La aplicación de las funciones numéricas en el proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática

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(1)Departamento de Ciencias Exactas. LA APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES NUMÉRICAS EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA Autor: Joaquín Suárez Salvador Tutor: Dr.C. Carlos Duardo Monteagudo. , junio 2018.

(2) Este documento es Propiedad Patrimonial de la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas, y se encuentra depositado en los fondos de la Biblioteca Universitaria “Chiqui Gómez Lubián” subordinada a la Dirección de Información Científico Técnica de la mencionada casa de altos estudios. Se autoriza su utilización bajo la licencia siguiente: Atribución- No Comercial- Compartir Igual. Para cualquier información contacte con: Dirección de Información Científico Técnica. Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas. Carretera a Camajuaní. Km 5½. Santa Clara. Villa Clara. Cuba. CP. 54 830 Teléfonos.: +53 01 42281503-1419.

(3) Dedicatoria A mi MAMÁ, trinchera y faro de todas mis batallas, mi primera maestra. Gracias por todo. A mis maestros desde el preescolar hasta la universidad, quienes me inspiraron a dedicarme a esta hermosa profesión..

(4) Agradecimientos En primer lugar, a mi mamá y a mi papá Rey, quienes siempre han estado a mi lado y contribuido sobremanera en mi formación. A mi novia, por acompañarme y apoyarme en cada uno de los momentos en que las fuerzas no alcanzaban. A mi papá Joaquín y al resto de mi familia que también ha aportado su granito de arena. A mi tutor Dr.C. Carlos Duardo Monteagudo por las horas dedicadas, por escuchar en cada momento mis ideas, aportar sus saberes y ser tan exigente. A mis maestros que me inspiran. A TODOS los profesores del Departamento de Ciencias Exactas y la Facultad de Educación Media quienes me han apoyado y se han preocupado por el desarrollo de la tesis. A mis amigos y compañeros quienes se mantuvieron al tanto de este proceso. A todos los que con una frase de aliento o una sugerencia me apoyaron..

(5) Resumen La educación en Cuba se encuentra en un nuevo proceso de perfeccionamiento iniciado, en la educación media superior, en el curso 2004-2005. La Matemática como asignatura en el currículo del preuniversitario también se encuentra en este proceso por lo que se reordenan sus contenidos y se perfeccionan sus métodos. Uno de los cambios radica en que la formulación y solución de problemas se convierte en el eje central de trabajo con sus contenidos y debe contribuir a hacer evidente las implicaciones de la matemática en la vida. En ese sentido, se ha detectado que las aplicaciones de las funciones numéricas se utilizan escasamente en el proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática y que en los libros de textos no aparecen suficientes problemas propuestos que tengan como contenido dichas aplicaciones. De ahí, se hace necesario proponer problemas con aplicaciones de las funciones numéricas y para ello se selecciona la Unidad 2 del undécimo grado. Como resultado del proceso investigativo, se obtiene una propuesta de problemas con aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas a la biología, la química, la física; entre otros. Esta propuesta ha sido valorada favorablemente por los especialistas y contribuye a la formación integral de los estudiantes. Los resultados de la aplicación en la práctica de los problemas con aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas confirman su contribución al proceso de la enseñanza aprendizaje de la Matemática en el undécimo grado. Palabras claves: funciones numéricas, Matemática, proceso de enseñanza aprendizaje, solución de problemas Abstract Education in Cuba is going through a process of improvement that started in Secondary Education during the school year 2004-2005. Mathematics as a subject in the Preuniversity curriculum is also part of such process, consequently its contents are reorganized and its methods are improved. One of the changes lies on the fact that problem solving becomes the core of content treatment and should contribute to display the implications of mathematics in life. In that sense, it has been found that the applications of numerical functions are hardly ever used in the teaching-learning process of Mathematics and that textbooks do not contain enough problems having such applications as their main content. Therefore, it is necessary to propose problems with the applications of numerical functions, for which Unit 2 from eleventh grade was chosen. As a result of the research process, a proposal of problems is obtained with the applications of exponential and logarithmic functions to Biology, Chemistry, and Physics, among others. The proposal has been positively assessed by the specialists and contributes to the comprehensive education of the students. The results of the implementation of the proposal have confirmed its contribution to the teaching-learning process of Mathematics in eleventh grade. Keywords: numerical functions, Mathematics, teaching-learning process, problem solving.

(6) Índice Introducción ..................................................................................................................... 1 Desarrollo ........................................................................................................................ 5 1. El proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática en el undécimo grado ... 5 1.1.. La solución de problemas ............................................................................... 7. 1.2.. Las funciones numéricas................................................................................. 9. 2. Determinación de necesidades y potencialidades de la aplicación de las funciones exponencial y logarítmica ........................................................................................... 13 2.1. Presentación y análisis de los resultados obtenidos ..................................... 13. 3. Propuesta de problemas con aplicaiones de las funciones numéricas ................ 16 3.1.. Problemas para la aplicación de las funciones exponencial y logarítmica .... 17. 4. Valoración de la propuesta de problemas mediante la aplicación del método de criterio de especialista ................................................................................................ 21 4.1.. Resultados de la valoración de la propuesta................................................. 21. 5. Validación de la propuesta de problemas ............................................................ 22 5.1.. Valoración de los resultados del pre experimento ......................................... 23. Conclusiones ................................................................................................................. 25 Recomendaciones ......................................................................................................... 26 Bibliografía..................................................................................................................... 27 Anexos .......................................................................................................................... 31.

(7) Introducción En la actualidad el sistema educativo cubano se encuentra inmerso en un proceso de perfeccionamiento. En particular, en el nivel preuniversitario este comienza en el curso 2004-2005 y da continuidad a las transformaciones en los niveles precedentes. Las transformaciones incluyen el reordenamiento de los contenidos de las diferentes asignaturas, y el perfeccionamiento de sus métodos. Estas transformaciones se sustentan en “(…) la optimización del proceso docente-educativo, que es el sistema de acciones a aplicar en cada enseñanza, territorio, escuela, dirigido a lograr la calidad educativa, en la medida que este sistema de acciones permite identificar los problemas que a nivel del centro escolar impiden el avance de la elevación de la calidad educativa”. (Massón, 2004, p.39) La escuela como institución social debe responder a la necesidad de la formación multilateral y armónica de las nuevas generaciones. Las nuevas y difíciles condiciones internacionales en que se desarrolla el sistema social cubano y los desafíos que enfrenta en el plano interno, la constitución de un proyecto socialista en el marco de una situación de crisis, plantea a la educación exigencias particulares. Una de las asignaturas que aporta en este empeño es la Matemática, sobre todo si se tiene en cuenta su carácter integrador, generalizador y su incidencia en el desarrollo armónico y multifacético de la personalidad y la conciencia de los estudiantes. A la vez que desarrolla el pensamiento lógico, también propicia un sistema de conocimientos que garantiza la formación de conceptos científicos fundamentales, así como coadyuva a potenciar el nivel de preparación en la asignatura, desarrollando la movilidad de los procesos del pensamiento, la comprensión de estructuras formales y la imaginación espacial. Una de las transformaciones en la Matemática radica en que la formulación y solución de problemas se convierte en el eje central de trabajo con sus contenidos y debe contribuir a hacer evidente sus implicaciones en la vida. Sin lugar a dudas, la educación cubana atesora significativos logros, pero es indispensable continuar avanzando en aras del mejoramiento para solucionar los problemas actuales y proyectar el desarrollo futuro. Al respecto Fidel señala: “Seríamos un ejemplo de vanidad, chovinismo, de autosuficiencia e inmodestia si dijéramos que estamos satisfechos de lo que hemos hecho. Nuestra educación tiene todavía muchas 1.

(8) deficiencias y lagunas, no hemos sido capaces de alcanzar un sistema educacional óptimo” (Castro, 2003, párr. 8). El papel que le corresponde a la Matemática como asignatura en el currículo del preuniversitario debe contribuir a hacer evidente las implicaciones de la misma en la vida. Dentro de sus contenidos, las funciones numéricas tienen gran aplicabilidad. Estas permiten la comprensión de planteamientos trascendentales para la supervivencia humana y la solución de problemas en diferentes áreas. Dichas funciones se imparten de forma explícita desde octavo grado. Sin embargo, como resultado de las indagaciones realizadas en el undécimo grado, se pudo constatar que los estudiantes presentan dificultades en el dominio de las propiedades de las funciones estudiadas y en su aplicación. En la búsqueda de las causas fundamentales se evidencia que en el proceso de enseñanza aprendizaje, no se logra una comprensión por los estudiantes de los conceptos de las propiedades de las funciones numéricas y no se aprovechan suficientemente las potencialidades de sus aplicaciones en diferentes fenómenos naturales, sociales y en otras ciencias, existen pocos problemas en los libros de la educación media superior con este fin y no se es sistemático al proponer problemas en clases relacionados con las mismas. Existen investigadores que han trabajado, con profundidad, la solución de problemas matemáticos, entre ellos Polya y Pedersen (1984); Shoenfeld (1985); Ballester (1995); Campistrous y Rizo (1996); Llivina (1999); Ferrer (2000). También la literatura revisada aborda la aplicación de las funciones numéricas; sin embargo, el tratamiento de esta, en los programas de estudio de la educación media superior es limitado al tener pocos problemas, escasas orientaciones metodológicas y poca variedad en las aplicaciones. A partir de la situación anterior se plantea como problema científico: ¿Cómo contribuir a la aplicación de las funciones numéricas en la Unidad 2 “Ecuaciones y funciones exponenciales y logarítmicas” en el undécimo grado? Objeto de estudio: el proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática. Objetivo: Proponer problemas con aplicaciones de las funciones numéricas para la Unidad 2 “Ecuaciones y funciones exponenciales y logarítmicas” del undécimo grado. 2.

(9) Interrogantes Científicas 1. ¿Cuáles son los fundamentos teórico metodológicos de la aplicación de las funciones numéricas en el preuniversitario? 2. ¿Qué necesidades y potencialidades existen en la aplicación de las funciones numéricas en el undécimo grado del Instituto Preuniversitario Urbano (IPU) “Capitán Roberto Rodríguez”? 3. ¿Qué problemas contribuyen a la aplicación de las funciones numéricas en la Unidad 2 “Ecuaciones y funciones exponenciales y logarítmicas” del undécimo grado del IPU “Capitán Roberto Rodríguez”? 4. ¿Qué valoraciones aportan los especialistas acerca de los problemas con aplicaciones de las funciones numéricas en la Unidad 2 “Ecuaciones y funciones exponenciales y logarítmicas” del undécimo grado del IPU “Capitán Roberto Rodríguez”? 5. ¿Qué resultados se obtienen con la puesta en práctica de los problemas con aplicaciones de las funciones numéricas en la Unidad 2 “Ecuaciones y funciones exponenciales y logarítmicas” del undécimo grado del IPU “Capitán Roberto Rodríguez”? Tareas científicas 1. Determinación de los fundamentos teórico metodológicos de la aplicación de las funciones numéricas en el preuniversitario. 2. Determinación de las necesidades y potencialidades, que existen en la aplicación de las funciones numéricas en el undécimo grado del IPU “Capitán Roberto Rodríguez”. 3. Elaboración de problemas que contribuyan a la aplicación de las funciones numéricas en la Unidad 2 “Ecuaciones y funciones exponenciales y logarítmicas” del undécimo grado del IPU “Capitán Roberto Rodríguez”. 4. Valoración por criterio de especialistas sobre los problemas con aplicaciones de las funciones numéricas en la Unidad 2 “Ecuaciones y funciones exponenciales y logarítmicas” del undécimo grado del IPU “Capitán Roberto Rodríguez”. 5. Validación de los resultados de los problemas con aplicaciones de las funciones numéricas en la Unidad 2 “Ecuaciones y funciones exponenciales y logarítmicas” del undécimo grado del IPU “Capitán Roberto Rodríguez”. 3.

(10) Para llevar a cabo esta investigación, se utilizan diversos métodos del nivel teórico, del nivel empírico y métodos matemáticos y/o estadísticos. Métodos teóricos Histórico-lógico: se utiliza en la elaboración del marco teórico conceptual de la investigación, lo que permite establecer la concepción del proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática y la aplicación de las funciones numéricas. Inductivo-deductivo: se utiliza a lo largo del proceso de investigación para conformar la propuesta y en la elaboración de conclusiones y recomendaciones de carácter generalizador. Analítico-sintético: se emplea a través del proceso investigativo desarrollado, en la determinación de las regularidades del objeto y campo de investigación, en el diseño y la dinámica de los problemas para la aplicación de las funciones numéricas, así como en el análisis de los resultados y la elaboración de conclusiones. Métodos empíricos Análisis de documentos: se utiliza para la determinación del marco teórico de la investigación y para la determinación de necesidades y potencialidades. Observación: se emplea durante las clases de Matemática para constatar el nivel de implicación de los estudiantes en el proceso de enseñanza aprendizaje. Encuesta: se aplica a los estudiantes para conocer el estado de su preparación en la aplicación de las funciones numéricas, así como su disposición para aprender este contenido y a los docentes para constatar la aplicación de las funciones numéricas por los estudiantes y la pertinencia de preparar a sus estudiantes. Consulta a especialistas: se emplea para valorar la aplicabilidad, la novedad y la necesidad de la propuesta, entre otros aspectos de interés. Prueba pedagógica: se utiliza como parte del pre experimento pedagógico en el pretest y el postest para constatar el dominio de los conocimientos matemáticos y la aplicación de las funciones numéricas. Método experimental: se aplica el diseño pre experimental de tipo O1 X O2, donde O1 y O2 representan el pretest y el postest respectivamente. La triangulación de fuentes se utiliza para verificar el grado de correspondencia entre los datos obtenidos, tanto antes como después de realizado el pre experimento pedagógico. 4.

(11) Métodos matemáticos-estadísticos Análisis porcentual: se emplea para el análisis de los resultados de la determinación de necesidades y potencialidades. Estadística descriptiva: se utiliza para determinar la tendencia de los resultados obtenidos en la determinación de necesidades y de las valoraciones de la consulta a los especialistas. Prueba de hipótesis T-Student: se emplea para analizar por cada indicador si existen diferencias significativas antes y después del pre experimento pedagógico. De una población de 350 estudiantes de undécimo grado del IPU “Capitán Roberto Rodríguez”, se selecciona para el pre experimento una muestra intencional, constituida por un grupo de 30 estudiantes de undécimo grado del IPU “Capitán Roberto Rodríguez”. El aporte práctico lo constituye los problemas con aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas para la Unidad 2 del undécimo grado. La novedad consiste en ofrecer una propuesta de problemas para la aplicación de las funciones numéricas que se adecua a las características de la concepción teórica asumida, tiene en cuenta las particularidades de la Matemática y de su proceso de enseñanza aprendizaje en el undécimo grado. Desarrollo 1. El proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática en el undécimo grado En los programas de Matemática actuales del Preuniversitario para cada grado se declaran los objetivos generales de la asignatura y lo que los estudiantes deben ser capaces de dominar al concluir este nivel. Entre los objetivos generales de la asignatura en el preuniversitario se encuentra: “Formular y resolver problemas relacionados con el desarrollo económico, político y social, local, nacional, regional y mundial y con fenómenos y procesos científicos-ambientales, que requieran conocimientos y habilidades relativos al trabajo con los números reales, (…) las funciones, las funciones elementales, (…) y que promuevan el desarrollo de la imaginación, de modos de la actividad mental, de sentimientos y actitudes, que le permitan ser útiles a la sociedad y asumir conductas revolucionarias y responsables ante la vida” (MINED, 2005). Ello significa que los problemas deben representar verdaderos desafíos para los estudiantes y, a partir de estos, enseñar conceptos nuevos. 5.

(12) En el “Programa de Matemática de undécimo grado” (2006) se plantea los cambios a que se debe dirigir esencialmente el proceso de enseñanza aprendizaje de la asignatura. Entre los ellos se encuentran la contribución a la educación político-ideológica, económico-laboral y científico-ambientalista; la potenciación del desarrollo de los estudiantes, mediante tareas cada vez más complejas, incluyendo el carácter interdisciplinario y el tránsito progresivo de la dependencia a la independencia y creatividad; el estudio de los nuevos contenidos matemáticos en función de resolver nuevas clases de problemas de modo que la solución de problemas sea un medio de fijar y adquirir nuevos conocimientos; la planificación, orientación y control del trabajo independiente de forma sistemática, variada y diferenciada; y la utilización de las tecnologías de la informática y la comunicación. Una de las formas de ordenamiento del contenido matemático para su enseñanza según Ballester y otros (1992) es atender a los aspectos principales de la transmisión de conocimientos, el desarrollo de habilidades y capacidades generales y específicas y de la educación de los estudiantes. En este caso se refiere a las llamadas líneas directrices. Estas líneas desempeñan un rol importante en el proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática, y se definen como “(…) lineamientos que penetran todo el curso escolar con respecto a los objetivos parciales a lograr, los contenidos que deben ser objetos de apropiación y a los métodos a elegir” (Ballester, y otros, 1992, p.57). Las líneas directrices, incluyen “correspondencias y funciones” y “formular y resolver de problemas”. Esta última según Ballester y otros (2002) “(…) retoma aspectos positivos de la directriz “Matematizar problemas extramatemáticos” y le incorpora nuevos elementos en correspondencia con un enfoque socio cultural, que pretende dar realce a la búsqueda de problemas y su formulación como una fase previa a su resolución. Los problemas se presentan como punto de partida ante los nuevos conocimientos y no solo como problemas de particular importancia para la fijación de estos” (p.3). A criterio del autor de la presente investigación, esto se corresponde con uno de los principales cambios en la Matemática en el Tercer proceso de perfeccionamiento educacional, en el que la solución de problemas se convierte en el eje central de trabajo con sus contenidos.. 6.

(13) 1.1.. La solución de problemas. La solución de problemas según Cruz (2002) facilita la asimilación de nuevos conocimientos, y desarrolla formas peculiares de interrelación con la sociedad y el ambiente. En relación con el concepto de problema matemático son varias las definiciones que se han dado. Entre ellas las de Polya (1945), Labarrere (1987), Ballester (1992), Schoenfeld (1993), De Guzmán (1994) y Campistrous y Rizo (1996). Atendiendo a los objetivos de esta investigación el autor asume la concepción de Ballester (1992), que plantea: “Un problema es un ejercicio que refleja, determinadas situaciones a través de elementos y relaciones del dominio de las ciencias o la práctica, en el lenguaje común y exige medios matemáticos para su solución” (p 407). Respecto a la estructura de los problemas, autores como Luria, y Tsvetkova (1945); Labarrere (1987); García (1996); Campistruos y Rizo (1996); Mesa (1998); González (2005) expresan diferentes criterios, en dependencia de la concepción teórica asumida sobre los problemas y los tipos de problemas matemáticos considerados. Sin embargo, coinciden en que los problemas se caracterizan por tener una situación inicial conocida (datos) y una situación final desconocida (incógnita), siendo su vía de solución desconocida y la misma se obtiene a través de procedimientos heurísticos. El autor de esta investigación de acuerdo con González (2005) opina que en la estructura de todo problema matemático pueden encontrarse los elementos siguientes: datos, condiciones y preguntas. Los datos comprenden magnitudes, números y relaciones matemáticas explícitas entre los números. Las condiciones son las relaciones matemáticas no explícitas entre lo dado y lo buscado, vinculadas con la estrategia de solución, como las derivadas de los significados prácticos de las operaciones de cálculo, propiedades, teoremas, recursos matemáticos a utilizar, no declarados en el problema. La pregunta es la incógnita, lo que hay que averiguar. El libro How to solve it (1945), escrito por George Polya es muy conocido por las técnicas de solución de problemas. En este se establecen cuatro etapas o pasos: 1). Comprender el enunciado del problema.. 2). Encontrar una vía de solución (análisis) y elaborar un plan de solución.. 3). Realizar el plan de solución elaborado (síntesis). 7.

(14) 4). Comprobar la solución y evaluarla críticamente.. Estas etapas han sido trabajadas y enriquecidas por otros autores, entre los cuales se encuentran especialistas cubanos como Labarrere (1987), Ballester (1992), Campistrous y Rizo, (1996), entre otros. Existen diversos puntos de vistas para clasificar los problemas. Autores como Polya (1945), Labarrere (1987), Guzmán (1996), García (1998), Sánchez (2002), entre otros, han hecho su clasificación atendiendo a diferentes parámetros. Sánchez (2002) los clasifica en problemas de aplicación y problemas puramente matemáticos. Al clasificarlos define como problemas de aplicación “(…) aquellos que surgen de manera directa o que pueden producirse en la práctica cotidiana, simulación de la realidad o de una parte de esta, y que para su solución es necesario la aplicación de herramientas y/o medios propiamente matemáticos.” (p.33) y como problemas puramente matemáticos “(…) aquellos en los cuales solamente se hace referencia a objetos matemáticos (números, relaciones y operaciones aritméticas, ecuaciones, funciones, figuras geométricas, etcétera)” (p. 33). Ambos tipos de problemas se subdividen en problemas aritméticos, algebraicos y geométricos, en dependencia de a cuál de los campos anteriores pertenecen los recursos empleados para su solución. A criterio del autor esta clasificación satisface los propósitos de esta investigación en tanto se realiza a partir del origen de los problemas. En la solución de problemas, la motivación que se tenga para resolverlos es una condición necesaria. Al respecto Campistrous y Rizo (1996) hacen referencia a que en el proceso de formación de motivos para la solución de problemas no basta con lograr que se comprenda y valore la utilidad social de la misma, sino que también se interiorice la significación que puede tener en el desarrollo de la personalidad y realice valoraciones personales sobre esa significación. Añaden que los motivos no se logran espontáneamente cuando reiteradamente se resuelven problemas, sino cuando se estructura adecuadamente su enseñanza mediante actividades motivantes para el estudiante. Existen diferentes razones para la solución de problemas en la clase de Matemática. Sobresalen las siguientes: el papel de la solución de problemas matemáticos en situaciones de la vida que presentan muchas veces aspectos cuantitativos que 8.

(15) intervienen en el proceso de solución; el papel que ha desempeñado la matemática y la solución de problemas en el propio desarrollo de la historia de la matemática como ciencia; la función desarrolladora de los problemas, su contribución al desarrollo del pensamiento de los estudiantes específicamente el científico y teórico y a la apropiación métodos efectivos de actividad intelectual. En resumen, los conocimientos sobre la solución de problemas matemáticos son útiles para la vida. Dentro de los contenidos matemáticos tienen gran aplicación las funciones numéricas. Estas se emplean en la Física Escolar para el estudio de la mecánica, en los mercados para comprar y vender mercancías, en el deporte para el diseño del césped de los estadios, en la biología para el estudio de las poblaciones y en la medicina para determinar concentraciones de medicamentos en sangre, entre otras. La formulación y solución de problemas es sin duda un eje central para hacer evidente estas y otras aplicaciones de las funciones numéricas. 1.2.. Las funciones numéricas. Las funciones adquieren un significado específico en relación con la ciencia matemática, puesto que generalmente toda investigación matemática trata de relaciones, correspondencias y funciones. El concepto de función ha sido definido por varios autores como: Campistrous y otros (1989), Ochoa (2008), Jiménez (2010), Acosta y otros (2014), entre otros. El autor asume las siguientes definiciones, las cuales, además son las asumidas en la educación media en Cuba: . “Una función es una correspondencia que a cada elemento de un conjunto A. asocia un único elemento de un conjunto B” (Acosta, y otros, 2014, p.281). Esta es la definición de función vista como correspondencia. . A partir de pares ordenados se define como: “Una función f: X→Y es un conjunto. de pares ordenados (x; y) tal que cada xX aparece como primera coordenada de un solo par ordenado” (Campistrous, Miyar, Naredo, Rivero, Montes de Oca, & Durán, 1989, p.124). En la educación media se definen las funciones numéricas como “(…) funciones cuyo dominio e imagen son conjuntos numéricos (…)” (Acosta Hernández, y otros, 2014, p.284). 9.

(16) Propiedades de las funciones Las propiedades de las funciones han sido conceptualizadas por diferentes autores Sánchez (1982), Campistrous (1989), Ochoa (2008), Jiménez (2010) y Barnett (2012). En la educación media se estudian diferentes propiedades. De ellas, se asumen las siguientes definiciones: Dominio: “(…) es el conjunto de partida” (Ochoa, 2008, p.234). Los elementos que pertenecen al dominio se les llama variables independientes. Imagen: “Si a un elemento x de un conjunto A la función f le hace corresponder un elemento y de un conjunto B entonces decimos que y es la imagen de x (…) Al conjunto formado por todos los elementos de B que tengan al menos una preimagen en A se le llama imagen o codominio” (Ochoa, 2008, p.240). Los elementos que pertenecen a la imagen se les llama variables dependientes. Ceros: “En una función son los valores de x que hacen que y sea cero” (Jiménez, 2010, p.27). Inyectividad: “Si en una función dos elementos del conjunto de llegada no se repiten, entonces decimos que la función es inyectiva. (𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎) ↔ (𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 )) → (𝑥1 = 𝑥2 , ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓)”. (Ochoa,. 2008, p.250). Sobreyectividad: “Una función se dice sobreyectiva si el conjunto imagen es igual al conjunto de llegada” (Jiménez, 2010, p.28). Signos: “Una función tiene signo positivo (signo negativo) en los valores de x cuyas imágenes sean números positivos (negativos)” (Jiménez, 2010, p.28). Monotonía: “Una función es monótona creciente (decreciente) estricta a medida que, aumentando los valores de las x, aumentan (disminuyen) los valores de las y” (Jiménez, 2010, p.29). Paridad: “Una función f se dice par (impar) si los argumentos opuestos tienen la misma imagen (tienen imágenes opuestas) (Jiménez, 2010, p.35). Periodicidad: Según Ochoa (2008) la define como: “(𝑓 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑎) ↔ (∃𝑝 ∈ 𝑅 ∗ : 𝑓(𝑥 + 𝑝) = 𝑓(𝑥); ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓)” (p.271). 10.

(17) Función compuesta: “Sean los conjuntos no nulos A,B y las funciones 𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑦 𝑔: 𝐵 → 𝐶, se le llama función compuesta de f y g y se denota 𝑔 ∘ 𝑓 a la función: 𝑔 ∘ 𝑓: 𝐴 → 𝐶: (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))∀𝑥 ∈ 𝐴” (Ochoa Rojas, 2008, p.300) Función inversa: “Si 𝑓 es una función inyectiva con dominio A e imagen B, entonces la función inversa 𝑓 −1 tiene dominio B e imagen A y se define por: 𝑓 −1 (𝑦) = 𝑥 𝑠𝑖 𝑓(𝑥) = 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑦 ∈ 𝐵.” (Campistrous, Miyar, Naredo, Rivero, Montes de Oca, & Durán, 1989, p.133) Según Stewart (2011), existen cuatro formas de representar una función: verbal (mediante una descripción en palabras), algebraica (mediante una fórmula explícita), visual (por medio de una gráfica) y numérica (por medio de una tabla de valores). En la educación media se trabaja con representaciones en forma descriptiva, mediante diagramas, tablas y gráficos. Además, se pueden representar en forma de ecuaciones. La línea directriz “Correspondencias y funciones” tiene un significado especial para la enseñanza de la Matemática. Esto se evidencia en el desarrollo del pensamiento funcional desde los primeros grados, por su importancia en la explicación de procesos de cambio y evolución, lo que justifica su presencia en todos los niveles y grados. El tratamiento propedéutico de la misma se inicia desde preescolar, cuando los niños asocian a un conjunto su cardinal, a un segmento su longitud y más adelante, hacen corresponder a un par de números el resultado de una operación aritmética, a un punto del rayo numérico un número, a una figura su imagen por un movimiento, entre otros. Los estudiantes desde los primeros grados realizan operaciones de seriación al identificar regularidades en sucesiones de carácter numérico y geométrico, así como para interpretar informaciones dadas mediante gráficos y tablas. En octavo grado comienza el tratamiento explícito de las funciones, pues se exige que los estudiantes identifiquen y las representen, luego son capaces de modelar situaciones mediante funciones lineales. En noveno adquieren nuevas herramientas de trabajo asociadas a la función cuadrática. En la educación media superior amplían su espectro a las funciones potenciales y sus inversas, la función modular y algunas otras funciones racionales e irracionales, y más adelante, a las funciones trascendentes elementales (exponenciales, logarítmicas y 11.

(18) trigonométricas), de modo que pueden describir o interpretar fenómenos y procesos de la realidad y de otras asignaturas que se dejan modelar con estos recursos. Dentro de los objetivos de esta línea directriz en la educación media superior se reconoce “Formular y resolver problemas extramatemáticos que se modelan mediante funciones elementales y sucesiones o que requieran describir aproximadamente una curva empírica haciendo cambios de variables y aprovechando las ventajas de un asistente matemático, aplicando integradamente los conocimientos y habilidades de las distintas áreas matemáticas y las adquiridas en otras disciplinas, de manera que puedan hacer valoraciones sobre hechos, fenómenos y procesos de la realidad nacional e internacional”. (Álvarez, Almeida, & Villegas, 2014, p.70) Entre las funciones que se imparten en el undécimo grado del preuniversitario se encuentran las siguientes: 1.. Función exponencial. “Se llama función exponencial de base a (a>0, a≠1) a la función que a cada número real x, le hace corresponder 𝑎 𝑥 , es decir, al conjunto de pares ordenados {(𝑥; 𝑎 𝑥 ): 𝑥 ∈ ℝ, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1}” (Campistrous, y otros, 1990, p.35) 2.. Función logarítmica. “Se llama función logarítmica de base a (a>0, a≠1) a la función que a cada x (x>0) le hace corresponder log 𝑎 𝑥, es decir, al conjunto {(𝑥, log 𝑎 𝑥); 𝑥 ∈ ℝ∗+ ; 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1}” (Campistrous, y otros, 1990, p.42) Las funciones exponenciales y logarítmicas tienen grandes aplicaciones pues sirven de modelo para el análisis del crecimiento poblacional de los seres vivos y para calcular la velocidad de caída de cuerpos considerando la resistencia del aire. Otras aplicaciones son los modelos de decaimiento radioactivo y para la determinación de la concentración másica de algunas sustancias. También se emplean para determinar la edad de objetos antiguos, en la economía, y en varias escalas como la Richter y la intensidad del sonido (decibeles). Además, se utilizan en la medicina, la astronomía, la física y la informática.. 12.

(19) 2. Determinación de necesidades y potencialidades de la aplicación de las funciones exponenciales y logarítmicas Para la determinación de necesidades se utiliza una muestra constituida por 30 estudiantes. Los estudiantes cursan el undécimo grado del IPU “Capitán Roberto Rodríguez” del municipio de Santa Clara. Con este propio fin se emplean el análisis de documentos, la encuesta y la observación. El análisis de documentos incluye el programa director de Matemática, los programas de Matemática de preuniversitario vigentes en el curso 2017–2018, el libro de Matemática de undécimo grado y las orientaciones metodológicas. La encuesta se aplica a los estudiantes para conocer el estado de su preparación en la aplicación de las funciones numéricas, así como su disposición para aprender este contenido; mientras que 10 docentes de varios preuniversitarios del municipio se encuestan para constatar la aplicación de las funciones numéricas por los estudiantes y la pertinencia de preparar a sus estudiantes. La observación se realiza a cinco turnos de clases de Matemática con el objetivo de constatar el nivel de implicación de los estudiantes en el proceso de enseñanza aprendizaje. 2.1 Presentación y análisis de los resultados obtenidos Para el estudio de los documentos normativos se procede a determinar los indicadores a tener en cuenta para su análisis: la orientación de la aplicación de las funciones numéricas en la asignatura Matemática en el nivel medio superior y la presencia de la solución de problemas con aplicaciones de las funciones numéricas en los programas de la asignatura y se procede a elaborar la guía para el análisis de documentos (Anexo 1). Los resultados obtenidos se muestran a continuación: El programa director de Matemática vigente desde el curso 1997-1998, orienta en los objetivos solucionar problemas en los que se apliquen los conocimientos y habilidades adquiridos sobre el significado de las operaciones de cálculo, la proporcionalidad y el tanto por ciento. También indica identificar relaciones funcionales y sus propiedades, a partir de tablas, diagramas, ecuaciones, gráficas u otras formas de representación, y utilizarlas en la modelación de situaciones prácticas. Los programas de Matemática de Preuniversitario (2005, 2006 y 2007), tienen entre sus objetivos resolver problemas relacionados con el desarrollo económico, político y social, 13.

(20) local, nacional, regional y mundial y con fenómenos y procesos científicos-ambientales, que requieran conocimientos y habilidades relativos, entre otros, a las funciones y las funciones elementales. El análisis del Programa de la asignatura en el undécimo grado (2006) permite constatar que en la Unidad 2 se orienta “Transferir de una representación a otra de las funciones exponenciales y logarítmicas, es decir, de sus propiedades a su representación analítica, gráfica o descriptiva (en el lenguaje común) y viceversa, aplicando estos conocimientos a situaciones sencillas de la práctica y otras ciencias.” (p.18). Las orientaciones metodológicas tienen poca información sobre su tratamiento. Al analizar el libro de Matemática de undécimo grado (1990) se observa que no existen problemas con aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas, solamente se hace referencia a las aplicaciones de los logaritmos a partir de los ejemplos 8 y 9 (p.3233), en contradicción con los objetivos generales de la asignatura para el nivel, el grado y la unidad. En la encuesta (Anexo 2) participan 30 estudiantes del grupo 2 de undécimo grado del IPU “Capitán Roberto Rodríguez”. En la pregunta sobre la motivación durante las clases de Matemática para la realización de los problemas sobre las funciones, se comprobó que, un 6,7% de los estudiantes siempre resultaron motivados, el 46,7% casi siempre, el 36,7% a veces y un 10,0% nunca se sintió motivado. Estos resultados (Anexo 2.1) indican que se debe trabajar en este sentido pues un 46,7% de los estudiantes mostraron desmotivación hacia la realización de los problemas sobre funciones. Sobre la posibilidad de responder de forma independiente los problemas sobre funciones en las clases, se constató que en el indicador siempre, solo el 3,3% de los estudiantes son capaces de responder por sí solos, el 20% casi siempre, un 33,3% a veces y un 43,3% nunca. Esta información ofrece datos sobre las habilidades que traen los estudiantes y los hábitos de trabajo independiente, donde están carentes un 76,7% de los estudiantes en las categorías nunca y a veces. A la interrogante sobre la frecuencia de solución en clases de problemas con aplicaciones de las funciones el 3,3% respondió frecuentemente, el 86,7% responde ocasionalmente y el 10,0% nunca.. 14.

(21) A la pregunta sobre las aplicaciones de las funciones numéricas en la vida solo el 26,7% conoce alguna de ellas y el 73,3% no las conoce. Este aspecto influye en el desarrollo de la investigación profundizando el interés del investigador. Sobre las principales limitaciones que a criterio de los estudiantes afectaron la realización de problemas sobre funciones, el 43,3% de los estudiantes contestó que no entendían claramente el concepto de función, el 70,0% planteaba contar con pocos problemas en el libro de Matemática de undécimo grado, el 40,0% coincidió en que los problemas están dirigidos para todos los estudiantes por igual, un 70,0% se refirió a la existencia de poca sistematización y el 73,3% destacó la carencia de una colección de problemas. En la encuesta a docentes (Anexo 3) participan un total de 10 y ofrece como resultados (Anexo 3.1) los siguientes: La primera interrogante en la que se le pide que escriban aplicaciones de varias funciones, el 90% conoce aplicaciones de las funciones lineales, cuadráticas, logarítmicas y trigonométricas y solamente el 70% conoce aplicaciones de la función exponencial. En la segunda interrogante sobre las orientaciones metodológicas de la asignatura sobre el tema, el 80% plantea que existen, el 10% que no existen y el resto (10%) no responde. El 50% de los encuestados plantea que son insuficientes en todos los grados. A la interrogante relacionada con la preparación sobre el tema, el 50% plantea que sí recibió preparación y el resto que no la ha recibido. El 60% plantea que considera su preparación insuficiente y que necesitan profundizar en el tema. El 40% afirma que utiliza frecuentemente problemas con aplicaciones en sus clases y el 60% que lo hace ocasionalmente. El 70% plantea que propone a sus estudiantes que investiguen sobre las aplicaciones de las funciones, con el fin de que profundicen y comprendan mejor la temática y el 20% no lo hace. El 100% considera pertinente que los estudiantes conozcan sobre el tema como una necesidad para la vida, para una mayor comprensión de la naturaleza y la vida práctica. Aunque plantean como principal dificultad la falta de bibliografía en la que se analice con profundidad la aplicación de las funciones numéricas. La observación (Anexo 4) realizada en un total de cinco clases en la que asistieron todos los estudiantes ofrece como resultados: 15.

(22) En el aspecto relacionado con la participación de los estudiantes en la clase de Matemática se observa que el 40,5% participa activamente en las clases, el 52,4% lo hace esporádicamente, fundamentalmente cuando les interesa la temática de la clase y el resto (7,1%) de los estudiantes no participa a menos que el profesor le pida que lo haga. Atendiendo al uso o no por el profesor de problemas con aplicaciones de las funciones en las clases observadas, el profesor no utiliza ningún problema con aplicaciones de las funciones. Al no usar las aplicaciones de las funciones los estudiantes no manifiestan interés por las mismas. El 23,8% de los estudiantes abandonan la solución de los problemas luego de un primer intento fallido esperando a que los demás estudiantes lo respondan por ellos. El resto (76,2%) lo intenta varias veces. Solo el 35,7% del grupo llega al resultado final. La triangulación metodológica permitió determinar las siguientes regularidades: . En los programas de la asignatura se expresa como uno de sus objetivos el estudio. de los contenidos matemáticos, específicamente las funciones numéricas, a partir de sus aplicaciones en la vida. . En los libros son insuficientes los problemas con estas características,. particularmente en el libro de Matemática de undécimo grado solo aparecen problemas relacionados con la función logarítmica. . El uso de problemas es poco frecuente en el proceso de enseñanza aprendizaje. de las funciones numéricas; aunque los profesores consideran pertinente la preparación de los estudiantes sobre el tema, pero plantean como una dificultad la falta de bibliografía. . Los estudiantes muestran disposición a incorporar en su aprendizaje de manera. sistemática este contenido. 3. Propuesta de problemas con aplicaciones de las funciones numéricas para el undécimo grado La propuesta da respuesta a las demandas del perfeccionamiento, toda vez que tiene como eje central la formulación y solución de problemas para el trabajo con las funciones numéricas. Ella consiste en problemas que evidencian la aplicación de estas funciones a la biología, la química, la economía, la física, la medicina, entre otros y que complementan el libro de Matemática del undécimo grado. En su solución, se utilizan los conocimientos 16.

(23) sobre el concepto de función, su gráfica y propiedades, así como el uso de los asistentes matemáticos. Esta se propone como parte de las líneas directrices “Formular y resolver problemas” y “Correspondencias y funciones”, responde plenamente a los objetivos del undécimo grado toda vez que uno de ellos es “Representar situaciones de la práctica, la ciencia o la técnica mediante modelos analíticos y gráficos y viceversa, extraer conclusiones a partir de esos modelos acerca de las propiedades y relaciones que se cumplen en el sistema estudiado, aplicando para ello los conceptos, relaciones y procedimientos relativos al trabajo con (…) las funciones elementales, (…)” (MINED, 2005, p.12) La propuesta está diseñada para ser aplicada en la Unidad 2: “Ecuaciones y funciones exponenciales y logarítmicas”, del programa de undécimo grado. Los contenidos de esta unidad son: Funciones exponenciales y logarítmicas. Representación gráfica y propiedades. Las funciones exponencial y logarítmica como inversa una de la otra. Representación gráfica de datos sobre fenómenos naturales y sociales utilizando el concepto de función exponencial o logarítmica. 3.1. Problemas para la aplicación de las funciones exponencial y logarítmica Función exponencial 1.. En el año 2015 una paciente fue al médico donde le orientaron realizarse una. prueba donde el yodo se utiliza como trazador para descartar algunas enfermedades relacionadas con las glándulas tiroides. El proceso de desintegración del yodo se modela 𝑡. a partir de la siguiente función 𝑚(𝑡) = 6(2)−8 , t se mide en días y m(t) se mide en gramos. a). ¿Qué valores puede tomar la variable independiente? ¿Qué propiedad de las. funciones sería esta? b). ¿Cuántos gramos de yodo se suministra inicialmente?. c). Luego de 24 días cuántos gramos resta en la persona que se hace la prueba.. d). Represente esta función gráficamente utilizando el software “GeoGebra”.. 2.. Cierto cultivo de bacteria Bacillus anthracis inicialmente tiene una bacteria y se. observa que se duplica cada media hora.. 17.

(24) 𝑡. a.. Escriba la función dado el modelo 𝑛(𝑡) = 𝑛0 2𝛼 para el número de bacterias en el. cultivo después de t horas. Siendo 𝑛0 la cantidad inicial de bacterias y 𝛼 el tiempo que demora en duplicarse. b.. A las 3 horas de haber comenzado el estudio un investigador quiere saber cuántas. bacterias tiene el cultivo. Determínelas. c.. Represente esta función gráficamente utilizando el software “GeoGebra”.. 3.. Al iniciar el año 2017 un cuentapropista coloca 5000,00 CUP en un banco con una. tasa de interés del 6%. Si los intereses se acumulan anualmente y esta situación se 6. modela a partir de la siguiente función 𝐶𝐹 = 5000(1 + 100)𝑡 donde 𝐶𝐹 es el capital final y t es el tiempo en años. a.. ¿Cuántos CUP tendrá al cabo de 1 año?. b.. Al cabo de 2 años el cuentapropista extrae las ganancias y cambia el tipo de. cuenta. Ahora acumula interés cada seis meses y el modelo es el siguiente 𝐶𝐹 = 6. 5000(1 + 200)2𝑡 . ¿Cuántos CUP se tendrán un año después del cambio? 4.. Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequeña con. 104 habitantes. Después de t días, el número de personas que ha sucumbido al virus se 104. modela mediante la función 𝑣(𝑡) = 5+1245(2,71−𝑡) a.. ¿Cuántas personas infectadas había inicialmente?. b.. Calcule el número aproximado de personas infectadas después de un día y luego. de dos días. 5.. Un paracaidista salta desde una altura razonable y durante su caída la resistencia. del aire que experimenta es proporcional a su velocidad, y la constante de proporcionalidad es 0,2. Se puede demostrar que la velocidad de descenso del paracaidista en el tiempo t se expresa como 𝑣(𝑡) = 80(1 − 2,71−0.2𝑡 ) donde t se mide en segundos y 𝑣(𝑡) se mide en pies por segundo (pies/s). a). ¿Cuál es la velocidad inicial del paracaidista?. b). Calcule la velocidad después de 5 s y después de 10 s.. c). Convierta las magnitudes obtenidas en los incisos anteriores al Sistema. Internacional de Unidades. 18.

(25) 6.. Una cooperativa agropecuaria se encuentra en perfeccionamiento y una de las. producciones que quiere estimular es la de carne de conejo. Llegan nuevos afiliados a la cooperativa y preguntan cuántos conejos tienen y el tiempo que llevan criándolos, a lo que los encargados le responden que estiman unos 800 y que han pasado nueve meses. Los recién llegados se asombran y con curiosidad preguntan con cuántos conejos iniciaron, los encargados se miraron extrañados y le dijeron que ellos no se acordaban. Los nuevos afiliados explican que ellos habían leído que la población de conejos se duplicaba cada tres meses y que con esos datos ellos podían calcular aproximadamente la cantidad inicial de conejos y determinar cuántos habrán dentro de un año. ¿Cuál es la población inicial de conejos? ¿Estime la población de conejos en un año? 7.. Un barril de 15 galones se llena por completo con agua pura. A continuación, se. bombea sal hacia el barril, y comienza a desbordarse. La cantidad de sal en el barril en el tiempo t se determina mediante 𝑄(𝑡) = 15 (1 − 2,71−0.04𝑡 ) donde t se mide en minutos y Q(t) se mide en libras. ¿Cuánta sal hay en el barril después de 125 min? 8.. Los aviones que vuelan a altitudes comprendidas entre 8000 y 12000 metros. necesitan tener cabinas presurizadas para garantizar la comodidad y la salud de los pasajeros. A esta altitud el aire se encuentra enrarecido y la presión es menor que la presión al nivel del mar. Para calcular la presión a la que se encuentra el avión a esas −4 ℎ. alturas se utiliza la siguiente función 𝑃 = 𝑃0 (2,71)−1,24∗10. , siendo 𝑃0 = 1.01 ∗ 105 𝑃𝑎.. ¿Cuál es la presión a 8064,5 m de altura? 9.. A una población de bacterias en un medio nutritivo homogéneo se le realiza un. muestreo de la población a ciertos intervalos, se determina que esa población se duplica cada hora. La población inicial es de 100 bacterias. a). ¿Cuántas bacterias habrá a las cuatro horas de haberse comenzado el estudio?. b). ¿Cómo representarías gráfica y analíticamente, el comportamiento de esta. especie de bacteria? Función logarítmica 1.. La escala de Richter es utilizada para determinar la magnitud de los terremotos.. En el año 2016 se produjo un terremoto de gran intensidad en Ecuador con una magnitud de 7,8 en la escala de Richter. En ese propio año se registró un sismo perceptible, en Santiago de Cuba de magnitud 4,5, en la propia escala. Esta escala está dada por la 19.

(26) 𝑥. función 𝐼(𝑥) = log 𝑆 donde I es el valor en la escala, x es la intensidad del terremoto y S es una constante ¿Cuántas veces fue mayor la intensidad del registrado en Ecuador comparado con el registrado en Santiago de Cuba? 2.. Un espectrofotómetro mide la concentración de una muestra disuelta en agua al. irradiar una luz por ésta y registrar la cantidad de luz que emerge. En otras palabras, si se conoce la cantidad de luz absorbida, se puede calcular la concentración en la muestra. Para cierta sustancia, la concentración (en moles/litro) se encuentra por medio de la 𝐼. fórmula 𝐶(𝐼) = −1085 log 𝐼 donde 𝐼0 es la intensidad de la luz incidente e I es la 0. intensidad de luz que emerge. Determine la concentración de la sustancia si la intensidad es I es 70% de 𝐼0 . 3.. La edad de un objeto antiguo se puede determinar por la cantidad de carbono 14. radiactivo que permanece en él. Si 𝐷0 es la cantidad original de carbono 14 y D es la cantidad restante, entonces la edad A del objeto (en años) se determina por 𝐴(𝐷) = 𝐷. −3580 log 𝐷 . Calcule la edad de un objeto si la cantidad D de carbono 14 que permanece 0. en el objeto es 75% de la cantidad original 𝐷0 . 4.. Cierta cepa de bacterias se divide cada tres horas. Si una colonia comienza con. 100 bacterias, entonces el tiempo t (en horas) requerido para que la colonia crezca a N bacterias se expresa como 𝑡(𝑁) =. 3 log 𝑁−6 log 2. . Conociendo que log 2 ≈ 0,301 y log 40 ≈ 1,6.. ¿qué tiempo demoraría la colonia en llegar a 1600 bacterias? 5.. La tasa a la que se carga una batería es más lenta si la batería está más cerca de. su carga máxima 𝐶0 . El tiempo (en horas) requerido para cargar una batería descargada por completo hasta una carga C se expresa como: 𝐶. 𝑡(𝐶) = −0.41 log(1 − 𝐶 ) Si una batería está totalmente sin carga, ¿Cuánto tiempo tomará 0. cargar el 90% de su carga máxima 𝐶0 ? 6.. La dificultad en “lograr un objetivo” (como usar el ratón para dar clic en un icono. en la pantalla de la computadora) depende de la distancia al objetivo y al tamaño de este. De acuerdo con la ley de Fitts, el índice de dificultad (ID), está dado por 𝐼𝐷(𝑊) =. 20.

(27) 0,3 log. 200 𝑊. donde W es el ancho del objetivo. Compara la dificultad de dar clic en un icono. cuyo ancho es de 5,0 mm con la de dar clic en uno de 10 mm de ancho. 7.. Los pilotos tienen una gran variedad de instrumentos en sus aviones. Cada uno. de ellos tiene una función diferente y uno de los más importantes es el encargado de medir la altitud a la que se encuentran, lo hace indirectamente y utilizando la siguiente 𝑃. función ℎ(𝑃) = −1,86 ∗ 104 log 1,013∗105, midiendo directamente la presión fuera del avión. Si la presión es igual a 0,337 ∗ 105 𝑃𝑎. ¿Cuál es la altura que marca el instrumento? 4. Valoración de la propuesta de problemas mediante la aplicación del método de criterio de especialista La propuesta se somete a criterios de especialistas, con el objetivo de evaluar la pertinencia y factibilidad de los problemas para la aplicación de las funciones numérica para su aplicación en la práctica pedagógica con los estudiantes de undécimo grado. Para la utilización del mismo, se tuvo en consideración la determinación de los aspectos a evaluar por los especialistas (Anexo 5), la selección de los especialistas según los criterios determinados, la recopilación de sus criterios, el procesamiento de la información y la reestructuración de elementos de la propuesta derivada del juicio de los especialistas. Se seleccionan 10 especialistas según su experiencia como profesores de Matemática, su nivel profesional y académico. Una vez recopilada y analizada la información ofrecida por estos, se precisan aspectos importantes que permitieron el perfeccionamiento de la propuesta de problemas a partir de los señalamientos realizados. 4.1. Resultados de la valoración de la propuesta En la valoración de la propuesta de los problemas para la aplicación de las funciones numéricas, los especialistas consideran: El aspecto 1, acerca calidad de los problemas, fue evaluado como muy adecuado por el 100% de los especialistas. No se realizan argumentaciones, ni observaciones al respecto. La evaluación a la adecuación de los problemas a las características del grado, aspecto 2, fue de muy adecuado por el 70% de los especialistas consultados. El resto lo evaluó como bastante adecuado (30%). Algunos señalan las dificultades que pueden presentar los estudiantes en el trabajo algebraico y las propiedades de las potencias. 21.

(28) El aspecto 3, en el que se solicitaban valoraciones sobre la contribución a la preparación del estudiante para la vida, recibió la categoría muy adecuado por el 90% de los especialistas, el resto lo evaluó como bastante adecuado (10%). La concepción desarrolladora de la propuesta, aspecto 4, recibió valoraciones de muy adecuado por los 10 especialistas. El aspecto 5 referido a las posibilidades para su puesta en práctica, fue evaluado como muy adecuado por el 100% de los especialistas. El análisis integrador de los aspectos sometidos al criterio de los especialistas permitió determinar como tendencia, la aceptación de la propuesta, pues las opiniones emitidas se ubican en las categorías de adecuado y muy adecuado, lo que ratifica sus posibilidades reales de aplicación y sus amplias ventajas de factibilidad en el contexto pedagógico para el que ha sido concebida. 5. Validación de la propuesta de problemas Para validar la propuesta de problemas se utiliza el preexperimento pedagógico, que permite constatar el dominio de la aplicación de las funciones numéricas y los conocimientos matemáticos con relación a estas, antes y después de aplicada la propuesta. Para ello se establecen como indicadores el desarrollo de habilidades y la adquisición de conocimientos. Ambos indicadores deben verse de conjunto como una unidad concatenada y se medirán a partir de las calificaciones obtenidas en las pruebas pedagógicas aplicadas en los dos momentos. La evaluación cuantitativa del primer indicador consideró la siguiente escala ordinal: nivel bajo (1), nivel medio (2) y nivel alto (3). . Nivel bajo (1) Los que no demuestran desarrollo de habilidades al aplicar las funciones exponenciales y logarítmicas tales como: identificar, enunciar, calcular, formular, esbozar y resolver problemas.. . Nivel medio (2) Los que demuestran desarrollo de habilidades al aplicar las funciones exponenciales y logarítmicas tales como: identificar, enunciar, calcular, formular, esbozar y no demuestran desarrollo en la habilidad resolver problemas.. . Nivel alto (3) Los que demuestran desarrollo de habilidades al aplicar las funciones exponenciales y logarítmicas tales como: identificar, enunciar, calcular, formular, esbozar y resolver problemas. 22.

(29) El segundo indicador se mide cuantitativamente a partir de calificaciones del 1 al 100, donde el valor aprobado es el 60. 5.1. Valoración de los resultados del pre experimento Tomando en cuenta los resultados de la encuesta, los problemas y la valoración de los especialistas se aplica una prueba pedagógica inicial (Anexo 6). La cual mide los objetivos esenciales de la unidad con dos preguntas, en un nivel de conocimientos elementales y según las características de los estudiantes del undécimo grado actual. Luego de la tabulación por habilidades (Anexo 6.1), se observa que la habilidad más afectada fue calcular, donde un 63,3% de los estudiantes presenta dificultades. En cuanto a identificar solo 11 estudiantes están afectados lo que representa un 36,7%. El 60% de los estudiantes tuvo afectada la habilidad enunciar. Todo ello unido a la encuesta inicial conduce a analizar con más cuidado los cognitivos. En la pregunta 2, la habilidad más afectada fue resolver problema con un 6,7% de aprobados y en segundo lugar las habilidades esbozar y formular, ambas con un 13,3% de aprobados. Además, se reafirman los problemas en la habilidad calcular al tenerla afectada el 76,7% de los estudiantes. Por tanto, se encamina el trabajo para llevar a los estudiantes al estado deseado, que es resolver las carencias que presentan en este momento y a dirigir el trabajo hacia el logro de las aspiraciones de esta investigación. Al concluir el análisis del indicador desarrollo de habilidades, se ubican 22 estudiantes en el nivel bajo, 6 en el medio y 2 en el alto. En cuanto al indicador 2 la media de las calificaciones fue de 53,11 puntos valor por debajo del aprobado establecido para el mismo, con una desviación típica de 22,60 puntos lo que indica un valor elevado de dispersión en las calificaciones de este instrumento y 22 estudiantes desaprobaron. Luego se aplica la propuesta a los estudiantes del grupo 2 de undécimo grado del IPU “Capitán Roberto Rodríguez” al utilizar los problemas de la misma tanto para introducir nuevos contenidos como para sistematizar y consolidar los mismos. La segunda prueba pedagógica (Anexo 7) se aplica al concluir la Unidad y se obtuvo resultados (Anexo 7.1) muy favorables a criterio del autor, pues se corrobora la efectividad y eficiencia en la propuesta. Todo lo antes expuesto se observa en los análisis siguientes: 23.

(30) Las habilidades en la primera pregunta no representan un problema para el grupo pues las tres sobrepasan el 90%. En la pregunta 2 se observó que solo 4 estudiantes continúan con problemas en la habilidad de calcular y 5 en la habilidad de resolver, llegando a un 86,7% de aprobados, significativamente superior a la prueba pedagógica inicial. Se observan problemas en la habilidad esbozar, pero alcanza 76.7% de aprobados, con solamente 7 estudiantes con problemas en ella, infiriendo que el número de aprobados ha aumentado considerablemente después de aplicada la propuesta. Al concluir el análisis del indicador desarrollo de habilidades, se ubican 4 estudiantes en el nivel bajo, 6 en el medio y 20 en el alto. En cuanto al indicador 2 la media de las calificaciones fue de 77,0 puntos valor por encima del aprobado establecido para el mismo, con una desviación típica de 12,57 puntos lo que indica que este es un grupo no homogéneo y 4 estudiantes se encuentran desaprobados. En el análisis comparativo (Anexo 8) de los resultados, se observa que decrece considerablemente el número de estudiantes ubicados en el nivel bajo (de 22 a 4) y crecen los ubicados en el nivel alto (de 2 a 20). Por otra parte, el número de aprobados aumenta desde 8 hasta 26 y el de desaprobados disminuye desde 22 hasta 4. Es de destacar que la media de las calificaciones en la prueba pedagógica inicial era de 53,12 puntos, con una desviación estándar de 22,60 puntos lo que indica un valor elevado de dispersión en las calificaciones de este instrumento; mientras que, en la prueba pedagógica final, la media de las calificaciones es ya de 77,0 puntos, con una desviación estándar de 12,57 puntos. Esta desviación indica que este es un grupo no homogéneo, ya que, a pesar de tener la mayoría de estudiantes aprobados, un 50% se mantiene con calificación por debajo de la media y 4 de ellos se encuentran desaprobados lo que representa un 13%. La mediana pasa de 51,5 hasta 76,5 puntos, lo cual a criterio del autor es una mejoría considerable. Para el análisis comparativo de las transformaciones experimentadas en el indicador 2, se aplicó de la prueba no paramétrica Kolmogorov-Smirnov (Anexo 9), para probar que la distribución de las evaluaciones, antes y después, sigue una distribución normal. Luego se aplica la prueba paramétrica T-Student, teniendo en cuenta que se trata de muestras 24.

(31) dependientes, el mismo grupo antes y después, y que los datos son discretos y siguen una distribución normal. En la prueba T-Student se comparan los valores obtenidos en las evaluaciones inicial y final, y se determina si los cambios ocurridos en relación con los indicadores son significativos o no. Para su aplicación se consideró el nivel de significación 0,05 (Anexo 9). Como 𝜌 = 0,000 es menor que α=0.05 se rechaza 𝐻0 , luego con 95% de confianza se puede aseverar que hay diferencias entre el estado inicial y final en el indicador 2 y como se había probado descriptivamente los resultados al final son mejores que al inicio, pues se puede afirmar esto también inferencialmente. Los resultados se muestran analíticamente en el Anexo 9. En general, la validación de la puesta en práctica de los problemas con aplicaciones de las funciones numéricas muestra significativos avances en los estudiantes que participaron en el pre experimento pedagógico, solo cuatro se evaluaron por debajo del aprobado en el postest. Los resultados favorables se aprecian en los indicadores propuestos. Conclusiones 1.. La solución de problemas facilita la asimilación de nuevos conocimientos, y. desarrolla formas peculiares de interrelación con la sociedad y el ambiente por lo que es el eje central del trabajo con los contenidos de la Matemática. 2.. El diagnóstico de los estudiantes de undécimo grado del IPU “Capitán Roberto. Rodríguez¨ permite constatar las carencias y potencialidades en la aplicación de las funciones numéricas en el proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática 3.. La aplicación de las funciones numéricas se realiza a partir del estudio del estado. actual de la teoría al respecto y la determinación de un grupo de problemas que sirven de ejemplo en este proceso. 4. Los problemas propuestos son valorados favorablemente por los especialistas consultados, los que coinciden en su pertinencia para solucionar un importante problema de la práctica pedagógica. 5. Los resultados de la aplicación en la práctica de los problemas con aplicaciones de las funciones numéricas en la Unidad 2 “Ecuaciones y funciones exponenciales y 25.

(32) logarítmicas” del undécimo grado del IPU “Capitán Roberto Rodríguez” confirmaron su contribución al proceso de la enseñanza aprendizaje de la Matemática. Recomendaciones 1.. Continuar profundizando en las diferentes concepciones teóricas y las. experiencias prácticas en la solución de problemas con aplicaciones de las funciones numéricas. 2.. Aplicar los problemas con aplicaciones de las funciones numéricas en la práctica. pedagógica diferentes centros del territorio.. 26.

(33) Bibliografía Abreu Toribio, L. A. (2003). Procedimiento didáctico para el diseño del proceso de enseñanza – aprendizaje de las funciones trigonométricas en el preuniversitario utilizando la solución de problemas. [CD ROM], COMPUMAT, La Habana. Acosta Hernández, S., Gort Sánchez, M., Quintana Valdés, A., Báez Arbesú, L., García de la Vega, L., González Dogil, C., . . . Domínguez Escobar, O. (2014). Matemática 8vo grado. La Habana: Pueblo y Educación. Acosta Hernández, S., Quintana Valdés, A., Gort Sánchez, M., Báez Arbesú, L., Cantero Pérez, R., & Arenas Cantón, J. (2015). Matemática 9no Grado. La Habana: Pueblo y Educación. Addine, F., & García, G. (2004). Componentes del proceso de enseñanza aprendizaje. En C. d. autores, Temas de Introducción a la Formación Pedagógica (págs. 158170). La Habana: Pueblo y Educación. Álvarez de Zayas, C. (1999). Didáctica, la escuela en la vida. La Habana: Pueblo y Educación. Álvarez Pérez, M., Almeida Carazo, B., & Villegas Jiménez, E. V. (2014). El proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática. DOCUMENTOS METODOLÓGICOS. La Habana: Pueblo y Educación. Ballester Pedroso, S., Santana de Armas, H., Hernández Montes de Oca, S., Cruz, I., Arango González, C., García García, M., . . . Torres Fernández, P. (1992). Metodología de la enseñanza de la Matemática Tomo I. La Habana: Pueblo y Educación. Barnett, R. A., Ziegler, M. R., & Byleen, K. E. (2012). Précalculo. Funciones y Gráficas. La Habana: Pueblo y Educación. Campistrous Pérez, L., & Rizo, C. (1996). Aprende a resolver problemas aritméticos. La Habana: Pueblo y Educación. Campistrous Pérez, L., Cuadrado González, Z., Rivero Álvarez, H., Naredo Castellanos, R., Durán Jorrín, A., Palacios Peña, J., & Rizo Cabrera, C. (1990). Matemática Onceno grado. La Habana: Pueblo y Educación. 27.

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