Algoritmos evolutivos multiobjectivo para afectação de recursos e sua aplicação à geração de horários em universidades

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Texto completo

(1)

Luís Filipe dos Santos Coelho Paquete

Algoritmos Evolutivos Multiobjectivo para

Afectação de Recursos e sua Aplicação à

Geração de Horários em Universidades

Dissertação realizada sob a orientação do Prof. Doutor Carlos Manuel Mira da Fonseca,

para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia de Sistemas e Computação.

Faculdade de Ciências e Tecnologia

UNIVERSIDADE DO ALGARVE

(2)

DECLARAÇÃO DE ORIGINALIDADE

Em cumprimento do disposto na alínea b) do artigo 5º do Decreto-Lei nº 216/92 de 13 de

Outubro, Luís Filipe dos Santos Coelho Paquete declara que todo o trabalho efectuado

desenvolvido na presente dissertação é de sua autoria.

Mestrando

__________________________________________

(Luís Filipe dos Santos Coelho Paquete)

Supervisor

__________________________________________

(Carlos Manuel Mira da Fonseca)

(3)
(4)

AGRADECIMENTOS

A realização desta dissertação contou com o apoio de um conjunto de pessoas às quais

quero prestar os meus agradecimentos.

Ao Prof. Doutor Carlos Fonseca pela orientação, estímulo e empenho pessoal que

manifestou durante a realização deste trabalho.

Ao Prof. Doutor Efigénio Rebelo, presidente do Conselho Directivo da Faculdade de

Economia por me ter permitido conciliar o meu trabalho como funcionário da Faculdade

com a minha actividade de estudante.

Ao Prof. Doutor António Branco, presidente do Conselho Directivo da Faculdade de

Ciências Humanas e Sociais, por me ter facultado os dados sobre a Faculdade.

À Doutora Vivianne Grunert da Fonseca pelo apoio prestado na avaliação estatística de

desempenho dos algoritmos multiobjectivo.

Ao Prof. Doutor Fernando Lobo pela troca de ideias sobre o operador de recombinação.

Ao Dr. Sérgio Baltazar e Dr. Luís Sousa por me terem elucidado sobre o funcionamento

da base de dados de horários na Universidade do Algarve.

Ao Tony, Renato, João e David por terem assegurado o bom funcionamento do Centro de

Informática da Faculdade de Economia quando não me era possível estar presente.

Aos amigos Sérgio, Fernando, João e Paulo por me terem incentivado a continuar com

este projecto.

Um obrigado muito especial aos meus pais e à Maria Celeste por todo o importante apoio

emocional que me deram durante a parte lectiva do Mestrado e dissertação.

(5)

RESUMO

Esta dissertação tem por objectivo aplicar algoritmos evolutivos multiobjectivo a

problemas de afectação de recursos, particulamente a problemas de geração de horários

de exames e problemas de geração de horários de aulas em Universidades. Estes

problemas são normalmente caracterizados pela existência de múltiplos objectivos

conflituosos. Neste sentido, uma formalização multiobjectivo para estes problemas é

apresentada, com base no conceito de metas e prioridades.

Vários aspectos dos algoritmos evolutivos são propostos e analisados para esta

classe de problemas, nomeadamente, métodos de selecção e tipo e parâmetros de

operadores de mutação. A escolha da representação e dos operadores utilizados é feita

tendo em conta a necessidade de não privilegiar demasiadamente certos objectivos em

relação a outros ao nível dos mecanismos de exploração.

São apresentados estudos comparativos entre os algoritmos propostos por meio de

métodos de inferência estatística em problemas reais na Universidade do Algarve. O

conceito de função de aproveitamento é utilizado para avaliação de algoritmos evolutivos

multiobjectivo. Finalmente, a análise da evolução do custo das soluções encontradas ao

longo do tempo de execução através de funções de aproveitamento é apresentada.

(6)

ABSTRACT

The aim of this study is the application of multiobjective evolutionary algorithms

to resource allocation problems, such as university examination timetabling and course

timetabling problems. Usually, these problems are characterized by multiple conflicting

objectives. A multiobjective formalization of these problems is presented, based on goals

and priorities.

Various aspects of evolutionary algorithms are proposed and studied for these

problems, particulary, selection methods and types and parameters of mutation operator.

The choice of both representation and operators is made so as not to favour excessively

certain objectives with respect to others at the level of the exploration mechanism.

A comparative study of performance is presented for the proposed algorithms by

means of statistical inference, based on real problems of the University of Algarve. The

notion of attainment functions is used as a base for the assessment of performance of

multiobjective evolutionary algorithms. Finally, the evolution of the solution cost during

the runs is analysed by means of attainment functions, as well.

(7)

1 Introdu~ao 1

1.1 Motiva~ao . . . 1

1.2 Organiza~ao daTese . . . 2

1.3 Contribui~oes . . . 2

2 Elabora~ao de Horarios: Um Problema de Afeta~ao de Reursos 4 2.1 Introdu~ao. . . 4

2.2 Formaliza~ao . . . 5

2.2.1 Problemade Gera~ao de Horariosde Aulas . . . 7

2.2.2 Problemade Gera~ao de Horariosde Exames . . . 8

2.3 Restri~oes . . . 9

2.4 Complexidade. . . 11

2.5 Teniasde Resolu~ao do ProblemadeGera~ao de Horarios . . . 11

2.5.1 Abordagensde Investiga~ao Operaional. . . 12

2.5.2 Progama~ao de Restri~oes . . . 13

2.5.3 Meta-heurstias . . . 15

3 Algoritmos Evolutivos 18 3.1 Introdu~ao. . . 18

3.2 Representa~ao. . . 19

3.3 Avalia~aoe Atribui~aode Aptid~ao . . . 21

3.4 Sele~ao . . . 22

(8)

3.7 Popula~ao . . . 26

3.8 Restri~oes . . . 28

3.9 AlgoritmosEvolutivosMultiobjetivo . . . 29

3.9.1 Optimiza~ao Multiobjetivo . . . 30

3.9.2 Revis~ao dosAlgoritmos EvolutivosMultiobjetivo . . . 32

3.9.3 Abordagens de Optimiza~ao Multiobjetivo para Problemas de Gera~ao de Horarios . . . 33

3.10 Conlus~oes . . . 34

4 Um Algoritmo Evolutivo Multiobjetivo para Problemas de Afeta~ao de Re-ursos 36 4.1 Introdu~ao. . . 36 4.2 Representa~ao. . . 37 4.3 Qualidadeda Solu~ao . . . 37 4.4 Atribui~ao de Aptid~ao . . . 39 4.5 Muta~ao . . . 39 4.6 Reombina~ao. . . 43 4.7 Sele~ao eReinser~ao. . . 44 4.8 Conlus~oes . . . 44

5 AbordagemMultiobjetivo ao Problema de Elabora~ao de Horarios na Univer-sidade do Algarve 46 5.1 Introdu~ao. . . 46

5.2 Problemade Gera~ao de Horariosde Exames . . . 48

5.2.1 Carateriza~ao do Problema. . . 48

5.2.2 Deni~ao de Prioridadese Metas . . . 51

5.2.3 Deni~ao da Qualidadeda Solu~ao . . . 51

5.3 Problemade Gera~ao de Horariosde Aulas . . . 52

5.3.1 Carateriza~ao do Problema. . . 52

5.3.2 Deni~ao de Prioridadese Metas . . . 53

(9)

5.4.1 Introdu~ao . . . 55 5.4.2 Pre-Proessamento . . . 55 5.4.3 Desri~ao da Aplia~ao . . . 58 5.4.4 Tempo de Exeu~ao . . . 60 6 Resultados Experimentais 62 6.1 Introdu~ao. . . 62

6.2 Avalia~aode Desempenhode AlgoritmosEvolutivosMultiobjetivo . . . 63

6.2.1 Fun~oesde Aproveitamento . . . 63

6.2.2 TestesEstatstios . . . 64

6.3 Metodologia Experimental . . . 66

6.4 Resultados. . . 68

6.4.1 PGHE da UCEH- Analise deCusto de Solu~ao emTempoFixo . . . 68

6.4.2 PGHE da UCEE - Analise deCusto deSolu~ao emTempoFixo . . . 71

6.4.3 PGHE da UCEH- Analise deCusto de Solu~ao /Tempo de Exeu~ao . . . . 75

6.4.4 PGHA da UCEH . . . 83

6.5 Disuss~ao . . . 89

6.6 Conlus~oes . . . 91

7 Conlus~oes 93 7.1 AlgoritmosEvolutivosMultiobjetivo paraAfeta~ao de Reursos. . . 93

7.2 PerspetivasFuturas . . . 95

7.2.1 Proesso deDeis~ao Multiobjetivo. . . 95

7.2.2 Algoritmos EvolutivosMultiobjetivo . . . 96

7.2.3 Aplia~aoem Problemasde Afeta~ao de Reursos . . . 96

7.2.4 Operadoresde Muta~ao e Cruzamento . . . 97

(10)

6.1 Valores de p para ompara~oes multiplasde par^ametros em termos de agrega~ao

de objetivos naUCEHna analise do ustode solu~ao emtempoxo . . . 72

6.2 Valores dep paraompara~oes multiplasde par^ametros em termos defun~oesde

aproveitamento naUCEHna analise dousto de solu~aoem tempoxo . . . 73

6.3 Valores de p para ompara~oes multiplas de par^ametros em termos de agrega~ao

de objetivos naUCEE na analise dousto de solu~ao emtempoxo . . . 76

6.4 Valores dep paraompara~oes multiplasde par^ametros em termos defun~oesde

aproveitamento na UCEE na analise dousto de solu~ao em tempo xo . . . 77

6.5 Compara~aodemetodosdesele~aonaUCEHemtermosdeagrega~ao deobjetivos

na analisedo usto de solu~ao/tempode exeu~ao . . . 79

6.6 Compara~aodemetodosdesele~aonaUCEHemtermosdesepara~aodeobjetivos

na analisedo usto de solu~ao/tempode exeu~ao . . . 80

6.7 Compara~aodemetodosdesele~aonaUCEHemtermosdeagrega~ao deobjetivos

na analisedo usto de solu~ao/tempode exeu~ao . . . 81

6.8 Compara~ao de tipos de muta~ao na UCEH em termos de separa~ao de objetivos

na analisedo usto de solu~ao/tempode exeu~ao . . . 82

6.9 Valores de p para ompara~oes multiplas de par^ametros em termos de separa~ao

de objetivos naUCEHna analise do ustode solu~ao/tempo de exeu~ao . . . 83

6.10 Converg^enia doalgoritmo nasabordagens+agrega~ao e -agrega~ao . . . 85

6.11 N

o

dediasdeaulasporsemanaversusn

o

dehorasdeaulasporsemananaabordagem

manual (doentes) . . . 86

6.12 N

o

dediasdeaulasporsemanaversusn

o

dehorasdeaulasporsemananaabordagem

(11)

6.13 N dediasdeaulasporsemanaversusn dehorasdeaulasporsemananaabordagem

+agrega~ao (doentes) . . . 87

6.14 N

o

demanh~asetardesde aulasporsemanaversus n

o

dehoras deaulasporsemana

na abordagemmanual (turmas) . . . 88

6.15 N

o

demanh~asetardesde aulasporsemanaversus n

o

dehoras deaulasporsemana

na abordagem agrega~ao (turmas) . . . 88

6.16 N

o

demanh~asetardesde aulasporsemanaversus n

o

dehoras deaulasporsemana

(12)

5.1 Numerode exames na UCEH . . . 49

5.2 Numerode exames na UCEE . . . 50

5.3 Numerode aulasna FCHS. . . 52

6.1 Valoresdep paraompara~aode metodos desele~aona UCEHna analisedousto

de solu~ao em tempoxo . . . 70

6.2 Valoresdep paraompara~aodetiposde muta~aona UCEHnaanalisedoustode

solu~aoem tempoxo . . . 70

6.3 Valores de p para ompara~ao de par^ametros na UCEH na analise do usto de

solu~aoem tempoxo . . . 71

6.4 Valoresde pparaompara~ao demetodosdesele~ao na UCEEna analisedousto

de solu~ao em tempoxo . . . 73

6.5 Valoresdep paraompara~aode tiposdemuta~ao naUCEE naanalise doustode

solu~aoem tempoxo . . . 74

6.6 Valores de p para ompara~ao de par^ametros na UCEE na analise do usto de

solu~aoem tempoxo . . . 75

6.7 Valoresdep paraompara~aode metodos desele~aona UCEHna analisedousto

de solu~ao/tempode exeu~ao. . . 78

6.8 Valores-p para ompara~ao de tipos de muta~ao na UCEH na analise do usto de

solu~ao/tempode exeu~ao . . . 80

(13)

Introdu~ao

1.1 Motiva~ao

Um problema de afeta~ao de reursos onsiste em determinar a afeta~ao de m reursos a n

itens de modo a optimizar uma determinada fun~ao objetivo f que representa a qualidade da

solu~aoatravesdasatisfa~aodeummaximoderrestri~oes. Numproblemadegera~aodehorarios,

por exemplo, os itens onsistem num onjunto de eventos, omo aulas ou exames, e os reursos

num onjunto de intervalos de tempo e salas. A inten~ao e afetar os intervalos de tempo e

salas disponveis aos eventos, minimizando simultaneamente uma determinada fun~ao objetivo

que represente o grau de viola~ao das restri~oes. Embora aparentemente simples, esta lasse de

problemasperteneaosdenominados problemasNP-ompletos[50 ℄.

Este fator de diuldade materializa este estudo num desao gratiante do ponto de vista

inteletual emque o investigador deve enontrar meanismos queresolvam oproblema emtempo

onsiderado util, omo e geralmente pretendido na vida real. Alias, estes meanismos dever~ao

abranger um largo espetro de aplia~oes e n~ao devem ser dependentes de determinados grupos

de problemas, o que torna este estudo umduplo desao. A diuldade de onstruir um onjunto

de solu~oesque satisfaam, de algum modo, variosobjetivos onituosos entre si, altera o modo

onvenional de pesquisade solu~oesoptimase adiionaumtereirodesao.

A utiliza~ao de meanismos existentes na Natureza, ainda que simpliados, para a resolu~ao

destesproblemaseummobilinspiradoromotemadeinvestiga~ao. Estanovalassedealgoritmos,

(14)

problemasonsideradosintrataveis. Edeassinalaronumeroresentedepublia~oesquereetem

aei^enia dosalgoritmosevolutivosneste ^ambito. A adapta~aodeste meanismoao ontextodos

problemasatrasreferidosoloa oultimo desao.

1.2 Organiza~ao da Tese

Esta tese pretende adaptar os algoritmos evolutivos multiobjetivo propostos porFonsea e

Fle-ming [47 ℄ para resolu~ao de entidades reais do Problemade Afeta~ao de Reursos onde existem

varios objetivos. OstiposdeProblemas deAfeta~ao deReursos onsiderados nesteestudo

or-respondemaduasinst^aniasdoProblemadeGera~aodeHorarios,respetivamente,oProblemade

Gera~aode Horariosde Aulas(PGHA) eoProblemadeGera~ao deHorariosdeExames (PGHE).

A Universidade do Algarve foi a institui~ao esolhida para testar a metodologia proposta nesta

tese.

Com o objetivo de ontextualizar esta tese, e apresentado no Captulo 2 uma formaliza~ao

dosproblemas em estudo e uma revis~ao dos metodos utilizadospara a sua resolu~ao. O Captulo

3 sumaria ertas araterstias dos algoritmos evolutivos no ^ambito da resolu~ao desta lasse de

problemas e introduz os oneitos de optimiza~ao multiobjetivo. O Captulo 4 apresenta uma

possvel abordagem a Problemas de Afeta~ao de Reursos que apresentam objetivos multiplos

atravesdealgoritmosevolutivosmultiobjetivo. OCaptulo5partiularizaametodologiaproposta

no Captulo anterior para resolu~ao do PGHE e PGHA existentena Universidadedo Algarve. O

Captulo 6 desreve o proedimento estatstio utilizado e os resultados obtidos. Finalmente, o

Captulo7 delineiaasonlus~oesnaise perspetivasfuturas.

1.3 Contribui~oes

Oobjetivoprinipaldesteestudoeaaplia~aodealgoritmosevolutivosmultiobjetivoaProblemas

deAfeta~aodeReursos,partiularmentenagera~aodehorariosdeaulasedeexamesondeexistem

multiplosobjetivos. Contribui~oesoriginais neste estudo inluem:

revis~ao bibliograade metodos de optimiza~ao para resolu~ao de Problemade Gera~ao de

(15)

ada emrepresenta~ao direta dassolu~oese num novooperadorde muta~ao;

arateriza~ao dodesempenhodosalgoritmosevolutivosimplementadossimultaneamenteem

termos detempo eusto, ombase emfun~oesde aproveitamento;

ompara~ao do desempenhodos varios algoritmosevolutivosimplementadosatraves de

pro-edimentos de testesfehados parahipotesesformuladassobre fun~oesde aproveitamento;

Os algoritmos propostos foram utilizados para gera~ao de alendarios de exames em uso na

Universidade do Algarve, respetivamente na Unidade de Ci^enias Exatas e Humanas no ano

(16)

Elabora~ao de Horarios: Um

Problema de Afeta~ao de Reursos

2.1 Introdu~ao

UmProblemade Afeta~ao de Reursos apresenta a seguintedeni~ao[31 ℄:

Um Problema de Afeta~ao de Reursos e denido por um onjunto de tarefas T

onde ada tarefa e um intervalo numa linha real, um onjunto de reursos R , e um

mapeamento deada tarefa t

i

2T a um onjunto r

i

R que espeia os reursos que

podem ser utilizados para exeutar a tarefa. O problema e enontrar uma afeta~ao do

reurso para ada tarefa tal que o reurso afeto pertena ao onjunto de reursos da

tarefa e quea duas tarefas em sobreposi~ao n~aoseja afeto o mesmo reurso.

Num PGHA,omo exemplode umainst^ania realde umProblemade Afeta~ao de Reursos,

pretende-seafetar umonjunto de salase umonjunto de intervalos de tempoa um onjunto de

aulas, evitando a oorr^enia de aulas sobrepostas na mesma sala ou de aulas sobrepostas para o

mesmoestudante. Um outroexemplodeProblemadeAfeta~ao de ReursosrealeoProblemade

Afeta~ao de Frequ^enias, ujoobjetivo e afetar frequ^enias deradioa umdeterminado numero

de transmissores sob determinadas restri~oes, omo mnima interfer^enia [22℄. A afeta~ao

repre-senta~oes a estadosno Problemade Afeta~ao deEstados e tambem uma inst^ania do Problema

(17)

estado om um determinada ondi~ao de entrada, ou que estejam na mesma parti~ao para uma

dadasada [2 ℄.

Este estudo entra-se nasinst^aniasdo PGHE e PGHA do Problemade Gera~ao de Horarios,

omoexemplode ProblemadeAfeta~ao deReursos. Outras inst^aniasdo Problemade Gera~ao

de Horarios inluem o Problema de Gera~ao de Horarios de Turnos de Empregados [74 ℄, [78 ℄,

o Problema de Gera~ao de Horarios para Competi~oes Desportivas [101 ℄, [105℄ e o Problema de

Gera~ao deHorarios deTransportesPublios[80 ℄, [109 ℄.

Esta areade investiga~ao, desdea suaformaliza~ao at ao desenvolvimento de metodologias de

resolu~ao,temsidoestudadapelasomunidadesientasdeInvestiga~aoOperaional,Intelig^enia

ArtiialeComputa~aoetemreebidoumgrandeaolhimentoporpartedeumelevadonumerode

investigadores, oque omprovado pelas tr^es onfer^eniasinternaionaissobre gera~ao automatia

de horarios [13 ℄,[15℄,[16℄, realizadasdesde 1996.

A se~ao 2.2 tem por objetivo apresentar uma formaliza~ao do Problema de Afeta~ao de

Reursos e dassuas inst^aniasqueest~ao no ambito^ deste estudo, ou seja, o Problemade Gera~ao

de Horarios de Aulas e o Problema de Gera~ao de Horarios de Exames. Uma perspetiva sobre

as restri~oes e alguns aspetos sobre a omplexidade deste tipo de problemas sera delineada nas

se~oes2.3e2.4. Finalmente seraapresentadoumarevis~aodasabordagensatualmenteutilizadas

pararesolu~ao dosproblemas atrasreferidosna se~ao 2.5.

2.2 Formaliza~ao

Um Problema Geral de Afeta~ao de Reursos [38 ℄, admitindo a exist^enia de m reursos que

devemserafetosanitensesujeitosarrestri~oes,podeserformalizadopelasseguintesexpress~oes,

supondoumproblemade minimiza~ao:

MinF(x) Sujeito a: G R (x)60; 16R6r x2X(a)

(18)

X(a)=fx: X j2Ji x ij =a i g 16i6n a=[ a 1 ;a 2 ;:::;a n ℄ T a i >1

e ondeasvariaveis dedeis~ao x

ij s~ao denidaspor x ij =

1 seo itemiestiverafeto ao reursoj

0 asoontrario

16i6n; j2J

i ;

e J

i

f 1;2;:::;mg e o onjunto de reursosdisponveispara oitem i.

Nesta formaliza~ao observa{se uma hierarquia de import^ania das restri~oes, distinguindo-se

entre as denominadas restri~oes hard e restri~oes soft. As restri~oes hard s~ao restri~oes que t^em

de ser obrigatoriamente satisfeitas. Neste sentido, uma restri~ao hard n~ao satisfeita implia a

inadmissibilidadedasolu~ao. Poroutrolado,asviola~oesdasrestri~oessoftdevemserminimizadas,

istoe, o seu grau de viola~ao representa a qualidade da solu~ao. Nesta formaliza~ao as restri~oes

hard s~aorepresentadas porG

R

(x)e asrestri~oessoft por F(x).

A situa~ao ideal seria a satisfa~ao total de todas as restri~oes. Contudo, em problemas

exes-sivamente restringidos, poder~ao n~ao existir sequer solu~oes admissveis. Neste aso, e neessario

reorreraorelaxamentodasrestri~oes,obtendoumaatribui~aodereursosaositensquerepresente

a maiorproximidade dooptimo,em queesta proximidadepodeser denidasobvariasformas.

Muitosproblemasombinatoriospodemseronsideradosomoinst^aniasdoProblemade

Afe-ta~ao de Reursos. Considerando, por exemplo, o problema de olora~ao de grafos [83 ℄, denido

omoumgrafoG=(V;E);uminteirokeummapeamento:V !f 1;2;:::;kgtalquese[v;u℄2E

ent~ao (v)6=(u), osvertiespodemseronsiderados omo itense asores omo reursos.

OutroexemplotpiodeProblemadeAfeta~aodeReursoseoProblemaGera~aodeHorarios.

Um Horario (E;T;L) numa Institui~ao de Ensinoe denidoporum mapeamento t:E !T L;

ondeE = f e 1 ;e 2 ;:::;e n ge umonjunto de eventos, T = f t 1 ;t 2 ;:::;t l ge umonjunto de intervalos detempoeL=f l 1 ;l 2 ;:::;l m

geumonjuntodeloaliza~oes. UmProblemadeGera~aodeHorarios

(E;T;L;f) para uma Institui~ao de Ensinoe a tarefa de enontrar um mapeamento optimo t

opt ,

emque a fun~aode usto f :H ! R

+

,onde8t2H :f(t

opt

)6f(t)e H e oonjunto de horarios

denidos em (E;T;L). Os elementos de E s~ao itens e os elementos de T e L s~ao onsiderados

(19)

OPGHAonsistenaafeta~aodeumonjuntodeperodoseumonjuntodesalasaumonjuntode

aulas,evitando aviola~ao de umdeterminadoonjunto derestri~oes. Estasrestri~oess~ao violadas

se, porexemplo, omesmo estudante tiverque frequentar duasou maisaulassimultaneamente.

Considerando um PGHA a luz do modelo denido anteriormente obtem-se uma formaliza~ao

simpliada: Min x2X(1) P(x)=F(x) Sujeito a: V 1 (x)60 V 2 (x)60 emque F(x)= n X i=1 X j2J i ij x ij V 1 (x)= m X j=1 X (i;k)2 j x ij x kj V 2 (x)= m X j=1 X (p;q)2 l x pj x qj onde ij =

1 sea aula iainiiara j n~ao onstardas prefer^eniasdo doente

0 aso ontrario

j

=f(i;k): aulasie k que oorrem na mesmaturma eno tempojg

j

=f(p;q): aulaspe q que oorrem na mesmasala e no tempojg

A fun~ao P(x) representa a minimiza~ao das viola~oes das prefer^enias dos doentes (F(x));

sujeita a n~ao sobreposi~ao temporal entre aulas da mesma turma (V

1

(x)), e a n~ao sobreposi~ao

temporalde afeta~oes de salas(V

2 (x)).

Estaformaliza~aoe umasimplia~aodoqueaonteeemasosreaisnasinstitui~oesdeensino

(20)

almoo e numero maximo de horas de leiona~ao por dia. Na formaliza~ao de um PGHA numa

esolaseundariadetamanhomedioatravesdeprograma~aon~ao-linearbinaria,PatoeCarraso[85 ℄

deduziramqueserianeessariodeniraproximadamente200milvariaveis,tornandoaformaliza~ao

demasiadoextensa.

A maioria da literaturalidaom umPGHA om diferentesaraterstias do que aontee na

realidadeemPortugal. Noutrospases,omo oReinoUnido,osestudantes doensinosuperiort^em

maiorexibilidadena esolha dasdisiplinasquepretendem. Porisso, umdosobjetivosque

pre-oupaquemsedediaaelabora~aodehorariosdeaulasnasinstitui~oesdeensinosuperioretentar

assegurar que as aulas frequentadas por ada estudante n~ao estejam sobrepostas. Em Portugal,

omoosestudantesest~aoafetosaturmasomurruloxo,estasquest~oess~aooloadasdeoutro

modo. Pretende-se, assim,assegurar an~ao sobreposi~aode aulasdamesma turmae deturmas de

anos onseutivos, tentando reduzir o numero de estudantes que tenham aulas sobrepostas.

Na-turalmente,os alunosommaiornumerode disiplinasatrasadas de anos anteriores ser~ao osmais

prejudiados.

2.2.2 Problema de Gera~ao de Horarios de Exames

Segundo Carter [20 ℄, um PGHE onsiste numa afeta~ao de um numero xo de perodos a um

onjunto de exames tal que nenhum estudante realize mais do que um exame ao mesmo tempo.

UmPGHE simpliadopode ser seguidamente formalizado por:

Min x2X(1) P(x)=F(x) Sujeito a: V 1 (x)60 emque F(x)= n X i=1 X j2Ji ij x ij V 1 (x)= m X j=1 X (i;k)2 j x ij x kj

(21)

ij

=

1 seo exame iainiiara j n~ao onstardas prefer^eniasdo doente

0 asoontrario

j

=f(i;k): exames ie k que oorrem na mesmaturma eno tempo jg

Assim, a fun~ao P(x) orresponde a minimiza~ao das viola~oes as prefer^enias dos doentes

(F(x)), sujeitaa n~ao sobreposi~aotemporal de exames na mesma turma(V

1

(x)). Neste problema

n~aoseonsideraamara~aode salas,omonoPGHA,poisnormalmenteestaafeta~aoerealizada

posteriormente. Outra formula~ao alternativae apresentada porBullnheimer,[8℄ que prop~oe uma

fun~aoobjetivoquemaximizaotempodeestudodoestudanteombasenummodelodeafeta~ao

quadratia.

Tal omo no problemaanterior, esta formaliza~ao lidaom restri~oes simples que n~ao

orres-pondema realidadedaelabora~ao de exames numa institui~ao de ensinosuperior.

Como ja se tinha veriado nos PGHAs, os PGHEs no ensino superior portugu^es reorrem

normalmenteao mesmo oneito deturmas.

2.3 Restri~oes

Os Problemasde Gera~ao de Horarios reaiss~ao umaso tpio de problemasom diferentestipos

de restri~oes. Chenget al. [24 ℄ apresentaram20 restri~oesnumPGHA, dasquaisserealam:

N~aoepossvelmarar maisdo queuma aulaao mesmotempo parao mesmoaluno;

N~aoepossvelmarar maisdo queuma aulaao mesmotempo parao mesmodoente;

Assalas de aulat^em de apresentarapaidade igualou superiorao numerode alunos aque

est~ao afetas;

As salas de aula n~ao podem ser maradas em intervalos de tempo reservados para outras

atividades;

Asaulasn~ao podemser maradas quando osdoentes n~ao est~ao disponveis;

Eventos da mesma disiplinaque oorrem mais do que uma vez porsemana, devem oorrer

(22)

Num inquerito realizado as universidades no Reino Unido sobre o proesso de elabora~ao de

horarios de exames, elaborado por Burke et al. [14 ℄, foi possvel apurar 32 restri~oes diferentes,

demonstrandoaomplexidadedestetipodeproblemas. Asrestri~oesmaisonsideradasnoproesso

de gera~ao de examesforam asseguintes, porordemderesentede import^ania:

N~ao devem existirmais estudantesdo quelugares disponveisna sala atribuda;

Exames omquest~oesem omumdevemser marados no mesmoperodo;

Certos exames devem sermarados numdeterminadoonjunto deperodos;

Soexamesomamesmadura~aoequepodemsermaradossimultaneamentenamesmasala;

Osexames om maiornumerode estudantes devem sermarados maisedo;

Certos exames so podemoorrerem determinadassalas;

Deve ser dadaprefer^enia a mara~ao emsalasde grande apaidade;

Determinadoexamedeveser maradoantes de outroom determinadaanteed^enia.

Corne et al. [28 ℄ apresentaram uma lassia~ao das restri~oes em Problemas de Gera~ao de

Horarios. Segundo estesautores, asrestri~oespodem ser:

unarias,queenvolvemumsoeventoepodemtomaraformadeexep~oesoudeespeia~oes;

binarias, que envolvem dois eventos e podem ser restri~oes de aresta quando se referem a

sobreposi~ao temporal ouespaialde doiseventos, ou dejusta-posi~aoquando sedeneuma

determinadaordeme/ou intervalode tempoentreeventos;

deapaidade, quesereferea oupa~aomaxima dosreursosafetos aoseventos;

dedispers~ao,quesereferea dispers~ao temporale/ouespaialdos eventos;

de agentes, que podem ser denidas de aordo om as prefer^enias do agente ou om a sua

(23)

Antesdeabordarometododesolu~aodoproblema,eutilompreenderadiuldadeemresolv^e-lo.

Muitosdosproblemasombinatorios,talomooProblemadeGera~aodeHorarios,s~aoonsiderados

problemas NP-ompletos [50℄, que signia que n~ao podem ser resolvidos em tempo polinomial.

Cooper e Kingston [26 ℄ demonstraram que o PGHA e, na realidade, onstitudo por varios

sub-problemasNP-ompletos, respetivamente, K Colora~ao de Grafos, BinPaking, Exat Cover By

3-Sets e3 Dimensional Mathing.

Reentemente, alguns investigadores t^em tentado estudar a diuldade de resolu~ao de

pro-blemas ombinatorios om base em fenomenos de transi~ao de fase, em alternativa aos metodos

lassiosde omplexidadeomputaional. A transi~ao de fase resulta de umaanalogia om

deter-minados fenomenos fsios, e oorre algures entre um problema om pouas restri~oes e de fail

resolu~aoeumproblemaomumnumerodeelevadoderestri~oes,ujainsolubilidadeefailde

de-terminar,omodesritoporCheesemanetal. [23 ℄. GenteWalsh[52 ℄observaramoomportamento

dedeterminadasheurstiasparaestudara transi~ao defaseemproblemasda vidareal. Estes

au-toresobservaramqueosPGHEsmaisdifeisde resolversurgiamtanto naregi~ao deinsolubilidade

omona regi~aoom pouasrestri~oes, sem retirargrandesonlus~oesdasobserva~oes.

Ross et al. [89 ℄ [90 ℄ implementaramalgoritmosevolutivose algoritmosde arrefeimento

simu-lado emPGHE aleatorios soluveis para loalizar a transi~ao de fase, variandoa homogeneidade e

onetividadedosproblemas. Estesautores detetaramvariasregi~oes de transi~ao de faseemque

osalgoritmosutilizadosapresentaramumdesempenhodistinto. Reentemente,Erben[35 ℄detetou

asmesmasregi~oes de transi~ao de faseatravesde umalgoritmo genetio deagrupamento.

O estudo da transi~ao de fase, embora em estado embrionario e prinipalmente apliado a

problemas aleatorios, tem sido fortemente investigado e podera trazer algumas ontribui~oes

im-portantes, tanto parao entendimento da diuldade dosproblemas omo para implementa~ao de

metodos de resolu~ao maisapropriados.

2.5 Tenias de Resolu~ao do Problema de Gera~ao de Horarios

Aabundante literaturadeestudossobreoProblemade Gera~ao deHorariostem demonstradoque

(24)

de publia~oes, o que torna bastante difil a extra~ao dos maros mais importantes em ada

metodologia. Neste estudo foi realizada a revis~ao da aplia~ao de abordagens de investiga~ao

operaional, programa~ao om restri~oes e meta-heurstias, pois aredita-se que este e um dos

modos de lassia~ao de algoritmos mais difundido neste tipo de problemas. Maior ^enfase sera

oloadonaaplia~aodealgoritmosevolutivosnoCaptuloseguintepoisfoiametodologiaesolhida

paraabordar osproblemasemestudo.

2.5.1 Abordagens de Investiga~ao Operaional

Umadas areas de maiordimens~aona Investiga~ao Operaionale a programa~ao matematia,que

onsistenumonjuntodeteoriasemetodosapliadosaproblemasdedetermina~aodeextremosde

fun~oes de variaveis reais ou inteiras, sujeitas a restri~oes lineares e n~ao lineares. Estas restri~oes

s~ao representadas sob a forma de equa~oes e desigualdades. A programa~ao linear onsidera a

linearidade das restri~oes e utiliza o metodo simplex. Contudo, este metodo apresenta tempo

exponenialnopioraso. Umaextens~aoaprograma~aolineareaprograma~aointeiraemqueuma

restri~aoadiionaldene queasvariaveis do modelo sejaminteiras.

Nos Problemas de Gera~ao de Horarios, a formaliza~ao apresentada pela omunidade de

In-vestiga~ao Operaionaltem sidobaseada em programa~ao linear binariae em grafos. No entanto,

os metodos de resolu~ao baseados em tenias tradiionais de Investiga~ao Operaionalt^em sido

pouoapliadosdevido a omplexidadedos problemas emestudo [85 ℄. Asabordagens baseiam-se

na deomposi~ao do problemaem variossub-problemas menos omplexos e na implementa~ao de

heurstiasutilizadasemproblemasde grafos.

Werra [33 ℄ sugere que os Problemas de Gera~ao de Horarios sejam formalizados omo grafos

e resolvidos por heurstias assoiadas a problemas de uxo de redes. A ada aro e atribudo

um limite inferiore superior, que e modiadodurante a resolu~ao. O problemae resolvido pela

sua divis~ao em varios sub-problemas de uxo maximo, um por ada perodo. Kiaer e Teller [68 ℄

prop~oem uma heurstia de olora~ao de verties para problemas de PGHAs em que os verties

s~ao oloridos de aordo om a regra de olora~ao do vertie mais difil em primeiro lugar. Esta

diuldadee determinada om base numa fun~ao que tem em onta os ustos assoiados a ada

vertie,asomadaspondera~oesdosaros adjaentesaadavertieeaorjautilizadanumvertie

(25)

om um algoritmo de baktraking para resolver PGHEs aleatorios e reais, om base numa

for-maliza~ao em grafos. As regras algortmias de ordena~ao onsideradas para esolha da proxima

mara~ao foramas seguintes:

Maiorgrau, orrespondendoao maior numerode examesem onito;

Graudesatura~ao, orrespondendoao numerode perodosemonito;

Maiorgrau ponderado,orrespondendo ao numerode estudantesem onito;

Maiornumerodeinsri~oespara adaexame;

Ordena~ao aleatoria;

Estes autoresobservaram quea regra de ordena~ao porgrau de satura~ao em onjunto om o

algoritmode baktraking foi amaisfavoravel.

2.5.2 Progama~ao de Restri~oes

APrograma~aode Restri~oese umaferramenta quelidaomproblemade satisfa~ao derestri~oes.

Seguindoumertoparalelismoomaareade Investiga~ao Operaional,abordaigualmente

proble-mas de esalonamento e de afeta~ao de reursos e outrosproblemas ombinatorios. Emboraesta

areasejaprovenienteda areada Intelig^enia Artiial,assuas fronteirast^em vindoaalargarpara

umainterliga~ao omertos aspetos da areade Investiga~ao Operaional[59 ℄.

Um problema de satisfa~ao de restri~oes e denido sobre um onjunto de variaveis X =

fx 1 ;:::;x n g , em que ada x i

toma valores num dado domnio. Assoiado ao problema existe um

onjunto derestri~oesqueondiionam osvalores queasvariaveispodemtomarsimultaneamente.

Uma solu~ao para um problemade satisfa~ao de restri~oes onsiste numa afeta~ao de um valor

do domnio a ada variavel, tal que a restri~ao seja satisfeita [102℄. As solu~oes de problemas de

satisfa~ao de restri~oes s~ao usualmente obtidas por metodos de pesquisa sistematia, atraves de

afeta~ao de valoresdo domnioas variaveis omo reursoa heurstias.

Umadasvantagens deste metodo emrela~aoasabordagenslassiasdeInvestiga~ao

Operaio-nalresidenarepresenta~ao,poisasvariaveisdeumproblemadesatisfa~ao derestri~oes

(26)

deformaliza~aoresultanumamaiorexibilidadenamanipula~aodasvariaveisefailitao

desenvol-vimentorapidoeeientedomeanismodepesquisapararesolu~aodeproblemas. Paraalemdisso,

osalgoritmosderesolu~aodestetipodeproblemasapresentam,muitasvezes,umdesempenhomais

rapido doque e veriadoom osmetodosde programa~ao linear [94℄.

Aprograma~aologiaderestri~oesonsistenaintegra~aodosmetodosdesenvolvidosna

progra-ma~aode restri~oesomaprograma~ao logia,dandoorigemaumalinguagemomaexibilidade

neessaria para o utilizador representar o problema. Um programa onsiste num onjunto de

lausulas que ont^em restri~oes delaradas a alto nvel. Este metodo foi abordado por Gueret et

al. [54 ℄ pararesolver um PGHE om o reurso ao CHIP (Constraint Handling InProlog). Nesta

aplia~ao, a redu~ao do domnioe efetuada om base em tenias lassias de onsist^enia e de

algoritmos de ltragem. Neste problema foi tambem utilizada a restri~ao umulativa

implemen-tadano CHIP que assegura que,a ada instante i, a quantidadeonsumidade reursosn~ao deve

exeder um determinado limite. Estes autores, ontudo, reportaram a neessidade de

implemen-tarummeanismo eientede relaxamento de restri~oesnaslinguagensde programa~ao logia de

restri~oes.

Outras alternativasde linguagensde programa~ao de restri~oess~ao oElipsee Oz. Panagiotis

et al. [96 ℄ implementaramo sistema ACTS(Automati Course TimetablingSystem) num PGHA

ombasenoElipseombinadoomheurstiasquemimiamasesolhasefetuadasmanualmente

pelos responsaveis pela elabora~ao de horarios. Henz e Wurts [63 ℄ implementarama resolu~ao de

umPGHA atraves de Oznumolegio alem~ao. Segundoestes autores, Ozapresenta vantagens em

rela~ao a outros modelos pois permite o desenvolvimento de novas tenias de pesquisa. Neste

problema,o proesso de optimiza~ao baseou-se norst-fail e branh-and-bound.

Reentementetemhavidoalguminteressenaombina~aodemetodosutilizadosnaprograma~ao

derestri~oesom meta-heurstias. White eZhang[107℄implementarammetodosde satisfa~ao de

restri~oes para riar solu~oes iniiais para uma Pesquisa Tabu. Estes autores observaram que a

utiliza~aosequenialdestes doismetodos foimaiseientedo quesoom osmetodosde satisfa~ao

de restri~oes emais rapido doque veriado so omPesquisaTabu.

A programa~ao de restri~oes e a metodologia que esta a ser mais intensivamente apliada a

estetipode problemas,omoseveriapelonumerode omunia~oesnaultima onfer^enia sobre

(27)

mo-dissemina~ao.

2.5.3 Meta-heurstias

Meta-heurstias s~ao algoritmos que s~ao guiados pormetodos de usogeral paraproduzirsolu~oes

de boa qualidade. Reentemente, tem-se assistido a signiativos avanos no desenho de

meta-heurstias para resolu~ao de problemas ombinatorios. Nesta famlia de tenias inluem-se os

Algoritmosde Arrefeimento Simulado,Algoritmosde PesquisaTabu, Redes Neuronaise

Algorit-mos Genetios.

Neste estudo sera apresentada uma revis~ao de meta-heurstias em Problemas de Gera~ao de

Horariosondesera dadomaiorenfase^ aosAlgoritmosde ArrefeimentoSimulado,PesquisaTabue

AlgoritmosEvolutivos, poiss~aoosmetodosque t^em sidomais utilizados.

Algoritmo de Arrefeimento Simulado

Onomedestealgoritmo resultada analogiaomasimula~aodoarrefeimento de solidos.

Normal-mente, este proedimento permite o movimento parasolu~oes de vizinhana, piores que a atual,

om base numa probabilidade maior que zero, permitindo que se esape de mnimos loais. A

temperaturae o par^ametroque ontrolaa probabilidadede aeita~ao de uma transi~ao para uma

solu~aoinferior. Estepar^ametrodereseaposumdadonumerodeN itera~oessen~aofor

enontra-damelhor solu~ao. Quandodereserate umdadolimite,o proedimentoparae amelhorsolu~ao

enontrada e forneida.

Thompson e Dowsland [100 ℄ e Dowsland [34 ℄ apresentaram varias variantes do Algoritmo de

Arrefeimento Simulado para resolu~ao de PGHEs numa perspetiva multiobjetivo. O problema

e denido omo um Problemade Colora~ao de Grafos em que ada vertie representa umexame

quedeve serafeto a umintervalo de tempo, ouseja, a uma or. Cadaaresta desreve umparde

examesquen~aopodemoorrersimultaneamente. Umaolora~aoadmissveldografoe aolora~ao

em que nenhum par de verties adjaentes apresenta a mesma or. O proesso de optimiza~ao

e dividido em multiplas fases, uja primeira ria uma solu~ao admissvel enquanto que as fases

(28)

O Algoritmo de Pesquisa Tabu e um proedimento iterativo que se iniia om uma solu~ao e se

movimenta peloespao de pesquisa a prourade uma solu~ao optima. A ada itera~ao e denida

uma vizinhana, ou onjuntos de movimentos, que e apliada a uma dada solu~ao para produzir

uma outra. Para desenorajar a possibilidade de obter uniamente um optimo loal e prevenir

a visita a solu~oes ja anteriormente visitadas, um erto numero de movimentos s~ao onsiderados

proibidos,denominados movimentos tabu. Este onjunto de movimentos no espao de pesquisae

determinadoporumaou maisondi~oesee baseado numhistorioda sequ^enia de movimentos.

Na aplia~aodoAlgoritmo dePesquisaTabuenaturaldistinguirentredoistiposde fun~oesde

memoria, i. e., fun~oes dememoria deurto e de longoprazo. A primeira onsistenuma memoria

dosmovimentosmaisreenteselaboradospeloproedimento,prevenindoavisitadamesmasolu~ao.

A fun~ao de memoria de longo prazo e uma fun~ao que se baseia na frequ^enia de solu~oes ja

visitadaspara prevenirilos de longo termo. Contudo, a esolha destes par^ametros depende das

araterstiasdo problema.

Reentemente, Gaspero e Shaerf [51 ℄ testaram as apaidades do Algoritmo de Pesquisa

Ta-bu para resolver um PGHE. O algoritmo apresentado ombina algumas no~oes do problema de

olora~ao de grafos. A vizinhana e denidaom base na mudana da or de um dos nos. Para

identiaros melhores movimentos em ada itera~ao e mantida uma lista que ontem os nosque

est~ao envolvidos empelo menosuma viola~ao. Os autores implementaramtambem outra lista de

menores dimens~oes que guarda os nos que est~ao envolvidos em viola~oes de restri~oes mais

im-portantes. Nos diversos estadios da pesquisa, os nos s~ao seleionados om base numa pesquisa

exaustiva dasduaslistas.

White e Xie [108℄ apresentaram um Algoritmo de Pesquisa Tabu om quatro fases e om

memoria de longo prazo para resolver um PGHE. A primeira fase estima os exames que

apre-sentaram maior mobilidadee gera uma solu~ao iniial om base numa heurstia de bin paking.

Esta solu~ao soe avaliada em termos de onitos de primeira ordem. Se for admissvel, sera

on-siderada solu~ao iniial para o Algoritmo de Pesquisa Tabu, aso ontrario, o intervalo de tempo

sera alargado. As omponentes da fun~ao objetivo relativas aos onitos de menor ordem s~ao

adiionados nas fases posteriores ate se obter uma solu~ao que minimize simultaneamente todos

(29)

de tempo. Estes autores observaram que a utiliza~ao de memoria de longo prazo ombinada om

memoria de urto prazoforneia melhoresresultados.

Algoritmos Evolutivos

Osalgoritmos evolutivoss~aometodosque sebaseiam na pesquisade uma solu~ao ombase numa

itera~aoontnuasobreumapopula~aodesolu~oesiniiais. Estaitera~aotemaformadeoperadores

genetios, das quaissedestaam o ruzamento, muta~ao e sele~ao.

Esta metodologia foi a esolhida para a resolu~ao do problema em estudo. O fato de lidar

om umapopula~ao de solu~oes torna-oum andidatointeressantea abordagemde problemas de

optimiza~ao multiobjetivo. No aptuloseguintesera apresentadaumarevis~aodasaraterstias

prinipaisdos algoritmos evolutivos assim omo da sua apliabilidadena resolu~ao de Problemas

(30)

Algoritmos Evolutivos

3.1 Introdu~ao

Osalgoritmo evolutivoss~ao umlassede algoritmosdosquaisfazem parte osalgoritmogenetios,

estrategiasevolutivas, programa~ao evolutivae programa~ao genetia. O omum entreestes

algo-ritmose a analogia om meanismos existentes na Natureza tais omo o oneito de reprodu~ao,

ompeti~ao,varia~ao aleatoria esele~ao de indivduosde umapopula~ao [40 ℄.

Deuma forma geral, osalgoritmosevolutivos podemser denidosomo umproesso oletivo

de aprendizagem de um onjunto de indivduos que formam uma popula~ao. Cada indivduo

representa, ou odia, um determinado ponto no espao de solu~oes para a resolu~ao de um

problema. Paraavaliar estesindivduosno ambiente emque est~ao inseridos,e neessario

atribuir-lhesumdeterminado valorde aptid~ao. Combase nestevalor,e efetuadoumproesso de sele~ao

quefavoreeosmelhoresindivduos. Estesestar~ao sujeitosa proessosaleatorios,omo amuta~ao

eoruzamento,paraproduzirdesendentes. Estesultimoss~aoinseridosnapopula~aodandoinio

a gera~ao seguinte.

Uma das areas de aplia~ao desta metodologia e a optimiza~ao. A metodologia da evolu~ao

fornee inspira~ao parao desenvolvimento de algoritmospararesolverproblemasonsiderados

in-trataveis. Ostiposdeproblemasnormalmenteabordadospelosalgoritmosevolutivoss~aoproblemas

desontnuos, n~ao-difereniaveis, multimodais ou ruidosos, poise onde o desempenhodesta

meto-dologiaprevalee sobre ode outras.

(31)

se~ao 3.2 abordara os metodos de representa~ao utilizadosnesta lasse de problemas e a se~ao

3.3abordaraalgunsaspetos sobrea avalia~aoe atribui~ao deaptid~ao. Os operadoresdesele~ao,

muta~aoe reombina~ao ser~aoreferidos, respetivamente, nasse~oes3.4,3.5 e3.6. Omodoomo

asrestri~oes t^em sido abordadas nesta lasse de problemas sera referido na se~ao 3.7 e os varios

modelosde popula~aoesuainiiliza~aoser~aoabordadosnase~ao 3.8. Ase~ao 3.9efetuara uma

apresenta~ao dos oneitos de optimiza~ao multiobjetivo e do modo omo esta quest~ao tem sido

tratadaporalgoritmosevolutivosmultiobjetivoeomoosproblemasemestudot^emsidoabordados

de uma perspetiva multiobjetivo. Finalmente, a se~ao 3.10 delineara algunsomentarios nais

sobre ametodologia evolutivapararesolver osproblemasabordadosneste estudo.

3.2 Representa~ao

A primeira quest~ao que se levanta quando se pretende resolver um problema de uma

perspeti-va omputaional e omo representar o problema. Os diferentes algoritmos evolutivos utilizam

diferentes tipos de representa~ao. Nos algoritmos genetios, as variaveis de deis~ao s~ao muitas

vezesodiadasomoumaadeia dearateresbinarios. Asestrategiasevolutivase programa~ao

evolutiva utilizam, sobretudo, variaveis de deis~ao de valores reais para alem de um onjunto de

par^ametros deestrategia. Na programa~ao genetia, a solu~aoe representadaporumaarvoreque

orrespondeaumbloodeodigoquerepresentaumalgoritmoparadesempenharumadeterminada

tarefa.

Contudo,existemalgumaspropostasderepresenta~oesmaisespeasparadeterminadas

las-sesdeproblemas. Problemasombinatoriost^emsidorepresentadosomoumvetor deinteirosem

queadaelementodovetorrepresentaumnodoproblema.

Eneessario,ontudo,terumuidado

espeial quando se pretende, por exemplo, om permuta~ao de elementos, em que ada elemento

so pode oorrerumasovez,omo severianas abordagens aoproblemado aixeiro viajante.

A grandepropor~ao dasimplementa~oesde algoritmosevolutivospararesolu~ao deProblemas

de Gera~ao de Horarios baseiam-se em representa~oes que se podem distinguir entre diretas e

indiretas. Na representa~aodiretaadageneorrespondeaumevento aoqualeafetoumtempo

iniialpertenente ao onjunto de temposiniiaisdisponveisparaesse evento. Por outrolado,na

(32)

Burke et al. [9 ℄[10 ℄ realarama utiliza~aode representa~oes diretasem problemasde PGHE,

assim omo Ross et al. [86 ℄[87 ℄ em Problemas de Gera~ao de Horarios. Os primeiros onsideram

a gera~ao iniialde solu~oes admissveis e adiionam umtempo por adaevento que n~ao umpre

asatisfa~ao dasrestri~oes. A estrategia onsiste emapliaroperadores quepreservama satisfa~ao

de todasas restri~oesminimizando o numerode tempos extras. Os ultimos autoresonsideram a

viola~ao dasrestri~oese penalizamassolu~oesatravesde umafun~ao de penalidade.

Paehter et al. [81 ℄ apresentam um trabalho distinto dos autores anteriores. Estes autores

onsideramque oromossoma deveforneer instru~oesparaa onstru~ao de umhorario ombase

numa representa~ao indireta. O objetivo e minimizar o numero de eventos n~ao marados, que

transformamo horario numa solu~ao inadmissvel. Os autores apresentam duasalternativaspara

representa~aodoromossomanumPGHA,respetivamente,ometododepermuta~aoespao-tempo

eo metodo "oloa-pesquisa". No primeiro,o romossomae representadoporumapermuta~aode

eventosdeumamatrizemqueadaelementorepresentaautiliza~aodeumasalanumdeterminado

intervalo de tempo. O romossoma india o evento que devera ser oloado em ada elemento

dessa matriz. Se, ontudo, o evento n~ao poder ser oloado nesse intervalo de tempo, ent~ao e

redireionado para outro intervalo. Esta modia~ao e esrita no proprioromossoma para que

inst^aniasfuturaspossambeneiardessainforma~ao. Nometodo"oloa-pesquisa",oromossoma

eonstitudoporvariosgenes orrespondentesaadaevento. Cada geneonteminforma~aosobre

oatualintervalode tempoatribudoao evento, aloaliza~ao doproximointervalode tempoaso

n~ao possa ser oloado no intervalo atual, o proximo gene a proessar e o proximo geneque n~ao

ontemeventosatribudos. Naompara~aoomumalgoritmoevolutivoonvenional,estesautores

observaram ummelhor desempenhodosmetodosporelespropostos [81℄.

Corne et al. [28 ℄ apresentaram varias alternativasde representa~oes do romossoma. A

repre-senta~ao em espaos rios em onitos apresenta o romossoma omo uma lista de eventos xos

atribudosaunidades detempo. Trata-se narealidadede umarepresenta~aodireta,emque o

es-paodeprourasetornarioemviola~oes. Aoutraabordagem,representa~aoindiretaemespaos

livresdeonitos,utilizaoalgoritmo genetio parapesquisaroespao de permuta~oesdeeventos.

Comoreursoa umaheurstia,oseventoss~ao atribudos aointervalode tempomaisreentesem

violarnenhumarestri~ao. A tereiraabordagem, representa~ao deespaosomonitosdispersos,

(33)

Corneetal. [30 ℄ondeserealizouumaompara~aoaprofundadadasduasrepresenta~oes. Contudo,

omoe realadoporHart eCorne[62 ℄, estadisuss~aosobre amelhorrepresenta~aoainda estapor

serestudada maisonvenientemente.

3.3 Avalia~ao e Atribui~ao de Aptid~ao

Num problema de optimiza~ao existe uma fun~ao objetivo que avalia a solu~ao no ontexto do

problema. Nosalgoritmosevolutivosoresultadodaavalia~ao,ouustodasolu~ao,emapeadonum

valorde aptid~aoque disriminaaqualidade dassolu~oes.

Existem dois tipos de mapeamento para aptid~ao: atribui~ao de aptid~ao proporional e por

seria~ao[56 ℄. No primeiroaso,aaptid~aoealulada omoumafun~aolineardo ustodasolu~ao.

A desvantagem desta implementa~ao reside na distribui~ao da aptid~ao relativa pelos indivduos.

Umindivduoomumvalordeaptid~aomuitoelevadopoderapidamentedominartodaapopula~ao

atravesdo operadorde sele~ao epromover aonverg^enia prematuranumoptimo loal.

Na seria~ao, o mapeamento e efetuado pela ordena~ao das solu~oes om base no seu usto.

Os valores de aptid~ao s~ao atribudos aos indivduos de aordo om a sua posi~ao na popula~ao.

Destemodo,ao melhorindivduoesempreatribudaamesma aptid~ao,impedindoqueum

"super-indivduo"sereproduzaexessivamente e possibilitandoaafeta~ao domelhor indivduoamesma

aptid~ao numa popula~ao quase homogenea. Numa popula~ao de tamanho N, atribuindo posi~ao

zero ao melhor indivduo e posi~ao N 1 ao pior e representando a lassia~ao porr e aptid~ao

relativaporf =f(r),omapeamentolineardeaptid~aoombaseemseria~aopodeserdenidopela

seguinteexpress~ao:

f(r)=s (s 1)

2r

N 1

emques,1<s62orrespondeaaptid~aorelativadesejadaparaomelhorindviduo[45 ℄. Contudo,

nas abordagensa resolu~ao de Problemas de Gera~ao de Horarios, estes aspetos n~ao t^em tido a

import^anianeessaria.

Nesta lasse de problemas, o valor da avalia~ao e normalmente baseado no usto da viola~ao

dasrestri~oesdoproblema,omoeexemploa seguinte equa~ao utilizadaporErbeneKeppler[36 ℄

(34)

aval(f)=

1+V(f)

emquef eumasolu~ao eV(f)eumafun~aodepenalidaderepresentadapelasomaponderadado

numerode viola~oesdas restri~oes veriada emf. Burke et al. [12 ℄ implementaramuma fun~ao

de aptid~ao maisomplexa, adequadaa metodologia porelesdesenvolvida:

aval(f)= E U+ P 1 P i=0 V(p i ;p i+1 )

emqueE representaonumerodeeventos, U e onumerodeeventosquen~aoforammaradoseV e

umafun~aoque representa onumerodeviola~oesde restri~oesentredois perodosnomesmo dia.

3.4 Sele~ao

Oobjetivo prinipaldasele~ao e favoreeras melhoressolu~oes numa popula~ao deaordo om

valor de aptid~ao. Os varios operadores de sele~ao propostos na literaturapretendem dar maior

probabilidade de esolha a uma solu~ao om maior valor de aptid~ao. A diferena entre estes

operadoresreside nomodoomo asopias s~ao atribudasasmelhores solu~oes.

Assoiado a sele~ao esta o oneito de press~ao seletiva que determina a veloidadeom que

a melhor solu~ao da popula~ao iniialira dominar toda a popula~ao om aplia~oes repetidas do

operador de sele~ao [4 ℄ [58 ℄. Normalmente, e entendido omo o numero de desendentes que o

melhor indivduo onseguira obter na sele~ao. A press~ao seletiva n~ao pode ser exessivamente

elevada, pois pode promover a onverg^enia prematura devido a falta de diversidade. Um valor

ideal de press~ao seletiva e o que promove uma onverg^enia suientemente lenta, permitindo a

intera~ao entre osoperadores de ruzamento e muta~ao parapesquisaro espao de proura, mas

n~ao t~ao baixaquea pesquisasejadominada porfenomenosde derivagenetia.

Os metodos de sele~ao mais omuns s~ao o Roulette Wheel Sampling (RWS) [56 ℄, Stohasti

UniversalSampling(SUS)[5℄eoTorneio[58 ℄. Ooperadordesele~aoRWSonsistenumasequ^enia

de sele~oes independentes em que os indivduos s~ao mapeados em segmentos ontguos de uma

linha. Cada segmento do indivduoe igual em tamanho a sua aptid~ao normalizada. Um numero

(35)

desvantagens deste metodo e a oorr^enia de erros de sele~ao elevados. Visto que o numero de

desendentes devera ser inteiro, este sera neessariamente superior ou inferior ao valor desejado.

No aso do RWS, o numero atual de desendentes de a umindivduo pode ar muito longe do

valoresperado.

O operador de sele~ao SUS onsiste numa so triagem de n indivduos que est~ao mapeados

em segmentos ontguos do mesmo modo que no RWS. Contudo, neste operador, onsidera-se a

exist^enia de n ponteiros igualmenteespaados e oloados sobre os segmentos ontguos.

Consi-derando nP omo o numero de indivduosa serem seleionados, a dist^ania entre ponteiros sera

1/nP ea posi~aodo primeiroegerada aleatoriamenteentre [0,1/nP[. A vantagem deste operador

emrela~ao ao RWSe quegarante umdesvio mnimo emrela~ao aovalor desejado.

Deummodosimplista,ooperadorde sele~aoTorneioonsistenasele~aoaleatoriadeumpar

de indivduosda popula~ao que s~ao omparados entresi. Omelhor indivduoganhao torneio e e

seleionado. Nas implementa~oespratias pode existir uma maior omponenteprobabilstia. A

este operadore assoiadoumvalor aleatorio r e umdeterminado par^ametro k emque, ser<k,o

melhorindivduoeseleionado, asoontrario, opior.

Rossetal. [87 ℄foramosunios queompararamodesempenhodevariosoperadoresdesele~ao

em Problemas de Gera~ao de Horarios. Estes autores observaram que a sele~ao Torneio seria a

melhor op~ao para Problemas de Gera~ao de Horarios, seguido da sele~ao baseada em seria~ao e

dasele~ao proporionalaaptid~ao. A esolhadesteoperadortambemerealadadevidoaredu~ao

do tempo omputaionalna avalia~ao, pois so osindivduosesolhidos para Torneioe que seriam

avaliados. Contudo, osautores armam que serianeessario exeutar maissimula~oesom varios

par^ametros nosoperadores de sele~ao paraonrmarem ageneraliza~ao dosresultadosobtidos.

3.5 Muta~ao

A muta~ao e um operador que altera, om uma probabilidade ontrolada, o valor de ada

gene num romossoma de um indivduo. Algumas onlus~oes emprias foram determinadas pela

omunidade ienta sobre o papel da muta~ao.

E de realar os resultados obtidos por Fogarty

[39 ℄,queobservouumamelhorianodesempenhodo algoritmoquando aprobabilidadede muta~ao

(36)

optimaP

m

=1=L,emque Le o omprimento doromomosoma.

De um modo geral, e neessario um uidado espeial om a probabilidade de muta~ao, pois

se for muito elevada, pode impedir a onverg^enia para uma solu~ao optima, transformando-se

a pesquisas numa pesquisa aleatoria. Se for muito reduzida, pode promover uma onverg^enia

anteipada, estagnar num optimo loal e n~ao ter apaidade de explorar outras zonas do espao

de pesquisa. Reentemente, Ohoa et al. [79 ℄ determinaram umarela~ao entrea probabilidadede

muta~aodosalgoritmosevolutivoseapress~aoseletiva,ombaseno oneitodelimiteerro,usado

no estudo da evolu~ao moleular. Este oneito representa a probabilidade de muta~ao rtia

emque a estrutura obtidapeloproesso evolutivo e destruda om maiorfrequ^enia pormuta~ao

do que e reproduzida por sele~ao. Estes autores identiam, assim, uma rela~ao entre a press~ao

seletiva e aprobabilidadede muta~ao,e queseraum oneitoabordadoneste estudo.

Emproblemasemqueo romossomaerepresentadoporumapermuta~ao,eneessarioum

ui-dadoespeialomodesenhodomeanismodemuta~aoparaasseguraraadmissibilidadedasolu~ao.

Etambemneessario teremonsidera~aoqueuma simplesmuta~ao deumgenenumromossoma

podeprovoaromovimentodasolu~aoparaumpontodistantedoespaodeproura. Destemodo,

temsidonaturalqueasabordagensaosoperadoresdemuta~aofavoreamapesquisaloal. Alguns

operadoresdemuta~aoforam denidosparadeterminadosproblemasomooproblemadoaixeiro

viajante. Neste problema,e possvel tirarpartido da adja^enia entre oselementos, denindo um

algoritmo genetio om muta~ao baseada no algoritmo 2-opt, em que a ordem de uma sequ^enia

entredois pontosno romossoma e invertida. Syswerda [98 ℄ deniuvariosoperadores de muta~ao

paraproblemas de esalonamento e afeta~ao de reursos. Os operadores denidos baseiam-sena

troa de posi~oesentre dois genese na reordena~ao aleatoria de umasequ^enia da permuta~ao.

EmProblemasdeGera~aodeHorariost^emsurgidoalgumaspropostasinovadorasdeoperadores

de muta~ao. Burke et al. [9℄,na resolu~ao de umPGHA, prop~oemum operadorde muta~ao que

altereaafeta~ao do perodo esalaao examede aordoomdeterminadasprioridades. Rosset al.

[87 ℄implementaramumoperadordemuta~aodin^amioemqueaprobabilidadedemuta~aoiniiava

a0,003eaumentava0,0003emadagera~aoateaumlimitede0,02. Maistarde,osmesmosautores

[88 ℄ apresentaramumnovo tipode operadorde muta~ao queonsistenummeanismo queatribui

umamaiorprobabilidadedemuta~aoaosgenesqueapresentammaiorviola~aodasrestri~oes. Este

(37)

dovaloraatribuir,independentedaposi~aoesolhida,produziammelhoresresultados. Corneetal.

[28 ℄generalizamesteoperadorparaProblemasdeGera~aodeHorariosomrepresenta~oesdiretas

e distinguiramentre operadores de muta~ao violation-direted e event-freeing. Ambos assumema

esolhadaposi~aoparamuta~ao ombasenaquelequeapresentarmaiorviola~aonasrestri~oes. A

distin~aoresidenometodode afeta~ao dovaloraposi~ao esolhida. Amuta~ao violation-direted

atribuium intervalo de tempo aleatorio e a muta~ao event-freeing atribui umintervalo de tempo

quereduz,emmaiorgrau, aviola~ao dasrestri~oes. Ooperadorde muta~ao propostono Captulo

4 segueuma abordagem nalinhadestes autores.

3.6 Reombina~ao

A reombina~ao oorre entre pares de romossomas para troa de fragmentos de informa~ao. No

asodarepresenta~aodireta,estemeanismoeusualmenteonstitudopeloseguinteproedimento:

Doisindivduoss~ao esolhidosda popula~ao;

Umaou maisloaliza~oess~aodeterminadaspara delimitarasequ^enia paratroa;

Ossegmentoss~ao troados eombinadosparariar umparde desendentes.

Assoiadoaesteoperadorexisteumaprobabilidadedereombina~aoquedeterminaafrequ^enia

omqueesteoperadoreutilizadoporadagera~ao. Estudosempriosindiamqueestevalordevera

estaromprendidoentre 0,75e0,95 [92 ℄. Existem,ontudo,outrastenias quepermitemadaptar

este valor no deursoda exeu~ao do algoritmo genetio [32 ℄.

Oprimeiro tipode reombina~ao denidofoio ruzamento de umponto. Consistena sele~ao

de um ponto de reombina~ao e troa de segmentos ontguos que omeam ou terminam nesse

ponto. Outravariante deste operadordenominadoreombina~ao de npontosonsisteem

seleio-narnpontosparareombina~ao. Syswerda[97℄deniua reombina~aouniformeemqueadeis~ao

de troar ada posi~ao do romossoma e efetuada probabilistiamente em ada posi~ao do

ro-mossoma. Booker [7 ℄ implementou a reombina~ao redued-surrogate, que restringe os pontos de

reombina~ao aos loais onde os genes dos romossomas dos indivduosseleionados apresentam

(38)

mente antesdesersubmetidoareombina~aodeumounpontos. Depoisdeapliareste operador,

o romossomaregressa aordemoriginal.

Embora a maioriadasimplementa~oes de algoritmosevolutivos apliadosa Problemas de

Ge-ra~ao de Horarios apresentem operadores de reombina~ao onvenionais, algumas variantes

de-mostraram suesso em algunsasos. Corneet al. [28 ℄ apresentaram ummetodo de reombina~ao

que utiliza a informa~ao do grau de viola~ao das restri~oes. Dada a sele~ao de dois indivduos,

onsideram-seosvaloresmaxv e minvquerepresentamo maximoeo mnimodograude viola~ao

veriadosemada umdeles. Paraadaevento i,alula-se a probabilidadep

i em que p i = v i minv 1+maxv minv e em que p i

representa o numero de viola~oes no evento i. O gene i do desendente e afeto ao

geneido paiom probabilidadep

i 1.

Num PGHE, Burke et al. [11 ℄ estudaram varios tipos de operadores de reombina~ao para

repesenta~oes diretasem que aadmissibilidadedos desendentese mantida porumalgoritmo de

sele~ao dosexamesque ir~aosertroados. Osautores implementaramvariosmetodosdesele~ao,

respetivamente, sele~ao aleatoria, baseada em heurstias de olora~ao de grafos, heurstias

es-peas e ombina~ao de heurstias. Foi observado que este ultimometodo apresentava melhor

desempenho.

Terashima[99 ℄ deniuumoperadordereombina~ao paraPGHEbaseado emliques. Comoe

possvelformalizarumPGHEomo umProblemadeColora~aodeGrafos, aideiadesteoperadore

extrairasliquesresolvidasdedoisprogenitoresparagerarumdesendente. Umaliqueeum

sub-grafo om onex~ao maxima, ou seja, todos osnos dessesub-grafo est~ao ligados entre si. Segundo

este autor, e transportando a analogia para PGHEs, uma lique e um agrupamento de exames

que t^em de ser marados em temposdiferentes devido a uma determinada restri~ao. Oobjetivo

do operador e agregar e ombinar onjuntos de liques resolvidas a partir de ada progenitor,

assegurandoaadmissibilidadeda solu~ao.

3.7 Popula~ao

A utiliza~ao de uma popula~ao de solu~oes representa uma dasgrandes vantagens dos algoritmos

(39)

paraumapopula~ao reduzida[92 ℄, outrosparaumapopula~aode grandesdimens~oes[57 ℄ e outros

paravaria~ao do tamanhoda popula~ao durantea exeu~ao [75 ℄.

E omum a ideia que uma popula~ao om uma dimens~ao maior do que o neessario para a

resolu~ao do problema podera forneer diversidade, mas representara um usto omputaional

desneessario. Por outro lado, uma popula~ao demasiado pequena favoreera uma onverg^enia

anteipada em optimos loais.

E neessario ainda estudar onvenientemente qual o tamanho da

popula~ao ideal para determinados tipos de problemas, tendo em onta a utiliza~ao de ertos

operadores e da representa~ao utilizada. Muhlenbein [77 ℄ observou que a muta~ao e ineiente

emgrandes popula~oesnos problemas de optimiza~ao ombinatoria, neessitando de umapress~ao

seletivamuitoforte. Poroutrolado,Allender[1 ℄observouqueoalgoritmoevolutivoseriaeiente

sea popula~ao fosse suientemente grande para reombinarospossveis bloosonstrutivos das

solu~oes.

Contudo, o tamanho da popula~ao n~ao tem sido alvo de grandes debates na aplia~ao da

metodologia evolutiva a Problemas de Gera~ao de Horarios. Pelo ontrario, a iniializa~ao do

algoritmo evolutivo, na gera~ao da popula~ao, tem sido suientementebem disutida. Emgeral,

estrategiasdereiniializa~aoaleatoriaemproblemasdeoptimiza~aoombinatoriatemsidoutilizada

paraalgoritmosevolutivos[98℄. Contudo,nasvariasabordagensdametodologiaevolutivaapliada

aresolu~aode Problemasde Gera~ao deHorarios,variosautoresutilizamheurstiasonstrutivas

iniiaispara gerar indivduosna popula~ao. Corne et al. [29 ℄ efetuaram varias iniializa~oes do

algoritmo evolutivo para resolu~ao de um PGHE para omparar o desempenho de um algoritmo

"guloso" om um algoritmo "esfomeado". Enquanto que o primeiro tem por objetivo veriar

todososintervalosdetempodisponveis,seleionandooqueapresentamenosonitos,oalgoritmo

"esfomeado" veria so k intervalos de tempo. Estes autores veriaram a superioridade desta

ultimaabordagem.

Asdiferentesestruturasdapopula~aot^emvindoaserestudadasemproblemasquesepretende

obter mais do que uma solu~ao. Problemas do domnio da lassia~ao, simula~ao de sistemas

omplexos e adaptativos e fun~oes de optimiza~ao multimodais e multiobjetivorequerem a

loa-liza~ao e manuten~ao de multiplassolu~oes. Os metodos de ninhing s~ao tenias que promovem

apesquisadevariosoptimosno espao de prouraedividem-seem doistipos: partilhade aptid~ao

(40)

de rowding onsiste na inser~ao de novoselementos na popula~ao, substituindoosindivduos

se-melhantes. Estesmetodosapresentamadesvantagemdepermitiroruzamentoentreduassolu~oes

queseenontramemdoispontosoptimosdistintos, produzindo,porventura,indivduosletais. Um

mododesuperarestadesvantagemonsisteemsopermitiroruzamentodeindivduossemelhantes

[56 ℄.

Outros modelosde popula~aoestruturada s~ao utilizadosparaadaptar osalgoritmosevolutivos

aoambientedeproessamentoparalelo,respetivamenteomodelodeilhas[60 ℄edifus~ao[53℄. O

pri-meiroonsistenaexeu~aosimult^aneadevariosalgoritmosevolutivosemproessadoresdiferentes.

Periodiamente,fra~oesdaspopula~oess~aotroadasentreosalgoritmosgenetios,implementando

um meanismo de migra~ao. No modelo de difus~ao a popula~ao esta distribuidanuma grelha de

proessadoresem queadaindivduointerage uniamenteomosseus vizinhos diretos.

Daextensa literaturasobreProblemasde Gera~ao deHorarios, oestudo elaboradoporTurner

[103 ℄ reala asdiferentes estruturasde popula~ao nosalgoritmos evolutivos paraestes problemas.

Semter porobjetivo a obten~ao de multiplas solu~oes pararesolvero problemade uma

perspe-tiva multiobjetivo, muitas das tenias utilizadass~ao perfeitamente adaptadas para este tipo de

optimiza~ao. No Captulo 4 deste estudo, devido a sua liga~ao om a abordagem multiobjetivo,

seraalvo de umadesri~aomais pormenorizada.

3.8 Restri~oes

A resolu~ao de problemas om restri~oes atraves de algoritmos evolutivos n~ao e trivial. Muitas

das tenias onvenionais sobre metodologia evolutiva n~ao permitem lidar diretamente om as

restri~oesno espaode proura. Muitasabordagenst^emsido testadaspararesolveresteproblema,

desde utiliza~ao de fun~oes de penalidade, desodia~ao, algoritmos de repara~ao e desenho de

operadoresespeiais.

Um das tenias mais utilizadas s~ao as fun~oes de penalidade. O objetivo destas fun~oes e

penalizar,dealgummodo,assolu~oesqueviolamasrestri~oesdoproblema. No asode restri~oes

om diferentes graus de import^ania, e possvel introduzir oeientes na fun~ao objetivo. A

desvantagem deste metodo e evideniada nosproblemasom variosobjetivosdistintos, em quee

(41)

do espao de solu~ao. Deste modo, o romossoma e interpretado por um desodiador sobre o

metodo de onstruir a solu~ao. Este meanismo apresenta a desvantagem de ser dependente do

problema, diultaro estudo do algoritmo devidoa representa~ao n~ao orresponder diretamente

a solu~ao e denem todasasrestri~oesserem possveis de seremimplementadas.

Os algoritmos de repara~ao onsistem no mapeamento de uma solu~ao n~ao-admissvel numa

solu~ao admissvel. Estes algoritmos podem alterar aleatoria ou deterministiamente a solu~ao

n~ao-admissvel. Mihalewiz [75 ℄ observou quea repara~ao determinstia apresentava melhor

de-sempenhoem problemas ombinatorios. Contudo, este meanismo tambem sofre da desvantagem

de serdemasiadodependentedoproblema, diultandogeneraliza~oes.

Os operadores que preservama admissibilidadedas solu~oes s~ao metodos alternativos para os

algoritmosevolutivoslidarem om asrestri~oes. A anterior deni~ao de operadores de muta~ao e

ruzamentoreferealgunsoperadoresaosquaisfoiadiionadoonheimentodoproblemaemestudo.

Mais uma vez, a desvantagem deste metodo e similara veriada para algoritmos de repara~ao e

desodia~ao.

Outros metodos maisreentesde lidaromasrestri~oesonsistem nomodeloo-evolutivo [84 ℄

ealgoritmosevolutivosmultiobjetivo[41 ℄. Noprimeiro,asrestri~oeseassolu~oesinteragementre

si,ombase nomodelode predadore presa na Natureza. Os algoritmosevolutivosmultiobjetivo

ser~ao desritosna proximase~ao e ser~ao abase deste estudo.

O modo de lidar om restri~oes om algoritmos evolutivos apliados a Problemas de Gera~ao

de Horarios tem sido abordado porfun~oes de penalidade [87 ℄, desodia~ao [81 ℄, algoritmos de

repara~ao[18 ℄e desenhode operadores espeiais[12 ℄. Reentementesurgiramalgumas abordagens

[19 ℄ [17 ℄ que realam a neessidade de alterar o modo de lidar om as restri~oes. Como estas

abordagens est~ao relaionadas om perspetivas multi-riterio e multiobjetivo ao PEHs, ser~ao

referidasno ontextoda se~ao seguintesobre AlgoritmosEvolutivosMultiobjetivo.

3.9 Algoritmos Evolutivos Multiobjetivo

Muitosproblemasdeoptimiza~ao davidareal apresentam multiplosobjetivosonituosose n~

ao-omensuraveis. ODeisorpode,porventura,pretender umonjunto deboassolu~oesequivalentes

(42)

do espao de pesquisa, s~ao umdosmetodosmais promissoresparaeste tipode optimiza~ao.

3.9.1 Optimiza~ao Multiobjetivo

Formaliza~ao

Umproblemade optimiza~aomultiobjetivoeumproblemade minimiza~aosimult^aneaden

om-ponentesf

k

,k =1;:::;n, deumafun~aof n~ao-linearde umavariaveldedeis~aox numuniversoS

onde f(x)=(f 1 (x);:::;f n (x))

Este tipo de problemas n~ao apresenta, normalmente, uma solu~ao unia, mas umonjunto de

solu~oes n~ao-dominadas, denominado onjunto

Optimo de Pareto. Assumindo um problema de

minimiza~ao,um vetor u =(u

1 ;:::;u n ) domina v=(v 1 ;:::;v n

) sse e parialmenteinferiora v,ou

seja, 8 i2f1;:::;ng;u i v i ^9i2f1;:::;ng:u i <v i : Umasolu~aox u 2Seum

OptimodeParetosse n~aoexistir x

v 2S emquev=f(x v )=(v 1 ;:::;v n ) dominau=f(x u )=(u 1 ;:::;u n ):

Contudo, a esolha de uma solu~ao de ompromisso entre varias alternativas n~ao-dominadas

dependedasprefer^eniassubjetivasdodeisor. Destemodo,asolu~aonaleoresultadotanto de

umproesso de optimiza~ao omo de umproesso de tomada de deis~ao [45 ℄.

Artiula~ao de Prefer^enias

Astr^esseguinteslasses de metodos de optimiza~ao multiobjetivopodemser denidas ombase

na ombina~ao do proesso de optimiza~ao e de tomada de deis~ao na pesquisa de solu~oes de

ompromisso[45℄:

Artiula~ao a priori de prefer^enias, em que o deisor expressa as prefer^enias atraves da

ombina~aodediferentesobjetivosnumafun~aoesalardeusto,transformandooproblema

(43)

solu~oes andidatas n~ao-dominadas e em que o deisor expressa as prefer^enias e esolhe a

solu~ao de ompromisso;

Artiula~aoprogressivadeprefer^enias,emqueooptimizadorforneeonjuntosde

alternati-vasao deisor duranteoproesso deoptimiza~ao eeste indiaao optimizadorquaisdeentre

asquelhe s~ao apresentadas.

A artiula~ao de prefer^enias exprimeo usto que disriminaas solu~oes andidatas.

Seguida-mentese apresentam algumasabordagensa formaliza~ao destasfun~oesde usto:

Coeientes de Pondera~ao, que s~ao valores reais que expressam a import^ania relativa dos

objetivos. A soma ponderadae umexemplolassio quepode serdenidoomo:

F sp (x)= n X i=1 i f i (x)

emquenorrespondeasomadosobjetivoseaspondera~oes

i

s~aoonstantespositivas. Este

metodo apresentaa desvantagemde sersensveladeni~aodaspondera~oesedependentedo

problema;

Prioridades,ques~aovalores inteirosque determinamporque ordemosobjetivosdevemser

optimizados,de aordooma suaimport^ania. Umexemploeometodo lexiograo. Dado

n objetivos f 1 ;:::;f n , a ada objetivo f i

, i = 1;:::;n e atribudo uma prioridade i, onde

valores elevados de i orrespondem a prioridades elevadas. A fun~ao de usto lexiograa

F l ex e denidapor: F l ex (x)<F l ex (y)()9i2f 1;:::;ng:8 j2f1;:::;ig;f j (x)f j (y)^f i (x)<f i (y):

Ometodo lexiograo assumeque a prioridade dosobjetivose bastantelara, o que pode

n~ao sero asoem varios tiposde problemas;

Metas,que indiamvalores desejadosde desempenhoem adadimens~ao de objetivos. Esta

deni~ao e expressa por um vetor G = fG

1

;G

2

;::::;G

n

g que esta assoiado ao vetor de

objetivos f(x). As metas s~ao mais faeis de denir porquese aproximam mais do que se

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