Modelación física del flujo turbulento hidráulicamente liso en tuberías largas de
polietileno
Rafael Parada H.
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental, Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia.
En la actualidad, se han usado diferentes tipos de materiales para realizar el diseño de las redes de distribución de agua potable; entre estos destacan los plásticos, que se caracterizan por ser un material liso y que se puede encontrar de diferentes diámetros y longitudes facilitando de esta manera sus métodos constructivos. Dentro de los plásticos, se tiene el PVC, hoy en día es uno de los materiales más usados en la construcción de las diferentes redes de distribución de agua potable y además uno de los materiales más estudiados para la ingeniería hidráulica, en donde se valida el uso de las ecuaciones de diseño usadas hoy en día, sin importar que estas fueron desarrolladas para materiales con rugosidades mayores a los que se pueden producir en fabricas modernas. Dado que así cómo avanza el mundo, también se inventan nuevos materiales y métodos de elaboración de estos, en el presente trabajo se usaran tuberías de polietileno con el fin de caracterizar el comportamiento de las pérdidas de energía cómo resultado de la fricción que tiene el fluido con estas y a su vez verificar si las ecuaciones de diseño clásicas son válidas para este material, para el flujo turbulento hidráulicamente liso que se caracteriza por tener números de Reynolds mayores a 2x104 y rugosidades relativas menores a 2x10−5. Dentro de los resultados se encuentra la gráfica del valor del factor de fricción calculado a partir de las mediciones de la diferencia de presiones y el número de Reynolds, y su cercanía al valor calculado con las ecuaciones de diseño clásicas.
Introducción
Para poder entender el comportamiento físico y mecánico de los fluidos, en las tuberías, se emplean diferentes ecuaciones que permiten encontrar estas características y son utilizadas para realizar los diseños de redes de distribución de agua potable y sistemas de drenaje. Por esta razón es necesario realizar el estudio y análisis de las ecuaciones, con el fin de comprobar su validez teniendo en cuenta los materiales que se pueden elaborar hoy en día con el avance de las tecnologías.
Una de las ecuaciones más usadas para el diseño y simulación de redes urbanas, es la ecuación de Darcy-Weisbach (1), que usa el factor de fricción para cuantificar las pérdidas de energía asociadas con este fenómeno en las tuberías (Koutsoyiannis, 2008).
ℎ𝑓= 𝑓 𝑙 𝑑
𝑣2 2𝑔
donde f es el factor de fricción, l es la longitud de la tubería, d es el diámetro de esta, v es la velocidad asociada con el caudal que pasa en la tubería y g es la aceleración de la gravedad.
Para el cálculo del factor de fricción, se usa la ecuación de Colebrook-White (2), que se presenta en varios de los libros de mecánica de fluidos, particularmente para el flujo transicional y el flujo turbulento (Vilela & Freire Diogo, 2013).
1 √𝑓 = −2 log ( 𝑘𝑠 3.7𝑑+ 2.51 𝑅𝑒√𝑓)
donde 𝑘𝑠 es la rugosidad de la tubería, Re es el número de Reynolds (3), en donde 𝜈 es la viscosidad cinemática v es la velocidad del fluido. Como se puede observar para resolver esta ecuación es necesario hacer un cálculo iterativo.
𝑅𝑒 =𝑣𝑑 𝜈
(1)
(2)
El uso de las ecuaciones, para el diseño de las redes de abastecimiento, es fundamental, dado que estas pueden determinar el funcionamiento de la red, traduciendo esto como la disminución en la capacidad de esta, así como su eficiencia energética, dando pie al mal funcionamiento de las redes de distribución de agua potable, generando sobre costos y mala calidad en la prestación del servicio. Esto dado a que las ecuaciones anteriormente descritas, son usadas para sistemas a presión, funcionamiento por el cual se caracteriza los sistemas de agua potable.
Para hacer un análisis adecuado del uso de las ecuaciones anteriormente descritas en los diseños de redes de distribución, es necesario evaluar dentro del diagrama de Moody en que zona se está trabajando, teniendo en cuenta los límites de operación de las redes, que se establecen en las normas para acueductos, el avance en la elaboración de materiales convencionales y la innovación en materiales nuevos, los cuales se vuelven más lisos a medida que el tiempo y la tecnología avanza. Del análisis se desglosa diferente información, tal como los números de Reynolds presentes en las redes actuales, factor de fricción y la rugosidad de las tuberías asociada con estas.
Para el desarrollo de este tipo de trabajos, se puede estudiar cualquier material que se considere adecuado para el transporte de agua potable; convencionalmente se han estudiado materiales tales como el PVC, entre otros. Pero para este caso de estudio se decidió trabajar con un material relativamente nuevo, como lo es el polietileno de alta densidad, limitados a diámetros inferiores a 110 milímetros.
Se analiza el comportamiento de este material, teniendo en cuenta los límites establecidos por la normativa colombiana RAS 2011, la cual indica que no se deben tener velocidades mayores a los 6 m/s ni inferiores a los 0.5 m/s; sin embargo según los recomendaciones del manual técnico de PAVCO, fabricante de la tubería objeto de estudio, inicialmente se deben manejar velocidades inferiores a los 0.3 m/s esto con el fin de
garantizar que no se tenga atrapamiento de aire que conlleve a que la tubería este sometida a presiones mayores para las cuales es fabricada.
Siguiendo las recomendaciones de la normativa RAS se puede identificar la zona en el diagrama de Moody sobre la cual se encontrará el factor de fricción según los números de Reynolds que caracterizan a un flujo turbulento con números mayores 2x10⁴ y los espesores de la subcapa laminar viscosa con la cual se puede asociar a un flujo hidráulicamente liso o hidráulicamente rugoso, teniendo en cuenta la rugosidad de las tuberías de polietileno de alta densidad con las que se trabajaran que tienen una rugosidad ks de 0.007(Darcy & Weisbach) según el manual técnico Tubosistemas PEAD para conducción de agua potable ACUAFLEX de PAVCO Mexichem, la cual es la empresa productora de dichas tuberías.
Teniendo en cuenta las recomendaciones anteriormente mencionadas, la región del diagrama de Moody en la cual se trabaja es presenta a continuación.
Figura 1. Diagrama de Moody delimitando la zona de interés para los diseños de redes de distribución para materiales lisos.
Así bien, con los límites establecidos, en el presente trabajo, teniendo en cuenta las limitaciones de los equipos y lugar de trabajo, existe la probabilidad de no abarcar todo el rango de números de Reynolds esperado.
Antecedentes
Con el desarrollo de las nuevas tecnologías y métodos de fabricación de materiales para tuberías y accesorios de las redes de distribución de agua potable, también viene la incógnita de cómo las ecuaciones convencionales usadas por los ingenieros para los diseños, que son poco recientes y a su vez fueron desarrolladas para materiales con menor grado de detalle es decir más rugosos y con acabados menos pulidos, como por ejemplo el acero, que anteriormente se construía remachado con pernos que aumentan la rugosidad considerablemente, en comparación con el tipo de elaboración actual que es con soldadura y pulida lo que da tuberías muy lisas.
Existen diferentes trabajos que reportan los resultados de la validación de dichas ecuaciones enfocándose principalmente en el factor de fricción de diversos materiales; en la gran mayoría, se usa la misma metodología para obtener este valor de forma experimental apoyado en las ecuaciones anteriormente mencionadas, con el paso de diferentes caudales en las tuberías con diversas configuraciones de diámetro, longitud y material. Se hace mediciones de las alturas de presión en la entrada y la salida de la tubería con fin de determinar cuales son las pérdidas por fricción y de esta forma poder calcular su coeficiente de fricción, validando el correcto uso de las ecuaciones en la actualidad. Este tipo de estudios tienen registros a partir de 1972 por Levin, quien trabajo con tuberías lisas plásticas de 20 metros de longitud y diámetros internos cercanos a 210 milímetros, seguido por Urbina en 1976, Paraqueima en 1977, Norum en 1984, Bernuth y Wilson en 1989, Bagarello en 1995 y Cardoso en el 2008, todos ellos abarcando tuberías de polietileno de baja densidad y con
diámetros pequeños que van entre los 8.9 milímetros hasta 25 milímetros. Cabe resaltar que estos estudios fueron desarrollados para tuberías de polietileno de baja densidad.
Sin embargo, el polietileno objeto de este estudio es de alta densidad, material el cual presenta propiedades similares, principalmente el ser liso, y para el cual se presentan pocos estudios, siendo el estudio realizado por A. Freire Diogo & Fabia A. Vilela de la Universidad de Coímbra en Portugal, en donde inicialmente se trabajo con tuberías de PVC y posteriormente cambio a tuberías de Polietileno de alta densidad con diámetros internos de 63 milímetros y una longitud de 6.5 metros, encontrando que en este se tiene una rugosidad mayor, con respecto a tuberías de PVC, con rugosidades cerca de los 0.010 milímetros para el polietileno y 0.004 milímetros para el PVC; aun así dentro de sus resultados se encuentra que esta tubería esta dentro de los rangos para el flujo turbulento hidráulicamente liso. Encontrando que, al graficar el número de Reynolds en contra del factor de fricción, la forma que toman los puntos se asemeja a la curva de Colebrook-White.
Trabajos realizados
En estudios previos, que se realizaron en el laboratorio de la Universidad de los Andes (calle 19ª No 1-96 Este, Edificio Mario Laserna, Bogotá D.C.) y en las instalaciones de la empresa PAVCO Mexichem sede Bogotá (Autopista Sur No. 71-75, Bogotá D.C.), se trabajaron diferentes montajes con tuberías de PVC de diferentes diámetros, longitudes y uniones.
El montaje utilizado para este estudio, presenta una configuración de gravedad, que cuenta con dos tanques, el primero es un tanque de almacenamiento, el tanque de alimentación del modelo que esta construido a base de una tubería de 1371.6 milímetros de diámetro y una altura de 8 metros, estos tanques se conectan a través de dos tuberías de PVC, la primera la tubería que lleva el agua del tanque de almacenamiento al tanque elevado de
alimentación al modelo esta consta de 78 metros de longitud y 203.2 milímetros de diámetro y una tubería de rebose de la misma longitud y de 160.86 milímetros de diámetro, a su vez los dos tanques se conectan con una tercera tubería que es la cual es objeto de estudio y puede ser cambiada según los requerimientos y para este caso en particular es una tubería de 110 milímetros de diámetro nominal y de 88 milímetros de diámetro interno con una longitud de 74.9 metros, cuenta con una unión y longitud entre piezómetros de 71.9 metros.
La toma de datos, se realiza de dos maneras, una forma manual, la cual consiste en tomar las lecturas de los piezómetros instalados en la tubería y leer lo que registra el caudalímetro que se encuentra aguas abajo de la tubería ; por otro lado, se tiene el registro computacional, el cual consiste en un computador que se conecta a una tarjeta de adquisición de datos y esta a su vez se conecta al caudalímetro y a un sensor diferencial de presión, los cuales registran 1000 datos por segundo.
Figura 2. Montaje
Siguiendo la estructura de montaje descrita y la cual esta ilustrada en la figura 2, se encuentran la bomba que permite elevar el agua en el tanque de alimentación, los piezómetros que se encuentran a 1.5 metros respecto a las uniones de la tubería al modelo y al finalizar la válvula reguladora de caudal.
Procesamiento de datos
Con el fin de poder hacer un análisis correcto de los resultados, se inicia delimitando el diagrama de Moody haciendo uso de las diferentes ecuaciones que se encontraron para determinar las diferentes zonas del diagrama.
En primer lugar, se tiene la delimitación realizada por Colebrook & White en 1939, en donde se dice que es un flujo turbulento hidráulicamente liso FTHL, si la rugosidad de la tubería es igual o menor al 30.5% del espesor de la subcapa laminar viscosa; por tal motivo se determina que la ecuación de Colebrook-White toma las siguientes formas dependiente del número de Reynolds.
1
√𝑓 = −2 log10( 5.21 𝑅𝑒√𝑓)
Siguiendo la misma estructura de la ecuación de Colebrook & White, para el límite del FTHL, pero esta vez teniendo en cuenta que el flujo turbulento hidráulicamente rugoso FTHR se presenta cuando la rugosidad supera 6.1 veces el espesor de la subcapa laminar viscosa, se adopta este valor cómo el límite para el FTHR, obteniendo de esta forma que la ecuación de Colebrook-White en términos del número de Reynolds sigue la siguiente estructura.
1
√𝑓 = −2 log10( 56.6 𝑅𝑒√𝑓)
En segundo lugar, se tiene las ecuaciones encontradas por Prandtl y Von Kárman, las cuales delimitan la zona de el FTHL y FTHR también como una derivada de la ecuación de Colebrook-White, pero en el caso del FTHR únicamente dependiente de la rugosidad relativa de la tubería, la cual está dada por la rugosidad ks dividida el diámetro de la tubería d teniendo así, las siguientes ecuaciones como límites en el diagrama de Moody.
(4)
1 √𝑓= −2 log10( 2.51 𝑅𝑒√𝑓) 𝐹𝑇𝐻𝐿 1 √𝑓= −2 log10( 𝑘𝑠 3.7 𝑑) 𝐹𝑇𝐻𝑅
Para terminar con el último límite del diagrama de Moody, se utiliza la ecuación de Blasius propuesta en 1911, que determina que para números de Reynolds superiores a 5x10³, donde el factor de fricción se puede calcular de la siguiente forma.
𝑓 = 0.316 𝑅𝑒0.25
Ahora bien, con los límites encontrados se presenta el diagrama de Moody con el cual se analizarán los datos.
Figura 3. Diagrama de Moody con los limites esperados
(6)
(7)
Resultados y análisis de resultados
Para el montaje, se toma el registro de los piezómetros, sensor diferencial de presión, lo cual es asociado con las pérdidas por fricción en la tubería (hf) y el caudal asociado con
cada una de esas variaciones de presión; se debe tener en cuenta que para el montaje realizado con la tubería de polietileno de diámetro externo de 110 milímetros, se debe realizar una unión, dado que este diámetro viene en rollos de 50 metros de longitud y se requieren 74.9 metros por lo cual se realiza por termofusión, en este tipo de uniones, se debe tener en cuenta que se presentan pérdidas menores, las cuales se deben incorporan dentro de los cálculos realizados para el montaje (hm).
Con los datos registrados, de caudal se puede obtener las velocidades que están presentes en la tubería, siempre teniendo en cuenta las características geométricas de la tubería; una vez se tienen estos datos, se encuentra el número de Reynolds y con este a su vez el factor de fricción (f ).
Para el montaje objeto de estudio se trabajó con temperaturas entre los 16 °C y los 19 °C, y con una variación de caudales que fueron desde los 0.15 l/s hasta los 16 l/s. Para todos los caudales registrados, se comprobó que estuvieran dentro del rango del flujo turbulento.
A continuación, se presentan los resultados gráficos, obtenidos para la tubería de polietileno.
Figura 4. Diagrama de Moody, registro del sensor diferencial de presión.
Figura 6. Diagrama de Moody combinado
En la figura 4 en donde se tienen los resultados registrados por el sensor de presión, se presenta la desviación estándar de los resultados, dado que, al ser una toma de datos continua, y con las variaciones de nivel del tanque de alimentación, este para un mismo valor de caudales da unas diferencias de presión con un amplio espectro. Sin embargo, se puede observar con claridad que los resultados se encuentran sobre los límites del FTHL y a su vez tienen una tendencia similar a las curvas presentadas por Blasius, Prandtl y Von Kárman, y Colebrook y White. A si mismo también se encuentra que para números de Reynolds inferiores a 6 x 10⁴ los puntos tienen una dispersión mayor lo cual se aleja un poco de las líneas de tendencias y se ve con claridad que la desviación estándar de estos resultados es más amplia en comparación a los resultados con números de Reynolds mayores.
En la figura 5, se observa una clara tendencia a la curva de Prandtl para el FTHL en números de Reynolds superiores a 3 x 10⁴ y con números inferiores se ve una notoria dispersión de los puntos.
La figura 6, la cual resume los resultados obtenidos, muestra con claridad la tendencia de los puntos a dispersase con números de Reynolds bajos, sin importar cuál sea el método de adquisición de datos, resultado que se puede rectificar simplemente observando la desviación estándar para el sensor diferencial de presión, dado que las diferencias de presión para números de Reynolds bajos son mínimas, lo cual puede producir que las lecturas realizadas por el sensor de presión tengan altas variaciones para un caudal fijo.
Conclusiones
Para el entendimiento de los nuevos materiales usados para el diseño de redes de abastecimiento de agua potable y entendiendo las diferencias tan considerables respecto a las tuberías con las cuales se trabajaron para desarrollar las ecuaciones, es necesario hacer la validación, para poder entender que comportamiento sigue el flujo en las redes.
Se puede observar, que en general para las tuberías de polietileno de alta densidad, el flujo se describe de una manera más adecuada para números de Reynolds superiores a 2x10⁴ con la ecuación encontrada por Prandtl y Von Kárman. Adicionalmente, también se encontro que a pesar de no tener una tendencia marcada para números de Reynolds inferiores al anteriormente descrito, los resultados se encuentran entre las ecuaciones propuestas por Colebrook-White y Prandtl-Von Kárman.
Referencias
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