NATURALEZA DE LOS MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS

(1)

NATURALEZA DE LOS

MODELOS DE ECUACIONES

SIMULTÁNEAS

Tema 1: Modelos de ecuaciones simultáneas

(2)

Naturaleza de los modelos de ecuaciones simultáneas

1.1 Introducción

Clasificación de las variables de un modelo de ecuaciones simultáneas • Variables endógenas • Variables predetarminadas * Exógenas corrientes. * Exógenas retardadas. * Endógenas retardadas.

(3)

1.2 Sistemas recursivos y simultáneos

Se clasifican en:

•

Sistemas de ecuaciones de regresión.

Son aquellos que no contienen variables endógenas corrientes en el segundo miembro de ninguna ecuación.

•

Modelos de ecuaciones simultáneas

.

Son aquellos que contienen alguna variable endógena corriente en el segundo miembro de alguna ecuación.

(4)

1.2 Sistemas recursivos y simultáneos

Tipos de modelos de ecuaciones simultáneas

1. Ecuaciones simultáneas o interdependientes.

Un sistema de ecuaciones se dice que es simultáneo o interdependiente cuando no se puede resolver ninguna ecuación de manera independiente.

1 1 2 2 3 3 5 2 1 2 1 3 3 4 1 5 2 2 3 1 2 1 3 2 4 1 3

Y

X

u

Y

X

u

Y

X

u

α α

α

β β

β

γ γ

γ

=

+

=

+

= +

+

Ejercicio: Especificar un modelo económico de ecuaciones

(5)

1.2 Sistemas recursivos y simultáneos

Tipos de modelos de ecuaciones simultáneas

2. Sistemas de ecuaciones recursivos o recurrentes.

Un sistema de ecuaciones se dice que es recursivo o recurrente si cada una de las variables endógenas puede ser determinada secuencialmente. 1 1 2 1 3 2 1 2 1 2 1 3 1 2 3 1 2 1 3 2 5 2 3

Y

X

u

Y

X

u

Y

X

u

α α

α

β β

β

γ γ

γ

=

+

=

+

= +

+

Ejercicio: Especificar un modelo económico de ecuaciones

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1.2 Sistemas recursivos y simultáneos

Sistemas de ecuaciones de regresión

En estos sistemas las variables endógenas corrientes sólo están en los primeros miembros de las ecuaciones.

1 1 1 1 2 2 2 2 G G G G

Y

X

u

Y

X

u

Y

X

u

β

=

+

=

+

=

+

(7)

1.2 Sistemas recursivos y simultáneos

Sistemas de ecuaciones de regresión

1. Sistema de ecuaciones con datos de series temporales de sección cruzada.

11 1 2 11 3 21 11 12 1 2 12 3 22 12 13 1 2 13 3 23 13 Y X X u Y X X u Y X X u α α α β β β γ γ γ = + + + = + + + = + + +

2. Sistema de ecuaciones aparentemente no relacionadas. 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 3 3 4 2 3 1 2 5 3 6 3 Y X X u Y X X u Y X X u α α α β β β γ γ γ = + + + = + + + = + + +

(8)

1.3 Forma estructural reducida y final.

• La

forma estructural

es un conjunto de relaciones estructurales cuyos parámetros se denominan parámetros estructurales.

• La

forma reducida

consiste en poner las variables endógenas corrientes en función de las predeterminadas.

• La

forma final

del modelo consiste en poner las variables endógenas corrientes en función de sólo las exógenas (corrientes y retardadas).

Ejemplo: Consideremos el siguiente modelo simple de renta nacional:

(

)

(

)

0 1 2 1 0 1 1 2 2 1 2 1 t t t t t t t t t t t t t c y r u i y y r u y c i g α α τ α β β ₋ ₋ β ₋ = + − + + = + − + + = + +

Donde y= PIB; c = consumo; i = inversión; g = gastos del gobierno; r = tipo de interés tau = tipo impositivo

(9)

1.4 Expresión matricial del sistema de ecuaciones

simultaneas.

En el contexto del modelo multiecuacional con g variables endógenas y k predeterminadas la ecuación h-ésima se puede expresar:

(

)

1 1 1 1 0 1

h y i hg ygi h x i hk xki uhi hh

γ

+ +…

γ

+

β

+ +…

β

+ =

γ

= −

Donde al nombrar los subíndices se ha seguido el siguiente acuerdo:

• Para las variables el primer subíndice indica la variable y el segundo subíndice indica la observación.

• Para los parámetros el primer subíndice representa la ecuación y el segundo la variable a la que acompaña.

Otras alternativas para expresar el sistema de ecuaciones son:

(

)

1 1 1 1 1 h y i hg ygi h x i hk xki uhi hh

γ

+ +…

γ

+

β

+ +…

β

=

γ

=

(

)

1 1 1 1 0 hi h i hg gi h i hk ki hi hh y =

γ

y + +…

γ

y +

β

x + +…

β

x + u

γ

=

(10)

1.4 Expresión matricial del sistema de ecuaciones

simultaneas.

Forma estructural

• Ecuación h-ésima en forma matricial:

' '

0

i h i h hi

y

γ

+

x

β

+

u

=

donde:

[

]

1 1 ' ' 1 1 h h i i gi h i i ki h hg hk

y

x

γ

β

γ

β

γ

β

⎡

⎤

_⎡

_⎤

⎢

⎥

_⎢

_⎥

⎡

⎤

=

_⎣

_⎦

=

_⎢

_⎥

=

_⎢

_⎥

⎢

⎥

_⎢

_⎣

_⎥

_⎦

⎣

⎦

…

(11)

1.4 Expresión matricial del sistema de ecuaciones

simultaneas.

Forma estructural

• Modelo de g ecuaciones: ' '

0

i i i

y

Γ + Β + =

x

u

donde: 11 1 11 1 ' 1 1 1 g g i i gi g gg k gk

u

γ

β

γ

β

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

_⎡

_⎤

Γ =

_⎢

_⎥

Β =

_⎢

_⎥

=

_⎣

_⎦

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

…

(12)

1.4 Expresión matricial del sistema de ecuaciones

simultaneas.

Forma estructural

• El modelo en su conjunto y para todos los valores muestrales:

0 Y

Γ + Β + =

X

U

donde: 11 1 ₁₁ ₁ 11 1 1 1 1 g _k g n gn n kn n gn

y

_x

u

Y

X

U

y

x

u

⎡

⎤

_⎡

_⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

_⎢

_⎥

⎢

⎥

=

_⎢

_⎥

=

_⎢

_⎥

=

_⎢

_⎥

⎢

⎥

_⎢

_⎣

_⎥

_⎦

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

…

_…

…

Ejercicio: Especificar el orden de las matrices anteriores.

Ejercicio: Considerar un modelo en el cual se tenga 3 ecuaciones, 3 variables endógenas, 2 predeterminadas y n observadas .

(13)

1.4 Expresión matricial del sistema de ecuaciones

simultaneas.

Forma reducida

1 1

Y

X

U

Y

X

U

Y

X

V

− −

Γ = − Β −

= − ΒΓ − Γ

= Π +

11 1 ₁₁ ₁ 11 1 11 1 1 1 1 1 g _k g g n gn n kn k gk n gn

y

_x

v

y

x

v

n g

n k

k

g

n g

π

⎡

⎤

_⎡

_⎤

⎡

⎤ ⎡

⎤

⎢

⎥

₌

_⎢

_⎥

⎢

⎥ ⎢

₊

⎥

⎢

⎥

_⎢

_⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥

_⎢

_⎣

_⎥

_⎦

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦ ⎣

⎦

×

…

_…

…

donde:

Π = −ΒΓ

−1 y

_V

= − Γ

_U

−1

(14)

1.5 Hipótesis básicas del modelo de ecuaciones

simultaneas.

Las hipótesis básicas del modelo de ecuaciones simultáneas son similares a las planteadas en el modelo lineal uniecuacional. Hay que destacar:

1. Las variables exógenas son no estocásticas, en el caso de que haya variables endógenas retardadas se supondrá que serán independientes de las perturbaciones.

(15)

1.5 Hipótesis básicas del modelo de ecuaciones

simultaneas.

En relación a las perturbaciones aleatorias:

( )

' 1 1 0 i i j j gj gi u E u u E u u u ⎧_{⎡ ⎤} ⎫ ⎪_{⎢ ⎥ ⎡} _⎤⎪ = _⎨_{⎢ ⎥ ⎣} _⎦_⎬ = ⎪_{⎢ ⎥} ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ …

( )

2 1 1 1 ' 1 2 1 g i i i i gi gi _g _g u E u u E u u u σ σ σ σ ⎡ ⎤ ⎧⎡ ⎤ ⎫ ⎢ ⎥ ⎪_{⎢ ⎥ ⎡} _⎤⎪ = _⎨_{⎢ ⎥ ⎣} _⎦_⎬ = Σ = _⎢ _⎥ ⎪_{⎢ ⎥} ⎪ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ _⎣ _⎦ … … … …

( )

_i

0 E u

=

1

( )

'

0 ,

1,

,

i j

E u u

=

para i j

= …

n

2

( )

'

1,

,

i i

E u u

= Σ

para i

= …

n

3

(16)

1.5 Hipótesis básicas del modelo de ecuaciones

simultaneas.

En relación a las perturbaciones aleatorias: 4

u

_i

→

N

( )

0,

Σ

Esto se puede generalizar para el conjunto de las n observaciones:

( )

0 E U = y E 1U U' n ⎛ _{⎞ = Σ} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

( )

2 2 1 1 1 1 ' 2 2 1 1 i i gi g i gi gi g g

u

u u

n

E U U

E

n

u u

u

n

σ

⎡

⎤ ⎡

⎤

⎢

⎥ ⎢

⎥

=

_⎢

_{⎥ ⎢}

=

_⎥

= Σ

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

⎦ ⎣

⎦

∑

…

(17)

1.5 Hipótesis básicas del modelo de ecuaciones

simultaneas.

En relación a las perturbaciones aleatorias:

Perturbaciones de la forma reducida:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

' ' 1 ' ' 1 ' ' ' ' 1 ' 1 1 1

0

i i i i i i i i i

v

u

E v

E u

Var v

E v v

E u u

− − − − − −

= − Γ

= −

Γ =

=

= Γ

Γ = Γ

ΣΓ = Ω

(18)

1.6 Ejemplos de modelos multiecuacionales.

Ejemplo 1: El modelo de demanda y oferta.

Suponiendo que las funciones de oferta y demanda son lineales:

Función de demanda:

_Q

_td

=

α α

₀

+

₁

_P

_t

+

_u

₁_t

α

₁

<

₀

Función de oferta:

_Q

_to

=

β

₀

+

β

₁

_P

_t

+

_u

₂_t

β

₁

>

₀

d o t t

Q

=

Q

Condición de equilibrio:

Ejercicio: Obtenga la expresión matricial y la forma reducida

(19)

1.6 Ejemplos de modelos multiecuacionales.

Ejemplo 2: El modelo de la telaraña en el cual la cantidad

ofertada depende del precio del periodo anterior, y la demanda se representa mediante una función de demanda inversa donde el precio se pone en función de la cantidad:

0 1 1 1 d t t t

Q

=

α α

+

P

₋

+

u

0 1 2 t t t

P

=

β

+

β

Q

+

u

Ejercicio: Obtenga la expresión matricial y la forma reducida

(20)

1.6 Ejemplos de modelos multiecuacionales.

Ejemplo 3: La curva de Phillips pone de manifiesto la relación

inversa entre la tasa de inflación(%) y la tasa de desempleo(%). Esta relación se explica porque una reducción en la tasa de desempleo (provocada por una reducción en los impuestos, o por un incremento del dinero o del gasto público) provoca una reducción en los recursos ociosos aumentando la presiones sobre los salarios, los costes y precios y por tanto sobre la inflación.

Consideremos un modelo de tipo Phillips para determinar el salario nominal y los precios:

(

)

0 1 2 1 0 1 2

1/

t t t t t t t

W

UN

P

u

P

Q

u

α α

α

β

=

+

=

+

(21)

1.6 Ejemplos de modelos multiecuacionales.

W = Tasa de cambio de los salarios monetarios o nominales. UN = Tasa de desempleo, %

P = Tasa de cambio en los precios del consumo. R = Tasa de cambio en los costes financieros.

M = Tasa de cambio de los precios de las materias primas.

Ejercicio: Expresar matricialmente el modelo de Phillips y la

(22)

1.6 Ejemplos de modelos multiecuacionales.

Ejemplo 4: El profesor Lawrence Klein para analizar el

comportamiento de la economía norteamericana en el periodo 1921-1941 propuso el siguiente modelo de seis ecuaciones:

(

)

(

)

(

)

(

)

0 1 1 2 2 1 0 1 2 1 3 1 2 1 0 1 2 1 3 3 Función de consumo Función de inversión

Función de demanda de trabajo

t t t t t t t t t t t t t t C W W B u I B B K u W Y Y t u α α α β β β β δ δ δ δ − − − = + + + + = + + + + = + + + + Identidades:

(

)

(

)

(

)

1 1 Condición de equilibrio Beneficios privados Stock de capital t t t t t t t t t t t Y C I G B Y W T K K ₋ I = + + = − − = +

(23)

1.6 Ejemplos de modelos multiecuacionales.

Todas las variables están medidas en miles de millones de dólares de 1934, siendo:

C = Consumo privado

W₁= Salarios pagados por el sector privado W₂ = Salarios pagados por el sector público. B = Beneficios

I = Inversión privada

K = Stock de capital privado Y = Renta nacional

T = Impuestos sobre empresas

G = Gasto público (excepto salarios) t = Tiempo

u_i= perturbaciones aleatorias

(24)

1.6 Ejemplos de modelos multiecuacionales.

Este modelo contiene tres ecuaciones de comportamiento y tres identidades.

Clasificación de las variables:

Endógenas: C, I, W₁, Y, K, B Predeterminadas:

Endógenas retardadas: Y_t-1, B_t-1, K_t-1

Exógenas corrientes: W₂, G ,T (t también podría considerarse como exógena)