Distribución binomial y Aproximación de Stirling

Distribución binomial y

Aproximación de Stirling

Entropia Estadistica.

Mide el desorden del sistema (desorden de las partículas, átomos y moléculas)

Aproximación de Stirling.

Tengo N objetos discernibles, n₁, n₂, n₃…etc. n₁+n₂+n₃+n₄+….=N

¿de cuantas formas puedo ordenar estos objetos? N(N-1)(N-2)…..(3)(2)(1)=N! (1)

Donde la primera posición esta ocupada por N, la segunda por N-1 y así sucesivamente.

De la ecuación (1), el primer termino es el

producto de todas las posibilidades, y del otro lado de la igualdad tenemos el numero total de cómo ordenar.

Veamos ahora el # de maneras de dividir los N objetos en dos grupos.

Grupo 1: N₁ objetos.

Grupo 2: N₂ =N-N₁ (objetos restantes). Por tanto para ordenar el primer grupo : N(N-1)…….(N -N₁+1) = N!/(N -N₁)!

Y el segundo: N₂= (N-N₁)!

Naturalmente podemos pensar que el numero de arreglos es el producto de estos dos grupos, pero caeríamos en una

sobre estimación del resultado.

Note que, al ordenar estos grupos no importa el “orden” en que uno lo haga, por tanto a este producto es necesario

dividir por N₁! Y N₂! Para eliminar permutaciones ( no contar dos veces).

Finalmente nos queda: W(N₁,N₂)=N!/N₁!N₂! (2)

Recordar que 0!=1

Ejemplo 1:De cuantas maneras es posible ordenar 4 objetos, distinguibles, en dos grupos.

Grupo1 : 3 Objetos. Grupo2: 1 Objeto.

Solucion: Ocupamos la ecuacion (2), donde reconocemos los terminos. N=4, N₁=3, N₂=1.

Reemplazando en (2)

W(N₁,N₂)= 4!/1!3! = 4

Ahora extendamos la ecuación (2) para N objetos distinguibles a r grupos.

W(N₁,N₂,N₃…..N_r) = N!/ N₁,N₂,N_3…N_r)!

Si ocupamos esta ecuación par encontrar el # de maneras de distribuir un numero de partículas igual al numero de avogadro en sus estados de energías tendríamos

NUMEROS GIGANTESCOS

Esta aproximación se ocupa para factoriales de números grandes, en nuestro caso factoriales de números de

partículas.

En la materia ordinaria los sistemas macroscopicos típicos tiene en torno a N~1023 _partículas.

Configuraciones

microscópicas y estados

macroscopicos.

Microestado (configuración):

Sistema caracterizado a través de una descripción

microscópica, es decir, detallada y completa de todas sus variables(microscópicas). Se provee de toda la

información posible.

Ej: Un gas con N átomos iguales. Una configuración de este sistema sería conocer sus coordenadas y momento de cada una de ellas. (X_i,P_i). i= 1….N. Es decir 6N

Macroestado:

Decimos que un sistema esta descrito por un macroestado si:

•Se provee una descripción macroscópica. •Especificadas por parámetros medibles.

•La condición medible, decide en buena medida cuales son los parámetros.

Ej: Gas con N atomos.

Configuracion: determinamos (X_i,P_i) Macroestado : determinamos P,T,V…. Algunas observaciones:

•La especificación de una configuración requiere de muchos números.

•Un macroestado se especifica con pocos números.

•Muchas configuraciones diferentes pueden describir a un un mismo macroestado.

•Una configuración esta asociada a un solo estado macroscópico ( los valores de las velocidades determinan unívocamente la

energía).

Configuraciones accesibles

Aquellas consistentes con un estado macroscopico dado, de este modo si tenemos un estado macroscópico, existen:

a) Configuraciones accesibles o medibles.

b) Configuraciones inaccesibles, prohibidas o imposibles. Llamaremos a las configuraciones accesibles por Ω y la definimos como:

“Numero de configuraciones consistente con un estado

macroscopico dado. De esta forma Ω estará determinado y dependerá de los parámetros del estado macroscópico.”

Ω =Ω(E,P,V ,….) (parámetro macro también)

Ejemplos:

a) Los N elementos de memoria. (N bits)

El numero TOTAL de configuraciones es 2N_{,pero cuales de ellos}

son accesibles depende de cómo caracterizamos los estados macroscópicos.

Si lo especificamos como “numero total de unos”, entonces el estado macroscópico con “m” unos tiene:

Ω = (numero de modos de escoger m objetos iguales de entre N, o sea, “N sobre M”).

Ω(m) = N!/m!(N-m)!

b) Defectos de un sólido de N átomos. El estado macroscópico caracterizado por el # de vacantes m.

El calculo es similar al anterior, salvo con un pequeño detalle:

“Existen N átomos y m vacantes, por tanto hay un total de (N+m) Posiciones.” Calcular Ω, es equivalente a determinar como elegir

m posiciones entre (N+m):

Observaciones.

1. Dependencia de Ω con la E.

Ω crece rápidamente con la E del sistema.

En un sistema de N partículas, podemos escribir Ω= EN_.

(En rigor N esta relacionado con el numero de grados de libertad.)

La energía es para el sistema, como el dinero para nosotros:

Si tenemos $1, el numero de cosas que podemos comprar con esto, es el numero de configuraciones accesibles si tenemos $1.

Si el dinero se duplica $2, el numero de configuraciones no se duplica: aparecen nuevas opciones imposibles con $1 y otras combinaciones.

2. Dependencia de Ω con el tamaño del sistema.

A Ω(A)

B Ω(B)

Sean A y B sistemas aislados, cuyos estados macroscópicos están especificados.Para cada configuración accesible de A hay Ω(B) diferentes de B. Luego:

Ω(AUB) = Ω(A)Ω(B)

El numero de estados accesibles, crece multiplicativamente con el tamaño del sistema, dando origen avalores ENORMES lo que nos resulta poco practico, y por tanto trabajamos con logaritmo de Ω.

Entropía

i) Previo: Memoria de un sistema de almacenamiento de datos.

M_A MB

Memoria: m_A bits Memoria: m_B bits

Ω(M) = 2mA ₂mB _{= 2}(mA+mB) Ω(A)= 2mA Ω(B)=2mB M=(M_AUM_B) Memoria = m_A + m_B = log2(Ω) = Kln(Ω)

ii) Sistema físico: se considera un sistema en un macroestado de equilibrio definida por el valor de sus variables:

• Macroestado de equilibrio

•Configuraciones accesibles = Ω(E,P…)

Ω ,P, V…

• Definición de Entropía del sistema en macroestado de equilibrio.

S(E,V..) = Kln(Ω)

Donde K es la constante de Boltzmann K = 1,3806504*10-23 _J/K

iii) Aditividad. La entropía es aditiva. Considerar los dos subsistemas en equilibrio A, B y el sistema (AUB), también en equilibrio.

A B

Ω(AUB)= Ω(A)Ω(B), por lo que S(AUB)=S(A)+S(B)

Ejemplo:

Calcular la entropía de un sólido con N átomos y m vacantes.

De la clase anterior vimos que para este problema teníamos que Ω estaba dado por:

Ω=(N+m)!/N!m!

Usamos la aproximación de Stirling: ln(Ω)=(N+m)ln(N+m) - (N+m) - mlnm+m - NlnN+N =Nln(1+m/N) + mln(1+N/m) Aproximamos: ln(1+m/N) = m/N, con N>>m ln(Ω)= m[1+ ln(N/m)] S= Km[1+ ln(N/m)]