8.2. EFECTOS DE LA DENSIDAD VARIABLE

8.2. EFECTOS DE LA DENSIDAD VARIABLE

8.2.1. Acuífero semiconfinado

Sea el caso de la figura 8.6, que también sirve para definir los valores a utilizar. En este caso los dos caudales unitarios que circulan en un punto x corresponden a:

a) Circulación horizontal del agua por unidad de longitud de costa

x

dh q = -bk

dx (8.6)

b) Circulación vertical del agua por unidad de longitud de costa en una franja de anchura dx d x h - h -dq = k´dx b´

de donde, con hd (potencial de agua dulce correspondiente al agua del mar) constante:

2 x 2 d q k´ dh = -dx b´ dx (8.7) Eliminando dh/dx entre las ecuaciones (8.6) y (8.7):

2 x x 2x 2 B q q ' kbb ' k dx q d = = siendo B2 ₌ kbb´ k´ = coeficiente de goteo [L]

Una ecuación similar, pero de carácter más general fue establecida por Van Dam (1975) 2 2 2 d H dH kcH + kc - H - a - P = 0 dx dx ⎛ ⎞ _α ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ donde:

P = potencial del agua salada expresado en nivel de agua dulce H = espesor de agua dulce sobre el agua salada en el acuífero c = b'/k' = resistencia hidráulica del acuitardo

Estas ecuaciones no tienen solución analítica general, por lo que deben resolverse numéricamente. Incluso la resolución numérica presenta problemas al tratarse de una ecuación no lineal.

8.2.2. Islas oceánicas

Muchas islas oceánicas de pequeñas dimensiones están formadas por materiales relativamente permeables, como calizas, arenas, lavas basálticas, calizas arrecifales, etc., de modo que el agua dulce subterránea que contienen está en forma de un lentejón sobre agua salada siempre y cuando la base del acuífero esté a gran profundidad. El agua dulce es vertida hacia el mar al mismo tiempo que es reemplazada por la infiltración de la lluvia.

W

Si se trata de una isla circular (figura 8.7) de radio R y la recarga de agua dulce es W, medida en altura de agua por unidad de tiempo, puede establecerse que el flujo Q en una circunferencia de radio r ≤ R es igual a la superficie del cilindro multiplicado por el caudal específico, es decir:

(

)

Q 2 r h z k dr = − π +

en la que h es el nivel del agua dulce sobre el nivel de mar y h+z es el espesor total de agua dulce, en la circunferencia de radio r.

El aporte de agua dentro de esa circunferencia vale: Q=πr2_W

Por continuidad, en condiciones estacionarias deben igualarse ambos caudales, y usando (8.1) resulta:

(

)

integrando la ecuación e imponiendo como condición de contorno que h = 0 para r = R, se tiene:

2 W

h = (R - r )

2k(1+ )α

2 2 _(8.8)

La altura piezométrica máxima se obtiene de imponer r = 0. El resultado es

max

W

h = R

2k(1+ )α

La profundidad máxima del lentejón de agua dulce es

(

)

Otro caso particular que puede estudiarse es el de una isla alargada de anchura 2l (se supone que en la otra dimensión la isla es infinita). Tomando x como la distancia al eje de la isla (x = 0 corresponde al eje), el balance de caudales lleva a

2

Wx 1 dh

- =

k(1+ )α 2 dx

integrando la ecuación e imponiendo como condición de contorno que h = 0 para x = l, se tiene:

2 W 2

h = (l - x ) k(1+ )α

2 _(8.9)

La altura piezométrica máxima se obtiene de imponer x = 0. El resultado es

max

W

h = l

k(1+ )α

y la profundidad máxima del lentejón de agua dulce es

(

)

max W

Z =

k 1+α αl

La resolución exacta del flujo hacia el mar para el caso de una isla alargada ha sido estudiada por Henry (1964). El resultado es que la fórmula anterior es suficientemente aproximada si la recarga no es extraordinariamente intensa. Sólo si el ancho de la isla es grande, se tienen errores apreciables en la determinación de la interfaz cerca de la costa.

En el caso de existir dos niveles permeables afectados por el agua dulce, de permeabilidad y espesor k1 y b1 el superior y k2 y b2 el inferior, según Fetter (1972) se

tiene:

En una isla de dimensiones cualesquiera puede establecerse el balance de entradas y salidas en prismas verticales obteniéndose la ecuación (Fetter, 1972):

2 2 2 2 h h k(1 ) 2W x y ⎛∂ ∂ ⎞ + α _⎜ + _⎟= − ∂ ∂ ⎝ ⎠

que permite resolver el problema numéricamente, suponiendo que la fórmula de Ghyben-Herzberg es válida.

8.2.3. Modificaciones de la Ley de Ghyben-Herzberg. Corrección de Hubbert

La ley de Ghyben-Herzberg describe correctamente la posición de la interfaz si el ancho de la zona de mezcla es pequeño comparado con la profundidad y el movimiento del agua es prácticamente horizontal. Sin embargo, esta ley no describe correctamente la posición de la interfaz cerca del afloramiento del acuífero en el mar, ya que de existir un gradiente piezométrico en el agua dulce, debe haber circulación con velocidades crecientes y aparición de componentes verticales en la zona de existencia de la cuña de agua salada por la sucesiva menor sección de salida (figura 8.8), la cual debe hacerse por una longitud finita y no por un punto.

Figura 8.8. Red de flujo en un acuífero costero sin consideración de la zona de mezcla de agua.

(Custodio, E., Llamas, M.R. 1983, pág 1321).

El consiguiente aumento de velocidad del agua dulce en las proximidades de la costa provoca un aumento del gradiente, de modo que el nivel del agua en el acuífero tiene una cota superior a la que se obtendría al suponer el flujo rigurosamente horizontal. Ello también explica la existencia de surgencias de agua dulce en playas y lugares costeros a cota ligeramente superior a la del mar.

Suponiendo que no existe zona de mezcla de aguas y que no existe flujo de agua salada (ello comporta que cualquier piezómetro ranurado en el agua salada y lleno de la misma debe tener el mismo nivel e igual al del mar) puede calcularse la posición de la interfaz en un cierto punto aplicando la ley de Ghyben-Herzberg si se toma como cota del agua dulce para el cálculo la que corresponde al potencial sobre la zona de mezcla, lo que supone por ejemplo que, para el cálculo de la profundidad de la interfaz en A (Figura 8.8) debe tomarse la cota en B, situado en la equipotencial que pasa por A'. Esta es la llamada corrección de Hubbert (1940).

Dado que el potencial de la interfaz, h', es mayor que la altura sobre el nivel del mar de la superficie freática en su vertical, h, en general se obtienen profundidades de la misma mayores que los valores calculados con la simple aplicación de la ley de Ghyben-Herzberg. Sin embargo, si existe una fuerte recarga vertical, puede suceder que el potencial en la interfaz sea menor que el que corresponde al nivel del agua en aquel punto y en este caso especial la profundidad calculada de la interfaz sería menor que la calculada con la ley de Ghyben-Herzberg.

8.2.4. Inclinación de la interfaz

Tomando el origen de los ejes coordenados en la línea de costa y crecientes hacia tierra adentro, y diferenciando la ley de Ghyben-Herzberg (8.1), se tiene:

d

dh dz

ds = −α ds (8.10)

donde el signo – aparece por el distinto signo que presentan z y hd (potenciales del

agua dulce sobre la interfaz). Considérese la figura 8.9, que es una sección vertical perpendicular a la costa.

Figura 8.9. Esquema para determinar la ecuación de la interfaz. (Custodio, E., Llamas, M.R. 1983, pág

1321).

Si dhd/ds puede tomarse igual a sen δ, la inclinación de la interfaz vendrá dada por:

' tg ds dz δ = donde δ α − = δ' tg tg

y corresponde a la pendiente de la interfase representada en la figura 8.9. A partir de aquí puede estudiarse la velocidad del agua dulce paralela a la interfaz, vd. Según la

ley de Darcy: d d d dh v k ds = − (8.11)

combinando (8.10) y (8.11) se puede escribir

d d v 1 d k = α d z s

Esta expresión sólo es válida si se utiliza la ley de Ghyben-Herzberg, donde se supone que el agua salada no se mueve. Como se verá más adelante, esto no es cierto, por lo que existe también un potencial del agua salada sobre la interfaz no nulo, que se puede escribir como hs. Análogamente al caso anterior se podrá obtener ahora la

velocidad del agua salada vs, sin más que imponer que en el caso estacionario las dos

velocidades deben ser paralelas. La velocidad vs viene dada por:

s s s dh v k ds = − (8.12)

siendo ks la conductividad hidráulica del terreno para el agua salada. Como en

cualquier punto de la interfaz, la presión del agua dulce y del agua salada debe ser la misma, por lo que

(z + hd) γd = (z + hs) γs

derivando respecto a s (es decir respecto a la línea de interfaz) y sustituyendo (8.11) y (8.12): d s s d s d v v 1 dz k k ds γ − = γ α (8.13)

Como caso particular se obtiene el resultado bien conocido de que si el agua dulce y el agua salada están ambas en reposo (vd = vs = 0) deberá ser dz/ds = 0, o sea que la

interfaz será horizontal. Esto es lo que ocurre en un vaso cuando se añaden dos fluidos inmiscibles de diferente densidad (aceite que flota sobre el agua). El otro caso extremo sería con vd≠0 y vS=0 en cuyo caso la interfaz no sería horizontal sino vertical (máxima

inclinación). Cualquier otro valor de vd provoca una interfaz inclinada.

8.2.5. Justificación de la existencia de una interfaz dinámica

En la zona de contacto entre el agua dulce y el agua salada se tiene una difusión de la una en la otra a la que se suma la dispersión hidrodinámica originada por el movimiento del agua, sea normal o paralelo a la interfaz. Esta zona de mezcla está en movimiento con velocidad paralela al plano central y ello supone un transporte del agua salobre y salada del acuífero hacia el mar; este movimiento limita el espesor de la zona de mezcla, que es tanto menos gruesa cuanto mayor es el flujo y menores son los movimientos de la interfaz. Si no existiese tal flujo, el ancho de la zona de mezcla, aunque muy lentamente, crecería indefinidamente con el tiempo. Tanto el movimiento del agua en la zona de mezcla como la posición de ésta están inducidos por el

movimiento del agua dulce. Este mismo movimiento provoca un flujo de agua salada hacia el interior del continente.

Este movimiento del agua salada precisa de un gradiente y por eso el nivel piezométrico del agua salada en el terreno es ligeramente inferior al del agua libre del mar (hs< 0). El movimiento en las proximidades de la interfaz es tanto más rápido

cuanto más próximo se esté al área de afloramiento y menor cerca del pie de la cuña. El fenómeno comentado sucede de forma similar en estuarios y desembocaduras de ríos, con la diferencia de que los caudales por unidad de longitud de costa son mucho mayores, las alturas sobre el nivel medio del mar del agua libre del río son mucho menores y los cambios de posición del plano de agua dulce o salada son muy sensibles. Algo similar sucede cuando se trata de descarga de agua subterránea al mar a través de grietas o cavernas.

El movimiento de la zona de mezcla puede demostrarse analíticamente de forma muy sencilla. Basta dividir esta zona de mezcla en n bandas cada una de ellas con un agua de peso específico γi (i entre 1 y n). Despreciando la variación de permeabilidad con la

salinidad, entre dos de esas bandas se establecerá que:

i i i i i 1 1 1 i i i i v v k k ds + γ+ γ − γ+ − = γ γ dz (8.13)

como dz/ds es no nulo, debe existir un movimiento relativo entre cada una de las bandas. Como consecuencia, la profundidad de la interfaz es mayor que la que se deducirá de no considerar la zona de mezcla, debido al movimiento del agua marina, y la penetración de la cuña marina es menor de lo esperado.

Son múltiples las evidencias de la existencia de tal zona de difusión y de su movimiento, no siendo extraño encontrar en las costas surgencias de agua salobre a cotas ligeramente superiores al nivel medio del mar, que ponen de relieve el movimiento en la zona de mezcla y que pueden rebasar el nivel del mar gracias a la disminución de densidad.

Si hay intrusión marina, existe un mayor movimiento de agua salada hacia el interior del continente y por lo tanto el valor de hs es aún más negativo; la interfaz es más

profunda y más inclinada, lo que ocasiona además que el espesor de la zona de mezcla sea menor. Si por el contrario es el agua dulce la que está desplazando al agua

marina, el movimiento del agua salada hacia el mar precisa que hs sea positivo y por lo

tanto la interfaz se localiza a un nivel más alto de lo que sería de esperar y su pendiente es mucho menor. En este caso el ancho de la zona de mezcla puede ser importante, no sólo por el movimiento sino por el menor lavado de sales.

Es importante destacar que aunque la masa de agua salada tiene forma de cuña, su pie se inflexiona para acabar perpendicular a la base del acuífero, ya que ello es necesario para que en un sistema dinámico no exista flujo de sal perpendicular a los límites impermeables (Henry, 1960).

Profundidad de la Interfaz con Agua Dulce y Agua Salada en Movimiento. Fórmula de Hubbert

Si a pesar de la existencia de la zona de mezcla, la transición de la zona salada al agua dulce es muy rápida, no se comete gran error al suponer una interfaz de espesor nulo. Supóngase que en un cierto lugar se tienen dos piezómetros (figura 8.10), uno abierto en el agua dulce justo por encima de la interfaz y el otro lleno de agua salada y abierto justo por debajo de la interfaz.

Agua salada Agua dulce Valores negativos Valores positivos

h

h

A B

Figura 8.10. Representación de dos piezómetros, el A se encuentra abierto por encima de la interfaz y el

B justo por debajo. Modificado de figura 13.11 Custodio, E., Llamas, M.R. 1983pág. 1324.

En el piezómetro A se observa un nivel de agua dulce sobre el nivel del mar hd, que es

el nivel en B, y en el segundo un nivel de agua salada hs, generalmente negativo. La

profundidad z de la interfaz vendrá dada por el equilibrio entre ambas columnas de líquido (Hubbert, 1963):

(z + hd) γd = (z + hs) γs de donde: d s s d s d s d s d d z= γ h − γ h = α −h γ γ − γ γ − γ γ α hs (8.14)

que es la fórmula de Hubbert.

El primer sumando corresponde a la ley de Ghyben-Herzberg, y el segundo es la corrección a realizar a causa del flujo del agua salada. Según el valor de hd que se

adopte se puede considerar o no la distribución real de las líneas equipotenciales. Como hs es en general negativo, la profundidad z así calculada es mayor que la que se

calcularía de acuerdo con la ley de Ghyben-Herzberg con o sin corrección de potencial en la interfaz.

Si se conoce el potencial de agua dulce y del agua salada en una misma vertical en puntos algo separados, puede admitirse que esos potenciales serán similares a los existentes en la interfaz y puede calcularse el valor de z aproximadamente, en el supuesto ya expuesto de que la zona de mezcla sea poco espesa (Perlmutter y Geraghty, 1963).

Ejemplo 8.2.1

En un acuífero en una zona costera en el que se está produciendo intrusión marina se dispone de dos piezómetros muy próximos, uno abierto en el agua dulce a cota -100 m y el otro abierto en zona de agua salada de densidad relativa 1,018 a cota -160 m, estando ambos llenos con el agua existente en sus zonas ranuradas. Los niveles del agua respecto al nivel medio del mar son respectivamente 0,81 m y -1,8 m. 1 018 , 1 1 − = α = 55,6 y entonces, sustituyendo en (8.14) z = 55,6 · 0,81 + 1,018 · 55,6 · 1,8 = 147 m

que es la profundidad de la interfaz pedida. Si se hubiese calculado prescindiendo del potencial del agua salada (ley de Ghyben-Herzberg) se hubiera obtenido

que es notablemente diferente, y que, evidentemente, no concuerda con el enunciado que indica que a 100 m se encuentra agua dulce.

-100 m

0m 0,81m

-1,8m

Cota topográfica

-160 m

No obstante, esta gran diferencia de valores de z aparece sólo cerca de la costa o cuando el potencial de agua salada difiere mucho del mar. En puntos alejados de la costa, si la zona de mezcla es reducida y el acuífero es razonablemente homogéneo, la ley de Ghyben-Herzberg da resultados satisfactorios.

8.2.6. Consideraciones a realizar en acuíferos cautivos

La posición e inclinación de la interfaz, así como la geometría de la zona de mezcla en un acuífero cautivo dependen en gran parte del caudal de salida hacia el mar. En la figura 8.11 se representan varios casos posibles.

Figura 8.11. Relaciones agua dulce-agua salada en acuíferos cautivos costeros. (Custodio, E., Llamas,

En el caso A, el potencial del agua dulce en la zona del contacto con el mar es suficiente para contrarrestar el mayor peso del agua marina. Se produce el escape de agua dulce al mar y una pequeña cuña de agua salada. Si z es la profundidad de la parte más alta de la zona de contacto con el mar, para que se pueda establecer el flujo de agua dulce es preciso que el nivel piezométrico del agua dulce en ese lugar hd

cumpla la siguiente condición:

d d (h + γ ≥ γz) z s es decir d z h ≥ α

Si el valor de hd es menor, no puede producirse escape de agua dulce al mar (caso C)

y entonces la interfaz tiende a ser horizontal por ser el sistema estático, y la zona de mezcla es espesa por no haber expulsión de agua salobre; el acuífero está lleno y la posible recarga es rechazada o bien se fuga a través del techo en zonas poco profundas, manteniendo así una zona superior de agua dulce en movimiento.

Si z´ es la profundidad del punto más bajo de la zona de contacto y se cumple que:

d

z´ h ≥

α

no puede producirse cuña de agua salada y el acuífero actúa como una tubería inyectando agua a presión dentro del mar.

A veces, el contacto entre un acuífero y el mar no es homogéneo y el agua tiende a escaparse por lugares preferentes, en cantidad y con presión suficiente como para ser su flujo perceptible, originando surgencias submarinas de agua dulce, algunas de ellas muy conocidas por pescadores y marineros. Incluso algunas de ellas han servido para abastecer submarinos en época de guerra sin necesidad de emerger. Ello sucede especialmente en acuíferos calcáreos karstificados.

En los casos A y B puede verse que el acuífero con agua dulce se extiende bajo el mar. También puede suceder en el caso C si en la parte alta del acuífero se producen pequeñas fugas que mantengan un mínimo de renovación.

En el caso C, si el techo del acuífero presentase grietas o estuviese perforado en la vertical de la zona de mezcla, podrían aparecer surgencias de agua salobre. Estas surgencias contribuyen a mantener el equilibrio de sales en la zona de difusión.

Si existen varios acuíferos superpuestos, cada uno de ellos con una altura piezométrica diferente, se establecen diferentes estados de equilibrio y en la costa pueden encontrarse acuíferos de agua dulce y acuíferos de agua salada o salobre en la misma vertical.

Ejemplo 8.2.2

Un acuífero cautivo y horizontal de 50 m de espesor aflora bajo el mar, estando su techo a 80 m de profundidad. Se sabe que el gradiente piezométrico vale 10-3 y es relativamente uniforme, siendo la cota piezométrica sobre el nivel del mar en la costa de 12 m. Se sabe que la plataforma submarina tiene una pendiente del 1 %. Comprobar que se forma cuña de agua salada y calcular el flujo de agua dulce al mar y la longitud aproximada de la cuña. La transmisividad del acuífero es de 2000 m2/día.

El techo y la base del acuífero afloran bajo el mar a distancias de 80/0,01 = 8000 m y (80+50)/0,01 = 13000 m, respectivamente.

Para que exista un flujo mínimo es preciso que a distancia de la costa de 8000 m se tenga un nivel piezométrico de 2m 40 80 z h = = α

= , en consecuencia se precisa un gradiente

8000 2 12

i= − =1,25·10-3

Para que no se forme cuña de agua salada se precisa a 13000 m de la costa un potencial mínimo de: 40 50 80 h= + = 3,25m o sea un gradiente de 13000 25 , 3 12 i= − =0,67·10-3

El gradiente observado está entre esos dos valores; por tanto, puede realmente existir flujo de agua dulce y se forma cuña de agua salada. Como el gradiente real es i = 10-3:

qo = T · i = 2000 · 10-3 = 2 m2/día = 2000 m3/día/km de costa

2 2 2 (2000 / 50)m / día 50 m L 625m 2 2m / día 40 = = ⋅

por lo que no se extiende bajo la línea de costa; es decir, un pozo excavado en la línea de costa no captaría agua salada.

8.2.7. Consideraciones a realizar en acuíferos semiconfinados

En los acuíferos semiconfinados, toda o parte de la descarga de agua dulce al mar puede hacerse a través del techo semipermeable.

La figura 8.12 es un perfil del delta del Llobregat (Barcelona) mostrando el funcionamiento hidráulico supuesto antes de iniciarse los intensos bombeos hoy existentes. El agua del acuífero profundo circulaba hacia el mar a través del techo semiconfinante aflorando directamente o bien a través del acuífero superior, después de desplazar al agua contenida en el nivel semipermeable.

Figura 8.12. Perfil perpendicular al mar del delta del Llobregat mostrando las condiciones hidráulicas del

acuífero semiconfinado (profundo) antes de iniciarse los bombeos intensivos actuales. Se refiere a una zona de circulación relativamente rápida. (Custodio, E., Llamas, M.R. 1983, pág 1327).

En la práctica, los niveles semiconfinantes no son homogéneos y las condiciones de fuga varían de un lugar a otro. Así, en el caso mencionado del delta del río Llobregat, mientras en unos lugares la circulación vertical es relativamente rápida en otras es tan lenta que aún no se ha llegado a desplazar totalmente el agua marina atrapada durante la formación de la intercalación limosa (Custodio, E. et al., 1971).

Cálculo de la profundidad del agua salina utilizando las diversas fórmulas

El cálculo de la profundidad a la cual empieza el agua contaminada por el agua del mar es un problema de extrema importancia en la explotación y gestión de acuíferos. La forma directa de efectuarlo, según se expone en el apéndice A.1, es midiendo la variación de salinidad en profundidad, pero, a partir de las fórmulas comentadas en apartados anteriores puede hacerse una estimación utilizando únicamente medidas piezométricas cuidadosas.

El modo más sencillo consiste en disponer de un piezómetro justamente penetrando el acuífero, medir el nivel del agua en el piezómetro respecto al nivel medio del mar, hd, y

tener una determinación de la densidad del agua dulce de su zona ranurada γd. Es

necesario tambiénconocer la densidad del agua marina en el acuífero γs.

A partir de estos datos puede calcularse la profundidad de la interfaz mediante la fórmula de Ghyben-Herzberg. Debido a las simplificaciones usadas para derivar esta fórmula, el valor de la profundidad de la interfaz así calculado, es, por lo general, menor que el real en ausencia de esa zona de mezcla, pero mucho mayor que el comienzo de la zona de mezcla, cuando ésta es espesa. Por otro lado existe la molestia de tener que determinar la posición del nivel medio del mar, y no siempre se tiene seguridad de que sea el nivel más idóneo de referencia en sistemas dinámicos (Dreyfus y Vailleux, 1970).

Puede mejorarse el cálculo si se dispone de un segundo piezómetro abierto en el agua salada, en el que se mide el nivel y la densidad del agua salada. La profundidad de la interfaz se calcula ahora mediante la fórmula de Hubbert y proporciona una posición intermedia de la zona de mezcla en ausencia de flujo vertical importante, que tampoco es útil en caso de que aquella sea espesa. No es preciso conocer el nivel medio del mar.