Productos notables……….5
Factorización………..6
Diferencia de cuadrados……….7
Simplificación de fracciones algebraicas……….8
Suma, resta, multiplicación y división de fracciones algebraicas ……….9
Racionalización………10
Resolución de ecuación……….15
Taller de Matemáticas.
Bienvenidos al taller de matemáticas en su primera unidad de algebra, el objetivo principal de todo el taller de matemáticas es brindarles un conocimiento básico para su preparación posterior en el ámbito de matemáticas. Tocando los temas más relevantes en diversas disciplinas en el área de matemáticas.
Algebra
El álgebra es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas.
Expresiones algebraicas
son notaciones construidas por números literales y signos de operaciones. Se construyen a partir de sus términos, los cuales aparecen separados por los signos (+) o (-).
Ejemplos:
En esta expresión son contantes 3,2,-5, y las variables son a y b
• Termino algebraico: es un sumando de una expresión algebraica y representa una cantidad. A todo termino algebraico se le denomina monomio y consta de: coeficiente, base (s) y exponente(s).
• Términos semejantes. Dos o más términos son semejantes cuando los mismos exponentes afectan a las mismas bases.
Reducción de términos semejantes
Para simplificar expresiones que involucren términos semejantes, se suman o restan los coeficientes.
Exponentes:
Es un numero nos indica cuantas veces se usa el número en un producto. Los exponentes pueden ser clasificados como, los exponentes enteros y los exponentes fraccionarios o radicales.
• Exponentes enteros
• Exponentes fraccionarios o radicales. • Leyes de los exponentes: propiedades Polinomios:
Expresión algebraica que consta de varios términos algebraicos. • Suma
En la suma los polinomios se escriben uno seguido del otro y se reducen los términos semejantes
Suma los siguientes polinomios
Solución:
Resta
En esta operación es importante identificar el minuendo y el sustraendo, para posteriormente realizar la reducción de términos semejantes.
Ejemplo:
Realizar la siguiente operación Solución:
En este ejemplo 4a-2b-5c representan al minuendo y 3a-5b-7c al sustraendo. Se suprimen los paréntesis y se procede a efectuar la reducción de términos semejantes.
Signos de agrupación
Los signos de agrupación se utilizan para indicar que las cantidades en su interior se den considerar como una sola. Los signos son:
• Corchetes • Paréntesis • Llaves • Vinculo Multiplicación
Para realizar esta operación es conveniente recordar las reglas de los signos.
Recuerda que los números enteros son números que tienen signo (excepto el 0). El signo puede ser positivo (+) o negativo (-).
La multiplicación y la división de estos números también tiene signo y éste depende de los signos que tienen los factores.
La regla de los signos nos dice qué signo tiene el resultado de la operación: • El producto (o división) de dos números con el mismo signo es positivo. • El producto (o división) de dos números con signos distintos es negativo.
Ley de los exponentes para la multiplicación. En la multiplicación de términos con la misma base los exponentes se suman.
La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, es decir, sumando los exponentes.
Productos notables
Los productos notables se obtienen con un simple desarrollo, sin necesidad de efectuar el producto.
Cuadrado de binomio
El desarrollo de la suma de dos cantidades al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo; esta regla general se expresa con la formula:
Cuadrado de un trinomio
El desarrollo de la expresión: es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos, más los dobles productos de las combinaciones entre ellos:
Binomios conjugados
Son de la forma y su resultado es la diferencia de los cuadrados de ambas cantidades, como se ilustra en la fórmula:
Cubo de un binomio
Es de la forma
, su desarrollo es un polinomio de cuatro términos al que se llama cubo perfecto y su desarrollo es el cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
Factorización
Factorizar es expresar una suma o diferencia de términos como el producto indicado de sus factores; estos se presentan en la forma más simple.
Factor común
Es la expresión común que tienen todos los términos de una expresión algebraica.
Factor común por agrupación de términos
Se agrupan los términos que tengan algún factor en común, de tal modo que la expresión restante pueda factorizarse como en el siguiente ejemplo:
Solución:
Diferencia de cuadrados.
La diferencia de cuadrados es de la forma y su factorización es:
Lo que da como resultado el producto de binomio conjugados.
Trinomio cuadrado perfecto
Se conoce así a toda la expresión de la forma:
1. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos
del trinomio. Dichas raíces serán el primer y el segundo
componente del binomio que se busca.
2. Se verifica que el segundo término del trinomio
corresponda al doble producto del primer término del
binomio por el segundo, respetando las leyes de los
signos.
3. Se eleva al cuadrado.
Máximo común divisor (MCD)
El máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas es el termino o polinomio que divide exactamente a todas y cada una de las expresiones dadas.
Regla para obtener el MCD:
• Se obtiene el máximo común divisor de los coeficientes.
• Se toman los factores (monomio o polinomio) de menor exponente que tengan en común y se multiplican por el máximo común divisor de los coeficientes.
Mínimo común múltiplo (mcm)
El mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas es el termino algebraico que se divide por todas y cada una de las expresiones dadas.
• Se obtiene el mcm de los coeficientes.
• Se toman los factores que no se repiten y, de los que se repiten, el de mayor exponente, y se multiplican por el mínimo común múltiplo de los coeficientes.
Simplificación de fracciones algebraicas.
Una fracción algebraica contiene literales y se simplifica al factorizar al numerador y al denominador y al dividir aquellos factores que se encuentren en ambas
posiciones, como a continuación se ejemplifica.
Simplificar la siguiente expresion:
Solución
Se factoriza tanto el numerador como el denominador
Una vez factorizados los elementos de la fraccion, se observa qué en ambos se encuentra la expresión (4a) la cual se procede a simplificar.
Suma de fracciones
Ejemplo
Determinar el resultado de
Solución
Se suman las nuevas expresiones.
Comolos denominaodres son comunes, en la fracción resultante sólo se reducen los numeradores y el denominador permanece igual
Suma y resta de fracciones con denominadores diferentes. Ejemplo
Efectúa la siguiente operación:
Solución
Se obtiene el mínimo común múltiplo de los denominadores y se realizan las operaciones correspondientes
Multiplicación de fracciones algebraicas
Reglas para multiplicar fracciones
• Descomponer en factores los elementos de las fracciones que se van a multiplicar. • Se simplifican aquellos términos que sean comunes en el numerador y
denominador de las fracciones que se van a multiplicar. • Multiplicar todos los términos restantes.
Ejemplo:
Solución
Se realiza la multiplicación de fracciones y se simplifica el resultado.
División de fracciones algebraicas.
Regla para dividir fracciones:
• Primero se multiplica el número de la primera fracción por el denominador de la segunda, de lo que resulta el numerador de la fracción solución; el denominador de la fracción solución se obtiene al multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda. De preferencia los productos se dejan indicados.
• Se simplifican los terminaos o factores que sean comunes, el numerador y denominador, de las fracciones se van a multiplicar.
• Se multiplican todos los términos restantes. Ejemplo
Realiza la siguiente división
Solución
Se efectuan los productos cruzados y se simplifica la expresión
Racionalización
La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del
denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos:
Caso 1
Racionalización del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por .
Ejemplos
1. Racionalizar la expresión
Multiplicamos numerador y denominador por la raíz de 2, realizamos los cálculos y simplificamos la fracción
2 Racionalizar la expresión
Para poder realizar la suma racionalizamos el 2º sumando multiplicando y dividiendo por raíz de 2, y realizamos la suma
Caso 2
Racionalización del tipo
Se multiplica numerador y denominador por .
Ejemplo
Racionalizar la expresión
El radicando lo ponemos en forma de potencia:
Tenemos que multiplicar en el numerador y denominador por la raíz quinta de
Multiplicamos los radicales del denominador, extraemos factores del radical y simplificamos la fracción
Caso 3
Racionalización del tipo
Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:
También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de
cuadrados".
Ejemplos
1 Racionalizar la expresión
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados
En el denominador extraemos los radicandos y dividimos por , es decir, cambiamos el numerador de signo
2 Racionalizar la expresión
Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador
Efectuamos la suma por diferencia en el denominador, realizamos las operaciones y simplificamos la fracción dividiendo por
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados
En el numerador descomponemos en factores al y extraemos factores, terminamos realizando las operaciones del denominador
Ecuaciones de primer grado
Igualdad: Dos cantidades son iguales o equivalentes cuando tienen el mismo valor.
Ejemplo
Ecuación:
Una ecuación es una igualdad con una o varias incógnitas que se representan con letras. Las ecuaciones pueden ser fórmulas que se utilizan para encontrar una magnitud.
Solución de una ecuación:
La solución o soluciones de una ecuación son los valores que hacen que la igualdad se cumpla.
Grado de una ecuación:
El grado de una ecuación se obtiene del termino de mayor grado que contenga a la(s) incógnita(s).
Ejemplos
1. La ecuación , es de primer grado, porque la incógnita tiene exponente 1
2. La ecuación , es de segundo grado, porque la incógnita tiene exponente 2.
3. La ecuación , es de primer grado, porque las variables tienen exponente 1.
Las ecuaciones de primer grado se les llama lineales.
Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Ecuaciones que se resuelven mediante la aplicación de ecuaciones equivalentes con operaciones elementales (suma, resta, multiplicación o división) a ambos miembros de la ecuación, hasta obtener el valor de la incógnita.
Ejemplo
Encuentra el valor de x en la siguiente ecuación:
Solución
Se agrupan los términos que contienen a la incógnita en el primer miembro y las constantes en el segundo, se aplican sumas, restas, multiplicaciones o divisiones, según corresponda
Se comprueba la solución al sustituir en la ecuación el valor de x, y se verifica la ilgualdad
Por lo tanto la solucion es
• Con signos de agrupación y productos indicados
Para resolver este tipo de ecuaciones se suprimen los signos de agrupación o se realizan los productos indicados y se resuelven la ecuación equivalente que se obtuvo.
Ejemplo
Resuelve la ecuación:
Solución
Se eliminan los signos de agrupación y se resuelve la ecuación equivalente que se obtiene:
Por lo tanto la solución es
• Fraccionarias
Ejemplo
Solución
Se multiplica por el mínimo común múltiplo de los denominadores, en este caso 6:
Por consiguiente, el resultado es
Cuando aparecen fracciones en la ecuación, se eliminan los denominadores al multiplicar los dos términos de la igualdad por si mínimo común múltiplo.
Ecuaciones de segundo grado.
La ecuación de la forma ax2+bx+c=0 es una ecuación de segundo grado; al termino ax2 se llama cuadrático, a bx lineal, c es el termino independiente y se clasifican de la siguiente forma.
Solución de una ecuación de segundo grado completa
Las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones, también se denominan raíces. Existen tres métodos para resolver una ecuación de segundo grado:
Para completar el trinomio cuadrado perfecto se suman en ambos miembros de la igualdad, el cuadrado de la mitad del coeficiente del termino lineal de la ecuación (b/2)2
Ejemplo
Resuelve la ecuación:
Solución
Se dejan los terminos en x en el primer miembro de la ecuación.
Formula general
Deducción de las formula general para ecuaciones de segundo grado.
Sea la ecuació general de segundo grado
Finalmente, las soluciones o raices son:
Propiedades de las raíces o soluciones de una ecuación de segundo grado.
La expresión I=b2-4ac es el discriminante de una ecuación de segundo grado, y permite determinar si las raíces son reales o imaginarias.
1.Si I>0, las raíces son reales y diferentes.
3. Si I<0; entonces, las raíces son complejas
Métodos de resolución.
•
Método de sustitución: consiste en despejar o aislar una de las
incógnitas (por ejemplo,
xx
) y sustituir su expresión en la otra
ecuación. De este modo, obtendremos una ecuación de primer
grado con la otra incógnita,
yy
. Una vez resuelta, calculamos el valor
de
xx
sustituyendo el valor de
yy
que ya conocemos.
•
Método de reducción: consiste en operar entre las ecuaciones
como, por ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que
una de las incógnitas desaparezca. Así, obtenemos una ecuación
con una sola incógnita.
•
Método de igualación: consiste en aislar en ambas ecuaciones la
misma incógnita para poder igualar las expresiones, obteniendo así
una ecuación con una sola incógnita.
Factorización:
Otra forma de resolver una ecuación de segundo grado es factorizando la expresión e igualdad a cero cada factor, para posteriormente despejar a la incógnita.
Para factorizar un número o descomponerlo en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un uno como cociente.
Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes.
432 = 24 · 33
Factorización de un polinomio
1ºSacar factor común en el caso de que no haya término independiente. 2º Ver si es una diferencia de cuadrados si tenemos un binomio.
3º Comprobar si es un trinomio cuadrado perfecto si es un trinomio.
4º Trinomio de segundo grado.
5º Polinomio de grado superior a dos.
Sacar factor común
Sacar factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva.
Una raíz del polinomio será siempre x = 0
Las raíces son: x = 0 y x = − 1
Doble extracción de factor común
Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.
Las raíces son X = − 2 y X = 2
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de segundo grado
Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = a x2 + bx +c, se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x1 y x2, el polinomio descompuesto será:
Polinomio de grado superior a dos
Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.
Descomposición de un polinomio de grado superior a
dos y cálculo de sus raíces
P(x) =
1
2
Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta. P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0
3
Dividimos por Ruffini.
4
Por ser la división exacta, D = d · c
Una raíz es x = 1.
Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado. P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0
P(−1) = 2 · (− 1)3 + 3 ·(− 1)2 − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0
Otra raíz es x = -1.
El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos
encontrar raíces enteras.
El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1. P(−1) = 2 · (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0
P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0
Sacamos factor común 2 en último binomio.
La factorización del polinomio queda:
