CONVECCIÓN DE CALOR EN UN RECINTO CILÍNDRICO CON PAREDES ONDULADAS

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Derechos Reservados © 2010, SOMIM CONVECCIÓN DE CALOR EN UN RECINTO CILÍNDRICO CON PAREDES

ONDULADAS

1Sánchez Cruz Fausto A.,¹Martínez Martínez Simón, ¹Ramírez Hernández Hugo G., ¹González Marroquín Joel, ²Riesco Ávila J. Manuel

,

²Gallegos Muñoz Armado ³Octavio Armas Vergel

1

FIME Universidad Autónoma de Nuevo León

Pedro de Alba s/n, Apdo. Postal 076 Suc. F, C.P. 66450, San Nicolás de los Garza, N.L., México Teléfono (81) 1492 0373, Fax: (81) 1052 3321

2

Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad de Guanajuato, Campus Irapuato-Salamanca. División de Ingenierías. Valle de Santiago, Km.3.5+1.8 Km. Comunidad de Palo Blanco, Salamanca, Guanajuato, México

Tel.: +52 (464) 647 9940 Fax: +52 (464) 647 2400

3

Departamento de Mecánica Aplicada e Ingeniaría de Proyectos, Universidad de Castilla-La Mancha Avd. Camilo José Cela s/n. Apdo Postal 13071, Ciudad Real, España

Tel.: +34 926 29 53 00 Fax: +34-926-295361

fausto.sanchezcr@uanl.edu.mx, simon.martinez@uanl.edu.mx, hugo.ramirezhr@uanl.edu.mx, riesco@salamanca.ugto.mx, gallegos@salamanca.ugto.mx, octavio.armas@uclm.es.

RESUMEN.

En este trabajo se presenta el estudio de la convección natural dentro de un cilindro con la pared vertical ondulada. La cavidad es calentada por la pared inferior y enfriada por la pared superior a temperaturas constantes T

2

y T

1

, respectivamente. La pared vertical tiene la forma de una función senoidal y es adiabática.

Se usa una transformación analítica para mapear la forma irregular del dominio a un cuadrado. Mediante la solución computacional de las ecuaciones de gobierno se evaluó el efecto que tienen los diferentes parámetros adimensionales de característicos del fenómeno sobre los flujos de convección y la transferencia de calor. En particular, se considedaron valores para la relación de aspecto de la cavidad de 0.1, 0.3, 0.5; longitud de onda adimensional de 1/3, 1/5, 1/10; amplitud de onda adimensional de 0.05, 0.1, 0.3; números de Rayleigh entre 10

³

y 10

⁶

y número de Prandtl constante de 7. Los resultados muestran que la pared ondulada favorece la estratificación térmica, la formación de celdas convectivas múltiples de baja velocidad y la disminución en la transferencia de calor.

ABSTRACT.

An axisymetric free convection flow within a vertical cylindrical enclosure with wavy side- wall was studied. The enclosure was heated from below and cooled from the top with constant

temperatures T

2

and T

1

, respectively. The vertical wavy-wall is adiabatic and fits to a sinusoidal function An analytical coordinate transformation was applied to obtain a coordinate frame for computation in which the irregular domain fits into a square. Computational solutions for the governing equations were found to evaluate the way the main dimensionless parameters affect the convection flow and heat transfer. The study considered values for the cavity aspect ratio of 0.1, 0.3, 0.5, dimensionless wavelength of 1/3, 1/5, 1/10, dimensionless wave-amplitude of 0.05, 0.1, 0.3, Rayleigh numbers between 10

³

and 10

⁶

, and constant Prandtl number of 7. Numerical results showed the wavy wall promotes thermal stratification, low velocity multiple cell patterns and low heat transfer.

Nomenclatura.

T

1

Temperatura de la pared superior.

T

2

Temperatura de la pared inferior.

T

m

Temperatura media.

Longitud de onda.

a Amplitud.

r Coordenada radial.

z Coordenada axial.

v

r

Velocidad radial v

z

Velocidad axial L Altura.

R Radio medio.

n Dirección normal.

t Dirección tangencial

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Aceleración de la gravedad k Conductividad térmica.

Relación de aspecto.

Longitud de onda adimensional.

Amplitud adimensional.

Viscosidad cinemática.

Temperatura adimensional.

P Presión.

Función de corriente.

Coeficiente de expansión térmica.

Difusividad térmica.

Coordenada axial transformada.

Coordenada radial transformada.

q

w

Transferencia de calor total.

Nu

p

Número de Nusselt promedio.

h

p

Coeficiente de transferencia de calor promedio.

Coeficientes definidos en Apéndice A.

b-t Coeficientes definidos en Apéndice A.

Ra Número de Rayleigh.

Pr Número de Prandtl.

INTRODUCCIÓN.

La transferencia de calor por convección en cavidades recibe considerable atención debido a su relevancia en fenómenos que ocurren en muchas aplicaciones ingenieriles como en los sistemas de enfriamiento de equipo electrónico, en los procesos de solidificación, el diseño de edificios, colectores solares y cámaras de enfriamiento, por nombrar algunas. Por otra parte, la transferencia de calor y masa en cavidades ocurre de forma natural en diversos campos de la ciencia como la geofísica y la metalurgia. Muchas cavidades en la realidad tienen formas irregulares y el movimiento del fluido y la transferencia de calor muestran comportamientos complicados, sin embargo, típicamente las geometrías de las cavidades más estudiadas son formas regulares como las formas hexaédricas, cilíndricas y esféricas. La rugosidad y la ondulación de las paredes son parámetros que pocas veces se consideran cuando se estudian los fenómenos de transporte en cavidades. Debido a que el esfuerzo cortante y el flujo de calor en las paredes definen la hidrodinámica y la transferencia de calor en la cavidad, la presencia de ondulaciones en las paredes y las características de éstas, en términos de la amplitud y la longitud de onda, se vuelven importantes para modelar condiciones más realistas. En años recientes los estudios acerca de la convección natural externa en la cercanía de una pared ondulada ha sido investigada para

analizar el efecto de los parámetros de ondulación sobre la transferencia de calor y en la dinámica del flujo. Ashjaee et al. [1] estudiaron la transferencia de calor por convección natural desde una pared ondulada a temperatura constante y calcularon el coeficiente de transferencia de calor local usando un interferómetro Mach-Zehner. Las mediciones experimentales se llevaron a cabo para una relación amplitud-longitud de onda de 0.05, 0.1 y 0.2, y para números de Rayleigh entre 2.9x10

⁵

y 5.8x10

⁵

. Se compararon los resultados numéricos obtenidos mediante un código en volúmenes finitos con los resultados experimentales, encontrándose una buena concordancia. Los resultados revelaron que el coeficiente de transferencia de calor promedio decrece conforme la relación amplitud-longitud de onda aumenta. Los datos experimentales se ajustaron a una sola correlación con la cual se obtienen los números de Nusselt locales a lo largo de la superficie ondulada como función de la relación de la amplitud-longitud de onda y el número de Rayleigh. La convección térmica debido a una superficie más compleja puede obtenerse cuando se combinan dos funciones senoidales, una onda fundamental y un primer armónico, para describir la superficie. Molla et al. [2] hacen una transformación de coordenadas en las ecuaciones de capa límite mapeando la pared ondulada a un dominio computacional regular para evaluar la pared. Los resultados muestran que el armónico adicional altera el movimiento del fluido y la distribución de temperatura cerca de la pared vertical con superficie ondulada. Al resolver las ecuaciones de la capa límite para un flujo no confinado y calcular el flujo de calor a lo largo de superficies onduladas se ha encontrado que para una combinación específica de amplitud y longitud de onda aparece un punto de separación de la corriente que restringe la solución.

Adicionalmente, se encontró que las longitudes de onda del número de Nusselt local y de la variación de la temperatura de la superficie son iguales a aquella que correspondiente a la ondulación de la superficie. Adicionalmente, la longitud de onda del número de Nusselt promedio es igual a la mitad de aquella que corresponde a la ondulación de la superficie.

Frecuentemente, las superficies onduladas están

también involucradas en fenómenos de

transferencia de masa. Los efectos combinados

de las fuerzas de flotación debidas a gradientes

térmicos y de concentración desde una pared

vertical con ondulación han sido analizados para

flujos no confinados, enfocándose en la

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distribución y evolución del esfuerzo cortante en la superficie además de la transferencia de calor y el gradiente de concentración en la superficie [3]. Amplios rangos de los parámetros de gobierno ha sido considerado como el número de Schmidt en el rango de 7 a 1500, la amplitud de la onda desde 0 a 0.4 y el parámetro de la flotación en el rango de 0 a 1. La pared ondulada causa un decremento en la transferencia de calor, el gradiente de concentración y el esfuerzo cortante. El efecto del ángulo de inclinación ha sido estudiado para la convección térmica en régimen laminar debido a una pared ondulada con temperatura constante en una cavidad cuadrada por Dalal and Kumar Das [4]. Para el caso de una cavidad diferencialmente calentada y con una pared ondulada, el número de Nusselt es menor que el que corresponde a una cavidad cuadrada con paredes planas [5]. La turbulencia mejora la transferencia de calor por convección en la pared ondulada, comparado con la cavidad cuadrada con altos números de Rayleigh, y contrario a lo que sucede con el flujo laminar, la presencia de la pared ondulada incrementa el número de Nusselt local [6]. Otros análisis consideraron los fenómenos de transporte en el movimiento de fluidos en estado permanente con absorción de soluto en un canal con paredes onduladas [7] y el efecto de la variación de la viscosidad y de la conductividad térmica en la magnetohidrodinámica, el coeficiente de fricción local y los números de Nusselt y Sherwood [8].

Frecuentemente, en procesos naturales suceden fenómenos de transporte cerca de paredes onduladas a través de medios porosos en fluidos confinados y no confinados. Existen estudios que han concluido que la estratificación térmica y de masa disminuye los números de Nusselt y Sherwood en fenómenos de transporte simultáneo de calor y masa debidos a la convección natural a lo largo de una pared con superficie ondulada en el interior de una cavidad llena de un medio poroso saturado [9]. En ese estudio en particular se analizaron los efectos de Soret y Dufour en un medio poroso semi infinito saturado con un fluido newtoniano. Las soluciones numéricas también han sido utilizadas para estudiar la convección natural dentro de una cavidad inclinada y con una de sus paredes ondulada llena de un medio poroso saturado [10].

Se ha encontrado que la dinámica del flujo y los patrones de las distribuciones de temperatura son altamente dependientes de la superficie ondulada cuando el ángulo de inclinación es menor a 45°, especialmente para altos números de Rayleigh.

Rostami [11] estudió la transferencia de calor y

el movimiento del fluido en estado transitorio bidimensional en una cavidad calentada lateralmente por una pared ondulada, mientras las paredes horizontales son planas y adiabáticas.

Dalal y Kumar [12] estudiaron la convección natural dentro de una cavidad bidimensional con una pared vertical ondulada. La pared se calentó a una temperatura que varía espacialmente mientras las otras tres paredes se mantienen a temperatura constante. Se calcularon los números de Nusselt local y promedio tanto para el régimen dominado por la conducción como para el dominado por la convección.

Las cavidades cilíndricas son también de interés práctico, sin embargo el efecto de la pared ondulada no ha sido considerada en ese caso particular. En este estudio se analiza el movimiento del flujo axisimétrico que ocurre dentro de una cavidad cilíndrica con la pared vertical adiabática y ondulada. Se estudia el caso de una cavidad calentada por la pared inferior, enfriada por la superior y la pared ondulada es adiabática.

DESARROLLO

Planteamiento del problema

Figura 1. Modelo físico, coordenadas y condiciones de frontera.

Considere la convección térmica dentro de una cavidad cilíndrica como la que se muestra en la figura 1a. Las paredes superior e inferior se mantienen a temperatura constante T

1

y T

2

, respectivamente, mientras la pared ondulada vertical se encuentra aislada térmicamente. El cilindro tiene una altura L y un radio promedio R, la pared ondulada tiene la forma de una función sinusoidal con una longitud de onda λ y una amplitud a, ver figura 1b. La cavidad está llena de un fluido newtoniano y se suponen propiedades constantes, excepto la densidad en el término del peso que se calcula mediante la

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aproximación de Boussinesq. La gravedad actúa paralelamente al eje del cilindro.

Formulación matemática.

El problema se analizó como un flujo axisimétrico usando coordenadas cilíndricas. La dirección axial z

^*

es el eje de simetría y la pared ondulada vertical se localiza en r

^*

=R+a·cos(2πz

^*

/λ). Las ecuaciones que gobiernan el problema en estado permanente son la continuidad, las ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento y la ecuación de la energía que respectivamente son:

(1)

(2)

2 ∗ ∗2+ − (3)

(4)

Las ecuaciones están sujetas a las siguientes condiciones de frontera:

(5)

(6) (7)

(8)

donde * indica que son variables dimensionales, r

^*

y z

^*

son las coordenadas radial y axial, y son las componentes radial y axial de la velocidad, respectivamente, ρ es la densidad, P es la presión modificada que toma en cuenta los efectos hidrostáticos, μ es la viscosidad, g es la aceleración de la gravedad, β es el coeficiente de expansión volumétrica, α es la difusividad térmica, T

m

=(T

1

+T

2

)/2 es la temperatura media, y son las componentes de la velocidad en la dirección normal y tangencial a la pared ondulada, i.e. y donde y son los vectores unitarios en la dirección normal

y tangencial a la superficie ondulada, respectivamente.

Se realizó un análisis de escala que permitió establecer las siguientes variables adimensionales como las más adecuadas para este análisis:

(9)

donde es la relación de aspecto, es la longitud de onda adimensional, y es la temperatura adimensional.

Derivando de forma cruzada las ecuaciones de la cantidad de movimiento y restándolas entre sí se eliminó la dependencia explícita en la presión.

Adicionalmente, el problema se resolvió en términos de la función de corriente adimensional , definida de la siguiente manera:

(10)

(11)

La ecuación para el movimiento del fluido es:

(12) Por su parte, la ecuación de la energía en forma adimensional queda como sigue:

(13)

donde los coeficientes a s están definidos en el Apéndice A.

Se realizó una transformación de coordenadas analítica para ajustar el dominio irregular definido por las paredes en un cuadrado con lado unitario. Las nuevas variables independientes y dependientes fueron introducidas analíticamente al transformar la representación matemática de las ecuaciones de conservación antes de discretizarlas. La transformación adecuada para las coordenadas es:

(14)

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donde es la amplitud adimensional.

Una vez que la transformación de coordenadas se aplicó, las ecuaciones de conservación para las nuevas coordenadas quedan como:

(16)

(17)

Sujetas a las siguientes condiciones de frontera:

(18)

(19)

(20)

(21)

donde, los coeficientes b a t, A y B se encuentran definidos en el Apéndice A. En este análisis los efectos de los números de Rayleigh y Prandtl quedan incluidos en los coeficientes mostrados en el Apéndice y están definidos como

y , respectivamente.

Las ecuaciones (16) y (17) se discretizaron mediante diferencias finitas. El dominio de forma cuadrada resultante fue mallado con 100x100 nodos. Las ecuaciones algebraicas se resolvieron numéricamente usando el algoritmo de inversión de matriz tipo LU. Dado que la ecuación de la energía y la cantidad de movimiento están acopladas, se implementó un esquema iterativo para resolver el sistema.

La transferencia de calor total a través de las paredes horizontales es:

(22)

Si es el coeficiente de transferencia de calor por convección promedio en las paredes horizontales, entonces el número de Nusselt promedio, , se calcula como:

(22)

RESULTADOS

Figura 2. Isotermas y función de corriente para la cavidad

calentada desde abajo y .

a) , , b) ,

, c) , , d) ,

.

La figura 2 muestra la temperatura adimensional y la función de corriente para flujos con números de Rayleigh entre y . La temperatura adimensional corresponde a la temperatura promedio . Cuando el número de Rayleigh es del orden 10

³

, la función de corriente muestra múltiples celdas convectivas cerca de la pared ondulada. Adicionalmente, la cavidad muestra estratificación térmica y la velocidad de las celdas convectivas es muy baja. Cuando el número de Rayleigh es del orden 10

⁴

, el flujo de convección se intensifica, según los valores de la función de corriente que se incrementan un orden de magnitud aproximadamente, sin embargo, la velocidad es todavía relativamente baja y la estratificación térmica permanece. Cuando el número de Rayleigh es del orden 10

⁵

, el flujo presenta dos celdas convectivas, la celda inferior rota a favor de las manecillas del reloj. En esta ocasión el flujo remueve la estratificación térmica incrementando el gradiente de temperatura cerca de las paredes superior e inferior. Para un número de Rayleigh de el flujo muestra dos celdas convectivas, la celda superior se mueve con una velocidad mayor que la celda inferior, como lo muestran las líneas de

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corriente mostradas en la figura 2d. Por su parte, la distribución de temperatura para presenta un intenso gradiente de temperatura cerca de las paredes superior e inferior.

La longitud de onda adimensional de la pared ondulada modifica considerablemente el flujo del fluido y la transferencia de calor convectiva, particularmente para altos números de Rayleigh.

La figura 3 muestra que existe estratificación térmica en el centro de la cavidad y múltiples celdas convectivas cerca de la pared ondulada cuando la longitud de onda adimensional es pequeña. Por otro lado, existen dos celdas convectivas que no permiten la estratificación térmica cuando la longitud de onda adimensional es grande. El efecto de en la velocidad del fluido puede ser estimado mediante el incremento en la diferencia entre de los valores de la función de corriente entre líneas adyacentes, , correspondiente a cada figura.

La transferencia de calor a través de la cavidad es también altamente dependiente de la longitud de onda adimensional para altos números de Rayleigh. La Figura 4 muestra el número de Nusselt promedio en la superficie calentada en función del número de Rayleigh para

, relación de aspecto y amplitud adimensional de . Para números de Rayleigh menores a 10

⁴

la transferencia de calor principalmente se produce por el mecanismo de la conducción y el número de Nusselt promedio es 1.74. Cuando Ra es mayor que 10

⁴

el número de Nusselt promedio incrementa con , y cuando Ra es del orden 10

⁵

la transferencia de calor cambia considerablemente, como lo muestra la figura 4.

La amplitud adimensional también define las características de las celdas convectivas y la distribución de temperatura, como se puede ver en la figura 5. Una amplitud de onda grande causa múltiples celdas convectivas de baja velocidad en toda la cavidad. La aparición de celdas múltiples en la cavidad, como se ha comentado anteriormente, está relacionada con la estratificación térmica. Por otra parte, cuando la amplitud de onda es pequeña existen dos celdas convectivas de gran tamaño y no existe estratificación térmica. Cuando la amplitud de onda aumenta el número de Nusselt promedio disminuye por que la estratificación térmica se hace presente y el movimiento del fluido es muy lento, ver figura 5a. Para una amplitud de onda pequeña la transferencia de calor incrementa debido al transporte convectivo ocasionado por

dos celdas convectivas, como lo muestra la figura 5b. Incluso para números de Rayleigh pequeños el efecto de la amplitud de onda en el número de Nusselt promedio es notable, como lo demuestra la figura 6. El efecto de la amplitud de onda en la transferencia de calor se vuelve más importante conforme el número de Rayleigh aumenta debido a que la convección de calor domina y geometría de la pared define la forma y velocidad de las celdas convectivas.

calentada desde abajo, .

a) b)

Figura 4. Número de Nusselt promedio para la cavidad calentada desde abajo, para diferentes valores de . Para

.

La relación de aspecto de la cavidad afecta de manera importante el comportamiento de las celdas convectivas como se muestra en la figura 7. Si la cavidad es alta, i.e. es pequeña, se presentan múltiples celdas convectivas y existe estratificación térmica en toda la cavidad. Si la cavidad es ancha y de poca altura, se presentan dos celdas convectivas y no existe estratificación térmica, por el contrario, se presentan capas límite térmicas en las paredes superior e inferior de la cavidad, además, el movimiento del fluido

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cerca de la pared ondulada es despreciable. El incremento de los valores de la función de corriente y la diferencia entre líneas adyacentes que se observa en la figura 7b, demuestra que la velocidad es muy baja cuando se presenta el patrón de celdas convectivas múltiples. Esta última observación se puede comprobar en la figura 8 donde el número de Nusselt promedio permanece constante en el rango de

cuando , es decir, en todo este rango el transporte por difusión de calor es dominante.

Conforme aumenta la transferencia de calor se incrementa considerablemente, incluso para números de Rayleigh del orden .

a) b) .

Figura 6. Número de Nusselt promedio para la cavidad calentada desde abajo y diferentes valores de . Para

.

CONCLUSIONES

Se estudió la convección térmica dentro de una cavidad cilíndrica axisimétrica con la pared vertical ondulada. Se analizó en particular el caso de la cavidad calentada desde abajo y enfriada

por arriba, mientras la pared ondulada es adiabática. Mediante una transformación analítica de las coordenadas se resolvió el problema axisimétrico. Se encontraron diferentes patrones convectivos que modifican la transferencia de calor incluso para las condiciones donde la conducción es dominante.

Cuando el número de Rayleigh es del orden 10

³

se presenta estratificación térmica con múltiples celdas convectivas cerca de la pared ondulada.

Cuando el número de Rayleigh se incrementa la estratificación térmica permanece mientras la velocidad del fluido se intensifica. Si el número de Rayleigh se incrementa aún más, entonces se presentan dos celdas convectivas que producen notables incrementos en el gradiente de temperatura cerca de las paredes superior e inferior. Cuando la longitud de onda adimensional es pequeña, existe una fuerte estratificación térmica en toda la cavidad y se presentan múltiples celdas convectivas cerca de la pared ondulada. Por otra parte si la longitud de onda adimensional es grande, existen dos celdas convectivas y la cavidad no se estratifica, lo que se asemeja al comportamiento de la convección de calor en una cavidad cilíndrica vertical. Se encontró también que la amplitud de onda restringe la convección de calor. Las cavidades altas presentan estratificación térmica y baja transferencia de calor, además, existe una notable diferencia en la capacidad para transferir calor entre las cavidades altas y bajas.

a) b) .

En general, se encontró que la pared ondulada favorece la estratificación térmica y la formación de celdas convectivas múltiples de baja velocidad que no benefician la convección de calor, lo que conduce a una baja transferencia de calor en la cavidad.

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Figura 8. Número de Nusselt promedio para la cavidad calentada desde abajo, para diferentes valores de . Para

Reconocimientos.

Los autores agradecen el apoyo económico dado por CONACyT a través de los Proyectos 62054, 103334 y 85915, a PAICyT - UANL y a Redes Temática PROMEP “Fuentes Renovables y Uso Eficiente de la Energía”.

REFERENCIAS

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ISBN: 978-607-95309-3-8

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