No es función. Sobran elementos del primer conjunto; además hay un elemento que está relacionado con dos elementos del segundo conjunto.

(1)

Algunos ejercicios y parte de la teoría son tomadas de:

Cálculo diferencial e Integral. James Stewart.

Matemática Experimental 11. Introducción al Cálculo. Julio Uribe Calad.

Archivos personales del profesor Óscar Darío Álzate.

CEFA

LUX

VESTRA

LUCEAT

INSTITUCIÓN EDUCATIVA CENTRO FORMATIVO DE ANTIOQUIA CEFA FUNCIONES. Grado Undécimo Matemáticas

FUNCIÓN: Se refiere a una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A, exactamente un elemento f(x) de un conjunto B. A la función se le suele designar por f y a la imagen por f(x) o y, siendo x la variable independiente.

Dicho de otra manera: Todos los elementos del conjunto de partida, están relacionados con uno y solo un elemento del conjunto de llegada.

Es función. Todos los elementos del primer

conjunto están relacionados con solo un

elemento del segundo conjunto.

No es función. Sobran elementos del primer conjunto; además hay un elemento que está relacionado con dos

elementos del segundo conjunto.

Es función. Todos los elementos del primer

conjunto están relacionados con solo un

elemento del segundo conjunto.

No es función. Hay un elemento que tiene dos imágenes en el segundo

conjunto.

Criterio de la línea vertical:

Una función se caracteriza geométricamente por el hecho de que toda recta vertical que corta su gráfica lo hace exactamente en un solo punto.

No es función. No es función. Si es función Si es función EJERCICIOS DEL 1 AL 5

Para las siguientes relaciones ℛ: 𝑅𝑒 → 𝑅𝑒, graficar y especificar si es función o no; en caso de que no sea función, redefinirlas para que sea función.

Las relaciones vienen definidas por las siguientes reglas:

1. 𝓡: {𝑹𝒆 → 𝑹𝒆 ⁄ 𝒀^𝟐 = 𝟐𝟓 − 𝑿^𝟐} 2. 𝓡: {𝑹𝒆 → 𝑹𝒆 ⁄ 𝒙𝒚 + 𝟐𝒚 = 𝟑}

3. 𝓡: {𝑹𝒆 → 𝑹𝒆 ⁄ 𝒀^𝟐 = 𝑿^𝟐− 𝟗}

4. 𝓡: {𝑹𝒆 → 𝑹𝒆 ⁄ 𝒀^𝟐 = 𝟒 − 𝟐𝒙}

5. 𝓡: {𝑹𝒆 → 𝑹𝒆 ⁄ 𝟒𝑿^𝟐+ 𝟗𝒀^𝟐 = 𝟑𝟔}

RESPUESTAS:

𝓡: {𝑹𝒆 → 𝑹𝒆 ⁄ 𝒀^𝟐= 𝟐𝟓 − 𝑿^𝟐} f: {[−5, 5] → 𝑅𝑒 ⁄ 𝑦 = +√25 − 𝑋²} f: {[−5, 5] → 𝑅𝑒 ⁄ 𝑦 = −√25 − 𝑋²}

(2)

𝓡: {𝑹𝒆 → 𝑹𝒆 ⁄ 𝒙𝒚 + 𝟐𝒚 = 𝟑}

Para que sea función debe redefinir:

𝑓: {𝑅𝑒 − {−2} → 𝑅𝑒 ⁄ 𝑦 = 3 𝑥 + 2}

6. 𝓡: {𝑹𝒆 → 𝑹𝒆 ⁄ 𝒀^𝟐 = 𝑿^𝟐− 𝟗}

Para que sea función debe redefinir:

𝑓: {(−∞, −3] ∪ [3, +∞) → 𝑅𝑒 𝑦 = +√𝑥⁄ ²− 9 }

𝑓: {(−∞, −3] ∪ [3, +∞) → 𝑅𝑒 𝑦 = −√𝑥⁄ ²− 9 }

𝓡: {𝑹𝒆 → 𝑹𝒆 ⁄ 𝒀^𝟐= 𝟒 − 𝟐𝒙} 𝑓: {(−∞, 2] → 𝑅𝑒 ⁄ 𝑦 = +√4 − 2𝑥 } 𝑓: {(−∞, 2] → 𝑅𝑒 ⁄ 𝑦 = −√4 − 2𝑥 }

𝓡: {𝑹𝒆 → 𝑹𝒆 ⁄ 𝟒𝑿^𝟐+ 𝟗𝒀^𝟐= 𝟑𝟔} 𝑓: {[−3, 3] → 𝑅𝑒 ⁄ 𝑦 = +√36 − 4𝑥²

9 }

Funciones crecientes y decrecientes

Función creciente. Una función creciente f es una función tal que al aumentar la variable independiente x, aumenta la variable dependiente y. Es decir, la función f es creciente si para cualquier par de puntos x1 y x2 del dominio tales que x1<x2, se cumple que f(x1) ≤ f(x2).

Función decreciente. Una función decreciente f es una función tal que al aumentar la variable independiente x, disminuye la variable dependiente y. Es decir, la función f es creciente si para cualquier par de puntos x1 y x2 del dominio tales que x1<x2, se cumple que f(x1)  f(x2).

https://www.universoformulas.com/

(3)

En el gráfico que aparece a continuación se registra las temperaturas marcadas a diferentes horas del día. Con esta información se pide:

1.Determinar la temperatura máxima y mínima de ese día y las horas en las que se produjeron tales temperaturas.

2.¿En cuales horas del día la temperatura crece? ¿Y en cuales decrece?

3.¿A qué hora la temperatura fue de 0 °C?

Clases de funciones reales:

1.La función constante: En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente. Wikipedia

Se la representa de la forma:

2.La función lineal: Es una función polinómica de primer grado, es decir, una función cuya

representación en el plano cartesiano es una línea recta. Wikipedia Es de la forma

y = mx + b. Donde m es la pendiente o inclinación y b es el intercepto con el eje y.

Cuando m=0 da como resultado la función constante.

Cuando m>0 (positiva) Es una función creciente.

Cuando m<0 (negativa) Es una función decreciente.

Cuando una recta se utiliza como modelo de relación entre dos cantidades, la PENDIENTE es la razón de cambio de una cantidad respecto a la otra. La pendiente (m) es el valor que aumenta o disminuye y cuando x aumenta 1 unidad.

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES. Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de ellas por una cantidad, la otra queda multiplicada (o dividida) por el mismo número.

Son de la forma y=k(x) (Algunos ejemplos)

1. La longitud de la circunferencia es directamente proporcional al radio. 𝑙𝑐 = 2𝜋 ∗ 𝑟 ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐾 = 2𝜋

r 1 2 3 4 5 6 7 8

lc 2 4 6 8 10 12 14 16

2. En el movimiento uniforme se dice que el espacio, es directamente proporcional al tiempo. 𝑒 = 𝑣 ∗ 𝑡 donde la constante K es la velocidad (velocidad constante). Por ejemplo para

una velocidad de 50 ^𝐾𝑚_ℎ

T (h) 1 2 3 4 5 6 7 8

e = v (t) e (Km) 50 100 150 200 250 300 350 400

3. Algunos científicos opinan que la temperatura superficial promedio del mundo, está aumentando en forma constante.

𝑇 = 0,02𝑡 + 8.5° , t en años desde 1900. En esta situación:

a) ¿Qué representa la pendiente y la intersección con el eje y?

b) Predecir la temperatura en 2.100 años.

y=x

(4)

Respuesta:

a) m representa el incremento anual de temperatura. La intersección con el eje y (8,5°), representa la temperatura en 1900.

b) Cuando t=2100 años, han transcurrido 200 años desde que inicia el aumento.

Esto es T (200)= 0,02(200) + 8.5° = 12,5°

4. La ley de Hooke establece que si un peso W se engancha a un resorte que está colgado, entonces la longitud s que estira el resorte (elongación) estará relacionada linealmente con el peso W en el caso de un resorte original.

𝑆 = 0,3𝑊 + 2.5; 𝑆 𝑒𝑛 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠; 𝑊 𝑒𝑛 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠.

a) ¿Qué representa la pendiente y la intersección con el eje y?

Respuesta:

a) m representa el incremento de la longitud del resorte, por cada libra. La intersección con el eje y (2,5), representa la longitud del resorte sin peso.

En una empresa de confecciones, la producción de 500 tapabocas, cuesta 450.000 y la producción de 1.000 tapabocas le cuesta 600.000. Determinar la ecuación del costo suponiendo que es lineal.

5. Si se produce 800 tapabocas, ¿cuál será su costo?

6. Para un costo de producción de $ 3’300.000, ¿cuántos tapabocas se producen?

7. ¿Qué interpretación tiene la pendiente?

8. ¿Cómo se interpreta el intercepto con el eje y?

9. Graficar.

La relación entre el costo de un carro y la depreciación dada por su uso, se representa en la gráfica siguiente:

10. ¿Qué significa la pendiente de esta recta?

11. ¿Qué significa la intersección con el eje y?

12. Escribe una ecuación que relacione las dos variables (Costo y tiempo).

13. ¿Cuál sería el precio justo para vender el carro a los 5 años de comprado?

El costo mensual por manejar un automóvil depende de la cantidad de millas recorridas. Juan José observa que, en mayo, el costo de manejo fue de 380 dólares por480 millas y que en junio el costo fue de 460 dólares por 800 millas. Suponga que hay una relación lineal entre el costo C por manejar un automóvil y la distancia recorrida d.

14. Calcule una ecuación lineal que relacione C y d.

15. Use la ecuación anterior para predecir el costo por manejar 1500 millas al mes.

16. Trace la gráfica de la ecuación lineal. ¿Qué representa la pendiente de la recta?

17. ¿Qué representa la ordenada en el origen de la gráfica?

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES

DESPLAZAMIENTOS HORIZONTALES Y VERTICALES. Supóngase que c>0. Para obtener la gráfica de

 

^x ^c

f

y   Se desplaza la gráfica de ^y^ ^f

 

^x una distancia de c unidades hacia arriba.

 

^x ^c

f

y   Se desplaza la gráfica de ^y^ ^f

 

^x una distancia de c unidades hacia abajo.



^x ^c



f

y   Se desplaza la gráfica de ^y^ ^f

 

^x una distancia de c unidades hacia la derecha.



^x ^c



f

y   Se desplaza la gráfica de ^y^ ^f

 

^x una distancia de c unidades hacia la izquierda.

ALARGAMIENTOS Y REFLEXIONES VERTICALES Y HORIZONTALES Supóngase que c>1. Para obtener la gráfica de

 

^x

cf

y Alárguese la gráfica de ^y^ ^f

 

^x verticalmente en un factor de c.

 

x c f

y 1

 Comprímase la gráfica de ^y^ ^f

 

^x verticalmente en un factor de c.

 

^cx

f

y Comprímase la gráfica de ^y^ ^f

 

^x horizontalmente en un factor de c.

(5)



 



  x f c

y 1

Alárguesela gráfica de ^y ^ ^f

 

^x horizontalmente en un factor de c.

 

^x

f

y  Refléjese la gráfica de ^y^ ^f

 

^x respecto al eje x

 

^x

f

y   Refléjese la gráfica de ^y^ ^f

 

^x respecto al eje y

Para dibujar la gráfica de ^y^^{af bx c}



^{ }



^d a partir de la gráfica de ^y^ ^{f x}

 

debemos tener en cuenta el siguiente orden:

PASO 1 Desplazamos horizontalmente la gráfica de ^y^ ^{f x}

 

, c unidades hacia la derecha o hacia la izquierda, dependiendo de si c es negativo o positivo, es decir hacemos la transformación ^y^ ^f



^x^^c



.

PASO 2 Alargamos o comprimimos horizontalmente la gráfica de ^y ^ ^f



^x^^c



, b veces; es decir realizamos la transformación de ^y^ ^{f bx c}



^



, si además b es negativo, debemos dibujar la simétrica de esta última función respecto al eje y.

PASO 3 Alargamos o comprimimos verticalmente la gráfica de ^y^ ^{f bx c}



^



, a veces; es decir realizamos la transformación de ^y^^{af bx c}



^



, si además a es negativo, debemos dibujar la simétrica de esta última función respecto al eje x.

PASO 4 Finalmente desplazamos verticalmente la gráfica de^y^^{af bx c}



^



, d unidades hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de si d es positivo o negativo. Es decir, hacemos la transformación ^y^^{af bx c}



^{ }



^d . La regla de la función ^y^^{af bx c}



^{ }



^d también puede escribirse así: c

y af b x d

b

  

    

En este caso el orden de trabajo es el siguiente:

PASO 1 Alargamos o comprimimos horizontalmente la gráfica de ^y^ ^{f x}

 

, b veces; es decir realizamos la transformación de ^y^ ^{f bx}

 

, si además b es negativo, debemos dibujar la simétrica de esta última función respecto al eje y.

PASO 2 Desplazamos horizontalmente la gráfica de y f bx

 

, c

b unidades hacia la derecha o hacia la izquierda, dependiendo de si c

b es negativo o positivo, es decir hacemos la transformación c y af b x

b

  

     PASO 3 Alargamos o comprimimos verticalmente la gráfica de c

y af b x b

  

    , a veces; es decir realizamos

la transformación de c

y af b x b

  

    , si además a es negativo, debemos dibujar la simétrica de esta última función respecto al eje x.

PASO 4 Finalmente desplazamos verticalmente la gráfica de c y af b x

b

  

    , d unidades hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de si d es positivo o negativo, es decir

hacemos la transformación c

y af b x d

b

  

     .

Ejercicios:

Se da la gráfica de una función cualquiera y= f(x). Se pide:

Reflejarla en el eje x, reflejarla en el eje y, desplazarla 3 unidades a la izquierda, desplazarla 2 unidades hacia abajo, estirarla verticalmente en un factor de 2 y comprimirla horizontalmente en un factor de 2. (página 8)

(6)

Función polinómica de grado PAR:

Toda función polinómica de grado par es muy parecida a la gráfica de y = x²

Para una ecuación de la forma 𝑦 = 𝑎 𝑥²+ 𝑘; podemos concluir que es una parábola:

1.Si a>0 es abierta hacia arriba.

2.Su vértice es (0, k)

En general 𝑦 = 𝑎 (𝑥 − ℎ)²+ 𝑘 𝑒𝑠 una parábola que abre hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del

signo de a; v (h, k); eje de simetría x=h; se alarga o se comprime en un factor de a.

Si es una parábola que abre hacia arriba, el vértice es el punto mínimo. De manera

análoga; si es una parábola que abre hacia abajo, el vértice es el punto máximo.

Si es una ecuación de la forma 𝑦 = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 su vértice está en el punto 𝑉 (−_2𝑎^𝑏 , 𝑓(𝑥))

Una ecuación de segundo grado (𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0) puede tener una, dos o ninguna solución, dependiendo del valor del discriminante. 𝒙 =^{−𝒃±√𝒃}^𝟐^{−𝟒𝒂𝒄}

𝟐𝒂 ; El discriminante D=𝒃^𝟐− 𝟒𝒂𝒄.

Si D=0 tiene una única solución.

Si D>0 tiene dos soluciones

Si D<0 (negativo) No tiene solución.

¿Qué tanto aprendí? Practiquemos:

Graficar sin tabla de valores y concluir las características de cada función (vértice, concavidad, puntos

máximos y mínimos, eje de simetría, desplazamientos, estiramientos, compresiones, gráfica, dominio, rango, interceptos con los ejes y simetría con el eje y si la hay)

1) 𝑦 = 2𝑥²− 3 ²⁾𝑦 = (𝑥 − 3)² 3)𝑦 = 2(𝑥 − 3)²− 2 4)𝑦 = −(𝑥 + 1)²+ 2

5)𝑦 = 3(𝑥 + 1)²− 2 6)𝑦 = 𝑥²− 1 ⁷⁾𝑦 = −𝑥² + 3 ⁸⁾𝑓(𝑥) = 𝑥²− 6𝑥 + 11

9)𝑓(𝑥) = 4𝑥²+ 24𝑥 + 34 10)𝑦 = 𝑥²− 7𝑥 + 6 11)𝑦 = 5𝑥²+ 20𝑥 + 1 12)𝑦 = −2𝑥²+ 4𝑥 + 1 Hallar los ceros de la función, encuentra los valores máximos y mínimos, encuentra los interceptos con el eje y; traza la gráfica.

13)𝑓(𝑥) = −12𝑥² + 11𝑥 + 15 ¹⁴⁾𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 4𝑥 + 9 ¹⁵⁾𝑓(𝑥) = 2𝑥²+ 20𝑥 − 44

16)𝑓(𝑥) = 2𝑥²− 4𝑥 + 4 17)𝑓(𝑥) = 9𝑥²+ 24𝑥 + 16 18)𝑓(𝑥) = −2𝑥²+ 12𝑥 − 16

(7)

Función polinómica de grado IMPAR:

Toda función polinómica de grado impar es muy parecida a la gráfica de y = x³

3.

Función raíz PAR:

Toda función raíz cuadrada, cuarta…par; es similar a la gráfica 𝑦 = √𝑥

4.

Función raíz IMPAR:

Toda función raíz cúbica, quinta…impar; es similar a la gráfica 𝑦 = √𝑥³

5.Las funciones trigonométricas (Repasar las características de las gráficas de las funciones trigonométricas) 6.

Función exponencial:

Las funciones exponenciales tienen la misma forma Y = f(x) = 𝑎^𝑥.

Son útiles para describir fenómenos naturales.

Si a>1 la gráfica de la función es creciente, como lo es el caso del crecimiento de poblaciones de bacterias.

En la gráfica están representadas las funciones:

𝑦 = 2^𝑥; 𝑦 = 3^𝑥; 𝑦 = 5^𝑥

Si 0<a<1 la gráfica es una curva decreciente, como lo es el caso de la disminución radioactiva.

En la gráfica aparece representada las funciones:

𝑦 = (¹

2)^𝑥; 𝑦 = (¹₅)^𝑥.

7.Funciones logarítmicas:

Tienen la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) = log_𝑎𝑏 donde la base a es un número real positivo diferente de 1. Son las funciones inversas a las funciones exponenciales.

Si a>1 la gráfica es una curva creciente.

𝑦 = log₂𝑥

Si 0<a<1 la gráfica es una curva decreciente.

(8)

𝑦 = log1 2

𝑥 8.Función valor absoluto:

9.Función Polinómica de grado superior a 2.

Es una función de la forma y = 𝑎₁xⁿ+ 𝑎₂xⁿ⁻¹+ 𝑎₃xⁿ⁻²+ ⋯ + 𝑎_𝑛−1x + 𝑎_𝑛 Donde 𝑎_1,…𝑎_𝑛 son constantes reales.

Por ejemplo: Grafiquemos la función 𝑦 = 𝑥⁴− 6𝑥² + 9 𝑦 = −𝑥⁴+ 4𝑥²

𝑦 = 𝑥³+ 3𝑥²+ 2𝑥

10.

Función Racional:

Es de la forma 𝑦 =^𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x)≠ 0. Es muy importante a la hora de graficar, tener presente las asíntotas, los interceptos, las simetrías, el dominio y el rango de la función.

Ejemplo: Veamos el comportamiento de algunas gráficas:

𝑦 = 1

𝑥² 𝑦 = 2𝑥²

𝑥 − 1

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Se dice que dos magnitudes son inversamente

proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número. Al producto de las dos magnitudes, se le llama constante de proporcionalidad inversa.

Son de la forma 𝑦 =^𝑘

𝑥

Observa que es una función racional, cuyas asíntotas son x=0; y=0.

(9)

En la gráfica ya puedes visualizar el dominio y el rango, así como también si hay o no interceptos con los ejes.

Será posible hablar de simetrias?

En las funciones racionales debe hablarse de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.

Si hay asíntota horizontal, no hay asíntota oblicua.

Sea la función racional y = ^f(x)

q(x); llamaremos GN: Al grado del numerador f(x) y GD: Al grado del denominador q(x); tenemos las siguientes presiciones en cuanto a las asíntotas horizontales:

1) Si GN<GD , asíntota horizontal y=0; en este caso no hay asíntota oblicua. Ejemplo:y =_x^x+2₂₋₁ 2) GN=GD; asíntota horizontal y = coeficiente principal del numerador

coeficiente principal del denominador Ejemplo: y =^2x³^−3x²

5x³+3x; asíntota horizontal y =2

5

2) GN>GD no hay. Si no hay asíntotas horizontales, puede haber asíntotas ablicuas. Si el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador , hay asíntotas oblicua. Por ejemplo: 𝑦 =^𝑥²_𝑥+1^+𝑥+2

Procedimiento para hallar una asíntota oblicua: Se divide el numerdor por el denominador. No importa si hay residuo, el cociente siempre será una expresión de ma forma mx+b. La recta y=mx+b es la asíntota oblicua de la función. Ejemplo: Hallemos las síntotas y trazar la gráfica de la siguiente función: 𝑦 =^𝑥²^−5𝑥+11_𝑥−2

Hallemos las asíntotas en las siguientes funciones y tracemos la gráfica.

1) 𝑦 = 𝑥³

𝑥²− 1 2) 𝑓(𝑥) = 𝑥³− 4

𝑥² 3) 𝑦 =𝑥³− 2𝑥² + 4

𝑥² 4) 𝑓(𝑥) =2𝑥²− 3𝑥

𝑥 + 1 Es muy probable en una función racional que al factorizar el numerador y el denominador de la función aparezca factores que se cancelen; en este caso se debe hablar de asíntotas verticales y huecos en la función. Veamos un caso: Sea la función 𝑓(𝑥) =_𝑥₂^𝑥_+2𝑥−3³^−𝑥 Si quiero hallar el dominio de la función, basta con factorizar el denominador para encontrar los ceros. Esto es 𝑓(𝑥) = ^𝑥³^−𝑥

(𝑥+3)(𝑥−1); En este caso el dominio de la función son todos los reales menos esos dos numeros que anulan el enominador. Re-{-3, 1}. Estariamos casi seguras que las asintotas verticales son x=-3 y x=1; pero esta es una decisión apresurada, debemos de factorizar también el numerador. 𝑓(𝑥) =_𝑥₂^𝑥_+2𝑥−3³^−𝑥 = ^𝑥(𝑥²⁻¹⁾

(𝑥+3) (𝑥−1)=𝑥(𝑥−1)(𝑥+1)

(𝑥+3)(𝑥−1); Si obervas en la nueva función podemos cancelar el factor (x-1) del numerador y del denominador; obteniendo así una función equivalente a la primera, 𝑓(𝑥) =^{𝑥 (𝑥+1)}_(𝑥+3)

OJO: Los factores que se cancelan, indican la existencia de un hueco (en x=1 hay un hueco)

Los factores del denominador que no se cancelan indican la existencia de asíntotas verticales (x=-3) es una asintota vertical.

Función por tramos:

Es una función que tiene diferente

comportamiento en su trayectoria, dependiendo de la forma que esté definido cada intervalo.



























2 ,

3

2 3

1

3 2

)

( ²

x si x

x si

x

x si x x f

¿Cómo quedaría la gráfica de la siguiente función?



















2 ,

3

3 2

2 3

) (

x si

x x si x

f

(10)

FUNCIÓN PAR E IMPAR:

Una función f: A → B es par si es simétrica con el eje y (si f(x)=f(−x) para todo x ∈ A). También debe considerarse que −x ∈ A.

Una función f: A→ B es impar si es simétrica con el origen (si f (-x) =-f(x) para todo x ∈ A). Debe considerarse que −x ∈ A.

ALGEBRA DE FUNCIONES: Si f y g son dos funciones de x con dominio A y B respectivamente, entonces las funciones f+ g, f- g, f. g, y f / g se definen así:

1) (𝒇 + 𝒈)_(𝒙)= 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) 𝒄𝒐𝒏 𝑫_𝒇+𝒈 = 𝑨 ∩ 𝑩 𝟐)(𝒇 − 𝒈)_(𝒙)= 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) 𝒄𝒐𝒏 𝑫_𝒇−𝒈 = 𝑨 ∩ 𝑩 𝟑)(𝒇 ∗ 𝒈)_(𝒙) = 𝒇(𝒙) ∗ 𝒈(𝒙) 𝒄𝒐𝒏 𝑫_𝒇∗𝒈= 𝑨 ∩ 𝑩

𝟒)(𝒇/𝒈)_(𝒙) = 𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙) 𝒄𝒐𝒏 𝑫𝒇 𝒈

= {𝒙: 𝒙 𝝐 𝑨 ∩ 𝑩 ∧ 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎}

Veamos un ejemplo:

Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥³− 1 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1hallar: (f+ g)(x), (f- g)(x), (f. g)(x), (f / g)(x) y sus respectivos dominios.

𝟏) (𝒇 + 𝒈)_(𝒙) = 𝑥³ − 1 + 𝑥 − 1 = 𝑥³+ 𝑥 − 2 𝑐𝑜𝑛 𝑫_𝒇+𝒈 = 𝑅𝑒 𝟐) (𝒇 − 𝒈)_(𝒙) = 𝑥³ − 1 − 𝑥 + 1 = 𝑥³+ 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑫_𝒇−𝒈 = 𝑅𝑒

𝟑) (𝒇 ∗ 𝒈)_(𝒙) = (𝑥³− 1)(𝑥 − 1) = 𝑥⁴− 𝑥³− 𝑥 + 1 𝑐𝑜𝑛 𝑫_𝒇∗𝒈 = 𝑅𝑒

𝟒) (𝒇/𝒈)_(𝒙) =𝑥³− 1

𝑥 − 1 =(𝑥 − 1)(𝑥²+ 𝑥 + 1)

(𝑥 − 1) 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑓(𝑥) = (𝑥²+ 𝑥 + 1) 𝑐𝑜𝑛 𝑫𝒇 𝒈

= 𝑅𝑒 − {1}

FUNCIÓN COMPUESTA: Sean f y g dos funciones de x tales que 𝒇: 𝑨 → 𝑩 𝒚 𝒈: 𝑩 → 𝑪; Se define la función compuesta de la siguiente manera:

A. (f og)(x)= f [ g (x)]

B. (g o f)(x)= g [ f (x)]

C. (f o f)(x)= f [ f ( x )

D. (g o g)(x)= g [ g (x)]

E. (f o g)(0)= f [ g (0)]

F. (g o f)(2)= g [ f ( - 2 ) ]

FUNCIÓN INVERSA:

Antes de hablar de la función inversa, definamos función biyectiva.

(11)

INYECTIVA (Es uno a uno). Puede sobrar elelmentos en B.

SOBREYECTIVA: (Sobre) No sobran elementos en B

Biyectiva: Es uno a uno y sobre.

Una función es biyectiva si es uno a uno (inyectiva) y sobreyectiva; es decir, si cada elemento de su dominio, se relaciona con un solo elemento de su condominio y no sobran elementos en el conjunto de llegada (rango de f igual a B).

Para identificar rápidamente si una función es biyectiva, utilizamos el criterio de la línea horizontal. Si al trazar una línea horizontal sobre la gráfica de la función, está la intercepta en dos o más puntos, esta función no es biyectiva, por tanto, no tiene inversa.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INVERSA: Sea f una función biyectiva con dominio A y rango B. La función inversa de f denotada por f^-1 tiene dominio B y rango A y es tal que: 𝒇^−𝟏(𝐲) = 𝐱 ⇔ 𝐟(𝐱) = 𝐲; para cualquier y Є B.

Para hallar la función inversa se despeja x y se intercambian las variables. Ejemplo:

Hallar la función inversa de 𝒇(𝒙) = 𝒚 = 𝒙^𝟑−1. Procedemos a despejar x.

𝒙 = √𝒚 + 𝟏^𝟑 . Intercambiamos variables y obtenemos que 𝒇^−𝟏(𝒙) 𝒆𝒔: 𝒚 = √𝒙 + 𝟏^𝟑

Sabemos que hallamos la inversa de la función, si al graficar la función

original y su inversa, en el mismo plano cartesiano, ambas quedan simétricas respecto a la recta y=x.

Hay otra manera de graficar la inversa de una función. Graficamos la original 𝒚 = 𝒙^𝟑−1; sacamos las coordenadas P1 (-1, -2); P2 (0, -1); P3 (1,0) y P4 (2, 7) Una vez sacamos algunos puntos de la gráfica intercambiamos los valores de (x, y). Y graficamos estos nuevos puntos obteniendo su inversa. P1 (-2, -1); P2 (- 1, 0); P3 (0, 1); P4 (7, 2).

Las funciones que no tienen inversa como:

𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑥² 𝑔(𝑥) = 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥

Se pueden redefinir para poder hablar de su función inversa:

𝒇: {[𝟎, ∞) → [𝟎, ∞), 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒚 = 𝒙^𝟐} 𝒈: {[−^𝝅

𝟐, ^𝝅

𝟐] → [−𝟏, 𝟏], 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙} Nota: Al intercambiar los valores de (x, y) no olvidar que se debe trabajar las medidas en radianes =3,14