HACIA UNA BASE CELULAR PARA LA FRAMIZACIÓN DEL ÁLGEBRA DE HECKE DE TIPO B

Universidad de Valparaíso Facultad de Ciencias Instituto de Matemáticas

HACIA UNA BASE CELULAR PARA LA FRAMIZACIÓN DEL ÁLGEBRA DE HECKE DE TIPO B

Tesis para optar al grado de Magíster en Matemáticas

Presentada por:

GERARDO CORREDOR RINCON

Profesor Guía: Dr. Marcelo Flores Henríquez

VALPARAÍSO

MARZO2020

“¿ESTA CHILOSO?”

Dionicio Rincón Lizcano (1934-2019)

Agradecimientos

Quiero agradecer primeramente a Dios y a mi madre, Luz Marina Rincón que gracias a sus esfuerzos y sacrificios me han permitido ser quien soy.

A mis abuelos, Rosa Amelía Pimiento y Dionicio Rincón Lizcano que me formaron co- mo persona, estando siempre a mi lado y siendo el motor de mi vida para seguir ade- lante.

Al profesor Marcelo Flores que, como director de esta tesis, me ha orientado, apoyado, corregido y motivado a continuar con mis estudios.

Al profesor Rodrigo Castro, que me brindó su amistad y ayuda a lo largo de mi carrera.

A todo aquel que durante los últimos dos años me brindó su amistad. En especial agra- dezco a mi compañera de ingreso Juliana Gonzáles por su apoyo moral y por todas las alegrías que pasamos, y a Cristina Verdugo por darme fuerzas en momentos difíciles.

A cada profesor que contribuyó en mi formación como matemático.

Al proyecto Fondecyt/iniciación 11170305 por financiar parcialmente mi trabajo.

II

Resumen

El primer paso es analizar y explicar detalladamente el concepto de bases celulares para un álgebra. Luego, comprender en detalle la base de Murphy del algebra de Hecke de tipo A, lo cual es fundamental para entender la construcción de la base celular del álgebra de Yokonuma-Hecke de tipo A. Así, se podrá conjeturar una base celular para la framizacion del álgebra de Hecke de tipo B , adaptando lo realizado en las álgebras de tipo A.

III

Índice general

1. Introducción 1

2. Preliminares 4

2.1. Módulos . . . 4

2.2. Producto Tensorial . . . 7

2.3. Álgebras . . . 9

2.4. Representaciones de Álgebras . . . 10

2.5. Sistemas de Coxeter . . . 13

3. Álgebras Celulares 16 3.1. Bases Celulares . . . 16

3.2. Módulos Simples de un Álgebra Celular . . . 23

4. Base Celular del Álgebra de Iwahori-Hecke 25 4.1. Álgebra de Iwahori-Hecke . . . 25

4.2. Young Tableaux . . . 26

4.3. Base de Murphy . . . 32

5. Base Celular del Álgebra de Yokonuma-Hecke 41 5.1. Álgebra de Yokonuma-Hecke . . . 41

5.2. Young Multitableaux . . . 45

5.3. Generalización de la Base de Murphy . . . 51

6. Base Celular de la Framización del Álgebra de Hecke de Tipo B 56 6.1. Base Celular del Álgebra de Hecke de Tipo B . . . 56

6.2. Framización del Álgebra de Hecke de Tipo B . . . 59

6.3. Base Celular del Framizado de Hecke de Tipo B . . . 63

IV

Capítulo 1 Introducción

La teoría de representaciones nació en 1896 en la obra [9] del matemático alemán F.G.

Frobenius. Ideas de Dedekind de 1885 fueron la base de dicho trabajo. De hecho, Fro- benius introdujo las representaciones de grupos en este trabajo sin hacerlas explícitas, donde los caracteres aparecían como soluciones de ciertas ecuaciones. Al año siguien- te en [10] Frobenius define la noción de representación de un grupo finito y demuestra que las trazas de las matrices de la representación correspondientes son los caracte- res del grupo. La presentación actual de la teoría de representaciones se debe a Schur, alumno doctoral de Frobenius en Berlin, ver [21].

El problemas central en la teoría de representaciones de grupos finitos es determinar una familia completa de representaciones irreducibles (módulos simples) para un gru- po dado. Esto debido a que cada representación es suma directa de representaciones irreducibles, lo cual esta garantizado por el teorema de Maschke, ver [7]. Cuando nos trasladamos a la teoría de representaciones de álgebras de dimensión finita no existe un teorema que garantice esta descomposición. Para algunas álgebras, cada módulo es una suma directa de módulos simples, y en este caso, el álgebra se llama semisimple.

Sin embargo, cualquier módulo de dimensión finita es una suma directa de módulos indescomponibles, es decir, no se puede escribir como suma directa de dos submó- dulos no triviales. Más aún, tal descomposición de suma directa es única, lo cual se conoce como el teorema de Krull-Schmidt, ver [5]. Con lo cual es suficiente entender los módulos indescomponibles de un álgebra. Como observación, todo módulo sim- ple es indescomponible.

1

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 2

En 1996 Graham y Lehrer introducen el concepto de álgebra celular en [16]. Estas ál- gebras poseen una base, la cual tiene una lista de propiedades que permiten obtener una familia completa de representaciones irreducibles para dicha álgebra. Dicha base es llamada base celular, y actualmente es una herramienta muy utilizada en teoría de representaciones. Posteriormente, König y Xi en 1998 comenzaron a analizar la clase de álgebras celulares y dieron una definición equivalente desde el punto de vista de la teoría de anillos (ver [15]), que a menudo es más conveniente. Para nuestro caso tra- bajaremos con la definición de Graham y Lehrer.

El álgebra de Iwahori-Hecke asociada al grupo simétrico S_n, denotada por Hn(q), aparece de manera natural como el álgebra conmutante de la representación natu- ral de GL_n(F_q) respecto al subgrupo de Borel. Esta, también puede ser definida como una q-deformación del álgebra de grupo deS_n. Más generalmente, dado un grupo de Coxeter W , se puede definir de manera general el álgebra de Hecke asociada a W , de- notada porH (W ), y la cual es una deformación del álgebra de grupo de W . Además, se sabe que las álgebras de Hecke son álgebras celulares, ver [17].

El álgebra de Yokonuma-Hecke, denotada porYr,n(q), es introducida en [23] en el con- texto de los grupos de Chevalley, como una generalización de las álgebras de Iwahori- Hecke. Lo cual resulta ser una q-deformación del álgebra de grupo deZⁿr o Sn. Está álgebra puede ser vista como una framización del álgebra de HeckeHn(q). El con- cepto de framización fue introducido por Juyumaya y Lambropolou en el contexto de álgebras de nudos en [14]. Al igual que el álgebra de Hecke, él álgebraYr,n(q) posee una base celular (ver [6]).

En los últimos años, se ha demostrado que una gran variedad de álgebras que apare- cen tanto en matemáticas como en física tienen una estructura celular. Por ejemplo, las álgebras de Q-Schur de tipo A, álgebras de Brauer, álgebras de Temperley-Lieb, ál- gebras de Birman-Wenzl, álgebra de “braids and ties”, y muchas otras álgebras (ver [6],[17],[22]). Es notable que el método del álgebra celular también se puede usar para estudiar álgebras de dimensión infinita.

Recientemente M. Flores, J. Juyumaya, y S. Lambropoulou definieron en [8] una frami- zacion del álgebra de Hecke de tipo B , denotada porYr,n^B, con el fin de explorar su uti-

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 3

lidad en la construcción de invariantes de nudos. El objetivo de esta tesis es conjeturar una base celular para dicha álgebra. Para esto, estudiaremos en detalle las construc- ciones hechas para el álgebra de Hecke de tipo A y el álgebra de Yokonuma-Hecke de tipo A en [17] y [6], respectivamente.

Capítulo 2 Preliminares

En este capítulo se presentan los conceptos y resultados elementales concernientes a módulos sobre anillos arbitrarios, producto tensorial, álgebras y representaciones de álgebras. Se destacan especialmente los teoremas de Jordan-Holder, Krull-Schmidt y el Lema de Schur’s, entre otros. Los detalles pueden ser encontrados en [1],[5], [7] y [12].

2.1. Módulos

Un módulo sobre un anillo es una generalización de la noción de espacio vectorial sobre un cuerpo, donde los escalares son ahora los elementos de un anillo.

Definición 2.1. Sea R un anillo con unidad. Un R-módulo izquierdo es un grupo abe- liano (M , +) dotado con una función · : R ×M → M donde (a,m) 7→ a ·m , tal que para todo a, b ∈ R y m,n ∈ M se satisface lo siguiente:

(i) (a + b) · m = a · m + b · m (ii) a · (m + n) = a · m + a · n (iii) (ab) · m = a · (b · m)

(iv) 1 · m = m

De manera similar se define un R-módulo derecho, en el cual la acción por escalar es a la derecha de M . Si R es conmutativo, a partir de un R-módulos izquierdo se puede construir un R-módulos derecho, luego son llamados simplemente R-módulos.

4

CAPÍTULO 2. PRELIMINARES 5

Ejemplo 2.2. Cada anillo R tiene estructura natural de R-módulo izquierdo y derecho.

Ejemplo 2.3. Todo grupo abeliano (G, +) es un Z-módulo, bajo la acción dada por n · g = g + g + ··· + g

| {z }

n−veces

, para todo n ∈ Z y g ∈ G.

Ejemplo 2.4. Cada grupo abeliano (G, +) es un End(G)-módulo izquierdo respecto a la operación f · g = f (g ) para todo f ∈ Eng (G) y g ∈ G.

Definición 2.5. Dados dos anillos R₁ y R₂. Decimos que M es un (R₁, R₂)-bimódulo, si M es R₁-módulo izquierdo, R₂-módulo derecho y además

(a · m) · a⁰= a · (m · a⁰) para todo a ∈ R1, a⁰∈ A2 y m ∈ M.

Ejemplo 2.6. Todo grupo abeliano (G, +) es un (End(G),Z)-bimódulo.

Ejemplo 2.7. Cada R-módulo derecho es un (Z,R)-bimódulo.

Definición 2.8. Sea M un R-módulo y X ⊆ M, decimos que

1. X genera a M , si para todo x ∈ M existen a1, ··· , an∈ R y m1, ··· ,mn∈ X tal que x = a1·m1+· · ·+an·mn. Si X es es finito decimos que M es finitamente generado.

2. X es linealmente independiente, si cualquier conjunto finito {m₁, ··· ,mk} ⊆ X cumple que si a₁· m1+ · · · + ak· mk= 0 entonces a1= · · · = an= 0.

3. X es base de M , si X es linealmente independiente y además genera a M .

Decimos que M es un R-módulo libre si tiene base. Además, El rango de M se define como |X |, donde X es base de M. Mas aún, el rango esta bien definido si y sólo si R es un anillo conmutativo con unidad ( ver [12]).

Definición 2.9. Sea M un R-módulo y N ⊆ M. Decimos que N es un R-submódulo de M y lo denotamos por N ≤ M si (N ,+) es un grupo abeliano y a · m ∈ N para todo a ∈ R y m ∈ N . Además, Decimos que N es maximal de M, si para todo D ≤ M tal que N ≤ D se cumple que D = N ó D = M.

Definición 2.10. Sea M un R-módulo, decimos que

1. M es simple si sus únicos submódulos son M y {0} (módulos triviales).

CAPÍTULO 2. PRELIMINARES 6

2. M es semisimple si es suma directa de módulos simples.

3. M es indescomponible si no se puede escribir como una suma directa de dos sub- módulos no triviales.

Note que cada módulo simple es indescomponible.

Teorema 2.11 (Krull-Schmidt [7]). Sea M un R-módulo, y sea,

M₁⊕ M2⊕ · · · ⊕ Mk= M = N1⊕ N2⊕ · · · ⊕ NL

dos descomposiciones de M en sumas directas de indescomponibles. Entonces k = l y existe un etiquetado de los N_i tal que M₁∼= N1, M₂∼= N2, ··· , Mk∼= Nk.

Definición 2.12. Sean M , N R-módulos. Una función f : M → N es un homomorfismo de módulos si para todo m, m⁰∈ M y a ∈ R

(i) f (m + m⁰) = f (m) + f (m⁰) (ii) f (a · m) = a · f (m)

En general, los morfismos de R-módulos se definen como morfismos de grupos abelia- nos que además son R-lineales. Entonces, los teoremas del isomorfismo son análogos a los ya conocidos en la teoría de grupos, lo cual nos permite obtener el siguiente re- sultado.

Teorema 2.13. Si X es base de un R-módulo M , entonces la base cumple la siguiente propiedad universal. Dado D un R-módulo y f : X → D, existe un único homomor- fismo de R-módulos φ : M → D tal que f = φ ◦ i, donde i es la inclusión. Es decir, el siguiente diagrama conmuta

X ^{ i //}

f !!

M

φ

D

En efecto, φ se define de manera natural. Si m = Pai· mi donde m_i ∈ X , entonces φ(m) = Pai· f (mi).

Teorema 2.14. Sea M un R-módulo las siguientes afirmaciones son equivalentes (i) M es libre (con base X ).

CAPÍTULO 2. PRELIMINARES 7

(ii) M cumple la propiedad universal (con N ).

(iii) M ∼=M

i ∈X

R :=© (a_i)_{i ∈N} ¯

¯a_i ∈ R y un número finito de ai no son cerosª.

Definición 2.15. Sea M un R-módulo. Una filtración de M es una secuencia 0 = M0< M1< · · · < Mk= M de R-submódulos de M.

Definición 2.16. Sea M un R-módulo. Una serie de composición de M es una filtración tal que Mi±M_{i −1} es un R-módulo simple para todo i ∈ {1,··· ,k}.

M_i±M_{i −1} es llamado factor de composición de R.

Proposición 2.17. Sea R un anillo

1. Si M es un R-módulo y N es un R-submódulo de M . Entonces, N es maximal de M si y sólo si M /N es simple.

2. R /I es un R-módulo simple si y sólo si I es un ideal maximal de R.

Es decir, todo módulo simple es un factor de composición de alguna filtración.

Definición 2.18. Sea M un R-módulo. Definimos el radical de Jacobson de M , denota- do J (M ), como la intersección de todos los submódulos maximales de M . Es decir,

J (M ) :=\ { N ≤ M | N es maximal de M }.

Lema 2.19. Si M es un R-módulo entonces M tiene una serie de composición.

Teorema 2.20 (Jordan-Holder [7]). Dado M un R-módulo y series de composición 0 < M1< · · · < Mk= M y 0 < N1< · · · < Nn= M.

Si Ci:= Mi±M_{i −1} y Di:= Ni±N_{i −1} entonces k = n y existe σ ∈Sntal que Ci ∼= Dσ(i).

2.2. Producto Tensorial

En esta sección definimos el producto tensorial sobre módulos, dicha noción nos per- mite construir un nuevo módulo, el cual es esencial para el desarrollo del siguiente capítulo.

CAPÍTULO 2. PRELIMINARES 8

Definición 2.21. Sea M un R-módulo derecho y N un R-módulo izquierdo, conside- ramos elZ-módulo libre generado por M × N el cual denotamos Z(M × N). Si W es el submódulo deZ(M × N) generado por los elementos de la forma

(m , n₁+ n2) − (m , n1) − (m , n2) (m₁+ m2, n) − (m1, n) − (m2, n) (m · a, n) − (m , a · n)

para todo m, m₁, m₂∈ M , n, n1, n₂∈ N y a ∈ R. Definimos el producto tensorial entre M y N respecto a R como sigue:

M ⊗RN := Z(M × N )/W . Note que M ⊗RN es un R-módulo respecto a la operación

· : R × (M ⊗RN ) −→ M ⊗RN (a, m ⊗Rn) 7−→ m · a ⊗Ra · n

En ocasiones se sobreentiende el anillo sobre el cual se trabaja, por lo cual escribimos simplemente M ⊗ N . Además, si M y N son R-módulos se cumple que:

1. M ⊗RN ∼= N ⊗RM 2. R ⊗RM ∼= M

Definición 2.22. Sea M un R-módulo derecho, N un R-módulo izquierdo, D un gru- po abeliano y f : M × N → D una función, decimos que f es balanceada si para todo m, m⁰∈ M, n, n⁰∈ N y a ∈ R

(i) f (m, n + n⁰) = f (m,n) + f (m,n⁰) (ii) f (m + m⁰, n) = f (m,n) + f (m⁰, n) (iii) f (m · a,n) = f (m, a · n)

Teorema 2.23. Sea M un R-módulo derecho y N un R-módulo izquierdo, entonces M × N cumple la siguiente propiedad universal. Dado D un grupo abeliano y f : M ×N → D una función balanceada, existe un único homomorfismo de grupos abelianosφ : M ⊗R

N → D tal que f = φ ◦ i, donde i es la inclusión.

CAPÍTULO 2. PRELIMINARES 9

Definición 2.24. Si M , N , D son R-módulos y f : M × N → D una función , decimos que f es una operación bilineal entre módulos si para todo m, m₁, m₂∈ M , n, n1, n₂∈ N y a₁, a₂∈ R

1. f (a₁· m1+ a2· m2, n) = a1· f (m1, n) + a2· f (m2, n) 2. f (m, a₁· n1+ a2· n2) = a1· f (m, n1) + a2· f (m, n2)

Entonces por el teorema anterior, si f : M × N → D es bilineal, existe φ : M ⊗ N → D un homomorfismo de R-módulos tal que f = φ◦i. Es decir, el siguiente diagrama conmuta

M × N ^{ i //}

f &&

M ⊗ N

φ

D

2.3. Álgebras

Un álgebra sobre un anillo R es un R-módulo con una segunda operación distributiva con los elementos del cuerpo. En lo que sigue R denota un anillo conmutativo con unidad y K un cuerpo.

Definición 2.25. A es una R-álgebra si tiene estructura de R-módulo y está dotado de una operación bilineal A × A → A tal que

(ab) · r = a(b · r ) = (a · r )b para todo a,b ∈ A y r ∈ R.

Si (ab)c = a(bc), para todo a,b,c ∈ A, decimos que A es una R-álgebra asociativa.

Ejemplo 2.26. M_n(R) y R[x] son R-álgebras y R es unaZ-álgebra (ver ejemplo 2.3).

Ejemplo 2.27. Sea G un grupo, definimos

R(G) :=

( X

g ∈G

rg· g ¯

¯rg ∈ R )

.

Es claro que R(G) es un R-módulo, y dado Ã

X

g ∈G

r_g· g

! Ã X

g ∈G

r_g⁰· g

! := X

g ∈G

à X

g₁+g2=g

r_g1r_g⁰₂

!

· g

CAPÍTULO 2. PRELIMINARES 10

R(G) es una R-álgebra.

Observación 2.28. R(G) se puede definir como el R-módulo

© F : G → R ¯

¯F es funciónª con el producto convolución

(F ∗ T )(g ) = X

h∈G

F (h)T (g − h).

Definición 2.29. Si A, B son R-álgebras, decimos que f : A → B es un homomorfismo de álgebras si f es un homomorfismo de módulos que tambien es multiplicativo, es decir,

f (x y) = f (x)f (y) para todo x, y ∈ A.

Definición 2.30. Para un conjunto X = {x1, ··· , xn} podemos definir un álgebra libre A(X ) como el conjunto que cumple la siguiente propiedad universal. Dado B una R- álgebra y f : X → B función , existe un único homomorfismo de álgebras φ : A(X ) → B tal que f = φ ◦ i , donde i es la inclusión. Es decir, el siguiente diagrama conmuta

X ^{ i //}

f ##

A(X )

φ

B

Note que A(X ) son todas las combinaciones lineales de palabras en X . Se define el álgebra con generadores X y relaciones L ⊆ A(X ) por 〈X | L〉 = A(X )/〈L〉 donde 〈L〉 es el ideal bilátero generado por L.

2.4. Representaciones de Álgebras

En esta sección presentamos el concepto de representación de un álgebra. Además, enunciamos algunos de los principales teoremas de la teoría de representaciones.

Definición 2.31. Sea A una K -álgebra y V un K -espacio vectorial.

ρ : A −→ EndK(V )

es una representación de A siρ es un homomorfismo de K -álgebras. Luego, escribimos que (V,ρ) es una representación de A, o simplemente V o ρ.

CAPÍTULO 2. PRELIMINARES 11

Ejemplo 2.32. Sea K un cuerpo .

1. A un K -espacio vectorial. Entonces ρ : A → EndK(A) definida por ρa(b) := ab (producto usual en A) es una representación de A.

2. M_n(K ) una K -álgebra y V = Kⁿ. Entonces ρ : Mn(K ) → EndK(V ) definida por ρM(v) := M v (producto usual de matrices) es una representación de Mn(K ).

Definición 2.33. Sea (V,ρ) una representación de A y W un subespacio de V , decimos que W es A−estable (o simplemente estable)(o invariante) sobre ρ si

ρa(w ) ∈ W para todo a ∈ A y w ∈ W

Además, decimos que (W,ρ |W) es una subpresentación de V .

Definición 2.34. Sea (V,ρ) una representación, decimos que V (o bien ρ) es una repre- sentación

1. Irreducible si los únicos subespacios estables son V y {0} (espacios triviales).

2. Completamente reducible si existen V1, ··· ,Vn representaciones irreducibles tal que V = V1⊕ · · · ⊕ Vn.

3. Indescomponible si no existen V₁,V₂ subespacios estables (no triviales) tal que V = V1⊕ V2.

Note que cada representación irreducible es indescomponible.

Definición 2.35. Sean (V,ρ) y (W,ψ) representaciones de A. Definimos el espacio Hom_A(V,W ) :=© T ∈ HomK(V,W ) ¯

¯T ◦ ρa= ψa◦ T para todo a ∈ A ª .

Es decir, HomA(V,W ) es el conjunto de homomorfismos de espacios vectoriales tal que para todo a ∈ A el siguiente diagrama conmuta

V

T 

ρa //V

T

W _ρ

a

//W

Los elementos de HomA(V,W ) son llamados entrelazamientos entreρ y ψ.

CAPÍTULO 2. PRELIMINARES 12

Definición 2.36. Dos representaciones (V,ρ) y (W,ψ) de una K -álgebra son equivalen- tes si existe un isomorfismo T ∈ HomA(V,W ).

Lema 2.37 (Schur’s [5]). Sea V1,V2representaciones del álgebra A sobre un cuerpo (No necesariamente álgebraicamente cerrado) yφ ∈ HomA(V1,V2)\{0} se cumple lo siguiente

1. Si V1es irreducible entoncesφ es inyectiva.

2. Si V₂es irreducible entoncesφ es sobreyectiva.

Luego, si V1,V2son irreducibles entoncesφ es un isomorfismo. Además, si K es álge- braicamente cerrado se tiene queφ(x) = α.Id(x) donde α ∈ K \ {0}. Es decir, cualquier homomorfimo distinto del nulo entre representaciones irreducibles de un álgebra de- finida sobre un cuerpo es un isomorfismo.

Observación 2.38. Sea A una K -álgebra.

Siρ : A → EndK(V ) es una representación de A, se puede definir una estructura de A-módulo sobre V bajo la acción

· : A × V −→ V

(a, v) 7−→ a · v := ρa(v).

En efecto, dado queρ es un homomorfismo de K -álgebras y ρa∈ EndK(V ).

Análogamente, si V es un A-módulo bajo la acción · : A × V → V , se puede definir la representaciónρ : A → EndK(V ) dada por

ρa : V −→ V

v 7−→ ρa(v) := a · v.

Es decir, tenemos la siguiente biyección entre conjuntos { V | V es un A-módulo } ←→© V ¯

¯V es una representación de A ª .

CAPÍTULO 2. PRELIMINARES 13

Donde, por definición tenemos las siguientes equivalencias W ≤ V ←→ W es estable V es simple ←→ V es irreducible

V es semisimple ←→ V es completamente reducible

Lo cual nos permite trabajar las representaciones de álgebras desde el punto de vista de los módulos. Luego, en lo que sigue no se hace diferencia al hablar de un módulo simple o representación irreducible, al igual que con las demás definiciones equiva- lentes.

2.5. Sistemas de Coxeter

En esta sección se enuncia la propiedad combinatoria fundamental de los grupos de Coxeter, conocida como la Propiedad del Intercambio fuerte. La cual es de gran ayuda para el desarrollo de algunas demostraciones en el capítulo 4.

Definición 2.39. Sea S un conjunto finito y m : S × S → N tal que m(s, t) = m(t, s) para todo s, t ∈ S. Además, m(s, t) = 1 si y sólo si s = t. Se define

W :=­ S ¯

¯(st )^{m(s,t )}= e ® .

W es llamado Grupo de Coxeter, y el par (W, S) Sistema de Coxeter.

Ejemplo 2.40. Considere S = {s1, ··· , s_n−1} y m : S × S → N tal que

m(s_i, s_j) =











1 si i = j 2 si |i − j | > 1 3 si |i − j | = 1 .

Sabemos que el grupo simétrico tiene la presentación de Coxeter

S_n=

*

s₁, ··· , s_n−1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

s_i²= 1 si n ≥ 1 s₁s_j= sjs_i si |i − j | > 1 s_is_js_i= sjs_is_j si |i − j | = 1

+

CAPÍTULO 2. PRELIMINARES 14

donde si es la transposición básica (i , i + 1). Es decir,Snes un grupo de Coxeter.

Se define`(w) como el número mínimo de elementos en S para escribir a w ∈ W . Si

`(w) = k, entonces w = si₁si₂· · · si_k es la expresión reducida de w . Podemos notar que si s ∈ S

`(sw) =







`(w) + 1 si `(sw) > `(w)

`(w) − 1 si `(sw) < `(w) En particular, sobre el grupo simétricoSn

`(siw ) =







`(w) + 1 si i w < (i + 1)w

`(w) − 1 si i w > (i + 1)w (2.40.1) Definición 2.41. Sea (W, S) un sistema de Coxeter. Se define el conjunto de reflexiones

T =© w sw⁻¹ ¯

¯w ∈ W y s ∈ S ª .

Teorema 2.42 (Propiedad de Intercambio Fuerte). Sea t ∈ T y s1s2· · · skuna expresión reducida de w ∈ W . Si `(t w) < `(w) entonces t w = s1s2· · · s_{i −1}s_{i +1}· · · skpara algún i . Note que t = v siv⁻¹donde v = s1s2· · · s_{i −1}.

Corolario 2.43. Sea w ∈ W y s, t ∈ S. Si `(sw t) = `(w) y `(sw) = `(w t) entonces w = sw t

Demostración. Sea w = s1s₂· · · skuna expresión reducida. Luego, tenemos dos casos.

si`(sw) > `(w), entonces `(sw) > `(swt). Luego, por la propiedad de intercam- bio sw t = ss1s₂· · · s_{i −1}s_{i +1}· · · sk. Si definimos w⁰= sw t , tenemos que sw = w⁰t ó w = w⁰. Si ocurre lo primero, tenemos que

w = s(sw) = s(w⁰t ) = s1s₂· · · s_{i −1}s_{i +1}· · · skt

y por lo tanto w t = s1s₂· · · s_{i −1}s_{i +1}· · · sk. Es decir,`(wt) < `(w) y así `(st) < `(w), lo cual es una contradicción. Por lo tanto solo puede ocurrir que w = w⁰. es decir w = sw t.

CAPÍTULO 2. PRELIMINARES 15

Si `(w) > `(sw), note que la hipótesis del corolario se satisface al usar sw en lugar de w , por lo tanto podemos aplicar el resultado del primer caso sobre sw , Luego, en conclusión s(sw ) = (sw)t. Es decir w = sw t.

Capítulo 3

Álgebras Celulares

La estructura de este capítulo se basa en [17]. En la cual se presentan las definiciones y teoremas necesarios que nos permiten obtener una lista completa de módulos simples (ó irreducibles) de un álgebra celular, los cuales se definen a partir de las propiedades que satisface una de sus bases celulares.

3.1. Bases Celulares

Las bases celulares son presentadas por primera vez en [16] por Graham y Lehrer’s.

Estas tienen una lista de propiedades que presentamos en esta sección, y que son de gran ayuda para estudiar la teoría de representaciones de un álgebra dada.

Definición 3.1. Sea R anillo conmutativo con unidad y A una R-álgebra asociativa uni- taria que es libre como R-módulo. Suponga que (Λ,≥) es un Poset tal que cada λ ∈ Λ indexa un conjunto finitoT (λ), y

C =n

c^λ_st∈ A ¯

¯λ ∈ Λ y s,t_{∈ T (λ)} ^o

es una base de A. Luego, decimos que el par (C ,Λ) es una base celular de A si (i) La función R-lineal

∗ : A −→ A

c_st^λ 7−→ c^λ_ts

es un anti-automorfismo de álgebras, es decir, ∗(ab) = ∗(b) ∗ (a).

16

CAPÍTULO 3. ÁLGEBRAS CELULARES 17

(ii) Para cadaλ ∈ Λ, t∈ T (λ) y a ∈ A existen rb∈ R tal que para todos∈ T (λ)

c_st^λa ≡ X

b_{∈T (λ)}

r_bc_sb^λ mod ˇA^λ

donde ˇA^λes el R-submódulo de A con base© c^µ

ub

¯

¯µ ∈ Λ , µ > λ y u,b∈ T (µ)ª.

Si A tiene base celular, decimos que (A,Λ,T ,C ,∗) es un álgebra celular.

Ejemplo 3.2. Sea A = Mn(R) y Λ = {n} se define T (n) = {1,··· ,n} y c_{i j}ⁿ = Ei j (Matriz elemental) dondeC = © Ei j

¯

¯1 ≤ i , j ≤ n ª es una base de A. Así, ∗(Ei j) = Ej i. Veamos que ∗(Ei jE_kl) = ∗(Ekl)∗(Ei j). Recordemos que Ei j= (er s) donde ei j= 1 y los demás ei j’s son ceros. Luego,

∗¡E_{i j}E_kl¢ = ∗³ δ_k^jE_{i l}´

= δ_k^j∗ (Ei l) = δ_k^jE_{l i}= El kE_{j i} = ∗ (Ekl) ∗¡E_{i j}¢ .

Además, dado n ∈ Λ , i , j ∈ T (n) y B = (br s) ∈ Mn(R) tenemos que Ei jB = (cr s) donde ci 1= bj 1, ··· ,ci n= bj ny los demás son ceros. Así,

E_{i j}B ≡ X

k∈T (n)

b_{j k}E_{i k} mod ˇAⁿ

donde ˇAⁿ=∅^.

A continuación, en todo momento, suponemos que A es una R-álgebra asociativa con configuración celular (Λ,T ,C ,∗).

Definición 3.3. Seaλ ∈ Λ, definimos A^λcomo el R-submódulo de A con base

© c^µ

ub

¯

¯µ ∈ Λ , µ ≥ λ y u,b∈ T (µ)ª .

Es claro que ˇA^λ⊆ A^λy por lo tanto A^λ±Aˇ^λ tiene como base© c_st^λ+ ˇA^λ |s,t_{∈ T (λ)}ª.

Lema 3.4. Seaλ ∈ Λ.

(i) Sis∈ T (λ) y a ∈ A entonces para todot_{∈ T (λ)}

∗(a)c_st^λ≡ X

u_{∈T (λ)}

ruc^λ_ut mod ˇA^λ

tal que ru∈ R para cadau∈ T (λ).

CAPÍTULO 3. ÁLGEBRAS CELULARES 18

(ii) Los R-módulos A^λy ˇA^λson ideales bilaterales de A.

(iii) Sis,t∈ T (λ) entonces existe rst∈ R tal que para todou,b∈ T (λ) c^λ_usc_tb^λ ≡ rstc^λ_ub mod ˇA^λ.

Demostración. Dadoλ ∈ Λ.

(i) Sis∈ T (λ) y a ∈ A, entonces por la definición (3.1)(i i ) se tiene que para todo t_{∈ T (λ)}

c_ts^λa ≡ X

u_{∈T (λ)}

r_uc_tu^λ mod ˇA^λ.

Luego, aplicando el anti-automorfismo de la definición (3.1)(i ) se obtiene:

∗(a)c_st^λ≡ X

u∈T (λ)

r_uc_ut^λ mod ˇA^λ.

(ii) Veamos que A^λes un ideal bilátero de A. Dado a ∈ A, basta probar que ac_st^µ ∈ A^λ y c^µ_tsa ∈ A^λpara todoµ ≥ λ ys,t∈ T (λ). Por (3.1)(i i )

c_ts^µa ≡ X

u_{∈T (µ)}

r_uc_tu^µ mod ˇA^µ.

Donde ˇA^µ⊆ ˇA^λ⊆ A^λ, es decir, c_ts^µa ∈ A^λ. Análogamente por (3.4)(i )

ac_st^µ≡ X

u_{∈T (µ)}

r_uc_ut^µ mod ˇA^µ.

Entonces ac_st^µ ∈ A^λ. Por otro lado, como ˇA^λ=P

µ>λA^µ, entonces se tiene que ˇA^λ es un ideal bilátero.

(iii) Dados,t∈ T (λ) fijamos c_tb^λ ∈ A para algúnb∈ T (λ). Por (3.1)(i i ) para todou_∈ T (λ) se tiene

c^λ_usc_tb^λ ≡ X

p∈T (λ)

r_pc_up^λ mod ˇA^λ.

Ahora si fijamos c_su^λ ∈ A para algún u∈ T (λ). Por (3.4)(i ) para todo b∈ T (λ) tenemos

c^λ_usc_tb^λ ≡ X

p_{∈T (λ)}

r_p⁰c_pb^λ mod ˇA^λ.

CAPÍTULO 3. ÁLGEBRAS CELULARES 19

Entonces

0 ≡ X

p_{∈T (λ)}

rpc_up^λ − X

p_{∈T (λ)}

r_p⁰c_pb^λ mod ˇA^λ. Luego

0 ≡ Ã _p6=b

X

p∈T (λ)

r_pc_up^λ

!

− Ã _p6=u

X

p∈T (λ)

r_p⁰c^λ_pb

!

+¡r_b− r_u⁰¢ c_ub^λ mod ˇA^λ.

ComoC es base, se tiene que rp= 0 para todop₆₌b, r_p⁰ = 0 para todop₆₌u, y (r_b− r_u⁰) = 0. Es decir, rb= r_u⁰. Luego si denotamos rst:= rbtenemos que

c^λ_usc_tb^λ ≡ rstc^λ_ub mod ˇA^λ.

Si fijamosλ ∈ Λ ys∈ T (λ) definimos C_s^λ como el R-submódulo de A^λ±Aˇ^λ con base

© c^λ_st+ ˇA^λ |t_{∈ T (λ)} ª, el cual es un A-módulo derecho por (3.1)(i i ). Además, la acción de A sobre C_s^λno depende des, es decir C_s^λ∼= C_t^λpara todos,t∈ T (λ). Lo cual motiva las siguientes dos definiciones.

Definición 3.5. Seaλ ∈ Λ.

1. Definimos el módulo celular C^λcomo el A-módulo derecho con base© c_t^λ |t_{∈ T (λ)} ^ª donde para cada a ∈ A

c_t^λa = X

b_{∈T (λ)}

r_bc_b^λ

donde r_b∈ R esta determinado por (3.1)(i i ).

2. Análogamente, definimos el módulo celular C^∗λcomo el A-módulo izquierdo que es libre como R-módulo con base©c_t^λ|t∈ T (λ)ª donde para cada a ∈ A

∗(a)c^λ_t = X

b∈T (λ)

r_bc_b^λ

donde r_b∈ R esta determinado por (3.4)(i ).

Observación 3.6. Note que C^λ∼= Cs^λ para todo s∈ T (λ) con la aplicación canónica c^λ_t 7→ c^λ_st+ ˇA^λ. Además, C^∗λ∼= HomR¡C^λ, R¢ con la aplicación canónica c_s^λ7→ fs, donde f_s¡c_t^λ¢ = δ^t_s es el delta de Kronecker. Por otro lado, A^λ±Aˇ^λ ∼= C^∗λ⊗RC^λ como (A, A)- bimódulos con la aplicación canónica c^λ_st+ ˇA^λ7→ c_s^λ⊗Rc_t^λ. Además, como A-módulos

CAPÍTULO 3. ÁLGEBRAS CELULARES 20

derechos

A^λ

.Aˇ^λ∼= C^∗λ⊗RC^λ∼= M

s_{∈T (λ)}

C_s^λ (3.6.1)

con la aplicación canónica c_s^λ⊗Rc^λ_t 7→ c_s^λ∈ C_t^λ. Es decir, A^λ±Aˇ^λ es isomorfo a la suma directa de |T (λ)| copias de C^λ.

Lema 3.7. Si a ∈ C^λe y ∈ A^µentonces a y = 0 a no ser que λ ≥ µ.

Demostración. Dados∈ T (λ), si identificamos C^λcomo C_s^λ, tenemos que a y = 0 para todo a ∈ C_s^λ si y sólo si c_st^λy ∈ ˇA^λ para todo t∈ T (λ) Por (3.4)(i i ) tenemos que c^λ_sty ∈ A^λ∩ A^µ, sin embargo, siλ 6≥ µ, A^λ∩ A^µ⊆ ˇA^λ. Por lo tanto a y = 0.

Definición 3.8. Se define la operación bilineal

〈 , 〉 : C^λ×C^λ −→ R

³

c_s^λ, c_t^λ´

7−→ rst

donde r_st∈ R esta definido por el lema (3.4)(i i i ). Es decir, para todou,b∈ T (λ) se tiene D

c^λ_s, c_t^λE

c_ub^λ ≡ c_us^λc_tb^λ mod ˇA^λ.

Proposición 3.9. Seaλ ∈ Λ y x, y ∈ C^λ. Entonces se satisfacen las siguientes condiciones:

(i) ­x, y® = ­y, x®

(ii) ­xa, y® = ­x, y ∗ (a)® para todo a ∈ A (iii) xc_ub^λ =­x,c_u^λ® c^λ_b para todou,b_{∈ T (λ)}

Demostración. dado que 〈 , 〉 es bilineal, es suficiente considerar x = cs^λ , y = c_t^λpara algúns,t_{∈ T (λ).}

(i) Por la definición (3.8) D

c_s^λ, c_t^λ E

c^λ_ub ≡ c_us^λc_tb^λ mod ˇA^λ

= ∗(c_bt^λc_su^λ) mod ˇA^λ

≡ ∗³D

c_t^λ, c_s^λE c_bu^λ ´

= D

c_t^λ, c_s^λ E

c_ub^λ .

CAPÍTULO 3. ÁLGEBRAS CELULARES 21

Por lo tanto­x , y® = ­y , x®.

(ii) Dado a ∈ A

D

c^λ_sa, c^λ_tE

c_ub^λ ≡ (c_us^λa)c^λ_tb mod ˇA^λ

= c_us^λ(ac_tb^λ) mod ˇA^λ

≡ D

c_s^λ, c^λ_t ∗ (a)E c^λ_ub.

Por lo tanto­xa , y® = ­x , y ∗ (a)®.

(iii) Dadou,b∈ T (λ), directamente la definición c_s^λc^λ_ub=

D

c_s^λ, c^λ_uE c_b^λ. Por lo tanto xc^λ_ub=­x , c^λ_u® c_b^λ.

Definición 3.10. Definimos r ad³

C^λ´

= n

x ∈ C^λ

¯

¯

¯­x, y® = 0 para todo y ∈ C^λ o . Por la proposición (3.9)(i i ) el r ad¡C^λ¢ es un A-submódulo de C^λ. Luego,

D^λ= C^λ .

r ad³ C^λ´ es un A-módulo derecho.

Proposición 3.11. Si R es un cuerpo yµ ∈ Λ tal que D^µ6= 0, entonces D^µes irreducible.

Demostración. Como D^µ6= 0 existe x ∈ C^µtal que x 6= 0 y x 6∈ r ad (C^µ). Luego,­x, y® 6= 0 para algún y ∈ C^µ. Dado que R es un cuerpo, podemos asumir­x, y® = 1. Ahora y = P

s∈T (µ)r_sc_s^µpara algunos rs∈ R. Luego, para cadat∈ T (µ) se define yt=P

s∈T (µ)r_sc_st^µ∈ A. Entonces por la proposición (3.9)(i i i )

x y_t= X

s_{∈T (µ)}

r_s¡xc_st^µ¢ = X

s_{∈T (µ)}

r_s­x,c^µ_s® c_t^µ=­x, y®c_t^µ= c^µ_t.

Por lo tanto, x genera C^µcomo A-módulo derecho, es decir, D^µes irreducible, pues es unidimensional.

CAPÍTULO 3. ÁLGEBRAS CELULARES 22

Observación 3.12. Recordemos que el radical de de Jacobson en un módulo M es la intersección de los submódulos maximales de M (definición 2.18). Luego, por la propo- sición anterior, el r ad (C^µ) es el único A-módulo maximal de C^µ. Así, J (C^µ) = r ad (C^µ).

Proposición 3.13. Sea R un cuerpo, yλ,µ ∈ Λ tal que D^µ6= 0. Si M es un A-submódulo propio de C^λy θ : C^µ→ C^λ± M un homomorfismo de A-módulos, se cumple lo siguiente

(i) Siθ no es la función nula entonces λ ≥ µ.

(ii) Siλ = µ entonces existe r_θ∈ R tal que θ(z) = M + r_θz para todo z ∈ C^µ. Además, Hom_A¡C^µ, C^µ± M¢ ∼= R.

Demostración. Sea x, y ∈ C^µcon­x, y® = 1 y sea yt=P

s_{∈T (µ)}rsc_st^µ para cadat_{∈ T (µ)} donde y =P

s_{∈T (µ)}rsc_s^µ. Luego, x yt = c_t^µ como en la demostración anterior. Además, tenemos queθ(x) = M + a_θpara algún a_θ∈ C^λ.

(i) Para todot∈ T (µ) se tiene

θ ¡c_t^µ¢ = θ(x yt) = θ(x)yt= M + a_θyt.

Luego por el lema (3.7), a_θy_t= 0 a no ser que λ ≥ µ. Por lo tanto, si θ no es la función nula, implica queλ ≥ µ.

(ii) Siλ = µ, entonces aθ∈ C^µ. Luego, usando la proposición (3.9)(i i i ) θ ¡c_t^µ¢ = M + a_θy_t= M + X

s∈T (µ)

r_sa_θc_st^µ = M + X

s∈T (µ)

r_s­a_θ, c_s^µ® c_t^µ= M +­a_θ, y® c^µ_t.

Por lo tanto, r_θ=­a_θ, y®. Así, la aplicación

Π : C^µ −→ C^µ± M c_t^ν 7−→ M + r_θc_t^ν prueba que HomA¡C^µ, C^µ± M¢ ∼= R.

Corolario 3.14. Sea R un cuerpo, yλ,µ ∈ Λ. Si D^µ6= 0 y D^µ∼= D^λ, entoncesλ = µ.

CAPÍTULO 3. ÁLGEBRAS CELULARES 23

Demostración. Seaϕ : D^µ→ D^λun isomorfismo de A-módulos. Si i : C^µ→ D^µ es la inclusión, entoncesθ = ϕ ◦ i es un homomorfismo de A-módulos no nulo. luego, por la proposición anteriorλ ≥ µ. Análogamente, λ ≤ µ. Por lo tanto λ = µ.

3.2. Módulos Simples de un Álgebra Celular

En esta sección mostramos que cada módulo irreducible es isomorfo a D^µ, para algún µ ∈ Λ. En todo momento suponemos que el Poset Λ es finito.

Lema 3.15. Siλ es un elemento minimal de Λ, entonces C^λ= D^λ.

Demostración. Veamos que r ad¡C^λ¢ = 0. Si x ∈ r ad ¡C^λ¢, sabemos que x = Pt_{∈T (λ)}r_tc_t^λ para algunos r_t ∈ R. Si fijamos s∈ T (λ), se define x = P

t_{∈T (λ)}r_tc_st^λ en A^λ. Además,

­x, y® = 0 para todo y ∈ C^λ. Por lo tanto, usando la definición (3.8). Siu,b_{∈ T (λ)} xc_ub^λ = X

t_{∈T (λ)}

r_tc_st^λc_ub^λ ≡ X

t_{∈T (λ)}

r_tD c^λ_t, c_u^λ

E

c_sb^λ mod ˇA^λ= D

x, c^λ_uE

c_sb^λ mod ˇA^λ= 0 mod ˇA^λ.

Es decir, xa ∈ ˇA^λ para todo a ∈ A^λ. Además, si a ∈ A^µ para algúnµ 6= λ, por el lema (3.4)(i i ) tenemos que xa ∈ A^λ∩ A^µ⊆ ˇA^λ ya queλ es minimal. Por lo tanto, xa ∈ ˇA^λ para todo a ∈ A =P

µ∈ΛA^µ. En particular x · 1 = x ∈ ˇA^λ, donde x ∈ ˇA^λsi y sólo si x = 0.

Definición 3.16. SeaΓ ⊆ Λ con la siguiente propiedad. Si µ ∈ Γ tal que λ > µ entonces λ ∈ Γ. Se define A(Γ) como el R-submódulo de A con base

© c_ub^µ ¯

¯µ ∈ Γ y u,b_{∈ T (µ)} ª .

Note que A(Γ) = P_µ∈ΓA^µ. Luego, A(Γ) es un ideal bilátero de A ( Lema 3.4 (ii)). Además, si∅= Γ0⊂ Γ1⊂ · · · ⊂ Γk = Λ es una cadena maximal de ideales, existe un orden total µ1,µ2, ··· ,µk enΛ tal que Γi= {µ1,µ2, ··· ,µi} para todo 1 ≤ i ≤ k. Luego,

0 = A(Γ0) < A(Γ1) < ··· < A(Γk) = A

define una filtración de A con factores de composición A(Γi)± A(Γ_{i −1}) con base

© c^µ_ubⁱ+ A(Γ_{i −1}) ¯

¯u,b∈ T (µi)ª .