Teselaciones y Grafos de Intersección de Segmentos en Superficies no Planas

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Teselaciones y Grafos de Intersecci´

on de

Segmentos en Superficies no Planas

N. de Castro, F.J. Cobos, J.C. Dana y A. M´arquez Universidad de Sevilla. Departamento de Matem´atica Aplicada I.

{natalia,cobos,dana,almar}@us.es

Resumen

En este trabajo se caracterizan aquellos grafos que admiten una teselación en el cilindro y en el toro, en donde la teselación de un grafo es la representación que asocia a cada componente de una inmersión dada (vértices, aristas y caras), baldosas en la superficie de manera que las incidencias topológicas de dicha inmersión se corresponden con adyacencias geométricas entre las baldosas.

Como aplicación directa de las teselaciones de grafos, se caracterizan aquellos grafos que admiten una representación en éstas superficies como intersección de segmentos en dos direcciones ortogonales.

Palabras Clave: Teselaci´on de grafos, Grafos de intersecci´on.

1 Introducci´

on

Recientemente la representación de grafos ha creado un gran interés debido a sus aplicaciones en numerosas áreas como el diseño de circuitos VLSI, arquitectura de computadores y dibujo de grafos [1].

En este trabajo se estudian dos tipos de representaciones de grafos en las superficies del cilindro y del toro. La primera es lo que se conoce como la teselación de un grafo, que asocia a cada grafo inmerso en una superficie una partición de la misma en baldosas, cada una asociada a una componente del grafo (vértices, aristas o caras) de manera que las incidencias topológicas entre las componentes del grafo quedan representadas por adyacen-cias geométricas entre las baldosas. Tamassia y Tollis introducen esta representación en [6], donde caracterizan los grafos teselables en el plano y la esfera utilizando como baldosas rectángulos (degenerados o no).

En un intento de generalizar este resultado, Mohar y Rosenstiehl [5], estudian la te-selación de grafos en la superficie del toro, aunque en este caso los vértices y caras de una inmersión tórica del grafo están representados como segmentos en dos direcciones no ortogonales, con lo que las aristas del grafo quedan representadas como cuadriláteros no rectángulos delimitados por dichos segmentos. Estos autores caracterizan aquellos grafos que admiten esta representación, que denominaremos “teselación torcida” de un grafo en el toro.

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Figura 1: Teselaci´on de un grafo en el plano.

Adem´as, los autores en [5] plantean la posibilidad de representar grafos en el toro utili-zando direcciones ortogonales para las componentes del grafo. As´ı, comentan textualmente:

Figura 2: Teselaci´on “torcida” de un grafo en el toro.

“It would be interensting to know which toroidal maps have a tessellation representation in the square model of the torus with the directions ∆ and ∆0 parallel to the sides of the fundamental square”. 1

En la secci´on 2 completamos este trabajo caracterizando aquellos grafos que admiten una teselaci´on con direcciones ortogonales en el cilindro y el toro.

Esta caracterización nos permite representar grafos como intersección de segmentos, es decir, asignarle segmentos a los vértices del grafo y las aristas de éste vienen determinadas por las adyacencias entre dichos segmentos. Diversos autores estudian la representación de grafos bipartitos como intersección de segmentos horizontales y verticales [4, 2, 3] en el plano. En la sección 4 caracterizamos aquellos grafos que admiten este tipo de representación en el cilindro y el toro.

1_{Ser´ıa interesante saber qu´}_{e grafos admiten una teselaci´}_{on en el toro con las direcciones ∆ y ∆}0_(asociadas a v´ertices y caras) paralelas a los lados del rect´angulo fundamental.

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2 Teselaciones de grafos en el cilindro

Consideraremos inmersiones de grafos en el cilindro donde llevamos los v´ertices a puntos de la superficie cil´ındrica y las aristas a arcos de curvas de Jordan que no se intersecan salvo en v´ertices comunes. Trabajaremos con inmersiones sobre el cilindro con dos caras no acotadas, a las que nos referiremos como la cara izquierda y la cara derecha.

Sea G un grafo inmerso en el cilindro, una orientaci´on cil´ındrica Γ de G es una orientaci´on de sus aristas de manera que:

• Γ no tiene fuentes (v´ertices sin aristas de entrada), ni sumideros (v´ertices sin aristas de salida).

• Todo ciclo dirigido rodea al cilindro en la misma direcci´on (digamos en la direcci´on de las agujas del reloj).

En el siguiente lema [7] se dan dos propiedades muy interesantes sobre las orientaciones cil´ındricas:

Lema 2.1. Sea Γ una orientaci´on cil´ındrica. Se tiene:

• Para todo v´ertice v de Γ las aristas de entrada (de salida) aparecen consecutivamente alrededor de v. (Ver Figura 3(a)).

• El borde de toda cara interna de Γ consiste en dos caminos dirigidos con origen y llegada com´un. (Ver Figura 3(b)).

Figura 3: (a) Aristas alrededor de un v´ertice. (b) Caminos dirigidos de una cara.

Según el Lema 2.1, para cada vértice v de una orientación cil´ındrica podemos distinguir dos caras que lo contienen, aquella que separa las aristas entrantes de las salientes en el sentido contrario al de las agujas del reloj, que denotaremos por I(v) y aquella que separa las aristas entrantes de las salientes en el sentido de las agujas del reloj, que denotaremos por D(v) (Ver Figura 3 (a)).

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Por otra parte, para cada cara f de una orientación cil´ındrica, también podemos distin-guir dos vértices: aquel del que salen los dos caminos dirigidos, que denotaremos por sub(f ), y al que llegan, que denotaremos por Sup(f ).

Esta notación también puede generalizarse a las aristas de la orientación cil´ındrica ya que si e = (u; v) es una arista recorrida desde u hasta v, podemos denotar por sub(e) = u y por Sup(e) = v. Análogamente, la orientación de la arista nos permite diferenciar entre la cara a la izquierda de e, y la cara a la derecha de e, que denotaremos por I(e) y D(e), respectivamente.

Sea Γ una orientación cil´ındrica de G, dicha orientación cil´ındrica define también una orientación Γ∗ en el dual G∗ en la que el dual e∗ de una arista e está dirigida desde I(e) hasta D(e) (Ver Figura 4).

Figura 4: Orientación cil´ındrica de un grafo (vértices negros) y su dual (vértices blancos).

Lema 2.2. Sea G un grafo inmerso en el cilindro con distintas caras izquierda y derecha, entonces existe una orientaci´on cil´ındrica Γ de G.

Una baldosa en el cilindro es un rect´angulo delimitado por dos generatrices y dos arcos de circunferencia. Puesto que el cilindro es una superficie no acotada, admitimos baldosas no acotadas y baldosas en el infinito, aunque no admitiremos en ninguna de las superficies baldosas que puedan completar una circunferencia o banda cil´ındrica.

Dada una orientación cil´ındrica de un grafo G. Una teselación de G sobre el cilindro es una aplicación que lleva cada componente c de G (vértices, aristas o caras) en una baldosa rectangular T (c) del cilindro tal que:

• El interior de las baldosas T (c) y T (d) es disjunto para todo c 6= d. • La uni´on de todas las baldosas T (c) es el cilindro.

• Para cada arista e ∈ G el lado inferior (superior, izquierdo, derecho) de la baldosa T (e) se apoya en el lado superior (inferior, derecho, izquierdo, respectivamente) de la baldosa T (sub(e)), (T (Sup(e)), T (I(e)), T (D(e)), Respectivamente).

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Figura 5: Baldosas asociadas a las componentes de un grafo.

Dado un digrafo ac´ıclico, un orden topológico τ en sus vértices asocia a cada vértice v un entero no negativo τ (v) tal que τ (u) < τ (v) para cada arista dirigida (u, v).

Teorema 2.1. Un grafo es teselable en el cilindro si y s´olo si es 2-conexo. Demostraci´on:

Si suponemos que el grafo tiene un punto de corte, podemos llegar fácilmente a una contradicción con la hipótesis de que sea teselable, ya que existe una cara que debe estar representada forzosamente por una circunferencia.

Figura 6: Teselaci´on de un grafo en el cilindro.

Rec´ıprocamente, si suponemos que es 2-conexo, el siguiente algoritmo que es una adap-taci´on del que presentan Tamassia y Tollis en [7], da una teselaci´on del grafo.

ALGORITMO TESELACI ´ON

Entrada: Un grafo plano 2-conexo con n v´ertices inmerso en el plano con dos caras distin-guidas f1 y f2.

Salida: Una teselaci´on tipo 1 del grafo en el cilindro cuyas caras izquierda y derecha son f1 y f2.

Paso 1: Construir una orientaci´on cil´ındrica γ de G cuya cara izquierda sea f1 y cuya cara

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Paso 2: Construir el grafo dual Γ∗ de Γ donde las aristas est´an orientadas de ”izquierda a derecha. Γ∗ es un digrafo ac´ıclico con exactamente una salida y exactamente una entrada.

Paso 3: Computar un orden topol´ogico α en el digrafo obtenido de Γ al eliminar las aristas que intersecan a un camino de desde f1a f2.

Paso 4: Computar un orden topol´ogico β en Γ∗.

Paso 5: Sea θ0=2π_n, para cada v´ertice v dibujar un segmento desde el punto

(β(I(v)), α(v)θ0) hasta (β(D(v)), α(v)θ0).

Paso 6: Para cada arista e dibujar un rect´angulo de v´ertices: (β(I(e)), α(sub(e))θ0),

(β(D(e)), α(sub(e))θ0), (β(I(e)), α(Sup(e))θ0) y (β(D(e)), α(Sup(e))θ0).

Paso 7: Para cada cara f dibujar un arco circular desde el punto (β(f ), α(sub(f ))θ0) hasta

el punto (β(f ), α(Sup(f ))θ0).

3 Teselaciones de grafos en el toro

Trabajamos en esta sección con inmersiones tóricas de grafos, es decir representaremos los vértices del grafo como puntos del toro y las aristas como arcos de curvas de Jordan que no se intersecan salvo en vértices comunes y de tal forma que todo meridiano y todo paralelo del toro interseca a algún vértice o arista del grafo.

Diremos que una inmersi´on de un grafo en el toro es 2-celular si todas las caras son homeomorfas a discos abiertos. Si el borde de cada cara es un ciclo simple, entonces las caras son homeomorfas a discos cerrados. En ese caso diremos que la inmersi´on es 2-celular cerrada.

Figura 7: V´ertice esencial.

Es fácil encontrar inmersiones en el toro de grafos 2-conexos con alguna cara cuyo borde no es un ciclo simple (ver Figura 7). En ese caso, denominaremos vértice esencial al vértice que se repite al recorrer el borde de dicha cara.

Dado un grafo tórico G, y C un ciclo de G que lo rodea en la dirección de los meridianos, podemos “cortar” el grafo duplicando los vértices y aristas de C, obteniendo un nuevo grafo en el cilindro GC.

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Podemos obtener una orientaci´on cil´ındrica de GCy al identificar nuevamente las aristas

y vértices de C y su copia, obtenemos una orientación en las aristas de G que denominaremos orientación tórica de G.

Una baldosa en el toro es un rect´angulo delimitado por dos meridianos y dos paralelos de manera que ninguna baldosa complete una circunferencia o banda cil´ındrica.

Partiendo de una orientación tórica de un grafo G, una teselación de G sobre el toro es una aplicación que lleva cada componente c de G (vértices, aristas o caras) a una baldosa rectangular T (c) del toro cumpliendo lo siguiente:

• El interior de las baldosas T (c) y T (d) es disjunto para todo c 6= d. • Las baldosas constituyen una partici´on del toro.

• Para cada arista e del grafo G, el lado inferior (superior, izquierdo, derecho) de la baldosa T (e) se apoya en el lado superior (inferior, derecho, izquierdo) de la baldosa T (sub(e)), T (Sup(e)), T (I(e)), T (D(e)), respectivamente).

• Ninguna baldosa constituye un meridiano completo o banda cil´ındrica.

Figura 8: Teselaci´on ortogonal de un grafo en el toro.

Teorema 3.1. Una inmersi´on 2-celular de un grafo en el toro es teselable si y s´olo si es cerrada.

Demostraci´on:

La demostración de este Teorema se basa en el Teorema 2.1. Consideramos un ciclo C que rodee al toro en la dirección de los meridianos. Cortando el toro por dicho ciclo, duplicando sus vértices y aristas, obtenemos un nuevo grafo inmerso en el cilindro GC.

Podemos obtener una teselaci´on de GC en la que los segmentos asociados a los v´ertices

de C queden a la misma altura. Identificando nuevamente los segmentos y rect´angulos asociados a las componentes duplicadas, obtenemos una teselaci´on de G en el toro.

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4 Grafos de intersecci´

on de segmentos

En esta sección veremos como podemos obtener una representación como intersección de segmentos ortogonales en el cilindro y el toro, aplicando los resultados obtenidos sobre las teselaciones en éstas superficies.

Dada una familia de segmentos en una superficie, su grafo de intersección tiene un vértice por cada segmento y dos vértices son adyacentes si y sólo si los correspondientes segmentos se intersecan. En esta sección estudiaremos un tipo particular de grafos de intersección de segmentos, conocidos como grafos de contacto que son aquellos en que los segmentos no se cruzan, sino que el extremo de uno de ellos se apoya en el otro.

Dado un grafo G, su representaci´on por segmentos es una familia de segmentos tal que su grafo de contacto es isomorfo a G. Numerosos autores han estudiado la representaci´on de grafos bipartitos en el plano [4, 2, 3], obteniendo que todos los grafos planos bipartitos son representables por segmentos horizontales y verticales en el plano. En este trabajo, com-pletamos dicho resultado estudiando los grafos representables por segmentos en el cilindro y en el toro.

Teorema 4.1. Un grafo es representable en S como intersección de segmentos horizontales y verticales (donde S es el cilindro o el toro) si y sólo si es bipartito y no tiene aristas múltiples.

Demostraci´on:

Dado un grafo G bipartito, inmerso en S (donde S puede ser el cilindro o el toro), supondremos que sus vértices están coloreados con dos colores, blanco y negro, de manera que dos vértices del mismo color no sean adyacentes. Podemos añadir vértices y aristas “virtuales” de manera que todas las caras del grafo sean cuadriláteros. Si alguna de las aristas que hemos introducido conecta vértices adyacentes, la subdividimos con dos nuevos vértices “virtuales”. Esta subdivisión trasforma dos caras que eran cuadriláteros en caras de seis vértices, pero podemos añadir nuevas aristas “virtuales” uniendo los nuevos vértices con los que ya estaban, con la certeza de que no crearemos aristas dobles.

Por tanto, podemos suponer que G es un grafo bipartito inmerso en S y que todas sus caras internas son cuadril´ateros. Por cada cara interna f conectamos sus dos v´ertices negros con una arista por el interior de f . Todas estas aristas constituyen un nuevo grafo GN, cuyos

vértices son los vértices negros de G y dos vértices son adyacentes si pertenecen a la misma cara en G. De forma análoga podemos definir GB, considerando los vértices blancos de G.

Obs´ervese GN y GB son grafos duales el uno del otro, ya que cada arista de GN interseca

una ´unica arista de GB y viceversa.

Es f´acil comprobar que el grafo GN es 2-conexo si G est´a inmerso en el cilindro o que

no tiene vértices esenciales si está inmerso en el toro, ya que de ser as´ı G tendr´ıa una arista doble. Por tanto, GN es teselable en S, es decir, GN admite una representación en S de

manera que sus vértices (los vértices negros de G) quedan representados por segmentos horizontales y sus caras (los vértices blancos de G), quedan representados por segmentos verticales.

Obviamente si partimos de una configuración de segmentos horizontales y verticales en S, su grafo de intersección ha de ser bipartito y sin aristas múltiples.

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Figura 9:

Referencias

[1] G. Di Battista, P. Eades, R. Tamassia and I.G. Tollis. Algorithms for drawing graphs: an annotated bibliography. Computational Geometry: Theory and Applications, 4(5):104– 110, 1994.

[2] J. Czyzowicz, E. Kranakis and J. Urrutia. A simple proof of the representation of bipar-tite planar graphs as the contact graph of orthgonal straight line segments. Information Processing Letters, 66:125–126, 1998.

[3] H. de Fraysseix, P.O. de Mendez and J. Pach. Representation of planar graphs by segments. Colloquia Mathematica Societatis J´anos Bolyai, Intuitive Geometry, 1991. [4] I. Ben-Arroyo Hartman, I. Newman and R. Ziv. On grid intersection graphs. Discrete

Math., 87:41–52, 1991.

[5] B. Mohar and P. Rosenstiehl. Tessellation and visibility representations of maps on the torus. Discrete Computational Geometry, 19:249–263, 1998.

[6] R. Tamassia and I.G. Tollis. Tessellation representations of planar graphs. Proc. 27th Annual Allerton Conf., pages 48–57, 1989.

[7] R. Tamassia and I.G. Tollis. Representations of graphs on a cylinder. SIAM J. Discrete Mathematics, 4(1):139–149, 1991.