ASTRONOMÍA DE POSICIÓN Localización Astronómica y Geodésica Definición de Geodesia. Diferencias con la Astronomía

Tema 2

Localización Astronómica y Geodésica

2.1- Definición de Geodesia. Diferencias con la Astronomía

Geodesia es un vocablo de origen griego que literalmente significa “dividir la Tierra”. La geodesia es una de las ciencias más antiguas cultivada por el hombre y su objetivo es el estudio y determinación de la forma y dimensiones de la Tierra, de su campo de gravedad y sus variaciones temporales. Dentro de esta definición, se incluye también la orientación y posición del planeta en el espacio.

Esta disciplina se compone básicamente en dos partes:

a) Geodesia superior: mediante física y matemáticas trata de determinar y representar la figura de la Tierra en términos globales.

b) Geodesia práctica o topografía: estudia y representa partes menores de la Tierra donde la superficie puede ser considerada plana.

En la actualidad se la prefiere dividir de la siguiente manera:

a) Geodesia geométrica: determinación de la forma y dimensiones de la Tierra en su aspecto geométrico, lo cual incluye fundamentalmente la determinación de coordenadas de puntos en su superficie.

b) Geodesia física: estudio del campo gravitatorio de la Tierra y sus variaciones, mareas (oceánicas y terrestres) y su relación con el concepto de altitud.

c) Astronomía geodésica: determinación de coordenadas en la superficie terrestre a partir de mediciones a los astros.

d) Geodesia espacial: determinación de coordenadas a partir de mediciones efectuadas por las técnicas espaciales modernas (GNSS, VLBI, SLR, DORIS) y definición de sistemas de referencia.

e) Microgeodesia: medida de deformaciones en estructuras de obra civil o pequeñas extensiones de terreno mediante técnicas geodésicas de alta precisión.

Una parte fundamental de la geodesia es la determinación de la posición de puntos sobre la superficie terrestre, denominados Topocentros (T), mediante algún sistema de referencia que emplee coordenadas rectangulares (o esféricas Latitud, Longitud y Altura), con una terna de ejes (X, Y, Z) y cuyo eje polar Z se hace coincidir con el eje de rotación medio del planeta. La materialización de estos puntos sobre el terreno constituyen las denominadas redes geodésicas, conformadas por las coordenadas de estaciones que configuran la base de la cartografía de un país.

La superficie de referencia elegida para describir el globo terrestre debe reunir dos condiciones fundamentales: (a) que mejor represente a la forma y figura de la Tierra y, (b) que a ella resulten perpendiculares las verticales de los topocentros.

La superficie física más apta para representar a la Tierra en su forma y dimensiones es la superficie libre de los océanos supuestos en reposo y asumida prolongada por debajo de los continentes.

Figura 2.1a: Superficie de referencia (nmm) y vertical de un topocentro.

Geoide. Sobre el geoide debe usarse la línea Vertical () de cada topocentro como elemento fundamental para la determinación de la posición [Figura 2.1a].

Nota 1:

Aquí debemos hacer una importante aclaración. La astronomía y la geodesia se apoyan en sistemas de referencia (terna de ejes) y superficies totalmente diferentes, que describen la figura de la Tierra de distinto modo.

Los sistemas astronómicos trabajan usando la superficie definida anteriormente como “geoide” o “nivel medio del mar”; es decir, con la verdadera forma terrestre.

Sobre esta superficie, las coordenadas astronómicas latitud y longitud se apoyan en las líneas “verticales” al geoide.

Por el contrario, los sistemas geodésicos trabajan con una superficie teórica matemática definida por un elipsoide de revolución. Esta forma no es materializable físicamente. Las coordenadas geodésicas latitud y longitud se apoyan en las rectas

“normales” al elipsoide.

En un determinado lugar, la vertical () y la normal (N) pueden o no coincidir, pero por lo general no concuerdan, estando sin embargo muy cercanas entre sí. La diferencia angular es de algunos segundos de arco, dependiendo de la separación entre las superficies “geoide” y “elipsoide” en la zona del topocentro [Figura 2.1b].

Figura 2.1b: Superficies de referencia Geoide y Elipsoide. T es el topocentro (lugar de observación), To es su proyección sobre el geoide y t es sobre el elipsoide.

2

.2- Vertical y Horizonte Astronómico

Sobre todo topocentro T considerado como un punto material, se ejercen dos fuerzas:

(1) Atracción gravitatoria de las masas que constituyen la Tierra, a la que designamos con el vector

N

dirigido hacia el geocentro y a la cual llamaremos atracción newtoniana terrestre.

(2) La fuerza centrífuga terrestre, que denominamos con

C

, motivada por la rotación del planeta alrededor del eje Z y dirigida perpendicularmente a él.

Estas dos fuerzas en el topocentro se componen y dan como resultante la fuerza de gravedad:

g = N + C

. La recta soporte o línea de acción de la gravedad es la línea vertical () del topocentro T, dirigida hacia el cenit [Figura 2.2a].

Figura 2.2a: dirección de la fuerza de gravedad (g) y de la vertical ().

Si la Tierra fuera una esfera de densidad constante sin rotación, esa fuerza

g

se orientaría hacia el centro; pero como no es así, se dirige fuera del centro. El plano perpendicular a la vertical, trazado por el topocentro T es el horizonte astronómico de ese topocentro.

Como ya sabemos, el calificativo “astronómico” se aplica a las cosas o conceptos ligados a la vertical y a la superficie del geoide; mientras que el calificativo “geodésico”

se refiere a elementos vinculados a la normal del elipsoide terrestre que veremos más adelante.

2.3- Movimiento del Eje de Rotación. Movimiento del Polo

La posición del eje de rotación no es fija con respecto al cuerpo físico de la Tierra.

Pueden definirse dos tipos diferentes de oscilaciones que no deben ser confundidas:

( i) el movimiento del eje “dentro” del cuerpo físico de la Tierra y, (ii) el movimiento del eje “fuera” de la Tierra.

El primero (i) es de pequeña escala, tiene un origen principalmente geofísico y en menor medida por fuerzas lunisolares. Se lo denomina Movimiento del Polo y afecta las coordenadas astronómicas de latitud y longitud.

El segundo (ii) es el que experimenta el planeta contra el fondo de estrellas, llamado Precesión, provocando el desplazamiento de los polos celestes y del ecuador y afectando las coordenadas celestes.

Veamos ahora el movimiento del polo. Supongamos que en un momento dado podemos marcar sobre la superficie terrestre la posición que corresponde al polo norte (o sur) terrestre (P) con el punto 1; si algunas

semanas después volvemos a marcar el polo, observamos que su posición cae en el punto 2, y así sucesivamente [Figura 2.3.a]. A medida que transcurren las semanas, si vamos uniendo las sucesivas posiciones, notamos que el polo no es un punto fijo de la superficie terrestre, sino que se mueve cíclicamente.

Figura 2.3a: movimiento del polo.

Concluimos que el polo se mueve describiendo una curva espiral directa llamada poloide, que cumple un ciclo o periodo en aproximadamente 14 meses, denominado periodo de Chandler.

Sobre la base de estos 14 meses en que el polo da una vuelta completa sobre la poloide, resulta que el desplazamiento angular diario del polo es del orden de:

360° / (14 x 30 días ) = 0°.857 por día

Podemos entonces hablar ahora de un polo instantáneo, que es el calculado a través de las observaciones astronómicas y, un polo medio de la época, que es el punto de la superficie terrestre cuya posición se establece como promedio de las posiciones instantáneas observadas durante un período largo de tiempo (décadas).

Distintos polo medios se han ido adoptando a medida que han transcurrido las épocas. En la actualidad el polo medio está fijado para la época 2000 [Figura 2.3b].

El organismo internacional denominado International Earth Rotation and Reference Systems Service (IERS) es el encargado de proveer la posición del polo instantáneo (coordenadas del polo) respecto al polo medio de la época.

Figura 2.3b: Ciclo de la poloide hasta el año 2000 (línea punteada) y deriva del polo medio a lo largo de las épocas (línea llena azul). La posición de los ejes X,Y (en rojo) está definida por el IERS.

La poloide se mantiene dentro de un círculo centrado en P de no más de 15 metros de radio [Figura 2.3c]. En consecuencia, como el desplazamiento angular diario del polo instantáneo es de 0°.857, su movimiento lineal diario sobre la poloide es de:

0°.857 = 0.014957 radianes

0.014957 rad x 15 metros = 0.224 metros = 22 cm

Figura 2.3c: desplazamiento angular diario de la poloide

La rotación de la Tierra se entiende como el movimiento entre dos sistemas de referencia geocéntricos distintos, uno solidario a la Tierra (acompaña la rotación) denominado International Terrestrial Reference System (ITRS) y el otro fijado en el espacio (sin rotación) denominado Geocentrical Celestial Reference System (GCRS).

Para el estudio de la rotación de la Tierra y de la precesión de los equinoccios se utiliza un arreglo de ejes intermedios definido en forma convencional, cuyo eje vertical intermedio es el eje de rotación instantáneo y contiene al polo CIP, [Figura 2.3d].

El movimiento de este eje intermedio respecto al sistema de referencia GCRS se denomina “Precesión-Nutación”. Por otro lado, respecto al sistema de referencia ITRS se denomina “Movimiento del Polo” [Figura 2.3e]. El sistema intermedio vincula entonces el ITRS con el GCRS.

En el año 2003, la Unión Astronómica Internacional definió el sistema intermedio cuyo polo se llamó Polo Celeste Intermedio CIP (en inglés Celestial Intermediate Pole) que corresponde al polo instantáneo. El polo medio terrestre fijado por el IERS es el que concierne al sistema ITRS.

Figura 2.3d: Eje intermedio (CIP) respecto a los sistemas de ref. GCRS e ITRS

Figura 2.3e: Precesión en el GCRS y movimiento del polo en el ITRS, respectos al eje intermedio CIO

Observemos que como la separación lineal entre los polos instantáneo (que llamaremos Pi) y medio (P) puede llegar a ser del orden de 15 metros, el ángulo entre ambos ejes de rotación puede llegar a valer aproximadamente medio segundo de arco [Figura 2.3e].

R Pi ei P

e^  ^"

0".485 m

10 x 6371

206265

m ei 15

e ₃

"



 

Figura 2.3e: diferencia angular entre los ejes instantáneo y medio

2.4- Sistemas de Coordenadas Geocéntricos

Los ejes de rotación medio (e) e instantáneo (ei) y sus correspondientes planos perpendiculares, los ecuadores medio e instantáneo, son elementos geométricos utilizados para definir sistemas cartesianos geocéntricos (el origen de ellos coincide con el centro de masa de la Tierra o geocentro) y absolutos (no dependen de elementos locales de los topocentros). Estos dos sistemas son denominados astronómicos o también, más popularmente, geográficos:

(a) Sistema Astronómico o Geográfico Ecuatorial Medio o Terrestre Medio

(b) Sistema Astronómico o Geográfico Ecuatorial Instantáneo o Terrestre Instantáneo

(a) Sistema Ecuatorial Medio o Terrestre Medio

En este sistema el origen se encuentra en el geocentro “G” y el eje Z se hace coincidir con el polo medio o eje de rotación medio “e”. El plano fundamental resulta ser el ecuador medio “E”.

No siendo la Tierra un esferoide de densidad uniforme, no hay ninguna razón para suponer que las verticales de los topocentros corten al eje de rotación, es decir que determinen planos con él. Pero en cada topocentro podemos considerar una paralela al eje que sí habrá de determinar con la vertical de T, un plano que se denomina Meridiano Astronómico de ese topocentro [Figura 2.4a].

Sobre el ecuador medio tendremos el primer eje X, ubicado trazando por el geocentro una paralela a la vertical de Greenwich (_G) por su topocentro [Figura 2.4b].

Figura 2.4a: Meridiano astronómico y vertical de T

La proyección ortogonal de esa vertical sobre el ecuador medio es el eje X. El sistema Terrestre Medio es directo, de modo que a 90° contados a partir del primer eje X, yace el segundo eje Y, estando dirigido al este de Greenwich.

Fig. 2.4b: Ubicación del primer eje X del sistema Terestre Medio

En este sistema Ecuatorial Medio o Terrestre Medio se localiza un topocentro, mediante el uso de “Coordenadas Astronómicas (o Geográficas) Medias”. Estas son el rumbo y la elevación de la vertical del topocentro.

Consideremos un topocentro T y su vertical , que corta al ecuador medio en T . Sea T´ la proyección ortogonal de T sobre el ecuador medio [Figura 2.4c].

El ángulo o rumbo contado positivo desde el primer eje X hacia el segundo eje Y es la Longitud Astronómica Media () y se cuenta como 0° <  < 360° , o bien en el rango –180° <  < +180°.

Figura 2.4c: Latitud () y Longitud () astronómicas

La elevación de la vertical es la Latitud Astronómica Media (), cuyos valores se cuenta de –90° <  < +90°.

La Colatitud es la descención de la vertical y tiene el intervalo 0° < 90°- < 180° .

Obsérvese que  es el ángulo diedro que forma el plano coordenado ZX con el meridiano astronómico de T, determinado por la paralela a Z (//Z) y  , [Figura 2.4d].

Figura 2.4d: Planos que forman la longitud

En base a las coordenadas esféricas pueden encontrarse las correspondientes coordenadas rectangulares del siguiente modo:

X = cos  cos 

Y = cos  sen  tg  = Y / X

Z = sen  tg  = Z /

(

X² + Y²

)

^1/2

(b) Sistema Ecuatorial Instantáneo o Terrestre Instantáneo

El origen del sistema se hace coincidir con el geocentro G lo mismo que en el sistema terrestre medio. El eje polar Zi coincide con el eje de rotación instantáneo ei estando entonces dirigido hacia el polo norte definido anteriormente como CIP. El plano fundamental resulta ser el Ecuador Instantáneo Ei [Figura 2.4e].

Sea X el primer eje del sistema terrestre medio, la proyección ortogonal de X sobre el ecuador instantáneo específica la dirección de este plano que se adopta como primer eje Xi del sistema terrestre instantáneo.

Figura 2.4e: Proyección del primer eje X del Sistema Terrestre Medio sobre el ecuador instantáneo Ei.

Llama la atención el hecho que, contrariamente a la definición del primer eje X del sistema ecuatorial medio, ahora el primer eje Xi del ecuatorial instantáneo no se define como la proyección sobre el ecuador instantáneo de la paralela al meridiano de Greenwich de la vertical de Greenwich; sino como la proyección del primer eje X del sistema medio. Por lo tanto no puede decirse que el plano Zi Xi de Ei sea paralelo al meridiano astronómico instantáneo de Greenwich.

Si E y Ei se definieran en forma independiente, harían falta 3 parámetros para especificar la posición relativa de ambos sistemas. Imponiendo la condición inicial de que el primer eje X de E pertenezca al plano Zi Xi de Ei , se resta un grado de libertad al problema y entonces podemos ventajosamente conocer las coordenadas del polo instantáneo con respecto al polo medio, usando dos parámetros (x, y) llamados Coordenadas del Polo Medio.

El sistema terrestre instantáneo es retrógrado, de modo que a 90° contados a partir de Xi en sentido de las agujas del reloj yace el segundo eje Yi dirigido al oeste de Greenwich [Figura 2.4f]. Esto de orientar Yi hacia el oeste se explica porque este sistema ha sido obtenido originariamente por la astronomía, la que cuenta los rumbos positivamente hacia el oeste, creciendo en el mismo sentido que los ángulos horarios.

Debido al movimiento tectónico, el sistema terrestre instantáneo no es fijo respecto al cuerpo físico de la Tierra como lo es el sistema terrestre medio.

Entonces, para localizar un topocentro T vemos, según la figura, que T es el punto donde la vertical () corta al ecuador Ei, T´ es la proyección ortogonal de T sobre Ei . La semirrecta ´i es la proyección de la vertical sobre Ei.

Figura 2.4f: Sistema Terrestre Instantáneo

El ángulo o rumbo de la vertical contado desde el primer eje Xi hacia el segundo eje Yi lo designamos con “i” y lo llamamos “Longitud Astronómica Instantánea de T”

y es 0° < < 360° o -180° < i < +180°.

Al ángulo de elevación de la vertical de T la designamos con “” y la llamamos

“Latitud Astronómica Instantánea de T” y comprende -90° <  < +90°. La Colatitud Astronómica Instantánea es la descención de la vertical y es de 0° < 90°- < 180°.

Las correspondientes coordenadas rectangulares son:

X = cos i cos i

Y = cos i sen i tg i = Y / X

Z = sen i tg i = Z /

(

X² + Y²

)

^1/2

Nota 2

Tanto i como i fijan la dirección de la vertical en el sistema terrestre instantáneo que, como vimos, se mueve diariamente. Naturalmente, lo que el astrónomo necesita conocer es la dirección de la vertical en el sistema terrestre medio, de modo que

Sin embargo,  y  no pueden ser directamente determinados porque el sistema terrestre medio es solo un sistema teórico no materializable. En cambio i y i sí pueden ser determinados mediante la observación de astros de coordenadas (, ).

Para llegar a  y  a partir de i y i se deben agregar unas correcciones llamadas Correcciones por Movimiento del Polo ( + i) y ( - i) que veremos mas adelante.

2.5- Coordenadas del Polo Instantáneo respecto al Polo Medio

Las coordenadas del polo instantáneo CIO respecto al polo medio ITRS se designan sencillamente como Coordenadas del Polo (x, y). Para definir estos dos parámetros veamos el sistema terrestre medio E = (G,X,Y,Z) y el sistema terrestre instantáneo Ei = (G,Xi,Yi,Zi), vinculados según el primer eje X, [Figura 2.5a].

Consideremos el eje de rotación medio (e) que pasa por el polo medio del sistema ITRS (que llamaremos sencillamente P) y el eje instantáneo (ei) que contiene al polo celeste intermedio CIO (que llamaremos Pi).

Figura 2.5 a: Coordenadas del polo (x, y) que vincula los sistemas medio e instantáneo

El plano determinado por el primer eje X de E y el eje de rotación instantáneo, que por contener a X es perpendicular al plano ZY, corta a este plano según la dirección D, la cual determina sobre la esfera el punto Q.

Los arcos orientados: x = Q^Pi , y = P^Q , son las coordenadas del polo. La primera coordenada -x- se considera positiva si Pi está, con respecto al plano YZ, del lado hacia el que apunta el eje X (hacia Greenwich). La segunda coordenada -y- se considera positiva si Pi está, con respecto al plano ZX, en el lado contrario al que apunta el eje Y (hacia el oeste de Greenwich).

Las coordenadas del polo (x, y) vienen tabuladas en función del tiempo en boletines del IERS y circulares astronómicas y geodésicas. Es decir que son datos de los que siempre dispondremos. Es más fácil extraerlos desde Internet en la página del IERS (International Earth Rotation and Reference Systems Service).

Para realizar la transformación de coordenadas EiE deberemos aplicar matrices de rotación que contemplen giros de

[-x]

^y

[-y] .











































































Zi Yi Xi y cos x cos y sen - y cos sen x -

y sen x cos - y cos - y sen sen x

sen x 0

x cos

Z Y X

(1)

Como hablamos de cantidades (x, y) muy pequeñas, podemos en la práctica reemplazar en (1) los senos por las medidas de los arcos con el radián y los cosenos por la unidad, luego despreciando los términos de segundo grado obtenemos:











































































Zi Yi Xi 1 y - x -

y - 1 - 0

x 0 1 Z Y X

(2)

x

i

y

i

z

i Para la transformación inversa :











































































Z Y X 1 y - x

y - 1 - 0

x - 0 1 Zi Yi Xi

(3)

x

y

z

De la expresión matricial (2) podemos calcular :

X = Xi + x Zi

Y = Yi  y Zi (4)

Z = x Xi  y Yi + Zi

Como sabemos que:

X = cos  cos 

Y = cos  sen  (5)

Z = sen 

Xi = cos i cos i

Yi = cos i sen I (6)

Zi = sen i

Reemplazando (5) y (6) en la (4) :

cos  cos  = cos i cos i + x sen i , 1 cos  sen  = cos i sen i  y sen i , 2 sen  = x cos i cos i  y cos i sen i + sen i , 3 (7)

Ahora, el cálculo de  y  a partir de 1, 2 y 3 que a su vez son funciones de

i y i , se obtienen como :

tg  = 2 / 1

tg  = 3 / (1² + 2²)^1/2

(8)

Para el control de los cálculos realizados debe cumplirse la condición que la suma de 1² + 2² + 3² = 1 = ²

Para pasar de (i , i) a ( , ), estos cálculos tienen el inconveniente de necesitar trabajar con muchas cifras significativas, ya que las cantidades “x” e “y” son del orden de las décimas, centésimas o milésimas de segundo de arco. Por ello se prefiere aplicar el método de las correcciones; es decir, no calcular directamente  y  sino buscar las correcciones ( + i) y (  i) que aplicadas a i y i nos proporcionen  y  :

 = i + (i)

 = ( + i) I (9)

Estas correcciones valen :

(i) = (x cos i + y sen i)

( + i) = tg i (x sen i + y cos i) (10)

Siendo : x e y  0”.5 , los senos y cosenos son menores que 1, por lo que :

i  0”.5

 + i  0”.5 tg i

De las ecuaciones (10) vemos que la corrección ( i) no es problema porque siempre es del orden de 0”

.

5 . En cambio ( + i) depende del valor de tg i, entonces a medida que la latitud crece en valor absoluto, crece ( + i) y, para valores de i

próximos a 90° (en los polos), la corrección puede tomar valores muy grandes. Para estos casos habrá que emplear el cálculo riguroso por las fórmulas (7) vistas anteriormente.

Si las coordenadas astronómicas instantáneas no se corrigen por movimiento del polo, es decir que directamente se tomen  = i y  = i, tendremos errores del orden del medio segundo. Puede tomarse así en trabajos donde no es necesaria tanta

La necesidad de desarrollar la ecuación del Geoide nos obliga a definir el

“Geopotencial” o “Potencial de la Gravedad” como: W = Potencial G , donde “G” es un vector que tiene la propiedad que el valor numérico de su derivada en una dirección cualquiera “d”, es igual al valor de la componente de la gravedad en esa dirección, [Figura 2.6a].





 

 Gd G cos d

W

En consecuencia, la derivada parcial de W respecto a (x, y, z) nos dará las componentes de la gravedad en la dirección de los ejes X, Y, Z:

Gz z W , Gy y W , Gx W

 

 



 





x (11)

Como las componentes Gx , Gy , Gz determinan el comportamiento de la gravedad en el sistema de referencia (X, Y, Z) utilizado; las ecuaciones (11) nos muestran que el conocimiento del geopotencial W implica el conocimiento de G . Además, la derivada de W en la dirección de la vertical () nos debe dar la componente de la gravedad en esa dirección. Como para la vertical es  = 180° .

Figura 2.6a: Derivada del potencial W en un punto Q respecto de una dirección cualquiera d.

G - G W





 



 (expresión que es válida para el sistema terrestre medio)

Sea la [Figura 2.6b]. Al potencial W lo podemos expresar como la suma de los potenciales:

(i) Potencial de la Atracción Terrestre ( V ) (ii) Potencial de la Fuerza Centrífuga ( V´ )



^{x y}



m 2 1

´

, S m dm K V

2 2 2

Tierra 2











V

(12)

Figura 2.6b: Potencial de un punto externo Q

donde :

K = constante de gravitación universal (6.67 x 10^-8cm³ seg^-2 g^-1)

m = masa de un punto externo Q sobre el cual determinamos el potencial M = masa de la Tierra

 = 2 / 86164.0996 seg^-1 = velocidad angular de rotación terrestre S = distancia entre el punto Q y una partícula P terrestre de masa dM

Sumando ambos potenciales encontramos entonces la ecuación del Geoide :



^{2 2}



2 T

2 m x y

2 1 S m dM K

´ V

W   ^V 



   ^,

o bien:

Geoide 0

n

W Vn





 





V´

W (13)

La expresión (13) es la ecuación del geoide. Para el cálculo efectivo de V es necesario recurrir a sus desarrollos en serie de Legendre o por Armónicas Esféricas, por lo que la ecuación resulta de infinitos términos.

prominencias, [Figura 2.6c]. Es una superficie dinámica que cambia con el tiempo y sobre la misma es muy difícil realizar cálculos y operaciones geométricas tales como mediciones de arcos, ángulos y distancias.

Figura 2.6c: Forma del geoide. Imágenes producidas mediante determinaciones satelitales de gravedad. Las zonas rojas corresponden a mayores alturas y las azules a depresiones.

2.7- Superficies Geopotenciales

Si hacemos: W = Wo = constante , obtenemos la ecuación de una superficie tal que en todos sus puntos el geopotencial toma el mismo valor Wo. Se trata entonces de una superficie equipotencial con respecto a la gravedad, o más sencillamente una superficie geopotencial.

Hay que tener muy presente que sobre una superficie geopotencial lo que es constante es el potencial de la gravedad, pero no la gravedad misma. En consecuencia las superficies geopotenciales no son de gravedad constante, de modo que todos sus puntos tienen el mismo geopotencial pero distinta gravedad.

Haciendo ahora W = Wi con i variable, se define la ecuación de una familia de superficies geopotenciales. Estas tienen algunas propiedades:

(1) En todo punto de una superficie geopotencial la gravedad es normal a la superficie.

(2) Como el vector gravedad es determinativo de la vertical, ésta es perpendicular a la superficie geopotencial que pasa por ella, [Figura 2.7a izquierda].

Esto que acabamos de establecer es muy importante, puesto que el geoide debe cumplir la primera condición enunciada anteriormente de que en todos los topocentros las verticales sean perpendiculares a él. Pero como las superficies geopotenciales no son paralelas entre sí, las verticales de los puntos que no pertenecen a esa superficie no son perpendiculares a ella.

Figura 2.7a: A la izquierda se muestra la perpendicularidad de las verticales a las distintas superficies equipotenciales. A la derecha se ven las diferencias de gravedades según la separación de las superficies equipotenciales

De modo que si se adoptara como ecuación del geoide una superficie geopotencial de referencia, ésta no cumpliría la segunda condición de ser una superficie a la cual resulten perpendiculares las verticales de todos los topocentros.

Las superficies geopotenciales tienden a juntarse en los puntos donde la gravedad es mayor y, por el contrario, tienden a separarse donde es menor, pero nunca se cortan, [Figura 2.7a derecha].

Puede entenderse como superficie geopotencial a aquella en que las partículas que la constituyen están en equilibrio hidrostático, como la superficie libre de un líquido en reposo.

Como dijimos al comienzo, el nivel medio del mar (nmm), es el espacio físico más apto y que mejor se aproxima a la representación de la Tierra en su forma y dimensiones, resultando ser la superficie analítica o matemática más adecuada.

Quedaría pendiente, por supuesto, el problema de que aunque a ella serían perpendiculares las verticales de sus propios puntos (es decir, los que yacen sobre el nmm), a ella no serían perpendiculares las verticales de todos los otros puntos del cuerpo físico de la Tierra.

Consideremos una serie de superficies geopotenciales (W₀, W₁, W₂, ....). Sobre W0 tomemos un punto Po y tracemos por él la normal a W0, es decir tracemos la vertical

0 de P0 ; así 0 corta a W1 en P1 , [Figura 2.8a izquierda].

Luego tracemos por P1 su vertical 1 que, por supuesto, no coincidirá con la anterior porque las superficies geopotenciales no son paralelas. Si continuamos de esta manera, queda definida una línea quebrada P0 , P1 , P2 , P3 , ...etc.

Figura 2.8a: A la izquierda se representa la línea vertical quebrada de acuerdo a las superficies equipotenciales que corta. A la derecha la línea de la vertical curva de acuerdo a la aproximación infinita de las superficies equipotenciales.

Suponiendo que la separación de las sucesivas superficies se hacen infinitamente pequeñas, aquella línea quebrada se vuelve una curva (c) llamada “Línea de Fuerza” del campo gravitatorio terrestre, [Figura 2.8b derecha]. En cada uno de sus puntos la línea de fuerza es normal a la superficie geopotencial que pasa por él y por lo tanto la tangente a la línea de fuerza en ese punto coincide con la Vertical del mismo.

2.9- El Elipsoide Terrestre

Vimos anteriormente que la ecuación del geoide (13) es una serie de infinitos términos que exige un desarrollo en serie por armónicas o polinomios de Legendre. Tal serie es convergente, de modo que tomando unos pocos términos (hasta el cuarto orden) en el desarrollo de



Vn , se tiene una buena aproximación para el potencial W y la ecuación resultante del geoide resulta en un esferoide que aproxima al nmm.

Pero la necesidad de hacer geometría sobre la superficie de referencia, es decir, calcular distancias, ángulos, áreas, etc..., exige que esta superficie sea lo más sencilla que se pueda, de modo que su ecuación sea simple.

Es por ello que se reemplaza al geoide por un elipsoide de revolución alrededor de su eje menor, convenientemente orientado dentro del cuerpo físico de la Tierra y de ejes adecuadamente dimensionados, de modo tal que coincida lo mejor posible con el geoide. Tal elipsoide recibe los nombres de “Elipsoide Terrestre, Elipsoide Absoluto o Elipsoide Geocéntrico”.

La conveniente orientación del Elipsoide Terrestre con respecto al cuerpo físico de la Tierra, se logra haciendo que su centro geométrico coincida con el geocentro (y entonces con el origen del Sistema Terrestre Medio) y su eje menor con el Eje de Rotación Z, [Figura 2.9a].

Figura 2.9 a: Orientación del Elipsoide Terrestre

Si a es el semieje mayor y b el menor, la ecuación del elipsoide terrestre en el sistema Terrestre Medio es :

1 b z a y

₂

2 2 2 2 2



 a 

x

Aproximadamente valen:

a = 6378 Kilómetros b = 6357 Kilómetros

La diferencia entre los semiejes es de 21 kilómetros, cuya pequeñez frente a las dimensiones de a y b nos indica que el elipsoide terrestre se parece bastante a una esfera. Para algunos problemas geodésicos o topográficos en los que la precisión lo permite, el elipsoide puede ser reemplazado por una esfera geocéntrica llamada Esfera Terrestre cuyo radio se puede adoptar como el radio medio del elipsoide terrestre :

R = 1 / 3 (a + a + b) = 6371 kilómetros

El adecuado dimensionamiento se consigue determinando los ejes del elipsoide, de modo que su volumen resulte ser igual al del geoide y que la suma de los cuadrados de las discordancias altimétricas o, más comúnmente denominado ondulación del geoide ( n ) , [Figura 2.10a]:



n²  mínimo Figura 2.10a: Ondulación (n) del geoide

Los parámetros fundamentales son los semiejes mayor y menor, y como parámetros derivados tenemos :

i) El aplastamiento o achatamiento (f) (flattening) :

a b f a-

 (14) Como: a > b > 0 ,

Si b  a , f  0 corresponde a un elipsoide muy redondeado, tendiendo a esfera Si b  0 , f  1 corresponde a un elipsoide muy achatado, como una lenteja Entonces 0 < f < 1

ii) La excentricidad primera (e): ₂

2 2

2 -

a b

e  a (15)

Si b  a , e  0 elipsoide muy redondeado Si b  0 , e  1 elipsoide muy achatado

Entonces 0 < e < 1 . La excentricidad es el grado de deformación del elipsoide.

iii) La excentricidad segunda (e´): ₂

2 2

2 a -

´ b

e  b (16)

Si b  a , e´  0 elipsoide muy redondeado Si b  0 , e´   elipsoide muy achatado Entonces , 0 < e´ < 1

Relacionando las dos excentricidades:

De e² : b² = a² (1 – e²) (17) De e´² : a² = b² (1 + e´²) (18)

Reemplazando la expresión (18) en la (17): b² = b² (1 – e´²) (1 – e²) (1 + e´²) (1 – e²) = 1

2 2 2

2 2 2

1

1 e

e´

e , - e

e

e´    (19)

Si f = (a – b) / a , b = a (1 – f ) , reemplazando en la ecuación (15):

2 2

2 2 2

2 1 1 1

- f ) - ( a

) - f ( - a a

e  

1 – e² = (1 – f )² 1 – e² = 1 – 2f + f²

e2 = f (2 – f) (20)

Numerosos han sido los científicos que se han dedicado a determinar los parámetros del elipsoide terrestre utilizando distintos métodos. Algunos resultados se muestran a continuación.

Bessel (1841) : a = 6 377 397.15 metros , f = 1 / 299.1528 Clarke (1866) : a = 6 378 206.4 metros , f = 1 / 294.98 Clarke (1880) : a = 6 378 200.2 metros , f = 1 / 298.466 Helmert (1907) : a = 6 378 200.0 metros , f = 1 / 298.4 Hayford (1907) : a = 6 378 388  18 metros , f = 1 / 297.0  0.5 Krasowsky (1940) : a = 6 378 245 metros , f = 1 / 298.3

En el año 1930 la Asociación Internacional de Geodesia recomendó la adopción del elipsoide de Hayford; desde entonces se lo conoce como “Elipsoide Internacional”.

Este fue el modelo adoptado por nuestro Instituto Geográfico Nacional (IGN), hasta el advenimiento de los sistemas de posicionamiento globales satelitales.

Debido a las nuevas técnicas geodésicas satelitales, especialmente el sistema GPS (Global Positioning Satellite), actualmente se trabaja con un elipsoide denominado WGS84 cuyas dimensiones son: a = 6 378 137 m , f = 1 / 298.257223563 , su eje Z pasa por el polo medio y el meridiano origen por Greenwich para la época 1984.0 .

2.11- Normal al Elipsoide. Desviación de la Vertical

La recta Normal (W) es un elemento geométrico del elipsoide terrestre de gran importancia pero, dado que el elipsoide es una superficie matemática, la recta normal no es físicamente materializable tal como puede lograrse con la vertical.

Fig. 2.11a: Desviación de la vertical ()

Como sabemos, las verticales son perpendiculares al geoide y, como el elipsoide es una aproximación razonable del geoide, las normales han de coincidir muy cercanamente con las verticales.

Naturalmente, como el geoide y el elipsoide no coinciden exactamente, en general la normal (W) al elipsoide por un topocentro T no coincide con su vertical ( ), [Figura 2.11a].

El ángulo entre ellas se denomina Desviación o Deflexión de la Vertical ().

Puede alcanzar valores, en algunos lugares, de hasta 120 segundos de arco.

La normal al elipsoide corta al eje polar Z (de rotación medio) en un punto que llamaremos “J” de coordenadas (0, 0, Zj), [Figura 2.11b].

Figura 2.11b: Elementos del elipsoide

El plano determinado por la normal (W) y el eje de rotación (Z) es el Meridiano Geodésico de t o T.

El meridiano geodésico intercepta al elipsoide según una elipse de semiejes a y b llamada Elipse Meridiana de t o T . El elipsoide mismo puede considerarse engendrado por la rotación de la elipse meridiana alrededor del eje Z.

Observemos que para puntos del hemisferio norte Z > 0 y Zj < 0, por lo que J se encontrará en el hemisferio sur. Al contrario, para Z < 0 y Zj > 0, por lo que J se ubicará en el hemisferio norte. Para Z = 0 y Zj = 0, estamos en el ecuador y J coincidirá con G.

2.12- Coordenadas Geodésicas Absolutas o Geocéntricas

Sabemos que W es la normal al elipsoide terrestre por el topocentro T. Sea T´ la proyección ortogonal de T sobre el plano fundamental (coincidente con el ecuador medio) y W´ es la proyección ortogonal de la normal. Definimos a las coordenadas geodésicas de acuerdo a la [Figura 2.12a] como:

L = Longitud Geodésica.

0° < L < 360° o -180° < L < +180°

B = Latitud Geodésica –90° < B < +90°

H = distancia tT = Cota Geodésica 90° - B = Colatitud Geodésica

N = distancia JT = Gran Normal

Figura 2.11a: Coordenadas geodésicas

Las coordenadas para el punto t (sobre el elipsoide) son : Xt = N cos B cos L

Yt = N cos B sen

Zt / (1 – e²)^1/2 = N (1 – e²)^1/2 senB

N = a / (1 – e² sen² B)^1/2 L (21) Las coordenadas para el topocentro T son :

XT = Xt + H cos B cos L Y_T = Yt + H cos B sen

ZT = Zt + H senB L (22) Reemplazando las ecuaciones (6) en (7) obtenemos para T :

XT = (N + H) cos B cos L YT = (N+ H) cos B sen L

ZT = (N (1 – e²) + H) senB L (23) Puesto que las coordenadas geodésicas están desarrolladas sobre una superficie matemática, no son observables directamente por ningún método.

L y B pueden calcularse realizando correcciones a partir de las coordenadas astronómicas (, ) observadas o mediante el empleo de receptores satelitales GPS.

Las coordenadas geodésicas aquí detalladas son absolutas (centradas en G), pero también existen coordenadas geodésicas no absolutas, es decir “locales” (con el origen de una terna de ejes en el topocentro). Éstas son las denominadas Horizontales Geodésicas Medias e Instantáneas. Este tipo de coordenadas no se tratarán en este curso.

2.12- Vinculación del Elipsoide al Sistema Terrestre Medio

Recordando el sistema terrestre medio, vemos que la vertical de un topocentro T es la tangente a la línea de fuerza por T, cuya intersección con el geoide (nmm) llamamos To.

A la altura o distancia ToT (desde el geoide hasta el topocentro) se la llama Cota Astronómica

H

,cuya medición requiere combinar tareas de nivelación y gravimetría. En correspondencia, a la altura o distancia tT (desde el elipsoide hasta el topocentro) se la denomina Cota Geodésica (H), [Figura 2.12a].

Figura 2.12a: Cotas astronómica (H ) y geodésica (H)

(, , H

), se debe establecer una relación simple entre las coordenadas astronómicas y geodésicas mediante correcciones cuyos valores son pequeños (del orden de los segundos de arco):

B =  + 

L =  + 

H = H +  H (24)

Las correcciones en latitud () y longitud () están en función de la desviación de la vertical () y de los valores de sus componentes sobre el meridiano () y el primer vertical (), [Figura 2.12b].

Donde:

 = acimut astronómico de la dirección en que se supone desviada la vertical.

' cos ) - ' (

) ' - ( ) ' - ( sen























 (25)