Pra ctica 3. Comprobacio n de las ecuaciones que describen el tiro parabo lico (Primera Parte).

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Pr´

actica 3. Comprobaci´

on de las ecuaciones que describen el tiro

parab´

olico (Primera Parte).

Mauricio Arredondo Soto, Ricardo Mart´ınez Mart´ınez y Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınez Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica.

Divisi´on de Ingenier´ıas, Campus Irapuato-Salamanca. Universidad de Guanajuato Carretera Salamanca-Valle de Santiago Km. 3.8 + 1.5

CP 36730, Salamanca, Gto., M´exico

E-mail: m.arredondosoto@ugto.mx, r.martinezm@ugto.mx, jrico@ugto.mx

1

Objetivo

Demostrar experimentalmente la validez de las ecuaciones que describen el movimiento parab´olico de un proyec-til.

2

Material y Equipo

1. Documento “Instalaci´on del Equipo para el Tiro Parab´olico”.

2. Todo el equipo especificado en el documento “Instalaci´on del Equipo para el Tiro Parab´olico”. 3. B´ascula de precisi´on

4. Cinta m´etrica o flex´ometro 5. Calculadora.

6. Cinta adhesiva

7. Papel carb´on o pasante

3

Desarrollo de la pr´

actica

1. Lea detenidamente el documento “Instalaci´on del Equipo para el Tiro Parab´olico” y proceda a instalar el equipo siguiendo los pasos all´ı indicados y bajo la supervisi´on del profesor. Al terminar la instalaci´on, verifique que el equipo se vea como el mostrado en la figura 1.

Figura 1. Panor´amica central del equipo instalado.

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2. Compruebe con ayuda del profesor que la ecuaci´on (1) describe el alcance horizontal del proyectil lanzado en tiro parab´olico como se muestra en la figura 2.

O f 0 0

y

y

m ax

y

X

y

x

q

v

Figura 2. Modelo f´ısico del Sistema. g

2(v0Cosθ)2

X2− tanθX + ∆y = 0 (1)

Donde ∆y = yf− y0

De las ecuaciones parametricas X(t) y Y (t) que describen el tiro parabolico en las componentes x y y tenemos X = v0xt (1) y = y0+ v0yt − 1 2gt 2 (2) Despejamos t de (1) t = X v0x y lo sustituimos en (2) y = y0+ v0y X v0x −1 2g  X v0x 2 (3) Como v0x= v0Cosθ y v0y= v0Senθ escribimos la ecuaci´on (3) como

y = yo+ voSenθX v0Cosθ −1 2g X2 v2 0Cos2θ y simplificando tenemos g 2v2 0Cos2θ X2− tanθX + yf− y0= 0

• ¿Que consideraciones tom´o en cuenta para obtener la ecuaci´on (1)? Despreciar la fricci´on del viento y otras fuerzas de fricci´on

• Discuta en grupo en que situaci´on se puede utilizar la ecuaci´on (1) Al ser una ecuaci´on cuadrtica en la variable x se puede utilizar para el caso en que se desconoce la coordenada x donde impactara el proyectil.

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3. Como puede darse cuenta, el movimiento de este sistema depende de la aceleraci´on de la gravedad, se sabe que una buena aproximaci´on es 9.81 m/s2. Pero tambi´en se sabe que no es constante en toda la superficie de la tierra y tiene variaciones peque˜nas alrededor de este valor. Estas variaciones dependen de la latitud y altitud del lugar donde se encuentre. Investigue cual es la latitud y altitud del lugar donde se lleva a cabo esta pr´actica y obtenga la aceleraci´on de la gravedad correspondiente empleando la gr´afica Gravity Value versus Latitude and Altitude mostrada en la figura 3.

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Figura 3. Gr´afica de la gravedad como funci´on de la latitud y altitud.

• ¿A que altitud se encuentra? 1800m SNM aproximadamente. ¿A que latitud se encuentra? 20o • ¿Que valor de la aceleraci´on de la gravedad obtuvo? 9.781m/s2

• Este valor es diferente del que habitualmente se emplea en la soluci´on de problemas acad´emicos (9.81 m/s2). ¿Cu´al es la diferencia entre ambos valores? 0.029m/s2

• ¿Qu´e tan considerable cree que es el error que se comete al tomar como constante de aceleraci´on de la gravedad el valor de 9.81 m/s2? Peque˜no pero puede ser suficiente para ser perceptible en los resultados

4. Velocidades iniciales.

Como ya debe saber, es posible elegir entre tres diferentes velocidades de disparo v0ajustando la palanca en un costado del disparador (Vea documento “Instalaci´on del Equipo para el Tiro Parab´olico”) las pruebas han demostrado que se obtiene una velocidad de inicial es independiente del ´angulo de disparo y constante para cada posicion de la palanca y para un peso espec´ıfico de proyectil. Estas velocidades se proporcionan como dato

Proyectil de m = 27.7gr ? Posici´on 1, v0≈ 2.53m/s ? Posici´on 2, v0≈ 3.63m/s ? Posici´on 3, v0≈ 4.67m/s 5. Comprobaci´on de la trayectoria utilizando el marco cuadriculado.

Como una actividad extra para cada experimento que realice con el equipo de tiro parab´olico, puede grabar en video la trayectoria del proyectil al pasar frente al marco cuadriculado que se muestra en la figura 1 y de esta forma determinar si la altura m´axima del proyectil coincide con la calculada te´oricamente con la ecuaci´on (2) que debe comprobar a continuaci´on con ayuda del profesor.

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ymax= y0+ v2

0Sen2θ

2g (2)

De las ecuaciones de velocidad en y posici´on en y tenemos

vy= v0y− gt (1) y = y0+ v0yt − 1 2gt

2 (2) En el punto m´aximo de altura tenemos que

vy = 0 Sustituimos esto en la ecuacin (1) y despejamos t

t = v0y g Luego lo sustituimos en la ecuaci´on (2)

ymax= y0+ v20y g − 1 2g v2 oy g2 Simplificando tenemos ymax= y0+ 1 2 v2oy g Y finalmente ymax= y0+ v2 0Sen2θ 2g

6. Determinaci´on de los resultados te´oricos y toma de resultados experimentales.

En la figura 4 se muestra un esquema del equipo instalado con sus cotas en centimetros.

Figura 4. Esquema del equipo completo.

• Coloque todo el equipo en su lugar y una vez hecho esto mida las alturas verticalmente desde la base o suelo, hasta 1) el punto de salida del proyectil y02) superficie donde caer´a el proyectil yf y reporte las mediciones y0= 113.3 cm, yf = 86.2 cm.

• Coloque el disparador a un ´angulo de 45o, elija la posici´on 2 y utilice el proyectil de masa m = 27.7gr escribiendo en la Tabla 1 la velocidad exhibida en el display para cada experimento.

• Calcule el alcance horizontal X con la ecuaci´on (1) y reportelo en la Tabla 1 en la columna de resultado te´orico.

Nota: La ecuaci´on tiene dos soluciones al ser una ecuaci´on cuadr´atica en X, reporte s´olo la soluci´on mas adecuada en este caso.

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• Una vez que haya calculado el resultado te´orico del experimento se puede utilizar ´este para aproximar d´onde se debe colocar el papel pasante, esperando que los resultados experimentales no se alejen del resultado te´orico.

• Realice tres pruebas con el mismo proyectil y reporte los resultados experimentales en la Tabla 1 en su correspondiente columna

• Para cada experimento calcule el porcentaje de error y rep´ortelo en la Tabla 1 a partir de la f´ormula. Error % = RE− RT

RE 100 donde RT es el resultado te´orico y RE es el resultado experimental.

Table 1: Resultados te´oricos, experimentales y porcentaje de error X N´umero Velocidad Resultado Resultado Porciento

de de Te´orico Experimental de

experimento Disparo cm cm Error

1 3.65 m/s 159.3 161.8 1.54

2 3.64 m/s 158.6 160 0.87

3 3.63 m/s 157.8 159.3 0.94

• Calcule la altura m´axima te´orica para cada experimento anterior con la ecuaci´on (2) y reportelas en la Tabla 2.

• Analizando cuidadosamente el video de cada experimento anterior, determine la altura m´axima que alcanza el proyectil en cada experimento y reporte los datos en la Tabla 2.

• Calcule el porcentaje de error para la altura m´axima te´orica vs experimental de cada experimento, en la Tabla 2.

Table 2: Resultados te´oricos, experimentales y porcentaje de error ymax N´umero ymax ymax Porciento

de Teorica Experimental de experimento cm cm Error 1 147.3 148.6 0.87 2 147.1 147.6 0.33 3 146.9 147 0.07 7. Preguntas finales

• ¿Cu´an peque˜no considera que debe ser el porcentaje de error entre resultados te´oricos y experimen-tales para considerarlos v´alidos? Debido a la gran cantidad de variables que existen en la pr´actica, un 5% es un error bastante aceptable para nuestras pruebas.

• ¿Cree que los resultados experimentales obtenidos son v´alidos y pueden considerarse un reflejo de los te´oricos? Si, son bastante aceptables

• ¿Que cree que puede causar esta diferencia entre resultados te´oricos y experimentales? Como ya se mencion´o anteriormente, existen muchos factores como: la resistencia del aire, la humedad,

inexactitud del sensor de velocidad, errores en las mediciones de altura, etc.

• ¿Que recomendar´ıa para disminuir el porcentaje de error entre los resultados te´oricos y pr´acticos obtenidos? Siempre es posible mejorar las condiciones en las que se realiza un experimento aunque dif´ıcilmente obtendremos condiciones ideales, algunas mejoras serian; realizar el experimento en un lugar seco y sin viento, tener el dato exacto de gravedad en el lugar del experimento, medir con la mayor exactitud posible las alturas necesarias, etc.

• Proporcione sus conclusiones individuales.

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