CAPÍTULO IV
VALOR FUTURO y VALOR PRESENTE -
DESCUENTO COMPUESTO-
Inflación
4.1.- VALOR FUTURO y VALOR PRESENTE -DESCUENTO COMPUESTO- Inflación
En el capítulo de Interés Simple se comentó sobre el tema en cuestión, solo que ahora se estudiará el valor futuro compuesto, el valor presente compuesto, su descuento e inflación.
Recordando: en el capítulo I, se analizaron problemas de valor presente en supuestos casos de corto plazo y que están basados en el interés simple.
Éstas son las fórmulas
in P S
1 y
1 360 it P S
Ahora bien, cuando la fecha de pago del adeudo es mayor, se utiliza la fórmula de valor presente utilizando interés compuesto. Así, en resumen podemos decir que el valor presente de una inversión que se pagará en el futuro, es el capital necesario que tenemos que invertir a una tasa “x” y a una fecha determinada, para cubrir un capital futuro.
Veamos un ejemplo:
Un empresario obtuvo un préstamo de Nacional Financiera a una
tasa de interés muy baja. Ocho meses antes de la fecha en que debe
pagar dicha cantidad, consigue un contrato que le da utilidades
suficientes para pagar esa cantidad, es decir, los $248,000.00 que le
prestaron inicialmente. Considerando que el préstamo se acordó a
tasas muy bajas, el empresario decide invertir el dinero necesario y
que además le permita pagar la deuda contraída. Para ello se da a la
tarea de buscar la Institución Financiera que mayor tasa de interés
le pueda otorgar. El Banco que le ofrece el mayor rendimiento es el
14% anual capitalizable mensualmente.
La pregunta es... ¿Cuánto debe invertir hoy (ocho meses antes) a la tasa del 14%, de tal manera que pueda obtener para pagar los
$248,000.00 en la fecha de vencimiento de su deuda?
Si P es la inversión inicial, después de ocho meses el capital crece a:
n
m P i
S
1
8
12 14 . 1 0
P S
Si se desea que el monto sea $248,000.00, entonces tenemos que satisfacer la siguiente ecuación:
8
12 14 .
1 0
P
S
8
12 14 . 1 0 000
,
248
P
1 0 . 011666
8 P
S S P 1 . 011666
8S P 1 . 097234
Se despeja P
89 . 022 , 226 097234 $
. 1
000 ,
248
P
Con esta cantidad invertida, a los ocho meses habrá acumulado los
$248,000.00 que le prestó Nacional Financiera
Comprobación:
0.14
8S =$226,022.89 1+
12 S =$226,022.89 1.01166667
8
S =$226,022.89 1.09723468
S =$248,000.153
Los .15 centavos son por el manejo de los dígitos.
En resumen……..
Podemos decir que, a la diferencia entre el valor del monto que se requiere para saldar una deuda y su valor actual neto o presente, le denominaremos descuento compuesto.
S es el monto de la deuda, i a la tasa de interés por el período de capitalización, n al número de períodos de capitalización que se anticipan y P es el valor presente de la deuda:
i n
P
S ( 1 ) Despejamos P y tenemos: i
nP S
) 1 (
n
m i P S
) 1
(
Que también puede ser representada como:
Valor Futuro Valor Presente
(1 i )
n m/VF VP
m
(1 )
n m/VP VF
i m
Dónde:
VF= valor futuro VP= valor presente i= tasa nominal
m= tipo de capitalización n= tiempo
Valor presente compuesto
Cuando la tasa de interés se
expresa nominalmente y el número de capitalizaciones por año es m
4.1.1. Ejercicios validados con simuladores:
Interés Compuesto
Un empleado pidió un préstamo en la empresa en la cual trabaja, por la cantidad de
$17,000.00 para pagar la remodelación de su casa. La tasa pactada es del 7% nominal ordinario, capitalizable cada 50 días. ¿Cuál es el valor que este empleado va a pagar al final del periodo que es de un año?
P = $17,000 i = 7% Anual.
m = 50 días n = 1 Años S = ?
Ejercicio Resuelto con Simulador
*(1 / )
nS P i m
(360)/50 (360)/50 7.2
$17,000*(1 ((0.07 / 360)*50))
$17,000*(1 (0.009722))
$17,000*(1.009722)
$17,000*1.072145
$18, 226, 47 S
S S S S
Otro caso:
El gerente de una compañía desea incrementar sus ventas apoyado con los resultados de un estudio de mercado realizado por la empresa, para ello requiere ampliar la capacidad instalada en la planta de producción. Para dicha ampliación requiere de
$175,000.00, por lo cual decide solicitar el dinero al banco de la Región, mismo que cobra una tasa de interés de 17.44% Nominal capitalizable cada 45 días. Si el préstamo es por 48 meses, cual es el importe que deberá cubrir?.
P = $175,000.00 i = 17.44% Anual.
m = 45 días n = 48 Meses S = ?
Ejercicio Resuelto con Simulador
*(1 / )
nS P i m
(48*30)/45 (48*30)/45
32
$175, 000.00*(1 ((0.1744 / 360)* 45))
$175, 000.00*(1 ((0.0218))
$175, 000.00*(1.0218)
$175, 000.00*1.993924
$348,936.81 S
S S S S
Un siguiente ejercicio:
El gerente de una tienda de mascotas adquirió un crédito con un banco local a una tasa de interés del 8.7% anual capitalizable semestralmente, para la compra de una vivienda en la que pretenden poner un hotel de mascotas para sus asiduos clientes, el importe del crédito es por la cantidad de $850,000.00 pagaderos en un plazo de 10 años. ¿Cuál es el valor que pagarán al final del tiempo pactado, considerando que la tasa se mantendrá igual en toda la vigencia del crédito?.
P = $850,000.00 i = 8.7% ó 0.087
m = 6 meses (Semestral) n = 10 años
S = ?
Ejercicio Resuelto con Simulador
*(1 / )
nS P i m
(10*12)/6 (10*12)/6
20
$850,000*(1 ((0.0.087 / 2)*6))
$850,000*(1 0.0435)
$850,000*(1.0435)
$850,000*2.343414
$1,991,902.12 S
S S S S
Ejercicio de Valor Futuro y Valor Presente
Se presentan dos escenarios: primeramente cuando se realiza un depósito inicial y con el tiempo se recibirá determinada cantidad y otro en donde se requiere obtener determinada cantidad y para ello, se deberá calcular la cantidad inicial que deberá depositarse, dependiendo del tiempo y la tasa de interés que ofrezca en ese momento algún banco.
Primer caso:
Del presente al futuro sería el siguiente escenario:
Samuel es padre de dos adolescentes las cuales tienen planeado ir a una Universidad privada: A la menor le faltan 5 años para iniciar su carrera y a la mayor solo le faltan 3 años. Pensando en el costo de las inscripciones y demás gastos en que puedan incurrir al momento de su ingreso a la universidad, lo cual por cierto desconoce cuánto deberá pagar, entonces Samuel decide abrir dos cuentas de ahorro, una para cada una de sus hijas en el Banco de la Región, el que le ofrece una tasa de interés del 14% Nominal capitalizable bimestralmente. Las cuentas son aperturadas con el mismo monto inicial para cada una de ellas, el cual es por la cantidad de $20,000.00 ¿Cuánto recibirá cada una de las cuentas al retirar el monto total ahorrado al iniciar los estudios cada una de las hijas?
HIJA MAYOR VP = $20,000.00 i = 14% ´o 0.14 m = 2 meses n = 3 años VF = ?
*(1 / )
nVF VP i m
HIJA MAYOR
(3*12)/2 (3*12)/2 18
$20,000.00*(1 ((0.14 /12)*2))
$20,000.00*(1 0.0233333)
$20,000.00*(1.0233333)
$20,000.00*1.514634759
$30, 292.70 VF
VF VF VF VF
Ejercicio Resuelto con simulador Hija Mayor
HIJA MENOR VP = $20,000.00 i = 14% ó 0.14 m = 2 meses n = 5 años VF = ?
Hija Menor
HIJA MENOR
(5*12)/2 (5*12)/2 30
$20,000.00*(1 ((0.14 /12)*2))
$20,000.00*(1 0.0233333)
$20,000.00*(1.0233333)
$20,000.00*1.997621476
$39,952.43 VF
VF VF VF VF
Segundo caso
Del futuro al presente sería el siguiente escenario:
Samuel es padre de dos adolescentes las cuales tienen planeado ir a una Universidad privada: A la menor le faltan 5 años para iniciar su carrera y a la mayor solo le faltan 3 años. Pensando en el costo de las inscripciones y demás gastos en que incurrirá al momento de su ingreso a la universidad, Para la Hija mayor necesitará $35,000.00 y para la hija menor requerirá $45,000.00 para cubrir los gastos de inscripción.
Entonces Samuel decide abrir dos cuentas de ahorro, una para cada una de sus hijas en el Banco de la Región, el que le ofrece una tasa de interés del 14% Nominal capitalizable bimestralmente. Las cuentas son aperturadas con el mismo monto inicial para cada una de ellas, el cual es por la cantidad de $20,000.00 ¿Cuánto recibirá cada una de las cuentas al retirar el monto total ahorrado al iniciar los estudios cada una de las hijas?
HIJA MAYOR VP = ¿ ? i = 14% ´o 0.14 m = 2 meses n = 3 años
VF = $35,000.00
(1 / )
nVP VF
i m
HIJA MAYOR
(3*12)/2
(3*12)/2
18
