Capítulo 6. Momento angular

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(1)

Capítulo 6. Momento angular

6.1. Operadores de momento angular 6.1.1. Conmutadores

6.1.2. Operadores de ascenso y descenso 6.2. Método algebráico

6.2.1. Valores propios 6.2.2. Funciones propias

6.3. Reducción del problema de dos cuerpos 6.4. Rotor Rígido

6.5. Movimiento en un campo magnético no homogéneo 6.6. Potenciales centrales

(2)

6. Momento angular

El momento angular es una propiedad muy importante, tanto en los sistemas

macroscópicos, como en los microscópicos. Está asociada con el movimiento rotacional y con el espín de las patículas microscópicas. Además, en muchos casos permanece

constante, es decir, es una constante de movimiento.

6.1. Operadores de momento angular

Los operadores del momento angular se construyen siguiendo las reglas antes mencionadas. Por esta razón es necesario partir de su forma clásica,

L= ×r p.

Para trabajar con las componentes cartesianas es conveniente introducir el símbolo de Levi-Civitta,

ε

ijk, que es una cantidad que depende de tres índices y que sólo es distinta de cero si sus tres índices son diferentes,

( ) ( )

( ) ( )

ε

ijk

i j k i j k

= +

0 2 3

1 1 2 3

1 1 2 3

, , ,

o índices iguales

es permutació n cíclica de es no permutació n cíclica de

.

Este símbolo poseé las siguientes propiedades,

ε

ijk

= ε

kij

= ε

jki,

ε

ijk

= − ε

jik,

ε ε

ijk lmk

δ δ

il jm

δ δ

im jl k

= −

.

Así, las componentes del momento angular pueden escribirse en la forma

L

l ljk j

r p

k

jk

= ε

,

en donde

r

j y

p

k son las componentes cartesianas de los vectores de posición y de momento lineal, y las componentes 1, 2 y 3 corresponden a

x

, y y z, respectivamente.

Así mismo, los operadores del momento angular quedan expresados como

(3)

L r p i r

l ljk j k

r

jk

ljk j jk k

= ε = − ε ∂

.

Se puede demostrar fácilmente que estos operadores son hermitianos.

Estos operadores pueden escribirse en coordenadas esféricas y resultan independientes de la variable radial,

sin cos cot

cos sin cot

L i

L i

L i

1

2

3

= − −

= − −

= −

ϕ ∂ ∂θ ϕ θ ∂

∂ϕ ϕ ∂ ∂θ ϕ θ ∂

∂ϕ

∂ϕ

,

en particular, la componente z toma una forma muy sencilla. Además,

∇ =

2

1

2 2

22

r r r

r

L

∂ ∂

.

6.1.1. Conmutadores

Las propiedades de conmutación de los operadores de momento angular presentan ciertas regularidades,

[ ]

L x,

[

x p x,

]

x p x

[

,

]

i x i x

l m ljk j k m

jk

ljk j k m

jk

ljk j km jk

lmk j j

= =

= − =

ε ε

ε δ ε

,

[

L p,

] [

x p p,

] [

x ,p

]

p

i x p i p

l m ljk j k m

jk

ljk j m

jk

k

ljk j jm k jk

lmk k k

= =

= =

ε ε

ε δ ε

,

(4)

[ ] [ ] { [ ] [ ] }

( ) ( )

( )

, , , ,

L L x p L x p L x L p

i x p i x p

i x p i x p

i x p i x p

i x p

l m ljk j k m

jk

ljk j k m j m k

jk

ljk j mkn n jkn

ljk mjn n k jkn

ljk nmk j n jnk

klj nmj n k knj

nl jm lm jn j n

jn

kn lm km nl n k

kn

nl jm lm jn nj lm nm lj j

= = +

= − −

= − −

= − − − −

= − − + −

ε ε

ε ε ε ε

ε ε ε ε

δ δ δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ δ δ δ

k

jn

lmk njk j n lmk k

k kjn

i x p i L

= −

ε ε

=

ε

. n j

k n

En general,

[ ] L Y

l

,

m

i

lmk

Y

k

k

= ε

, en donde

Y = x p L , ,

. Observe que si l y

m

son diferentes, k también debe serlo. Por tanto, la operación de conmutación puede asociarse con una rotación en la dirección del operador del momento angular, l.

Adicionalmente, las componentes del momento angular conmutan con L2,

[ ] ( [ ] [ ] )

{ }

( )

, , , ,

L L L L L L L L L L

L L L L i i L L L L

i L L

l l k

k

l k k k l k

k

lkm m k k lkm m

km

lkm m k lmk m k

km km

lkm lmk m k

km

2 2

0

= = +

= + = +

= + =

ε ε ε ε

ε ε

,

sin embargo, los operadores

L

k no conmutan entre sí.

Es posible seleccionar a una pareja de operadores que conmutan. Considere a L2 y Lz.Como

[ ] L L

2

,

z

= 0

, entonces, ambos operadores tienen funciones propias comunes.

Por el momento, el ket

Ψ

denota a las funciones propias de ambos operadores,

L2 Ψ = 2a Ψ , Lz Ψ = bΨ ,

en donde

a

y b son los valores propios correspondientes. Como

L

2

= L

2x

+ L

2y

+ L

2z , entonces

(5)

Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ

Ψ Ψ Ψ Ψ

L a L L L

L L L L b b

x y z

x x y y

2 2 2 2 2

2 2 2 2

= = + +

= + + ≥ ,

por lo tanto,

ab2,

ba

,

a ≤ ≤ b a

.

Esto es, los valores de b están acotados.

6.1.2. Operadores de ascenso y descenso

Para el tratamiento posterior se definen los operadores siguientes

L±L1 ±iL2.

Estos operadores no son hermitianos, pero son adjuntos uno de otro. Al operador L+ se le denomina operador de ascenso y a L operador de descenso. En forma similar al caso del oscilador armónico, las componentes pueden escribirse como combinación de los anteriores,

( )

L

x

= L

1

= L

+

+ L

1

2

,

L

y

= L

2

= 1 2 ( L

L

+

)

.

Estos operadores nuevos tiene las siguientes propiedades de conmutación,

[ L L

2

,

±

] [ ] [ ] = L L

2

,

1

± i L L

2

,

z

= 0

,

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] ( )

, ,

,

L L L iL L iL i L L i L L

i L L i i L L Lz

+ = + − = − − + −

= − = − = =

1 2 1 2 1 2 2 1

1 2 3 3

2 2 2 2

,

[ ] [ ] [ ] ( ) ( )

( ) ( )

, , ,

L L L L i L L i L i i L

iL L L iL L

3 3 1 3 2 2 1

2 1 1 2

±

±

= ± = ± −

= ± = ± ± = ± .

Además

( )( )

( )

L L L iL L iL L L iL L iL L

L L i i L L L L

+ − = + − = + + −

= − − = − +

1 2 1 2 1

2 2 2

2 1 1 2

2 3 2

3 2

3 2

3

,

(6)

[ , ]

L L

− +

= L L

+ −

L L

+

= L

2

L

3

+ LL = LLL

2

3 3

2 3 2

2

3,

L L

±

= L

2

L

3

± L

2

3.

6.2. Método algebráico

Para obtener los valores propios y las funciones propias también se usará un método algebráico. Este método utiliza a los operadores de ascenso y descenso.

Al aplicar estos operadores a las ecuación de valores propios, se tiene que

[ ]

( , )

L L b L

L L L L L L L

z

z z z

± ±

± ± ± ±

=

= − =

Ψ Ψ

Ψ Ψ Ψ

,

( ) ( ) ( )

L L

z ±

Ψ = b ± 1 L

±

Ψ

,

( )

L L

± 2

Ψ = a

2

L

±

Ψ = L L

2 ±

Ψ

.

Por lo tanto, L± Ψ es función propia de L2 con valor propio a 2 y de Lz con valor propio

( b ± 1 )

. Por esta razón reciben su nombre.

Dado que las funciones propias están caracterizadas por sus valores propios, para distinguirlas se usan estos valores propios como sus índices,

Ψ = Ψ

ab

= ab

.

Al aplicar los operadores de ascenso y descenso se tiene que

, L ab

±

= C

ab±

a b ± 1

,

en donde los coeficientes se obtienen de la condición de normalización,

( )

, ,

L L ab L L ab ab L L L ab

C a b a b a b b ab ab

ab ab

ab

± ± ±

±

= = − ±

= ± ± = −

Ψ Ψ

2 3

2 3

2 2 2 2 2 2

1 1

,

por lo tanto,

C

ab±

= ab

2

± b

,

(7)

y

, L ab

±

= ab

2

b a b ± 1

. 6.2.1. Valores propios

Como el espectro está acotado, considere que bM es el valor máximo de b, entonces

L ab

+ M

= 0

y

( )

L

ab

L

ab

ab

M

L L ab

M

a b

M

b

M

M M

+

Ψ

+

Ψ =

− +

=

2

2

− = 0

,

por lo que a=bM

(

bM +1

)

.

Sea

b

m el valor mínimo de b, como

L ab

m

= 0

y

( )

L

ab

L

ab

ab L L ab

m m

a b

m

b

m

m m

Ψ

Ψ =

+ −

=

2

2

+ = 0

entonces

a = b

m

( b

m

1 )

.

Aplicando

n

veces L+ al ket

ab

m , eventualmente se llega a abM ,

L ab

n+ m

= k ab

M ,

entonces bM y

b

m difieren en un entero,

b

M

= b

m

+ n

,

así,

( ) ( ) ( )( )

a b b b b b n b n

b b b nb b n n

m m M M m m

m m m m m

= − = + = + + +

= − = + + + +

1 1 1

2 2 2 2 ,

( ) ( )

0 = 2 b

m

n + + 1 n n + 1

. Por lo tanto,

b n

m

= −

2

,

b n

n n

M

= − + = = − b

m

2 2

.

Es decir, bM puede ser un entero o un semientero.

(8)

Para valores enteros, se acostubra denotar al valor máximo con la letra l, bM =l, en donde

l = 0 1 , ,2,

, entonces,

a = l l ( + 1 )

. en forma similar el símbolo tradicional para

b, es la letra

m

, b=m. Por tanto, l y

m

son suficientes para caracterizar a cada función propia, en donde

− = l b

m

≤ ≤ m b

M

= l

,

Ψ

ab

= Y

lm

= lm

,

( )

L lm

2

=

2

l l + 1 lm

,

L lm

z

= m lm

,

( )

,

( )( )

,

L lm± = l l+ −1 m2 m l m± =1 l± +m 1 l m l m±1 .

6.2.2. Funciones propias

Las funciones propias están relacionadas entre sí por medio de los operadores de ascenso y descenso. En particular, para los valores máximo y mínimo de

m

se tiene que

,

L l l

±

± = 0

, e±iϕ ±

+i Yl±l =

∂θ θ ∂

cot

∂ϕ

, 0. Como la ecuación diferencial es separable, entonces se propone una solución de la forma Yl,±l

( ) θ ϕ

, =Φ±l

( ) ϕ

Θl,±l

( ) θ

, así,

± ′

= − =

±

±

±

±

tan

, ± ,

θ Θ Θ

l l

Φ Φ

l l

l

l

i A

.

Las ecuaciones separadas quedan expresadas como

′ =± ±

Φ l iA Φ±l,

Θ ′ = ±

l,±l

A

±

cot θ Θ

l,±l.

De la primera ecuación,

Φ

±l

= B e

±l iA±ϕ, pero como

L Y

z l,±l

= ± ( ) l Y

l,±l, entonces

[ ]

i

±l l±l

= − i

l±l

iA

± ±l

= A

±

Y

l±l

∂ϕ Φ Θ

,

Θ

,

Φ

, .

Por lo tanto, A± = ±l y Φ±l

( )

= ±l ±

B e il

ϕ

ϕ. Similarmente,

(9)

( )

′ = = =

= =

± ±

± ±

±

±

Θ Θ

Θ Θ

Θ Θ

l l

l l

l l l l

l l

l l

d

d l l

d l d ld

,

,

, ,

, ,

cot cos

sin cos

sin

sin sin

θ θ θ

θ θ

θ θ θ

θ

,

por lo que

Θ

l,±l

= D

l

sin

l

θ

. Después de normalizar (Anexo 6.3),

( ) ( ) ( )

l l,± =Yl,±l

θ ϕ

, =Φ±l

ϕ

Θl,±l

θ

,

( )

Φ±l = ± e il

ϕ π

1 ϕ

2 ,

Θ ( ) ( ) ( )

l l

l l

l

l ,

l

!

! sin

±

=

+

+

θ 1 2 1 θ

2

2 1 2 .

Las funciones restantes se obtienen con el operador de descenso,

( )

( ) ( ) ( )

,

,

! , ! !

! , L ll l l l

L ll l l l l

L ll k l l l k l l k k l

l k l l k

k k k

= ⋅ −

= ⋅ ⋅ ⋅ − −

= ⋅ − ⋅ ⋅ − + − =

− −

1 2 1

1 2 2 2 1 2

2 2 1 2 1 2

2

2 2

,

y para m= −l k,

( )

( )

lm l m

l m l

L ll

l m

= +

!

! 2 !

.

En coordenadas esféricas,

cot cos

cos cot

sin cos

cos

sin sin

cos

sin cos

L e i e i

e i e i

i i

i i

= − + = − +

= + = −

ϕ ϕ

ϕ ϕ

∂θ θ ∂ ∂ϕ ∂ θ

∂θ ∂

∂ θ θ ∂ ∂ϕ θ ∂ ∂ θ θ

θ ∂

∂ϕ θ ∂ ∂ θ ∂ θ

∂ θ ∂

∂ϕ

en donde

θ θ θ θ θ ( θ ) θ

θ sin

cos

cos

cos sin cos cos

= 1 − = 1 − = − sin

2 2

2

. Así,

(10)

( ) ( )

sin cos

sin cos sin cos

sin cos

sin sin

sin cos

L ll e l

e e

i l

ll

l ll

i l

l ll

ll l

l

i l

l

l ll

= +

= +

=

ϕ

ϕ ϕ

θ ∂ ∂ θ ∂ θ

∂ θ

π

θ ∂ ∂ θ ∂ θ

∂ θ

θ π θ

∂ θ

∂ θ

Φ Θ

Φ Θ

Θ Θ Θ

1

1

1

2 2 1

,

( )

( )

( )

( )

sin cos sin

sin cos sin

cos sin

sin cos

sin

sin cos sin

sin cos sin

cos sin

sin cos L ll e

e

e l

e

i i l

l

l ll

i l

l

l ll

i l

l

l

l

l ll

l

l

l ll

=

+ −

=

+

2

1

1

1

1

2 2

1

1

1

1

2

1

2 1 1

2

1

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

π θ ∂

∂ θ θ

∂ θ

∂ θ

π ∂ θ

∂ θ θ

∂ θ

∂ θ

π θ

θ ∂ ∂ θ θ

∂ θ

∂ θ

∂ θ

∂ θ θ

∂ θ

∂ θ

Θ

Θ

Θ

Θ

( )

( )

= ei l

l ll

l 2

2

2

2 2 ϕ

π θ

∂ θ θ

sin cos Θ sin

,

( )

( )

sin cos sin

L ll e

k i l k

l k

k

k ll

l

=

ϕ

π θ ∂

∂ θ θ

2 Θ

.

Por lo tanto, para k= −l m,

( ) ( ) ( ( ) ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

lm l m

l m l

e

l

l m l l m l

d d

e

e

l

l m l m

l d

d

m lm

m m

m

l m l

ll l m

im

l

l

m m

m

l m l

l m im

im l m m

l m

l m

l

≡ = +

= − + +

= − − +

+ −

+

+

+

Φ Θ Θ

ϕ θ

θ

∂ θ

∂ θ π

θ

θ

θ π

π θ θ θ

ϕ

ϕ

ϕ

!

! ! sin

sin cos

!

! !

! ! sin

sin cos

!sin

!

! cos cos

2 1

2 1

2

2 1

2 2 1

2

2

1 1

2

2 1

2 1

2

2 2

2

2

,

en donde

( )

Φ

m

e

im

ϕ π

=

ϕ

2

,

(11)

( )

( )

( )

( ) ( )

Θ

l m

m m

l m

l m

l

l

l l m

l m

d

,

d

!

!

! sin cos cos

= − + +

− −

+

1 2

2 1

2

1 1

2

2

θ θ θ

.

En partícular,

( ) ( ) ( )

Θl l

l l

l l

l d

d

l P

0

1 2

2

2 1

2 1 2 1

θ

= +

θ θ

− = 2+

θ

! cos cos cos ,

en donde

P

l es un polinomio de Legendre. En general, a las funciones propias del momento angular, con l entero, se les denomina armónicos esféricos,

Y

lm

( ) θ φ , = lm

.

6.3. Reducción del problema de dos cuerpos

Para un sistema formado por dos partículas, en donde el potencial sólo depende del vector de separación entre las partículas,

( )

H = T

1

+ T

2

+ V r

2

r

1 ,

es posible transformar al hamiltoniano en uno separable. Para la energía cinética,

T = T

1

+ T

2

= m r

1 1

+ m r

2

1 2

1

2

2

1

2

,

el cambio de variable a la coordenada del centro de masa y la coordenada relativa,

MR=m r1 1+m r2 2, r = −r2 r1, conduce a

r R m

M r

1

= − 2 , r R m

M r

2

= + 1 ,

r R m

M R r m

M r

1

2 2 2 2

2

2 2

= − ⋅ + , r R m

M R r m M r

2

2 2 1 1

2

2 2

= + ⋅ + ,

( )

T = 1 MR + r 2

2

µ

2 ,

en donde

µ

es la masa reducida,

(12)

µ = = + m m

M

m m

1 2

1 2

1

1 1

.

Adicionalmente, los momentos conjugados provienen del lagrangiano, L = −T V,

P = ∂ R = MR

L ,

p = ∂ r = r

L

µ

, y

T P

M

= 2 + p2

2 2

µ

, H =TCM + p2 +V r

( )

2

µ

.

Como el hamiltoniano es separable, Ψ

( ) ( )

R r, =

φ

R u r

( )

, y

( )

H u T p

V r u E u Ψ = ⋅ CM

φ φ

+ ⋅ + =

µ

2

φ

2 ,

T E H u

u E

CM r

CM

φ

φ = −

,

entonces las funciones

φ

y

u

son solución de las ecuaciones de valores propios

H

CM

φ = T

CM

φ = E

CM

φ

, H ur =E ur .

Por lo tanto, el problema se reduce a un centro de masa, libre de fuerzas, y a un problema de un cuerpo en la coordenada relativa, en donde,

Er = E- ECM , E = ECM + Er ,

φ = Ae

ikCMR, E k

CM M

= 2 CM2

2 .

6.4. Rotor Rígido

Un rotor rígido es sistema que rota en donde las distancias internas no se modifican.

En particular, para dos partículas, r2 − =r1 constante.

El momento de inercia también es separable,

(13)

I m r

i i

m r m r MR r I I

i

CM r

=

2

=

1 12

+

2 22

=

2

+ µ

2

= +

.

En coordenadas esféricas, el hamitoniano relativo toma la forma

Hr = − 2 ∇ =2 r2 L2 2

1

µ

2

µ

,

en donde las funciones propias son funciones propias del momento angular,

u = lm

. Así,

H lm

r

= E lm

l , en donde

( )

2

µ

r E2 l = 2l l+1 ,

E ( )

I l l

l r

=

2

+

2 1

.

Por lo tanto, en el espectro de un rotor rígido, se presenta absorción cuando

( )( ) ( )

E E

I l l l

I l

l l

r r

+1

− =

2

+ + − =

2

+

2 1 2 1

,

∆E = h ν

l,

ν ( )

π

l

I

r

l

= +

2 1

,

∆ ν

= π 2 I

r .

6.5. Movimiento en un campo magnético no homogéneo

Considere un campo magnético no uniforme de la forma

( )

B = k B

o

+ B z

1 .

La energía de interacción de un dipolo magnético con el campo está dada por

( )

V = − µ

m

⋅ = B g µ

B

B

o

+ B z L

1 z,

en donde se ha usado la relación de proporcionalidad entre el momento magnético y el momento angular,

µ

m

= g µ

B

L

. La fuerza que siente el dipolo se obtiene a partir de la energía potencial,

F = −∇ = −V kg

µ

B B L1 z,

(14)

y usando un tratamiento semiclásico, tomando en cuenta los estados propios del momento angular, se tiene que cada una de las funciones propias siente una fuerzas distinta, que depende del valor propio

m

,

( )

Fz = − g

µ

B B1 m, − ≤ ≤l m l.

Por lo tanto, para un valor particular de l, se deben detectar 2l+1 señales. Dado que l toma valores enteros para el momento angular orbital, en este caso se debe observar un número impar de señales. Cuando 2l+1 es par, l sólo puede corresponder a un valor semientero, por esta razón, la observación de dos señales condujo al descubrimiento del espín del electrón.

6.6. Potenciales centrales

Se denomina potencial central a aquel que sólo depende de la magnitud del vector de

separación. Como

T

r r r r

L

= −

2 2 2

+ r

22

2

1 µ ∂ 2

∂ ∂

∂ µ

, entonces,

[ ] T L ,

2

= − 2 µ

2

r 1

2

r r

2

r , L

2

+ 2 1 µ r L

22

L

2

= 0

,

[ ] [ ] [ ] H L ,

2

= T L ,

2

+ V L ,

2

= [ V ( )

r

, L

2

]

.

Como

V ( )

r

= V r ( )

, entonces

[ ] H L ,

2

= 0

y

[ ] H L ,

z

= 0

, por lo tanto H, L2 y Lz tienen funciones propias comunes. Así, la ecuación de valores propios de la energía,

HuE = EuE, toma la forma

( ) ( )

2 2 2 + 2 +2 + =

2

1 1

µ

2

∂ µ

r r r u

r

l l

r u V r u Eu

E

E E E,

por lo tanto, la ecuación diferencial es separable en una parte radial y una angular, además, la solución toma la forma

u

E

( )

r

= R r Y ( )

lm

( ) θ φ ,

.

Al sustituir la función separada en la ecuación anterior, se obtiene una ecuación diferencial para la parte radial,

R r ( )

, que es independiente de

m

,

(15)

( ) ( )

2 2 2 + 2 +2 + =

2 1

2

1

µ

r

µ

d

d r r dR d r

l l

r V r R E R

nl

nl nl nl,

por lo tanto,

u

E

( )

r

= R

nl

( ) r Y

lm

( ) θ ϕ , = nlm

. Observe que la energía

E

nl es independiente de

m

, por lo tanto, para el valor propio

E

nl hay 2l+1 estados degenerados.

Figure

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Referencias

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