1.1 Integral doble de una función acotada en un rectángulo.

Tema 1

Integral doble

Todas las definiciones y resultados que aparecen en este Tema 1 son un caso particular de las definiciones y resultados m´as generales del Tema 2 siguiente. Sin embargo, el caso de la integral doble permite una mejor visualizaci´on de los conceptos y presenta una menor complejidad en la notaci´on, por lo que usaremos este tema para introducirlos y realizar las demostraciones. Omitiremos entonces las demostraciones an´alogas del caso general.

La integral en dos variables se construye de manera paralela a como se hizo con la integral de Riemann de una variable, con conceptos an´alogos y resultados similares obtenidos del caso de una variable. As´ı, la prueba de muchos de los resultados es pr´acticamente identica al caso de una variable y omitiremos dicha prueba, remiti´endonos a la prueba del caso simple.

1.1

Integral doble de una funci´

on acotada en un rect´

angulo.

Definici´on 1.1 – Llamaremos rect´angulo cerrado de lados [a, b] y [c, d] al intervalo cerrado de IR2

A = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ IR2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d},

y diremos que el ´area del rect´angulo A es A(A) = (b − a) · (d − c).

Definici´on 1.2 – Sean P1= {a = x0< x1< · · · < xn= b} y P2= {c = y0< y1< · · · < ym= d} dos

particiones cualesquiera de los intervalos [a, b] y [c, d] respectivamente. Llamaremos partici´on del rect´angulo A = [a, b] × [c, d] al conjunto

P = P1× P2 = {(x0, y0), (x0, y1), . . . , (xi, yj), . . . , (xn, ym)}.

Esta partici´on consta de (n + 1) × (m + 1) puntos y descompone el rect´angulo A en m × n subrect´angulos

A_ij = [x_i−1, x_i] × [y_j−i, y_j]; con 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m. Si P es una partici´on de A, escribiremos P ∈ P(A).

Definici´on 1.3 – Dadas dos particiones P = P₁× P₂ y Q = Q₁× Q₂ del rect´angulo A, se dice que P es m´as fina que Q, y lo denotaremos por Q ⊆ P , si, y s´olo si, Q1 ⊆ P1 y Q2 ⊆ P2, es

decir, si, y s´olo si, P1 es m´as fina que Q1 y P2 es m´as fina que Q2.

Nota: Dadas dos particiones P = P₁× P₂ y Q = Q₁× Q₂, la partici´on

R = P ∪ Q = (P1× P2) ∪ (Q1× Q2) = (P1∪ Q1) × (P2∪ Q2) = R1× R2

es m´as fina que las particiones P y Q, pues R1 es m´as fina que P1 y Q1, y R2 que P2 y Q2.

Definici´on 1.4 – Sea f : A = [a, b] × [c, d] −→ IR una funci´on acotada y P ∈ P(A). Entonces,

para cada subrect´angulo Aij de la partici´on, sean

y sea A(Aij) el ´area del subrect´angulo Aij. Definimos entonces la suma inferior y la suma

superior de la funci´on f respecto de la partici´on P como L(f, P ) = n,m_X i,j=1 mijA(Aij) y U(f, P ) = n,m X i,j=1 MijA(Aij) respectivamente. Aij mij Mij

Fig. 1.1. Volumen por esceso y por defecto.

Propiedades 1.5 – Sean A = [a, b] × [c, d] y f : A −→ IR una funci´on acotada, entonces

a) L(f, P ) ≤ U(f, P ), para toda P ∈ P(A).

b) Si P y Q son dos particiones de A tales que P ⊆ Q, (es decir, Q es m´as fina que P ), entonces:

L(f, P ) ≤ L(f, Q) y U(f, P ) ≥ U(f, Q). c) L(f, P ) ≤ U(f, Q) para todos P, Q ∈ P(A).

Demostraci´on:

Es an´aloga a la de una variable.

Como, para una funci´on acotada f en un rect´angulo cerrado A, el conjunto de las sumas inferiores est´a acotado superiormente por cualquier suma superior y el conjunto de las sumas superiores est´a acotado inferiormente por cualquier suma inferior, existen el superior del primero de estos conjuntos y el extremo inferior del segundo y se verifica que

sup

P ∈P(A)

L(P, f ) ≤ inf

P ∈P(A)U(P, f ).

Estos n´umeros se llaman, respectivamente, integral inferior e integral superior de la funci´on

f en A y, tambi´en se utiliza para escribirlos la notaci´on

Z

Af = supP ∈P(A)

L(P, f )

Z

Af =P ∈P(A)inf U(P, f )

Definici´on 1.6 – Sea f : A = [a, b] × [c, d] −→ IR una funci´on acotada. Se dice que f es

inte-grable en A si, y s´olo si,

sup

P ∈P(A)

L(f, P ) = inf

1.1 Integral doble de una funci´on acotada en un rect´angulo.

En este caso, el n´umero real I = sup L(f, P ) = inf U(f, P ) se llama integral de f en A y se

designa por _Z

Af o bien por

Z

Af (x, y) dx dy.

Para poner de manifiesto que integramos sobre un conjunto de IR2 _{suele usarse la notaci´on} ZZ

Af ´o

ZZ

Af (x, y) dx dy

Condici´on de integrabilidad de Riemann. 1.7 – Sea f : A = [a, b] × [c, d] −→ IR una funci´on

acotada. Entonces f es integrable en A si, y s´olo si, para cada ε > 0, existe una partici´on Pε

de A tal que

U(f, Pε) − L(f, Pε) < ε.

Demostraci´on:

Es an´aloga a la de una variable.

Ejemplo 1.8 – La funci´on f (x, y) = x + y es integrable en A = [a, b] × [c, d].

En efecto, sean P₁ = {a = x₀ < x₁ < · · · < x_n= b} y P₂ = {c = y₀ < y₁ < · · · < y_m = d}. En cada Aij, se verifica que xi−1 ≤ x ≤ xi y que yj−1 ≤ y ≤ yj, luego sumando miembro a

miembro, xi−1+ yj−1≤ x + y ≤ xi+ yj y, por tanto, mij = xi−1+ yj−1 y Mij = xi+ yj.

Si hacemos n = m y tomamos particiones P1 y P2 equiespaciadas de la forma n

xi= a + i(b−a)_n

o

e nyj = c +j(d−c)_n

o

, (es decir, divididiendo cada intervalo en partes iguales,) se tiene que

Mij− mij= (xi+ yj) − (xi−1− yj−i) = b − a_n + d − c_n

A(Aij) = (xi− xi−1)(yj− yj−1) = b − a_n ·d − c_n .

Entonces U(f, P ) − L(f, P ) = n,n X i,j=1 (M_ij − m_ij)A(A_ij) = n X i,j=1 ³ b−a n +d−cn ´ b−a n d−cn = n X i,j=1 (b−a+d−c)(b−a)(d−c) n3 = n2 (b−a+d−c)(b−a)(d−c)_n3 = (b−a+d−c)(b−a)(d−c)_n < ε

para n suficientemente grande. En consecuencia, f es integrable en A. ₄ Propiedades 1.9 – Sean f, g: A = [a, b] × [c, d] −→ IR dos funciones acotadas e integrables en A

y λ ∈ R. Entonces, las funciones f + g , λf y |f | son integrables en A y se verifica: a) ZZ A ³ f (x, y) + g(x, y)´dx dy = ZZ Af (x, y) dx dy + ZZ Ag(x, y) dx dy . b) ZZ Aλf (x, y) dx dy = λ ZZ Af (x, y) dx dy . c) Si f ≤ g en A, entonces ZZ Af (x, y) dx dy ≤ ZZ Ag(x, y) dx dy . d) ¯ ¯ ¯ ¯ ZZ Af (x, y) dx dy ¯ ¯ ¯ ¯≤ ZZ A|f (x, y)| dx dy .

e) Si el rect´angulo A es la uni´on de otros dos rect´angulos A1 y A2, cuya intersecci´on es un segmento, entonces: ZZ Af (x, y) dx dy = ZZ A1 f (x, y) dx dy + ZZ A2 f (x, y) dx dy. Demostraci´on:

Las demostraciones son semejantes a las de una variable.

1.1.1 Integrales reiteradas. Teorema de Fubini.

Teorema d´ebil de Fubini 1.10 – Sean A = [a, b] × [c, d] y f : A −→ IR una funci´on integrable

en A tal que, para cada x ∈ [a, b], la funci´on g_x: [c, d] −→ IR definida por g_x(y) = f (x, y) es

integrable en [c, d], y sea G(x) = Z _d c gx(y) dy = Z _d c f (x, y) dy.

Entonces la funci´on G(x) es integrable en [a, b] y

Z _b a G(x) dx = Z _b a ÃZ _d c gx(y) dy ! dx = ZZ Af (x, y) dx dy #Demostraci´on#

Sean P₁ = {a = x₀ < x₁< · · · < x_n= b} y P₂= {c = y₀ < y₁ < · · · < y_m= d} dos particiones arbitrarias de [a, b] y [c, d] respectivamente. Entonces, para cada partici´on P = P1× P2 de A,

donde cada subrect´angulo Aij es de la forma [xi−1, xi] × [yj−1, yj], se tiene

L(f, P ) = n,m_X i,j=1 mij(xi− xi−1)(yj− yj−1) = n X i=1  Xm j=1 mij(yj− yj−1)  _{(xi− xi−1).} U(f, P ) = n,m_X i,j=1 Mij(xi− xi−1)(yj− yj−1) = n X i=1  Xm j=1 Mij(yj− yj−1)  _{(xi− xi−1).} Si llamamos mgx

j = inf{gx(y) : y ∈ [yj−1, yj]} y Mjgx = sup{gx(y) : y ∈ [yj−1, yj]}, para cada

x ∈ [xi−1, xi], como Aij contiene al conjunto {x} × [yj−1, yj], se tiene que mij ≤ mgjx y que

Mij ≥ Mjgx y, por tanto, m X j=1 mij(yj − yj−1) ≤ m X j=1 mgx j (yj− yj−1) = L(gx, P2) ≤ Z _d c gx(y) dy = G(x) m X j=1 M_ij(y_j − y_j−1) ≥ m X j=1 Mgx j (yj − yj−1) = U(gx, P2) ≥ Z _d c gx(y) dy = G(x)

por ser gx integrable en [c, d]. Como ´esto es cierto para cualquier x ∈ [xi−1, xi], se tiene que m X j=1 mij(yj− yj−1) ≤ inf{G(x) : x ∈ [xi−1, xi]} = mGi m X j=1 Mij(yj− yj−1) ≥ sup{G(x) : x ∈ [xi−1, xi]} = MiG

1.1 Integral doble de una funci´on acotada en un rect´angulo. con lo que L(f, P ) = n X i=1  Xm j=1 mij(yj− yj−1)  _{(xi− xi−1) ≤}Xn i=1 h mG_i i(xi− xi−1) = L(G, P1) U(f, P ) = n X i=1  Xm j=1 M_ij(y_j− y_j−1)  _{(xi− xi−1) ≥}Xn i=1 h M_iGi(x_i− x_i−1) = U(G, P₁). Reuniendo ambas desigualdades,

L(f, P ) ≤ L(G, P1) ≤ U(G, P1) ≤ U(f, P ) y, entonces sup P L(f, P ) ≤ sup P1 L(G, P₁) ≤ inf P1 U(G, P₁) ≤ inf P U(f, P ). h1.1i

Por ser f es integrable en A, sup

P L(f, P ) = infP U(f, P ) =

ZZ

Af (x, y) dx dy,

luego la cadena de desigualdades de h1.1i es una cadena de igualdades y G es integrable en [a, b] y

Z _b

a G(x) dx =

ZZ

Af (x, y) dx dy.

De una manera an´aloga se prueba que

Proposici´on 1.11 – Sean A = [a, b] × [c, d] y f : A −→ IR una funci´on integrable en A tal que,

para cada y ∈ [c, d], la funci´on hy: [a, b] −→ IR definida por hy(x) = f (x, y), es integrable en

[a, b]. Entonces Z _d c ÃZ _b a hy(x)dx ! dy = ZZ Af (x, y) dx dy.

Corolario 1.12 – Si f : A −→ IR es una funci´on integrable y continua en A, entonces

ZZ Af (x, y) dx dy = Z _b a ÃZ _d c f (x, y)dy ! dx = Z _d c ÃZ _b a f (x, y)dx ! dy. Demostraci´on:

Por ser f continua, las funciones gx y hy son integrables en sus conjuntos respectivos.

Ejemplo 1.13 – Sea f (x, y) = x + y definida en A = [0, 1] × [−1, 1]. Hallar

ZZ

Af (x, y) dx dy .

Soluci´on:

Como f es integrable en A, y g_x(y) = f (x, y) = x + y es integrable en [−1, 1] (es continua), el teorema de Fubini asegura que

ZZ Af (x, y) dx dy = Z ₁ 0 µZ ₁ −1gx(y) dy ¶ dx = Z ₁ 0 µZ ₁ −1(x + y) dy ¶ dx = Z ₁ 0 Ã xy + y2 2 #₁ −1 dx = Z ₁ 0 2x dx = x 2i1 0 = 1

Tambi´en es hy(x) = f (x, y) integrable en [0, 1], luego ZZ Af (x, y) dx dy = Z ₁ −1 µZ ₁ 0 hy(x) dx ¶ dy = Z ₁ −1 µZ ₁ 0 (x + y) dx ¶ dy = Z ₁ −1 1 2+ y dy = 1 4

En realidad, el teorema de Fubini es m´as general que la versi´on demostrada, del cu´al la versi´on d´ebil es un corolario. A continuaci´on, exponemos el teorema en su versi´on fuerte (sin demostraci´on, aunque esta prueba es similar a la anterior pero m´as compleja).

Teorema de Fubini 1.14 – Sean A = [a, b]×[c, d] y f : A −→ IR una funci´on acotada e integrable

en A. Para cada x ∈ [a, b], sea gx: [c, d] −→ IR la funci´on definida por gx(y) = f (x, y) y

consideremos las funciones L(x) =

Z _d

c gx(y)dy y U (x) =

Z _d

c gx(y)dy.

obtenidas de su integral inferior y superior. Entonces las funciones L(x) y U (x) son integrables en [a, b] y Z _b a ÃZ _d c gx(y)dy ! dx = ZZ Af (x, y) dx dy = Z _b a ÃZ _d c gx(y)dy ! dx.

1.1.1.1 Integrales dependientes de un par´ametro

Proposici´on 1.15 – Sean A ⊆ IR un intervalo cerrado, I = [a, b] ⊆ IR y ψ: A × I −→ IR una

funci´on tal que la integral

Z _b

a ψ(x, t) dt existe para cada x ∈ A. Consideremos la funci´on

ϕ: A −→ IR definida por ϕ(x) =

Z _b

a ψ(x, t) dt. Entonces:

a) Si ψ es continua en A × I , la funci´on ϕ es continua en A.

b) Si ∂ψ_∂x(x, t) existe y es continua en A × I , tambi´en existe ϕ0_{(x), para cada x ∈ int(A), y}

se verifica que ϕ0_{(x) =} Z _b a ∂ψ ∂x(x, t) dt. #Demostraci´on#

a) La funci´on ψ es continua en un cerrado y acotado luego es uniformemente continua en

A×I y, por tanto, para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que, si k(x, t) − (x₀, t₀)k < δ se verifica que |ψ(x, t) − ψ(x0, t0)| < _b−aε .

Entonces, para cada x0 ∈ A, se tiene que si |x − x0| = k(x, t) − (x0, t)k < δ , entonces

|ϕ(x) − ϕ(x0)| = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z _b a ψ(x, t) − ψ(x0, t) dt ¯ ¯ ¯ ¯ ¯≤ Z _b a |ψ(x, t) − ψ(x0, t)| dt ≤ Z _b a ε b − adt = ε,

luego ϕ es continua en x0 y por consiguiente en A.

b) Sea x ∈ int(A), entonces

ϕ0(x) = lim h→0 ϕ(x + h) − ϕ(x) h = limh→0 1 h Z _b a ³ ψ(x + h, t) − ψ(x, t)´dt

1.1 Integral doble de una funci´on acotada en un rect´angulo. = lim h→0 1 h Z _b a ∂ψ ∂x(x + l, t) h dt = limh→0 Z _b a ∂ψ ∂x(x + l, t) dt

y por la parte (a), = Z _b a h→0lim ∂ψ ∂x(x + l, t) dt = Z _b a ∂ψ ∂x(x, t) dt.

1.1.2 Conjuntos de contenido cero y medida cero.

Definici´on 1.16 – Se dice que un conjunto B ⊆ IR2 _{tiene contenido cero si, y s´olo si, para}

cada ε > 0, existe un n´umero finito de rect´angulos cerrados A1, A2, . . . , An, tales que

B ⊆ n [ i=1 A_i y n X i=1 A(A_i) < ε.

Nota: Es claro que los conjuntos que tienen contenido cero son acotados, pues est´an contenidos en la uni´on finita de conjuntos acotados.

Proposici´on 1.17 – Si g: [a, b] −→ IR es una funci´on integrable en [a, b], entonces su gr´afica

G = {(x, y) ∈ IR2 : a ≤ x ≤ b, y = g(x)} es un conjunto de contenido cero de IR2.

Demostraci´on:

Sea ε > 0. Como g es integrable en [a, b], existe P_ε = {a = x₀ < x₁ < · · · < x_n = b} partici´on de [a, b], tal que U(g, Pε) − L(g, Pε) < ε.

a b mi Mi xi−1 xi Ai= [xi−1, xi]×[mi, Mi] Fig. 1.2.

Si, para cada i = 1, . . . , n, los valores mi y Mi son respectivamente el inferior y el superior

de g en [xi−1, xi], es claro que la parte de la gr´afica {(x, y) : xi−1 ≤ x ≤ xi, y = g(x)} est´a

contenida en el rect´angulo Ai = [xi−1, xi] × [mi, Mi] y, por tanto, G ⊆ n ∪ i=1Ai. Como, n X i=1 A(Ai) = n X i=1 (Mi− mi)(xi− xi−1) = n X i=1 Mi(xi− xi−1) − n X i=1 mi(xi− xi−1) = U(g, Pε) − L(g, Pε) < ε,

Definici´on 1.18 – Se dice que un conjunto B ⊂ IR2 tiene medida cero si, y s´olo si, para cada ε > 0, existe una sucesi´on {An}∞n=1 de rect´angulos cerrados tal que

B ⊂ ∞ [ n=1 A_n y ∞ X n=1 A(A_n) < ε.

Ejemplo.- IN, tomado como el conjunto {(n, 0) ∈ IR2 : n ∈ IN}, es de medida cero en IR2. Para cada n ∈ IN, tomamos el rect´angulo A_n = [n − 1

2n+1, n +₂n+11 ] × [−ε₂ ,ε₂]. Como, para

cada n ∈ IN, el punto (n, 0) ∈ A_n y A(A_n) =³n + 1

2n+1 − (n −₂n+11 ) ´ ¡_ε 4 −−ε4 ¢ = 1 2nε₂ = ₂n+1ε , se verifica que IN ⊂ ∞ [ n=1 An y ∞ X n=1 A(An) = ∞ X n=1 ε 2n+1 = ε 2 < ε.

Nota: Si un conjunto B ⊂ IR2 tiene contenido cero, entonces B tiene medida cero, pero el rec´ıproco no es cierto. Basta tomar un conjunto de medida cero no acotado, por ejemplo el conjunto IN en IR2_{. Sin embargo, es cierto el siguiente resultado:}

Proposici´on 1.19 – Si B ⊆ IR2 es cerrado y acotado y tiene medida cero, entonces tiene con-tenido cero.

Proposici´on 1.20 – Si {Bn}∞n=1 es una sucesi´on de conjuntos de IR2 de medida cero, entonces

el conjunto B = ∞∪

n=1Bn tiene medida cero.

Demostraci´on:

Sea ε > 0, entonces para cada k ∈ IN, existe una sucesi´on A_k1, A_k2, . . . , A_kn, . . . de rect´angulos

cerrados que recubren B_k y tal que P∞

n=1

A(A_kn) < ε

2k, entonces la colecci´on de todos los

{A_kn}_k,n∈IN es un recubrimiento numerable de B y adem´as

∞ X n,k=1 A(Akn) = ∞ X k=1 Ã _∞ X n=1 A(Akn) ! < ∞ X k=1 ε 2k = ε,

luego B tiene medida cero.

1.1.3 Teorema de Lebesgue.

Teorema de Lebesgue. 1.21 – Sean A = [a, b] × [c, d] y f : A −→ IR una funci´on acotada.

Entonces f es integrable en A si, y s´olo si, el conjunto de los puntos de discontinuidad de f en A tiene medida cero.

Demostraci´on:

La demostraci´on escapa al nivel de este curso, pero puede encontrarse en el libro “C´alculo en variedades” de M. Spivak.

Corolario 1.22 – Si f : A −→ IR es continua, entonces f es integrable en A. Corolario 1.23 – Si f y g son integrables en A, entonces f g es integrable en A. Demostraci´on:

En efecto, sean Df, Dg y Df g los conjuntos de discontinuidad de las funciones f , g y f g

en A. Claramente Df g ⊂ Df∪ Dg. Por el teorema de Lebesgue, Df y Dg tienen medida cero,

luego D_f ∪ Dg tiene medida cero y, por tanto, Df g tiene medida cero. En consecuencia, f g es

1.2 Integraci´on sobre conjuntos acotados. Ejemplo 1.24 – Calcular ZZ Asen 2_{x sen}2_{y dx dy , con A = [0, π] × [0, π].} Soluci´on:

La funci´on es continua en A luego integrable en A y, por el corolario del teorema de Fubini, se tiene que ZZ A(sen 2_{x sen}2_{y) dx dy =}Z π 0 µZ _π 0 sen 2_{x sen}2_{y dy} ¶ dx = Z _π 0 sen 2_x µZ _π 0 sen 2_{y dy} ¶ dx = µZ _π 0 sen 2_{y dy} ¶ Z _π 0 sen 2_{xdx =} µZ _π 0 sen 2_{x dx} ¶₂ = µZ _π 0 1 − cos 2x 2 dx ¶₂ = µ π 2 ¶₂ . ₄ Ejemplo 1.25 – Calcular ZZ A etxy y3 dx dy , con A = [0, t] × [1, t] siendo t > 1. Soluci´on:

La funci´on es continua en A luego integrable en A y, por el corolario del teorema de Fubini, se tiene que ZZ A 1 y3 e tx y dx dy = Z _t 0 µZ _t 1 1 y3 e tx y dy ¶ dx = Z _t 1 µZ _t 0 1 y3 e tx y dx ¶ dy = Z _t 1 1 y3 µZ _t 0 e t yxdx ¶ dy = Z _t 1 1 y3 ³ y te t yx it 0dy = Z _t 1 1 y3 µ y te t2 y ₋y t ¶ dy = Z _t 1 et2y ty2 − 1 ty2dy = −e t2 y t3 + 1 ty   t 1 = et 2 − et t3 + 1 t2 − 1 t. 4

1.2

Integraci´

on sobre conjuntos acotados.

Sea S ⊆ IR2. Para cada funci´on f : S −→ IR, consideremos la funci´on f : IRe 2 −→ IR definida por

e

f (x, y) =

(

f (x, y), si (x, y) ∈ S

0, si (x, y) /∈ S

Definici´on 1.26 – Una funci´on acotada f : S −→ IR definida sobre un conjunto acotado S ⊂ IR2

es integrable en S si, y s´olo si, f es integrable en alg´e un rect´angulo cerrado A que contenga a

S y, escribiremos, _ZZ Sf (x, y) dx dy = ZZ A e f (x, y) dx dy. Proposici´on 1.27 – La integral ZZ

Sf (x, y) dx dy no depende del rect´angulo A elegido.

Demostraci´on:

Sean A₁ y A₂ dos rect´angulos que contengan a S . Entonces, A₁∩ A₂ es un rect´angulo que tambi´en contiene a S y, como f es cero fuera de S , es cero en Ae 1− A2 y en A2 − A1 (ver

figura 1.3). Luego ZZ A1 e f (x, y) dx dy = ZZ A1∩A2 e f (x, y) dx dy + ZZ A1−A2 0 dx dy = ZZ A1∩A2 e f (x, y) dx dy ZZ A2 e f (x, y) dx dy = ZZ A2∩A1 e f (x, y) dx dy + ZZ A2−A1 0 dx dy = ZZ A2∩A1 e f (x, y) dx dy

S A1 A2 A1−A2 A2−A1 A1∩A2

Fig. 1.3. Independencia del rect´angulo.

1.2.1 Conjuntos medibles.

Definici´on 1.28 – Se llama funci´on caracter´ıstica de un subconjunto S de IR2_{, a la funci´on}

XS: IR2 −→ IR definida por

XS(x, y) =

(

1, si (x, y) ∈ S 0, si (x, y) /∈ S.

Definici´on 1.29 – Se dice que un subconjunto S de IR2 es medible cuando es acotado y su funci´on caracter´ıstica es integrable. En este caso, se define el ´area de S , como el n´umero real

A(S) =

ZZ

SXS(x, y) dx dy.

Proposici´on 1.30 – Un subconjunto acotado S ⊂ IR2 es medible si, y s´olo si, su frontera fr(S) tiene contenido cero.

Demostraci´on:

Se tiene que IR2 = int(S) ∪ fr(S) ∪ ext(S) y la funci´on caracter´ıstica XS es continua en

int(S) ∪ ext(S) y discontinua en fr(S). Luego, por el teorema de Lebesgue, S es medible si, y

s´olo si, fr(S) tiene medida cero. Ahora bien, como fr(S) es un conjunto cerrado y es acotado por ser S acotado, entonces fr(S) tiene medida cero si, y s´olo si, tiene contenido cero.

Proposici´on 1.31 – Sean g1 y g2 dos funciones de [a, b] en IR continuas y tales que g1 ≤ g2.

Entonces:

a) El conjunto S =n(x, y) ∈ IR2: a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x) o

es medible. b) Si f : S −→ IR es una funci´on acotada en S y continua en int(S), entonces

(i) f es integrable en S y (ii) ZZ Sf (x, y) dx dy = Z _b a "Z _g2(x) g1(x) f (x, y)dy # dx. En particular: A(S) = ZZ SXS(x, y) dx dy = Z _b a [g2(x) − g1(x)]dx.

1.2 Integraci´on sobre conjuntos acotados.

Demostraci´on:

a) S es acotado y su frontera es uni´on de las gr´aficas de las funciones g₁ y g₂ en [a, b]

G1= {(x, y) : a ≤ x ≤ b, y = g1(x)} G2 = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, y = g2(x)}

y los segmentos en IR2

{a} × [g1(a), g2(a)] = {(a, y) : g1(a) ≤ y ≤ g2(a)} {b} × [g1(b), g2(b)],

todos ellos de contenido cero, luego fr(S) tiene contenido cero y, por tanto, S es medible. b) Si la funci´on f : S −→ IR una funci´on acotada en S y continua en int(S), consideremos la

funci´on f (x, y) =e

(

f (x, y), si (x, y) ∈ S

0, si (x, y) /∈ S.

(i) Todo punto de discontinuidad de f es un punto frontera de S ya que, en int(S),e

e

f = f continua por hip´otesis y, por su definici´on, f es continua en ext(S). Luego, ele

conjunto de discontinuidades de f est´a contenido en fr(S) que tiene contenido cero.e

Entonces, f es integrable en cualquier rect´angulo que contenga a S y, por tanto, fe

es integrable en S .

(ii) Sea A = [a, b] × [c, d] un rect´angulo que contiene a S , consideramos para cada

x ∈ [a, b] la funci´on gex: [c, d] −→ IR definida por gex(y) = f (x, y). Como dichae

A S y = g1(x) y = g2(x) a b c d Fig. 1.4.

funci´on es discontinua a lo sumo en g₁(x) y en g₂(x); es integrable en [c, d] y

Z _d c e gx(y)dy = Z _g1(x) c e f (x, y)dy + Z _g2(x) g1(x) e f (x, y)dy + Z _d g2(x) e f (x, y)dy = Z _g1(x) c 0dy + Z _g2(x) g1(x) f (x, y)dy + Z _d g2(x) 0dy = Z _g2(x) g1(x) f (x, y)dy

y, por el teorema de Fubini,

ZZ Sf (x, y) dx dy = ZZ A e f (x, y) dx dy = Z _b a ÃZ _d c e fx(y)dy ! dx = Z _b a ÃZ _g2(x) g1(x) f (x, y)dy ! dx. En particular A(S) = ZZ SXS(x, y) dx dy = Z _b a ÃZ _g2(x) g1(x) 1dy ! dx = Z _b a ³ g2(x) − g1(x) ´ dx.

Proposici´on 1.32 – Sean h1 y h2 dos funciones de [c, d] en IR continuas y tales que h1 ≤ h2

en [c, d]. El conjunto T = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)} es medible y si f : T −→ IR

es una funci´on acotada en T y continua en int(T ) entonces f es integrable en T y

ZZ T f (x, y) dx dy = Z _d c ÃZ _h2(y) h1(y) f (x, y)dx ! dy. En particular: A(T ) = ZZ T XT(x, y) dx dy = Z _d c ³ h2(y) − h1(y) ´ dy.

Ejemplo 1.33 – Probar que la regi´on S limitada por la elipse x_a22+y 2 b2 = 1 es medible y calcular su ´area. Soluci´on: El conjunto S es S =n(x, y) ∈ IR2 _{: −a ≤ x ≤ a,} −b a √ a2_{− x}2 _≤ b a √ a2_{− x}2o_{. Las funciones} −a a −b b Fig. 1.5. g1(x) = −b_a √ a2_{− x}2 _{y g2(x) =} b a √

a2_{− x}2 _{son evidentemente continuas en [−a, a] y por la}

proposici´on anterior S es medible.

A(S) = Z _a −a[g2(x) − g1(x)] dx = Z _a −a 2b a p a2_{− x}2_{dx =} ( x = a sen t dx = a cos tdt ) = Z π 2 −π 2 2b a p

a2_{− a}2_sen2_{t a cos t dt = 2ab} Z π 2 −π 2 1 + cos 2t 2 dt = ab · t + sen 2t 2 ¸π 2 −π 2 = abπ. ₄

Ejercicio 1.34 – Una pir´amide, en el primer octante, est´a limitada por los planos coordenados y el plano x + 2y + 3z = 6. Representar el s´olido y calcular su volumen mediante una integral doble.

Soluci´on:

Tomando la funci´on que representa al plano, f (x, y) = z = 6−x−2y₃ , sobre la base, S , de la pir´amide se tiene que

V(P ) =

Z

Sf (x, y) dx dy.

Como el conjunto S en el plano XY est´a en el primer cuadrante y limitado por los ejes y la recta x + 2y = 6, es medible y puede escribirse en la forma

1.3 Cambio de variables. luego V(P ) = Z S 6 − x − 2y 3 dx dy = 1 3 Z ₃ 0 µZ _6−2y 0 (6 − x − 2y) dx ¶ dy = 6. ₄

1.3

Cambio de variables.

Definici´on 1.35 – Sea A ⊆ IR2 un conjunto abierto. Una funci´on g: A −→ IR2 de clase 1 se dice C1_{-inversible en A cuando es inyectiva y su determinante jacobiano, det(g}0_{(x, y)), es}

distinto de cero en todo punto (x, y) ∈ A.

Definici´on 1.36 – Sea S ⊂ IR2 _{un conjunto medible. Una funci´on f : S −→ IR se dice admisible}

cuando es acotada y el conjunto de puntos de discontinuidad de la funci´on f : IRe 2 −→ IR dada por f (x, y) =e

(

f (x, y), si (x, y) ∈ S

0, si (x, y) /∈ S , tiene contenido cero. Observaci´on:

Evidentemente, si una funci´on es admisible en S , entonces es integrable en S .

Teorema del cambio de variables. 1.37 – Sean U un conjunto abierto de IR2, g: U −→ IR2 una funci´on de clase 1 en U y A ⊂ IR2 un conjunto medible tal que A ∪ fr(A) ⊆ U .

Si g es C1_{-inversible en int(A) y f : g(A) −→ IR es una funci´on admisible en g(A), entonces}

la funci´on compuesta f ◦ g es admisible en A y

ZZ g(A)f (x, y) dx dy = ZZ A(f ◦ g)(u, v) ¯ ¯ ¯det(g0(u, v))¯¯¯du dv. 1.3.1 Coordenadas polares.

Sean el abierto U = IR2_{, la funci´on g: U −→ IR}2 _{definida por g(r, θ) = (r cos θ, r sen θ) y}

A = {(r, θ) ∈ IR2 : r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π} ⊆ U . Se tiene,

 La funci´on g es de clase 1 en U :

Cada componente es producto de funciones de clase 1 en IR2, luego g es C1 en IR2= U .

 A ∪ fr(A) ⊆ U :

Es claro, pues tanto A como fr(A) son subconjuntos de IR2_{, luego A ∪ fr(A) ⊆ IR}2 _{= U .}

 g(A) = IR2_.

En efecto, cada (x, y) ∈ IR2 _{se puede describir tambi´en mediante la distancia, r , del punto}

al origen y el ´angulo, θ , que forma el segmento entre ambos puntos con el semieje positivo de abcisas. Luego existe (r, θ) ∈ A tal que g(r, θ) = (x, y).

 La funci´on g es inyectiva en int(A) = {(r, θ) ∈ IR2 : r > 0, 0 < θ < 2π}: Si g(r₁, θ₁) = g(r₂, θ₂) =⇒ ( r₁cos θ₁= r₂cos θ₂ r1sen θ1= r2sen θ2 =⇒ ( r2 1cos2θ1= r22cos2θ2

r2₁sen2θ1= r22sen2θ2 y sumando

ambas ecuaciones se tiene que r2

1 = r22, de donde r1 = r2 ya que r1, r2 > 0. Por tanto,

cos θ1= cos θ2 y sen θ1 = sen θ2; de la primera, θ2= θ1 ´o θ2= 2π − θ1 y, sustituyendo en

 det(g0_{(r, θ)) =} ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ cos θ −rsenθ sen θ r cos θ ¯ ¯ ¯ ¯

¯= r , que es mayor que 0 para todo (r, θ) ∈ int(A).

De lo anterior, g es C1_{-inversible en int(A) y verifica todas las condiciones para ser una funci´on}

de cambio de variables.

Entonces, si B es cualquier subconjunto medible de A y f es una funci´on admisible en

S = g(B), se verifica siempre el cambio de variables a polares. Es decir:

Cambio a polares 1.38 – Sean S ⊆ IR2 medible, f : S −→ IR admisible en S y B ⊆ A medible tal que g(B) = S , entonces

ZZ

Sf (x, y) dx dy =

ZZ

Brf (r cos θ, r sen θ)drdθ.

Ejemplo 1.39 – Calcular la integral de la funci´on f (x, y) =px2_{+ y}2 _{en el semic´ırculo de IR}2

S =©(x, y) : x2_{+ y}2_{≤ 2ax, y ≥ 0}ª_.

Soluci´on:

Como x2+ y2= 2ax =⇒ (x − a)2+ y2 = a2, el conjunto S viene dado por

S =n(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2a, 0 ≤ y ≤p2ax − x2o

y es medible. La funci´on f (x, y) =px2_{+ y}2 _{es admisible en S puesto que por ser continua en}

S , las discontinuidades de la funci´on

e

f (x, y) =

( p

x2_{+ y}2_{, si (x, y) ∈ S}

0, si (x, y) /∈ S

est´an en la frontera de S , que tiene contenido cero por ser S medible.

S = g(B) x y 2a a y =√2ax − x2 B θ π 2 0 r r = 2a cos θ Fig. 1.6. Conjuntos S y B .

Haciendo x = r cos θ e y = r sen θ , obtenemos de la ecuaci´on cartesiana x2+ y2 = 2ax la ecuaci´on en polares r2 _{= 2ar cos θ y S = g(B) donde}

B = ½ (r, θ) : 0 ≤ θ ≤ π 2, 0 ≤ r ≤ 2a cos θ ¾ . Por consiguiente ZZ S q x2_{+ y}2_{dx dy =} ZZ Brr dr dθ = Z π 2 0 ÃZ _{2a cos θ} 0 r 2_dr ! dθ = Z π 2 0 " r3 3 #_{2a cos θ} 0 dθ =8a3 3 Z π 2 0 cos 3_{θ dθ =}      sen θ = t cos θdθ = dt cos2θ = 1 − t2     = 8a3 3 Z ₁ 0 (1 − t 2_{) dt} =8a3 3 " t − t3 3 #₁ 0 = 16a3 9 . 4

1.3 Cambio de variables.

1.3.2 Ejemplos de otros cambios de variables.

Ejemplo 1.40 – Sea A = {(u, v) : 1 ≤ u ≤ 2, 1 ≤ v ≤ 2}.

a) Determinar la imagen S de A en el plano XY por la aplicaci´on g(u, v) = (u2_{− v}2_{, 2uv).}

b) Comprobar que en la integral I =

ZZ

S

dx dy

p

x2_{+ y}2 se puede efectuar el cambio de variables

x = u2− v2, y = 2uv dado por g . c) Calcular el valor de I .

Soluci´on:

Como los puntos (x, y) ∈ S = g(A) verifican que

(

x = u2_{− v}2

y = 2uv , veamos en que se transforma

cada una de las l´ıneas que forman la frontera de A.

¦ Para u = 1 y 1 ≤ v ≤ 2, tenemos ( x = 1 − v2 y = 2v , con 1 ≤ v ≤ 2, luego x = 1 − y2 4 , con 2 ≤ y ≤ 4. ¦ Para u = 2 y 1 ≤ v ≤ 2, tenemos ( x = 4 − v2 y = 4v , con 1 ≤ v ≤ 2, luego x = 4 − y2 16, con 4 ≤ y ≤ 8. ¦ Para 1 ≤ u ≤ 2 y v = 1, tenemos ( x = u2_{− 1} y = 2u , con 1 ≤ u ≤ 2, luego x = y2 4 − 1, con 2 ≤ y ≤ 4. ¦ Para 1 ≤ u ≤ 2 y v = 2, tenemos ( x = u2_{− 4} y = 4u , con 1 ≤ u ≤ 2, luego x = y2 16 − 4, con 4 ≤ y ≤ 8. A v u 1 2 1 2 S −3 3 2 4 8 x = 1−y₄2 x =y₄2−1 x = 4−y₁₆2 x =y₁₆2−4

Fig. 1.7. Conjuntos A y S = g(A).

Se verifican las hip´otesis del teorema del cambio de variable:

¦ La funci´on f es de clase 1 en U = IR2, porque sus componentes tienen derivadas parciales continuas en todo punto.

¦ El conjunto A es medible, ya que fr(A) tiene contenido cero, y, evidentemente, A∪fr(A) ⊂ U .

¦ g es C1_{-inversible en int(A), pues}

– g es inyectiva en int(A): g(u1, v1) = g(u2, v2) =⇒ ( u2 1− v21= u22− v22 2u1v1= 2u2v2

elevando al cuadrado ambas ecuaciones y sumando a la segunda la primera, se tiene

( (u2 1− v12)2= (u22− v22)2 (u2 1+ v12)2= (u22+ v22)2 ⇐⇒ ( u2 1− v21= u22− v22 u2 1+ v21= u22+ v22 ⇐⇒ ( u2 1= u22 v2 1= v22 =⇒ ( u1= u2 v1= v2

ya que en int(A), los valores u1, u2, v1 y v2 son positivos.

– det(g0(u, v)) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2u −2v 2v 2u ¯ ¯ ¯ ¯

¯= 4(u2+ v2) > 0 para todo (u, v) ∈ int(A).

¦ Finalmente, la funci´on f (x, y) = _x2_+y1 2 es admisible en g(A) = S , porque las

discon-tinuidades de la funci´on e f (x, y) = ( 1 x2_+y2, si (x, y) ∈ S 0, si (x, y) /∈ S

est´an en la frontera de S que tiene contenido cero. Por consiguiente, I = ZZ S dx dy p x2_{+ y}2 = ZZ A 4(u2_{+ v}2_)dudv p (u2_{− v}2_{) + (2uv)}2 = Z ₂ 1 Z ₂ 1 4dudv = 4. 4

Ejemplo 1.41 – Transformar la integral

Z ₁ 0 µZ _3x 2x f (x, y)dy ¶ dx

introduciendo las nuevas variables u = x + y , uv = y .

Soluci´on:

Tomando S = {(x, y) ∈ IR2 : 0 ≤ x ≤ 1, 2x ≤ y ≤ 3x} tenemos que

Z ₁ 0 µZ _3x 2x f (x, y)dy ¶ dx = ZZ Sf (x, y) dx dy = I

y, despejando, tenemos x = u − y = u − uv = u(1 − v) con y = uv . Luego podremos transformar la integral en las nuevas variables si la funci´on g: IR2 −→ IR2 dada por g(u, v) = (u(1 − v), uv) es un cambio de variables v´alido en un conjunto A con g(A) = S .

¦ Si y = 2x y 0 ≤ x ≤ 1, se tiene uv = 2u(1 − v), luego u = 0 y v ∈ IR ´o u 6= 0 y v = 2 3.

Como u = x + y = 3x ≥ 0, u = 0 s´olo para x = 0, luego tenemos los dos casos: – Si y = 2x y x = 0, es decir, en (0, 0), se tiene u = 0 y v ∈ IR.

– Si y = 2x y 0 < x ≤ 1, se tiene v = 2

1.3 Cambio de variables.

¦ Si y = 3x y 0 < x ≤ 1, se tiene uv = 3u(1 − v), luego v = 3₄ y u = x + y = 4x ∈ (0, 4].

¦ Si x = 1 y 2 ≤ y ≤ 3, se tiene u = _1−v1 y v ∈ [2₃,3₄]. En consecuencia, A = ½ (u, v) ∈ IR2 : 2₃ ≤ v ≤ 3₄, 0 < u ≤ 1 1 − v ¾ ∪n(u, v) ∈ IR2 : u = 0o. S x 1 y = 3x y = 2x y 3 2 A u 3 4 v 2 3 3 4 u = 1 1 − v u = 0 Fig. 1.8.

Sin embargo, como A no es un conjunto acotado, no es medible y, por tanto, no es un conjunto de integraci´on v´alido. Ahora bien, como A no es medible porque contiene la recta infinita u = 0 pero todos los puntos de dicha recta verifican que g(0, v) = (0, 0), si sustituimos toda la recta por una parte acotada de ella obtendremos un conjunto, B , que ser´a medible y verificar´a que g(B) = g(A) = S . Por ejemplo, el conjunto

B = ½ (u, v) ∈ IR2 : 2₃ ≤ v ≤ 3₄, 0 ≤ u ≤ 1 1 − v ¾ . B u = 3 u = 4 v =2 3 v =3₄ u = 1 1 − v Fig. 1.9.

Veamos que g es C1-inversible en int(B) =n(u, v) ∈ IR2: ₃2 < v < 3₄, 0 < u < _1−v1 o:

¦ det(g0_{(u, v) =} ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 − v −u v u ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= u(1 − v) + uv = u > 0.

¦ Si g(u1, v1) = g(u2, v2) =⇒ (

u1+ u1v1= u2+ u2v2

u1v1= u2v2 , restando ambas ecuaciones se tiene

u1= u2 y, como u > 0 en int(B), tambi´en v1 = v2 y g es inyectiva en int(B).

Luego I = ZZ Bf (u(1 − v), uv)u du dv = Z 3 4 2 3 ÃZ 1 1−v 0 f (u(1 − v), uv)u du ! dv. ₄

1.4

Aplicaciones de la integral doble a la mec´

anica.

Consideremos una l´amina delgada que tenga la forma de una regi´on S ⊂ IR2 y supongamos que su densidad (masa por unidad de ´area) en cada punto viene dada por una funci´on integrable

f : S −→ IR. Entonces la masa total M de la l´amina es M =

Z

Sf (x, y) dx dy.

El centro de masas de la l´amina es el punto (ξ, η) de coordenadas

ξ = 1 M Z Sxf (x, y) dx dy, η = 1 M Z Syf (x, y) dx dy

y el momento de inercia respecto de la recta L es

IL=

Z

Sδ

2_{(x, y)f (x, y) dx dy,}

donde para cada punto (x, y) ∈ S , δ(x, y) representa la distancia del punto (x, y) a la recta L. Ejemplo 1.42 – En una l´amina cuadrada de lado a, la densidad en cada punto es proporcional al cuadrado de la distancia de ese punto a uno de los v´ertices. Hallar el momento de inercia de dicha l´amina respecto a uno de los lados que pasan por ese v´ertice.

Soluci´on:

Consideremos el cuadrado de v´ertices (0, 0), (0, a), (a, a) y (a, 0). Si la densidad f (x, y) en el punto (x, y) es proporcional al cuadrado de la distancia de (x, y) al v´ertice (0, 0), para cada (x, y) ∈ S ser´a f (x, y) = k(x2_{+ y}2_{), con k un valor constante.}

Si giramos la l´amina respecto al eje OX , tenemos que δ(x, y) = y y el momento de inercia

I_L respecto al eje OX ser´a

IL= k Z Sy 2_(x2_{+ y}2_{) dx dy = k} Z _a 0 µZ _a 0 y 2_(x2_{+ y}2_{) dy} ¶ dx = 14ka6 45

1.5

Ejercicios

1.1 Calcular ZZ Ax 2_{y + xy}2 _{dx dy , con A = [0, 1] × [0, 1].} 1.2 Probar que 1 ≤ ZZ A dx dy x2_{+ y}2_{+ 1} ≤ 6, con A = [−1, 1] × [−1, 2].

1.3 Calcular el volumen, V , encerrado por la superficie z = x2 + y2 sobre el rect´angulo

1.5 Ejercicios

1.4 La integral de la funci´on f (x, y) = x2_{+ y}2 _{sobre una regi´on S ⊂ IR}2 _{se reduce a la integral}

reiterada Z ₁ 0 ÃZ ₁₊√_1−y2 1−√1−y2 f (x, y) dx ! dy.

Determinar la regi´on S e invertir el orden de integraci´on para calcularla. 1.5 Calcular

ZZ

Se

x+y_{dx dy donde S = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 1}.}

1.6 Calcular ZZ S(x 2_{− y}2_{) dx dy donde S = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sen x}.} 1.7 Calcular Z ₁ 0 ÃZ ₁ √ x(x + y) 2_dx !

dy directamente y cambiando el orden de integraci´on.

1.8 Calcular Z ₂ 0 ÃZ ₁ √ y(x 2_{+ y}3_{x) dx} !

dy directamente y cambiando el orden de integraci´on.

1.9 Evaluar Z ₂ 1 ÃZ _{ln x} 0 (x − 1) p 1 + e2y_dy ! dx. 1.10 Hallar ZZ Sy(1 − cos xπ 4 ) dx dy , siendo S = {(x, y) : x ≥ 0, √ x ≤ y ≤ 2}.

1.11 Sean f : IR −→ IR una funci´on continua y g: IR −→ IR una funci´on derivable. Sea la funci´on

h: IR −→ IR definida por h(t) = Z _t 0 µZ _t x g(y) dy ¶ f (x) dx. Se pide:

a) Expresar h(t) como una integral doble extendida a un cierto recinto S ⊂ IR2 e invertir el orden de integraci´on.

b) Probar que la funci´on h es dos veces derivable y calcular h00_(t).

1.12 Considerar la aplicaci´on definida por las ecuaciones: x = u + v e y = v − u2_.

a) Calcular el determinante de la matriz jacobiana de la aplicaci´on.

b) Un tri´angulo T en el plano U V tiene por v´ertices (0, 0), (2, 0) y (0, 2). Representar mediante un dibujo, la imagen S en el plano XY .

c) Calcular el ´area de S mediante una integral doble extendida a S y tambi´en mediante otra integral doble extendida a T .

d) Calcular

ZZ

S(x − y + 1)