Ms. C. Marco Vinicio Rodríguez
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M
ATEMÁTICA
F
INANCIERA
Concepto:
El Interés Compuesto se presenta cuando el capital cambia al final
de cada periodo, provocando que los mismo intereses se conviertan
en capital adicional, que a su vez producirá interés.
Formula:
M = C (1 + r)
n
Donde:
M = Monto
C = Capital
i ó r = Tasa de interés
n = Periodos de capitalización
Nota:
Con respecto a la tasa de interés, las palabras
Convertible
,
Compuesto
,
Nominal
o
Capitalizable
, se toman como sinónimos y nos indica el numero de
veces que se capitalizaran los intereses en un año (
frecuencia de conversión
).
CONSIDERACIONES SOBRE LA FÓRMULA
GENÉRICA:
M = C . (1 + i )
n
(1+ i)
n
es factor que
convierte el
valor presente
o Capital
en
Valor futuro
.
El conocimiento de este factor , que es el cociente
entre
M/C
y el número de períodos
n
, nos permite
calcular la tasa de interés
r
,
con la fórmula siguiente:
r =
M
C
n
Un capital de Q.85,000.00 fue invertido por 12 años, al final
del periodo se recibieron Q. 504,562.30, encontrar cual fue la
tasa nominal utilizada en la inversión.
r =
M
C
n
- 1
*
100
r =
504562.30
85000
12
- 1
*
100
r =
12
5.936027
- 1
*
100
r =
1.159999 - 1
*
100
r =
0.159999
*
100
r = 16
M
ONTO O
V
ALOR
P
RESENTE
Partiendo de un
Valor Futuro
M=C . (1 + i )
n
se puede obtener un
valor Presente
O Capital Inicial
C =
M
Del producto de una inversión a 12 años a una tasa de interés
del 16% nominal, se recibió un Monto de Q. 504,562.30,
encontrar cual fue el capital inicial de dicha inversión.
El Capital Inicial de la inversión fue de Q. 85,000.00
C =
M
(1 + i )
n
C =
504562.30
(1 + 0.16 )
12
C =
504562.30
5.936027
C = 85,000.00
T
IEMPO O
P
ERIODOS DE
C
APITALIZACIÓN
Conociendo el Monto o Valor Futuro de
una inversión, Capital Inicial y la tasa de
interés compuesta, podemos encontrar el
tiempo o periodos de capitalización de una
inversión. Partiendo de la formula inicial,
tendríamos.
Si debemos pagar Q.1,000,000.00 por un préstamo de Q.600,000.00 el cual fue
obtenido a una tasa de interés del 30% anual capitalizable bimestralmente,
determinar cuanto tiempo paso (meses) .
Utilizando la fórmula, iniciamos a despejar
M = C . (1 + i )
nC . (1 + i )
n= M
(1 + i )
n=
Para poder despejar un valor exponencial es necesario aplicar logaritmos a ambos lados de la
ecuación,
Log (1 + i )
n= Log
n * Log (1 + i ) = Log
n =
Log
Log (1 + i )
Aplicando valores:
n =
Log
, , ,Log (1 +
.)
n =
.
.
n = 10.47 Bimestres
Se pide el tiempo en meses por lo que
n = 10.47 * 2 = 20.94 meses
Ingresamos en un banco la cantidad de Q 20.000 a un tipo de
interés nominal del 5 %, la cual genera un valor futuro de
Q40000.00 ¿ Durante cuanto tiempo estuvo esta inversión?.
Utilizando la fórmula, al cabo de t años tendremos:
n =
Log
Log (1 + i )
n =
Log
Log (1 + 0.05)
n =
.
.
n = 14.21 años
R// Para duplicar una inversión de Q.20,000.00 se
deberá invertir por 14.21 años a una tasa de 5%
Ingresamos en un banco la cantidad de Q 20.000 a un tipo de
interés nominal del 5 %, la cual genera un valor futuro de
Q40000.00 ¿ Qué tiempo tiene que transcurrir para que se
nos doble el capital?.
Utilizando la fórmula, al cabo de t años tendremos:
n =
Log
Log (1 + i )
n =
Log
Log (1 + 0.05)
n =
.
.
n = 14.21 años
R// Para duplicar una inversión de Q.20,000.00 se
deberá invertir por 14.21 años a una tasa de 5%
Hoja de trabajo
1. Carlos López esta interesado en jugar la Bolsa de Valores, por lo cual desea conocer la tasa de interés anual a la que deben invertirse $10,000.- para que, en 5 años, se obtenga un monto de Q.131,731.20 si utiliza una tasa de cambio proyectada de Q.8.2332
2. Un capital de Q2,000.00 colocado al 4% de interés compuesto anual asciende a Q3.202. Determine el tiempo que estuvo colocado.
3. El gerente de El Sembrador, S.A., recibió un informe financiero registra en libros un monto de Q24,310.00, que representa una inversión realizada durante 2 años, colocada a una tasa de interés compuesto del 10% anual, la capitalización de la inversión fue semestral, pero en el informe no figura cual fue el capital invertido inicialmente, por lo que es necesario conocer dicha información:
4. El tigre, S.A. desea conocer el monto y los intereses obtenidos al invertir un capital de Q.20,000.00 al 5% de interés anual durante 10 años en régimen de capitalización compuesta.
5. Jose Contreras desea comprar un vehículo para lo cual debe tener Q.50,000.00 dentro de 2 años, por lo que necesita saber ¿Qué suma de dinero mínima se debe invertir si consigue una tasa de interés compuesto del 3.30% mensual?
6. Ayer Jorgito de 6 años rompió su alcancía, al contar su dinero se dio cuenta que tenia trecientos quetzales, como su papa esta estudiando matemática financiera le recomendó que mejor lo metiera en el banco en lugar de comprar otra alcancía, para convencer a Jorgito el papa necesita saber cuanto ganaría ese ahorro si la cuanta infantil esta pagando una tasa de interés compuesto del 7% anual, si Jorgito planea usarlo para su viaje a Disney cuando cumpla 10 años.
7. Determine cuanto tiempo debe transcurrir para que un capital de Q6,209.00 colocado al 10% anual de interés con capitalización cuatrimestral, produzca un monto de Q10,000
8. Si invertimos hoy un capital a una tasa es del 16% anual con capitalización semestral,
¿durante cuanto tiempo tendríamos que invertir para duplicar nuestro capital?
9. Se esta interesado en realizar una inversión a 5 años plazo, el propósito es de triplicar la inversión realizar, motivo por el cual se necesita saber a que tasa anual debería realizarse dicha inversión.
10. La empresa El Financiero realiza una inversión de Q13,450.00 durante un periodo de 6 meses, teniendo una utilidad al final del periodo de Q.3,050.00, considerando que la capitalización fue mensual.
a) necesitamos saber cual fue la tasa brindada por el banco