la «Transformada Discreta de Fou-rier». El análisis de una señal periódica puede realizarse en cualquiera de sus periodos. N−1 n=0 x(n)e−jk2π Nn = N−1+αN n=0+αN x(n)e−jk2π Nnα�Z (13.36)

La figura 13.9 ilustra el caso de una señal periódica enN. A este respecto,

la «Transformada Discreta de Fourier» puede aplicarse en cualquiera de los periodos, tanto positivos como negativos, de tal señal.

Para demotrar la validez de este teorema considérese la tarea de retirar el términoαN de los límites del miembro derecho de la ecuación 13.36.

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N−1+αN−αN n=0+αN−αN

x(n+αN)e−jk2π

N(n+αN) Entonces resulta en:

N−1

n=0

x(n+αN)e−jk2Nπ(n+αN) Así entones considérese que:

• x(n)es una señal periódica enN por lo cual x(n+αN) =x(n) • e−jk2π

Nn es una señal periódica enN por lo cuale−jk 2π

N(n+αN)=e−jk 2π

Nn Finalmente, si se aplica la periodicidad de las funciones se logra:

N−1

n=0

x(n)e−jk2Nπn

Lo cual valida el teorema 13.20.

Teorema 13.21 Invarianza ante la reflexión de los límites de la suma en el dominio del tiempo.

N−1 n=0 x(n)e−jk2Nπn = −(N−1) � n=0 x(n)e−jk2Nπn (13.37) A modo de demostración, considérese trabajar con el miembro derecho de la ecuación 13.37

−(N−1)

n=0

x(n)e−jk2Nπn

Ahora se afectan los límites de tal forma que resulten no negativos. Para tal tarea se plantea entonces:

−(N−1)+(N−1)

n=0+(N−1)

x(nN+ 1)e−jk2Nπ(n−N+1) Realizando las operaciones necesarias

0

n=N−1

x(n−N+ 1)e−jk2Nπ(n−N+1)

Ahora, debe recordarse que tanto la función x(n)como el fasore−j2π

Nn son periódicos respecto deN:

(21)

13.6. PROPIEDADES DE LA DFT 285

0

n=N−1

x(n+ 1)e−jk2Nπ(n+1)

El lector debe observar que los límites de la sumatoria están cambiados de posición. Para colocar estos límites tal cual corresponde se aprovecha la propiedad conmutativa de la suma:

N−1

n=0

x(n+ 1)e−jk2Nπ(n+1)

Finalmente se aprovecha la propiedad de estacionaridad temporal:

N−1

n=0

x(n)e−jk2π

Nn

Resultado que corresponde con la «Transformada Discreta de Fourier».

Teorema 13.22 Transformada Conjugada Discreta de Fourier de una funcion real. La «Transformada Conjugada Discreta de Fourier» de una señal se obtiene mediante la combinación lineal de los conjugados de las oscilaciones.

F∗{x(n)}=

N−1

n=0

x(n)ejk2Nπ (13.38) A modo de demostración, considérese la fórmula de la «Transformada Dis-creta de Fourier»:

F {x(n)}=

N−1

n=0

x(n)e−jk2Nπ

Aplicando el conjugado a la igualdad se logra: [F {x(n)}]∗= �N1 � n=0 x(n)e−jk2Nπ �∗

En cuanto al miembro izquierdo de la igualdad, no se tiene problema mate-mátio alguno puesto que se puede escribir como:

F∗{x(n)}

Ahora se presta atención al miembro derecho de la igualdad: el conjugado de una suma es la suma de conjugados.

F∗{x(n)}= N−1 n=0 � x(n)e−jk2Nπ �∗

(22)

Finalmente, se sabe que el conjugado de un producto es el producto de los conjugados: F∗{x(n)}= N−1 n=0 x(n)ejk2Nπ

Se debe considerar que en esta última formulación, la señalx(n)es de tipo

real, razón por la cual no se ve afectada por el operador conjugado.

Teorema 13.23 Desplazamiento circular temporal. La «Transformada Discreta de Fourier» de una señal desplazada en una cantidad α es igual a la «Transformada Discreta de Fourier» desfasada en α, de la función sin des-plazar. Así, si se cuenta con que:

F {x(n)}=X(k)

Entonces

F {x(nα)}=ejk2NπαF {x(n)} (13.39) En este caso, el lector debe considerar que cualquier deplazamiento temporal, adelanto o atraso, de una función periódica, es un desplazamiento circular. Por esta razón se usa el símbolo de suma encerrado en un círculo:⊕.

A modo de demostración considérese el planteamiento siguiente: F {x(n�α)}=

N−1

n=0

x(n+α)e−jk2Nπn

Realizando las operaciones necesarias para dejar la funciónf(n)sin despla-zar: N−1+α n=0+α x(n−α+α)e−jk2Nπ(n−α) Resolviendo: N−1+α n=0+α x(n)e−jk2π Nnejk2Nπα

Es posible extraer el fasor, función de αdado que no es función de n. ejk2Nπα

N−1+α

n=0+α

x(n)e−jk2Nπn

(23)

13.6. PROPIEDADES DE LA DFT 287

ejk2Nπα

N−1

n=0

x(n)e−jk2Nπn

Resultado que es coincidente con la propiedad a demostrar.

Teorema 13.24 Modulacion compleja. Multiplicar una función temporal por una oscilación compleja implica un espectro desplazado en la frecuencia de la oscilación. Así, si se cuenta con que:

F {x(n)}=X(k)

Entonces

F�x(n)ejM2Nπn �

=X(k�M) (13.40) El lector debe considerar que dos situaciones respecto de este teorema: • Debido a la periodicidad del espectro, cualquier desplazamiento es del tipo

circular.

• La formulación indica que primero debe calcularse la funciónF(k)y luego debe desplazarse enM,

A modo de demostración considérese el planteamiento siguiente: F�x(n)ejM2π Nn � = N−1 n=0 x(n)ejM2π Nne−jk2Nπn

Ahora se reúnen los dos términos exponenciales de la forma siguiente: F�x(n)ejM2Nπn � = N−1 n=0 x(n)e−j(k−M)2Nπn

Esto implica un cambio en la variable de transformación deka kM.

F�x(n)ejM2π

Nn �

=X(kM)

Debido a que el espectro es periódico, el desplazamiento en frecuencia es circular

F�x(n)ejM2Nπn �

=X(k�M) Resultado que es coincidente con la propiedad a demostrar.

(24)

Teorema 13.25 Reflexión temporal. La «Transformada Discreta de Fou-rier» de una señal real y reflejada es la «Transformada Conjugada de FouFou-rier» de la función sin reflejar.

F {x(−n)}=F∗{x(n)} (13.41) A modo de demostración considérese el planteamiento siguiente:

F {x(n)}=

N−1

n=0

x(n)e−jk2Nπn

Ahora se modifican los límites de la sumatoria para modificar el término

x(n)de forma que resultex(n).

F {x(n)}= (N−1)×(−1) � n=0×(−1) x � − n −1 � e−jk2Nπ−n1 De esto resulta: F {x(n)}= −(N−1) � n=0 x(n)ejk2Nπn F {x(n)}= −(N−1) � n=0 x(n)ejk2Nπn

Ahora se aprovecha propiedad de «invarianza respecto de la inversión de los límites»: F {x(n)}= N−1 n=0 x(n)ejk2π Nn

Finalmente, se tiene que la fórmula resultante es la «Transformada Conju-gada Discreta de Fourier» vista en una sección anterior.

F {x(−n)}=F∗{x(n)}

Teorema 13.26 Inversión temporal y desplazamiento.

Teorema 13.27 Inversión de fórmula (transformada inversa por trans-formada directa).

(25)

13.6. PROPIEDADES DE LA DFT 289

Teorema 13.29 Convolución circular. La «Transformada Discreta de Fou-rier» de una convolución circular es numéricamente igual al producto de las transformadas de las funciones.

F {f(n)�g(n)}=F {f(n)} F {g(n)} (13.42) A modo de demostración considérese el planteamiento siguiente:

F {f(n)�g(n)}=

N−1

n=0

x(n)�g(n)e−jk2Nπn Desarrollando la fórmula de la convolución circular

F {f(n)�g(n)}= N−1 n=0 N−1 m=0 x(m)y((mn))e−jk2Nπn

Aplicando la factorización a la doble suma (consulte el apéndice E) resulta F {f(n)�g(n)}= N−1 m=0 x(m) N−1 n=0 y(nm)e−jk2Nπn Ahora se aplica la propiedad de desplazamiento temporal:

F {f(n)g(n)}=

N−1

m=0

x(m)e−jk2NπmY (k)

El término exponencial puede entrar a la sumatoria dado que es factor común F {f(n)�g(n)}= �N−1 m=0 x(m)e−jk2Nπm � Y(k) Resolviendo la sumatoria F {f(n)�g(n)}=X(k)Y (k) Que es el resultado buscado.

Teorema 13.30 Correlación circular. La «Transformada Discreta de Fou-rier» de una convolución circular es numéricamente igual al producto de las transformadas de las funciones, siendo una de ellas conjugada.

F {x(n)� �y(n)}=X(k)Y∗(k) (13.43) Se sabe que la correlación guarda la siguiente relación con la convolución:

(26)

Así, aplicando la «Transformada Discreta de Fourier a ambos miembros de la igualdad anterior se logra:

F {x(n)� �y(n)}=F {x(n)�y(−n)}

Entonces es posible calcular la operación en el miembro derecho de la igual-dad anterior:

F {x(n)� �y(n)}=X(k)Y∗(k) Que es el resultado buscado.

Teorema 13.31 Parseval. El calculo de la potencia de una señal periódica en el dominio denes numéricamente igual al cálculo de la potencia en el dominio

dek. s{x(n)}= 1 N N−1 n=0 x2(n) = 1 N2 N−1 k=0 X(k)X∗(k) (13.44)

A modo de demostración considérese el planteamiento siguiente:

s{x(n)}= 1

N

N−1

n=0

x(n)x(n)

Si se considera quex(n)puede expresarse como una «Transformada Discreta Inversa de Fourier». s{x(n)}= 1 N N−1 n=0 x(n) 1 N N−1 k=0 X(k)ejk2Nπn

Aplicando la factorización de la primer sumatoria

s{x(n)}= 1 N2 N−1 k=0 X(k) N−1 n=0 x(n)ejk2Nπn

Si se observa, la sumatoria sobre nes una transformada conjugada. s{x(n)}= 1

N2

N−1

k=0

X(k)X∗(k)

(27)

13.7. EL PERIODOGRAMA 291

13.7 El periodograma

Del teorema de Parseval se obtiene la siguiente relación:

X(k)X∗(k) (13.45) La ecuación 13.45 se denomina la «función densidad espectral de energía» o simplemente, el priodograma. Esta relación es importante para el ćalculo del espectro de cierto tipo de señales aleatorias.: una señal eleatoria, al ser una señal potencia, no tiene «Transformada de Fourier», pero si la respectiva autocorre-lación resulta en una señal enegía, entonces el espectro de la mencionada señal aleatoria se define como el espectro de su autocorrelación.

13.8 Transformadas de Funciones

13.8.1 Pulso unitario

F {δ(n)}= 1 (13.46)

13.8.2 Pulso unitario desplazado

F {δ(n�α)}=ejk2Nπα (13.47)

13.8.3 Constante

F {A}=N Aδ(k) (13.48)

13.8.4 Pulso rectangular

F {GM(n)}=ejk 2π N M2 sen � k2π N M+1 2 � sen�k2π N 1 2 � (13.49)

13.9 Ejercicios

1. Dada la siguiente combinación lineal, calcule el espectro.

sen �2π 16n � +1 3sen � 32π 16n � +1 5sen � 52π 16n � (13.50)

(28)

Figure

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References