1. Calcular las siguientes integrales potenciales (y comprobar la sombreada): 1) 2 1 dx x
∫
2) x5 dx 6∫
3)∫
x dx2 3 4) 2 3 1 dx x∫
5)∫
t t dt2 3 6)∫
x x2 3 dx 7) 3 2 t dt t∫
8) 2 3 1 3 x dx x∫
9)∫
x x dx3 10)∫
3x dx2 11)∫
( )
t2 3dt 12) x dx x∫
13) x dx x∫
14) 3x dx x∫
15)∫
x x x dx3 4 16) x 2 dx x +∫
(
Soluc: 1) –1/x 2) x6/36 3) 3 5 3 x 5 4) 3 3 x 5) t6/6 6) 3 x3 8 8 7) t2/2 8) 3 x3 4 4 9) 6 x6 11 11 10) 3 x3 5 5 11) t7/7 12) 2 x 13) 2 x3 3 14) 3 x3 15) 12 25 12 x 25 16) 3 2 x 4 x 3 +)
2. Calcular las siguientes integrales de funciones compuestas (y comprobar las sombreadas):1) 2 (x 1) dx+
∫
2) 2 (7x+5) dx∫
3) 2 2x (x +1) dx∫
4) 2 3 3x (x +1) dx∫
5) 2 t (t +3) dt∫
6) 2 3 x (x +2) dx∫
7) 3 (2x 1) dx+ −∫
8) 2 3 7 x (x +1) dx−∫
9) 2 1 dx (2x 1)+∫
10) 2 2 2x 1 dx (x x 1) + + +∫
11) 2 1 dt t +2t+1∫
12) 3 2 dx x +3x + +3x 1∫
13) 2 x 1 x dx+∫
14) 2 x 1 x dx−∫
15) 2 6 (x 1)(x+ + +2x 5) dx∫
16) 2 3 4 x dx (x +1)∫
17) 1 dx 3x+1∫
18) 2 (16x 1) (8x+ + −x 5) dx∫
19) x 1 dx x 1 + +∫
20) 2 2 x x 1 dx x 1 + +∫
21) cos x sen x dx
∫
22)∫
cos x sen x dx2 23)∫
senx cos x dx2 24) 2 arctg x dx 1 x+∫
25) 2 cos x dx sen x∫
26) ln x2 dx x∫
27) 2 1 dx x ln x∫
28) lnx dx x∫
29) 2 2 arcsen x dx 1-x∫
30) 2 2 dx 1 x arcsen x−∫
31) (*) arctg x 2 dx 2 4 x+∫
(
Soluc: 1) (x+1)3/3 2) (7x+5)3/21 3) (x2+1)2/2 4) (x3+1)2/2 5) (t2+3)2/4 6) (x3+2)2/6 7) 8) 3 6 1 18 (x 1) − + 9) 1 2(2x 1) − + 10) 2 1 x x 1 − + + 11) 1 t 1 − + 12) 2 1 2(x 1) − + 13)(
)
3 2 1 x 3 + 14)(
2)
3 1 x 3 − − 15) (x2+2x+5)7/14 16) 3 3 1 9(x 1) − + 17) 2 3x 1 3 + 18) (8x2+x-5)2/219) 2 x+1 20) x2+1 21) sen2x/2 o -cos2x/2 22) sen3x/3 23) –cos3x/3 24)
2 arc tg x
2 25) –cosec x 26) ln3x/3 27) –1/lnx 28) ln2x/2 29) arc sen x3
3 30) 1 arc sen x − 31) arctg x 22 4
)
NOTA: En todas las soluciones se omite, por razones de espacio, la cte. de integración C.
2
1 4(2x 1)
− +
3. Calcular las siguientes integrales de tipo logarítmico (y comprobar la sombreada): 1) 1 4x dx−
∫
2) 1 dx x 1−∫
3) 1 dx 3x+5∫
4) 1 dx ax b+∫
5) 2 3 x dx x +2∫
6) 2 3 2x dx 6x +1∫
7) 2 2x 1 dx x x 1 + + +∫
8) 2 x 1 dx 3x 6x 5 − − +∫
9) x x e dx 1 e+∫
10) senx cos x dx senx cos x − +∫
11) 1 dx x ln x∫
12) 2 dx (1 x ) arctg x+∫
13) 1 dx 2 1 x arcsenx−∫
14) sec x2 dx 1 tg x+∫
15) (*
) cos x dx x sen x∫
(
Soluc: 1) ln x4 2) ln (x-1) 3) ln 3 x3 +5 4) ln (ax b) a + 5) 3 3 ln x +2 6) 9 3 ln 6x +1 7) 2 ln (x + +x 1) 8) 6 2 ln 3x −6x+5 9) ln (1 e )+ x 10) 1 lnsenx cos x+ 11) ln (ln x) 12) ln (arctg x) 13) ln (arcsen x) 14) ln (1 tg x)+ 15) 2
ln sen x
)
4. Calcular las siguientes integrales de tipo exponencial (y comprobar la sombreada):
1)
∫
e dx−x 2)∫
e dx2x 3)∫
e-2x dx 4)∫
e2x 1+ dx 5)∫
e-2x 1+ dx 6) 2 x 22 x e − dx∫
7) 2 -x x e dx∫
8) 3 2 x 1 x e + dx∫
9) x x 12 (2x 1) e+ + − dx∫
10)∫
cos x esen xdx 11) 1e dxlnx x∫
12)∫
sec x e2 tgx dx 13) arctg x 2 e dx 1 x+∫
14) arcsen x 2 e dx 1 x−∫
15) x 12 dx∫
16)∫
(6 ) dxx 2 17) x x 7 dx 5∫
18) x x 5 9 dx∫
(
Soluc: 1) -1/ex 2) e2x/2 3) 2 x 1 2 e − 4) e2x+1/2 5) –e-2x+1/2 6) 2 x 22 e 2 − 7) 2 x 1 2 e − 8) 3 x 1 e 3 + 9) 2 x x 1e
+ − 10) esen x 11) x 12) etg x 13) earctg x 14) earcsen x 15) 12x/ln12 16) 36x/ln36 17) (7 / 5)xln 7 5
18) 45x ln 45
)
5. Calcular las siguientes integrales trigonométricas sencillas (y comprobar la sombreada): 1) cos( 2x) dx
∫
− 2) 1 senx dx 3∫
3) cosx dx 3∫
4) sen (x 1) dx∫
+ 5) cos(2x 5) dx∫
+ 6) sen( x 1) dx∫
− + 7) 3 cos(2x 6) dx∫
+ 8) 2 x senx dx∫
9)∫
2xcos(x2+255)dx 10) 2 xsen(3x +7) dx∫
11) 2 x cos( 3x− −5) dx∫
12) 2 3 7x sen(4x +5) dx∫
13) cos x dx 2 x∫
14) sen x dx x∫
15) cos lnx dx x∫
16) 2 cos (arctg x) dx 1 x+∫
(
Soluc: 1) 2) cosx 3 − 3) 3 senx 3 4) –cos (x+1) 5) sen(2x 5) 2 + 6) cos (-x+1) sen 2x 27) 3sen(2x 6) 2 + 8) cos x2 2 − 9) sen(x2+255) 10) cos (3x2 7) 6 + − 11) sen ( 3x2 5) 6 − − − 12) 7cos (4x3 5) 12 + −
13) sen x 14) 2 cos x− 15) sen (ln x ) 16) sen(arctg x)
)
6. Calcular las siguientes integrales por el método de sustitución o cambio de variable: 1)
(
)
10 x+2 x dx∫
mediante x+2=t 2)∫
x x 1 dx− haciendo t2=x-1 3) x x dx e +e−∫
con t=ex 4)(
)
3 x dx x+1∫
haciendo x+1=t 5) x dx x+1∫
6)(
)
10 x 1 dx x +∫
7) x dx x+2∫
8) 3 3 x dx 1+ x∫
9) x 2 x x e dx e −5e +6∫
(
Soluc: 1) (x 2)12 (x 2)11 2 12 11 + − + 2) ( )5 ( )3 x 1 x 1 2 5 3 − − + 3) arc tg ex 4) 2 1 1 x 1 2( x 1) − + + + 5) 2(
x−arctg x)
6) (x 1)10 (x 1)9 (x 1)2 ... x 1 Ln x 10 9 2 + + + + + + + + + 7) 2(x 4) x 2 3 − + 8) 3 2(
)
3 3 3 3 x x 3 x Ln 1 x 2 − + − + 9) xx e 3 Ln e 2 − −)
Recordar algunos consejos:1. En las integrales NO inmediatas en las que haya , suele funcionar el cambio RADICANDO=t2
2. “ “ “ “ “ “ “ “ aparezcan de distinto índice, puede funcionar el cambio RADICANDO=tmcm de los índices
3. En las integrales NO inmediatas en las que aparezca ax, puede ensayarse ax=t
4. Para integrales trigonométricas NO inmediatas ver los cambios vistos en el tema.
NOTA: Algunas integrales de este ejercicio también se podrían haber hecho por partes, como por ejemplo la 6.7. Inténtese.
7. Calcular las siguientes integrales de tipo arco tangente (y comprobar la sombreada): 1) 2 1 dx x +2x+2
∫
2) 2 1 dx 9x +6x+2∫
3) 3 8 x dx 1 x+∫
4) x 2x e dx 1 e+∫
5) 2 2 sec x dx 1 tg x+∫
6) x x a dx 1 a+∫
7) x x 2 dx 1 4+∫
8) x x 3 dx 1 9+∫
9) 1 dx x (1 x)+∫
10) 2 1 dx x (1 ln x)+∫
11) 4 3x 27 dx 1 (3x 27) + + +∫
12) 2 1 dx 3 x+∫
13) 2 1 dx 4x +4x+2∫
14) 2 1 dx x +4∫
(
Soluc: 1) arctg(x+1) 2) arctg (3x 1) 3 + 3) arctg x4 4 4) arctg ex 5) x 6) ln(1 a )x ln a + 7) arctg2x ln 2 8) arctg3x ln 3 9) 2arctg x 10) arctg(lnx) 11) 2 arctg(3x 27) 6 + 12) 3 x arctg 3 3 13)1arctg(2x 1) 2 + 14) 1arctgx 2 2)
8. Calcular las siguientes integrales de tipo neperiano-arco tangente (y comprobar la sombreada): 1) 2 x dx x +2x 17+
∫
2) 2 x 1 dx x x 1 + + +∫
3) 2 x 1 dx x 2x 2 − + +∫
4) 2 x 1 dx x 6x 13 + + +∫
5) 2 x 1 dx 25 x + +∫
6) 2 x 3 dx x 2x 5 + − +
∫
7) 2 2x 7 dx x x 1 + + +∫
8) 2 x dx x +2x+3∫
9) 2 x 1 dx x 6x 13 + − +∫
10) 2 2x 5 dx x 4x 13 + − +∫
11) 2 2x 4 dx x 4 + +∫
(
Soluc: 1) 2 1 x 1 ln x 2x 17 arctg 4 4 + + + − 2) 2 ln x +2x+ −2 2arctg(x+1) 3) ln x2 x 1 3arctg2x 1 3 3 + + + + 4) 2 x 3 ln x 6x 13 arctg 2 + + + − 5) ln x2 25 1arctgx 5 5 + + 6) 2 x 1 ln x 2x 5 2 arctg 2 − − + + 7) 2 2x 1 ln(x x 1) 4 3 arctg 3 + + + + 8) 2 2 x 1 ln x 2x 3 arctg 2 2 + + + − 9) ln x2 6x 13 2 arctgx 3 2 − − + + 10) 2 x 2 ln(x 4x 13) 3 arctg 3 − − + + 11) 2 x ln(x 4) 2 arctg 2 + +)
9. Calcular por partes las siguientes integrales (y comprobar la sombreada):
1 1) x lnx dx
∫
2)∫
x lnx dx 3)∫
x lnx dx2 4)∫
ln x dx2 5)∫
x e dx2 x 6) ln(x 1) dx∫
+ 7) arc cos x dx∫
8) 2 x sen x dx∫
9) x dx x+2∫
10) 2 x (x −2x 1) e dx−∫
11)∫
e sen x dxx 12)∫
(x2+1) e dx- x 13)∫
x cosx dx3 2 14)∫
x e2 2x 1+ dx 15) 2 (x +1) sen 2x dx∫
16) 3 Ln x dx x∫
(
Soluc: 1) x2ln x x2 2 − 4 2) 2 3 4 3 x ln x x 3 −9 3) x3ln x x3 3 − 9 4) xln2x-2xlnx+2x5) ex (x2-2x+2) 6) xln(x+1)-x+ln(x+1) 7) x arccos x− 1−x2 8) 2cosx -x2cosx+2xsenx
9) 2( ) x 4 x 2 3 − + 10) e (xx 2−4x+3) 11) e (senxx cos x) 2 − 12) 2 x x 2x 3 e + + − 13)1x sen x2 2 1cos x2 2 +2 14) 2x2 2x 1 e2 x 1 4 + − + 15) 2 x 2x 1 sen 2x cos 2x 2 4 + − 16) 2 2 Ln x 1 2x 4x − −
)
10. Calcular las siguientes integrales racionales (y comprobar la sombreada): 1) 2 2x 1 dx x 5x 6 + − +
∫
2) 2 3 2 x 6x 7 dx x 4x x 6 − + − + +∫
3) 2 3 2 2x 4x 3 dx x 3x 4 − + − +∫
4) 2 1 dx x −5x∫
5) 3 2 3x 5 dx x x x 1 + − − +∫
6) 3 2 2 2x 5x 4x 2 dx x 3x 2 − + − − +∫
7) 2 3 2 2x 3 dx x x 2 + + −∫
8) 2 3 x 2x 10 dx x 3x 2 − + − +∫
9) 2 3 7x 3x 5 dx x x + + +∫
10) 2 9x 23 dx x 6x 9 + + +∫
11) 2 3 2 8x 2x 1 dx x x 4x 4 − − − + −∫
12) 3 2 2 x 2x x 1 dx x 3x 2 − + − − +∫
13) 2 3 2 2x 4x 1 dx x 4x 5x 2 − + − + −∫
14) 2 2 2x 8x 1 dx 2x 7x 3 − − − +∫
15) 2 2x 1 dx x x 6 + + −∫
16) 2 x 2 dx x x 6 + − −∫
17) 4 3 2 3 2 x 3x 2x 3 dx x 3x 4 − + + − +∫
18) x dx e +1∫
(
Soluc: 1) 7 5 (x 3) ln (x 2) − − 2) 7 3x 2 (x6 1) ln x 3 − + − 3) 4) 5 5 ln 1 x −1
Esta es la pregunta 2B sept 2015.
2 1
ln(x x 2)
x 2
− − − −
5) ln x 1 4 x+ −−1 x−1 6) x2+ +x ln[(x−1)(x−2) ]2 7) ln (x −1) x2+2x+2−2arctg(x+1) 8) (x 2)2 3 ln (x 1) x 1 + − − − 9) 5 2 ln x (x +1)+3arctg x 10) ln(x 3)9 4 x 3 + + + 11)
(
)
7 2 5 x ln ( x 1)· x 4 arctg 2 2 − + + 12) x2 2 x ln(x 3x 2) 2 + + − + 13) 2 1 ln(x 3x 2) x 1 − + − − 14) 7 5 9 10 (x 3) x ln (2x 1) − − − 15) ln(x2+ −x 6) 16) ln(x−3) 17) 18) x−ln(ex+1))
11. Calcular las siguientes integrales trigonométricas no inmediatas, haciendo cambios o transformando los integrandos (y comprobar la sombreada):
1) 5
cos x dx
∫
(Hacer senx=t) 2) 5sen x dx
∫
(Hacer cosx=t) 3) sen x tg x dxcos x +
∫
(Descomponer el integrando) 4) 2 2 sen x cos x dx∫
5) sec x dx∫
6) 2 cos x ctg x dx∫
− 1 2 S u s t i t u i r c t g x = 2 1 s e n x 7)∫
cos 3x dx2 8) 2 dxcos x+sen x cos x
∫
(hacer tgx=t) 9) 2 1 dx cos x∫
10) sen 2x dx 1 cos x+∫
(Multiplicar por el conjugado) 11) 1 dxsen x cos x
∫
12)2
sen x
dx cos x sen x−cos x
∫
13) 4 1 dx cos x∫
(hacer tgx=t) 14) sen x3 dx cos x∫
(senx=t o cosx=t) 15) 2 3 sen x cos x dx∫
(
Soluc: 1) 2 3 sen x5 sen x sen x 3 5 − + 2) 2 3 cos x5 cos x cos x 3 5− + − 3) sec x+ln sec x 4) x sen4x
8− 32
5) sen x 1
(
)
xL n , o bien L n sec x tg x , o bien L n tg
1 sen x 2 4
+ π
+ +
−
6) −cos ec x−sen x 7) x sen 6x
2+ 12 8) Ln 1
(
+tg x)
9) tg x 10) x−sen x 11) Ln tg x( )
12) 2 1 2 cos x − 13) tg x tg x3 3 + 14) cos x2 Ln cos x 2 − 15) sen x3 sen x5 3 − 5)
12. Calcular por el método más adecuado (entre paréntesis figura una ayuda) las siguientes integrales: 1) (inmediata) 2) (tipo ln) 3)
∫
(x 1) e dx− x (por partes) 4)∫
(x2− −2x 3) lnx dx (por partes) 5) 2 1 dx x −1∫
(raíces ℜ simples) 6) 2 x 5 dx x x 2 + + −∫
(raícesℜ simpl 7) 2 6x 8 dx x 2x 5 + + +∫
(ln-arctg) 8) 3 2 x 1 dx x 5x 4 + − +∫
(raíces ℜ simples) 9)∫
sec x dx3 (cambio senx=t) 10) 1 sen x2 dxsenx cos x
+
∫
(cambio senx=t) 11) cos x dx1 cos x−
∫
(transformar el integrando) 12)∫
cos3x sen 3x dx2 (inmediata) 13)∫
x sen3x dx2 (por partes) 14) x arctgx dx∫
(por partes) 15)∫
x e dx2 3x (por partes) 16) 2 x 3 dx x 49 − +∫
(ln-arctg) 17) 4 2 3 2 x 3x 3x 2 dx x x 2x − − − − −∫
(raícesℜ simples) 18) x ln(x 1) dx∫
+ (por partes) 19) ln x3 dxx
∫
(inmediata) 20) sen(lnx) dx∫
(por iteración) 21) x ln(x 2+ −1) e-x dx
∫
2 1 dx (x 1)−∫
2 x 1 dx 3x 6x 5 − − +∫
2 2 x 1 ln(x x 2) 2 + − − −x−222) 2 1 2x dx 1 x + +
∫
23) 1 x dx 1 x + −∫
(hacer la división) 24) 2 x x 1 dx x 1 + + +∫
(hacer la división) 25) x2 1 dx x 1 + −∫
(hacer la división) 26) 2 x dx x +9∫
27) 2 7 2tgx dx cos x +∫
28) 2 1 dx 2−x∫
(tipo arcsen) 29)(
3 2)
1 dx x ln x 2ln x lnx 2− − +∫
(hacer ln x=t) 30) sen 3x dx∫
(cambio var.+por partes)31) 2 2 x 1 dx x 4x 13 + − +
∫
32) 1 sen x2 dx sen xcos x −∫
(
Sol: 1) 1 x 1 − − 2) 6 2 ln 3x −6x+5 3) xex –2ex 4) 5) ln x 1 x 1 − + 6)(
)
2 x 1 ln x 2 − + 7) 2 3 x 1 ln(x 2x 5) arctg 2 + + + + 8)(
)
(
)
65 2 3 2 x 4 x 5x ln 2 x 1 − + + − 9) 3 1 1 ln senx 1 ln senx 1 4(senx 1) 4(senx 1) + − − − − − + 10) 2 sen x ln cos x 11) -x-cosecx-ctgx 12) sen 3x3 913) x cos 3x2 2xsen3x 2 cos 3x
3 9 27 − + + 14) x arctg x2 x arctg x 2 − + 15) x e2 3 x 2xe3 x 2e3 x 3 − 9 + 27 16) 2 3 x ln x 49 arctg 7 7 + − 17) x2 x lnx ln (x 2)3 2 ln x 13 2+ + − − − + 18)
(
x2 1 ln x)
1 x2 x 4 2 − + − + 19) ln x4 4 20) 1x(sen ln x cos ln x) 2 − 21) 2 2 2 2 x x ln x 1 x x 1 ln x 1 2 2 e + + + − + + 22) arctgx+ln(x2+1) 23) -x-ln(1-x)2 24) x2 ln(x 1) 2 + + 25) x2 2 x ln(x 1) 2 + + − 26) 2 ln x +9 27) (7 2tgx)3 3 + 28) 2 x arcsen 2 29) 6 2 3 (ln x 2) (ln x 1) ln (ln x 1) − + − 30)(
)
2 sen 3x 3x cos 3x 3 − 31)(
2)
2 x 2 x Ln x 4x 13 4arctg 3 − + − + − 32) ln senx(
)
)
Teórico-prácticos:
13. Calcular la primitiva de f(x)=ln2x que se anula en x=e
14. Determinar f(x) sabiendo que f ´´´(x)=24x, f(0)=0, f ´(0)=1 y f ´´(0)=2 (Soluc: f(x)=x4+x2+x)
15. Hallar un polinomio cuya derivada sea x2+x-6 y tal que el valor de su máximo sea tres veces mayor que el de su mínimo. (Soluc: p(x)=x3/3+x2/2-6x+71/4)
16. a) Calcular todas las funciones que verifican f (x) ex si x 0 2x 1 si x 0 ≤ = + > ' b) Estudiar su derivabilidad. x 2 e C si x 0 Soluc : f(x) ; f(x) derivable x x x C si x 0 + ≤ = ∀ ∈ + + > ℝ
17. Hallar una función F(x) tal que F(0)=2 y que sea una primitiva de x x e f(x) e 1 = +
