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UNIVERSIDAD MARIANO GALVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS
CAMPUS VILLA NUEVA
CURSO MATEMATICA FINANCIERA Lic. Manuel de Jesús Campos Boc
SEPTIMA UNIDAD
OPERACIONES A LORGO PLAZO INTERÉS COMPUESTO
Es el rendimiento que si no se paga en el periodo, se aumenta al capital, y junto con él, produce más intereses. Por lo tanto, en cada periodo posterior, el interés es mayor, ya que está calculado sobre el capital original más los interese de los periodos anteriores. Cuando esto sucede, se dice entonces que el interés se capitaliza, lo que sucede únicamente con el interés compuesto. Esto significa que el interés compuesto es una serie de cálculos de interés simple, aplicados cada vez sobre el capital más los intereses devengados en los periodos anteriores.
Se aplica generalmente en operaciones financieras cuyo término excede al año, es decir a largo plazo, ya que mientras mayor sea el tiempo, más capitalizaciones del mismo se dan y mayor es el rendimiento que produce en relación con el interés simple.
También se aplica en otros campos no financieros como por ejemplo en el estudio de fenómenos relacionados con los seres vivos que se reproducen de manera geométrica. Nos ayuda a determinar la tasa de natalidad y el crecimiento de las poblaciones, tanto de seres humanos como de otras especies naturales, como por ejemplo peces, ganado, bosques y otros. -Periodos de capitalización: el interés compuesto se puede capitalizar, es decir sumar al capital para producir, más intereses, en diferentes periodos, esto dependerá de cómo se haya convenido entre el deudor y el acreedor, los casos más comunes para el periodo de capitalizaciones y sus respectivas frecuencias en el año, son:
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-Frecuencia de capitalización: es el número de veces en un año que el interés se suma al capital o se capitaliza. Es el número de capitalizaciones por año.
-Tasa de interés efectiva: cuando solamente hay una capitalización de interese en el año. Su símbolo continua siendo “i”.
-Tasa de interés nominal: cuando existen dos o más capitalizaciones de interés en el año. Su símbolo entonces es “j” y tiene que indicarse el número de capitalizaciones por año, aplicándose el símbolo “m”.
POR EJEMPLO:
Cuando se trata de una tasa de interese efectiva, basta señalar el porcentaje de interés compuesto, se considera que la capitalización es anual. Sin embargo, cuando se trata de una tasa de interés nominal, debe señalarse el número de veces que se capitaliza en el año; por lo tanto, cada vez que se consigne el símbolo “j” debe señalarse también el valor de “m”, es decir, la frecuencia de capitalización.
Anual 1 Semestral 2 Cuatrimestral 3 Trimestral 4 Bimestral 6 Mensual 12 Quincenal 24 Semanal 52 Diario 360 ó 365 PERÍODOS DE CAPITALIZACIÓN FRECUENCIA (Veces en el año)
CONCEPTO
SIMBOLOGIA VALOR SIMBOLOGIA VALOR
10% anual de interés compuestos
i
0.10
12% anual capitalizable semestralmente
j
0.12
m
2
15% anual capitalizable mensualmente
j
0.15
m
12
18% anual de interés compuesto
i
0.18
8% anual de interés capitalizable cada tres meses
j
0.08
m
4
8% de interés capitalizable cada 3 meses
j
0.32
m
4
3 -Factores que intervienen en el interés compuesto
APLICACIÓN:
FORMULA PARTIENDO DEL INTERES PROBLEMA No.1
Cuanto se obtendrá de intereses si se invierte un capital de Q 1, 000.00, a una tasa del 6% anual de interés compuesto durante 7 años.
(Los cálculos se desarrollaran con tasa efectiva de interés, es decir con una capitalización al año).
P
= Principal o capital originalmente impuesto (valor actual)n
= Plazo o tiempo de la operaciónI
= InterésS
= Monto del capital o valor al vencimientoi
= Tasa anual de interés o tasa efectiva capitalizable una vez al añoj
= Tasa nominal de interés cuando hay más de un periodo de capitalizaciones al añom
= Numero de capitalizaciones de interés en el año (frecuencia)mn
= Numero completo de periodos cuando las capitalizaciones se hacen más de una vez en el año.P = i = n = I =
?
1,000.00 DATOS: 0.06 7Tasa efectiva
nI = P
[
(
1 +
i
)
- 1
]
I =
[
(
1+
)
- 1]
7I =
[
(
)
- 1]
I =
[
(
)
- 1]
I =
[
(
)
]
I =
1,000.00 0.06 1.06 1.503630 0.503630 1,000.00 1,000.00 1,000.00503.63
4 PROBLEMA No. 2
Cuanto se obtendrá de intereses si se invierte un capital de Q 1, 000.00, a una tasa del 6% anual de interés compuesto, capitalizable mensualmente durante 7 años.
PROBLEMA No. 3
Qué capital se debe invierte, para lograr un interés de Q 503.63, a una tasa del 6% anual de interés compuesto, durante 7 años.
P = j = n = m I = 1,000.00 7
?
12 DATOS: 0.06Tasa efectiva
I
n(
1 +
i
)
-
1
P =
I = i = n = P = DATOS: 503.63 0.06 7?
Tasa nominal
mnI = P
[
(
1 +
j
) - 1
]
m
12 x 7I =
[
(
1+
)
- 1]
84I =
[
(
)
- 1]
I =
[
(
)
- 1]
I =
[
(
)
]
I =
0.06 12 1.00500 1.520370 0.520370 1,000.00 1,000.00 1,000.00 1,000.00 520.375 PROBLEMA No. 4
Qué capital se debe invierte, para lograr un interés de Q 520.37, a una tasa del 6% anual de interés compuesto, capitalizable mensualmente durante 7 años. Tasa nominal
I
m n(
1
+
)
- 1
m
P
=
j
I = j = n = m P = 520.37 0.06 7 12?
DATOS: 7(
1+
)
- 1 7(
)
- 1P
=
(
)
- 1P
=
P
=
503.63 1,000.00 0.06 1.060000 503.63P
=
503.63 1.503630 0.503630P
=
503.63 12 x 7 ( 1 + ) - 1 84 ( 1 + ) - 1 84 ( ) - 1 ( ) - 1 P = = 520.37 0.005 P = 1.005000 520.37 P P = 1.520370 520.37 P = 520.37 0.06 12 P = 520.37 0.520370 1,000.006 PROBLEMA No. 5
Se tiene un capital de Q 1, 000.00, y se desea obtener Q 503.63 adicionales, durante 7 años. A que tasa de interese compuesto se debe de invertir.
PROBLEMA No. 6
Se tiene un capital de Q 1, 000.00, y se desea obtener Q 520.37 adicionales, durante 7 años. A que tasa de interese compuesto se debe de invertir; si la institución financiera indica que es capitalizable mensualmente. P = I = n = i = DATOS: 1,000.00 7
?
503.63 1 / 7i
= (
/
+ 1)
- 1i
= (
+ 1)
- 1i
= (
)
- 1i
= (
)
- 1i
=
%
0.142857 1.504 0.142857 0.503630 503.63 1,000.00 1.06000006.00
P = I = n = m j = 7 12
?
DATOS: 1,000.00 520.37 Tasa nominalj
= m
[
(
I
/
P + 1 ) -
1
]
1/n mTasa nominal
j = m
[
( I
/
P + 1 ) - 1
]
1/n m7 PROBLEMA No. 7
Cuánto tiempo se invirtió un capital de Q 1, 000.00, que al final del periodo se obtuvo Q 503.63 de intereses. A una tasa del 6% interes compuesto.
Tasa efectiva
n =
(
I
/
P + 1 )
(
1 +
i
)
Log
Log
P = I = i = n =?
DATOS: 1,000.00 503.63 0.06n =
(
/
+ 1)
(
1 +)
n =
(
+ 1)
(
)
n =
(
)
(
)
n =
n =
1.50363 1,000.00 años Log 503.63 7 Log 0.06 Log Log 1.06 0.177141 0.025306 Log Log 1.06 0.50363 1 / 12 x 7j =
12[
(
/
+ 1)
- 1]
1 / 84j =
12[
(
+ 1)
- 1]
j =
12[
(
)
- 1]
j =
12[
(
)
- 1]
j =
12[
]
j =
%
1.520370 1.005000.06
0.00500 520.37 1,000.00 0.5204 0.01190488 PROBLEMA No. 8
Cuánto tiempo se invirtió un capital de Q 1, 000.00, que al final del periodo se obtuvo Q 520.37 de intereses. A una tasa del 6% interes compuesto; si la institución financiera indica que es capitalizable mensualmente.
NOTA:
Cuando hay años completos y fracciones de años, se utiliza el siguiente procedimiento. Por ejemplo: 6 años 6 meses.
6 + 6/12 = 6 + 0.5 = 6.5 de año.
-Tasas Equivalentes de Interés Compuesto: anteriormente se hizo distinción entre la tasa efectiva (i), la capitalización que es una vez al año; y la tasa nominal (j) que la capitalización son dos o más (m) veces al año.
Tasa nominal
n =
(
I
/
P + 1 )
m
(
1 + j
/
m
)
Log
Log
P = I = j = m n = DATOS: 1,000.00 520.37 0.06 12?
n =
(
/
+ 1)
12 Log(
1 +/
)
n =
(
)
12 Log(
)
n =
12(
)
n =
n =
Log 520.37 1,000.00 0.06 7 años 12 0.002166 0.181949 0.181949 0.025993 Log 1.52 1.0059 Dos tasas de interés compuesto son equivalentes sin con diferentes periodos de capitalización, producen iguales intereses (o montos) al final de un año.
-Tasa Efectiva a una Tasa Nominal dada: nos sirve para establecer la tasa efectiva anual que produce el mismo rendimiento obtenido con una tasa nominal de interés conocida.
FORMULA:
EJEMPLO:
Que tasa de interes compuesto, capitalizable anualmente, es equivalente al 6% anual capitalizable semestralmente.
-Tasa Nominal a una Tasa Efectiva dada: en otras oportunidades, conocemos la tasa efectiva y necesitamos obtener una tasa nominal que nos produzca el mismo rendimiento.
FORMULA: m
i
= (
1 + j
/
m
)
- 1
j = m = i = DATOS:?
0.06 2 2i
= (
1 + /)
- 1 2i
= (
)
- 1i
= (
)
- 1i
=
6.09
%
1.060900 0.06 2 1.03j
= m
[
(
1 +
i
)
-1 / m1
]
10 EJEMPLO:
Que tasa de interés compuesto, capitalizable semestralmente, es equivalente al 7% anual.
-Tasas de interés simple a interés compuesto equivalentes
Para comparar tasa de interés ante conocer el tiempo de la operación, pues depende del mismo la variación entre dichas clases de interés.
-Tasa de interés simple equivalente a una tasa de interés compuesto durante “n” años.
FORMULA: DONDE: i (s) = Interés simple i (c) = Interés compuesto n = Tiempo EJEMPLO:
Que tasa de interés simple equivale al 10% anual de interés compuesto, durante 6 años. i = m = j = DATOS: 0.07 2
?
1 / 2j
=
2[
1 +)
- 1]
j
=
2[
(
)
- 1]
j
=
2[
(
)
- 1]
j
=
2[
]
j
=
6.88
%
0.07 0.5000 1.070000 1.034408 0.0344 n= (
1 +
)
-n
1
i ( c )
i ( s )
11
-Tasa de interés compuesto equivalente a una tasa de interés simple durante “n” años.
FORMULA: i (c) = n = i (s) = DATOS: 0.10 6