ECUACIONES DIFERENCIALES Y TRANSFORMADAS DE LAPLACE CON APLICACIONES

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Luis M. Sánchez Ruiz Matilde P. Legua Fernández

ECUACIONES DIFERENCIALES Y

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

CON APLICACIONES

EDITORIAL

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Para referenciar esta publicación utilice la siguiente cita:

Sánchez Ruiz, Luis M; Legua Fernández, Matilde P. (). Ecuaciones diferenciales y transformadas de

Laplace con aplicaciones. HG9alencia: Editorial Universitat Politècnica de València

© Luis M. Sánchez Ruiz Matilde P. Legua Fernández

© 2017, Editorial Universitat Politècnica de València

distribución: www.lalibreria.upv.es / Ref.: 0798_01_05_01

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ISBN: 978-84-9048-649-8 Impreso bajo demanda

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Índice General

1 Ecuaciones diferenciales 1

1.1 Introducción y deniciones básicas . . . 1

1.2 Ecuaciones de primer orden . . . 2

1.3 Ecuaciones de variables separables . . . 5

1.3.1 Denición y resolución . . . 5

1.3.2 Ecuaciones diferenciales homogéneas . . . 7

1.3.3 Ecuaciones diferenciales reducibles . . . 9

1.4 Ecuaciones diferenciales exactas . . . 11

1.4.1 Denición y resolución . . . 11 1.4.2 Factores integrantes . . . 13 1.5 Ecuaciones lineales . . . 14 1.5.1 Denición y resolución . . . 14 1.5.2 Ecuación de Bernoulli . . . 16 1.5.3 Ecuación de Riccati . . . 17

1.6 Aplicación: Problemas de mezclas . . . 18

1.7 Ecuaciones no lineales en y0 . . . 19

1.7.1 Ecuaciones resolubles en y0 . . . 19

1.7.2 Aplicación: Cálculo de la envolvente . . . 19

1.7.3 Ecuaciones resolubles en y . . . 21

1.7.4 Ecuaciones resolubles en x . . . 24

1.8 Aplicación: Trayectorias isogonales . . . 26

1.9 Ejercicios resueltos . . . 27

1.10 Ejercicios propuestos . . . 33 i

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ii

2 Ecuaciones de orden superior 39

2.1 Introducción . . . 39

2.2 Ecuaciones diferenciales incompletas . . . 40

2.2.1 Ecuaciones donde falta la y . . . 40

2.2.2 Ecuaciones donde falta la x . . . 42

2.3 Ecuaciones lineales de orden n . . . 43

2.3.1 Denición. El operador derivada . . . 43

2.3.2 Ecuación lineal homogénea . . . 45

2.3.3 Ecuación lineal no homogénea . . . 49

2.3.4 Método de Lagrange o variación de parámetros . 54 2.3.5 Ecuación de Euler-Cauchy . . . 56

2.3.6 Reducción del orden . . . 59

2.4 Aplicación: Circuitos eléctricos . . . 60

2.5 Ejercicios resueltos . . . 61

2.6 Ejercicios propuestos . . . 63

3 Sistemas de ecuaciones 67 3.1 Introducción . . . 67

3.2 Método matricial . . . 69

3.2.1 Sistema lineal homogéneo . . . 69

3.2.2 Sistema lineal no homogéneo . . . 77

3.3 Método de eliminación . . . 79

3.4 Aplicación: Transformadores y redes . . . 82

3.5 Ejercicios resueltos . . . 84

3.6 Ejercicios propuestos . . . 93

4 Métodos numéricos 95 4.1 Interpolación . . . 95

4.2 Resolución numérica de PVI . . . 98

4.3 Métodos de un paso . . . 99

4.3.1 Método de Euler . . . 99

4.3.2 Métodos de Runge-Kutta . . . 102

(5)

iii

4.4.1 Métodos explícitos e implícitos . . . 103

4.4.2 Generación de métodos lineales . . . 104

4.4.3 Métodos predictor-corrector . . . 106

4.5 Ejercicios resueltos . . . 107

4.6 Ejercicios propuestos . . . 109

5 Transformadas de Laplace 111 5.1 Definición y conceptos básicos . . . 111

5.2 Propiedades y transformadas . . . 116

5.3 Aplicación: Integrales impropias . . . 130

5.4 Transformada inversa de Laplace . . . 130

5.4.1 Definición y propiedades . . . 130

5.4.2 Cálculo de algunas transformadas inversas . . . . 135

5.4.3 Método de Heaviside . . . 138

5.5 Aplicaciones de las transformadas . . . 142

5.5.1 Resolución de PVI. Función de transferencia . . . 142

5.5.2 Ecuaciones con coeficientes variables . . . 147

5.5.3 Ecuaciones integro-diferenciales . . . 148

5.5.4 Sistemas de ecuaciones diferenciales . . . 148

5.5.5 Estabilidad de sistemas dinámicos . . . 149

5.6 Ejercicios resueltos . . . 154

(6)
(7)

Prólogo

Las ecuaciones diferenciales modelan casi todos los procesos que aparecen en la técnica en los cuales hay una relación de cambio entre las variables involucradas. En dichos procesos es habitual contar con unas condiciones iniciales de partida y, en la mayoría de ocasiones, se pueden emplear entonces dos herramientas especícas para la búsqueda de solución: por métodos numéricos cuya utilización aconseja conocer algunas nociones de interpolación y mediante la transformada de Laplace que permite obtener soluciones exactas en los casos más usuales como son por ejemplo los modelados por ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales.

Con esta publicación se pretende satisfacer las necesidades básicas que puedan tener los alumnos de ingeniería en técnicas de resolución de ecuaciones diferenciales y problemas de valor inicial. Se han incluido los resultados teóricos que dan el soporte matemático necesario para abordar los problemas que aparecen, pero se ha evitado dar demostraciones que sean excesivamente tediosas o complicadas de desarrollar; solo se han in-cluido aquellas que pueden ayudar a conseguir una formació n adecuada para abordar tipos de ecuaciones o aplicaciones no tratadas en este texto. A lo largo del mismo hay una amplia exposición de ejemplos que facilitan la comprensión de los diferentes temas presentados, nalizando cada ca-pítulo con una selección de ejercicios cuya resolución se recomienda para vericar que se ha entendido la materia desarrollada.

Los autores expresan su reconocimiento al profesor Manuel Legua (1924—99), catedrático desde 1964 a 1989 de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de Valencia —transformada en Escuela Técnica Superior de Ingeniería del Diseño en 2002—, que les transmitió la forma de enfocar la didáctica de las Matemáticas destinadas a cubrir las necesidades de los ingenieros.

Asimismo desean expresar su agradecimiento a Isabel Morales por su ayuda en la elaboración de la primera versión de este texto, a los compañeros de profesión que han hecho sugerencias respecto de dicha y posteriores versiones, y a los alumnos que, con sus dudas y querer saber, les han hecho ver los temas en los cuales tenían una mayor dicultad. Esperamos que estas notas faciliten la labor de nuestros futuros alumnos. Los autores

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Capítulo 1

Ecuaciones diferenciales

1.1

Introducción y deniciones básicas

Existen situaciones en que se desea determinar una función desconocida a partir de una ecuación, denominada diferencial, (ED) que contiene por lo menos una de sus derivadas respecto de una variable independiente. Ejemplo 1.1.1 Se lanza verticalmente una partícula P de masa m des-de la supercie des-de un planeta sin atmósfera cuya forma es una esfera de radio R. Conociendo el valor de la gravedad g sobre su supercie, establecer la velocidad v de P en función de su distancia x al centro del planeta. Hallar la velocidad que debemos imprimir a P para que escape del campo gravitacional si g = 9.81 m/s2, R = 6500 km.

Sol.: La fuerza gravitacional es F (x) = kmx2. Como F (R) = kmR2 =mg

resulta que k =gR2. Como es habitual denotamos a = dvdt, entonces ma =gR2m x2 = m dv dt = m dv dx dx dt = mv dv dx =, v dv =  gR2 x2 dx.

Integrando, 12v2 = gRx2 + C. Si dotamos a P con una velocidad inicial v (R) = v0, entonces C = 12v02 gR por lo que

v2 = 2gRx2 + v02 2gR , v = q

2gR2

x + v02 2gR.

Si v02  2gR, P escapa ya que v no se anula. Para g = 9.81 m/s2 y R = 6500 km, la velocidad de escape es v0  11.293 km/s.

(10)

2 Capítulo 1 Una ecuación diferencial es ordinaria (EDO) si la incógnita es función de una sola variable, y en derivadas parciales (EDP) si es función de dos o más. En lo que sigue nos ocuparemos únicamente de las primeras.

Una ecuación diferencial ordinaria es de orden n si involucra hasta la derivada n-sima de la función desconocida, diciéndose que está expresada en forma normal si viene dada por

y(n)= f (x, y, y0, . . . , y(n31)).

Una función denida en un intervalo I  R es solución o integral de la ecuación diferencial si al sustituirla en ella se obtiene una identi-dad. Si la solución contiene n constantes arbitrarias se llama integral general (IG). Cada solución obtenida dando valores a las constantes arbitrarias se llama integral particular (IP). Y las soluciones que no pueden obtenerse a partir de una integral general se llaman integrales singulares (IS). Las grácas de las soluciones se denominan curvas integrales. Se resuelve un problema de valor inicial (PVI) si, da-dos x0, y0, y00, . . . , y0(n31) 5 R, se busca una solución y(x) que satisfaga y(x0) = y0, y0(x0) = y00, . . . , y(n31)(x0) = y0(n31).

1.2

Ecuaciones de primer orden

Las EDO de primer orden se generan si entre la ecuación que representa una familiaF de curvas F (x, y, C) = 0 y su derivada total respecto de x, Fx(x, y, C) + Fy(x, y, C) y0 = 0, eliminamos el parámetro C. El resultado

se denomina ecuación diferencial de F.

Ejemplo 1.2.1 Hallar la ecuación diferencial de (x c)2+ y2 = 1. Sol.: Eliminando c entre la ecuación de esta familia de circunferencias y su derivada respecto de x, 2 (x c) + 2yy0 = 0, obtenemos su ecuación diferencial y2³y02 + 1´= 1. Aquí (x c)2+ y2 = 1 es la integral general y cada una de las circunferencias es una integral particular. Es fácil ver que y =±1 son soluciones singulares.

Hay ecuaciones diferenciales, como 2 + y02 = 0, que carecen de ción. Enunciaremos dos resultados que garantizan la existencia de solu-ciones, única en el primero de ellos con ayuda del siguiente concepto.

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Ecuaciones diferenciales 3 Denición 1.2.2 Una función f : AR2 $R verica una condición de Lipschitz con respecto a y en A si hay una constante L, denominada de Lipschitz, tal que |f(x, y1) f(x, y2)|  L |y1 y2| en A.

Si fy es continua en A = [a, b]× [c, d], f satisface una condición

de Lipschitz ya que entonces |fy(x, y)|  K ; (x, y) 5 A, por lo que

|f(x, y1) f (x, y2)| Ryy21|fy(x, y)| dy  K |y1 y2| , (x, y1), (x, y2)5 A.

Teorema 1.2.3 (de Picard) Sea f una función continua en el rectán-gulo A = [a, b]× [c, d] donde satisface una condición de Lipschitz con respecto a y. Dado (x0, y0) del interior de A, existe un h > 0 tal que y0 = f (x, y), y(x0) = y0, tiene una única solución en [x0 h, x0+ h].

Teorema 1.2.4 (de Peano) Sea f una función continua en el rectán-gulo A = [a, b]×[c, d]. Si (x0, y0) está en el interior de A, entonces existe un h > 0 tal que y0 = f (x, y), y(x0) = y0, tiene al menos una solución en [x0 h, x0+ h].

Ejemplo 1.2.5 Analizar si f (x, y) = 2y12 satisface una condición de Lipschitz en el rectángulo A ={(x, y) 5 R2 : |x|  2, |y|  1}. Estudiar la unicidad de solución del PVI y0 = 2y12, y(0) = 0.

Sol.: Como f(0,y)3f(0,0)y30 = 2y312 no está acotado en las cercanías del origen, f no satisface una condición de Lipschitz en A. Por tanto no es de extrañar que, a pesar de ser f continua en A, el PVI dado presente más de una solución como lo son y1(x) = x2, y2(x) = 0.

Resolución gráca. Isoclinas

Una ecuación diferencial y0 = f (x, y), donde f es una función continua en DR2, asocia a cada P (x, y) 5 D una dirección de coeciente angular m = f (x, y), que es la dirección en P de cualquier solución que pase por P . Los puntos de D con su dirección se llama campo de direcciones, pudiéndose visualizar con ayuda de pequeños segmentos con punto medio en ciertos P 5 D y su correspondiente dirección.

Si distribuimos los puntos P sobre curvas de ecuación m = f (x, y), m 5 R, se obtienen las curvas isoclinas que contienen a los puntos a los que corresponde la misma dirección.

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4 Capítulo 1 Ejemplo 1.2.6 Emplear el método de las isoclinas para hallar:

a) La curva que pasa por (1, 2) y en cada punto (x, y) la pendiente de la tangente es el cuadrado de la abscisa x.

b) Las curvas tales que en cada punto (x, y) la pendiente sea el cociente entre ordenada y abscisa.

c) La curva que pasa por el punto (0, 1) y verica que la pendiente de la tangente en cada punto (x, y) es igual al producto de ordenada y abscisa.

Sol.: a) La propiedad enunciada es y0 = x2. Las isoclinas son

m = x2 , x =sm, x =sm, m 0.

El campo de direcciones en un entorno de (1, 2), por ejemplo en el cuadrado [2, 0]× [3, 1] , es el siguiente.

Este método no proporciona la expresión analítica de la curva integral que pasa por (1, 2) pero sugiere su gráca.

b) La propiedad enunciada es y0 = yx. Las isoclinas son m = xy con m5R, y representan los puntos de curvas integrales en los que la pendiente es m. En este caso coinciden con las curvas integrales.

c) La propiedad enunciada es y0 = xy por lo que las isoclinas son las hipérbolas m = xy. Dando a m valores negativos, positivos y 0, notamos que las curvas integrales son decrecientes en el segundo y cuarto cua-drantes, crecientes en el primero y tercero, tienen pendiente nula sobre OY (recta x = 0) y la recta y = 0 también es solución de la ecuación

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Ecuaciones diferenciales 5 diferencial. La gráca de la curva integral que pasa por (0, 1) es

x 2 1 0 -1 -2 y 5 4 3 2 1 .

1.3

Ecuaciones de variables separables

1.3.1

Denición y resolución

Una EDO y0 = f (x, y) se dice que es de variables separables si existen dos funciones continuas P y Q tales que, operando, puede escribirse como P (x) dx = Q(y) dy. Entonces se dice que tiene las variables separadas y una integral general es

Z

P (x) dx = Z

Q(y) dy + C, C constante arbitraria.

Ejemplo 1.3.1 Resolver a) (1 y2) 3xy y0 = 0. b) (1 y2) 3xy y0 = 0, y(4) =I23. c) (1 y2) 3xy y0 = 0, y(I33) = 2. d) (1 y2) 3xy y0 = 0, y(4) =1. e) (1 y2) 3xy y0 = 0, y(0) = 2. Sol.: a) Separando las variables x e y,

dx x =

3y dy 1 y2. Integrando en ambos miembros,

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6 Capítulo 1 Las soluciones de una EDO son funciones denidas en un intervalo donde la satisfacen. En este caso podemos expresar las soluciones en forma explícita

y =± q

1p3 (C/x)2, x > C, y =±q1p3 (C/x)2, x <C,

correspondientes a soluciones en las que 1 y2 > 0, e y =±

q

1 +p3 (C/x)2, x > 0, y =± q

1 +p3 (C/x)2, x < 0, correspondientes a soluciones en las que 1 y2 < 0. Por otra parte siem-pre que separamos variables hemos de esudiar si hemos perdido alguna solución. En este caso hemos dividido por 1 y2 por lo que hemos des-cartado que dicha expresión sea nula, Y efectivamente en este caso a) también admite las soluciones singulares

y =±1. (IS)

b) Para que y(4) = I23 , 4¯¯¯¯1 ³I23´2¯¯¯¯

3 2

= 12 = C. Por tanto la solución del PVI viene incluida en

2|x|¯¯1 y2¯¯32 = 1.

Analizando la condición inicial, que buscamos una solución en 4 > 0 donde y(4) < 0 y además 1 y2 = 1 34 > 0, observamos que la función que la satisface es y = q 1p3 (1/2x)2, x > 1 2. c) Para que y( I 3 3 ) = 2 , I 3 3 |1  22| 3

2 = 3 = C. Por tanto la solución

del PVI viene incluida en

|x|¯¯1 y2¯¯32 = 3.

Analizando la condición inicial, que buscamos una solución en 

I 3 3 < 0

donde y(I33) > 0 y además 1 y2 = 1 4 < 0, observamos que la función que la satisface es

y = q

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Ecuaciones diferenciales 7

d) Si en la IG se plantea y(4) =1 , 4 (1  1)32 = 0 = C conduce a

x¡1 y2¢32 = 0

que no debe considerarse como solución ya que el proceso de obtención de la IG es válido para C > 0.

La función y =1 es la solución de este PVI y corresponde a una de las IS de a).

e) Si en la IG se plantea y(0) = 2 , 0 (1  4)32 = 0 = C conduce a dar

la solución falsa (C  0)

x¡1 y2¢32 = 0.

Este PVI no tiene solución.

Nota 1.3.2 Si (x0, y0) está en el interior de un rectángulo donde P y Q son continuas, la solución de P (x) dx = Q(y) dy, y(x0) = y0 es

Z x x0 P (x) dx = Z y y0 Q(y) dy.

Así, en Ejemplo 1.3.1 b) y c), las soluciones explícitas con las condiciones iniciales dadas podrían haberse obtenido respectivamente mediante

b) Z x 4 dx x = Z y 3 I 3 2 3y dy 1 y2, c) Z x 3 I 3 3 dx x = Z y 2 3y dy 1 y2.

1.3.2

Ecuaciones diferenciales homogéneas

Una función f : AR2 $R se dice que f es homogénea de grado k, si f (tx, ty) = tkf (x, y) para (x, y), (tx, ty)5 A.

Una ecuación diferencial es homogénea si puede expresarse como y0 = f (x, y) donde f es una funci´on homog´enea de grado 0. Si f es homogénea de grado 0 el cambio y = xz la transforma en

z + xz0 = f (x, xz) = f (1, z) , dz f(1,z)3z =

dx x ,

que tiene las variables separadas. Si su solución es F (x, z, C) = 0, la solución de la ecuación original es F¡x,yx, C¢ = 0.

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