Análisis de circuitos trifásicos

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(1)ANÁLISIS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS. ILEANA MORENO CAMPDESUÑER JUAN CURBELO CANCIO 2019.

(2) Prólogo El presente libro está dirigido fundamentalmente a estudiantes de las carreras de perfil eléctrico, tiene la pretensión de orientarlos en el análisis de los circuitos trifásicos, los más empleados en la generación, transmisión, distribución y consumo de la energía eléctrica, por razones económicas, técnicas, versatilidad y fiabilidad El contenido de este libro ha sido elaborado a partir de la experiencia docente de sus autores y recurriendo a fuentes bibliográficas reconocidas internacionalmente, además de haber sido enriquecida con otros textos actualizados. (Ayllón & Montó, 1987; Boylestad, 2006; Edminister & Nahvi, 1997; Nilsson & Riedel, 2011; Svoboda & Dorf, 2014; William H. Hayt, Kemmerly, & Durbin, 2007) Para la mejor comprensión de los temas que se tratan en el libro, los estudiantes deben dominar el empleo del método fasorial en el análisis de circuitos eléctricos en estado estable sinusoidal. En cada uno de los capítulos del libro, se presentan un conjunto de ejercicios resueltos y propuestos, lo que proporcionará a los estudiantes la posibilidad de entrenarse en el análisis de circuitos eléctricos trifásicos balanceados y desbalanceados. En el caso de los ejercicios resueltos, aparece su solución empleando el simulador Simulink del Matlab, lo que consolida y profundiza los conocimientos recibidos por los estudiantes en las asignaturas relacionadas con este lenguaje de programación y su simulador. En el caso de los ejercicios propuestos, se brinda la respuesta para que pueda verificarse el resultado obtenido. El libro se ha estructurado en dos capítulos. En el primer capítulo se define una fuente trifásica de voltajes de secuencia positiva y negativa y posteriormente se dirige la atención a un sistema trifásico balanceado con diferentes formas de conexión: conexión estrella – estrella, estrella – delta (dos de las conexiones más utilizadas en la práctica), delta – estrella y delta - delta. Las relaciones existentes entre los voltajes y corrientes de línea y de fase, son determinadas tanto gráfica como numéricamente. En la parte final del capítulo se desarrollan las expresiones que permiten determinar las potencias, activa, reactiva, aparente y compleja, por fase o trifásicas o totales. Se explica el método de los dos wattímetros para determinar la potencia activa trifásica o total consumida por una carga conectada en estrella o en delta. El segundo capítulo tiene como objetivo el estudio de los sistemas trifásicos desbalanceados o asimétricos. En el capítulo se exponen las técnicas de solución de circuitos trifásicos desbalanceados con configuración estrella – estrella con neutro sin impedancia, con neutro con impedancia y sin neutro, con configuración estrella delta, delta - estrella y delta – delta. Se demuestra la posibilidad de que la secuencia de las corrientes no coincida con la de los voltajes aplicados y como la variación de la secuencia de los voltajes aplicados implica, en general, variación en el módulo y argumento de las corrientes y voltajes, o al menos en una de dichas variables..

(3) El capítulo concluye tratando los fundamentos de la medición de las diferentes potencias en un sistema trifásico desbalanceado y nuevamente se retoma la medición de la potencia activa o real empleando el método de los dos wattímetros. Se espera que este texto sea de provecho para todo el que lo consulte y que con las sugerencias que puedan surgir en la medida que se utilice, se pueda enriquecer y profundizar.. Los autores.

(4) Sistemas trifásicos Introducción Un sistema monofásico de corriente alterna consiste de un generador que posee un solo enrollado en el que se induce una fuerza electromotriz (fem), conectada a través de dos conductores (líneas) a una carga. Los generadores que poseen varios enrollados en los que se inducen fem de igual frecuencia, desfasadas una respecto a la otra, se llaman generadores polifásicos. Cada enrollado de la fuente de alimentación de un sistema polifásico recibe el nombre de fase. Según el número de fases de las fuentes de alimentación, los sistemas eléctricos pueden ser bifásicos, trifásicos, tetrafásicos, etc. En general, el desplazamiento eléctrico 360  entre fases, para un sistema balanceado de “ n ” fases, es de . n Los sistemas trifásicos son los que más se emplean por varias razones:   .  . Existen ventajas al usar maquinaria rotatoria para generar potencia trifásica, en vez de potencia monofásica. La transmisión de potencia empleando un sistema trifásico genera ventajas económicas. El empleo de equipos eléctricos trifásicos es bastante común, sobre todo en el entorno industrial; en particular, los motores que se utilizan en los grandes sistemas de refrigeración y en las instalaciones de maquinado, son motores trifásicos. El proceso para obtener potencia monofásica de un sistema trifásico es relativamente simple. En el mundo casi todos los sistemas de generación, transmisión y distribución son trifásicos. En la mayoría de los países del continente americano, la frecuencia de operación es de 60 Hz (   377 rad / s ). En Europa la frecuencia es de 50 Hz (   314 rad / s ).. 1. Sistemas trifásicos balanceados Un generador trifásico balanceado, tiene tres terminales y puede estar presente un cuarto terminal llamado neutro. Los voltajes entre dos terminales cualesquiera, tienen igual magnitud, frecuencia y están desfasados entre sí por 120 Casi sin excepción, los generadores trifásicos pueden ser aproximados muy bien a fuentes de voltaje ideales o a fuentes ideales en serie con pequeñas impedancias internas. Las fuentes de corriente trifásica raramente son utilizadas. Una representación posible de un generador de voltajes trifásicos se muestra en la figura 1.1. Suponiendo que se conocen los voltajes Van , Vbn , Vcn :. Van  100120V Vbn  100  120V.

(5) Vcn  100120V. Figura 1.1 Generador trifásico balanceado. El voltaje Vab puede ser obtenido como: Vab = Van + Vnb = Van − Vbn.  1000  100  120 = 100 −(−50 − j86,6).  17330V Los tres voltajes indicados y la construcción del fasor 𝑉𝑎𝑏 , se ilustran en el diagrama fasorial mostrado en la figura 1.2.. Figura 1.2 Diagrama fasorial que ilustra la determinación gráfica del voltaje Vab . 1.1 Conexión estrella-estrella (Y-Y) Las fuentes trifásicas tienen tres terminales, denominados terminales de línea, además, pueden contar o no con un cuarto terminal, denominado neutro..

(6) La figura 1.3 muestra una fuente trifásica con conductor neutro. La fuente se representa mediante tres fuentes ideales de voltaje conectadas en estrella (Y).. Figura 1.3 Fuente trifásica de cuatro hilos conectada en Y. Una fuente trifásica es balanceada si se cumple que: |𝑉𝑎𝑛 | = |𝑉𝑏𝑛 | = |𝑉𝑐𝑛 | 𝑉𝑎𝑛 + 𝑉𝑏𝑛 + 𝑉𝑐𝑛 = 0. (Suma fasorial).. Estos tres voltajes, localizados cada uno entre una línea y el neutro, se denominan voltajes de fase. Si se elige de manera arbitraria Van como la referencia:. Van  V f 0 Donde 𝑉𝑓 representa el valor rms de cualquiera de los voltajes de fase. La definición de una fuente trifásica balanceada exige que se cumpla que:. Vbn  V f   120. y. Vcn  V f 120. y. Vcn  V f   120. o. Vbn  V f 120. La primera secuencia recibe el nombre de secuencia de fase positiva o secuencia de fase 𝑎𝑏𝑐 y se ilustra en la figura 1.4a; la segunda se conoce como secuencia de fase negativa o secuencia de fase 𝑎𝑐𝑏 y se indica mediante el diagrama fasorial de la figura 1.4b. La secuencia de fase de una fuente trifásica física depende de la elección arbitraria de los tres terminales designados por a , b y c , y significa físicamente una inversión del sentido de rotación del rotor del generador trifásico. Siempre pueden elegirse de manera que se tenga una secuencia de fase positiva..

(7) Figura 1.4 Secuencia de fase positiva o 𝑎𝑏𝑐 (a); secuencia de fase negativa 𝑎𝑐𝑏 (𝑏). A continuación, se ilustra el proceso para determinar los voltajes de línea a línea (denominados muchas veces como voltajes de línea), en un sistema trifásico balanceado con secuencia de fase positiva, con ayuda de un diagrama fasorial. El proceso es relativamente fácil, puesto que todos los ángulos son múltiplos de 30 . La construcción necesaria se ilustra en la figura 1.5. Vab  3V f 30. [1]. Vbc  3V f   90. [2]. Vca  3V f 150. [3]. Figura 1.5 Diagrama fasorial que ilustra el proceso para determinar los voltajes de línea a partir de los voltajes de fase dados (secuencia 𝑎𝑏𝑐). El voltaje de línea Vab también puede ser determinado algebraicamente:.

(8) Vab  Van  Vbn  V f 0  V f   120  V f  V f cos(120)  jVf sin( 120) V f  (1 . 1 3  j )  3V f 30 2 2. Si el valor rms de cualquiera de los voltajes de línea se denota por VL , entonces una de las características importantes de una fuente trifásica balanceada conectada en Y, puede expresarse como: VL  3V f. Puede observarse en el diagrama fasorial que ilustra el proceso para determinar los voltajes de línea a partir de los voltajes de fase dados (secuencia 𝑎𝑏𝑐), que con una secuencia positiva Van adelanta a Vbn y Vbn a V𝑐𝑛 en cada caso en 120 ; asimismo, Vab adelanta a Vbc y Vbc adelanta a Vca , de nuevo en 120 . La afirmación es cierta en el caso de secuencia de fase negativa si la palabra “adelanta” se sustituye por la de “retrasa”. La figura 1.6 muestra una fuente trifásica balanceada en estrella, conectada a una carga trifásica balanceada también conectada en Y, utilizando tres líneas y un neutro.. Figura 1.6 Sistema trifásico balanceado conectado en Y-Y que incluye un neutro. La corriente de línea es la corriente en cada línea y la corriente de fase es la corriente en cada fase de la fuente o de la carga. En el sistema    , la corriente de línea es igual a la corriente de fase correspondiente. Por convención, se asume que las corrientes de línea están dirigidas de la fuente hacia la carga, por lo que en lugar de I aA normalmente se escribe I a y la corriente por el neutro se asume dirigida hacia la fuente, por lo que se escribe normalmente In en lugar de Inń . Las corrientes de línea se calculan muy fácilmente, ya que en realidad se tienen tres circuitos monofásicos con una conexión común:.

(9) I aA  Ia . Van Zf. I bB  Ib . Vbn (1  120)Van   (1  120) Ia Zf Zf. I cC  Ic . Vcn (1120)Van   (1120) Ia Zf Zf. Se observa que las corrientes de línea forman un sistema trifásico balanceado de corrientes. Las magnitudes de las corrientes de línea son iguales y están desfasadas entre sí 120 . Aplicando LKC en el nodo n´ :. I nń  I aA  IbB  IcC  I a  Ib  Ic  0 desfasados 120 es igual a cero).. (La suma de tres fasores de igual módulo y. Por tanto, por el conductor neutro no circula corriente si tanto la fuente como la carga están balanceadas y si los cuatro alambres tienen una impedancia igual a cero. Si se insertara en serie con cada línea una impedancia Z l , esta impedancia podría combinarse con la impedancia de fase correspondiente, la carga equivalente sigue estando balanceada, la corriente por el neutro perfecto sigue siendo igual a cero y puede ser eliminado. Entonces, si no se producen cambios en el sistema con un cortocircuito o un circuito abierto, entre n´ y n , puede insertarse en el neutro cualquier impedancia y la corriente por el conductor neutro seguirá siendo igual a cero ( Vnń  0 ). Se tiene entonces que, si se tienen fuentes balanceadas, cargas balanceadas e impedancias de líneas balanceadas, un alambre neutro de cualquier impedancia puede reemplazarse por cualquiera otra impedancia, incluyendo un cortocircuito o un circuito abierto. El reemplazo no afectará los voltajes ni las corrientes del sistema. A menudo es útil visualizar un cortocircuito entre los dos puntos neutros, ya sea que en realidad este presente o no un alambre neutro. El problema se reduce a tres problemas monofásicos idénticos excepto por las diferencias de fase. En este caso se dice que el problema se resuelve “por fases”, solo se requiere encontrar la magnitud deseada en una fase, las magnitudes similares en las restantes fases, son obtenidas por simples rotaciones de 120 de acuerdo a la secuencia. Por costumbre, en el circuito equivalente monofásico se emplea el correspondiente a la fase a , mostrado en la figura 1.7.. Figura 1.7 Circuito equivalente monofásico correspondiente a la fase a ..

(10) 1.2 Conexión estrella-delta (Y-∆) Una configuración alternativa a la carga conectada en Y, es la carga conectada en ∆, como se muestra en la figura 1.8. Este tipo de configuración es común y no posee una conexión neutra.. Figura 1.8 Sistema trifásico balanceado conectado en Y-∆. Se considera que la carga en ∆ está balanceada y que está compuesta por una impedancia 𝑍𝑓 insertada entre cada par de líneas. Se suponen conocidos los voltajes de línea: 𝑉𝐿 = |𝑉𝑎𝑏 | = |𝑉𝑏𝑐 | = |𝑉𝑐𝑎 | O se conocen los voltajes de fase: 𝑉𝑓 = |𝑉𝑎𝑛 | = |𝑉𝑏𝑛 | = |𝑉𝑐𝑛 | Donde: 𝑉𝐿 = √3𝑉𝑓 y 𝑉𝑎𝑏 = √3𝑉𝑓 ∠ 30 Debido a que se conocen los voltajes en cada rama de la ∆, las corrientes de fase se obtienen sin dificultad: Vab Vbc Vca Iab = Ibc = Ica = Zf Zf Zf Y sus diferencias permiten determinar las corrientes de línea, en la forma: IaA = Iab − Ica Debido a que el sistema es balanceado, las tres corrientes de fase son de igual magnitud: If = |Iab | = |Ibc | = |Ica | Las corrientes de línea tienen también la misma magnitud; la simetría se manifiesta observando el diagrama fasorial de la figura 1.9. IL = |IaA | = |IbB | = |IcC | IL = √3If.

(11) Figura 1.9 Diagrama fasorial de los voltajes y corrientes en un sistema trifásico balanceado    (secuencia abc y carga inductiva). Si la carga está conectada en delta (∆), el voltaje de fase y de línea se refieren al mismo voltaje y la corriente de línea es mayor que la de fase por un factor de √3. Sin embargo, con una carga conectada en estrella (Y), la corriente de fase y la de línea se refieren a la misma corriente y el voltaje de línea es mayor que el de fase por un factor de √3. No es común el empleo de fuentes conectadas en delta, pues un ligero desbalance (desequilibrio) en las fases de la fuente, puede ocasionar una circulación de corriente elevada por los devanados del generador conectado en delta (incluso sin carga conectada al generador). Lo anterior reduce la capacidad de corriente útil de la fuente e incrementa también las perdidas en el sistema. Es posible la transformación de fuentes trifásicas balanceadas de Y a ∆, o viceversa, sin afectar las corrientes o voltajes de la carga. La transformación permite usar cualquier conexión de fuente que se prefiera, siendo todas las relaciones de carga correctas. Desde luego, no se puede especificar alguna corriente o voltaje dentro de la fuente, hasta que se conozca cómo está conectada en realidad. Las cargas trifásicas balanceadas se pueden transformar de Y a ∆, o viceversa, mediante la relación: Z∆ 3 1.3 Potencia trifásica ZY =. El factor √3 no solo relaciona las cantidades de fase y de línea, sino que aparece también como un factor útil, en la expresión que permite determinar la potencia (activa) total consumida por cualquier carga trifásica balanceada..

(12) Si se considera una carga conectada en Y, con un ángulo del factor de potencia 𝜑; la potencia (activa) absorbida por cualquier fase de la carga, está dada por: 𝑃𝑓 = 𝑉𝑓 𝐼𝑓 cos 𝜑 = 𝑉𝑓 𝐼𝐿 cos 𝜑 =. 𝑉𝐿. 𝐼 √3 𝐿. cos 𝜑. La potencia (activa) trifásica o total (absorbida por las tres fases) es igual a: 𝑃3𝑓 = 3𝑃𝑓 = √3𝑉𝐿 𝐼𝐿 cos 𝜑 De manera similar, la potencia activa que se entrega a cada fase de la carga conectada en ∆ se calcula mediante: 𝑃𝑓 = 𝑉𝑓 𝐼𝑓 cos 𝜑 = 𝑉𝐿 𝐼𝑓 cos 𝜑 = 𝑉𝐿. 𝐼𝐿. cos 𝜑 √3 La potencia (activa) trifásica o total (absorbida por las tres fases) es igual a: 𝑃3𝑓 = 3𝑃𝑓 = √3𝑉𝐿 𝐼𝐿 cos 𝜑 La ecuación anterior, permite calcular la potencia activa trifásica o total que se entrega a una carga balanceada, a partir del conocimiento de las magnitudes (rms) del voltaje de línea, de la corriente de línea y del ángulo de fase de la impedancia (o admitancia) de carga, sin que importe que la carga esté conectada en Y o en ∆. De igual forma: Q3  3V f I f sen  f  3 VL I L sen  f. S 3  3V f I f  3 VL I L  P32  Q32. La potencia compleja por fase estará dada por:. S f  Va I a*  Vb I b*  Vc I c* La potencia compleja trifásica se obtiene mediante:. S3  3S f  3 VL I L  f  S 3  f  P3  jQ3 Se define el factor de potencia de un circuito trifásico como la relación que existe entre la potencia activa trifásica y la potencia aparente trifásica, mostrada en la figura 1.10, o sea:. fp3 . P3  cos f S 3. Figura 1.10 Triángulo de potencias..

(13) 1.4 Medición de potencia en sistemas trifásicos La medición de los valores eficaces del voltaje y la corriente en los terminales de entrada de una carga monofásica, empleando un multímetro común, permite determinar la potencia aparente consumida por la carga, calculando su producto S  Vrms I rms VA . Si se conoce el factor de potencia de la carga, la potencia activa (promedio o real) consumida por la carga puede calcularse mediante P  Vrms I rms fp W . Existen instrumentos específicamente diseñados para medir la potencia activa, denominados wattímetros. El wattímetro tradicional, es un instrumento analógico electrodinámico, aunque en la actualidad se emplean también instrumentos digitales. En la figura 1.11 se muestran dos representaciones para el wattímetro y el esquema circuital del wattímetro conectado para medir la potencia consumida por una carga monofásica.. Figura 1.11 Medición de potencia activa ( P ) empleando un wattímetro. Los wattímetros constan de dos bobinas, llamadas bobina de corriente y bobina de voltaje. La bobina de corriente también denominada elemento de corriente es un enrollado estacionario formado por pocas vueltas de un conductor relativamente grueso, de forma que Z Li  0 y al conectarse en serie con la carga y circular por ella i (t ) , no se produce una caída de voltaje sensible y por lo tanto no se afecta el comportamiento de la carga. La bobina o elemento de voltaje es un enrollado móvil formado por muchas vueltas de un conductor de pequeña sección transversal de forma que Z Lv   y al conectarse entre las líneas (en paralelo con la carga) y estar sometida a un voltaje apreciable v(t ) circula por la misma una corriente pequeña y no se afecta sensiblemente el comportamiento del circuito. Al igual que los voltímetros y amperímetros, el wattímetro será considerado un instrumento ideal, la impedancia de la bobina de corriente Z Li  0 (cortocircuito) y la impedancia de la bobina de voltaje Z Lv   (circuito abierto). En los wattímetros aparecen dos marcas de polaridad. Desde el punto de vista del comportamiento del instrumento, una corriente se considera positiva cuando entra por la marca de polaridad de dicho elemento y un voltaje se considera positivo cuando el terminal que posee la marca es el que está sometido al mayor potencial. La bobina de corriente se enrolla sobre una estructura pivotante unida a la aguja indicadora, mantenida en su posición inicial por un muelle. Cuando ambas bobinas están energizadas, se desarrolla un torque que gira la estructura pivotante contra el muelle produciéndose una deflexión (la aguja indica la lectura del wattímetro sobre una escala) proporcional al.

(14) producto v(t )i(t ) , cuyos signos están determinados por sus sentidos con respecto a las marcas de cada elemento. Aunque las señales de corriente alterna producen torques pulsantes, la inercia mecánica del sistema proporciona un efecto promediado, lo que resulta en un ángulo de deflexión estable que es proporcional al valor promedio del producto v(t )i(t ) . Si se designa como W a la lectura del wattímetro, esta se puede expresar como: T. W . 1 v(t ) i(t ) dt T 0. Esta expresión es la del valor medio de la potencia activa instantánea y por lo tanto, en circuitos de corriente alterna se puede plantear también a través de la ecuación de la potencia activa (indicando que la escala del instrumento puede ser calibrada directamente en W ), o sea:. W  P  Vrms I rms cos Donde:.   V   I Para el caso de una carga monofásica, carga.. . también es el argumento de la impedancia de la. Un wattímetro siempre indicará W  V I cos(V   I ) , o sea, el módulo del voltaje aplicado a su bobina de voltaje (rms), por el módulo de la corriente que circula por su bobina de corriente (rms), y por el coseno del ángulo del voltaje menos el ángulo de la corriente. El wattímetro solo leerá la potencia activa consumida por todos los elementos que se encuentren en el lado de la carga del instrumento. La lectura del instrumento corresponderá a la suma de las potencias activas consumidas por cada uno de dichos elementos. Teniendo en cuenta la indicación que un wattímetro suministra, la medición de la potencia consumida por una carga trifásica parece ser un problema simple. Solo es necesario poner un wattímetro en cada una de las tres fases de la carga balanceada conectada en estrella o en delta y sumar los resultados o simplemente conectar un wattímetro en una de las fases de la carga y multiplicar el resultado por tres para obtener la potencia trifásica o total consumida por la carga. En la práctica, no siempre es posible conectar un wattímetro en una de las fases de la carga trifásica, debido a que el neutro de la carga conectada en estrella no siempre es accesible y no se cuenta con las fases de la delta. Por ejemplo, un motor trifásico generalmente solo tiene tres terminales accesibles, que se denominan 𝐴, 𝐵 y 𝐶. Para poder realizar la medición de la potencia activa total consumida por una carga trifásica con solo tres terminales accesibles, se dispone de un método denominado método de los dos wattímetros (método de Blondel)..

(15) Se demuestra que para la medición de potencia activa en un sistema trifásico se necesitan ( n  1 ) wattímetros, siendo n el número de conductores o hilos (por los cuales circula corriente). En el circuito trifásico representado en la figura1.12, se muestra la forma de medir la potencia trifásica (total) según el método de los dos wattímetros, para cargas conectadas tanto en  como en  . De acuerdo al método de los dos wattímetros, la suma (algebraica) de las lecturas de los instrumentos corresponde a la potencia trifásica o total.. Figura 1.12 Medición de potencia trifásica por el método de los dos wattímetros.. Wa  Vac I a cos(Vac   Ia ). Wb  Vbc I b cos(Vbc   Ib ) P3  Wa  Wb  3 VL I L cos. Los desfasajes entre los voltajes y las corrientes se pueden hallar con el auxilio de un diagrama fasorial, en el cual se puede observar que en los circuitos balanceados, secuencia abc , para un argumento de la impedancia de fase  Z (  ), cada voltaje de línea está desfasado  Z  30 con respecto a su corriente de línea correspondiente ( V L adelanta a I L un ángulo  Z  30 ), independientemente de que la carga esté conectada en estrella o en delta. En el diagrama fasorial de la figura 1.13, se ha supuesto una carga en estrella, inductiva y secuencia abc..

(16) Figura 1.13 Diagrama fasorial que muestra las relaciones entre voltajes de línea y corrientes de línea. Para el circuito que se está considerando (las bobinas de corriente de los wattímetros conectadas en las líneas a y b ), los desfasajes serán:. Vbc   Ib  120  (120  30   )    30. Vac   Ia  60  (30   )    30 En la práctica, en caso de que una lectura sea negativa (estando el wattímetro correctamente conectado), se deben invertir las conexiones de la bobina de corriente y la indicación del wattímetro se debe tratar como negativa en la suma. Las expresiones de las lecturas de los wattímetros serán:. Wa  VL I L cos(  30) Wb  VL I L cos(  30) Wa  Wb  VL I L [cos(  30)  cos(  30] Desarrollando los cosenos:. Wa  Wb  VL I L [cos cos 30  sen  sen 30  cos cos 30  sen  sen 30] Al reducir términos semejantes:. Wa  Wb  VL I L [2 cos cos 30]. Wa  Wb  VL I L [2 cos. 3 ]  3 VL I L cos  P3 2. De la lectura de los wattímetros se puede obtener el valor del argumento de la impedancia de fase de la carga (φ)..

(17)  W  W2   tan   3 1  W1  W2 . Para secuencia de fase positiva, el segundo término en el numerador ( W2 ) corresponde a la lectura del wattímetro, en el cual el voltaje y la corriente aplicados a sus bobinas respectivas, correspondan a una de las siguientes relaciones: Vab  I a , Vbc  Ib , Vca  I c . Debe tenerse presente que la suma de las lecturas es algebraica. En función de  (argumento de la impedancia de fase de la carga), la lectura de los instrumentos puede ser positiva, nula o negativa. Para valores del argumento de la impedancia de fase   60 (factor de potencia menor que 0,5 ), el cos(  30) será negativo y por tanto el wattímetro cuya indicación viene dada por VL I L cos(  30) , medirá potencia negativa (esta posibilidad es matemática, en la práctica lo que se detecta es que la aguja indicadora del instrumento deflecta en sentido contrario). Si   60 (factor de potencia menor que 0,5 ), el wattímetro cuya indicación viene dada por VL I L cos(  30) , medirá potencia negativa. Si   60 , la lectura de un wattímetro será igual a cero. Si  60    60 (factor de potencia mayor que 0,5 ), la lectura de ambos wattímetros será positiva. Si   0 (carga resistiva pura, o sea, factor de potencia igual a 1), la lectura de ambos wattímetros será igual y positiva. Al invertir la secuencia de fase de la fuente de alimentación, las lecturas de los dos wattímetros se intercambian. 1.5 Conclusiones del Capítulo 1. Un generador trifásico balanceado, tiene tres terminales y puede estar presente un cuarto terminal llamado neutro y los voltajes entre dos terminales cualesquiera, tienen igual magnitud, frecuencia y están desfasados entre sí por 120 2. En la conexión estrella- estrella las fuentes trifásicas tienen tres terminales, denominados terminales de línea, además, pueden contar o no con un cuarto terminal, denominado neutro. La corriente de fase y la de línea se refieren a la misma corriente y el voltaje de línea es mayor que el de fase por un factor de √3 3. Una configuración alternativa a la carga conectada en Y, es la carga conectada en ∆, este tipo de configuración es común y no posee una conexión neutra, si la carga está conectada en delta (∆), el voltaje de fase y de línea se refieren al mismo voltaje y la corriente de línea es mayor que la de fase por un factor de √3. 4. Se puede calcular la potencia activa trifásica o total que se entrega a una carga balanceada, a partir del conocimiento de las magnitudes (rms) del voltaje de línea, de la corriente de línea y del ángulo de fase de la impedancia (o admitancia) de carga, sin que importe que la carga esté conectada en Y o en ∆. 5. El método de los dos wattímetros es de gran importancia porque no siempre se puede acceder al neutro de la carga en la práctica..

(18) Ejercicios resueltos y propuestos Ejercicios resueltos 1. Encontrar en el circuito trifásico balanceado mostrado en la figura 1.14: a) Los voltajes de fase. b) Los voltajes de línea. c) Las corrientes de línea. Cantidades conocidas: Z = 8∠30o Ω, VBC = 200∠30o V. Secuencia de fase positiva.. Figura 1.14 Circuito trifásico balanceado. R: Teniendo en cuenta la secuencia de fase positiva, si el voltaje de línea VBC = 200∠30𝑜 V, entonces: VAB = 200∠150o V, VCA = 200∠−90o V Determinación del voltaje de fase VAn : 1 1 VAn = ( ∠ − 30o ) VAB = ( ∠ − 30o ) (200∠150o ) = 116∠120o V √3 √3 Considerando secuencia de fase positiva: VBn = 116∠0o V VCn = 116∠−120o V Cálculo de la corriente de línea IA : VAn 116∠120o = = 14,5∠90o A o Z 8∠30 Teniendo en cuenta la secuencia de fase positiva: IA =. IB = 14,5∠−30o A IC = 14,5∠−150o A R Simulink:.

(19) Figura 1.15 Circuito trifásico balanceado estrella-estrella sin neutro. 2. En el circuito de la figura 1.16, calcule las corrientes y voltajes de fase y de línea. Se conoce que Van  200  0 V y la secuencia de fase es positiva. Z f  2  60  . Z f representa la suma de la impedancia de fase del generador, de la impedancia de la línea y de la impedancia de la fase correspondiente de la carga ( Z f  Z g  Zl  Z L ).. Figura 1.16 Sistema trifásico balanceado estrella-estrella sin neutro. Secuencia abc. R: Si el voltaje de fase Van  200  0 V y la secuencia de fase es positiva: Vbn  200   120 V. Vcn  200 120 V.

(20) Los voltajes de línea serán: Vab  ( 330)Van  ( 330)(2000)  34630 V. Vbc  346  90 V. Vca  346150 V. Las corrientes de línea se obtienen como: Ia . Van 2000   100  60 A Zf 260. Ib  100  180 A. Ic  10060 A. En un sistema    : I L  I f .. Figura 1.17 Diagrama fasorial de los voltajes y corrientes de fase y de línea del sistema trifásico balanceado    . Se observa en el diagrama fasorial de la figura 1.17 que entre el voltaje de línea V L y la corriente de línea I L hay un desfasaje de   30 (  f  30 ), el voltaje de línea V L adelanta a la corriente de línea correspondiente I L ( Vab  Ia , Vbc  Ib , Vca  Ic ) en   30 (  f  30 ). En el diagrama se ha tenido en cuenta que la carga es inductiva y la secuencia de fase es positiva)..

(21) Figura 1.18 Diagrama fasorial de los voltajes y corrientes de fase y de línea del sistema trifásico balanceado    . R Simulink:. Figura 1.19 Sistema trifásico balanceado estrella-estrella sin neutro. Secuencia abc..

(22) 3. Calcular las corrientes de línea en los tres alambres del sistema Y-Y de la figura 1.20.. Figura 1.20 Sistema sistema Y-Y con impedancia en las líneas. R: El circuito trifásico en la figura es balanceado. Las impedancias de las líneas pueden combinarse en serie con las impedancias de las fases de la carga. Z Y  (5  j 2)  (10  j8)  15  j 6  16,15521,8. La corriente de la línea 𝐼𝑎, se obtiene: Ia . Van 1100   6,81  21,8 A Z Y 16,15521,8. Teniendo en cuenta que la secuencia de fase es positiva:. I b  (1  120) I a  6,81  141,8 A. I c  (1120) I a  6,8198,2 A 100 80 90. 60. 200. 120. 60 40. 100. 150. 30 20. 180. 0. 0 -20. 210. 330 -40 240. 300 270. -60 -80 -100 -100. 0. 100. 200. Figura 1.21 Diagramas fasoriales de los voltajes de fase del generador..

(23) R Simulink:. Figura 1.22 Sistema sistema Y-Y con impedancia en las líneas. 4. En la figura 1.23 se muestra un generador trifásico balanceado con secuencia de fase positiva, el cual tiene una impedancia de 0,2  j 0,5  /fase y una fem generada por fase de 120 V . El generador alimenta una carga trifásica balanceada conectada en estrella, que tiene una impedancia por fase de 39  j 28  . La impedancia de cada una de las líneas que conectan el generador a la carga es de 0,8  j1,5  . Tomar como referencia la fem generada en la fase a . a) Calcular las corrientes de línea IaA, IbB , e IcC . b) Hallar los voltajes de fase en la carga VAn' , VBn' y VCn' . c) Determinar los voltajes de línea en los terminales de la carga V AB , VBC y VCA . d) Hallar los voltajes de fase en los terminales del generador Van , Vbn y Vcn . e) Calcular los voltajes de línea en los terminales del generador Vab , Vbc y Vca .. Figura 1.23 Sistema trifásico balanceado estrella-estrella sin neutro. Impedancias en las fases del generador y en las líneas R: En la figura 1.24 se muestra el circuito equivalente (monofásico) de la fase a :.

(24) Figura 1.24 Circuito equivalente monofásico (fase a). Teniendo en cuenta que la secuencia de fase es positiva en el proceso de cálculo de las variables: a) Corriente por la línea a : I aA . 1200  2,4  36,87 A 0,2  j 0,5  0,8  j1,5  39  j 28. I bB  2,4  156,87 A. I cC  2,483,13 A b) Voltaje en la fase A de la carga:. VAn '  Z f I aA  (39  j 28)(2,4  36,87)  115,22  1,19 V VBn'  115,22  121,19 V VCn'  115,22118,81 V c) Voltajes de línea en la carga:. V AB  ( 330)(V An ' )  ( 330)(115,22  1,19)  199,5828,81 V. VBC  199,58  91,19 V VCA  199,58148,81 V d) Voltaje en la fase a del generador:. Van  120  Z fg I aA  120  (0,2  j 0,5)(2,4  36,87)  118,90  0,32 V Vbn  118,90  120,32 V Vcn  118,90119,68 V e) Voltajes de línea en los terminales del generador:. Vab  ( 330)(Van )  ( 330)(118,90  0,32)  205,9429,68 V. Vbc  205,94  90,32 V Vca  205,94149,68 V.

(25) Si la secuencia del generador fuese negativa (acb), las magnitudes de cada uno de los voltajes y corrientes no variaría. En este circuito equivalente monofásico (fase a), la corriente I aA retorna a través del conductor neutro, no obstante, cuando se consideran las tres fases simultáneamente, la suma fasorial de las tres corrientes por el conductor neutro será igual a cero, lo que justifica el uso de un conductor neutro perfecto en el modelo monofásico. R Simulink:. Figura 1.25 Sistema trifásico balanceado estrella-estrella sin neutro. Impedancias en las fases del generador y en las líneas. 5. El circuito de la figura 1.26 se conecta a una fuente generadora de voltajes balanceados. Se conoce que el voltaje de la fase a del generador es Va  5090 A .. Z 1  100  y Z 2  200  . La secuencia de fase es positiva. Determine las corrientes totales de línea y la lectura de los instrumentos.. Figura 1.26 Generador trifásico balanceado que alimenta a dos cargas balanceadas en estrella conectadas en paralelo. R:.

(26) Como el circuito de la figura 1.26 es simétrico, podemos unir los dos puntos neutros de las cargas en estrella sin que se alteren las condiciones del mismo (los neutros de las cargas y del generador tienen el mismo potencial), pudiéndose hallar una estrella equivalente de las dos estrellas en paralelo.. Figura 1.27 Generador trifásico balanceado alimentando a la estrella equivalente de las dos estrellas en paralelo.. Z eq  Ia . Z1 Z 2 (100)(200) 2000    6,670  Z1  Z 2 100  200 300. Va 5090   7,590 A Z eq 6,670. I b  (1  120) I a  7,5  30 A I c  (1120) I a  7,5  150 A En un sistema trifásico balanceado la corriente por el neutro es igual a cero:. I n  I a  Ib  I c  0 Por tanto la lectura del amperímetro A será igual a cero.. VL  3 V f  ( 3 )(50)  86,6 V La lectura del voltímetro V será igual a 86,6 V . R Simulink:.

(27) Figura 1.28 Generador trifásico balanceado que alimenta a dos cargas balanceadas en estrella conectadas en paralelo. 6. Una fuente balanceada conectada en estrella, con secuencia de fase positiva y voltaje de fase Van  10010 V , alimenta a una carga balanceada conectada en delta con una impedancia por fase Z f  (8  j 4)  . Calcular las corrientes de fase y de línea. R: Voltaje de línea Vab : Vab  ( 330)Van  ( 330)(10010)  173,240 V. Corrientes por las fases de la delta: I AB . Vab 173,240 173,240    19,3613,43 A Zf 8  j4 8,94426,57. I BC  19,36  106,57 A I CA  19,36133,43 A Corrientes por las líneas: Ia  ( 3  30) I AB  ( 3  30)(19,3613,43)  33,53  16,57 A. Ib  33,53  136,57 A Ic  33,53103,43 A R Simulink:.

(28) Figura 1.29 Generador trifásico balanceado que alimenta a una carga balanceada conectada en delta. 7. En el circuito de la figura 1.30 la carga es balanceada y la secuencia de fase es positiva. Se conoce que Z  5  45  y I f  5 A . Calcule: Las corrientes de línea I L y los voltajes de línea V L . Dibujar el diagrama fasorial de las. I L y V L . Asuma I ab  I f  0 .. Figura 1.30 Carga balanceada conectada en delta. R: Vab  I ab  Z  50  545 Vab  2545 V Vbc  25  75 V Vca  25165 V. I L  3I f   30 I A  3I ab   30 I A  8,66  30 A I B  8,66  150  A I C  8,6690 A.

(29) Figura 1.31 Diagrama fasorial de los voltajes y corrientes de línea. R Simulink:. Figura 1.32 Carga balanceada conectada en delta. 8. Una fuente balanceada conectada en delta, con secuencia de fase positiva y voltaje Vab  3300 V , alimenta a una carga balanceada conectada en delta con una impedancia por fase Z f  (20  j15)  . Calcular las corrientes por las fases de la carga y las corrientes de línea. R: Impedancias de fase de la carga balanceada en delta:. Z f  (20  j15)  25  36,87  Corrientes por las fases de la carga:.

(30) I AB . Vab 3300   13,236,87 A Zf 25  36,87. I BC  13,2  83,13 A I CA  13,2156,87 A Corrientes de línea: Ia  ( 3  30) I AB  ( 3  30)(13,236,87)  22,866,87 A Ib  22,86  113,13 A Ic  22,86126,87 A. R Simulink:. Figura 1.33 Sistema balanceado delta-delta. 9. En la figura 1.34 se muestra una carga conectada en estrella con una resistencia de 15 Ω, en serie con una bobina que tiene una resistencia de 5 Ω y una inductancia de 0,2 𝐻, por fase. La carga en estrella es conectada en paralelo con una carga en delta que tiene un capacitor de 90 𝜇𝐹 por fase. Ambas cargas son balanceadas y están alimentadas por un generador trifásico balanceado que entrega un voltaje de 400 𝑉, 50 𝐻𝑍 , con secuencia de fase positiva. Encontrar las corrientes de línea, el factor de potencia, las potencias activa, reactiva y aparente totales.. Figura 1.34 Sistema trifásico balanceado con cargas en paralelo (delta y estrella)..

(31) R: f = 50 Hz w = 2πf = (2)(pi)(50) = 314,16 rad/s R = 15 Ω; r = 5 Ω ZL = jwL = j(314,16)(0,2) = j62,83 Ω ZfY = R + r + ZL = 15 + 5 + j62,83 = 20 + j62,83 = 65,94∠72,34o Ω Para la carga balanceada en delta: CD = 90 μF Convirtiendo la carga en delta en una carga equivalente en estrella, mostrada en la figura 1.35: CY = 3CD = (3)(90) = 270 μF. Figura 1.35 Carga equivalente en estrella. Impedancia por fase de la estrella capacitiva: ZfYC = −j. 1 1 = −j = −j11,7893 = 11,7893∠ − 90o Ω (314,16)(270 ∗ 10−6 ) w ∗ CY. Las impedancias ZfY y ZfYC , están en paralelo: Zp =. (20 + j62,83)(−j11,7893) ZfY ZfYC = = 0,9249 − j14,14 Ω ZfY + ZfYC 20 + j62,83 − j11,7893. Zp = 14,18∠ − 86,26o Ω Tomando el voltaje de la fase a como referencia: Va =. 400. ∠0o V = 231,0 ∠0o V. √3 Vb = 231,0 ∠−120o V Vc = 231,0 ∠120o V. La corriente de línea, que es la misma corriente que circula por la fase de la estrella equivalente, se obtiene mediante: Va 231,0 ∠0o Ia = = = 16,28∠86,20o A Zp 14,18∠ − 86,26o Teniendo en cuenta la secuencia de fase positiva:.

(32) Ib = 16,28∠ − 33,73o A Ic = 16,28∠ − 153,73o A El ángulo de fase de la impedancia equivalente Zp es negativo, por tanto: cosφ = cos(−86,26o ) = 0,0652 capacitivo o en adelanto Potencia aparente total: |S| = 3|Vf ||If | = (3)(231)(16,28) = 11282 VA La potencia aparente total también se obtiene como: |S| = √3|VL ||IL | = (√3)(400)(16,28) = 11279 VA Potencia activa total: P= 3|Vf ||If |cos = (3)(231)(16,28)cosφ = (3)(231)(16,28)cos(−86,26o ) P= 735,91 W Potencia reactiva total: Q = 3|Vf ||If |cos = (3)(231)(16,28)senφ = (3)(231)(16,28)sen(−86,26o ) Q = −11258 VAR R Simulink:. Figura 1.36 Circuito trifásico balanceado con cargas en paralelo (estrella-delta)..

(33) 10. Para el sistema    mostrado en la figura 1.37: a) Encontrar los ángulos de fase  2 y  3 para la secuencia de fase especificada; b) Hallar las corrientes en cada fase de la carga; c) Determinar las magnitudes de las corrientes de línea.. Figura 1.37 Sistema trifásico balanceado delta-delta. R: a) Para la secuencia de fase negativa ( acb ):.  2  120  ; 3  120 b). I ab . Vab 1200 1200    33,945 A Z ab (5)( j5) 3,54  45 5  j5. I bc  (1120)(I ab )  (1120)(33,945)  33,9165 A I ca  (1  120)(I ab )  (1  120)(33,945)  33,9  75 A c). I L  3 I f  ( 3 )(33,9)  58,7165 A R Simulink:.

(34) Figura 1.38 Sistema trifásico balanceado delta-delta. 11. Una fuente balanceada conectada en delta, con secuencia de fase positiva y voltaje Vab  2100 V , alimenta a una carga balanceada conectada en estrella con una impedancia por fase Z f  (40  j 25)  . Calcular las corrientes por las fases de la carga. R: Impedancias de fase de la carga balanceada en estrella:. Z f  (40  j 25)  47,1732  Transformando la fuente balanceada conectada en delta en una fuente equivalente balanceada conectada en estrella:. Va  Van  (. 1 3.   30)Vab  (. 1 3.   30)(2100)  121,2  30 V. Las corrientes de línea:. Ia . Va 121,2  30   2,57  62 A Zf 47,1732. Ib  2,57178 A. Ic  2,5758 A. Las corrientes de línea son iguales a las corrientes de fase en la carga conectada en estrella. R Simulink:.

(35) Figura 1.39 Sistema trifásico balanceado delta-estrella. 12. El circuito de la figura 1.40 es conectado a una fuente simétrica de SFP. Se conocen: VA  100  0 V , Z1  20  0  , Z 2  60  0  . Calcular las corrientes de línea y la lectura de los instrumentos.. Figura 1.40 Sistema trifásico balanceado con cargas en paralelo. R: Para hallar una carga equivalente, se transforma la carga en Δ en una carga en Y, y posteriormente se obtiene la carga equivalente, lo que se muestra en la figura 1.41..

(36) Figura 1.41 Carga equivalente. Z2  200  3 Z1  Z 2 eq Z eq   100 Z1  Z 2 eq. Z 2eq . IA . V A 1000  Z eq 100. I A  100 A I B  10  120 A I C  10120  A VAC  3 VC  3 VA  173,2 V. Las corrientes de línea son: I A  100 A , I B  10 120 A , I C  10120 A . Lectura de los instrumentos:. A1  0 A A2  10 A V  173,2 V. I L  3 I f I f . 3 VA Z2. . 173,2  2,8868 A 60. I L  3 2,8868   5 A Por tanto:. A3  I L  5 A R Simulink:.

(37) Figura 1.42 Sistema trifásico balanceado con cargas en paralelo. 13. Calcular en el sistema trifásico balanceado que se muestra en la figura 1.43, la lectura de los wattímetros Wa y Wc . El voltaje de fase en la carga es igual a 120 V rms . Los valores de las impedancias son: Z  8  j 6  . Considere secuencia abc .. Figura1.43 Wattímetros conectados de acuerdo al método de los dos wattímetros. R:. Z  8  j 6  1036,87 . VL  3 V f  120 3 V IL . Vf Z. . 120  12 A 10. Wa  VL I L cos(  30)  (120 3 )(12) cos(36,87  30)  979,75 W Wc  VL I L cos(  30)  (120 3 )(12) cos(36,87  30)  2476,25 W. Variante de solución:. Va  1200 V. (Referencia)..

(38) Teniendo en cuenta la secuencia abc: Vab  ( 330)Va  ( 330)(1200)  120 330 V Vbc  (1  120)Vab  (1  120)(120 330)  120 3  90 V. Vcb  Vbc  120 3  90  120 3 90 V. Ia . Va 1200 1200    12  36,87 A Zf 8  j 6 1036,87. Ic  (1120) Ia  (1120)(12  36,87)  1283,13 A Wa  Vab I a cos( Vab   Ia )  (120 3 )(12) cos(30  (36,87))  979,75 W Wc  Vcb I c cos( Vcb   Ic )  (120 3 )(12) cos(90  83,13)  2476,25 W. Figura 1.44 Gráfico de barras mostrando la lectura de los wattímetros. R Simulink:. Figura 1.45 Wattímetros conectados de acuerdo al método de los dos wattímetros..

(39) 14. Atendiendo a la figura 1.46, calcular la lectura de los wattímetros Wa y Wc . El voltaje de fase en la carga es igual a 120 V rms . Los valores de las impedancias son: Z  8  j 6  . Considere secuencia abc .. Figura 1.46 Wattímetros conectados de acuerdo al método de los dos wattímetros. R:. Z  8  j 6  10  36,87 . VL  3 V f  120 3 V IL . Vf Z. . 120  12 A 10. Wa  VL I L cos(  30)  (120 3 )(12) cos(36,87  30)  2476,25 W Wc  VL I L cos(  30)  (120 3 )(12) cos(36,87  30)  979,75 W. Figura 1.47 Gráfico de barras mostrando la lectura de los wattímetros. R Simulink:.

(40) Figura 1.48 Wattímetros conectados de acuerdo al método de los dos wattímetros. 15. Atendiendo a la figura 1.49, calcular la lectura de los wattímetros Wa y Wc . El voltaje de fase en la carga es igual a 120 V rms . Los valores de las impedancias son: Z  8  j 0  . Considere secuencia abc .. Figura 1.49 Wattímetros conectados de acuerdo al método de los dos wattímetros. R:. Z  8  j 0  80 . VL  3 V f  120 3 V.

(41) IL . Vf Z. . 120  15 A 8. Wa  VL I L cos(  30)  (120 3 )(15) cos(0  30)  2700 W Wc  VL I L cos(  30)  (120 3 )(15) cos(0  30)  2700 W. Figura 1.50 Gráfico de barras mostrando la lectura de los wattímetros. R Simulink:. Figura 1.51 Wattímetros conectados de acuerdo al método de los dos wattímetros..

(42) Ejercicios propuestos 1. Calcular las corrientes de línea Ia , Ib e Ic , en el sistema estrella-estrella mostrado en la figura. Va  1100 V , Vb  110  120 V y Vc  110120 V . Z f  10  j8  , ZL  5  j2  .. Figura 1. Sistema trifásico balanceado estrella-estrella. R: Ia  6,81  21,8 A , Ib  6,81  141,8 A , Ic  6,8198,2 A 2. Un generador trifásico conectado en estrella con una impedancia 0.4  j 0.3  por fase es conectado a una carga con conexión Y balanceada con impedancia de 24  j19  por fase. La línea de unión del generador con la carga presenta una impedancia 0.6  j 0.7  por fase. Asumir la secuencia positiva de las fuentes de voltaje y este Van  12030 V encuentre (a) los voltajes de línea, (b) las corrientes de línea. Solución: (a) 207.8560 V ,207.85  60V ,207.85  180, (b) 3.75  8.66 A,3.75  128.66 A,3.75  248.66 A, 3. El voltaje de fase en los terminales de una carga trifásica balanceada conectada en estrella es de 2400 V . La carga tiene una impedancia por fase de 16  j12  . La impedancia de cada una de las líneas que conectan el generador a la carga es de 0,10  j 0,80  . El generador trifásico balanceado conectado en estrella, en el inicio de la línea, tiene una secuencia de fase negativa y una impedancia de 0,02  j 0,16  /fase. Use el voltaje en la fase a de la carga como referencia y calcule: a) La corrientes de línea Ia , Ib e Ic ; b) Los voltajes de línea en los terminales del generador Vab , Vbc y. Vca . R: a) 120  36,87 A; 12083,13 A; 120  156,87 A b) 4275,02  28,38 V ; 4275,0291,62 V ; 4275,02  148,38 V.

(43) 4. Una fuente balanceada conectada en estrella, con secuencia de fase positiva y voltaje de línea Vab  180  20 V , alimenta a una carga balanceada conectada en delta con una impedancia por fase Z f  2040  . Calcular las corrientes de fase y de línea. R: 9  60 A , 9  180 A , 960 A , 15,59  90 A , 15,59150 A , 15,5930 A 5. El voltaje de línea V AB en los terminales de una carga trifásica balanceada conectada en delta es 4160 0 V . La corriente de línea I a es 69,28  10 A . a) Calcular la impedancia por fase de la carga si la secuencia de fase es positiva. R: 104  20  6. Para el circuito    de la figura, calcular las corrientes de fase y de línea.. Figura 2. Sistema trifásico balanceado delta-delta (    ). R: 5,47  18,43 A , 5,47  138,43 A , 5,47101,57 A , 9,474  48,43 A , 9,474  168,43 A , 9,47471,57 A 7. Una fuente balanceada conectada en delta, con secuencia de fase positiva y voltaje de línea Vab  24015 V , alimenta a una carga balanceada conectada en estrella con una impedancia por fase Z f  (12  j15)  . Calcular las corrientes de línea Ia , Ib , Ic . R: 7,21  66,34 A , 7,21  186,34 A , 7,2153,66 A 8. Calcular la lectura de los wattímetros Wa y Wc . El voltaje de fase en la carga es igual a 120 V rms . Los valores de las impedancias son: Z  5  j5 3  1060  . Considere secuencia abc ..

(44) Figura 3. Wattímetros conectados de acuerdo al método de Blondel (método de los dos wattímetros). R: Wa  0 W ; Wc  2160 W 9. Calcular la lectura de los wattímetros Wa y Wc . El voltaje de fase en la carga es igual a 120 V rms . Los valores de las impedancias son: Z  10  75  . Considere secuencia abc .. Figura 4. Wattímetros conectados de acuerdo al método de Blondel (método de los dos wattímetros). R: Wa  1763,63 W ; Wc  645,53 W. 10. Dos cargas balanceadas están conectadas a una línea de 220 kV rms 60 H Z , como se muestra en la figura. La carga 1 consume 30 kW a un factor de potencia de 0,6 en atraso, mientras la carga 2 consume 45 kVAR a un factor de potencia de 0,8 en atraso. La secuencia es positiva. Determine la potencia compleja, real y reactiva absorbida por la carga combinada y el factor de potencia total..

(45) Figura 5. Cargas balanceadas conectadas en paralelo.. S  (90  j85) kVA  123,843,36 kVA R: fp  cos(43,36)  0,727 (En atraso). ;. P  90 kW. ;. Q  85 kVAR. ;. 11. En el circuito mostrado en la figura, Van  1200 V . Calcule las lecturas de los wattímetros W1 y W2 . Determinar la potencia activa total consumida por la carga ( P3 ).. Figura 6. Circuito trifásico balanceado. R: W1  1530 W , W2  199 W , P3  W1  W2  1729 W 12. Un sistema 3 balanceado de 3 alambres está terminado con 2 cargas conectadas en Δ en paralelo. La carga 1 obtiene 40 kVA a un fp atrasado de 0,8, mientras que la carga 2 absorbe 24 kW con un fp adelantado de 0,9. Suponga que no hay resistencias en línea y sea Vab  440  30V . Encuentre: a) La potencia total que obtienen las cargas. b) La corriente de fase I AB1 , para la carga atrasada. c) I AB 2 . d) I aA ..

(46) Figura 7. Cargas balanceadas conectadas en paralelo. R: a) P3T  56 kW , b) I AB1  30,3  6,86 A , c) I AB 2  20,255,8 A , d) I aA  75,2  12,5 A. Capítulo 2. Sistemas trifásicos desbalanceados En la práctica puede suceder que en un circuito trifásico, los voltajes aplicados a la carga no sean de igual magnitud, no estén desfasados entre sí 120𝑜 o que las impedancias de las distintas fases de la carga no sean iguales. Aquellos circuitos trifásicos en los cuales ocurre al menos una de las circunstancias expuestas anteriormente, se dice que son no balanceados, desbalanceados o asimétricos. En el presente capítulo se exponen diferentes métodos para el análisis de los circuitos trifásicos no balanceados, lineales, en estado estable, así como diversas particularidades de su comportamiento. Finalmente, se presentan las nociones básicas acerca de la medición de la potencia trifásica para circuitos no balanceados. 2.1 Circuito trifásico no balanceado estrella-estrella Los circuitos trifásicos no balanceados estrella-estrella pueden ser conectados con un conductor neutro ideal, con impedancia en el neutro y sin conductor neutro. Circuito trifásico estrella-estrella con conductor neutro ideal Se analizará, primeramente, el caso en el cual el conductor que une los nodos n y n´ no tiene impedancia como se muestra en la figura 2.1.. Figura 2.1 Circuito trifásico estrella-estrella con conductor neutro ideal. Suponiendo que las fem son conocidas y que se necesita calcular las corrientes, el procedimiento es muy sencillo. Debido a que los nodos n y n’ son equipotenciales, los.

(47) voltajes de los nodos a, b y c, con respecto al nodo n’, son iguales a las fem de las distintas fases de la fuente. En efecto: 𝑉𝑎𝑛′ = 𝐸𝑎. (1). 𝑉𝑏𝑛′ = 𝐸𝑏. (2). 𝑉𝑐𝑛′ = 𝐸𝑐. (3). Aplicando la ley de Ohm se encuentra que: 𝐸𝑎. 𝐼𝑎 = Zl1+Z1 Eb. Ib = Zl2+Z2 Ec. 𝐼𝑐 = Zl3+Z3. (4) (5) (6). Para calcular la corriente In, se aplica la ley de Kirchhoff de las corrientes (LKC) en el nodo n’, en virtud de la cual: 𝐼𝑛 = 𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐. (7). A diferencia de los circuitos balanceados, en los cuales la corriente por el neutro es nula siempre, en los circuitos no balanceados esta corriente, en general existe, producto de que las corrientes en las líneas no son de igual magnitud ni están desfasadas 120𝑜 entre sí. Los voltajes en las fases de la carga pueden calcularse, una vez conocidas las corrientes, aplicando la ley de Ohm en cada una de ellas. Posteriormente, aplicando la ley de Kirchhoff de los voltajes (LKV), se pueden determinar los voltajes en la carga, entre las distintas líneas (Va’b’, Vb’c’, Vc’a’). Producto de la asimetría del circuito, los voltajes, tanto de las fases como entre las líneas son, en general, de diferente magnitud y desfasaje entre sí. Por igual razón, los voltajes entre las líneas no son √3 veces mayores que los de las fases ni existe entre ellos un desfasaje de 30𝑜 , como hubiera ocurrido en un circuito balanceado. 2.2 Circuito trifásico estrella-estrella con neutro con impedancia Se analizará ahora el caso en que el conductor que une los nodos n y n’ tiene impedancia, como se muestra en la figura 2.2.. Figura 2.2 Circuito trifásico estrella-estrella con neutro con impedancia. Debido a la existencia de la impedancia Zn, por la que circula corriente en los circuitos no balanceados, como posteriormente se verá, los nodos n y n’ no son equipotenciales,.

(48) lo cual implica la aplicación de un método de análisis más elaborado que en el caso anterior. En el circuito en cuestión se tiene esencialmente dos nodos (n y n’), razón por la cual su análisis basado en el método de los voltajes de nodos no requiere el empleo de ecuaciones simultáneas. Tomando como referencia el nodo n, se tiene que: 𝑌𝑛′ 𝑛′ 𝜑𝑛′ = ∑𝑛′ 𝐸𝑌. (8). Donde: φn’: representa, fasorialmente, el voltaje del nodo n’ con respecto al nodo de referencia (n). Yn’n’: simboliza la admitancia propia del nodo n’. El miembro de la derecha corresponde a la suma fasorial del producto de las fem por las admitancias que respectivamente tienen conectadas en serie. Como el potencial del nodo de referencia (φn) es nulo, la siguiente expresión es válida: Vn’n = φn’ − φn = φn’. (9). Además: ∑n′ E ∗ Y= Ea ∗ Ya + Eb ∗ Yb + Ec ∗ Yc. (10). Yn′n′ = Ya + Yb + Yc. (11). Donde: 1. Ya = Zl1+Z1 1. Yb = Zl2+Z2 1. 𝑌𝑐 = Zl3+Z3 1. 𝑌𝑛 = Zn. (12) (13) (14) (15). Sustituyendo las expresiones (9), (10) y (11) en la ecuación (8) y despejando el valor del voltaje Vn’n, se encuentra que: 𝑉𝑛′𝑛 =. Ea∗Ya+Eb∗Yb+Ec∗Yc Ya+Yb+Yc+Yn. (16). Mediante la expresión matemática anterior se puede calcular el voltaje entre ambos nodos y posteriormente determinar el valor de las corrientes en las líneas, aplicando la ley de Ohm, en virtud de la cual: 𝐼𝑎 = (𝐸𝑎 − 𝑉𝑛′𝑛)𝑌𝑎. (17). 𝐼𝑏 = (𝐸𝑏 − 𝑉𝑛′𝑛)𝑌𝑏. (18). 𝐼𝑐 = (𝐸𝑐 − 𝑉𝑛′𝑛)𝑌𝑐. (19). 𝐼𝑛 = 𝑉𝑛′𝑛 ∗ 𝑌𝑛. (20). Debe resaltarse, de nuevo, el hecho de que en los circuitos trifásicos no balanceados los nodos centrales de la fuente y la carga (n y n’) no son equipotenciales y circula una corriente (In) entre ambos, como se evidencia a partir de las ecuaciones (16) y (20)..

(49) Una vez determinadas las corrientes en las líneas (ecuación (17) a la (19)), el procedimiento para hallar los voltajes de fase en la carga y entre sus líneas es análogo al expuesto en el caso anterior. 2.3 Circuito trifásico estrella-estrella sin conductor neutro El comportamiento de los circuitos trifásicos no balanceados, a diferencia de los balanceados, varía sustancialmente si se desconecta el conductor que une los nodos n y n’. Así, por ejemplo, aun cuando las fem e impedancias del circuito mostrado en la figura 2.3 coincidieran en valor con las que aparecen en la figura 2.1, tanto las corrientes en las líneas, como los voltajes en las fases y entre líneas en la carga, serían diferentes, ya que en el primer caso n y n’ son equipotenciales (el conductor que los une no tiene impedancia) mientras que, en este último, debido a la asimetría del circuito, los nodos n y n’ no son equipotenciales, en general.. Figura 2.3 Circuito trifásico estrella-estrella sin neutro. El circuito de la figura 2.3 puede analizarse como el caso límite del mostrado en la figura 2.1 cuando la admitancia Yn es nula ( 𝑍𝑛 = ∞ ) y aplicársele las mismas ecuaciones. El procedimiento de análisis depende del caso particular en función de los datos disponibles. Por ejemplo, para una carga en Y como la mostrada en la figura 2.4, si se conocen los voltajes entre las líneas, un método sería la conversión de la Y en su delta equivalente (ver la figura 2.5), calcular entonces las corrientes en las fases de dicha delta aplicando la ley de Ohm y determinar las corrientes en las líneas basándose en la LKC.. Figura 2.4 Carga en estrella.. Figura 2.5 Carga en delta.. Si se desea calcular también los voltajes de fase de la Y, puede lograrse aplicando la ley de Ohm en cada fase, ya que en la carga en Y las corrientes de fase coinciden con las de.

(50) línea, ya halladas. Este método puede aplicarse también en el caso del circuito mostrado en la figura 2.3 si las fem son conocidas, ya que los voltajes entre líneas en la fuente se calcularían aplicando la LKV y las impedancias de las líneas y las de la carga están en serie, por lo cual pueden reducirse a su impedancia equivalente, resultando un circuito análogo al de la figura 2.4. 2.4 Circuito trifásico delta-delta Para el análisis del tipo de circuito no balanceado de la figura 2.6 se puede aplicar el método de las corrientes de mallas.. Figura 2.6 Circuito trifásico delta-delta. Debido al hecho de que el mismo tiene nueve ramas y seis nodos se precisa de cuatro ecuaciones simultáneas (9-6+1=4) para aplicar dicho método. Si previamente se transformara la carga en su Y equivalente, solo sería necesario aplicar un sistema de tres ecuaciones simultáneas tanto por el método de las corrientes de mallas como por el de los voltajes de nodos. Es de destacar que, dada la asimetría de la red, las corrientes en las líneas no son √3 veces mayores que las de las fases de la delta ni están desfasadas 30𝑜 con respecto a estas. 2.5 Secuencia de las corrientes y voltajes En los circuitos trifásicos balanceados la secuencia de los voltajes coincide siempre con la de las corrientes. Así, por ejemplo, si las fem en un circuito balanceado son de secuencia abc, todas las corrientes y voltajes son también de secuencia abc. No sucede igual en los circuitos trifásicos no balanceados, en los cuales, la secuencia de los voltajes no necesariamente coincide con la de las corrientes. Posibilidad de que la secuencia de los voltajes no coincida con la de las corrientes. En la figura 2.7:. Figura 2.7 Carga desbalanceada conectada en delta..

(51) Suponiendo que los voltajes aplicados son balanceados, de secuencia abc y que las impedancias de las fases son iguales modularmente, se construye el diagrama fasorial cualitativo del circuito. Debido a que las impedancias de las fases son iguales modularmente y los voltajes de las líneas también, se puede afirmar que las tres corrientes de fase son iguales en módulo. El desfasaje de cada una de ellas, con respecto a su voltaje respectivo, viene determinado por la naturaleza de los distintos elementos. Aplicando los conceptos más elementales se puede llegar a las siguientes conclusiones: a. b. c.. La corriente Iab está en fase con el voltaje Vab. La corriente Ibc está 90𝑜 en atraso con respecto al voltaje Vbc. La corriente Ica está adelantada 90𝑜 al voltaje Vca.. En la figura 2.8 se muestra el diagrama fasorial de los voltajes y las corrientes de fase.. Figura 2.8 Diagrama fasorial de los voltajes y las corrientes de fase. Las corrientes en las líneas se determinan planteando las ecuaciones que se derivan de la LKC en cada nodo. Estas son: En el nodo a: Ia = Iab − Ica En el nodo b: Ib = Ibc − Iab En el nodo c: Ic = Ica − Ibc La representación gráfica de las operaciones anteriores se muestra en la figura 2.9, lo que permite la construcción del diagrama fasorial cualitativo de esta carga.. Figura 2.9 Diagrama fasorial cualitativo del circuito..

(52) Se observa que la secuencia de los voltajes, si se es consecuente con los datos, es abc. Sin embargo, la secuencia de las corrientes de fase es acb y la de las corrientes de línea es acb. Se concluye que en un circuito trifásico no balanceado la secuencia de las corrientes puede no coincidir con la de los voltajes. Efecto de la variación de la secuencia de las fem En los circuitos balanceados, si se cambia la secuencia de las fem, no se afectan los valores modulares de los distintos voltajes y corrientes. Resulta diferente en los circuitos no balanceados, ya que en los mismos la variación de la secuencia de las fem implica, en general, variación en el módulo y argumento de las corrientes y voltajes, o al menos en una de dichas variables. En la figura 2.10 se muestra un sistema trifásico desbalanceado estrella-estrella sin neutro:. Figura 2.10 Sistema trifásico desbalanceado estrella-estrella sin neutro. Asumiendo que las fem son balanceadas y de valor efectivo 120 V. Se calculará la lectura del amperímetro y el voltaje Vn’n para cada una de las posibles secuencias. Tratándose de un circuito Y-Y sin conexión entre los nodos n y n’, se calcula el voltaje entre ambos nodos, teniendo en cuenta que la admitancia Yn es nula (𝑍𝑛 = ∞). Ea ∗ Ya + Eb ∗ Yb + Ec ∗ Yc Ya + Yb + Yc En este caso particular, teniendo en cuenta los datos que aparecen en la figura 2.10, se encuentra que: 𝑉𝑛′𝑛 =. 𝑌𝑎 =. 1 𝑆 10. 𝑌𝑏 =. 1 𝑗 = 𝑆 −𝑗10 10. 𝑌𝑐 =. 1 𝑆 10. Por lo cual: Ea jEb Ec + 10 + 10 10 𝑉𝑛′𝑛 = j 1 1 10 + 10 + 10 Ea + jEb + Ec 𝑉𝑛′𝑛 = 2+j Para la secuencia abc y tomando como referencia la fem Ea, se tiene que: 𝐸𝑎 = 120∟0𝑜 𝑉,. 𝐸𝑏 = 120∟−120𝑜 𝑉,. 𝐸𝑐 = 120∟120𝑜 𝑉.

(53) Sustituyendo en la expresión anterior, se halla el valor del voltaje Vn’n para secuencia abc: 120∟0𝑜 + (1∟90𝑜 )(120∟ − 120𝑜 ) + 120∟120𝑜 𝑉𝑛′𝑛 = 2+j 𝑉𝑛′ 𝑛 = 77,14∟−11,57𝑜 𝑉. (𝑎𝑏𝑐). La corriente Ia se halla aplicando la ley de Ohm a la fase a, en virtud de la cual: Ea − Vn′n 120∟0𝑜 − 77,14∟−11,57𝑜 𝐼𝑎 = = Ra 10 𝑜 𝐼𝑎 = 4,7∟19,2 𝐴 (𝑎𝑏𝑐) Para la secuencia acb y tomando como referencia la fem Ea, se tiene que: 𝐸𝑎 = 120∟0𝑜 𝑉,. 𝐸𝑏 = 120∟120𝑜 𝑉,. 𝐸𝑐 = 120∟−120𝑜 𝑉. Sustituyendo en la ecuación obtenida para el voltaje Vn’n se halla que: 𝑉𝑛′𝑛 =. 120∟0𝑜 + (1∟90𝑜 )(120∟120𝑜 ) + 120∟−120𝑜 2+j. 𝑉𝑛′ 𝑛 = 77,14∟ − 131,57𝑜 𝑉. (𝑎𝑐𝑏). Aplicando la ley de Ohm se encuentra que: Ea − Vn′n 120∟0𝑜 − 77,14∟−131,57𝑜 = Ra 10 𝐼𝑎 = 18,07∟18,63𝑜 𝐴 (𝑎𝑐𝑏) 𝐼𝑎 =. Se observa que: Para la secuencia abc: 𝑉𝑛′ 𝑛 = 77,14∟−11,57𝑜 𝑉 y el amperímetro mide 4,7 A. Para la secuencia acb: 𝑉𝑛′ 𝑛 = 77,14∟ − 131,57𝑜 𝑉 y el amperímetro mide 18,07 A. Es de notar la diferencia que existe en la lectura del amperímetro para secuencias distintas. En este circuito particular la variación del voltaje Vn’n es solo en cuanto a su fase, pero este resultado no debe generalizarse. 2.6 Cálculo de las potencias en los circuitos trifásicos no balanceados En los circuitos trifásicos no balanceados, la potencia activa disipada es, en general, distinta en cada fase de la carga, producto precisamente del desbalance. Por esta razón, a diferencia de los circuitos balanceados, la potencia trifásica no es el triplo de la disipada en alguna de las fases, como caso más general. Para calcular la potencia activa trifásica en los circuitos no balanceados, se aplica el principio de conservación de la potencia, de acuerdo con el cual la potencia total disipada es igual a la suma de las que se disipan en cada una de las fases. La expresión matemática de esta ley es: P3φ = ∑3𝑓=1 𝑃𝑓 Donde:. (21).

(54) P3φ: Simboliza a la potencia trifásica o total. 𝑃𝑓: Potencia consumida por cada una de las fases. Por supuesto, el cálculo de las potencias demandadas por las fases se realiza según las expresiones válidas en corriente alterna. Por ejemplo, entre otras: 𝑃𝑓 = 𝑉𝑓 ∗ 𝐼𝑓 ∗ cos(𝜑𝑓). (22). O bien: 𝑃𝑓 = 𝐼𝑓 2 ∗ 𝑅𝑓. (23). Donde: 𝑉𝑓 e 𝐼𝑓: Representan los valores efectivos (eficaces) del voltaje y la corriente en las fases. 𝜑𝑓: Simboliza al argumento de la impedancia conectada en la fase. 𝑅𝑓: Designa a la resistencia de la fase. Con respecto a la potencia reactiva, también denominada escuetamente reactivo, sucede igual en el sentido de que, debido al desbalance, cada fase demanda una cantidad diferente, razón por la cual, a diferencia de lo que ocurre en los circuitos balanceados, el reactivo total o trifásico no es el triplo del demandado por alguna de las fases, en general. Existe la posibilidad de que la naturaleza de la potencia reactiva no sea la misma para las tres fases. Por ejemplo, en el circuito mostrado en la figura 2.7 sucede que la rama ab no demanda reactivo, la fase b-c demanda reactivo inductivo y el reactivo de la fase ca es de naturaleza capacitiva. Para calcular la potencia reactiva total o trifásica se aplica la ley de conservación, según la cual la potencia reactiva total es la suma algebraica de la demandada por cada una de las fases. Convencionalmente, al reactivo inductivo se le adjudica signo positivo y al reactivo capacitivo, signo negativo. La expresión matemática que refleja la ley de conservación del reactivo es: Q3φ = ∑3𝑓=1 𝑄𝑓. (24). Donde: Q3φ : Es el símbolo empleado para indicar al reactivo total o trifásico. 𝑄𝑓: Simboliza al reactivo demandado por cada fase. El cálculo de la potencia reactiva demandada por cada fase se realiza aplicando las expresiones generales estudiadas en circuitos de corriente alterna. Por ejemplo, entre otras: 𝑄𝑓 = 𝑉𝑓 ∗ 𝐼𝑓 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜑𝑓). (25). O bien: 𝑄𝑓 = 𝐼𝑓 2 ∗ 𝑋𝑓. (26). Donde: 𝑉𝑓 e 𝐼𝑓: Representan respectivamente, al voltaje y la corriente de la fase. 𝜑𝑓: Simboliza el argumento de la impedancia conectada en dicha fase. 𝑋𝑓: Designa a la reactancia de la fase..

(55) Para el cálculo de la potencia aparente, es necesario tener presente que esta no cumple modularmente la ley de conservación, sino en forma compleja. La expresión matemática de la ley de conservación de la potencia compleja es: S3φ = ∑3𝑓=1 𝑆𝑓. (27). Donde: S3φ : Simboliza a la potencia compleja (total). 𝑆𝑓: Potencia compleja de las fases. Aplicando las expresiones generales estudiadas en circuitos de corriente alterna, se puede plantear, para cada fase que: 𝑆𝑓 = 𝑃𝑓 + 𝑗𝑄𝑓. (28). Por tanto: 3. S3φ = ∑𝑓=1(𝑃𝑓 + 𝑗𝑄𝑓). (29). La expresión (29) puede desarrollarse, aplicando las leyes de la suma de números complejos, de la forma siguiente: S3φ = ∑3𝑓=1 𝑃𝑓 + 𝑗 ∑3𝑓=1 𝑄𝑓. (30). La expresión anterior puede escribirse como: S3φ = P3φ + 𝑗Q3φ. (31). De acuerdo con la expresión (31), el valor de la potencia aparente, que equivale al módulo de la potencia compleja, se puede calcular mediante la expresión: |S3φ | = √P3φ 2 + Q3φ 2. (32). En esta expresión |S3φ | representa a la potencia aparente trifásica y los restantes símbolos conservan el significado que anteriormente se les ha dado. Para determinar el factor de potencia en circuitos trifásicos no balanceados, se recurre directamente a su definición, o sea, es el cociente entre la potencia activa y la potencia aparente. Si se designa 𝑓𝑝3𝜑 al factor de potencia trifásico, se puede plantear que: P3φ. 𝑓𝑝3𝜑 = |S. 3φ |. (33). Es necesario resaltar que, en los circuitos trifásicos no balanceados, cada fase de la carga posee su propio factor de potencia. El factor de potencia trifásico no es el promedio, ni la suma de los factores de potencia de las fases, como tampoco coincide con el coseno del argumento de las impedancias de las fases, las cuales son diferentes entre sí. Las distintas potencias (activa, reactiva y aparente), son susceptibles de ser representadas mediante un triángulo de potencias, al igual que en todos los circuitos de corriente alterna. En este caso sería como se muestra en la figura 2.11, suponiendo que el reactivo total es inductivo..