ρ = γ = Z Y Problema PTC

Problema PTC0004-18

Dibujar el espectro de amplitud de un cable con pérdidas en circuito abierto, determinando los valores y frecuencias de los valores máximos y mínimos.

Solución PTC0004-18

Sabemos que la función de transferencia de un cable con pérdidas es (ver TTC-004) 1 ( ) e e z z H eγ e γ ρ ω ρ − + = + siendo 0 0 L L Z Z Z Z ρ = − + Z Y γ = ⋅ 0 Z Z Y = ; Z = R+ j Lω Y = G+ j Cω

Cuando el cable se deja en circuito abierto entonces

0 0 lim 1 L L Z L Z Z Z Z ρ →∞ − = = + y la función de transferencia es 2 ( ) e e z z H eγ e γ ω = ₋ +

siendo el espectro de amplitud

2 ( ) e e z z H eγ e γ ω = ₋ +

que gráficamente se refleja mediante la figura inferior. En ella puede observarse cómo el espectro de amplitud va teniendo máximos y mínimos relativos al variar la frecuencia. A medida que la frecuencia crece esos valores tienden a hacerse constantes, y el objetivo del problema es determinar dichos valores y las frecuencias a las que se producen, es decir, los valores (y sus frecuencias) cuando la frecuencia es grande.

Comencemos por calcular el valor de γ que sabemos que vale

(

) (

)

Z Y R j L G j C γ = ⋅ = + ω ⋅ + ω 2 RG j RC j GL LC γ = + ω + ω −ω

(

_RG 2_LC

)

_j

(

_{RC GL}

)

γ = −ω + ω +ω El módulo será

(

_RG 2_LC

)

_j

(

_{RC GL}

)

γ = −ω + ω +ω

(

_RG 2_LC

)

_j

(

_{RC GL}

)

γ = −ω + ω +ω

(

₂

)

2

(

)

2 RG LC RC GL γ = −ω + ω +ω

(

₂

)

2

(

)

2 4 _{RG LC RC GL} γ = −ω + ω +ω y su argumento

[ ]

(

2

)

(

)

arg γ =arg_«ª RG−ω LC + j ωRC+ωGL º_» ¬ ¼

[ ]

1

(

2

)

(

)

arg arg 2 RG LC j RC GL γ = ª_¬ −ω + ω +ω º_¼

[ ]

2 1 arg 2 RC GL arctg RG LC ω ω γ ω + § · = _{¨ ¸} − © ¹ 2000 4000 6000 8000 10000 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

Tratemos ahora de calcular la parte real e imaginaria de γ. Para un número complejo cualquiera z x jy k= + = _ϕ se verifica que

[ ]

(

[ ]

)

[ ]

(

[ ]

)

Re cos cos arg Im sen sen arg

z x k z z z y k z z ϕ ϕ = = = = = = por lo tanto

[ ]

(

[ ]

)

[ ]

(

[ ]

)

Re cos arg Im sen arg γ γ γ γ γ γ = = y sustituyendo tenemos

[ ]

(

)

(

)

[ ]

(

)

(

)

2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 1 Re cos 2 1 Im sen 2 RC GL RG LC RC GL arctg RG LC RC GL RG LC RC GL arctg RG LC ω ω γ ω ω ω ω ω ω γ ω ω ω ω   +  = − + + _{  } −      _ + _ = − + + _{  } −     Llamemos 2 1 cos 2 RC GL a arctg RG LC ω ω ω  _ + _ = _{  } −     Sabemos que

sen( ) sen cos cos sen ( )

cos( ) cos cos sen sen

tg π α π α π α π α π α π α π α + ⋅ + ⋅ + = = + ⋅ − ⋅

( )

( )

0 cos 1 sen sen

tg( ) tg

1 cos 0 sen cos

α α α π α α α α α ⋅ + − ⋅ − + = = = − ⋅ − ⋅ − tg(π α+ ) tg= α Llamando tg tg( ) u= α = π α+

podemos escribir que

( )

( )

arctg u ; arctg u

α = π α+ =

de donde obtenemos que

( )

( )

arctg u = + = +π α π arctg u De igual modo, si

tg u= α

( )

tg − = −α u

( )

( )

arctg − = − = −u α arctg u

( )

( )

arctg u = −arctg −u por lo que sustituyendo tenemos

( )

( )

( )

arctg u = +π arctg u = −π arctg −u

En definitiva la expresión anterior nos indica que la función arco tangente puede tener dos soluciones en diferentes cuadrantes. La elección de una u otro dependerá de las condiciones del problema.

Recordando que habíamos llamado

2 1 cos 2 RC GL a arctg RG LC ω ω ω  _ + _ = _{  } −    

expresión en la cual el término arco tangente proviene del argumento de un número complejo

(

2

)

(

)

2 arg RC GL arctg RG LC j RC GL RG LC ω ω _{ω ω ω} ω +  _{=  − + + }  ₋  _{ }  

En esta expresión, vemos que el número complejo tiene parte imaginaria siempre positiva, mientras que la parte real será negativa para frecuencias grandes que cumplan

2 ₀ RG−ω LC< 2 RG LC ω > 1 2 RG f LC π >

Es decir, que para frecuencias grandes el argumento del número complejo deberá estar en el tercer cuadrante y ser de la forma π-α. Por tanto

2 2 RC GL RC GL arctg arctg RG LC RG LC ω ω _π ω ω ω ω + +  _{= −} ₋   ₋   ₋      2 2 RC GL RC GL arctg arctg RG LC LC RG ω ω _π ω ω ω ω + +  _{= −}    ₋   ₋     

Sustituyendo tenemos que, para frecuencias grandes

2 2 1 1 cos cos 2 2 RC GL RC GL a arctg arctg RG LC LC RG ω ω _π ω ω ω ω    _ + _  _ + _ = _{  }= _{ } − _{ } − −         

2 1 cos 2 2 RC GL a arctg LC RG π ω ω ω  _ + _ = _ − _{ } −     2 2 1 1

cos cos sen sen

2 2 2 2 RC GL RC GL a arctg arctg LC RG LC RG π ω ω π ω ω ω ω  +   +          = _{    }+ _{    } − −           2 2 1 1 0 cos 1 sen 2 2 RC GL RC GL a arctg arctg LC RG LC RG ω ω ω ω ω ω   +    +  = ⋅ _{  }+ ⋅ _{  } − −         2 1 sen 2 RC GL a arctg LC RG ω ω ω  _ + _ = _{  } −    

También sabemos que para ángulos pequeños tgα ≈senα α≈ Para frecuencias grandes vemos que

2 RC GL LC RG ω ω ω + −

es un valor pequeño por lo que

2 2 2 1 1 1 sen sen 2 2 2 RC GL RC GL RC GL a arctg LC RG LC RG LC RG ω ω ω ω ω ω ω ω ω   +   +  + = _{  }≈ _{ }≈ − − −      

Con este resultado podemos volver al cálculo de la parte real de γ que recordamos que vale

[ ]

₄

(

₂

)

2

(

)

2 2 1 Re cos 2 RC GL RG LC RC GL arctg RG LC ω ω γ ω ω ω ω   +  = − + + _{  } −    

Para frecuencias grandes podemos escribir la expresión aproximada

[ ]

(

₂

)

2

(

)

₂

₍

₎

4 2 Re 2 RC GL RG LC RC GL LC RG ω ω γ ω ω ω ω + ≈ − + + −

Como a frecuencias grandes

2_{LC RG} ω podemos aproximar 2 2 RG−ω LC ≈ −ω LC y sustituyendo

[ ]

_{4 4 2 2 2}

(

)

2 2 Re 2 RC GL L C RC GL LC ω ω γ ω ω ω + ≈ + +

[ ]

_{4 4 2 2 2}

(

)

2 Re 2 RC GL L C RC GL LC γ ω ω ω + ≈ + +

(

)

2 4 2_{L C}2 2 _{RC GL} ω ω + podemos aproximar

(

)

2 4 2_{L C}2 2 _{RC GL} 4 2_{L C}2 ω +ω + ≈ω y sustituyendo

[ ]

4 4 2 2 Re 2 2 RC GL RC GL L C LC LC LC γ ω ω ω ω + + ≈ = y finalmente

[ ]

Re 2 RC GL LC γ ≈ +

Calculemos ahora la parte imaginaria de γ que recordamos que vale

[ ]

₄

(

₂

)

2

(

)

2 2 1 Im sen 2 RC GL RG LC RC GL arctg RG LC ω ω γ ω ω ω ω   +  = − + + _{  } −     Llamemos 2 1 sen 2 RC GL b arctg RG LC ω ω ω  _ + _ = _{  } −    

Sustituyendo tenemos que, para frecuencias grandes

2 2 1 1 sen sen 2 2 RC GL RC GL b arctg arctg RG LC LC RG ω ω _π ω ω ω ω    _ + _  _ + _ = _{  }= _{ } − _{ } − −          2 1 sen 2 2 RC GL b arctg LC RG π ω ω ω  _ + _ = _ − _{ } −     2 2 1 1

sen cos cos sen

2 2 2 2 RC GL RC GL b arctg arctg LC RG LC RG π ω ω π ω ω ω ω  +   +          = _{    }− _{    } − −           2 2 1 1 1 cos 0 sen 2 2 RC GL RC GL b arctg arctg LC RG LC RG ω ω ω ω ω ω   +    +  = ⋅ _{  }+ ⋅ _{  } − −         2 1 cos 2 RC GL b arctg LC RG ω ω ω  _ + _ = _{  } −    

También sabemos que para ángulos pequeños

tgα α≈ ; cosα ≈1

Para frecuencias grandes vemos que

2 RC GL LC RG ω ω ω + −

es un valor pequeño por lo que 2 2 1 1 cos cos 1 2 2 RC GL RC GL b arctg LC RG LC RG ω ω ω ω ω ω   +   +  = _{  }≈ _{ }≈ − −      

Con este resultado podemos volver al cálculo de la parte real de γ que recordamos que vale

[ ]

(

₂

)

2

(

)

₂ 4 2 1 Im sen 2 RC GL RG LC RC GL arctg RG LC ω ω γ ω ω ω ω  _ + _ = − + + _{  } −    

Para frecuencias grandes podemos escribir la expresión aproximada

[ ]

₄

(

₂

)

2

(

)

2

Im γ ≈ RG−ω LC + ωRC+ωGL

Como a frecuencias grandes

2_{LC RG} ω podemos aproximar 2 2 RG−ω LC ≈ −ω LC y sustituyendo

[ ]

_{4 4 2 2 2}

(

)

2 Im γ ≈ ω L C +ω RC GL+ Como a frecuencias grandes

(

)

2 4 2_{L C}2 2 _{RC GL} ω ω + podemos aproximar

(

)

2 4 2_{L C}2 2 _{RC GL} 4 2_{L C}2 ω +ω + ≈ω y sustituyendo

[ ]

4 4 2 2 Im γ ≈ ω L C y finalmente

[ ]

Im γ ≈ω LC

Con estos resultados podemos volver a retomar el valor de la función de transferencia del cable cuando se deja en circuito abierto que vimos que vale

[ ] [ ] [ ] [ ] Re Im Re Im 2 2 ( ) e e e e e e z z z j z z j z H eγ e γ e γ e γ e γ e γ ω = ₋ = _{− −} + + [ ] [ ] [ ] [ ] Re Im Re Im 2 ( ) e e e e z j z z j z H e γ e γ e γ e γ ω = _{− −} + [ ]

{

(

_{[ ]}

)

(

_{[ ]}

)

}

[ ]

{

(

_{[ ]}

)

(

_{[ ]}

)

}

Re Re 2 ( )

cos Im sen Im cos Im sen Im

e e z z e e e e H e γ z j z e γ z j z ω γ γ − γ γ = + + −

[ ] [ ]

(

Re Re

)

(

[ ]

)

(

Re[ ] Re[ ]

)

(

_{[ ]}

)

2 ( ) cos Im sen Im e e e e z z z z e e H e γ e γ z j e γ e γ z ω γ γ − − = + + −

Para frecuencias grandes

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

Re Re 2 Im Im e e e e e e RC GL z z z LC z z LC z γ γ γ γ ω + = ≈ = ≈ y sustituyendo

(

)

(

)

2 2 2 2 2 ( ) cos sen e e e e RC GL_z RC GL_z RC GL_z RC GL_z LC LC LC LC e e H e e z LC j e e z LC ω ω ω + ₋ + + ₋ + ≈     + + −             Llamando 2 2 2 2 e e e e RC GL RC GL z z LC LC RC GL_z RC GL_z LC LC A e e B e e + ₋ + + ₋ + = + = −

tenemos para el espectro

(

)

2

(

)

( ) cos _e sen _e H A z LC jB z LC ω ω ω ≈ + y su amplitud

(

)

(

)

2 2 2 2 2 ( ) cos _e sen _e H A z LC B z LC ω ω ω ≈ + o, lo que es lo mismo,

(

)

(

)

1/ 2 2 2 2 2 ( ) 2 cos _e sen _e H ω ≈ _A z LCω +B z LCω _−

Los máximos y mínimos del espectro de amplitud son aquellos en los que la derivada se anula, es decir, ( ) 0 m d H d ω ω ω ω ₌ = Derivando tenemos

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

3/ 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 2 cos sen 2

2 cos sen 2 sen cos 0

m e m e m e e m e m e e m e m d H A z LC B z LC d A z LC z LC z LC B z LC z LC z LC ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω − =  _{  } ≈ _− _{ } + _ ⋅     ⋅ −_ + _=

Esta ecuación tiene dos soluciones. La primera de ellas es

(

)

(

)

3/ 2 2_cos2 2_sen2 ₀ e m e m A z LC_ω B z LC_ω −  ₊  ₌  

(

)

(

)

3/ 2 2 2 2 2 1 0 cos _{e m} sen _{e m} A z LCω B z LCω =  ₊   

(

)

(

)

2_cos2 2_sen2 e m e m A z LCω +B z LCω = ∞

lo cual es imposible ya que las funciones trigonométricas están comprendidas entre -1 y 1, y las constantes A y B son finitas. La otra posible solución es

(

) (

)

(

) (

)

2 2

2A z LC_e cos z LC_e ω_m sen z LC_e ω_m 2B z LC_e sen z LC_e ω_m cos z LC_e ω_m 0

− + =

(

)

(

)

2_{sen 2} 2_{sen 2 0} e e m e m z LC_−A z LCω +B z LCω _=

(

2 2

)

_{sen 2}

(

)

₀ e m B −A z LCω =

(

)

sen 2z LC_e ω_m =0 2z_e LCω_m =nπ ∀ =n 0,1, 2,... 0,1, 2,... 2 m e n n z LC π ω = ∀ = En términos de frecuencia 2 0,1, 2,... 2 m e n f n z LC π π = ∀ = 0,1, 2,... 4 m e n f n z LC = ∀ =

Los valores máximo y mínimo del espectro de amplitud se producen a las frecuencias anteriormente calculadas y valen

(

)

(

)

2 2 2 2 2 ( ) cos sen m e m e m H A z LC B z LC ω ω ω ≈ +

Sustituyendo los valores calculados para las frecuencias tenemos

2 2 2 2 2 ( ) 0,1, 2,... cos sen 2 2 m e e e e H n n n A z LC B z LC z LC z LC ω π π ≈ ∀ =  ₊               2 2 2 2 2 ( ) 0,1, 2,... cos sen 2 2 m H n A n B n ω π π ≈ ∀ =  ₊          

2 2 2 2 2 ( ) 0, 2, 4,... 1 0 2 ( ) 1,3,5,... 0 1 m m H n A B H n A B ω ω  _{≈ ∀ =}  _{⋅ + ⋅}    _{≈ ∀ =}  _{⋅ + ⋅}  2 ( ) 0, 2, 4,... 2 ( ) 1,3,5,... m m H n A H n B ω ω  _{≈ ∀ =}    _{≈ ∀ =} 

Recordando los valores de A y B tenemos

2 2 2 2 2 ( ) 0, 2, 4,... 2 ( ) 1,3,5,... e e e e m RC GL_z RC GL_z LC LC m RC GL_z RC GL_z LC LC H n e e H n e e ω ω + ₋ + + ₋ +  _{≈ ∀ =}   +   _{≈ ∀ =}  − 

Si trazamos esos valores como líneas discontinuas tenemos el siguiente gráfico

2000 4000 6000 8000 10000 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2