Trigonometría Hiperbólica

(1)

Trigonometr´ıa Hiperb´

olica

Carlos Enrique Pino G

0 b (0, b) M R(x, y) F(c, 0) L N (0, −b) u0 u b M0 L0 F0_{(−c, 0)} V0 R0 N 0 V

(2)

cualquier problema hay una pizca de descubrimiento.

Tu problema puede ser modesto, pero si es un reto para tu curiosidad y hace que entren en juego tus facultades de inventiva, y si lo resuelves con tus propios medios experimentarás la tensión y gozarás el triunfo del descubrimiento.”

George Polya “El arte de ense˜nar es el arte de ayudar a descubrir.”

(3)

Contenido

Pag

Pr´ologo

... II

La Hip´erbola

... 1

Funciones Hiperb´olicas

... 3

Funciones Hiperb´olicas Pares e Impares

... 5

Gr´aficas de las Funciones Hiperb´olicas

... 7

Identidades Hiperb´olicas Fundamentales

... 10

F´omulas de Adici´on de ´

Angulos

... 11

F´omulas de ´

Angulos Dobles

... 14

F´omulas de ´

Angulos Mitad

... 15

F´omulas de ´

Angulos Triples

... 16

Fómulas de Multiplicación y Transformación

... 17

Funciones Hiperb´olicas Inversas

... 21

(4)

Pr´

ologo

La analog´ıa es, en términos muy generales, la correlación entre los términos de dos o varios sistemas u órdenes, es decir, la existencia de una relación entre cada uno de los términos de un sistema y cada uno de los términos de otro. Se ha hablado también de analog´ıa como semejanza de un cosa con otra, de la similitud de unos caracteres o funciones con otros. En este último caso la analog´ıa consiste en la atribución de los mismos predicados a diversos objetos, pero esta atribución no debe ser entendida como una determinación únivoca de estos objetos, sino como la expresión de una correspondencia, semejanza o correlación establecida entre ellos. La palabra analog´ıa, se usa en un sentido de inducción muy rigurosa, como la “semejanza de relaciones” y otra se aplica a razonamientos fundados en cualquier tipo de semejanza. Pero aunque ciertas semejanzas pueden proporcionar algún grado de probabilidad, no es posible llegar a conclusiones inductivamente aceptables en muchos casos. Por lo tanto, aunque puede usarse el razonamineto por analog´ıa, hay que hacerlo solamen-te cuando se dan ciertas condiciones; junto a semejanzas, hay que investigar diferencias y ver la relación entre ambas dentro de un conocimiento “tolera-blemente amplio” de la materia. Solo cuando la semejanza es muy grande y la diferencia muy pequeña, sostiene John Stuart Mill, puede apoximarse el razo-namiento por analog´ıa a una inducción válida.

En un sentido no muy distinto del de John Stuart Mill, Ernst Mach con-sideró la analog´ıa como una relación entre sistemas de conceptos homólogos que puedan dar lugar a diferencias o concordancias cuya relativa fuerza pueda establecerse y medirse.

La trigonometr´ıa hiperbólica que se desarrolla en este trabajo se ha construi-do a partir de la analog´ıa que se establece entre la trigonometr´ıa circular y ésta. Las relaciones algebraicas en ambas trigonometr´ıas son las mismas. Defi-nidas las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólicose pueden definir las restantes funciones hiperbólicas en términos de estas dos funciones. Se llaman funciones hiperbólicasporque se pueden describir como las proyecciones, según el eje X y el eje Y , de los puntos sobre una hipérbola rectangular o equilátera de ecuación x2 _{− y}2 _{= 1 y se expresan como combinaciones de las funciones}

exponenciales del tipo y = e

α

2 y y = e−α

2 .

Igualemnte, se pueden determinar cuáles funciones hiperbólicas son funcio-nes pares y cuáles impares; al gráficar las funciofuncio-nes hiperbólicas se constata que no son periódicas y permiten cada una de ellas definir sus respectivos dominioy recorrido posibilitando su estudio exhaustivo. Se deducen las identi-dades hiperbólicas fundamentales y las identiidenti-dades de semejanza; las fómulas de adición de ángulos; las fómulas de ángulos dobles, ángulos triples y ángulos

(5)

mitad; las fómulas de multiplicación y transformación. Finalmente, se hace el estudio de las funciones hiperbólicas inversas, sus gráficas y el cómo expresar-las en términos de la función logaritmica. Se plantean ejercicios de aplicación de las diversas temáticas abordadas. Las recomendaciones y comentarios sobre este trabajo son recibidas con entusiasmo para mejorarlo y contribuir as´ı al estudio de estas funciones hiperbólicas y sus aplicaciones.

Cordialmente:

(6)

1. La hip´

erbola

Es el lugar geom´etrico de los puntos P de un plano cuya diferencia de las distancias a dos puntos fijos es constante e igual a 2a, los puntos fijos se llaman focos. 0 b (0, b) M R(x, y) F(c, 0) L N (0, −b) u0 u b M0 L0 F0_{(−c, 0)} V0 R0 N 0 V 0: Centro Excentricidad: e = c a = √ a2_{+ b}2 a V, V0_{: V´ertices} _F_{(c, 0), F}0_{(−c, 0): Focos}

M M0_{, N N}0_{: As´ıntotas} _{Distancia del centro al foco:} √_a2_{+ b}2

V V0_{: Eje transversal =2a} _{Diferencia de las distancias de}

un punto sobre la hip´erbola a los focos: 2a uu0_{: Eje conjugado =2b} _{LR, L}0_{, R}0_{: Lados rectos}

Ecuaci´on de la hip´erbola con centro en el origen: x2

a2 −

y2

b2 = 1 (1)

Pendientes de la as´ıntotas: ±b_a.

Ecuaci´on de la hip´erbola si el eje mayor coincide con el eje Y : y2

a2 −

x2

(7)

Pendientes de la asintotas: ±a_b.

Ecuaci´on de la hip´erbola, con centro (h, k) y eje tranversal paralelo al eje X: (x − h)2

a2 −

(y − k)2

b2 = 1 (3)

Pendientes de la asintotas: ±_ab.

Ecuaci´on de la hip´erbola, con centro en (h, k) y eje transversal paralelo al eje Y: (y − k)2 a2 − (x − h)2 b2 = 1 (4) Pendientes de la as´ıntotas: ±a_b.

Forma general de la ecuaci´on de una hip´erbola cuando los ejes son paralelos a los ejes coordenados:

Ax2 + Cy2+ Dx + Ey + F = 0, AC <0. (5) Para una hip´erbola equil´atera o rectangular: a = b = 1; e =√2.

Las as´ıntotas son perpendiculares. Ejercicios.

(1) Demuestre que la distancia del centro 0 al foco de una hip´erbola cuyo eje transversal coincide con el eje X es √a2 _{+ b}2_.

(2) Demuestre que la ecuaci´on de la hip´erbola con centro en el origen y cuyo eje transversal coincide con el eje X es:

x2

a2 −

y2

b2 = 1; V1(−a, 0); V2(a, 0) F1(−c, 0); F2(c, 0).

(3) Encuentre las ecuaciones de las as´ıntotas de la hip´erbola x

2

a2 −

y2 b2 = 1;

cuales son sus pendientes?

(4) Demuestre que la ecuaci´on de la hip´erbola con centro en el origen y cuyo eje tranversal coincide con el eje Y es:

y2

a2 −

x2

b2 = 1; V1(0, −a); V2(0, a) F1(0, −c); F2(0, c).

(5) Encuentre las ecuaciones de las as´ıntotas de la hip´erbola y

2

a2 −

x2

b2 = 1;

cuales son sus pendientes?

(6) Calcular las coordenadas (h, k) del centro de la hip´erbola 9x2 _{− 16y}2 ₋

36x + 96y − 252 = 0; las coordenadas de los v´ertices y de los focos. a = 4; b= 3; c = 5; (h, k) = (2, 3).

(8)

(7) Encuentre las coordenadas de los v´ertices y los focos en cada hip´erbola: a) (x − 6) 2 36 − (y − 8)2 64 = 1. b) y2_{− x}2 _{− 2y + 4x − 4 = 0.} c) x2_{− 4yx}2_{− 2x + 16y − 19 = 0.} d) 4x2_{− y}2_{+ 32x − 10y + 35 = 0.} e) y2_{− 9x}2_{− 6y − 18x − 9 = 0.}

(8) Encuentre una ecuaci´on de cada hip´erbola descrita: a) Centro (5, 0); un vertice (9, 0); excentricidad 5

4.

b_{) V´ertices (4, 0) y (4, 8); as´ıntotas con pendientes 1 y −1.} c_{) Focos (−4, −3) y (−4, 7); un vertice (−4, 5).}

(9)

2. Funciones hiperb´

olicas

Se llaman Funciones hiperbólicas porque se pueden describir como las pro-yecciones, según el eje X y el eje Y , de los puntos sobre una hipérbola. Sus propiedades algebraicas son análogas a las de las funciones trigonométricas.

En muchas aplicaciones del an´alisis matem´atico se encuentran combinacio-nes de las funciocombinacio-nes exponenciales del tipo: y = e

a

2, y = e−a

2 ; tales combina-ciones se consideran como nuevas funcombina-ciones y se designan:

cosh α = e α_{+ e}−α 2 ; senh α = eα_{− e}−α 2 y= cosh α y= senh α y= 1 2e −α y= 1 2e α

La expresión x2 _{− y}2 _{= 1 es la ecuación de la hipérbola rectangular o}

equilátera, para la cual las as´ıntotas son perpendiculares y la longitud desde el centro de la hipérbola a su vértice es igual a la longitud media de su eje menor (a = b = 1).

x = cosh α y = senh α,

son las ecuaciones param´etricas de la hip´erbola x2_{− y}2 _{= 1.}

De las definici´ones de senh α y cosh α, se deduce que cosh α + senh α = eα y cosh α − senh α = e−α cosh α + senh α = e α_{+ e}−α 2 + eα − e−α 2 = eα_{+ e}−α_{+ e}α − e−α 2 = e α cosh α − senh α = e α_{+ e}−α 2 − (eα − e−α₎ 2 = eα_{+ e}−α_{− e}α_{+ e}−α 2 = e −α

(10)

Y0 X0 _X F₁(−√2, 0) F₂(√2, 0) P (cosh α, senh α) Y α {(x, y) : x2_{− y}2_{= 1}}

Multipicando miembro a miembro ambas igualdades: (cosh α + senh α)(cosh α − senh α) = eα

· e−α

cosh2α_{− senh}α = eα−α = e0 = 1.

De las definiciones de senh α y cosh α igualmente se puede deducir que senh 0 = 0 y cosh 0 = 1.

Con las funciones senh α y cosh α se pueden definir las funciones hiperb´olicas restantes: tanh α = senh α cosh α = eα_{− e}−α eα_{+ e}−α coth α = cosh α senh α = eα_{+ e}−α eα_{− e}−α cosech α = 1 senh α = 2 eα_{− e}−α sech α = 1 cosh α = 2 eα_{+ e}−α

3. Funciones hiperb´

olicas pares e impares

Una funci´on y = f (x) es par si al sustituir x por −x, se cumple que f(x) = f_(−x).

Una función y = f (x) es impar si al sustituir x por −x, se cumple que f(−x) = −f(x). Probemos de acuerdo a estas definiciones cuáles funciones hiperbólicas

(11)

son pares y cu´ales impares: senh(α) = e α − e−α 2 ; senh(−α) = e−α_{− e}−(−α) 2 = e −α_{− e}α 2 = −e α_{+ e}−α 2 = −(e α_{− e}−α₎ 2 = − senh α La funci´on senh α es impar.

cosh(α) = e α_{+ e}−α 2 ; cosh(−α) = e−α_{+ e}−(−α) 2 = e−α+ e α 2 = e α_{+ e}−α 2 = cosh α La funci´on cosh α es par.

tanh(α) = e α − e−α eα_{+ e}−α; tanh(−α) = e−α_{− e}−(−α) e−α_{+ e}−(−α) = e −α_{− e}α e−α_{+ e}α = −(e α − e−α₎ eα_{+ e}−α = − tanh α.

La funci´on tanh α es impar. Ejercicios. Pruebe que

(1) La función cosech α es impar. (2) La función sech α es par. (3) La función coth α es impar. (4) Resuelva cosech α = 2 para α.

Soluci´on. cosh α = 2 ⇔ e α_{+ e}−α 2 = 2 ⇔ e α_{+ e}−α _{= 4} Luego eα+ 1 eα = 4 ⇔ e 2α_{+ 1 = 4e}α ⇔ e2α− 4eα+ 1 = 0 De donde (eα₎2 − 4eα + 1 = 0 ⇔ eα ₌ 1 2(4 ± √ 12) ⇔ ln eα = ln(2 ±√3) ⇔ α = ln(2 ±√3).

(12)

(5) Resuelva senh α = 3 para α. (6) Resuelva tanh α = 1

2 para α. (7) Resuelva cosech α = 1

3 para α. (8) Resuelva coth α = 2 para α. (4) Resuelva sech α = 1

(13)

4. Gr´

aficas de las funciones hiperb´

olicas

4.1 La aplicación y = senh x es un homeomorfismo estrictamente creciente de R en R. y= senh x = e x_{− e}−x 2 Dominio de la función: (−∞, ∞). Recorrido de la función: (−∞, ∞). f(x) =e x 2 y= senh x g(x) = e−x 2 2 y x 1 −1 −2 −1 −2 1 2

4.2 _{La aplicación cont´ınua y = cosh x no es monótona en R. Su restricción} a R+ _{es estrictamente creciente; dicha restricción es un homeomorfismo de R}+

sobre [1, ∞). y= cosh x = e x_{+ e}−x 2 Dominio de la funci´on: (−∞, ∞). Recorrido de la funci´on: [1, ∞). f(x) = e x 2 y= cosh x g(x) = e−x 2 2 y x −1 −2 −1 −2 1 2

(14)

4.3 _{La aplicaci´on cont´ınua y = tanh x es estrictamente creciente sobre R;} por tanto es un homeomorfismo de R sobre (−1, 1).

tanh x = e x_{− e}−x ex_{+ e}−x Dominio de la funci´on: (−∞, ∞). Recorrido de la funci´on: (−1, 1). y= tanh x 2 y x −1 −2 −1 −2 1 2

4.4 La funci´on cont´ınua y = coth x es estrictamente decreciente en los in-tervalos (−∞, 0) y (0, ∞), donde se define. La restricci´on a R∗ _{es un}

homeo-morfismo de R∗ _{en o sobre (−∞, −1) y su restricci´on a R}∗

+ es también un homeomorfismo de R∗ + sobre (1, ∞). Dominio de la función: (−∞, 0) ∪ (0, ∞). Recorrido de la función: (−∞, −1) ∪ (1, ∞). y= coth x = e x_{+ e}−x ex_{− e}−x y= coth x = 1 tanh x 2 y x −1 −2 −1 −2 1 2

(15)

4.5 La aplicación continúa y = sech x no es monótona en R. Su restricción a R+ _{es estrictamente decreciente; dicha restricción es una aplicación de R}+

sobre (0, 1] y= sech x = 2 ex_{+ e}−x Dominio de la funci´on: (−∞, ∞). Recorrido de la funci´on: (0, 1]. y = sech x = 1 cosh x 2 y x −1 −2 −1 −2 1 2

4.6 La aplicaci´on contin´ua y = cosech x es estrictamente decreciente en los intervalos (−∞, 0) ∪ (0, ∞), donde se define; su recorrido es (−∞, 0) ∪ (0, ∞)

y= cosech x = 2 ex_{− e}−x y= cosech x = 1 senh x 2 y x −1 −1 1 2

(16)

5. Identidades hiperb´

olicas fundamentales

Son ecuaciones que se verifican para cualquier valor o valores de la variable o variables que contienen, siempre que para estos valores esten definidos ambos miembros.

A partir de x2_{− y}2_{= 1, siendo x = cosh α y y = senh α, se deduce que}

cosh2α_{− senh}2α = 1 (6) Dividiendo ambos miembros de (6) entre cosh2α:

cosh2α cosh2α − senh2α cosh2α = 1 cosh2α 1 − tanh2α= sech2α (7) Dividiendo ambos miembros de (6) entre senh2α:

cosh2α senh2α − senh2α senh2α = 1 senh2α coth2α_{− 1 = cosech}2α (8) Ejercicios.

(A) Pruebe que

(1) cosh2α_{− senh}2α= 1. (2) 1 − tanh2α= sech2α. (3) coth2α_{− 1 = cosech}2α. (4) cosh α + senh α = eα_.

(5) cosh α − senh α = e−α_.

(B) Demuestre las siguientes identidades: (1) tanh θ 1 − tanh2θ = senh 2_θ (2) cosh 2_θ − senh2θ

cosh θ + senh θ = cosh θ − senh θ (3) cosh θ − senh θ

cosh θ + senh θ −

cosh θ + senh θ

cosh θ − senh θ = −4 cosh θ senh θ (4) cosh2θ_{− senh}2θ= sech2θ+ tanh2θ

(5) tanh2θ+ sech2θ= coth2θ_{− cosech}2θ (6) cosh2θ_{− senh}2θ= coth2θ_{− cosech}2θ (7) 1 + tanh θ 1 − tanh θ − 1 1 − tanh θ = tanh θ 1 − tanh θ

(17)

(8) 1

cosh θ − 1 + 1

cosh θ − 1 = 2 coth θcosech θ (9) senh2θ(coth2θ_{− 1) = 1} (10) cosh 2_θ − senh2θ sech2θ+ tanh2θ + coth2θ_{− cosech}2θ cosh2θ_{− senh}2θ = 2

(18)

6. F´

ormulas de adici´

on de ´

angulos

6.1 Demuestre que cosh(β + θ) = cosh β cosh θ + senh β senh θ

Demostraci´on En cosh α = e

α_{+ e}−α

2 , se hace α = β + θ, por lo tanto: cosh(β + θ) = e

(β+θ)_{+ e}−(β+θ)

2 =

eβ_{· e}θ_{+ e}−β _{· e}−θ

2

eβ = cosh β + senh β ; e−β _{= cosh β − senh β}

eθ = cosh θ + senh θ ; e−θ _{= cosh θ − senh θ,}

sustituyendo estas equivalencias en cosh(β + θ): cosh(β + θ) =

(cosh β + senh β)(cosh θ + senh θ) + (cosh β − senh β)(cosh θ − senh θ) 2

Efectuando los productos indicados y reduciendo t´erminos semejantes: cosh(β + θ) = 2 cosh β cosh θ + 2 senh β senh θ

2

= 2(cosh β cosh θ + senh β senh θ) 2

de donde

cosh(β + θ) = cosh β cosh θ + senh β senh θ (9) 6.2 _{Demuestre que cosh(β − θ) = cosh β cosh θ − senh β senh θ.}

Demostraci´on

En cosh(β + θ) = cosh β cosh θ + senh β senh θ, se hace θ = −θ, entonces: cosh[β + (−θ)] = cosh β cosh(−θ) + senh β senh(−θ).

Como

cosh(−θ) = cosh θ y senh(−θ) = − senh θ; se tiene:

cosh(β − θ) = cosh β cosh θ + senh β(− senh θ) luego

cosh(β − θ) = cosh β cosh θ − senh β senh θ (10) 6.3 Demuestre que senh(β + θ) = senh β cosh θ + senh θ cosh β.

Demostraci´on En senh α = e α − e−α 2 , se hace α = β + θ; luego senh(β + θ) = e β+θ_{− e}−(β+θ) 2 = eβ · eθ − e−β _{· e}−θ 2

(19)

eβ = cosh β + senh β ; e−β _{= cosh β − senh β ;}

eθ = cosh θ + senh θ ; e−θ _{= cosh θ − senh θ,}

sustituyendo estas equivalencias en senh(β + θ): senh(β + θ) =

(cosh β + senh β)(cosh θ + senh θ) − (cosh β − senh β)(cosh θ − senh θ) 2

Efectuando los productos indicados y reduciendo t´erminos semejantes senh(β + θ) = 2 senh β cosh θ + 2 senh θ cosh β

2

senh(β + θ) = 2(senh β cosh θ + senh θ cosh β) 2

senh(β + θ) = senh β cosh θ + senh θ cosh β (11) 6.4 _{Demuestre que senh(β − θ) = senh β cosh θ − senh θ cosh β.}

Demostraci´on

En senh(β + θ) = senh β cosh θ + senh θ cosh β se hace θ = −θ, entonces senh[β + (−θ)] = senh β cosh(−θ) + senh(−θ) cosh β.

Como cosh(−θ) = cosh θ y senh(−θ) = − senh θ; se tiene: senh(β − θ) = senh β cosh θ + (− senh θ) cosh β.

senh(β − θ) = senh β cosh θ − senh θ cosh β (12) 6.5 Demuestre que tanh(β + θ) = tanh β + tanh θ

1 + tanh β tanh θ. Demostraci´on

tanh(β + θ) = senh(β + θ) cosh(β + θ) =

senh β cosh θ + senh θ cosh β cosh β cosh θ + senh β senh θ Dividiendo el numerador y el denominador entre cosh β cosh θ:

tanh(β + θ) = senh β cosh θ cosh β cosh θ + senh θ cosh β cosh β cosh θ cosh β cosh θ cosh β cosh θ + senh β senh θ cosh β cosh θ tanh(β + θ) = tanh β + tanh θ

(20)

6.6 _{Demuestre que tanh(β − θ) =} tanh β − tanh θ 1 − tanh β tanh θ. Demostraci´on

tanh(β − θ) = senh(β − θ) cosh(β − θ) =

senh β cosh θ − senh θ cosh β cosh β cosh θ − senh β senh θ Dividiendo el numerador y el denominador entre cosh β cosh θ:

tanh(β − θ) = senh β cosh θ cosh β cosh θ − senh θ cosh β cosh β cosh θ cosh β cosh θ cosh β cosh θ − senh β senh θ cosh β cosh θ tanh(β − θ) = tanh β − tanh θ

1 − tanh β tanh θ (14) Ejercicios.

(1) Demuestre que senh(α + β) = e

α+β_{− e}−(α+β)

2 .

(2) Demuestre que senh(α − β) = e

α−β_{− e}−(α−β)

2 .

(3) Demuestre que cosh(α + β) = e

α+β _{+ e}−(α+β)

2 .

(4) Demuestre que cosh(α − β) = eα−β+ e

−(α−β)

2 .

(5) Demuestre que tanh(α + β) = e

α+β _{− e}−(α+β)

eα+β_{+ e}−(α+β).

(6) Demuestre que tanh(α − β) = eα−β− e

−(α−β)

eα−β_{+ e}−(α−β).

(7) Demuestre que coth(α + β) = coth α + coth β 1 + coth α coth β. (8) Demuestre que coth(α − β) = coth α − coth β

1 − coth α coth β. (9) Demuestre que coth(α + β) = e

α+β_{+ e}−(α+β)

eα+β _{− e}−(α+β).

(10) Demuestre que coth(α − β) = e

α−β_{+ e}−(α−β)

(21)

7. F´

ormulas de ´

angulos dobles

7.1 Demuestre que senh 2α = 2 senh α cosh α.

Demostraci´on

En senh(α + β) = senh α cosh β + senh β cosh α, se hace β = α entonces: senh(α + α) = senh α cosh α + sen α cosh α

senh 2α = 2 senh α cosh α (15) 7.2 Demuestre que cosh 2α = cosh2α+ senh2α.

Demostraci´on

En cosh(α + β) = cosh α cosh β + senh α senh β, se hace β = α, entonces: cosh(α + α) = cosh α cosh α + senh α senh α

cosh 2α = cosh2α+ senh2α (16) Se sabe que cosh2α_{− senh}2α= 1 y que

cosh2α= 1 + senh2α; senh2α = cosh2α_{− 1;} sustituyendo cosh2α por 1 + senh2α en (16)

cosh 2α = 1 + senh2α+ senh2α

cosh 2α = 1 + 2 senh2α (17) Siustituyendo en (16) senh2α por cosh2α_{− 1, se tiene}

cosh 2α = cosh 2α + cosh2α_{− 1}

cosh 2α = 2 cosh2α_{− 1} (18) 7.3 Demuestre que tanh 2α = 2 tanh α

1 + tanh2α. Demostraci´on

En tanh(α + β) = tanh α + tanh β

1 + tanh α tanh β, se hace β = α, entonces: tanh(α + α) = tanh α + tanh α

1 + tanh α tanh α tanh 2α = 2 tanh α

1 + tanh2α (19)

Ejercicios.

(1) Demuestre que senh 2α = e

2α_{− e}−2α

(22)

(2) Demuestre que cosh 2α = e

2α_{+ e}−2α

2 .

(3) Demuestre que tanh 2α = e

2α_{− e}−2α

e2α_{+ e}−2α.

(4) Demuestre que coth 2α = 2 coth α 1 + coth2α. (5) Demuestre que coth 2α = e

2α_{+ e}−2α

(23)

8. F´

ormulas de ´

angulos mitad

8.1 Demostrar que senhθ

2 = ±

r cosh θ − 1

2 .

Demostraci´on

En cosh 2α = 1 + 2 senh2α, se hace 2α = θ de donde α = θ

2 y se reempla-zan estas equivalencias en la f´omula de cosh 2α:

cosh θ = 1 + 2 senh2 θ 2 cosh θ − 1 = 2 senh2 θ 2 cosh θ − 1 2 = senh 2 θ 2 senh θ 2 = ± r cosh θ − 1 2 (20)

8.2 Demuestre que coshθ 2 = ±

r cosh θ + 1

2 .

Demostraci´on

En cosh 2α = 2 cosh2α_{− 1, se hace 2α = θ, de donde α =} θ

2 y se reem-plazan estas equivalencias en la f´ormula de cosh 2α:

cosh θ = 2 cosh2 θ 2− 1 cosh θ + 1 = 2 cosh2 θ 2 cosh θ + 1 2 = cosh 2 θ 2 coshθ 2 = ± r cosh θ + 1 2 (21)

8.3 Demuestre que tanhθ 2 = ± r cosh θ − 1 cosh θ + 1. Demostraci´on Se define tanhθ 2 = senhθ 2 coshθ 2 = ± r cosh θ − 1 2 ±r cosh θ + 1₂

(24)

tanhθ 2 = ± v u u u u t cosh θ − 1 2 cosh θ + 1 2 tanhθ 2 = ± r cosh θ − 1 cosh θ + 1 (22) Ejercicios.

(1) Demuestre que senhθ 2 =

eθ2 − e− θ 2

2 . (2) Demuestre que coshθ

2 =

eθ2 + e− θ 2

2 . (3) Demuestre que tanhθ

2 = eθ2 − e− θ 2 eθ2 + e− θ 2 .

(4) Demuestre que cothθ 2 = ±

r cosh θ + 1 cosh θ − 1. (5) Demuestre que cothθ

2 = eθ2 + e− θ 2 eθ2 − e− θ 2 .

(25)

9. F´

ormulas de ´

angulos triples

9.1 Demuestre que senh 3α = 4 senh3α+ 3 senh α.

Demostraci´on

En senh(β + θ) = senh β cosh θ + senh θ cosh β, se hace β = 2α, θ = α y se reemplazan estas equivalencias en la f´ormula del senh(β + θ):

senh(2α + α) = senh 2α cosh α + senh α cosh 2α.

Sustituyendo senh 2α por 2 senh α cosh α y cosh 2α por 1 + 2 senh2α; se tiene:

senh 3α = (2 senh α cosh α) cosh α + senh α(1 + 2 senh2α) senh 3α = 2 senh α cosh2α+ senh α + 2 senh3α; sustituyendo cosh2α por 1 + senh2α:

senh 3α = 2 senh α(1 + senh2α) + senh α + 2 senh3α senh 3α = 2 senh α + 2 senh3α+ senh α + 2 senh3α

senh 3α = 4 senh3α+ 3 senh α (23) 9.2 Demuestre que cosh 3α = 4 cosh3α_{− 3 cosh α.}

Demostraci´on

En cosh(β + θ) = cosh β cosh θ + senh β senh θ, se hace β = 2α, θ = α y se reemplazan estas equivalencias en la f´ormula del cosh(β + θ):

cosh(2α + α) = cosh 2α cosh α + senh 2α senh α.

Sustituyendo cosh 2α por 2 cosh2α _{− 1, senh 2α por 2 senh α cosh α, se} tiene:

cosh 3α = (2 cosh2α_{− 1) cosh α + (2 senh α cosh α) senh α} cosh 3α = 2 cosh3α_{− cosh α + 2 senh}2αcosh α; sustituyendo senh2α por cosh2α_{− 1:}

cosh 3α = 2 cosh3α_{− cosh α + 2(cosh}2α_{− 1) cosh α} cosh 3α = 2 cosh3α_{− cosh α + 2 cos}3α_{− 2 cosh α}

cosh 3α = 4 cosh3α_{− 3 cosh α} (24) Ejercicios.

(1) Demuestre que senh 3α = e

3α_{− e}−3α

2 .

(2) Demuestre que cosh 3α = e

3α _{+ e}−3α

(26)

10. F´

ormulas de multiplicaci´

on y

transforma-ci´

on

10.1 _{A partir de las f´omulas senh(β + θ), senh(β − θ) deduzca} (a) senh β cosh θ.

(b) senh θ cosh β.

senh(β + θ) = senh β cosh θ + senh θ cosh β (25) senh(β − θ) = senh β cosh θ − senh θ cosh β (26) • Sumando miembro a miembro (25) y (26):

senh(β + θ) + senh(β − θ) = 2 senh β cosh θ 1

2[senh(β + θ) + senh(β − θ)] = senh β cosh θ 1

2senh(β + θ) + 1

2senh(β − θ) = senh β cosh θ (27) • Restando miembro a miembro (25) y (26):

senh(β + θ) − senh(β − θ) = 2 senh θ cosh β 1

2[senh(β + θ) − senh(β − θ)] = senh θ cosh β 1

2senh(β + θ) − 1

2senh(β − θ) = senh θ cosh β (28) 10.2 _{A partir de las f´omulas cosh(β + θ), cosh(β − θ) deduzca f´ormulas para:}

(a) cosh β cosh θ. (b) senh β senh θ.

cosh(β + θ) = cosh β cosh θ + senh β senh θ (29) cosh(β − θ) = cosh β cosh θ − senh β senh θ (30) • Sumando miembro a miembro (29) y (30):

cosh(β + θ) + cosh(β − θ) = 2 cosh β cosh θ 1

2[cosh(β + θ) + cosh(β − θ)] = cosh β cosh θ 1

2cosh(β + θ) + 1

(27)

• Restando miembro a miembro (29) y (30):

cosh(β + θ) − cosh(β − θ) = 2 senh β senh θ 1

2[cosh(β + θ) − cosh(β − θ)] = senh β senh θ 1

2cosh(β + θ) − 1

2cosh(β − θ) = senh β senh θ (32) 10.3 _{A partir de las f´omulas senh(β + θ), senh(β − θ); haciendo β + θ = A y}

β_{− θ = B, demuestre que} (a) 1 2senh A + 1 2senh B = senh A + B 2 cosh A − B 2 . (b) 1 2senh A − 1 2senh B = senh A − B 2 cosh A + B 2 . Demostracion

senh(β + θ) = senh β cosh θ + senh θ cosh β (33) senh(β − θ) = senh β cosh θ − senh θ cosh β (34) Se hace β+ θ = A (35) β_{− θ = B} (36) Sumando (35) y (36) se tiene 2β = A + B ∴ β = A+ B 2 Restando (35) y (36) se tiene 2θ = A − B ∴ θ = A_{− B} 2

Sustituyendo en (33) y (34) β + θ por A, β − θ por B, β por A+ B₂ y θ por A− B 2 : senh A = senh A + B 2 cosh A − B 2 + senh A − B 2 cosh A + B 2 (37)

(28)

senh B = senh A + B 2 cosh A − B 2 − senh A − B₂ cosh A + B 2 (38) Sumando (37) y (38) se tiene

senh A + senh B = 2 senh A + B 2 cosh A − B 2 1

2[senh A + senh B] = senh

A + B 2 cosh A − B 2 1 2senh A + 1 2senh B = senh A + B 2 cosh A − B 2 (39) Restando (37) y (38) se tiene

senh A − senh B = 2 senh A − B₂

cosh A + B 2

1

2[senh A − senh B] = senh

A − B 2 cosh A + B 2 1 2senh A − 1 2senh B = senh A − B 2 cosh A + B 2 (40) 10.4 _{A partir de las f´ormulas cosh(β + θ), cosh(β − θ); haciendo β + θ = A y}

β_{− θ = B, demuestre que} (a) 1 2cosh A + 1 2cosh B = cosh A + B 2 cosh A − B 2 . (b) 1 2cosh A − 1 2cosh B = senh A + B 2 senh A − B 2 . Demostraci´on

cosh(β + θ) = cosh β cosh θ + senh β senh θ (41) cosh(β − θ) = cosh β cosh θ − senh β senh θ (42) Se hace

β+ θ = A (43)

β_{− θ = B} (44)

Sumando (43) y (44) se tiene

(29)

Luego β = A+ B 2 Restando (43) y (44) se tiene 2θ = A − B Luego θ = A− B 2

Sustituyendo en (41) y en (42) β + θ por A, β − θ por B, β por A+ B₂ , θ por A− B 2 : cosh A = cosh A + B 2 cosh A − B 2 + senh A + B 2 senh A − B 2 (45) cosh B = cosh A + B 2 cosh A − B 2 − senh A + B₂ senh A − B 2 (46) Sumando (45) y (46):

cosh A + cosh B = 2 cosh A + B 2 cosh A − B 2 1

2[cosh A + cosh B] = cosh

A + B 2 cosh A − B 2 1 2cosh A + 1 2cosh B = cosh A + B 2 cosh A − B 2 (47) Restando (45) y (46):

cosh A − cosh B = 2 senh A + B₂

senh A − B 2

1

2[cosh A − cosh B] = senh

A + B 2 senh A − B 2 1 2cosh A − 1 2cosh B = senh A + B 2 senh A − B 2 (48)

(30)

11. Funciones hiperb´

olicas inversas

11.1 Definición y estudio de la función inversa de la función seno hiperbólico.

La aplicaci´on y = senh x es un homeomorfismo estrictamente creciente de R en R, la aplicaci´on inversa tiene las mismas propiedades.

Definición. La aplicación inversa de y = senh x se llama argumento seno hiperbólico de x; se escribe arg senh x o senh−1_x.

El dominio de la funci´on es el intervalo (−∞, ∞) = R, y el recorrido es el intervalo (−∞, ∞) = R.

y= arg senh x = senh−1_x _{⇔ x = senh y}

Gráfica: La gráfica se deduce a partir de la gráfica de y = senh x por simetr´ıa con respecto a la bisectriz y = x.

y= senh−1_x 2 3 1 y x −1 −3 −2 −1 −2 −3 1 2 3

Se puede expresar y = arg senh x con la ayuda de la funci´on logar´ıtmica. En efecto y = arg senh x ⇒ senh y = x y cosh2y= 1 + senh2y; es decir: cosh2y= 1+x2 _{o cosh y =}√_{1 + x}2_{. Por consiguiente e}y _{= cosh y +senh y =} √_{1 + x}2_+x;

de donde:

ln ey _{= ln(}√_{1 + x}₂

+ x) ⇒ y = ln(√1 + x2_{+ x)}

argsenh x = ln(√1 + x2_{+ x)}

11.2 Definición y estudio de la función inversa de la función coseno hiperbólico.

La aplicación cont´ınua y = cosh x no es monótona en R. Su restricción a R+

es estrictamente creciente; dicha restricci´on es un homeomorfismo de R+_sobre

(31)

Definición. La aplicación inversa de la restricci´_{on a R}+ se llama argumento coseno hiperbólico de x, se escribe argcosh x = cosh−1_x.

El dominio de la funci´on es el intervalo [1, ∞), y el recorrido es el intervalo [0, ∞).

y= arg cosh x = cosh−1_x _{⇔ x = cosh y}

Gráfica: La gráfica de y = arg cosh x, se deduce a partir de la gráfica de y= cosh x por simetr´ıa con respecto a la bisectriz y = x.

y= cosh−1_x 2 3 • 1 y x −1 −3 −2 −1 −2 −3 1 2 3

Se puede expresar y = arg cosh x con la ayuda de la funci´on logar´ıtmica: y_{= arg cosh x ⇒ cosh y = x y cosh}2y_{−1 = senh}2y; es decir:√x2_{− 1 = senh y;}

ey _{= cosh y + senh y = x +}√_x2_{− 1.}

ln ey _{= ln(x +}√_x2_{− 1)}

o sea

y= ln(x +√x2_{− 1)}

argcosh x = ln(x +√x2_{− 1)}

11.3 Definición y estudio de la función inversa de la función y = tanh x.

La aplicaci´on y = tanh x es estrictamente creciente sobre R; por tanto es un homeomorfismo de R sobre (−1, 1).

Definición. La aplicación inversa de y = tanh x se llama argumento tan-gente hiperbólico de x; se escribe y = arg tanh x = tanh−1_x

El dominio de la funci´on es el intervalo (−1, 1) y el recorrido es el intervalo (−∞, ∞) = R.

(32)

La aplicaci´on y = arg tanh x es un homeomorfismo estrictamente creciente de (−1, 1) sobre R.

Gráfica Su gráfica se deduce a partir de la gráfica de y = tanh x por simetr´ıa con respecto a la bisectriz y = x.

y= tanh−1_x 2 3 1 y x −3 −2 −2 −3 2 3

Se puede expresar y = arg tanh x por medio de la funci´on logar´ıtmo. En efecto, y = arg tanh x ⇒

x= tanh y = e y − e−y ey_{+ e}−y = ey₋ 1 ey ey₊ 1 ey = e 2y_{− 1} e2y_{+ 1} x(e2y+ 1) = e2y_{− 1} x_{· e}2y+ x = e2y_{− 1} x_{· e}2y_{− e}2y _{= −1 − x} e2y_{(x − 1) = −(1 + x)} e2y = 1 + x −(x − 1) = 1 + x 1 − x ln e2y = ln 1 + x 1 − x 2y = ln 1 + x 1 − x y = 1 2ln 1 + x 1 − x

(33)

argtanh x = 1 2ln

1 + x 1 − x

11.4 Definición y estudio de la función inversa de la función y = coth x.

La funci´on y = coth x es estrictamente decreciente en los intervalos (−∞, 0) y (0, ∞), donde se define. La restricci´on a R∗ _{es un homeomorfismo de R}∗ _sobre

(−∞, −1) y su restricci´on a R∗

+ es tambi´en un homeomorfismo de R∗+ sobre

(1, ∞).

Definición. La aplicación inversa de y = coth x se llama argumento co-tangente hiperbólico de x, se escribe: y= arg coth x = coth−1_x.

La funci´on y = arg coth x es un homeomorfismo de (−∞, −1)∪(1, ∞) sobre R∗_.

Gráfica La gráfica de y = arg coth x se obtiene a partir de la gráfica de y= coth x por simetr´ıa con respecto a la bisectriz y = x.

y= coth−1_x 2 3 1 y x −1 −3 −2 2 3

La funcion y = arg coth x se puede expresar por medio de la funci´on lo-gar´ıtmo. En efecto, x= coth y = e y_{+ e}−y ey_{− e}−y = ey + 1 ey ey ₋ 1 ey = e 2y_{+ 1} e2y_{− 1} x(e2y_{− 1) = e}2y+ 1 x_{· e}2y_{− x = e}2y+ 1 x_{· e}2y_{− e}2y = 1 + x

(34)

e2y_{(x − 1) = 1 + x} e2y= 1 + x x_{− 1)} ln e2y = ln 1 + x x_{− 1} 2y = ln 1 + x x_{− 1} y = 1 2ln 1 + x x_{− 1} argcoth x = 1 2ln 1 + x x_{− 1} .

11.5 Definición y estudio de la función inversa de la función y = sech x.

La aplicación cont´ınua y = sech x no es monótona en R su restricción a R+

es estrictamente decreciente; dicha restricci´on es una aplicaci´on de R+ _sobre

(0, 1].

Definición. La aplicación inversa de la restricci´_{on a R}+se llama argumento secante hiperbólico de x, se escribe: argsech x = sech−1_x.

El dominio de la funci´on es el intervalo (1, 0] y el recorrido es el intervalo [0, ∞). Gr´afica y= sech−1_x 2 • 1 y x −1 −3 −2 −1 −2 −3 1 2 3

Se puede expresar y = arg sech x con la ayuda de la funci´on logar´ıtmo. En efecto, x= sech y = 2 ey _{+ e}−y = 2 ey ₊ 1 ey + 2e y e2y_{+ 1}

(35)

x(e2y+ 1) = 2ey x_{· e}2y_{− 2e}y+ x = 0 ey = −(−2) ±p(−2) 2_{− 4x · x} 2x = 2 ±√4 − 4x2 2x = 2(1 ±√1 − x2₎ 2x = 1 ± √ 1 − x2 x ln ey = ln 1 ± √ 1 − x2 x y= ln 1 ± √ 1 − x2 x argsech x = ln 1 ± √ 1 − x2 x .

11.6 Definición y estudio de la función inversa de la función y = cosech x.

La funci´on cont´ınua y = cosech x es estrictamente decreciente en los intervalos (−∞, 0) y (0, ∞), donde se define. Su restricci´on a R∗ _{es un homeomorfismo}

de R∗ _{sobre (−∞, 0) y la restricci´on a R}∗

+ tambi´en es un homeomorfismo de

R∗

+ sobre (0, ∞).

Definición. La aplicación inversa de y = cosech x se llama argumento co-secante hiperbólico de x, se escribe: y= arg cosech x.

La funci´on y = arg cosech x es un homeomorfismo de (−∞, 0) ∪ (0, ∞) sobre R∗_.

Gr´afica

La gráfica de y = arg cosech x se obtiene a partir de la gráfica de y = cosech x por simetr´ıa con respecto a la bisectriz y = x. (ver página siguiente)

El dominio de la funcion es (−∞, 0) ∪ (0, ∞) y el recorrido es (−∞, 0) ∪ (0, ∞). Se puede expresar y = arg cosech x por medio de la funci´on logar´ıtmo. En efecto, x= cosech y = 2 ey _{− e}−y = 2 ey ₋ 1 2ey = 2e y e2y_{− 1} x(e2y_{− 1) = 2e}y x_{· e}2y_{− 2e}y_{− x = 0} ey = −(−2) ±p(−2) 2_{− 4x(−x)} 2x = 2 ±√4 + 4x2 2x = 1 ± √ 1 + x2 x ln ey = ln 1 + √ 1 + x2 |x| !

(36)

y= ln 1 + √ 1 + x2 |x| ! y= cosech−1_x 2 3 1 y x −3 −1 1 2 3

Ejercicios. Resuelva para x (1) 2 senh2x_{− senh x − 3 = 0.} (2) 3 cosh2x_{− 3 + 2 senh x −} 39 4 = 0. (3) (1 − tanh x)(1 + tanh x) = 4 13. Ejercicios.

(A) Calcular el valor indicado. Si el valor no es un n´umero racional, dar la respuesta con tres decimales correctos.

(1) senh 2 (2) tanh(−2) (3) cosech (ln 2) (4) senh−1₀ (5) sech−1 2 3 (6) cosech−1₂ (7) coth−1₃

(B) Usar el valor de la función hiperbólica dada para hallar el de las demás. (1) senh x = 3

(37)

(2) tanh x = 1 2 (C) Resuelva para x (1) cosech x = 2 3 (2) coth x = √ 13 3

(D) Resuelva y discuta los siguientes sistemas. (1)

(

argsenh x = 2arg senh y 3 ln x = 2 ln y

(2) (

cosh x + cosh y = a senh x + senh y = b

(38)

Apendice I.

Tabla I:_{Valores de e}x y e−x_. x ex e−x _x _ex e−x 0.00 1.0000 1.00000 2.10 8.1662 0.12246 0.01 1.0101 0.99005 2.20 9.0250 0.11080 0.02 1.0202 0.98020 2.30 9.9742 0.10026 0.03 1.0305 0.97045 2.40 11.023 0.09072 0.04 1.0408 0.96079 2.50 12.282 0.08208 0.05 1.0513 0.95123 2.60 13.464 0.07427 0.06 1.0618 0.94176 2.70 14.880 0.06721 0.07 1.0725 0.93239 2.80 16.445 0.06081 0.08 1.0833 0.92312 2.90 18.174 0.05502 0.09 1.0942 0.91393 3.00 20.086 0.04979 0.10 1.1052 0.90484 3.10 22.198 0.04505 0.20 1.2214 0.81873 3.20 24.533 0.04076 0.30 1.3499 0.74082 3.30 27.113 0.03688 0.40 1.4918 0.67032 3.40 29.964 0.03337 0.05 1.6487 0.60653 3.50 33.115 0.03020 0.60 1.8221 0.54881 3.60 36.598 0.02732 0.70 2.0138 0.49659 3.70 40.447 0.02472 0.80 2.2255 0.44933 3.80 44.701 0.02237 0.90 2.4596 0.40657 3.90 49.402 0.02024 1.00 2.7183 0.36788 4.00 54.598 0.01832 1.10 3.0042 0.33287 4.10 60.340 0.01657 1.20 3.3201 0.30119 4.20 66.686 0.01500 1.30 3.6693 0.27253 4.30 73.700 0.01357 1.40 4.0552 0.24660 4.40 81.451 0.01228 1.50 4.4817 0.22313 4.50 90.017 0.01111 1.60 4.9530 0.20190 4.60 99.484 0.01005 1.70 5.4739 0.18268 4.70 109.95 0.00910 1.80 6.0496 0.16530 4.80 121.51 0.00823 1.90 6.6859 0.14957 4.90 134.29 0.00745 2.00 7.3891 0.13534 5.00 148.41 0.00674